Física Moderna Teoría de la Relatividad Especial. Velocidad de la luz y Principio de Relatividad

Transcripción

1 Físia Moderna IES La Magdalena. Avilés. Asturias NOTA Algunos de los oneptos y razonamientos reogidos en este tema tienen por fuente el libro Construyendo la relatividad de M.F. Alonso y Vient F. Soler, uya letura se reomienda a quienes deseen un onoimiento más profundo de la teoría. Veloidad de la luz y Prinipio de Relatividad La primera menión de lo que hoy onoemos omo Prinipio de Relatividad se debe a Galileo, quien en su obra Diálogo sobre los dos sistemas del mundo (163), señala la imposibilidad de distinguir entre sistemas en reposo o on movimiento retilíneo y uniforme: "Enerraos on un amigo en la abina prinipal bajo la ubierta de un baro grande, y llevad on vosotros mosas, mariposas, y otros pequeños animales voladores... olgad una botella que se vaíe gota a gota en un amplio reipiente oloado por debajo de la misma... haed que el baro vaya on la veloidad que queráis, siempre que el movimiento sea uniforme y no haya flutuaiones en un sentido u otro.... Las gotas aerán... en el reipiente inferior sin desviarse a la popa, aunque el baro haya avanzado mientras las gotas están en el aire... las mariposas y las mosas seguirán su vuelo por igual haia ada lado, y no suederá que se onentren en la popa..." Galileo Galilei Una onseuenia de lo expuesto es que el movimiento es siempre relativo. Sólo podemos afirmar que un uerpo se mueve o permanee en reposo respeto del sistema de referenia tomado. La forma en que se mueve también dependerá del sistema elegido. La meánia de Newton umple on el prinipio de relatividad, ya que según la Primera Ley o Prinipio de Ineria: Si sobre un uerpo no atúa ninguna fuerza, o todas las que atúan se ompensan dando una resultante nula, el uerpo no variará su veloidad. Esto es: si está en reposo, permanee en reposo; si se mueve, lo hará on movimiento retilíneo y uniforme (v =te) Una onseuenia de la primera ley de Newton es que reposo y movimiento retilíneo y uniforme son estados de equilibrio del uerpo (sobre el uerpo no atúa fuerza neta alguna) y son físiamente equivalentes (sistemas de referenia ineriales). Como todos los sistemas de referenia ineriales (SRI) son meániamente equivalentes, las leyes de Newton tienen la misma forma en todos ellos. Por tanto podemos reformular el Prinipio de Relatividad en la forma: Es imposible determinar, mediante un experimento de tipo meánio, si un sistema está en reposo o moviéndose on movimiento retilíneo y uniforme. 1

2 Físia º Bahillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias A pesar de que el prinipio de relatividad pareía firmemente asentado entre las leyes de la Físia, los desubrimientos realizados sobre eletromagnetismo en la segunda mitad del s. XIX pareía que ponían en peligro la extensión de este prinipio más allá de los dominios de la meánia. Según las euaiones obtenidas por Maxwell la luz era una onda eletromagnétia que se propagaba on una veloidad que dependía de las araterístias del medio (permitividad y permeabilidad). Lo realmente extraño de las nuevas ondas era que, aparentemente, no neesitaban medio alguno para propagarse, osa que en la époa era difíilmente asimilable. Todas las ondas onoidas hasta entones (ondas meánias) neesitaban de un medio que propagara la perturbaión. La luz, en onseuenia, se propagaría también en un medio que llenaba el universo entero y al que se le dio el nombre de éter lumínio. La veloidad de propagaión respeto del éter sería: 1 1 8m = = = ε µ C 7N π. 9 4π Nm 4 10 s s C El elevado valor de la veloidad de la luz haía del misterioso éter una sustania on propiedades poo omunes: Debería de tener una rigidez superior a la del aero. Debería de ser extremadamente tenue, ya que los planetas, por ejemplo, se mueven a través de él sin modifiar su veloidad apreiablemente. Lo esenial era que la luz tenía una veloidad determinada ( km/s) respeto del éter, lo que llevaba a plantear uestiones básias para la Físia, pues onsiderando un sistema anlado en el éter, la veloidad de la luz dependía del movimiento relativo fuente-observador y el prinipio de relatividad dejaba de ser válido. Veamos por qué: Si suponemos un sistema de referenia situado en el éter, podríamos detetar si un sistema se mueve o no respeto de él. Tendríamos, por tanto, un sistema de referenia privilegiado y, mediante un experimento (de tipo óptio), podría detetarse el reposo o movimiento (absoluto), violándose de esta manera el prinipio de relatividad. El éter jugaba el papel de un sistema de referenia absoluto respeto del ual podemos afirmar (de manera absoluta) si estamos en reposo o moviéndonos on veloidad onstante. Según la físia lásia las veloidades de un punto (ver figura) medidas desde un sistema en reposo (sistema O) y uno que se mueve on veloidad v (sistema O') están relaionadas por la expresión Los sistemas O y O' oiniden iniialmente. El punto está en el origen de ambos. El sistema O' se aleja del sistema O on una veloidad v. El punto se aleja, de ambos on ierta veloidad, que será distinta según se mida desde O o desde O' x vo = t x ' x ' + vt x ' vo' = vo = = + v = vo' + v vo = vo' + v t t t x = x ' + vt Luego la veloidad del punto medida desde el sistema en movimiento (O') será: v = v v Cuando el punto se mueva aerándose a los sistemas de referenia, tendremos: o' o' o v = v + v o

3 Físia º Bahillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias Supongamos ahora un vagón de tren (en reposo) y dos observadores, uno situado en el interior, y otro (mujer), en el exterior, que mide desde el sistema de referenia anlado en el éter (fijo). Imaginemos que ahora se emite un fotón (írulo rojo) desde uno de sus extremos. Ambos observadores miden idéntia veloidad: L km v = = t s Si onsideramos ahora al vagón moviéndose haia la dereha on veloidad v, el observador situado en su interior obtendrá que para reorrer el mismo espaio (L), la luz emplea ahora un tiempo t' (mayor que t, el medido uando estaba en reposo). Luego obtendrá para la veloidad de la luz un valor: L ' = pero omo t'>t '< t ' Así que on un simple experimento de tipo óptio (medir la veloidad de la luz) el observador podría determinar si está en reposo o en movimiento, lo que invalida el prinipio de relatividad Lógiamente el observador situado en reposo sigue midiendo el mismo valor, ya que aunque la luz tarde más en llegar a la pared opuesta del vagón reorre también un mayor espaio: L + vt ' = = ' + v t ' Expresión que oinide on lo prediho por la físia lásia (ver más arriba). El enontrar que la veloidad de la luz era distinta si se medía en reposo o en movimiento respeto de la fuente era equivalente a detetar el llamado "viento del éter", ya que el efeto es similar a uando se orre a favor o en ontra del viento. Observador en reposo respeto de la fuente luminosa. Mide una veloidad igual a Observador aerándose a la fuente luminosa. Mide una veloidad igual a - v Observador alejándose de la fuente luminosa. Mide una veloidad igual a +v Con el propósito de omprobar la dependenia de la veloidad de la luz on el movimiento fuenteobservador, Mihelson y Morley realizaron en 1887 un experimento de gran importania para el posterior desenvolvimiento de la físia (1) El experimento trataba de detetar la diferente veloidad de la luz uando la fuente luminosa (o el observador) se aeran o alejan. Se trataba de detetar el "viento del éter". El experimento fue repetido multitud de vees obteniéndose que la veloidad de la luz, en ontra de lo esperado, era independiente del movimiento de la fuente. (Experimento de Mihelson y Morley en: (1) Mihelson había realizado ya el experimento en 1881, pero los errores ometidos hiieron que los resultados no fueran onsiderados válidos. 3

4 Físia º Bahillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias Albert Einstein ( ) (quien según sus propias palabras desonoía el experimento de Mihelson y Morley) plantea una soluión orientada a salvar el prinipio de relatividad. El prinipio de relatividad debería de ser válido tanto para la meánia omo para el eletromagnetismo y la óptia. En el fondo estaba una lara apuesta por la universalidad de las leyes de la físia. Su planteamiento impliaba dos suposiiones básias: Presindir del éter lumínio y on él de un sistema de referenia privilegiado respeto del ual podamos determinar si un uerpo está en movimiento o reposo absoluto, lo que equivale a mantener la vigenia del prinipio de relatividad. Mantener la afirmaión de Maxwell según la ual las ondas eletromagnétias (por onsiguiente la luz) se propagan on una veloidad de km/s, pero omo ahora no existe el éter omo medio de propagaión, postula que esa veloidad es siempre la misma on independenia del movimiento de la fuente respeto del observador. Esta afirmaión equivale a elevar la veloidad de la luz a rango de ley físia. Albert Einstein en 1905 Einstein publió (1905) un total de uatro artíulos en la revista Annalen der Physik, de singular importania. Uno de ellos, Sobre la eletrodinámia de los uerpos en movimiento, ontenía los postulados y el desarrollo básio de la que desde entones se onoería omo (TER). La teoría se sustentaba en dos postulados que reogen el razonamiento expuesto más arriba. La TER daba soluión a los problemas planteados pero, a ambio, los oneptos de espaio y tiempo hasta entones vigentes, y fuertemente arraigados en la forma de pensar, deberían ser revisados. La Teoría de la Relatividad ha signifiado desde entones una forma nueva de entender la realidad que, a vees, paree entrar en onflito on el sentido omún. Equivale a afirmar la total validez del Prinipio de Relatividad. No existe un sistema de referenia privilegiado (éter) que podamos onsiderar en reposo absoluto. Primer postulado Las leyes de la eletrodinámia y de la óptia son válidas en todos los sistemas de referenia para los que son iertas las leyes de la meánia. Segundo postulado La luz se propaga en el vaío on una veloidad,, independiente del estado de movimiento de la fuente emisora. La veloidad de la luz tiene siempre el mismo valor, independiente del movimiento del observador o de la fuente. La onsideraión de la veloidad de la luz omo un invariante (segundo postulado) nos llevará a onluir (ver más adelante) que el espaio y el tiempo no son absolutos (la medida efetuada para ada una de estas magnitudes no es independiente del estado de movimiento del observador que realiza la medida). Además, espaio y tiempo no son independientes, ambos están ligados formando lo que se llama un ontinuo espaio-tiempo. Según Newton tanto espaio omo tiempos son oneptos absolutos. Es deir, el valor de un intervalo de tiempo o uno espaial son independientes del estado de movimiento de los observadores. Un observador en reposo y otro en movimiento respeto del primero obtendrán la misma medida. Además son oneptos independientes, no ligados entre sí. La físia newtoniana se aomoda muho mejor a nuestro sentido omún. Este, no obstante, sólo es la forma de razonar dependiente de nuestras experienias. Nuestro sentido omún nos india la manera que esperamos que suedan las osas omo resultado de las experienias que tenemos, pero nuestras experienias no han sido adquiridas a veloidades próximas a las de la luz. 4

5 Físia º Bahillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias Se muestran a ontinuaión algunas de las onseuenias derivadas de la apliaión de los postulados. 1. Dilataión del tiempo Una de las onlusiones más sorprendentes de la TER es que el tiempo deja de ser un absoluto que transurre igual para todos los observadores (tal y omo onsideraba la meánia de Newton), para onvertirse en algo relativo que depende del movimiento de quien lo mide. En la figura se muestran dos observadores, uno (hombre) situado en el interior de un laboratorio que onsideramos que se mueve, según el eje x, on una veloidad v respeto de otro (mujer) que suponemos en reposo y en el exterior del laboratorio. En el interior del laboratorio se realiza un senillo experimento: un pulso de luz parte de un emisor situado en el suelo del laboratorio, se refleja en un espejo situado en el teho y vuelve al suelo, donde es detetado. Definimos tiempo propio (t 0 ) y tiempo impropio (t) de la manera siguiente: Tiempo propio (t 0 ) El iniio (partida del pulso de luz desde el suelo) y final del sueso (llegada al reeptor del suelo) ourren en el mismo lugar. Para determinar el iniio del sueso y su final se usa un mismo reloj. Tiempo impropio (t) El iniio (partida del pulso de luz desde el suelo) y final del sueso (llegada al reeptor del suelo) ourren en distinto lugar. Para determinar el iniio del sueso y su final se usan relojes distintos que han de estar sinronizados. Según las onlusiones de la teoría el tiempo propio y el impropio no son iguales y están relaionados por la siguiente expresión: 1 t = t 0 = γ t0 t = γ t0 γ > 1 v Cualquier intervalo de tiempo impropio ( t) es siempre mayor que el de tiempo propio ( t 0 ) Obtenemos que el mismo sueso requiere un tiempo mayor para el observador onsiderado en reposo. El reloj del observador situado en el interior del laboratorio atrasa respeto del reloj del observador onsiderado en reposo. El tiempo transurre más lentamente para el observador en movimiento. El tiempo se dilata uando nos movemos a veloidades próximas a las de la luz. 5

6 Físia º Bahillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias Supongamos que el laboratorio se mueve respeto del observador situado fuera a una veloidad igual a 0,90 (90 % de la veloidad de la luz) y que el observador situado en el laboratorio obtiene que la luz tardó 1,000 s en haer el reorrido indiado. El observador situado fuera (y que onsideramos en reposo) medirá que la luz tarda en realizar ese reorrido: 1 1 t = t = 0 v ( 0, 90) 1, 000s =, 94., 1 000s =, 94s. Contraión de las longitudes Pensemos en dos observadores, uno en reposo y otro en movimiento, que quieren determinar la distania entre la Tierra (iniio del viaje) y Marte (final del viaje). Como para ambos observadores la veloidad de la luz debe de ser la misma, y teniendo en uenta que el tiempo medido por ambos observadores no es el mismo, hemos de onluir que el espaio medido tampoo ha de ser igual. De forma análoga a lo que hemos visto para el tiempo se definen la longitud propia y la longitud impropia Longitud impropia (L) Los puntos que determinan los extremos de la longitud a medir no están en reposo. El observador situado en el interior de la nave mide una longitud impropia. Iniio Final Longitud propia (L 0 ) Los puntos que determinan los extremos de la longitud a medir están en reposo. La observadora situada fuera mide una longitud propia. Cualquier longitud propia (L 0 ) es siempre mayor que la longitud impropia (L) 1 L0 = L = γ L L0 = γ L γ > 1 v Las distanias (medidas en la misma direión del movimiento) se ontraen para un observador en movimiento respeto de uno que onsideramos en reposo. En el supuesto anterior (v =0,80) si el observador situado en el laboratorio (onsiderado en movimiento) mide una distania a Marte de km, el observador que viaja en la nave medirá: 1 v L0 = L, L = L 0 = v ( ) 0, km = 35, 3 10 km 6

7 Físia º Bahillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias El signifiado profundo de la dilataión del tiempo y la ontraión de longitudes radia en que si aeptamos los postulados de la TER, el tiempo y el espaio dejan de ser magnitudes independientes para estar íntimamente relaionadas. Los suesos ya no tienen lugar en un espaio y en un tiempo independientes entre sí (tal y omo se suponía en la meánia newtoniana), para tener lugar en un ontinuo espaio-tiempo en el ual ambas magnitudes están onetadas. 3. La veloidad de la luz es un límite superior para ualquier entidad físia Si algo pudiera tener una veloidad igual o superior a la de la luz, ésta nuna podría propagarse respeto de ella on veloidad, lo que viola uno de los postulados. Esta onsideraión es de suma importania en la TER, pudiendo, inluso, tomarse omo punto de partida de la misma. El propio Einstein delaró que "la Teoría de la Relatividad es un nuevo tipo de meánia araterizada por el heho de que ninguna veloidad puede superar a la de la luz". La dinámia newtoniana y la TER oiniden para veloidades muy inferiores a la veloidad de la luz La existenia de un límite superior de veloidades entra en ontradiión on la segunda ley de Newton (F = m a), ya que según la dinámia newtoniana si apliamos una fuerza a un objeto éste aumentaría su veloidad sin límite alguno. En la gráfia se muestra la diferenia entre la dinámia de Newton y la TER. Ambas oiniden uando v<<, pero en la TER la veloidad de la luz es un límite máximo infranqueable. Los postulados de la TER obligan, por tanto, a rehaer ompletamente la dinámia de Newton. 4. La simultaneidad de dos suesos depende del sistema de referenia Supongamos (ver figura) que se generan sendos destellos luminosos (1 y ) en la parte delantera y trasera del vagón en el momento en que ambos puntos están equidistantes del observador situado fuera. Ambos destellos reorren el mismo espaio y, por onsiguiente, alanzarán al observador externo al mismo tiempo. Éste onluirá, por tanto, que ambos destellos han sido simultáneos. El observador situado en el interior tiene una veloidad v haia la dereha respeto del observador exterior y se dirige al enuentro del destello originado en la parte delantera (1) a una veloidad v. Al abo de un tiempo t el vagón, y on él su oupante, se desplaza un espaio v t, pasando de estar en la posiión A a estar en la B. Este observador será alanzado antes por el destello delantero y después por el que proede de la parte trasera. Para él los destellos no son simultáneos. La simultaneidad es un onepto relativo y no absoluto. 7

8 Físia º Bahillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias 5. Relaión masa- energía Tal y omo se ha diho más arriba la segunda ley de la dinámia de Newton resulta inompatible on los postulados de la TER. Había que onstruir, por tanto, una nueva dinámia adaptada a la nueva onepión del espaio-tiempo que subyae en la teoría de Einstein (espaio y tiempo son magnitudes mutuamente dependientes). La expresión fundamental en dinámia relativista para una partíula relaiona su masa, energía y momento lineal en la forma: 4 E = (m) + (p) = m + p Partiendo de esta expresión podemos llegar a algunas importantes onlusiones: Si suponemos un sistema de referenia, respeto del ual la partíula está en reposo, su momento lineal (p= m v) será nulo, obteniendo entones: E = m E 0 es la llamada energía propia o energía en reposo de la partíula. La euaión que define la energía propia de una partíula permite expresar la masa en unidades de energía (lo que es muy útil uando se trabaja on partíulas). En físia de partíulas se utiliza omo unidad de energía la adquirida por un eletrón (arga: 1, C) uando es sometido a una diferenia de potenial de 1 V. Esta unidad se denomina eletrón-voltio y se abrevia omo ev. E = e V = 1, C. 1 V = 1, J. La energía orrespondiente a la masa en reposo de un eletrón (9, kg) será: Se die que la masa de un eletrón son 0, GeV. 0 También podemos deir que la masa de un eletrón son 0, GeV/ (ya que m = E / ) Siguiendo el mismo proedimiento podemos alular la masa de un protón (1, kg): NOTA: Las masas admitidas para el eletrón y el protón son de 0, GeV/ y 0,938 gev/, respetivamente 1 ev = 1, J 31 8 m 14 E = m = 9, kg ( 3 10) = 8, 0 10 J s 14 1eV 5 8, 0 10 J = 5, 13 10eV = 0, 513MeV = 0, GeV 19 1, J 7 8 m 10 E = m = 1, kg( 3 10) = 1, J s 10 1eV 8 1, J = 8, 98 10eV = 898MeV = 0, 898GeV 19 1, J La euaión(e=m ) plantea la equivalenia entre masa y energía. En palabras del propio Einstein: "masa y energía son esenialmente análogas, pues sólo son expresiones del mismo ente" La TER predie, por tanto, la posibilidad de obtener enormes antidades de energía a partir de la aniquilaión de pequeñas antidades de materia, posibilidad que ondujo a la onstruión de la primera bomba atómia. Otra posibilidad es la de rear partíulas on masa a partir de pura energía 8

9 Físia º Bahillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias La "materializaión de la energía" queda patente en la fotografía que se muestra y que orresponde a trazas dejadas por partíulas argadas en un detetor. Un horro de mesones K - entra desde la izquierda. Su trayetoria se urva muy ligeramente en el sentido de las agujas del reloj (debido al ampo magnétio perpendiular al papel y entrante) ya que tienen una masa onsiderable. En el entro de la imagen uno de los mesones se desintegra dando lugar a dos nuevas partíulas argadas (ver traza roja en la fotografía) y un rayo gamma de alta energía. Este no deja traza alguna al areer de arga, pero da lugar a un par eletrón-positrón (reaión de partíulas a partir de energía) uyas trazas en espiral pueden apreiarse laramente. La espiral de la dereha (urvada en el sentido de las agujas del reloj) pertenee al eletrón y la de la izquierda (urvada en sentido ontrario a las agujas del reloj) al positrón. Ejemplo 1 Un fotón on una energía de 1, J se materializa en un par eletrón-positrón. Calular la energía inétia del par resultante. DATOS: me= 9, kg Soluión: La energía del fotón iniial se materializa en un par de partíulas (partíula-antipartíula). La energía orrespondiente a la masa del eletrón (que será idéntia a la del positrón) será: 31 8 m 14 E = m = 9,1 10 kg. ( 3 10 ) = 8, 10 J s Por tanto la energía total orrespondiente a las partíulas generadas será: ( ) ETot =. 8, 10 J = 1,6 10 J Apliando el prinipio de onservaión de la energía deduimos que las partíulas generadas deberán tener una energía inétia de: 13 1 E = 1,3 10 J 1,6 10 J = 1, 10 J Expresándola en ev: 1eV 1 E = 1, 10 J 19 1,67 10 J 6 = 7, 10 ev = 7, MeV 9