MOVIMIENTO EN LÍNEA RECTA

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1 2 MVIMIENT EN LÍNEA RECTA METAS DE APRENDIZAJE Al esudir ese cpíulo, used prenderá: Cómo describir el moimieno en líne rec en érminos de elocidd medi, elocidd insnáne, celerción medi y celerción insnáne. Cómo inerprer gráfics de posición conr iempo, elocidd conr iempo y celerción conr iempo pr el moimieno en líne rec. Cómo resoler problems que impliquen moimieno en líne rec con celerción consne, incluyendo problems de cíd libre. Cómo nlizr el moimieno en líne rec cundo l celerción no es consne.? Un elocis común celer durne el primer ercio de l crrer y desceler grdulmene en el reso de l compeenci. Es correco decir que un corredor esá celerndo conforme desceler durne los dos ercios finles de l crrer? disnci debe recorrer un ión comercil nes de lcnzr l rpidez de despeje? Cundo lnzmos un pelo de béisbol ericlmene, Qué qué no sube? Cundo se nos resbl un so de l mno, cuáno iempo enemos pr rprlo nes de que choque conr el piso? Ése es el ipo de preguns que used prenderá conesr en ese cpíulo. Inicimos nuesro esudio de físic con l mecánic, que es el esudio de ls relciones enre fuerz, meri y moimieno. En ese cpíulo y el siguiene esudiremos l cinemáic, es decir, l pre de l mecánic que describe el moimieno. Después eremos l dinámic: l relción enre el moimieno y sus cuss. En ese cpíulo nos concenrmos en el ipo de moimieno más simple: un cuerpo que ij en líne rec. Pr describir ese moimieno, inroducimos ls cniddes físics elocidd y celerción, ls cules en físic ienen definiciones sencills; unque son más preciss y lgo disins de ls empleds en el lenguje coidino. Un speco imporne de ls definiciones de elocidd y celerción en físic es que les cniddes son ecores. Como imos en el cpíulo 1, eso signific que ienen no mgniud como dirección. Aquí nos ineres sólo el moimieno recilíneo, por lo que no necesiremos ún od el álgebr ecoril; no obsne, el uso de ecores será esencil en el cpíulo 3, l considerr el moimieno en dos o res dimensiones. Desrrollremos ecuciones sencills pr describir el moimieno recilíneo en el imporne cso en que l celerción es consne. Un ejemplo es el moimieno de un objeo en cíd libre. Tmbién considerremos siuciones en ls que l celerción rí durne el moimieno. En esos csos hbrá que inegrr pr describir el moimieno. (Si no h esudido inegrción ún, l sección 2.6 es opcionl.) 36

2 2.1 Desplzmieno, iempo y elocidd medi Supong que un piloo de uos de rrncones conduce su ehículo por un pis rec (figur 2.1). Pr esudir su moimieno, necesimos un sisem de coordends. Elegimos que el eje y lo lrgo de l ryecori rec del uo, con el origen en l líne de slid. Tmbién elegimos un puno en el uo, digmos su eremo delnero, y represenmos odo el ehículo con ese puno y lo rmos como un prícul. Un form úil de describir el moimieno de l prícul es decir, el puno que represen el uomóil es en érminos del cmbio en su coordend durne un inerlo de iempo. Supong que 1. s después del rrnque el frene del ehículo esá en el puno P 1, 19 m del origen, y que 4. s después del rrnque esá en el puno P 2, 277 m del origen. El desplzmieno de l prícul es un ecor que pun de P l P 2 (ése l sección 1.7). L figur 2.1 muesr que ese ecor pun lo lrgo del eje. L componene del desplzmieno es simplemene el cmbio en el lor de, (277 m 2 19 m) m, que hubo en un lpso de (4. s 2 1. s) 5 3. s. Definimos l elocidd medi del uo durne ese inerlo de iempo como un cnidd ecoril, cuy componene es el cmbio en diidido enre el inerlo de iempo: (258 m)>(3. s) 5 86 m>s. En generl, l elocidd medi depende del inerlo de iempo elegido. Durne un lpso de 3. s nes del rrnque, l elocidd medi fue cero, porque el uo esb en reposo en l líne de slid y uo un desplzmieno cero. Generlicemos el concepo de elocidd medi. En el iempo 1 el uo esá en el puno P l, con l coordend 1, y en el iempo 2 esá en el puno P 2 con l coordend 2. El desplzmieno del uo en el inerlo de 1 2 es el ecor de P l P 2. L componene del desplzmieno, denod con D, es el cmbio en l coordend : 2.1 Desplzmieno, iempo y elocidd medi 37 D (2.1) El uo de rrncones se muee sólo lo lrgo del eje, de mner que ls componenes y y z del desplzmieno son igules cero. CIUDAD El significdo de D Noe que D no es el produco de D y ; es sólo un símbolo que signific el cmbio en l cnidd. Siempre usremos l ler grieg myúscul D (del) pr represenr un cmbio en cier cnidd, clculd resndo el lor inicil del lor finl, y nunc l iners. Asimismo, el inerlo de iempo de 1 2 es D, el cmbio en l cnidd : D (iempo finl menos iempo inicil). L componene de l elocidd promedio, o elocidd medi, es l componene del desplzmieno, D, diidid enre el inerlo de iempo D en el que ocurre el desplzmieno. Usmos el símbolo med- pr represenr elocidd medi (el 2.1 Posiciones de un uo de rrncones en dos insnes durne su recorrido.

3 38 C APÍTUL 2 Moimieno en líne rec subíndice med indic que se r de un lor promedio y el subíndice indic que és es l componene ): med D D (elocidd medi, moimieno recilíneo) (2.2) En el ejemplo del uo de rrncones enímos m, m, s y s, sí que l ecución (2.2) d med m 2 19 m 4. s 2 1. s m 3. s 5 86 m /s L elocidd medi del uo es posii. Eso signific que, durne el inerlo, l coordend umenó y el uo se moió en l dirección 1 ( l derech en l figur 2.1). Si un prícul se muee en l dirección negi durne un inerlo de iempo, su elocidd medi en ese lpso es negi. Por ejemplo, supong que l cmione de un juez se muee hci l izquierd sobre l pis (figur 2.2). L cmione esá en m en s, y en m en s. Enonces, D5 (19 m m) m y D5(25. s s) 5 9. s. L componene de l elocidd medi es med- 5D>D5(2258 m)>(9. s) 5229 m>s. Hy lguns regls sencills pr l elocidd medi. Siempre que se posii y umene o se negi y se uel menos negi, l prícul se muee en l dirección 1 y med- es posii (figur 2.1). Siempre que se posii y disminuy, o se negi y se uel más negi, l prícul se muee en l dirección 2 y med- es negi (figur 2.2). CUIDAD Elección de l dirección posii No sucumb l ención de pensr que un elocidd medi posii implic necesrimene moimieno l derech, como en l figur 2.1, y un elocidd medi negi implic moimieno l izquierd, como en l figur 2.2. Tles conclusiones son correcs sólo si l dirección 1 es hci l derech, como elegimos en ls figurs 2.1 y 2.2. Igulmene podrímos hber decidido que l dirección 1 fuer hci l izquierd, con el origen en l llegd. Enonces, el uo hbrí enido elocidd medi negi; y l cmione del juez, posii. En csi odos los problems, podremos elegir l dirección del eje de coordends. Un ez omd l decisión, deberá omrse en cuen l inerprer los signos de med- y ors cniddes que describen el moimieno! En el moimieno recilíneo por lo generl llmremos D el desplzmieno y med- l elocidd medi. Sin embrgo, no olide que éss son relmene ls componenes de cniddes ecoriles que, en ese cso especil, sólo ienen componenes. En el cpíulo 3, los ecores de desplzmieno, elocidd y celerción endrán dos o res componenes disins de cero. L figur 2.3 es un gráfic de l posición del uo de rrncones en función del iempo, es decir, un gráfic -. L cur de l figur no represen l ryecori del uo; és es un líne rec, como se obser en l figur 2.1. Más bien, l gráfic es un form de represenr isulmene cómo cmbi l posición del uo con el 2.2 Posiciones de l cmione de un juez en dos insnes durne su moimieno. Los punos P 1 y P 2 hor se refieren ls posiciones de l cmione, por lo que son diferenes de ls de l figur 2.1. Posición en s Posición en s SALIDA LLEGADA P 2 P m Es posición es hor 2. D m D D Desplzmieno de 1 2 Cundo l cmione se muee en l dirección 2, D es negio y, por ende, su elocidd medi: 2258 m med m/s 9. s m Es posición es hor 1.

4 2.2 Velocidd insnáne 39 Pis de rrncones (no esá escl) 4 (m) Pr un desplzmieno lo lrgo del eje, l elocidd medi de un objeo med- es igul l pendiene de un líne que conec los punos correspondienes en un gráfic de posición () conr iempo (). 3 P 2 2 p p 1 P 1 1 Pendiene 5 elocidd D D inclinción D Pendiene 5 de l rec 5 D (s) 2.3 L posición de un uo de rrncones en función del iempo. iempo. Los punos p l y p 2 en l gráfic corresponden los punos P 1 y P 2 de l ryecori del uo. L líne p 1 p 2 es l hipoenus de un riángulo recángulo con ceo ericl D y ceo horizonl D Así, l elocidd medi del uo med- 5D>D es igul l pendiene de l líne p 1 p 2, es decir, el cociene del ceo ericl D y el ceo horizonl D. L elocidd medi depende sólo del desplzmieno ol D que se d durne el inerlo D , no en los pormenores de lo que sucede denro de ese inerlo. En el iempo 1 un moocicle podrí hber rebsdo l uo de rrncones en el puno P l de l figur 2.1, pr después reenr el moor y bjr l elocidd, psndo por P 2 en el mismo insne 2 que el uo. Ambos ehículos ienen el mismo desplzmieno en el mismo lpso, sí que ienen l mism elocidd medi. Si epresmos l disnci en meros y el iempo en segundos, l elocidd medi se mide en meros por segundo (m>s). rs uniddes de elocidd comunes son kilómeros por hor (km>h), pies por segundo (f>s), mills por hor (mi>h) y nudos (1 nudo 5 1 mill náuic>h 5 68 f>h). L bl 2.1 muesr lguns mgniudes ípics de elocidd. Elúe su comprensión de l sección 2.1 Cd uno de los siguienes ijes en uomóil dur un hor. L dirección posii es hci el ese. i) El uomóil A ij 5 km l ese. ii) El uomóil B ij 5 km l oese. iii) El uomóil C ij 6 km l ese, luego d uel y ij 1 km l oese. i) El uomóil D ij 7 km l ese. ) El uomóil E ij 2 km l oese, luego d uel y ij 2 km l ese. ) Clsifique los cinco ijes en orden de elocidd medi de más posiio más negio. b) Cuáles ijes, si hy, ienen l mism elocidd medi? c) Pr cuál ije, si hy, l elocidd medi es igul cero? 2.2 Velocidd insnáne Hy ocsiones en que l elocidd medi es lo único que necesimos sber cerc del moimieno de un prícul. Por ejemplo, un crrer en pis rec es en relidd un compeenci pr deerminr quién uo l myor elocidd medi, med-. Se enreg el premio l compeidor que hy recorrido el desplzmieno D de l líne de slid l de me en el inerlo de iempo más coro, D (figur 2.4). Sin embrgo, l elocidd medi de un prícul durne un inerlo de iempo no nos indic con qué rpidez, o en qué dirección, l prícul se esb moiendo en un insne ddo del inerlo. Pr describir el moimieno con myor delle, necesimos definir l elocidd en culquier insne específico o puno específico del cmino. És es l elocidd insnáne, y debe definirse con cuiddo. Tbl 2.1 Mgniudes ípics de elocidd Repr de crcol Andr rápido Hombre más rápido Gueprdo en crrer Auomóil más rápido Moimieno leorio de moléculs de ire Aión más rápido Sélie de comunicción en órbi 3 m/s Elecrón en un áomo de hidrógeno Luz que ij en el cío 1 23 m/s 2 m/s 11 m/s 35 m/s 341 m/s 5 m/s 1 m/s m/s m/s 2.4 El gndor de un crrer de nción de 5 m es el nddor cuy elocidd medi eng l myor mgniud, es decir, quien cubr el desplzmieno D de 5 m en el iempo rnscurrido D más coro. CUIDAD Cuáno iempo dur un insne? Noe que l plbr insne iene un significdo un poco disino en físic que en el lenguje coidino. Podemos uilizr l frse duró sólo un insne pr referirnos lgo que duró un inerlo de iempo muy coro. Sin embrgo, en físic un insne no iene durción; es un solo lor de iempo.

5 4 C APÍTUL 2 Moimieno en líne rec 2.5 Incluso l nzr, l elocidd insnáne de ese ciclis puede ser negi: si esá ijndo en l dirección negi. En culquier problem, nosoros decidimos cuál dirección es posii y cuál es negi. Pr obener l elocidd insnáne del uo de l figur 2.1 en el puno P 1, moemos el segundo puno P 2 cd ez más cerc del primer puno P 1 y clculmos l elocidd medi med- 5D>D pr esos desplzmienos y lpsos cd ez más coros. Tno D yd se hcen muy pequeños; pero su cociene no necesrimene lo hce. En el lenguje del cálculo, el límie de D>D cundo D se cerc cero es l derid de con respeco y se escribe d>d. L elocidd insnáne es el límie de l elocidd medi conforme el inerlo de iempo se cerc cero; es igul l s insnáne de cmbio de posición con el iempo. Usmos el símbolo, sin med en el subíndice, pr l elocidd insnáne en el eje : D 5 lím DS D 5 d d (elocidd insnáne, moimieno recilíneo) (2.3) Siempre suponemos que D es posiio, sí que iene el mismo signo lgebrico que D. Un lor posiio de indic que umen y el moimieno es en l dirección posii; un lor negio de indic que disminuye y el moimieno es en l dirección negi. Un cuerpo puede ener posiio y negi, o l reés; nos dice dónde esá el cuerpo, en no que nos indic cómo se muee (figur 2.5). L elocidd insnáne, igul que l elocidd medi, es un cnidd ecoril. L ecución (2.3) define su componene. En el moimieno recilíneo, ls demás componenes de l elocidd insnáne son cero y, en ese cso, llmremos simplemene elocidd insnáne. (En el cpíulo 3 eremos el cso generl en el que l elocidd insnáne puede ener componenes, y y z disins de cero.) Al usr el érmino elocidd, siempre nos referiremos l elocidd insnáne, no l medi. Los érminos elocidd y rpidez se usn indisinmene en el lenguje coidino; no obsne, en físic ienen diferene significdo. Rpidez deno disnci recorrid diidid enre iempo, con un régimen medio o insnáneo. Usremos el símbolo (sin subíndice) pr denor l rpidez insnáne, que mide qué n rápido se muee un prícul; l elocidd insnáne mide con qué rpidez y en qué dirección se muee. Por ejemplo, un prícul con elocidd insnáne 5 25 m>s y or con 5225 m>s se mueen en direcciones opuess con l mism rpidez insnáne de 25 m>s. L rpidez insnáne es l mgniud de l elocidd insnáne, sí que no puede ser negi. CUIDAD Rpidez medi y elocidd medi L rpidez medi, sin embrgo, no es l mgniud de l elocidd medi. Cundo Alender Popo esbleció un récord mundil en 1994 ndndo 1. m en s, su rpidez medi fue de (1. m)>(46.74 s) m>s. No obsne, como ndó dos eces l longiud de un lberc de 5 m, erminó en el puno de donde prió, con un desplzmieno ol de cero y un elocidd medi de cero! Tno l rpidez medi como l rpidez insnáne son esclres, no ecores, porque no conienen informción de dirección. Ejemplo 2.1 Velociddes medi e insnáne Un gueprdo cech 2 m l ese del escondie de un obserdor (figur 2.6). En el iempo 5, el gueprdo c un nílope y empiez correr en líne rec. Durne los primeros 2. s del que, l coordend del gueprdo rí con el iempo según l ecución 52 m 1 (5. m>s 2 ) 2. ) beng el desplzmieno del gueprdo enre s y s. b) Clcule l elocidd medi en dicho inerlo. c) Clcule l elocidd insnáne en s omndo D5.1 s, luego D5.1 s, luego D5.1 s. d) Deduzc un epresión generl pr l elocidd insnáne en función del iempo, y con ell clcule en 51. s y 52. s.

6 2.2 Velocidd insnáne 41 SLUCIÓN IDENTIFICAR: Ese problem requiere usr ls definiciones de desplzmieno, elocidd medi y elocidd insnáne. El uso de ls dos primers implic álgebr; l úlim requiere cálculo pr derir. PLANTEAR: L figur 2.6b muesr el moimieno del gueprdo. Pr nlizr ese problem, usmos l ecución (2.1) del desplzmieno, l ecución (2.2) de l elocidd medi y l ecución (2.3) de l elocidd insnáne. EJECUTAR: ) En l 5 1. s, l posición l del gueprdo es m m/s s m En s, su posición 2 es m m/s s m El desplzmieno en ese inerlo es D m 2 25 m 5 15 m b) L elocidd medi durne ese inerlo es med m 2 25 m s 2 1. s 5 15 m 1. s 5 15 m /s L elocidd medi durne esos inerlos es med m 2 25 m m/s 1.1 s 2 1. s Sig ese méodo pr clculr ls elociddes medis de los inerlos de.1 s y.1 s. Los resuldos son 1.5 m>s y 1.5 m>s. Al disminuir D, l elocidd medi se cerc 1. m>s, por lo que concluimos que l elocidd insnáne en 51. s es de 1. m>s. d) Al clculr l elocidd insnáne en función del iempo, derie l epresión de con respeco. L derid de un consne es cero, y pr culquier n l derid de n es n n21, sí que l derid de 2 es 2. Por lo no, 5 d d m /s m/s 2 2 En 51. s, 5 1 m>s, como imos en el inciso c). En 52. s, 5 2 m>s. EVALUAR: Nuesros resuldos muesrn que el gueprdo umenó su rpidez de 5 (cundo esb en reposo) 51. s ( 5 1 m>s) 52. s ( 5 2 m>s), lo cul es rzonble: el gueprdo recorrió sólo 5 m durne el inerlo s; sin embrgo, recorrió 15 m en el inerlo 51. s 52. s. c) Con D5.1 s, el inerlo es de s s. En 2, l posición es m m/s s m 2.6 Un gueprdo gzpdo en un rbuso c un nílope. Los nimles no esán l mism escl que el eje.

7 42 C APÍTUL 2 Moimieno en líne rec N L I N E 1.1 Análisis del moimieno usndo digrms bención de l elocidd en un gráfic - L elocidd de un prícul mbién puede obenerse de l gráfic de l posición de l prícul en función del iempo. Supong que queremos conocer l elocidd del uo de l figur 2.1 en P l. En l figur 2.1, conforme P 2 se cerc P 1, el puno p 2 en l gráfic - de ls figurs 2.7 y 2.7b se cerc l puno p 1 y l elocidd medi se clcul en inerlos D cd ez más coros. En el límie D S, ilusrdo en l figur 2.7c, l pendiene de l líne p 1 p 2 es igul l pendiene de l líne ngene l cur en el puno p 1. Así, en un gráfic de posición en función del iempo pr moimieno recilíneo, l elocidd insnáne en culquier puno es igul l pendiene de l ngene l cur en ese puno. Si l ngene l cur - sube hci l derech, como en l figur 2.7c, enonces su pendiene es posii, l elocidd es posii y el moimieno es en l dirección 1. Si l ngene bj hci l derech, l pendiene de l gráfic - y l elocidd son negis, y el moimieno es en l dirección 2. Cundo l ngene es horizonl, l pendiene y l elocidd son cero. L figur 2.8 ilusr ls res posibiliddes. L figur 2.8 muesr el moimieno de un prícul en dos forms: como ) un gráfic - y como b) un digrm de moimieno que muesr l posición de l prícul en diersos insnes, como cudros de un filme o ideo del moimieno de l 2.7 Uso de un gráfic - l ir de ), b) elocidd medi c) elocidd insnáne. En c) obenemos l pendiene de l ngene l cur - diidiendo culquier inerlo ericl (con uniddes de disnci) lo lrgo de l ngene enre el inerlo horizonl correspondiene (con uniddes de iempo). ) b) c) (m) D 5 2. s D 5 15 m med m/s p 2 p 1 D D (s) Cundo l elocidd medi med- es clculd en inerlos cd ez más coros... (m) D 5 1. s D 5 55 m med m/s p 1 p 2 D D su lor med- 5 D/D se cerc l elocidd insnáne. (s) (m) m 4. s 5 4 m/s Pendiene de l ngene 5 elocidd insnáne p 1 4. s 16 m (s) L elocidd insnáne en un iempo ddo es igul l pendiene de l ngene l cur - en ese iempo. 2.8 ) Gráfic - del moimieno de un prícul dd. L pendiene de l ngene en culquier puno es igul l elocidd en ese puno. b) Digrm de moimieno que muesr l posición y elocidd de l prícul en los cinco insnes rouldos en el digrm -. ) Gráfic - b) Moimieno de prículs A Pendiene cero: 5 C B D Pendiene posii:. Pendiene negi:, E A 5 B C D E 5 L prícul esá en, y se muee en l dirección 1. De A B celer, y de B C fren, y se deiene momenánemene en C. De C D celer en l dirección 2, y de D E fren en l dirección 2. Cuno más empind esá l pendiene (posii o negi) de l gráfic - de un objeo, myor será l rpidez del objeo en l dirección posii o negi.

8 2.3 Acelerción medi e insnáne 43 prícul, juno con flechs que represenn l elocidd de l prícul en cd insne. En ese cpíulo, usremos no ls gráfics - como los digrms de moimieno pr yudrle enender el moimieno. Le recomendmos dibujr un gráfic - y un digrm de moimieno como pre de l resolución de culquier problem que implique moimieno. Elúe su comprensión de l sección 2.2 L figur 2.9 es un gráfic - del moimieno de un prícul. ) rdene los lores de l elocidd de l prícul en los punos P, Q, R y S del más posiio l más negio. b) En qué punos es posii? c) En cuáles punos es negi? d) En cuáles es cero? e) rdene los lores de l rpidez de l prícul en los punos P, Q, R y S del más rápido l más leno. 2.9 Un gráfic - pr un prícul. Q P R 2.3 Acelerción medi e insnáne S Así como l elocidd describe l s de cmbio de posición con el iempo, l celerción describe l s de cmbio de elocidd con el iempo. Al igul que l elocidd, l celerción es un cnidd ecoril. En el moimieno recilíneo, su únic componene disin de cero esá sobre el eje en que ocurre el moimieno. Como eremos, en el moimieno recilíneo l celerción puede referirse no umenr l rpidez como disminuirl. Acelerción medi Consideremos or ez el moimieno de un prícul en el eje. Supong que, en el iempo l, l prícul esá en el puno P l y iene un componene de elocidd (insnáne) 1, y en un insne poserior 2 esá en P 2 y iene un componene de elocidd 2. Así, l componene de l elocidd cmbi en D en el inerlo D Definimos l celerción medi de l prícul l moerse de P l P 2 como un cnidd ecoril cuy componene es med- igul D, el cmbio en l componene de l elocidd, diidido enre el inerlo de iempo D: med D D (celerción medi, moimieno recilíneo) (2.4) En el moimieno recilíneo lo lrgo del eje, por lo generl llmremos med- l celerción medi. (Veremos ors componenes del ecor de celerción medi en el cpíulo 3.) Si epresmos l elocidd en meros por segundo y el iempo en segundos, l celerción medi esá en meros por segundo por segundo, o bien (m>s)>s. Eso suele escribirse como m>s 2 y se lee meros por segundo l cudrdo. CUIDAD Acelerción conr elocidd No confund celerción con elocidd! L elocidd describe el cmbio de l posición de un objeo con el iempo; nos indic con qué rpidez y en qué dirección se muee el objeo. L celerción describe cómo cmbi l elocidd con el iempo; es decir, nos dice cómo cmbin l rpidez y l dirección del moimieno. Podrí ser úil recordr l frse celerción es elocidd lo que elocidd es posición. Tmbién yudrí imginrse used mismo yendo en un uomóil con el cuerpo en moimieno. Si el uo celer hci delne y umen su rpidez, used se senirí empujdo hci rás hci su sieno; si celer hci rás y disminuye su rpidez, se senirí empujdo hci delne. Si l elocidd es consne y no hy celerción, no senirí sensción lgun. (Anlizremos l cus de ess sensciones en el cpíulo 4.)

9 44 C APÍTUL 2 Moimieno en líne rec Ejemplo 2.2 Acelerción medi Un sronu sle de un ne espcil en órbi pr probr un unidd personl de mniobrs. Mienrs se muee en líne rec, su compñer bordo mide su elocidd cd 2. s prir del insne 51. s: 1. s 3. s 5. s 7. s Clcule l celerción medi y dig si l rpidez de l sronu umen o disminuye pr cd uno de esos inerlos: ) s s; b) s s; c) s 2 5 l l. s; d) s s. SLUCIÓN.8 m/s 1.2 m/s 1.6 m/s 1.2 m/s IDENTIFICAR: Necesiremos l definición de celerción medi med-. Pr clculr los cmbios en l rpidez, usremos l ide de que l rpidez es l mgniud de l elocidd insnáne. PLANTEAR: L figur 2.1 muesr nuesrs gráfics. Usmos l ecución (2.4) pr deerminr el lor de med- prir del cmbio de elocidd en cd inerlo de iempo. EJECUTAR: En l pre superior de l figur 2.1, grficmos l elocidd en función del iempo. En es gráfic -, l pendiene de l líne que conec los punos inicil y finl de cd inerlo es l celerción medi med- 5D >D pr ese inerlo. En l pre inferior de l figur 2.1, grficmos los lores de med-. benemos: ) med m/s 2.8 m/s2 /1 3. s 2 1. s2 5.2 m/s 2. L rpidez (mgniud de l elocidd insnáne) umen de.8 m>s 1.2 m>s. b) med m/s m/s2 /1 7. s 2 5. s m/s 2. L rpidez disminuye de 1.6 m>s 1.2 m>s. c) med m/s m/s24/1 11. s 2 9. s s 11. s 13. s 15. s 2.4 m/s 21. m/s 21.6 m/s 2.8 m/s 2.1 Nuesr gráfic de elocidd conr iempo (rrib) y celerción medi conr iempo (bjo) pr l sronu. L pendiene de l líne que conec cd pr de punos en l gráfic es igul l celerción medi enre esos punos. 2.3 m/s 2. L rpidez umen de.4 m>s 1. m>s. d) med m/s m/s24/1 15. s s2 5.4 m/s 2. L rpidez disminuye de 1.6 m>s.8 m>s. EVALUAR: Nuesro resuldo indic que cundo l celerción iene l mism dirección (el mismo signo lgebrico) que l elocidd inicil, como en los inerlos ) y c), l sronu se muee más rápidmene; cundo iene l dirección opues (el signo opueso) como en los inerlos b) y d), se fren. De mner que l celerción posii signific ir más rápido si l elocidd es posii [inerlo )], pero frenr si l elocidd es negi [inerlo d)]. Asimismo, celerción negi implic ir más rápido si l elocidd es negi [inerlo c)], pero frenr si l elocidd es posii [inerlo b)]. Acelerción insnáne Y podemos definir l celerción insnáne con el mismo procedimieno que seguimos pr l elocidd insnáne. Como ejemplo, supong que un piloo de crrers cb de enrr en un rec como se muesr en l figur Pr definir l celerción insnáne en P 1, ommos el segundo puno P 2 en l figur 2.11 cd ez más cerc de P 1, de modo que l celerción medi se clcule en inerlos cd ez más coros. L celerción insnáne es el límie de l celerción medi conforme el inerlo de iempo se cerc cero. En el lenguje del cálculo, l celerción insnáne es l s insnáne de cmbio de l elocidd con el iempo. Así, D 5 lím 5 d DS D d (celerción insnáne, moimieno recilíneo) (2.5) 2.11 Vehículo de Grnd Pri en dos punos de l rec. P 1 Rpidez 1 elocidd 1 P 2 Rpidez 2 elocidd 2

10 2.3 Acelerción medi e insnáne 45 bsere que l ecución (2.5) es relmene l definición de l componene del ecor de celerción o l celerción insnáne; en el moimieno recilíneo, ls demás componenes de ese ecor son cero. A prir de quí, l hblr de celerción nos referiremos siempre l celerción insnáne, no l celerción medi. Ejemplo 2.3 Acelerciones medi e insnáne Supong que l elocidd del uo en l figur 2.11 en el iempo esá dd por ) Clcule el cmbio de elocidd del uo en el inerlo enre s y s. b) Clcule l celerción medi en ese inerlo. c) beng l celerción insnáne en s omndo D primero como.1 s, después como.1 s y luego como.1 s. d) Deduzc un epresión pr l celerción insnáne en culquier insne y úsel pr obener l celerción en 5 1. s y 53. s. SLUCIÓN IDENTIFICAR: Ese ejemplo es similr l ejemplo 2.1 de l sección 2.2. (Recomendmos repsr hor ese ejemplo.) Ahí, clculmos l elocidd medi en inerlos cd ez más coros considerndo el cmbio en el desplzmieno, y obuimos l elocidd insnáne diferencindo l posición en función del iempo. En ese ejemplo, deerminremos l celerción medi considerndo cmbios de elocidd en un inerlo de iempo. Asimismo, obendremos l celerción insnáne diferencindo l elocidd en función del iempo. PLANTEAR: Usremos l ecución (2.4) de l celerción medi y l ecución (2.5) de l celerción insnáne. EJECUTAR: ) Primero obenemos l elocidd en cd insne susiuyendo cd lor de en l ecución. En el insne s, m/s m/s s m/s En el insne s, m/s m/s s m/s El cmbio en l elocidd D es 5 6 m/s m/s D m/s m/s 5 4. m/s El inerlo de iempo es D 5 3. s 2 1. s 5 2. s. b) L celerción medi durne ese inerlo es Durne el inerlo de s s, l elocidd y l celerción medi ienen el mismo signo (posiio en ese cso) y el uo celer. c) Cundo D 5.1 s, s y obenemos med- 5 D D Repi ese modelo con D 5.1 s y D 5.1 s; los resuldos son med m>s 2 y med m>s 2, respecimene. Al reducirse D, l celerción medi se cerc 1. m>s 2, por lo que concluimos que l celerción insnáne en 5 1. s es 1. m>s 2. d) L celerción insnáne es 5 d >d. L derid de un consne es cero y l derid de 2 es 2. Con eso, obenemos 5 d d Cundo 51. s, Cundo 53. s, med m /s 5 2. m/s s m/s m/s s m/s D 5.15 m/s 5.15 m /s.1 s m/s 2 5 d d 36 m /s m/s m/s m/s m/s s m/s m/s s m/s 2 EVALUAR: bsere que ninguno de los lores que obuimos en el inciso d) es igul l celerción medi obenid en b). L celerción insnáne del uo rí con el iempo. L s de cmbio de l celerción con el iempo se suele denominr el irón. bención de l celerción en un gráfic - o un gráfic - En l sección 2.2 inerpremos ls elociddes medi e insnáne en érminos de l pendiene de un gráfic de posición conr iempo. Igulmene, podemos enender mejor ls celerciones medi e insnáne grficndo l elocidd insnáne en el eje ericl y el iempo en el eje horizonl, es decir, usndo un gráfic - (figur 2.12). Los punos rouldos p 1 y p 2 corresponden los punos P l y P 2 de l figur L celerción medi med- 5D >D durne ese inerlo es l pendiene de l líne p 1 p 2. Al cercrse P 2 P 1 en l figur 2.11, p 2 se cerc p 1 en l gráfic - de l figur 2.12, y l pendiene de l líne p 1 p 2 se cerc l pendiene de l ngene l cur en el puno p 1. Así, en un gráfic de elocidd en función del iempo, l celerción insnáne en culquier puno es igul l pendiene de l ngene de l cur en ese puno. En l figur 2.12, ls ngenes rzds en

11 46 C APÍTUL 2 Moimieno en líne rec 2.12 Gráfic - del moimieno de l figur Pr un desplzmieno lo lrgo del eje, l celerción medi de un objeo es igul l pendiene de un líne que conec los punos correspondienes en un gráfic de elocidd ( ) conr iempo (). 2 1 p 1 1 Pendiene 5 celerción medi D p 2 2 D Pendiene de l ngene l cur - en un puno ddo 5 celerción insnáne en ese puno. diferenes punos en l cur ienen pendienes diferenes, de mner que l celerción insnáne rí con el iempo. CUIDAD Los signos de celerción y elocidd En sí mismo, el signo lgebrico de l celerción no nos indic si el cuerpo esá celerndo o frenndo; hy que comprr los signos de l elocidd y l celerción. Si y ienen el mismo signo, el cuerpo esá celerndo; si mbs son posiis, el cuerpo se muee en l dirección posii con rpidez creciene. Si mbs son negis, el cuerpo se muee en l dirección negi con elocidd cd ez más negi, y l rpidez umen nuemene. Si y ienen signos opuesos, el cuerpo esá frenndo. Si es posii y negi, el cuerpo se muee en dirección posii con rpidez decreciene; si es negi y posii, el cuerpo se muee en dirección negi con un elocidd cd ez menos negi, y nuemene esá frenndo. L figur 2.13 ilusr lguns de les posibiliddes. Frecuenemene llmmos descelerción un reducción de rpidez. Ddo que eso puede implicr posii o negi, dependiendo del signo de, eiremos ese érmino. Tmbién podemos conocer l celerción de un cuerpo prir de un gráfic de su posición conr iempo. Ddo que 5 d >d y 5 d>d, escribimos? 5 d d 5 d1 d d d2 5 d2 d 2 (2.6) 2.13 ) Gráfic - del moimieno de un prícul diferene de l que se muesr en l figur 2.8. L pendiene de l ngene en culquier puno es igul l celerción en ese puno. b) Digrm de moimieno que indic l posición, elocidd y celerción de l prícul en los insnes rouldos en l gráfic -. Ls posiciones son congruenes con l gráfic -; por ejemplo, de A B l elocidd es negi, sí que en B l prícul esá en un lor más negio de que en A. ) L gráfic - pr un objeo que se muee en el eje b) Posición, elocidd y celerción del objeo en el eje A B Pendiene cero: 5 C Pendiene posii:. Pendiene negi:, Cuno más empind esé l pendiene (posii o negi) de l gráfic - de un objeo, myor será l celerción del objeo en l dirección posii o negi. D E A 5 B C D E El objeo esá en, y se muee en l dirección 2 (, ), frenndo ( y ienen signos opuesos). El objeo esá en,, insnánemene en reposo ( 5 ), y puno de moerse en l dirección 1 (. ). El objeo esá en. y se muee en l dirección 1 (. ); su rpidez no cmbi insnánemene ( 5 ). El objeo esá en., insnánemene en reposo ( 5 ), y puno de moerse en l dirección 2 (, ). El objeo esá en. y se muee en l dirección 2 (, ), celerndo ( y ienen el mismo signo).

12 2.4 Moimieno con celerción consne ) L mism gráfic - de l figur 2.8. L elocidd es igul l pendiene de l gráfic, y l celerción esá dd por su concidd o curur. b) Digrm de moimieno que muesr l posición, elocidd y celerción de l prícul en cd uno de los insnes rouldos en l gráfic -. ) Gráfic - b) Moimieno del objeo A Pendiene cero: 5 Curur hci bjo:, B C D Pendiene negi:, Curur cero: 5 Pendiene posii:. Curur cero: 5 Pendiene posii:. Curur hci rrib:. Pendiene negi:, Curur hci rrib:. Cuno myor se l curur (hci rrib o hci bjo) de l gráfic - de un objeo, myor será l celerción del objeo en l dirección posii o negi. E A 5 B C D E El objeo esá en,, se muee en l dirección 1 (. ) y celer ( y ienen el mismo signo). El objeo esá en 5, se muee en l dirección 1 (. ); l rpidez no cmbi insnánemene ( 5 ). El objeo esá en., insnánemene en reposo ( 5 ) y puno de moerse en l dirección 2 (, ). El objeo esá en., se muee en l dirección 2 (, ); l rpidez no cmbi insnánemene ( 5 ). El objeo esá en., se muee en l dirección 2 (, ) y fren ( y ienen signos opuesos). Es decir, es l segund derid de con respeco. L segund derid de culquier función se relcion direcmene con l concidd o curur de l gráfic de l función. En un puno donde l cur - se cónc hci rrib (curd hci rrib), l celerción es posii y umen; donde l cur - se cónc hci bjo, l celerción es negi y disminuye. Donde l gráfic - no eng curur, como en un puno de infleión, l celerción es cero y l elocidd es consne. Ess res posibiliddes se ilusrn en l figur Eminr l curur de un gráfic - es un mner sencill de decidir qué signo iene l celerción. Es écnic es menos úil pr deerminr lores numéricos de l celerción, y que es difícil medir con eciud l curur de un gráfic. Elúe su comprensión de l sección 2.3 bsere or ez l gráfic - de l figur 2.9 l finl de l sección 2.2. ) En cuál de los punos P, Q, R y S l celerción es posii? b) En cuáles es negi? c) En cuáles prece ser cero? d) En cd puno decid si l rpidez umen, disminuye o se mniene consne. 2.4 Moimieno con celerción consne El moimieno celerdo más sencillo es el recilíneo con celerción consne. En ese cso, l elocidd cmbi l mismo rimo odo el iempo. Se r de un siución muy especil, un cundo ocurre menudo en l nurlez; un cuerpo que ce iene celerción consne si los efecos del ire no son impornes. Lo mismo sucede con un cuerpo que se desliz por un pendiene o sobre un superficie horizonl ásper. El moimieno recilíneo con celerción csi consne se d mbién en l ecnologí, como cundo un je de combe es lnzdo con cpul desde l cubier de un poriones. L figur 2.15 es un digrm de moimieno que muesr l posición, elocidd y celerción de un prícul que se muee con celerción consne. Ls figurs 2.16 y 2.17 represenn ese moimieno con gráfics. Pueso que l celerción es consne, l gráfic - (celerción conr iempo) de l figur 2.16 es un líne horizonl. L gráfic de elocidd conr iempo, -, iene pendiene consne porque l celerción es consne; por lo no, es un líne rec (figur 2.17) Digrm de moimieno pr un prícul que se muee en líne rec en l dirección 1 con celerción posii consne. Se muesrn l posición, elocidd y celerción en cinco insnes equiespcidos. D 2D 3D 4D Si un prícul se muee en líne rec con celerción consne l elocidd cmbi cniddes igules en inerlos igules. Sin embrgo, l posición cmbi cniddes diferenes en inerlos igules porque l elocidd cmbi.

13 48 C APÍTUL 2 Moimieno en líne rec 2.16 Gráfic celerción-iempo ( -) pr moimieno recilíneo con celerción posii consne. Acelerción consne: l gráfic - es un líne horizonl (pendiene 5 ). Cundo l celerción es consne, l celerción medi med- pr culquier inerlo es. Eso uele sencillo derir ls ecuciones pr l posición y l elocidd como funciones del iempo. Pr enconrr un epresión pr primero susiuimos med- por en l ecución (2.4): Sen hor l 5 y 2 culquier insne poserior. Simbolizmos con l componene de l elocidd en el insne inicil 5; l componene de l elocidd en el insne poserior es. Enonces, l ecución (2.7) se coniere en (2.7) El áre bjo l gráfic - es 2 5 cmbio de elocidd del iempo l iempo o 5 1 (sólo con celerción consne) (2.8) 2.17 Gráfic elocidd-iempo ( -) pr moimieno recilíneo con celerción posii consne. L elocidd inicil mbién es posii en ese cso. Acelerción consne: l gráfic - es un rec. Pendiene 5 celerción Durne el inerlo, l elocidd cmbi como 2 5. El áre ol bjo l gráfic - es 2 5 cmbio en l coordend del iempo l iempo. Podemos inerprer l ecución como sigue. L celerción es l s consne de cmbio de elocidd, es decir, el cmbio en l elocidd por unidd de iempo. El érmino es el produco del cmbio en l elocidd por unidd de iempo,, y el inerlo de iempo ; por lo no, es el cmbio ol de l elocidd desde el insne inicil 5 hs un insne poserior. L elocidd en culquier insne es enonces l elocidd inicil (en 5) más el cmbio en l elocidd (ése l figur 2.17). r inerpreción de l ecución (2.8) es que el cmbio de elocidd 2 de l prícul enre 5 y un iempo poserior es igul l áre bjo l gráfic - enre esos dos insnes. En l figur 2.16, el áre bjo l gráfic - es el recángulo erde con ldo ericl y ldo horizonl. El áre del recángulo es, que por l ecución (2.8) es igul l cmbio en elocidd 2. En l sección 2.6 eremos que un cundo l celerción no se consne, el cmbio de elocidd durne un inerlo es igul l áre bjo l cur -, unque en l cso l ecución (2.8) no es álid. Ahor deduciremos un ecución pr l posición en función del iempo cundo l celerción es consne. Pr ello, usmos dos epresiones disins pr l elocidd medi med- en el inerlo de 5 culquier poserior. L primer proiene de l definición de med-, ecución (2.2), que se cumple se consne o no l celerción. L posición inicil es l posición en 5, denod con. L posición en el poserior es simplemene. Así, pr el inerlo D5 2 y el desplzmieno D 5 2, l ecución (2.2) d med- 5 2 (2.9) N L I N E 1.1 Análisis del moimieno con digrms 1.2 Análisis del moimieno con gráfics 1.3 Predicción de un moimieno con bse en gráfics 1.4 Predicción de un moimieno con bse en ecuciones 1.5 Esregis pr resoler problems de cinemáic 1.6 Esquidor en compeenci de descenso Tmbién podemos obener or epresión pr med- que se álid sólo si l celerción es consne, de modo que l gráfic - se un líne rec (como en l figur 2.17) y l elocidd cmbie rimo consne. En ese cso, l elocidd medi en culquier inerlo es sólo el promedio de ls elociddes l principio y l finl del inerlo. Pr el inerlo de, med (sólo con celerción consne) (2.1) (Eso no se cumple si l celerción rí y l gráfic - es un cur, como en l figur 2.13.) Tmbién sbemos que, con celerción consne, l elocidd en un insne esá dd por l ecución (2.8). Susiuyendo es epresión por en l ecución (2.1), med (sólo con celerción consne) (2.11)

14 2.4 Moimieno con celerción consne 49 Por úlimo, igulmos ls ecuciones (2.9) y (2.11) y simplificmos el resuldo: o (sólo con celerción consne) (2.12) Es ecución (2.12) indic que si, en el insne 5, un prícul esá en y iene elocidd, su nue posición en un poserior es l sum de res érminos: su posición inicil, más l disnci que recorrerí si su elocidd fuer consne, y un disnci dicionl 2 2 cusd por el cmbio de elocidd. 1 Un gráfic de l ecución (2.12), es decir, un gráfic - pr moimieno con celerción consne (figur 2.18), siempre es un prábol. L figur 2.18b muesr l gráfic. L cur inersec el eje ericl () en, l posición en 5. L pendiene de l ngene en 5 es, l elocidd inicil, y l pendiene de l ngene en culquier es l elocidd en ese insne. L pendiene y l elocidd umenn coninumene, sí que l celerción es posii. Used puede mbién er eso porque l gráfic de l figur 2.18b es cónc hci rrib (se cur hci rrib). Si es negi, l gráfic - es un prábol cónc hci bjo (iene curur hci bjo). Si hy celerción cero, l gráfic - es un rec; si hy un celerción consne, el érmino dicionl 2 2 en l ecución (2.12) pr en función de cur l 1 gráfic en un prábol (figur 2.19). Podemos nlizr l gráfic - de l mism form. Si hy celerción cero, es gráfic es un líne horizonl (l elocidd es consne); sumr un celerción consne d un pendiene pr l gráfic - (figur 2.19b). N L I N E 1.8 Los cinurones de seguridd sln ids 1.9 Frendo con derrpe 1.1 Auo rrnc y luego se deiene 1.11 Resolución de problems con dos ehículos 1.12 Auo lcnz cmión 1.13 Cómo eir un choque por rás ) Un uo de crrers se muee en l dirección con celerción consne 5 1 Durne el inerlo, l elocidd cmbi como 2 5. b) L gráfic - Pendiene 5 Acelerción consne: l gráfic - es un prábol ) Moimieno recilíneo con celerción consne. b) Un gráfic de posición conr iempo (-) pr ese moimieno (el mismo moimieno que se muesr en ls figurs 2.15, 2.16 y 2.17). En ese cso, l posición inicil, l elocidd inicil y l celerción son ods posiis. Pendiene ) Cómo un celerción consne influye en ) l gráfic - y b) l gráfic - de un cuerpo.

15 5 C APÍTUL 2 Moimieno en líne rec Así como el cmbio de elocidd de l prícul es igul l áre bjo l gráfic -, el desplzmieno (es decir, el cmbio de posición) es igul l áre bjo l gráfic -. Específicmene, el desplzmieno 2 de l prícul enre 5 y culquier insne poserior es igul l áre bjo l cur - enre esos dos insnes. En l figur 2.17 el áre bjo l gráfic se diidió en un recángulo oscuro con ldo ericl, ldo horizonl y un riángulo recángulo clro con ldo ericl y 1 ldo horizonl. El áre del recángulo es, y l del riángulo, , sí que el áre ol bjo l cur - es lo que concuerd con l ecución (2.12). El desplzmieno durne un inerlo siempre puede obenerse del áre bjo l cur -, incluso si l celerción no es consne, unque en l cso l ecución (2.12) no serí álid. (Demosrremos eso en l sección 2.6.) Podemos comprobr si ls ecuciones (2.8) y (2.12) son congruenes con el supueso de celerción consne derindo l ecución (2.12). benemos 5 d d 5 1 que es l ecución (2.8). Diferencindo or ez, enemos simplemene d d 5 que concuerd con l definición de celerción insnáne. Con frecuenci es úil ener un relción enre posición, elocidd y celerción (consne) que no incluy el iempo. Pr obenerl, despejmos en l ecución (2.8), susiuimos l epresión resulne en l ecución (2.12) y simplificmos: Trnsferimos el érmino l miembro izquierdo y muliplicmos l ecución por 2 : Por úlimo, l simplificr obenemos (sólo con celerción consne) (2.13) Podemos obener un relción más úil igulndo dos epresiones pr med-, ecuciones (2.9) y (2.1), y muliplicndo por. Al hcerlo, obenemos (sólo celerción consne) (2.14) bsere que l ecución (2.14) no coniene l celerción. Es ecución es úil cundo es consne pero se desconoce su lor.

16 2.4 Moimieno con celerción consne 51 Ls ecuciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) son ls ecuciones del moimieno con celerción consne. Con ells, podemos resoler culquier problem que implique moimieno recilíneo de un prícul con celerción consne. En el cso específico de moimieno con celerción consne ilusrdo en l figur 2.15 y grficdo en ls figurs 2.16, 2.17 y 2.18, los lores de, y son posiios. Vuel dibujr ls figurs pr los csos en que un, dos o ls res cniddes sen negis. Un cso especil de moimieno con celerción consne se d cundo l celerción es cero. L elocidd es enonces consne, y ls ecuciones del moimieno se conieren sencillmene en 5 5 consne 5 1 Esregi pr resoler problems 2.1 Moimieno con celerción consne IDENTIFICAR los concepos perinenes: En csi odos los problems de moimieno recilíneo, used podrá usr ls ecuciones de celerción consne, unque eces se oprá con siuciones en que l celerción no es consne. En les csos, necesirá or esregi (ése l sección 2.6). PLANTEAR el problem siguiendo esos psos: 1. Primero decid dónde esá el origen de ls coordends y cuál dirección es posii. A menudo lo más sencillo es colocr l prícul en el origen en 5; sí, 5. Siempre es úil un digrm de moimieno que muesre ls coordends y lguns posiciones poseriores de l prícul. 2. Recuerde que elegir l dirección posii del eje deermin uomáicmene ls direcciones posiis de l elocidd y l celerción. Si es posii l derech del origen, y mbién serán posiis hci l derech. 3. Replnee el problem con plbrs y luego rduzc su descripción símbolos y ecuciones. Cuándo lleg l prícul ciero puno (es decir, cuáno le )? Dónde esá l prícul cundo iene cier elocidd (eso es, cuáno le cundo iene ese lor)? El ejemplo 2.4 pregun Dónde esá el moociclis cundo su elocidd es de 25 m>s? En símbolos, eso indic Cuáno le cundo 5 25 m>s? 4. Hg un lis de ls cniddes como,,,, y. En generl, lguns serán conocids y ors no. Escrib los lores de ls conocids y decid cuáles de ls ribles son ls incógnis. No pse por lo informción implíci. Por ejemplo, un uomóil esá prdo ne un semáforo implic 5. EJECUTAR l solución: Elij un de ls ecuciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) que coneng sólo un de ls incógnis. Despeje l incógni usndo sólo símbolos, susiuy los lores conocidos y clcule el lor de l incógni. A eces endrá que resoler dos ecuciones simulánes con dos incógnis. EVALUAR l respues: Emine sus resuldos pr er si son lógicos. Esán denro del inerlo generl de lores esperdo? Ejemplo 2.4 Cálculos de celerción consne Un moociclis que ij l ese cruz un pequeñ ciudd de Iow y celer pens ps el lerero que mrc el límie de l ciudd (figur 2.2). Su celerción consne es de 4. m>s 2. En 5, esá 5. m l ese del lerero, moiéndose l ese 15 m>s. ) Clcule su posición y elocidd en 52. s. b) Dónde esá el moociclis cundo su elocidd es de 25 m>s? 2.2 Un moociclis que ij con celerción consne. SAGE AW 5 5. m m/s 5 4. m/s AW 5? 5 2. s 5? (ese) SLUCIÓN IDENTIFICAR: El enuncido del problem nos dice que l celerción es consne, sí que podemos usr ls ecuciones pr celerción consne. PLANTEAR: Tommos el lerero como origen de coordends ( 5 ) y decidimos que el eje 1 pun l ese (figur 2.2, que mbién es un digrm de moimieno). En 5, l posición inicil es 5 5. m y l elocidd inicil es 5 15 m>s. L celerción consne es 5 4. m>s 2. Ls ribles desconocids en el inciso ) son los lores de l posición y l elocidd en el insne poserior 52. s; l incógni en el inciso b) es el lor de cundo 5 25 m>s. coninú

17 PLICE hp://libreri-uniersiri.blogspo.com 52 C APÍTUL 2 Moimieno en líne rec EJECUTAR: ) Podemos hllr l posición en 52. s usndo l ecución (2.12) que d l posición en función del iempo : m m/s21 2. s m /s s m Podemos hllr l elocidd en ese insne con l ecución (2.8), que d l elocidd en función del iempo : m/s m/s s m/s b) Queremos enconrr el lor de cundo 5 25 m>s, pero no sbemos el momeno en que el moociclis lle l elocidd. Por lo no, uilizmos l ecución (2.13), que incluye, y pero no incluye : Despejndo y susiuyendo los lores conocidos, obenemos m m /s m/s m m/s 2 2 Un méodo lerno unque más lrgo pr l mim respues serí usr l ecución (2.8) pr erigur primero en qué insne 5 25 m>s: Ddo el iempo, podemos clculr usndo l ecución (2.12): m m/s s m /s s m sí que 5 25 m /s 2 15 m/s 4. m/s s EVALUAR: Son lógicos los resuldos? Según lo que clculmos en el inciso ), el moociclis celer de 15 m>s (uns 34 mi>h o 54 km>h) 23 m>s (uns 51 mi>h o 83 km>h) en 2. s, mienrs recorre un disnci de 38 m (unos 125 f). És es un celerción considerble, pero un moocicle de lo rendimieno bien puede lcnzrl. Al comprr nuesros resuldos del inciso b) con los del inciso ), nomos que el moociclis lcnz un elocidd 5 25 m>s en un insne poserior y después de recorrer un disnci myor, que cundo el moociclis ení 5 23 m>s. Eso suen lógico porque el moociclis iene un celerción posii y, por ende, se incremen su elocidd. Ejemplo 2.5 Dos cuerpos con diferene celerción Un conducor que ij rpidez consne de 15 m>s (uns 34 mi>h) ps por un cruce escolr, cuyo límie de elocidd es de 1 m>s (uns 22 mi>h). En ese preciso momeno, un oficil de policí en su moocicle, que esá prdo en el cruce, rrnc pr perseguir l infrcor, con celerción consne de 3. m>s 2 (figur 2.21). ) Cuáno iempo ps nes de que el oficil de policí lcnce l infrcor? b) A qué rpidez el policí en ese insne? c) Qué disnci ol hbrá recorrido cd ehículo hs hí? SLUCIÓN IDENTIFICAR: El oficil de policí y el conducor se mueen con celerción consne (cero en el cso del conducor), sí que podemos usr ls fórmuls que y dedujimos. PLANTEAR: Tommos como origen el cruce, sí que 5 pr mbos, y ommos como dirección posii l derech. Se P l posición del policí y M l del conducor en culquier insne. Ls elociddes iniciles son P 5 pr el policí y M 5 15 m>s pr el conducor; ls respecis celerciones consnes son P 5 3. m>s 2 y M 5. Nuesr incógni en el inciso ) es el iempo rs el cul el policí lcnz l conducor, es decir, cundo los dos ehículos esán en l mism posición. En el inciso b) nos ineres l rpidez del policí (l mgniud de su elocidd) en el iempo obenido en el inciso ). En el inciso c) nos ineres l posición de culesquier de los ehículos en ese iempo. Por lo no, usremos l ecución (2.12) (que relcion posición y iempo) en los 2.21 ) Moimieno con celerción consne que lcnz moimieno con elocidd consne. b) Gráfic de conr pr cd ehículo. ) CRUCE ESCLAR ficil de policí: inicilmene en reposo, celerción consne. P P 5 3. m/s 2 Conducor: elocidd consne. M M 5 15 m/s b) (m) 8 El policí y el conducor se encuenrn en el insne donde se cruzn sus gráfics -. Conducor 4 Policí (s)