Curso l Físca I Autor l Lorenzo Iparragurre AEXO 4.2: La Ley del Impulso en un ntervalo nfntesmal y en un ntervalo fnto En el texto prncpal la Ley del Impulso ha sdo presentada para un ntervalo t cualquera, no necesaramente pequeño, aunque se aclara que en eso hay certo grado de smplfcacón, porque vale para fuerzas constantes. Ahora ben, s las fuerzas van varando mentras transcurre el ntervalo, sempre es posble magnarlo subdvddo en muchos ntervaltos sufcentemente pequeños como para que la varacón de las fuerzas pueda consderarse desprecable dentro de cada uno de ellos. Dado que conceptualmente debe quedar muy claro que la ley debe cumplrse nstante a nstante, en cada nstante, s se la escrbe para estos sub-ntervalos de duracón t sufcentemente pequeña, tendremos una stuacón que podremos tomar de partda, en la cual necesaramente la ley será exacta. Consderemos para ello la accón de fuerzas sobre una partícula desde t A hasta t B, como consecuenca de las cuales el vector p del cuerpo va varando contnuamente como se esquematza en la fgura. tb = t t2 t1 t1 ta = t0 t2 t3 Fg. A4.2.1: se muestra una trayectora cualquera de la cual se consdera el ntervalo desde el nstante t A hasta el nstante t B, subdvddo en partes. Se han dbujado algunos vectores p smplemente para sugerr que van varando de alguna manera cualquera. o se hace nnguna suposcón acerca de s el movmento comenza o fnalza en la zona mostrada, n sobre la duracón del ntervalo. El ntervalo des t A hasta t B está subdvddo de manera que: t 0 = t A, t = t B, y t 1, t 2,...t -1, señalan los nstantes de comenzo/fn de las subdvsones ntermedas. Estos ntervalos se harán nfntesmales a medda que se consdere a crecendo nfntamente. p 0 p es el vector cantdad de movmento ncal, A p p B, es el correspondente vector fnal, y p p(t) es el vector en el nstante t, es decr es el vector fnal de un ntervalo e ncal del sguente. para cada ntervalo tenemos la varacón en el vector p expresada como la dferenca vectoral entre los correspondentes vectores fnales e ncales del ntervalo. Es decr, 121
p p p p1 p1 pa, p2 p2 p1 B 1 Curso l Físca I Autor l Lorenzo Iparragurre,, etc., y así hasta el fnal, sendo, para el últmo ntervalo I F t, pro- para cada ntervalo nfntesmal se calcula el mpulso como corresponde, cedmento en el cual se debe tener en cuenta que: el vector F es representatvo de la fuerza resultante, no lo ndcamos con subíndces para smplfcar la notacón. la razón para subdvdr el ntervalo (t A, t B ) en ntervaltos nfntesmales es para que el vector fuerza se mantenga sufcentemente constante (en todas sus componentes y característcas) durante el breve transcurso del tempo que se consdera, de manera que quede ben determnado el vector F que corresponde utlzar para cada mpulso nfntesmal. Utlzamos aquí F para ndcar este vector en cualquera de los nstantes dentro del ntervalo t = t t 1. S ahora consderamos que para cada ntervalo la Ley del Impulso (4.7) dce que I F t debe ser gual a p, podremos escrbr todos estos elementos en dos columnas que deben ser guales térmno a térmno: I1 F 1 t1 p 1 pa I2 F 2 t 2 p 2 p1 I F p 3 p 3 3 t 3 2 F F I1 1 t 1 p 1 p 2 I t p B p 1 Todos los elementos aquí presentados son vectores. La columna de la zquerda contene vectores que representan el mpulso aplcado por la fuerza resultante cada pequeño lapso, y es claro que para obtener el mpulso total comuncado por la fuerza durante todo el ntervalo (t A, t B ), debemos realzar la suma (vectoral) de todos ellos. Por otra parte la columna de la derecha contene vectores que, excepto dos, p A y p B, están todos repetdos con sgnos cambados, es decr que al sumarlos se anularán todos excepto los dos menconados, obtenéndose p B p. A Como además las dos columnas deben ser guales renglón a renglón (para eso las hemos escrto), obtenemos entonces: Suma vectoral de la columna zquerda: I F t = Impulso aplcado por la fuerza resultante entre t A y t B A;B sumado sobre todos los t 122
Suma vectoral de la columna derecha: p = Curso l Físca I Autor l Lorenzo Iparragurre p B p A = p = varacón total de p en el ntervalo fnto, dependente sólo de los vectores cantdad de movmento ncal y fnal, absolutamente ndependente de los vectores ntermedos (es decr, ndependente del movmento ntermedo). o hace falta decr que el resultado de sumar la columna derecha, además, es totalmente ndependente de la forma en que se subdvda el ntervalo. Es ndependente de que se lo subdvda nfntesmalmente o no. Lo nfntesmal de la subdvsón sólo es mportante en la columna zquerda, para el cálculo del mpulso aplcado por fuerzas que van varando mentras actúan. Fnalmente la expresón más general posble para Ley del Impulso queda de la sguente manera, con exactamente la msma estructura que enuncamos antes en el texto: I total p OTA Sobre la expresón I A;B F t merecen destacarse las sguentes cosas: La suma es vectoral. Es decr debe plantearse para cada componente, o ben debe realzarse gráfcamente. Muchas veces prescndremos de los subíndces, pero en cada caso hay que prestar atencón al ntervalo del cual se está hablando. La nocón de aplcar mpulso es la nocón de acumular el efecto de aplcar una fuerza proporconalmente al tempo que dura dcha aplcacón. Es una nocón lgada nseparablemente a determnado ntervalo de tempo. Suele escrbrse F (t) para hacer explícto el hecho de que F puede r varando en el tempo, y de este modo suele escrbrse: F(t) t ; expresón en la cual estamos sobreentendendo los subíndces, y que sgnfca absolutamente lo msmo. La notacón matemátcamente correcta para una suma de nfntos térmnos nfntamente pequeños es con el símbolo ntegral en lugar del de sumatora: F(t) t. El símbolo es una S estlzada con la que tambén se IA; B pretende sugerr la dea de sumar. Hay procedmentos específcos para calcular ntegrales, pero nosotros en este curso no los utlzaremos, y consderaremos que conceptualmente este símbolo ndca lo msmo que. Independentemente del procedmento de cálculo que se deba aplcar en determnados casos, ahora sólo debemos dejar en claro que las expresones IA;B F t, o IA; B F(t) t, son símbolos ndcadores de un concepto, de algo I A; B 123
Curso l Físca I Autor l Lorenzo Iparragurre que hay que pensar, y no necesaramente ndca una suma que haya que efectuar realmente en la práctca. A contnuacón presentamos un procedmento práctco, un truco podríamos decr, que permten hallar el resultado de la ntegracón o suma en casos smples sn un esfuerzo demasado grande. Impulso como área de la gráfca F(t) S subdvdmos el ntervalo total en muchísmos ntervalos sufcentemente pequeños, sempre podremos expresar el mpulso total como la suma (vectoral) de todos los mpulsos aplcados en cada uno de los ntervalos pequeños. Claro que no ntentaremos hacer este cálculo efectvamente en la práctca, porque s la cantdad de ntervalos pequeños es muy grande, el procedmento podría resultar tremendamente tedoso, y tal vez hasta mposble. Pero tene valor como dea. Es decr, ahora tenemos el problema de averguar el resultado de esta suma de toda una enorme cantdad de pequeñas contrbucones, pero sn hacerla realmente. Para soluconar este problema presentaremos aquí un procedmento al cual recurrremos en varas ocasones en este curso. Consderemos una gráfca de una componente de F, por ejemplo F x, en funcón del tempo, como la de la fgura A.4.2.2. Dado que la suma vectoral se debe hacer por cada componente, esto que haremos para la componentes x, luego deberá repetrse para las otras componentes que se consderen (en los casos smplfcados de movmento rectlíneo, esto será sufcente) S trazamos líneas vertcales subdvdendo el ntervalo (t 0, t 1 ) en muchos ntervaltos de duracón t sufcentemente pequeña cada uno, el espaco bajo la gráfca, hasta el eje horzontal, queda subdvddo en rectángulos (o trapecos rectangulares) muy angostos, cuya base, o ancho, es t, y cuya altura es el valor de F x allí, en ese el ntervalo. S ahora efectuamos el producto F x t, obtenemos el área de cada rectángulo. Esto sgnfca que la suma de todos los mpulsos aplcados en todos los ntervalos, es lo msmo que la suma de todas las áreas de todos estos delgados rectángulos, y eso es lo msmo que el área total bajo la gráfca. F x () F x F x (t B ) F x (t) F x (t) F x (t A ) I x (en t) t (s) t A t t B t A t B I x (en t) = F x t = área Fg. A4.2.2: Cuando F x varía en el tempo según la gráfca F x(t), el mpulso que aplca (en x) está dado por el área entre la gráfca y el eje de abscsa en el ntervalo que sea. Las undades de esta área serán las del eje de ordenadas por las del eje de abscsas, es decr, s. t t otar que área debería estar entre comllas porque no es la verdadera área geométrca de la fgura, sno que se calcula con las escalas de cada eje, con dmensones de tempo en el eje de abscsas, y de fuerza en el de ordenadas: este área resulta con dmensones s, ya que es un mpulso. 124
Curso l Físca I Autor l Lorenzo Iparragurre Fuerza meda S dvdmos el mpulso total del ntervalo (es decr el área) por t, obtenemos la altura de un rectángulo que tendría la msma área, o sea obtenemos el valor de la fuerza meda, que es la que sendo constante aplcaría el msmo mpulso (en el msmo tempo): I x(ent) F m,x = t O tambén (puesto que vale para cualquer eje): vector fuerza meda = I (ent) t 125