Análisis temporal de señales y sistemas discretos.

Transcripción

1 Aálisis temporl señles y sistems discretos. 4º Igeierí Electróic, Uiversitt Vlèci, Profesor Emilio Sori OBJETIVOS DEL TEA. E este tem se lizrá ls señles y sistems discretos s el puto vist temporl; so coceptos BÁSICOS E IPRESCIDIBLES l hor trbjr co dichos sistems. Señles discrets. Tipos. Eergí y poteci u señl discret Sistem liel, ivrite temporl. Respuest impulsiol. Covolució. Propieds Estbilidd. Cuslidd Correlció. 4º Igeierí Electróic, Uiversitt Vlèci, Profesor Emilio Sori

2 les elemetles e tiempo discreto: SY ( w H ( j w SX ( w Impulso uitrio:, pr x( A e δ(, pr les elemetles e tiempo discreto: x( A si( Señles discrets. Tipos priciples Impulso Impulso uitrio uitrio:splzdo: Impulsouitrio Uit smple Uit smple jφ A A e Expoecil complej. From Discrete-Time Sigl Processig, e by Oppeheim, Schfer, d Buc 999- Pretice Hll, Ic. From Discrete-Time Sigl Processig, e by Oppeheim, Schfer, d Buc 999- Pretice Hll, Ic. Discrete-Time Sigl Processig, bybuc Oppeheim, Schfer, d Buc Pretice Hll, Ic. From Discrete-Time SiglFrom Processig, e by Oppeheim, Schfer,e d 999- Pretice Hll, 999- Ic. Uit smple j ( w, pr jφe x(e Uit smple A x( A α ejwtiempo e discreto: A α ej(wφ Se les elemetles ( δ(, pr δ(, pr (, pr Impulso Uit step Si α uitrio: x( A ej(wφ hblmos u Secue ( Amás ests señles Esclo uitrio: Uit step ( Expoecil Complej quepue scompoerse e los corr Impulso uitrio splzdo: Escló uitrio. discrets básics se tiee Uit step, pr podietes fsores: Uit step sus versioes retrdds;, pr δ(, pr el u(, pr (b modo x( A [cos(w φejemplo jsi(w φ], δ(, pr < (b, pr impulso uitrio retrddo Impulso uitrio splzdo: (b do w es l frecueci l siusoi. Rmp uitri: qued fiido como Rel expoetil (b Esclo uitrio: Expoecil rel. Rel expoetil, pr Descomposicio : Tod secueci se pue como u expresr Rel expoetil δ(, pr combicio δs., pr ur ( Rel expoetil x,,apr < pr (c T xu( A Por ejemplo: Esclo uitrio: (c, pr < Siusoidl Expoecil: ue( Aα, y α, A C. E fucio l vu últim fiició es l Siusoidl 3, 4, } x( δ( δ( 3δ( (c x( {,, Siusoi periódic que lor α yuitri: A se trtr u expoecil creciete/creciete (c Rmp señl discret Siusoidl, pr complej o rel. cumple x( x( ; Siusoidl u( El esclo uitrio se pue expresr sı : x A cos A cos x pr < quí es el,periodo l, pr ur ( Señles. α α ejwdigitl (. (d Rmp uitri:u( señl.δ( Procesdo Emilio 4º Igeierí Electróic,,Uiversitt pr Vlèci, < Profesor % Sori % (d ( ( x( bsic sequeces. 3 Figure.3 Some (d ' * d d The sequeces show ply importt ' * Expoecil: ue( y α, A C. E fucio v Aα3, Figure Some sequeces. &il roles.3 the lysis d represettio, pr (d & The bsic De form geerl: show ply d importt ofsequeces discrete-time sigls systems. creciete/creciete α y A se trtr u expoecil lor i the represettio Figure.3lysis Somed bsic sequeces. ur ( roles ofthe discrete-time sequecessigls showd plysystems. importt, pr < Figure.3 Some bsic sequeces. complej o rel. roles i the lysis d represettio y sequeces show ply importt ( % ofthe r discrete-time sigls d systems. i the lysis d represettio roles % sigls ( x( x(δ(, y α, A C. E fucio l vr* dsystems. r ' of discrete-time Expoecil: ue( Aα jw r r * & ' (. lor α y A se trtr u expoecil creciete/creciete α α e r & complej o rel. ( ( ( ( ( ( ( ( { ( Clsificcio se les e tiempo discreto: Señles discrets. Eergí y poteci. T { x (3 b x (} T {x (} b T {x (Eergı } y poteci: L T eergí u señl discret qued fiid l siguiete { x ( b x (} T {x (} b T {x (} form Eergi : E Si este vlor es fiito se dice que l señl es u señl eergí 3 x( L poteci medi bsu x(señl s discret qued fiid l siguiete form s Si l poteci medi es fiit y diferete bs x( s se omi señl poteci P oteci medi : P lı m x( cero l señl A modo y H(ejemplo es imedito poteci (su eergí es ifiit y el impulsopomos uitriollegr es u : fució eergí (su poteci medi es. y H ( E jw tiee Pcomplej lı m A modo ejercicio itet mostrr que l señl discret x( Ae y ( b x( s s P eergí ifiit y poteci medi igul A ydo queel señl rmp x(u( i es señl es l eergı l se l e el itervlo. s b x( s y P ( Sime trics y tisime trics: s 4º Igeierí Electróic, Uiversitt Vlèci, Profesor Emilio Sori h( uchs se les co eergı ifiit posee poteci medi fiicomprobr t. que el escló uidd es u señl s eergí i poteci. (. 3 Si E es fiit se hbl x( como u se l eergı. α α ejw s Simetric (pr : x( x( 4

3 Sistems discretos. Se fie u sistem discreto como quel que trsform T{ } u señl discret origil x( otr fil x[] y[] U sistem discreto es ivrite temporl si splzmietos temporles l etrd se trduce e los mismos splzmietos temporles l slid l sistem {y } T {x } {y d } T {x d } { } { } U sistem discreto es liel si pr culquier pr costtes y b se cumple l siguiete iguldd. T { x b x } T {x } b T {x }. L propiedd lielidd permite plicr el pricipio superposició e procesdo digitl señles. Ls dos propieds, lielidd e ivriz temporl so clves pr fiir l covolució (SI O SE DA ESTAS DOS PROPIEDADES O SE PUEDE DEFIIR LA COVOLUCIÓ. 4º Igeierí Electróic, Uiversitt Vlèci, Profesor Emilio Sori 5 Respuest impulsiol. Covolució. Teemos u sistem discreto L.T.I (liel e ivrite temporl y estmos iteresdos e termir l slid dicho sistem cudo se tiee u ciert señl l etrd.. Aquí hy tres cuestioes clve, l primer cosiste e que culquier señl se pue poer como combició liel u serie impulsos {x } x {δ } uitrios Si queremos termir l slid l señl discret {x } plicremos {y } T {x } Recorddo l expresió terior se tiee x T {δ } Filmete como el sistem es ivrite temporl se lleg 4º Igeierí Electróic, Uiversitt Vlèci, Profesor Emilio Sori T ( x {δ } Aquí se plic l ª cuestió clve el sistem es liel Se tiee l ctució l sistem sobre l señl impulso uitrio retrddo. Defiimos l respuest impulsiol u sistem discreto, h, como l slid l sistem cudo l etrd es el impulso uitrio esto es h T{ }. % { y } x h El terior producto-sum se cooce como l covolució x y h y se sig por { x } { h } x h % & % 6

4 Covolució. Propieds Comuttiv. Asocitiv. x[] h [ ] h [] h( x( x( h( h [] h [] h [] h [] h ( [h ( x(] [h ( h (] x( y[] x[] y[] x[] y[] h [ ] h [] h [ ] * h [] Distributiv. x[] x( [h (h (] x( h (x( h ( h [ ] y[] x[] h y[] [ ]h [ ] h [ ] 4º Igeierí Electróic, Uiversitt Vlèci, Profesor Emilio Sori 7 Covolució. Ejemplos gráficos x[] 6 x[ 7 ] x[] y[] 5 7 y x[ ] x[] y x[ ] x[] y 3 x[5 ] x[] 5 y 6 x[] x[ 8 ] 8 y 3 x[] x[ ] y x[] x[ 7 ] 7 y 4º Igeierí Electróic, Uiversitt Vlèci, Profesor Emilio Sori 8

5 Estbilidd. Cuslidd. U vez vist l form obteer ls slids u sistem discreto es ecesrio fiir el cocepto estbilidd BIBO; u sistem digitl es estble BIBO si, te culquier etrd cotd, l slid l sistem permece cotd. Se pue mostrr que l fiició terior se trsform e l siguiete codició mtemátic h( <, Si os fijmos e l respuest impulsiol l sistem discreto prece lo que se cooce como sistem F.I.R (Fiite Impulse Respose e I.I.R (Ifiite Impulse Respose. Evitemete ( lo ves? los sistems FIR siempre so estbles. Otr fiició importte es l cuslidd; u sistem discreto es cusl cudo l slid e culquier istte o pe vlores futuros etrds o slids. Es imedito comprobr que u h(, <. sistem es cusl si se cumple que 4º Igeierí Electróic, Uiversitt Vlèci, Profesor Emilio Sori 9 Correlció. Autocorrelció. Existe situcioes e ls que estmos iteresdos e termir como v cmbido u señl lo lrgo l tiempo; os pregutmos si existe cierto precido e l form od x( si cosirmos diferetes itervlos temporles. Est iformció es muy útil cudo se moliz sistems y existe periodicids Ls opercioes procesdo digitl que os proporcio es iformció so l utocorrelció; cudo quiero termir precido tro u mism señl x(; y l correlció cruzd cudo quiero termir precido etre forms od diferetes. Se pue distiguir etoces dos opercioes; l utocorrelció cudo se utiliz u señl y l correlció cruzd cudo se utiliz dos secuecis discrets. Se fie l utocorrelció u señl discret x( l secueci fiid por l siguiete expresió, r xx [l] x[]x[ l] r xx [l] L eergí l señl se correspo co r ( xx 4º Igeierí Electróic, Uiversitt Vlèci, Profesor Emilio Sori

6 Correlció cruzd. Se fie l correlció cruzd etre dos señles x( e como r xy (l % x( l l,±,±,. Problem clásico--rdr y Sor. Si se hce u cmbio ídices e l expresió terior es imedito llegr l siguiete iguldd. r xy (l % x( l l,±,±,. Amás se comprueb ls siguietes igulds r xy (l x(l l r yx ( l 4º Igeierí Electróic, Uiversitt Vlèci, Profesor Emilio Sori