Ejercicios de ls Cónics
Ejemplo 1 Ejemplo Otener l ecución crtesin generl de l circunferenci que coincide con el punto (, 3) cuo centro coincide con el origen. Prtiendo de l ecución ordinri ( - h) + ( - k) = r Donde: =, = 3, h = 0, k = 0 Sustituendo: ( - 0) + (3-0) = r Desrrollndo. 16 + 9 = r Volviendo sustituir. + = 5 r = 5 Ecución crtesin generl. Otener l ecución crtesin generl de l circunferenci que coincide con el punto (-1, 5) cuo centro es (5, -). Prtiendo de l ecución ordinri ( - h) + ( - k) = r Donde: = -1, = 5, h = 5, k = - Sustituendo: (-1-5) + (5 - (-)) = r Desrrollndo. (-1-5) + (5 +) = r r = 85 r = 9. Volviendo sustituir. ( - 5) + ( + ) = 85-5 + 5 + + + = 85 Ecución crtesin generl - 10 + + - 56 = 0 de l circunferenci ecución ordinri
Ejemplo 3 Ejemplo Otener l ecución crtesin generl de l circunferenci pr l cul uno de sus diámetros es el segmento que une los puntos (5, -1) (-3, 7). Dd l ecución crtesin generl de l circunferenci, otener l ecución ordinri, ls coordends del centro su rdio. El centro de l circunferenci estrá en el punto medio del segmento que une los dos puntos, por lo tnto ls coordends del centro serin. 1 + m = = 5-3 ; 1 + m = = - 1 + 7 = 3 + - + - = 0 Agrupndo términos completndo cudrdos: - + + - = 0 - + 1-1 + + + - - = 0 C (h, k) = C (1, 3) Pr otener el rdio se utiliz: ( - h) + ( - k) = r ( - 1) + ( + ) = 9 C (1, -) r = 9 = 3 Sustituendo ls coordends de culquier de los dos puntos ls del centro de l circunferenci: (5-1) + (-1-3) = r Desrrollndo. () + (- ) = r r = 3 r = 3 6 = Otención de l ecución crtesin generl. ( - 1) + ( - 3) = 3 - + 1 + - 6 + 9 = 3 - + - 6 - = 0 sustituendo. Ecución crtesin generl de l circunferenci
Ejemplo 5 Otener l ecución crtesin generl de l elipse con centro en C (, -3), cuo semieje mor es 5 semieje menor es. Prtiendo de l ecución ordinri de l elipse: Sustituendo: ( - ) + ( + 3) 5 Desrrollndo. ( - ) + ( + 3) 5 16 16( - ) + 5( + 3) = 00 16-6 + 6 + 5 + 150 + 5 = 00 16-6 + 5 + 150 = - 6-5 + 00 16-6 + 5 + 150 11 16 + 5-6 + 150 11 ( - h) + ( - k) Como > represent un elipse horizontl. 16( - ) + 5( + 3) 00 16( + ) + 5( + 6 + 9) = 00 Ejemplo 6 Otener los puntos de intersección entre l elipse l rect, cus ecuciones se muestrn continución: + 5-15 - 0 = 0 ; - 3 + 5 = 0 De l ecución de l rect, despejmos pr sustituir en l ecución crtesin generl de l elipse otener ls coordends en de los puntos. = + 5 3 Sustituendo en le ecución crtesin generl. + 5 + 5 + 5-15 - 0 = 0 3 3 + 5 15 ( + 5) - ( + 5) - 0 = 0 9 3 5 + (16 + 0 + 5) - 15 ( + 5) - 0 = 0 9 3 + 8.89 +. + 13.89-0 - 5-0 = 0 1.89 +. - 13.11 = 0 Sustituendo en: = -. ± (.) - (1.89)(-31.11) (1.89) = 1, -. ± 0.11 5.78 = 1.7 Sustituendo en l rect: -1.6 = (1.7) + 5 1 3 = (-1.6) + 5 3 3.63 = = -0.5
Ejemplo 7 Dd l siguiente ecución crtesin generl, determinr si se trt de un elipse, en cuo cso, otener l ecución ordinri, su centro sus semiejes mor menor. Prtiendo de: + - 6 + 16 + 1 = 0 I = B - AC = 0 - (1)() = - 16 < 0 Por lo que l ecución represent un tipo de elipse (un punto o ningún lugr geométrico). Ordenndo completndo cudrdos: - 6 + + 16 + 1 = 0 ; - 6 + 9-9 + ( + + - ) + 1 = 0-6 + 9 + ( + + ) - 9-16 + 1 = 0 ( - 3) + ( + ) - = 0 Dividiendo entre. ( - 3) + ( + ) = ( - 3) + ( + ) 1 ( - 3) + ( + ) 1-6 + ( + ) + 1 = 0 ; ( - 3) + ( + ) = ; Desrrollndo. ( - 3) + ( + ) - = 0 Ejemplo 8 Otener l ecución de l elipse de centro (, -1), uno de los focos tiene por coordends F (1.-1) ps por el punto (8, 0). 1 Prtiendo de l figur. cálculo de F. Como F 1, C F están sore el eje mor es horizontl. F 1 C = - 1 = 3 ; C F = + 3 = 7 F 1 (7, -1) ; Cálculo de L L L 1 = (8-1) + (0 + 1) = 7.07 L = (8-7) + (0 + 1).1 Definición: L sum de ls distncis de culesquier de sus puntos geométricos dos puntos fijo F1 F (focos) es constnte. F1 P + P F = 7.07 + 1.,1 = 8.8 F1 F = 7-1 = 6 8.8-6 F V =. = C V = 3 + 1. =. Semieje mor. Sustituendo en ecución ordinri. (8 - ) (0 + 1) +. = 3.01 Volviendo sustituir: ( - ) ( + 1) +. 3.01 ; 16 + 1 17.98
Ejemplo 9 Demostrr que l ecución crtesin generl - 0 - + 97 = 0 represent un práol otener ls coordends del vértice. I = - c = 0 - ()(0) = 0 ( - 5) = - 97 ( - 5) = 6-97 - 5 + 5-5 = 6-97 - 5 + 5 = 6-97 + 5 Por lo que represent un práol prlel l eje. Dividiendo entre. ( - 5 ) = 6-7 ( - 5 ) = 6-18 ( - 5 ) = 3 ( - 3) Ejemplo 10 Otener l ecución crtesin generl de l práol de vértice (, 3) eje prlelo l eje coordendo Y, que pse por el punto (,5). Prtiendo de l ecución ordinri de l práol prlel l eje Y. ( - h) = p ( - k) Sustituendo despejndo p. ( - ) = p (5-3) () = p () 1 = 8p p = Sustituendo. ( - ) = 1 ( - 3) - + = ( - 3) - + = - 6 - + - + 6 = 0 - - + 10 = 0
Ejemplo 11 Otener l ecución crtesin generl de l práol de vértice (3, -1), foco (3,-) que pse por el punto (9, -). Prtiendo de l uicción de ls coordends del vértice, foco punto, se determin que l práol es prlel l eje Y re hci jo, por lo tnto l ecución ordinri es:. Sustituendo de nuev cuent. ( - 3) = (-3) ( + 1) - 6 + 9 = -1-1 - 6 + 1 + 1 = 0 ( - h) = p ( - k) Sustituendo. (9-3) = p (- + 1) 36= -1p P = - 36 = -3 1
Ejemplo 1 Dd l ecución generl 9-16 - 18-6 - 199 = 0, determinr si represent un hipérol, en su cso, otener su ecución ordinri, sus coordends del centro, focos, ls ecuciones de sus síntots. f1-5 = ; f + 5 = 6 Otención de ls síntots. Por lo que represent un I = - c = 0 - (9)(-16) = 576 > 0 hipérol. + k = ( - h) + k = - ( - h) Ordenndo. 9-18 - 16-6 - 199 = 0 9( - ) - 16( + ) - 199 = 0 Completndo cudrdos. 9( - + 1-1) - 16( + + - ) - 199 = 0 + = 3 ( - 1) + = - 3 ( - 1) -3 + = - 11 3 + = - 5 Ordenndo. 9( - + 1) - 16( + + ) - 9 + 6-199 = 0 Producto notle. 9( - 1) - 16( + ) - 1 = 0 Dividiendo 9( - 1) - 16( + ) entre 1. 9( - 1) - 16( + ) 1 1 1 ( - 1) - ( + ) 16 9 ( - 1) - ( + ) 3 c(1, -) ; V1 - = -3 ; V + = 5 ; C 6 + 9 = 5
Ejemplo 1 Determine ls ecuciones en form ordinri generl de l hipérol que tiene uno de sus vértices en V (-, -), centro en C (-, -1) uno de sus focos en (-, -6). 16( + 1) - 9( + ) (9) (16) 16( + 1) - 9( + ) 16( + +1) - 9( + + ) 16 + 3 +16-9 - 36-36 16 + 3-9 - 36-0 16 + 3-9 - 36 6 De l figur se oserv que los tres puntos son colineles formndo un eje prlelo l eje Y, por lo tnto, l ecución ordinri es: Sustituendo en ecución ( - h) - ( - k) Sustituendo en: ordinri: C = + ( + 1) - ( + ) De l figur: 5 = 3 + 3 = -1 - ( -) = 3 C = -1 - (- 6) = 5 Despejndo. = Desrrollndo. ( + 1) - ( + ) 9 16
Hipérol conjugd.- Tienen ls misms síntots el eje trnsverso de cd un es idéntico l eje conjugdo de l otr Hipérols equiláter o rectngulr.- Sus ejes conjugdo trnsverso son de igul longitud. = Hipérol ordinri. Ejemplo 13 - - Hipérol ordinri conjugd. - - ( - h) - ( - k) = Ejemplo 1 ( - 3) - ( - ) = 9 9-16 1 16-9 9-16 3 16-9 1 3 ( - k) - ( - h) = Ejemplo 15 ( - ) - ( - 3) = 9 Ejemplo 16