Weibull_fit.xla: Programa para el Ajuste Óptimo de la Función de Densidad de Probabilidad Weibull de Tres Parámetros

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1 Iformaó Teológa Webull_ft.xla: Vol. (), 9-99 Programa (00) para el Auste Óptmo de la Fuó de Desdad do:0.6/f.teol.434t.08 Webull_ft.xla: Programa para el Auste Óptmo de la Fuó de Desdad de Probabldad Webull de Tres Parámetros Osar S. y Darío M. Aedo Uversdad de Tala, Faultad de Ceas Forestales, Departameto de Produó Forestal, Norte 685, Tala-Chle (e-mal ovalleo@utala.l) Resume E este trabao se da a ooer el programa de domo públo deomado Webull_ft.xla que ampló la propuesta orgal de los autores. La ueva propuesta osdera omo fuó obetvo, además de la prueba de Kolmogorov-Smrov, las restates pruebas de bodad de auste y el íde de error. Se troduo esta modfaó por la orporaó del íde de error que trabaa o lases damétras y porque matemátamete es posble obteer resultados egatvos del parámetro de loalzaó. Como eemplo se modelaro los dámetros de árboles de ua parela de Pus radata (D. Do) o el método de los mometos, osderado ada dador de error. Se oluye que el programa Webull_ft.xla es ua herrameta omputaoal que permte estmar los parámetros de las fuó Webull 3P que mmza los estadígrafos de las pruebas de bodad de auste o del íde de error. Palabras lave: Webull_ft.xla, auste óptmo, fuó desdad, Webull 3P, dámetro de árboles Webull_ft.xla: Software for Optmum Adustmet of the Probablty Desty Futo Webull 3P Abstrat The probablty desty futo Webull 3P s broadly used the lterature to represet otuous data. Most of the software that adusts ths dstrbuto utlzes a spef parameter estmato method that alulates values for oly two parameters, assumg the value for the thrd oe. O the other had, the geerated publ doma program alulates the three parameters that mmze the hose error dator (sx total) for the seleted parameter estmato method (four total). The potetal error dators to be used are assoated wth the statst sores of fve goodess-of-ft ad the dex of error. As a example the tree dameters data of a Pus radata (D. Do) plot was modeled by the momet method, osderg eah of the error dators. I eah adustmet was verfed that the mmum error was reahed for the alulated parameters. Keywords: Webull_ft.xla, optmum fttg, desty futo, Webull 3P, tree dameter Iformaó Teológa Vol. - Nº

2 Webull_ft.xla: Programa para el Auste Óptmo de la Fuó de Desdad INTRODUCCIÓN La fuó de desdad de probabldad (fdp) Webull () fue propuesta almete por Fsher y Tppet e el año 98. Esta fuó adoptó el apelldo del físo sueo Walodd Webull, que la dfudó a partr del año 939 e estudos de resstea de materales (Johso et al., 994), sedo amplamete usada e dsttas áreas del oometo para modelar datos otuos. Su ampla utlzaó rada e la represetaó de dversas formas, de este modo s el parámetro de forma es meor que uo la forma será dereete, s es uo la forma será expoeal, s es dos la forma será Raylegh, s es tres oma ses la forma será ormal y s es mayor que tres oma ses la forma será ormal pero o asmetría egatva (Nord-Larse y Cao, 006). Además posee tegral defda () permtedo el álulo ofable de probabldades (Borders et al., 987). Falmete, Lu et al. (004) y Mehtätalo (004) resalta la relatva faldad para estmar sus parámetros. x a f(x) = * b b x a * exp b () x a F(x) = exp () b Dode a, b y so los parámetros de loalzaó, esala y forma respetvamete y x es ua varable otua. E el setor forestal los preursores de la utlzaó de esta fdp fuero Baley y Dell e el año 973. Su uso e este setor se ha oetrado e modelar la estrutura de los rodales, pudedo ooer la freuea relatva y aumulada de los dversos tamaños de los árboles (Proda et al., 997). El tamaño de los árboles, es der la varable x otua de la fuó, orrespode mayortaramete al dámetro a la altura del peho (DAP) de los árboles meddos e ada udad muestral. Dversos autores ha omprobado que la fdp Webull araterza de maera ofable los rodales osderados e sus vestgaoes (Jag y Brooks, 009; Bredebah et al., 008; Castedo- Dorado et al., 007; Palah et al., 007;, 003) S be es erto que ooer los parámetros de la fdp e u mometo dado es mportate, aú más relevate es poder proyetar el tamaño de los árboles e el tempo (Proda et al., 997). Ua de las téas usadas es el método de predó de parámetros, el ual osste e relaoar los parámetros de la fdp o varables que araterza el rodal. Dversos autores ha utlzado este método o la fdp Webull araterzado de maera ofable los rodales osderados e sus vestgaoes (Nord-Larse y Cao, 006 y Palah et al., 006) Para estmar los parámetros de esta fdp se ha desrto dversos métodos de estmaó, alguos de ellos tee larga data de publaó, ya que so proedmetos matemátos valdados hae muho tempo. Se puede meoar etre otros (Tabla ): el método híbrdo desrto por Cao (004), el método de máxma verosmltud desrto por Johso et al. (994), el método de los mometos desrto por Cao (004) y el método de los peretles desrto por Solforo (998). E los métodos de estmaó de la Tabla es eesaro asumr u valor para el parámetro de loalzaó. Este parámetro ha sdo osderado omo u poretae del DAP mímo; freuetemete se ha utlzado el valor 0.50 (Frazer, 98, tado por Cao, 004; Hawks et al., 988 y Lu et al., 004). Otros poretaes empleados ha sdo: 0.00, 0.33, 0.66 y.00 (Lu et al., 004). Nepal y Somers (99) asume que el parámetro de loalzaó es el límte feror de la prmera lase damétra. Falmete se ha propuesto que este parámetro se obtega restado ua ostate al DAP mímo, uyos valores ha sdo: 0.5;.0,.5 y.0 m (Zhag et al., 003). 9 Iformaó Teológa Vol. - Nº - 00

3 Webull_ft.xla: Programa para el Auste Óptmo de la Fuó de Desdad Tabla : Métodos de estmaó de parámetros de la fdp Webull 3P Método y autor Híbrdo (Cao, 004) Máxma verosmltud (Johso et al. 994) Mometos (Cao, 004) Peretles Solforo (998) Expresó x93 a b = ( l( 0, 93)) a x q /C b = b' ; b' / (x93 a)*γ + *a* ( l( 0, 93)) = (x a) (x a) * l(x a) = (x a) ( )* b = x q = ( x a) Γ = * (x a) b *a*x b + a *Γ b = exp xx xx *y ( y * xx xx * = 0 ) xx / (x93 a) *Γ + ( l( 0, 93)) (x a) (x a) y / = 0 Dode x es la varable otua e estudo, es la atdad total de observaoes, x es la observaó -ésma de la varable x, x q es la meda uadráta de la varable x, x es la meda artméta de la varable x, Γ es la fuó gamma de Γ ( + /), x 93 es el valor de la varable x al peretl 93, xx es l(-l(- / 0)) e y es l(x ), sedo = 0, 0,., 80, 90 peretles. (003), defó u método uméro que estma luso el parámetro de loalzaó, evtado el uso de u supuesto que lmtaba las apadades de auste de la fuó. et al. (004) da que medate u proeso teratvo de búsqueda bara usado el algortmo Newto- Raphso, se alula los tres parámetros (4), depededo del método de estmaó seleoado (Tabla ), que mmza el estadísto D de la prueba de bodad de auste de Kolmogorov-Smrov (3). També, Che (006) utlzó este algortmo para el auste de la fdp Logormal de tres parámetros. Iformaó Teológa Vol. - Nº

4 Webull_ft.xla: Programa para el Auste Óptmo de la Fuó de Desdad - Fuó obetvo: Mmzar D = máx. máx. F(DAP ) ;máx. F(DAP ) (3) Sueto a: 0 a DAP mímo (4) b > 0 > 0 Dode varía etre a (otador desde el meor al mayor valor del DAP) y F DAP ) defdo e la euaó. ( que ya fue La presete publaó da a ooer el programa de domo públo deomado Webull_ft.xla que ampló la propuesta orgal de (003) y et al. (004), ya que osdera omo fuó obetvo (Tabla ), además de la prueba de Kolmogorov-Smrov las restates pruebas de bodad de auste (Aderso-Darlg, Kuper, Cramer-Vo Mses y Watso) y el íde de error (Reyolds et al. 988). Además se modfó la restró asoada al parámetro de loalzaó, ya que este podrá ser meor o gual que el límte feror de la prmera lase damétra. Se troduo esta modfaó por la orporaó del íde de error que trabaa o lases damétras y porque matemátamete es posble obteer resultados egatvos del parámetro de loalzaó. Tabla : Desrpó de la fuó obetvo Fuó obetvo Pruebas de Kolmogorovbodad de Smrov auste Íde de error Dode (DAP) Aderso-Darlg Kuper Cramer-Vo Mses Expresó D = máx. máx. A = V = máx. W - F( DAP ) ;máx. F( DAP ) (* ) * l( F( DAP )) + ( * + *) * l( F( DAP )) F( DAP ) + máx. F( DAP ) * = F( DAP ) + * Watso U = W * ( F( DAP) 0,5) IE = k = ˆ F es el promedo de los F ( DAP ), y * - ˆ so el úmero de elemetos meddos y estmados respetvamete e la lase y k es el total de lases (omo la formaó otua puede ser muy extesa, la varable DAP se dsretza geerado lases damétras de ampltud predefda) MÉTODOLOGIA Webull_ft.xla fue programado e Mrosoft Vsual Bas 6.3, que ua vez stalado se preseta omo u meú desplegable e Mrosoft Exel (Fgura ). El programa puede soltarse gratutamete lleado el formularo de otato dspoble e: E la Fgura se preseta la seuea de programaó de Webull_ft.xla, que etra e eeuó al seleoar el módulo Calulo (Fgura ). 94 Iformaó Teológa Vol. - Nº - 00

5 Webull_ft.xla: Programa para el Auste Óptmo de la Fuó de Desdad Fg. : Meú desplegable del programa Webull_ft.xla Fg. : Dagrama de fluo de la programaó de Webull_ft.xla E prmer lugar se debe dar la ubaó de la muestra aleatora de datos e estudo. E segudo lugar se formula el problema, para esto se seleoa ua fuó obetvo, espefado qué prueba Iformaó Teológa Vol. - Nº

6 Webull_ft.xla: Programa para el Auste Óptmo de la Fuó de Desdad de bodad de auste o íde de error se utlzará (Tabla ) y se defe las restroes asoadas al método esogdo para la estmaó de parámetros (Tabla ). E terer lugar, el programa teratúa o Solver.xla que lleva a abo la mmzaó medate el algortmo de Newto Raphso. Ua vez que se logra u mímo de la fuó obetvo, se preseta los resultados e forma tabular y se desplega u formularo que preseta las opoes del usuaro (Fgura 3). Es posble observar o mprmr la formaó tabular o gráfa, modfar la formulaó del problema, ambado la fuó obetvo o las restroes, proesar otra parela o be salr del programa. Fg. 3: Opoes posterores a la mmzaó. Como eemplo se hzo la mmzaó de todas las pruebas de bodad de auste y del íde de error osderado el método de los mometos para estmar los parámetros. Los datos provee de la parela desrta e la pága 98 de Proda et al. (997) que orrespode a ua parela de Pus radata (D. Do) de 400 m o 4 árboles de 0 años de edad. RESULTADOS Y DISCUSION Se debe dar la ubaó de los datos de la parela (Fgura 4). Estos debe estar dspuestos e ua oluma. Fg. 4: Defó de los datos de la parela. Para formular el problema se debe esoger la fuó obetvo y las restroes (Fgura 5). Cuado la fuó obetvo orrespode a la mmzaó del íde de error, además se soltará la ampltud de las lases damétras, dode se puede esoger desde a 0 m. De gual modo, sí el método de los peretles es esogdo, se tedrá que dar el valor de éstos, pudedo esoger etre y 00. Los trabaos de Dubey (967) y Baley y Dell (973) osderaro dos peretles. Solforo (998) aumetó a ueve el máxmo de peretles posbles de ser defdos pero, Webull_ft.xla permte ua ompleta lbertad e la defó de ellos. Los resultados se preseta e forma tabular (Fgura 6), dode se da la fuó obetvo, las restroes (métodos de estmaó de parámetros), los parámetros de la fdp Webull 3P, los estadígrafos de ada prueba de bodad de auste y el valor poretual del íde de error, el ual se obtee al dvdr el íde de error (Tabla ) por la atdad de elemetos meddos (). Además, se preseta dos resultados dode se asume el parámetro de loalzaó gual a ero o gual a la mtad del dámetro mímo (a = 0 y a = DAP mímo/). Estos valores se luyero ya que so los más reomedados e la lteratura y srve para estableer ua omparaó o los resultados mmzados. 96 Iformaó Teológa Vol. - Nº - 00

7 Webull_ft.xla: Programa para el Auste Óptmo de la Fuó de Desdad Fg. 5: Formulaó del problema. Fg. 6: Resultado tabular del eemplo. Segú la oveea del usuaro es posble obteer el resultado de u auste e partular hasta las 3 posbldades que etrega el programa [4 métodos de estmaó de parámetros * (6 dadores de error ha mmzar) + alteratvas que asume u valor para el parámetro de loalzaó)]. Se observa que las estmaoes de los parámetros s mmzar, geera estadígrafos superores a los obtedos al aplar mmzaó. També se omprueba que el valor mímo de ada estadígrafo se alaza uado dho estadígrafo es osderado omo la fuó obetvo a mmzar. Esto muestra que Webull_ft.xla emplea u modelo optmzate para el auste de los parámetros de la fuó Webull 3P. E la Fgura 7 se preseta el resultado gráfo de los austes. Al eeutar el programa las líeas asoadas a ada auste aparee e olor, de modo que es posble dstgur etre ellas. Se observa que pese a lograr resultados estadístos sgfatvos, probabldad asoada a la prueba Kolmogorov-Smrov varía etre 87.7% y 99.6%, la estmaó del úmero de árboles por lase damétra o logra ua adeuada represetaó, ya que el íde de error poretual flutúa etre u 36.5% y u 58.3%. Las lmtaoes del programa Webull_ft.xla está asoadas a la sroía o el omplemeto Solver.xla de Mrosoft Exel. E la versó 000 y 003 la sroía es perfeta, lo ual o ourre e la versó 00 y 007 dode el programa etrega u error de aplaó y o puede ser eeutado. E futuras versoes del programa se permtrá la exportaó de la tabla de resultados. S u usuaro requere desarrollar u método de predó de parámetros, o la faldad de proyetar el tamaño de los árboles e el tempo, eotrará e Webull_ft.xla ua herrameta para la obteó de los parámetros. La relaó etre los parámetros y las varables que araterza u rodal tedrá que desarrollarse o ualquer programa estadísto omeral. Iformaó Teológa Vol. - Nº

8 Webull_ft.xla: Programa para el Auste Óptmo de la Fuó de Desdad Fg. 7: Resultados gráfo del eemplo. CONCLUSIONES El programa Webull_ft.xla es ua herrameta omputaoal que permte estmar los parámetros de las fuó Webull 3P que mmza los estadígrafos de las pruebas de bodad de auste o del íde de error. El programa preseta e ua sola tabla todos los resultados obtedos, de modo que es posble estableer omparaoes etre los métodos de auste (restroes), o etre las pruebas de bodad de auste e íde de error (fuoes obetvos alteratvas). REFERENCIAS Baley, R. y T. Dell; Quatfyg dameter dstrbutos wth the Webull futo, Forest See: 9(); (973). Borders B. y otros tres autores; Peretle-based dstrbutos haraterze forest stad tables, Forest See: 33(); (987). Bredebah, J., C. Glaser y M. Shmdt; Estmato of dameter dstrbutos by meas of arbore laser saer data, Caada Joural Of Forest Researh, 38(6); 6 60 (008). Cao Q.; Predtg parameters of a Webull futo for modelg dameter dstrbuto, Forest See: 50(5); (004). Castedo-Dorado, F., U. Deguez-Arada y JG Alvarez-Gozalez; A growth model for Pus radata D. Do stads orth-wester Spa, Aals of Forest See: 64(4); (007). Che C.; Test of ft the three-parameter logormal dstrbuto, Computatoal Statsts & Data Aalyss: 50; (006). Dubey S.; Some peretle estmators for Webull parameters, Tehometrs: 9; 9-9 (967). Hawks, K. y otros tres autores; Usg the Webull dstrbuto to model harvestg mahe produtvty, Forest Produts Joural: 38(4); (988). 98 Iformaó Teológa Vol. - Nº - 00

9 Webull_ft.xla: Programa para el Auste Óptmo de la Fuó de Desdad Jag, L. y J. Brooks; Predtg Dameter Dstrbutos for Youg Logleaf Pe Platatos Southwest Georga, Souther Joural of Appled Forestry: 33(); 5 8 (009). Johso, N., S. Kotz y N. Balakrsa; Webull dstrbutos, Cotuous uvarate dstrbutos, Seod Edto, Joh Wley & Sos, I., volume, pp 68 7, New York, USA (994). Lu, Ch. y otros uatro autores; Evaluato of three methods for predtg dameter dstrbutos of blak sprue (Pea maraa) platatos etral, Caada Joural of Forest Researh: 34; (004). Mehtätalo L.; A algorthm for esurg ompatblty betwee estmates peretles of dameter dstrbuto ad measured stad varables, Forest See: 50(); 0 3 (004). Nepal, S. y G. Somers; A geeralzed approah to stad table proeto, Forest See: 38(); 0 33 (99). Nord-Larse, T. y Q. Cao; A dameter dstrbuto model for eve-aged beeh Demark, Forest Eology ad Maagemet: 3(-3); 8 5 (006) Palah, M., T. Pukkala y A. Trasobares; Modellg the dameter dstrbuto of Pus sylvestrs, Pus gra ad Pus halepess forest stads Cataloa usg the truated Webull futo, Forestry: 79(5); (006). Palah, M. y otros tres autores; Comparso of beta, Johso's SB, Webull ad truated Webull futos for modelg the dameter dstrbuto of forest stads Cataloa (orth-east of Spa), Europea Joural of Forest Researh: 6(4); (007). Proda, M. y otros tres autores; Mesura Forestal sere vestgaó y eduaó e desarrollo sosteble, IICA/BMZ/GTZ, pp 98, Sa José, Costa Ra (997). Reyolds, M. Jr., T. Burk y W. Huag; Goodess-of-ft test ad model seleto proedures for dameter dstrbuto models, Forest See: 34(); (988). Solforo J.; Dstrbução Webull, Modelagem do resmeto e da produção de florestas platadas e atvas, Uversdade Federal de Lavras, Fudação de Apoo ao Eso, Pesqusa e Extesão, pp 03-3 (998). O.; Sstema de smulação do resmeto e produção de Populus spp. o Chle (Sstema SALICA), Dotorado e Ceas Forestales, Uversdad Federal de Paraá, Setor de Ceas Agraras, Departameto de Ceas Forestales (003)., O. y otros uatro autores; Proposta metodológa para o auste ótmo da dstrbução damétra Webull 3P, Rev. Floresta, ISSN: (e líea), 34(3); ; Aeso: 5 de Mayo (007). Zhag, L.; K. Pakard y Ch. Lu. A omparso of estmato methods for fttg Webull ad Johso s SB dstrbutos to mxed sprue-fr stads ortheaster North Amera, Caada Joural of Forest Researh: 33; ( 003). Iformaó Teológa Vol. - Nº