ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Transcripción

1 Pf. Mauizi Mattesini LCTRICIDAD Y MAGNTISMO Capítul Camp léctic II: Distibucines cntinuas de cagas Cpight 004 b W. H. Feeman & Cmpan 3

2 Capítul. Cálcul del camp eléctic mediante la Le de Culmb. Le de Gauss 3. Cálcul del camp eléctic mediante la le de Gauss 4. Discntinuidad de n 5. Caga camp en la supeficie de ls cnductes 4

3 Se puede descibi la caga en fma de distibucines cntinuas de esta fma es psible calcula la caga ttal en supeficies del tamañ de las de ls cueps celestes (p ejempl la Tiea). 5

4 Densidad de caga A escala micscópica, la caga eléctica está cuantificada. A escala macscópica un gan núme de cagas están tan póimas que la caga ttal puede cnsidease distibuida cntinuamente en le espaci (semejante al us de una densidad de masa cntinua paa descibi el aie). ρ σ λ ΔQ ΔV ΔQ ΔA ΔQ ΔL Densidad vlúmica Densidad de caga supeficial Densidad de caga lineal 6

5 - Calcul del camp eléctic mediante la le de Culmb 7

6 Camp eléctic debid a una distibución de caga cntinua Suficientemente pequeñ paa que pdams cnsideale cm una caga puntual. Si se tiene un bjet cagad que n se puede educi a una caga puntual, ha que descmpne este bjet en elements infinitesimales. Cada un de ests elements cntiene un difeencial de caga que se cmpta cm si fuese una caga puntual. Aplicand el pincipi de supepsición al cnjunt de ls elements se btiene el camp ttal en el punt P. V kdq ˆ CAMPO LÉCTRICO DBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA D CARGA Un element de caga dq pduce un camp d(kdq/ ) en el punt P. l camp en P debid a la caga ttal se btiene integand esta epesión paa tda la distibución de caga. 8

7 Camp eléctic sbe el eje de una caga lineal finita kq ( L) COMPO LÉCTRICO SOBR L J D UNA CARGA LINAL FINITA Si >>L, el camp eléctic en P es apimadamente kq/. s deci, si estams suficientemente lejs de la caga lineal, ésta se cmpta cm una caga puntual Q. 9

8 Una caga Q está distibuida a l lag del eje desde 0 a L. La densidad de caga lineal paa esta caga es λq/l. Queems deten mina pducid p está caga lineal en un punt P sbe el eje, en 0. l camp eléctic debid a la caga dq situada en d está diigid a l lag del eje viene dad, de acued cn la le de Culmb p: d kdq kλd i ( ) i ( ) i Integand btenems que: Pdems encnta el módul de mediante integación sbe la línea cagada en sentid ceciente de 0 hasta L: kλ u 0 L 0 kλ kλl ( L) ( L) kλ L 0 u kλ ( ) d u L du u n dnde hems pead el cambi de vaiable u -, de tal fma que: 0 0 Sustituend Q p λl esulta kq ( L) du d 0 L u u ( 0 ) ( 0 0) ( ) L Obsévese que en la integación de hems utilizad la siguiente integal definida cn n-: n n+ d n +, n 0

9 Camp eléctic fuea de una caga lineal finita θ kλ θ csθ dθ kλ ( senθ senθ ) ( senθ senθ ) kq L COMPONNT DBIDA A UN SGMNTO CON DNSIDAD D CARGA LINAL UNIFORM R kλ c ( s θ θ ) cs COMPONNT DBIDA A UN SGMNTO D CARGA LINAL UNIFORM Caga lineal infinita: θ -π/ ( - ); θ π/ ( ) kλ 0 CAMPO DBIDO A UNA CARGA LINAL INFINITA

10 Un element de caga dq λd genea un camp d tal cm se muesta en la figua. l camp en P tiene cmpnentes en ls ejes e. n este pblema sól calculaems la cmpnente sbe el eje. l módul del camp eléctic pducid p un element de caga dq es: Opcinal d la cmpnente es kdq kλd d kλd d csθ kλd 3 en dnde cs θ/. La cmpnente ttal,, se calcula integand desde a : Hacems esta integal mediante un cambi de vaiable utilizand funcines tignméticas. n la figua vems que tgθ, p l tant la deivada de es: P ta lad tenems que d kλ d 3 d( tgθ ) d d sec θ dθ dθ 3 csθ cs θ csθ 3 3 Si sustituims ls vales de d / 3 en la ecuación de btenems: kλ secθ kλ csθ θ θ d 3 kλ θ θ csθ dθ sec kλ 3 cs θ θ dθ 3 ( senθ senθ ) Hems usad la elación d(tg θ)/dθsec θ.

11 3 JMPLO. Obtene una epesión del camp eléctic a l lag de la ecta pependicula bisecta debid a una línea cagada cn densidad de caga lineal unifme λ lngitud L. Camp eléctic debid a una línea finita cagada ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] j L L k j i k k j L L k L L L sen sen k sen sen k sen sen k ˆ / ˆ ˆ 0 cs cs cs cs ˆ / / / Cnsidea : λ θ θ λ θ θ λ λ θ θ λ θ θ λ θ θ λ θ θ θ

12 Camp debid a una línea cagada una caga puntual JMPLO.3 Una línea cagada infinita de densidad lineal λ0.6 µc/m está distibuida a l lag del eje z, una caga puntual q8 µc se encuenta sbe el eje en 3 m. Detemina el camp eléctic en el punt P del eje, en 4 m. Planteamient del pblema: l camp eléctic genead p este sistema se detemina a pati de la supepsición de ls camps debids a la caga lineal a la caga puntual. l camp debid a la línea cagada L apunta adialmente alejándse del eje z tiene diección psitiva del eje. 4

13 . Calcula el λ ˆ L k i 8.99 R. Detemina el camp ˆ P q, P kq ˆ q, P q, P " q, P ( ) ( 7 ) C / m 0 N m / C iˆ (.70 kn / C) ( 3) + ( 4) 9 6 ( N m / C )( 8 0 C) P ( 3 m) ( 4 ) + m 3. Detemina las cmpnentes P, P, q, P (.88 kn / C) iˆ (.30 kn / C) (.88 kn / C) ˆj (.73 kn / C) L, L, 5. Detemina camp 4ˆ i 3 ˆj (.88 kn / C) (.70 kn / C) iˆ + (.30 kn / C) iˆ ( 5.00 kn / C) 0 + (.73 kn / C) ˆj (.73 kn / C) ˆj 4. Calcula el módul del camp ttal actg P, P, ( 5.00 kn / C) + (.73 kn / C) el ángul ente el camp el eje! L en el punt P P 4 m en el punt P debid a lacaga puntual 4ˆ i 3 ˆj 5 debid a un caga lineal infinita ˆ q, P del camp ttal iˆ ˆj 4ˆ i 3 ˆj 5 iˆ 5.9 kn / C iˆ 5

14 Camp eléctic sbe el eje de un anill cagad Anill de adi a cagad unifmemente cn caga ttal Q: kq + 3 ( a ) COMPO LÉCTRICO SOBR L J D UN ANILLO CARGADO Paa cada element de caga dq eiste t element simétic dq de tal fma que la suma de las cmpnentes pependiculaes al eje, geneadas p tds ls elements del anill, es ce; cnsecuentemente, el camp ttal tiene la diección del eje. ma a / Ls elements difeenciales de la cmpnente pependicula del camp se anulan p paes. 6

15 A pati de la simetía de la figua vems que el camp esultante debid al anill ente debe esta diigid a l lag del eje del anill, es deci, se anulaá la suma de las cmpnentes pependiculaes. La cmpnente aial del camp debid al element de caga indicad es: Opcinal d cs cs d θ θ + en dnde kdq kdq kdq 3 ( a ) csθ + a 3 3 ( + a ) l camp eléctic debid al anill cmplet cagad es: kdq ( + a ) 3 Cm n vaía al intega paa ls elements de caga, pdems sacale fuea de la integal, p l tant, k kq dq + 3 ( + a ) ( a ) 3 7

16 Camp eléctic en el eje de un disc unifmemente cagad l disc se puede cnsidea cm si estuviea fmad p una seie de cagas anulaes cncénticas. A πa πkσ, 0;, < 0 > πkσ R + R + CAMPO LÉCTRICO N L J D UN DISCO UNIFORMMNT CARGADO Paa vales de gandes (>>R), se apima al val de una caga puntual Q clcada en el igen: kq, >> Paa vales de pequeñs (R/, n/ 0), se apima al val de un plan infinit de caga. l camp n depende de (es deci, el camp eléctic es unifme) eiste una discntinuidad en de 4πkσ: πkσ, πkσ, R > 0 < 0 Se utiliza el desall en seie del binmi R + n ( + ε ) 8 CAMPO N LAS PROXIMIDADS D UN PLANO INFINITO D CARGA R + nε paa ε << :

17 Discntinuidad de en un plan infinit de caga 9

18 Camp eléctic en el eje de un disc cn caga unifme JMPLO.4 Un disc de adi 5 cm es ptad de una densidad supeficial unifme de val 4 µc/m. Utilizand apimacines aznables, detemina sbe el eje del disc a distancia de (a) 0.0 cm, (b) 0.03 cm, (c) 6 m. Cmpaa ls esultads cn ls vales eacts a ls que se llega utilizand la ecuación: Planteamient del pblema: A gandes distancias el camp debid al disc debe tende al de una caga puntual debe se igual al del plan infinit cagad en el limite cuand 0. Paa calcula el val eact del camp eléctic en punts especifics se utilizaá la siguente epesión paa (eacta) : ( eacta ) πkσ + R 0

19 Camp debid a un plan infinit de caga: d 0.0cm ap. d 0.03 cm ap. d 600 cm ap. πkσ π πkσ 5.88 kn/c Camp debid a una caga puntual: kq kσπr 9 6 ( N m / C )( 4 0 C/m ) R πkσ ( ) ( 0.05 m 5.88 kn/c ) ( 6 m) 5.88 kn/c 7.84 kn/c (cm) (eacta) (kn/c) (ap.) (kn/c) % dif

20 PROBLMA 9 Una caga de.75 µc está unifmemente distibuida sbe un anill de adi 8.5 cm. Detemina el camp eléctic genead sbe el eje a (a). cm, (b) 3.6 cm (c) 4.0 m del cent del anill. (d) Detemina el camp a 4.0 m cn la apimación de que el anill es una caga puntual en el igen cmpaa el esultad cn el btenid en (c). 8.5 cm kq + 3 ( a ) COMPO LÉCTRICO SOBR L J D UN ANILLO CARGADO

21 PROBLMA Una caga lineal unifme se etiende desde -.5 cm a +.5 cm psee una densidad de caga lineal λ6.0 nc/m. (a) Detemina la caga ttal. Halla el camp eléctic genead sbe el eje en (b) 4 cm, (c) cm (d) 4.5 m. (e) Detemina el camp eléctic en 4.5 m supniend que la caga es puntual cmpaa el esultad cn el btenid en (d). kλ ( ) & # L + $ % L! " CAMPO LÉCTRICO A LO LARGO D UNA RCTA BISCTORA D UNA LÍNA D CARGA FINITA (VÉAS L JMPLO.) L5 cm 4

22 - Le de Gauss 6

23 nunciad cualitativ de la Le de Gauss Jhann Cal Fiedich Gauss, matemátic, astónm físic alemán ( ) 7 in 7 ut Dipl eléctic encead en una supeficie de fma abitaia. l núme de líneas que abandnan la supeficie es eactamente igual al núme de líneas que entan en ella sin que impte dnde se dibuje la supeficie, siempe que se encieen dent de ella ambas cagas del dipl. Se entiende p supeficie ceada aquella que divide el espaci en ds egines difeentes, la intei la etei. l núme net de líneas que salen p cualquie supeficie que enciea las cagas es ppcinal a la caga enceada dent de dicha supeficie. NUNCIADO CUALITATIVO D LA LY D GAUSS Paa cagas estáticas la le de Gauss la le de Culmb sn equivalentes. Sin embag, la le de Gauss es más geneal, pues también puede aplicase a distibucines de cagas n estáticas. 7

24 Supeficie de fma abitaia que inclue las cagas +q q. Las líneas de camp que teminan en q bien n pasan a tavés de la supeficie bien salen vuelven a enta. l núme net de líneas que salen n vuelven a enta es ppcinal a la caga neta dent de la supeficie. 8

25 Fluj eléctic, La magnitud matemática que está elacinada cn el núme de líneas de camp que ataviesa una supeficie se llama fluj eléctic,. A Las unidades SI del fluj sn (N m /C) 9

26 vect nmal unitai: na ˆ A csθ n A n es la cmpnente al áea. Nótese que el fluj que ataviesa A es el mism que pasa p A. 30

27 Definición de fluj eléctic Supeficie de fma abitaia sbe la cual el camp puede vaia: Δ i ni ΔA i i nˆ ΔA i i ΔA lim 0 i i i nˆ i ΔA i nˆ S da DFINICIÓN-FLUJO LÉCTRICO net S nˆ da S n da Si el element de áea ΔA i que elegims es suficientemente pequeñ, pdems cnsideale cm un plan la vaiación del camp eléctic a tavés del element puede despeciase. l vect nmal unitai n se define de md que está diigid hacia fuea en cada punt. Si está diigid hacia dent (fuea), n es negativ (psitiv). 3

28 nunciad cuantitativ de la Le de Gauss n puede sali de la integal p se cnstante en tds ls punts. l fluj net a tavés de cualquie supeficie es igual a 4πk veces la caga neta dent de la supeficie. l fluj net es independiente del adi de la esfea. net net nda n da S kq R 4πR net nda S S 4πkQ n matemática, una integal de línea (ciculación) es aquella integal cua función es evaluada sbe una cuva, sea, sbe una taectia ceada. n 4πR 4πkQ intei LY D GAUSS S 3

29 Supeficie cn tes cagas puntuales Puest que el camp eléctic en cualquie punt de la supeficie es el vect suma de ls camps eléctics pducids p cada una de las tes cagas, el fluj net a tavés de la supeficie es pecisamente la suma de ls flujs debids a las cagas individuales: Cada línea de fueza pcedente de q 3 enta en la supeficie en un punt abandna la misma en algún t punt ( 3 0). net 3 0 net + + 4πkq 4πkq 4πk ( q + q ) 3 33

30 Pemitividad del vací, ε La pemitividad es una cantidad física que descibe cóm un camp eléctic afecta es afectad p un medi. s cstumbe escibi la cnstante de Culmb k en función de esta cnstante ε : k 4πε ε 4πk 4π C / 9 ( N m / C ) N m 4πε q ˆ LY D COULOMB net n da S ε Qintei LY D GAUSS Válida sl en distibucines de caga estáticas. Válida paa calcula en distibucines de caga cn alts gads de simetía. También puede aplicase a distibucines de caga n estáticas. 34

31 Fluj a tavés de una supeficie cilíndica ceada JMPLO.5 Un camp eléctic vale (00 N/C)i paa >0 (-00 N/C)i paa <0. Un cilind imaginai de lngitud 0 cm adi R5 cm tiene su cent en el igen su eje a l lag del eje, de md que un etem se encuenta en +0 cm el t en -0 cm. (a) Cuál es el fluj net del camp eléctic que ataviesa la supeficie ttal ceada del cilind? (b) Cuál es la caga neta intei al cilind? Planteamient del pblema: La supeficie ceada que se descibe se cmpne de tes piezas: ds bases una supeficie cuvada. Calcula el fluj de a tavés de cada pieza p sepaad. nˆ A net Q intei ε 35

32 . Calcula el fluj que salede la base deecha del cilind, cu Q vect unitai es nˆ i de izq 3. l cuva net ( 00 N / C) i i( π )( 0.05 m).57 N m izq nˆ izq A izq ( i) πr ( 00 N / C) i ( i)( π )( 0.05 m).57 N m intei de de nˆ cuva.57 N m 3.4 N m de nˆ izq net A / C / C pependicula a nˆ cuva 5. La le de Gauss / C +.57 N m / C de vect unitai es nˆ i A 0 cuva iπr. Calcula el fluj que salede la base izquieda del cilind, cu fluj a tavés de la supeficie cuva es ce, a que es 4. l fluj ttal es la suma de flujs a tavés de tdas las supeficies ε + ( C / N m )( 3.4 N m / C) elacina la caga intei cn el fluj net C 7.8 pc + 0 Obsevacines: l fluj n depende de la lngitud del cilind (0 cm), l cual significa que la caga se ubica ttalmente en el plan z. 36

33 -3 Cálcul de mediante la Le de Gauss 37

34 Simetía plana Supeficie Gaussiana: supeficie ceada imaginaia en la que en cada una de sus pates, bien n es cnstante n sn paalels pependiculaes, bien es ce. n este cas escgeems cm supeficie gaussiana un cilind en fma de lata. Q σa net de + izq + cu n A + n A + 0 Q intei ε σa ε n net A n A σ ε n πkσ CAMPO LÉCTRICO PRÓXIMO A UN PLANO INFINITO D CARGA Plan infinit de caga de densidad supeficial σ Si σ>0, se diige hacia fuea del plan cagad si σ<0 el camp apunta hacia el plan. 38

35 Camp eléctic debid a ds plans infinits JMPLO.6 n la figua, un plan infinit de densidad de caga supeficial σ+4.5 nc/m cincide cn el plan z en el igen, un segund plan infinit de densidad de caga supeficial σ-4.5 nc/m se lcaliza en un plan paalel al plan z en m. Detemina el camp eléctic en (a).8 m (b) 5 m. Planteamient del pblema: Cada un de ls plans pduce un camp eléctic unifme de módul σ/ ε. (a) nte ls plans, ls camps se suman, pduciend un camp net de módul σ/ε en la diección psitiva. (b) Paa > m <0, ls camps apuntan en dieccines puestas se cancelan. Obsevacines: l camp eléctic es ce ecept ente ls plans. Obsévese que,net 508 N/C, n justamente a.8 m, sin en cualquie punt ente ls plans. σ ε m 5.0 m, net, net - ( 0 C / N m ) + 54 N/C + 54 N/C 508 N/C 0 9 C/m 54 N/C 39

36 Simetía esféica Supeficie Gaussiana esféica: p simetía, es adial su módul depende sól de la distancia a la caga. Cteza esféica unifmemente cagada net net nˆ da da 4π S S S q ε q ε da 4π 4πε q LY D COULOMB Así pues, hems deducid la Le de Culmb a pati de la Le de Gauss. Ambas lees sn equivalentes paa cagas estáticas. 40

37 Camp eléctic debid a una cteza esféica Si elegims una supeficie gaussiana esféica etei (>R): net da S S Q 4π ε Q, > 4πε da R 4π CAMPO LÉCTRICO XTRIOR A UNA CORTZA SFÉRICA D CARGA Si elegims una supeficie gaussiana esféica intei (<R): net da da 4π S 0 0, < R S 4π La caga ttal dent la esfea es ce CAMPO LÉCTRICO N L INTRIOR D UNA CORTZA SFÉRICA D CARGADA l camp eléctic es discntinu paa R. sts esultads pueden btenese p integación diecta de la le de Culmb, pe el cálcul es 4 much más difícil.

38 Camp eléctic debid a una caga puntual una cteza esféica JMPLO.7 Un cteza esféica de adi R3 m tiene su cent en el igen cntiene una densidad de caga supeficial σ3 nc/m. Una caga puntual q50 nc se encuenta sbe el eje en m. Detemina el camp eléctic en el eje en (a) m (b) 4 m. (a) Dent de la cteza es debid sól a la caga puntual q: ( m) kq ˆ ϑ 45! i + + ( m) 9 9 ( N m / C )( 50 0 C) j 8 m cs 45 8 m i! ( 8 N / C) cs 45 i ( 8 N / C) 99(i-j) N / C! sen 45! j 8 N/C sen 45 4! j

39 (b) Fuea de su peímet, la cteza puede cnsidease cm una caga puntual en el igen el camp debid a la cteza c está diigid a l lag del eje : 4 c Q tg ϑ c c p p kq i σ A σ 4πR ( 3 nc / m ) 4π ( 3 m ) 9 9 ( N m / C )( C) ( m) ( 4 m) 9 9 ( N m / C )( 50 0 C) kq 4 p p ˆ m m (4 m) c c 0 m ϑ actg 6.6 csθ + ( N/C) 0 m sen θ + 0 ( N/C) ( 90i 50 j) N / C p p c cs 6. 6! sen6.6! 339 nc 90 N/C N/C + 90 N/C 90 N/C! 50 N/C 43

40 Camp eléctic debid a una esfea aislante sólida cagada JMPLO.8 Detemina el camp eléctic en (a) fuea (b) dent de una esfea sólida unifmemente cagada de adi R ptada de una caga Q que está distibuida p td el vlumen de la esfea cn densidad de caga ρq/v, siend V4/3πR 3 el vlumen de la esfea. (a) P simetía, el camp eléctic debe se adial. Paa detemina fuea de la esfea cagada, debems elegi una supeficie esféica gaussiana de adi >R: net na ˆ A ˆ 4π 4πε Q etei ε Q ε Q, R 4π LY D GAUSS 44

41 45 (b) Paa detemina dent de la esfea cagada, debems elegi una supeficie esféica gaussiana de adi <R: LY D GAUSS R R Q R Q R Q V V Q V Q Q A na net, ˆ ˆ intei intei πε π π ρ ε π π Obsevacines: n el intei de la esfea, aumenta cn. Obsévese que es cntinu en R. A veces se utiliza una esfea unifmemente cagada paa descibi el camp eléctic de un núcle atómic.

42 Camp eléctic debid a una esfea cnducta sólida cagada n cndicines electstáticas el camp eléctic adent de un esfea cnducta sólida es ce. Afuea de la esfea el camp eléctic decae cn /, cm si td el eces de caga de la esfea estuviese cncentad en su cent. 46

43 Simetía cilíndica JMPLO.9 Utiliza la le de Gauss paa detemina el camp eléctic a una distancia de una caga lineal infinitamente laga de densidad de caga unifme λ. Caga lineal infinita n las pimidades del etem de una caga lineal de lngitud finita n pdems supne que es pependicula a la supeficie cilíndica que n es cnstante en tds ls punts de la misma, p l tant, n puede utilizase la le de Gauss paa calcula el camp eléctic. sl net nˆ izquieda deecha Q πl A nˆ ε πε sl nˆ A intei λl ε A λ Rˆ A izquieda deecha kλ R sl 0 0 R πrl 47

44 -5 Caga camp en la supeficie de ls cnductes 48

45 quilibi electstátic Tds ls cnductes pseen cagas cn libetad de mvimient en el vlumen que limita la supeficie. Si hubiea un camp eléctic que actuase en el intei del cnduct se pduciía una fueza que daía luga a una ciente eléctica mmentánea. Sin embag, la caga libe del cnduct se edistibue de tal md que se anula cualquie camp eten dent del cnduct: Si eiste alguna caga neta en el cnduct, ésta debe esidi sbe la supeficie del ppi cnduct el camp eléctic que igina debe se pependicula a la misma supeficie. Si eistiea una cmpnente tangencial de, la caga libe seía aceleada tangencialmente hasta que se anulaa dicha cmpnente. dent ρ net neta Se dice entnces que el cnduct se encuenta en equilibi electstátic. 49

46 La caga sbe el cnduct está cmpuesta p ds pates: () la caga en la vecindad del punt P () el est de la caga: La caga que ha en la vecindad del punt P se asemeja a un disc cicula unifmemente cagad. sta caga pduce un camp eléctic de val σ/(ε ) tant en el intei cm en el etei del cnduct. Puest que el camp esultante en el intei debe se ce, el est de la caga debe pduci un camp de igual val σ/(ε ) en diección hacia aiba. Dent del cnduct ests camps se anulan, pe fuea, en el punt P se suman, esultand n σ/ε. n σ ε n JUSTAMNT FURA D LA SUPRFICI D UN CONDUCTOR 50

47 La caga del planeta Tiea JMPLO.0 Cnsultand algún tatad aceca de la atmósfea, pdems aveigua que el val medi del camp eléctic de nuest planeta es de apimadamente de 00 N/C está diigid veticalmente hacia abaj. Cn l estudiad aceca del camp eléctic, una pegunta que pdems hacens es si se puede detemina cuál es la caga ttal en la supeficie de la Tiea. Planteamient del pblema: La Tiea es un cnduct, p l que su caga neta estaá distibuida en la supeficie teeste. La caga ttal Q que estams buscand seá σa, siend A la supeficie de la Tiea. 5

48 . La cmpnente nmal del camp la densidad de caga supeficial se elacinan mediante la elación :. n lasupeficiede latiea, ls vectes camp eléctic vect unitai de la misma fman un ángul n! de80, p l tant, n 3. Cnsideams ls ds pass pevis que Q es ladensidad de caga 4. Cnsideams que la supeficie de la Tiea es esféica, de adi Q ε A ε 4πR 5. l σ ε nˆ cs80 multiplicad p el áea de la supeficie teeste : Q σa ε A ε A adide latiea es Q 4πε R 4π n T 6 ( C / N m )( 00 N / C)( m) C T! n es negativ : 00 N / C 4πε R 6 T m, así tenems que A 4π 5

49 PROBLMA 43 Una esfea n cnducta de adi R0. m psee una caga vlúmica unifme de densidad ρ.0 nc/m 3. Detemina el módul del camp eléctic en 0.5R. 53