Funciones ortogonales y series de Fourier

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1 Funciones ortogonles y series de Fourier Ls series e integrles de Fourier constituyen un tem clásico del Análisis Mtemático. Desde su prición en el siglo XVIII en el estudio de ls vibrciones de un cuerd, ls series de Fourier se hn convertido en un instrumento indispensble en el nálisis de ciertos fenómenos periódicos de l Físic y l Ingenierí. L ide fundmentl se bs en proximr l función, no por un serie de potencis (desrrollo de Tylor), sino por un serie de funciones periódics (senos y cosenos). En lo que sigue considerremos que ls funciones con ls que se trbj son Riemnn integrbles en el intervlo correspondiente (bstrí, por ejemplo, suponer que son continus slvo en un número finito de puntos donde presentn discontinuiddes de slto).

2 .. FUNCIONES ORTOGONALES.. Funciones ortogonles Definición... El producto esclr de dos funciones f y f definids en un intervlo [, b] es el número f, f = f (x)f (x) dx Entonces l norm que induce este producto esclr de un función f definid en el intervlo [, b] es el número f = ( f (x) dx ) Definición... Dos funciones f y f son ortogonles en el intervlo [, b] si f, f = f (x)f (x) dx = Por ejemplo, ls funciones f (x) = x y f (x) = x 3 son ortogonles en el intervlo [, ] puesto que f, f = x x 3 dx = x 5 dx = [ 6 x6] = Definición..3. Se dice que un conjunto de funciones {ϕ n } n= es ortogonl en el intervlo [, b] si ϕ m, ϕ n = ϕ m (x)ϕ n (x) dx =, m n Si {ϕ n } n= es un conjunto ortogonl de funciones en el intervlo [, b] con l propiedd de que ϕ n = pr culquier n, entonces se dice que {ϕ n } n= es un conjunto ortonorml en el intervlo [, b].

3 .. FUNCIONES ORTOGONALES 3 Ejemplo..4. El conjunto {ϕ n (x) = cos(nx)} n= es ortogonl en el intervlo [ π, π]. En efecto, ϕ, ϕ n = π π Si m y n son mbos distintos de, cos(nx) dx = [ n sen(nx)] π π =, n ϕ m, ϕ n = π π = cos(mx) cos(nx) dx = [sen((m + n)x) m + n + π π sen((m n)x) m n ( cos((m + n)x) + cos((m n)x) ) dx = ] π π =, m n En este ejemplo, si clculmos ls norms de cd función, obtenemos: y pr n >, ϕ = ( π π dx ) = π ϕ n = ( π π cos (nx) dx ) = ( π π [ + cos(nx)] dx ) = π De est form el conjunto {, cos(x), cos(x),..., } es ortonorml en [ π, π]. π π π

4 .. FUNCIONES ORTOGONALES 4 Not..5. De mner nálog puede probrse que el conjunto {, cos(x), cos(x),..., sen(x), sen(x),..., } π π π π π es ortonorml en [ π, π]. Es conocido que, dd un bse ortogonl en un espcio vectoril de dimensión finit, culquier elemento de dicho espcio vectoril puede representrse como combinción linel de los elementos de es bse. Nuestro objetivo es extender est propiedd un espcio de dimensión infinit. Se {ϕ n } n= un conjunto ortogonl de funciones en el intervlo [, b] y se f un función definid en ese intervlo. Los coeficientes c m, m =,,,..., pr los que f(x) = c ϕ (x) + c ϕ (x) + + c n ϕ n (x) +... se clculn multiplicndo est expresión por ϕ m e integrndo en el intervlo [, b] f(x)ϕ m (x) dx = c ϕ (x)ϕ m (x) dx+c ϕ (x)ϕ m (x) dx+ +c n ϕ n (x)ϕ m (x) dx+... Por ortogonlidd, cd término del ldo derecho de l últim ecución es cero, excepto cundo n = m. En este cso, se tiene Por tnto, f(x)ϕ n (x) dx = c n ϕ n (x)ϕ n (x) dx = c n ϕ n(x) dx f(x) = c n ϕ n (x) n= donde los coeficientes c n vienen ddos por esto es, c n = f(s)ϕ n(s) ds ϕ n(s) ds = f, ϕ n ϕ n f(x) = n= f, ϕ n ϕ n ϕ n Este desrrollo se llm desrrollo en serie ortogonl Fourier generlizd). de f (o tmbién, serie de Not..6. El procedimiento nterior es forml, es decir, no se h nlizdo si el desrrollo en serie nterior es convergente.

5 .. SERIES DE FOURIER 5 El conjunto.. Series de Fourier {, cos( π p x), cos(π p x),..., sen(π p x), sen(π p x),...,} es ortogonl en [, p]. Se f un función que dmite un desrrollo en serie del conjunto nterior, es decir: f(x) = + ( n cos( nπ p x) + b n sen( nπ p x)) n= donde los coeficientes,,,..., b, b,... se determinn del modo que se comentó nteriormente, excepto en el cso de en el que, por convenienci en l notción, se escribe. Entonces n = p b n = p = p f(s) cos( nπ p f(s) sen( nπ p f(s) ds s) ds, n =,,... s) ds, n =,,... L serie + ( n cos( nπ p x) + b n sen( nπ p x)) n= se llm serie de Fourier de f, y los números reles n y b n, coeficientes de Fourier. Not... Est serie no converge pr culquier f. Hbrá que imponer condiciones que grnticen l convergenci de l serie de Fourier de un función dd.

6 .. SERIES DE FOURIER 6 Ejemplo... En este ejemplo se clcul l serie de Fourier de l función, si π < x < π f(x) =, si π x < π De cuerdo con l definición de los coeficientes de Fourier: b n = π π π n = π π π = π π π cos(ns) ds = sen( nπ ) nπ sen(ns) ds = cos(nπ) nπ Por tnto l serie de Fourier es + cos( nπ ) nπ ds = 3 { ( ) n =, si n es impr nπ, si n es pr = {, nπ nπ ( + ( ) n ), si n es impr si n es pr π (cos(x) + sen(x) sen(x) 3 cos(3x) + 3 sen(3x) +... )

7 .3. DESARROLLOS DE SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES PARES E IMPARES 7.3. Desrrollos de series de Fourier de funciones pres e impres Recordemos que un función es pr si verific f( x) = f(x) pr culquier x, y es impr si f( x) = f(x). En un intervlo simétrico como (, p) l gráfic de un función pr posee simetrí respecto l eje y, mientrs que l gráfic de un función impr posee simetrí con respecto l origen. Ests funciones verificn ls siguientes propieddes: El producto de dos funciones pres es pr. El producto de dos funciones impres es pr. El producto de un función pr y un impr es impr. L sum o l diferenci de dos funciones pres es pr. L sum o l diferenci de dos funciones impres es impr. Si f es pr, entonces Si f es impr, entonces f(x) dx = f(x) dx =. f(x) dx. Grcis ests propieddes el cálculo de los coeficientes de un serie de Fourier se simplific de mner importnte cundo f es un función pr o impr. Si f es un función pr en (, p), entonces los coeficientes de l serie de Fourier se convierten en: pues f(x) es pr. = p n = f(s) cos( nπ p p s) ds = p pues f(x) cos( nπ x) es pr. p b n = p pues f(x) sen( nπ x) es impr. p f(s) ds = p f(s) sen( nπ p f(s) cos( nπ p f(s) ds s) ds =, n =,,... s) ds, n =,,... De est form l serie de Fourier de un función pr en (, p) será + n cos( nπ p x) n= con los coeficientes clculdos nteriormente.

8 .3. DESARROLLOS DE SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES PARES E IMPARES 8 Ejemplo.3.. L función f(x) = x es pr en el intervlo (, ) y por tnto su desrrollo de Fourier será en serie de cosenos. De cuerdo con l definición de los coeficientes de Fourier: = s ds = 8 3 n = s cos( nπ 6( )n s) ds =, n =,,... n π b n =, n =,,... Entonces l serie de Fourier es π ( ) n cos( nπ n x) n= De mner similr, cundo f es impr en el intervlo (, p), y l serie de Fourier es b n = p n =, n =,,,... f(s) sen( nπ p b n sen( nπ p x) n= s) ds, n =,,... Ejemplo.3.. L función f(x) = x es impr en el intervlo (, ) y por tnto su desrrollo de Fourier será en serie de senos. De cuerdo con l definición de los coeficientes de Fourier: b n = n =, n =,,,... s sen( nπ Entonces l serie de Fourier es 4( )n+ s) ds =, n =,,... nπ 4 π ( ) n+ sen( nπ n x) n=

9 .3. DESARROLLOS DE SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES PARES E IMPARES Figur. Simetrí pr pr f(x) = x en x (, ) Figur. Simetrí impr pr f(x) = x en x (, ) Not.3.3. (Desrrollos en semi-intervlos) En todo lo nterior hemos considerdo intervlos centrdos en el origen, es decir, de l form (, p). Sin embrgo, en ocsiones será interesnte representr un función que se define sólo pr el intervlo (, p) medinte un serie trigonométric. Esto puede hcerse de muchs forms distints, suministrndo un definición fictici de l función en el intervlo (, ). Por brevedd se presentn los tres csos más comunes. Así, si y = f(x) está definid en el intervlo (, p), podemos. (Reflexión pr) reflejr l gráfic de l función respecto l eje y, es decir, f(x) = f( x) pr x (, ) (l función es hor pr en el intervlo (, p), y por tnto se tendrá un desrrollo en serie de cosenos).. (Reflexión impr) reflejr l gráfic de l función respecto l origen, es decir, f(x) = f( x) pr x (, ) (l función es hor impr en el intervlo (, p), y por tnto se tendrá un desrrollo en serie de senos). 3. (Trslción) definir l función medinte f(x) = f(x + p) pr x (, ), lo que drá origen un serie de Fourier generl.

10 .4. CONVERGENCIA Figur 3. Trslción pr f(x) = x en x (, ).4. Convergenci El siguiente teorem expres ls condiciones suficientes de convergenci de un serie de Fourier en un punto. Teorem.4.. Sen f y f continus trozos en el intervlo (, p), es decir, continus excepto en un numero finito de puntos donde presentn discontinuiddes de tipo finito. Entonces l serie de Fourier de f en el intervlo converge f(x) en los puntos x en los que l función es continu. En los puntos x en los que l función es discontinu l serie de Fourier converge l promedio: f(x + ) + f(x ) donde f(x + ) y f(x ) denotn los límites de f en x por l derech y por l izquierd, respectivmente. Si l función es periódic de periodo p el resultdo nterior se tiene pr culquier x R, no sólo pr el intervlo (, p).

11 .5. TRANSFORMADA DE FOURIER.5. Trnsformd de Fourier Hst el momento se h utilizdo el sistem ortogonl formdo por ls funciones reles sen( nπx) y cos( nπ x). Se puede considerr un sistem ortogonl de funciones con vlores p p complejos. El producto interior que se consider en este cso es: f, f C = f (x)f (x) dx El conjunto de funciones {e j nπ p x } constituyen un sistem ortogonl con respecto l producto esclr nterior, teniendo en cuent que pr cd t R, cos(t) = ejt + e jt y sen(t) = ejt e jt, como consecuenci de l relción de Euler e jt = cos(t) + j sen(t). j L serie n= c n e j nπ p x se llm serie de Fourier complej de f, donde los coeficientes son: c n = nπ j f(s)e p s ds p L serie de Fourier complej de un función y l serie de Fourier de un función son en relidd l mism. es decir, dos mners distints de escribir lo mismo. De l definición de c n, n y b n se tiene que, pr cd número n > y c n = n jb n, c n = n + jb n c = Ls series de Fourier representn funciones definids en un intervlo de l rect o, equivlentemente, funciones periódics en l rect. Pr representr funciones definids en tod l rect y no periódics, se sustituye por l trnsformd de Fourier. Ahor es conveniente trbjr en form complej, como hemos indicdo que se puede hcer pr ls series. Formlmente se puede deducir un expresión de l trnsformd de Fourier prtir de l serie. Supongmos que f es un función periódic de periodo p, entonces su serie de Fourier en form complej es Llmndo ω n = nπ p l expresión nterior se escribe: y n= ( p h(ω) = nπ j f(s)e p s ds)e j nπ p x f(s)e jωs ds

12 .5. TRANSFORMADA DE FOURIER π n= (ω n ω n )h(ω n )e jωx que tiene el specto de un sum de Riemnn. En el límite tendrímos ( f(s)e jωs ds)e jωx dω π que contiene lo que se llm trnsformd de Fourier = = F(f)(ω) = f(s) cos( ωs) ds + j f(s) cos(ωs) ds j f(s)e jωs ds = f(s) sen( ωs) ds = f(s) sen(ωs) ds y l fórmul de inversión que drá f prtir de l trnsformd: f(x) = F(f)(ω)e jωx dω = π = F(f)(ω) cos(ωx) dω + j F(f)(ω) sen(ωx) dω π π Not.5.. L definición vrí según los gustos en l prición de cierts constntes, por ejemplo el exponente puede ser jxπξ; en ese cso, l fórmul de inversión no llev el fctor /π multiplicndo. Además, el exponente csi siempre llev signo, pero lgunos utores usn signo +(en este cso, el signo prece en l fórmul de inversión). Not.5.. Un condición suficiente pr que exist l trnsformd de Fourier es que f se bsolutmente integrble en (, ) y que f y f sen continus en todo intervlo finito. Como consecuenci de l linelidd de l integrl, se tiene que F(αf + βg)(ω) = αf(f)(ω) + βf(f)(ω) Además, bjo condiciones suficientes de regulridd se obtiene que F(f (n )(ω) = (jω) n F(f)(ω) Otrs propieddes interesntes son:

13 .5. TRANSFORMADA DE FOURIER 3 Amplitud Amplitud / / t t Figur 4. Pulso rectngulr y su trnsformd Escldo: L trnsformd de Fourier de f(t), > es F(f)( ω ). Desplzmiento: L trnsformd de Fourier de f(t t ) es e jωt F(f)(ω). L trnsformd de Fourier de e jω t f(t) es F(f)(ω ω ). L trnsformd de Fourier de f(t) cos(ω t) es F(f)(ω ω )+F(f)(ω +ω). Convolución: L trnsformd de Fourier de f(t)g(t) es F(f)(ω)F(g)(ω u))du L trnsformd del producto de convolución f(s)g(t s)ds es F(f)(ω)F(g)(ω) Ejemplo.5.3. Se f el pulso rectngulr ddo por l función crcterístic del intervlo [, ], es decir, entonces f(x) = {, si x, en otro cso F(f)(ω) = F(f)(ω) = f(s)e jωs ds = e jωs ds =

14 .5. TRANSFORMADA DE FOURIER 4 Amplitud Amplitud.5.5 t.5.5 t Figur 5. L función g(x) = e π x y su trnsformd = cos(ωs) ds j sen(ωs) ds = = ω (sen(ω ) sen( ω )) j ω ( cos(ω ) + cos( ω )) = = ω sen(ω ) L función del segundo miembro se suele llmr seno crdinl y se represent por sinc. Ejemplo.5.4. L trnsformd de g(x) = e π x es l función F(g)(ω) = 4π 4π + ω

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