ONDAS ESTACIONARIAS: DETERMINACIÓN DE LA FRECUENCIA FUNDAMENTAL, SUS ARMÓNICOS Y VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN EN CABLES Y MUELLES

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1 ONDAS ESTACIONARIAS: DETERMINACIÓN DE LA FRECUENCIA FUNDAMENTAL, SUS ARMÓNICOS Y VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN EN CABLES Y MUELLES (Páctica º : El puete de Tacoma Naows) FERNANDO HUESO GONZÁLEZ Paeja 7 - Gupo B-L1 º DE FÍSICA - UVEG Laboatoio de Mecáica y Odas Páctica ealizada el 10-XI-08 Ifome etegado el 17-XI-08

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3 OBJETIVO E este expeimeto se estudia el movimieto odulatoio e cables tesos y fijos po ambos extemos, e los que se foma odas estacioaias po la acció de u vibado mecáico paa detemiadas fecuecias atuales de vibació. Los objetivos picipales del expeimeto so: la detemiació de la fecuecia fudametal; la compobació de que sus amóicos so múltiplos de la misma; la obteció de la velocidad de popagació de las odas tasvesales e cada cable e fució de la tesió aplicada, así como sus desidades lieales y volúmicas espectivas; el estudio de la vaiació de los valoes ateioes paa distitas tesioes y el cálculo de la velocidad de popagació de u pulso e el muelle. FUNDAMENTOS TEÓRICOS El objeto de estudio es la fomació de amóicos e ua cueda sujeta po ambos extemos, tesada y petubada amóicamete. Las fecuecias atuales de vibació o fecuecias popias so aquellas paa las que se foma e la cueda ua oda estacioaia. Paa descibi el movimieto de la oda es ecesaia ua fució de dos vaiables: la posició y el tiempo. De esta maea, podemos cooce la posició y de cada puto o secció de la cueda alededo de su posició de equilibio e fució del tiempo t y del puto sobe la cueda cosideado. y ( x, t) [1] Si a lo lago de la cueda se desplaza ua oda amóica, podemos caacteiza la misma mediate su fecuecia agula ω, fecuecia ν, logitud de oda λ, vecto de odas k y velocidad de popagació v. Se cumple las siguietes elacioes: π ω = πν v = λν k = [] λ El movimieto odulatoio puede se descito mediate la siguiete ecuació: y( x, t) = y si( ωt kx) [3] 0 Se emplea la fució seo ya que la oda debe cumpli que e sus extemos la oscilació sea ceo [ y(0,t)=y(l,t)=0 ]. E el caso de utiliza la fució coseo, el agumeto estaía desfasado e π/ y las elacioes tigoométicas que se emplea después so algo difeetes. Al eflejase la oda y i e el extemo fijo habá ua supeposició de odas popagádose e dieccioes opuestas. El sigo de kx e el agumeto cambiaá. Además, la oda eflejada y se habá ivetido (cambio e el sigo de y debido a u desfase de π), y tas desaolla mediate elacioes tigoométicas (Guió del laboatoio) se obtiee: ( ωt + kx) y = y + y = y si( ωt kx) y si( ωt + kx) = y si( kx) cos( ωt) y = y0 si i [4] La fució ateio se aula e x=0. Al esta ambos extemos fijos, debemos impoe que se aule tambié e x=l paa todo t, dode L es la logitud de la cueda ete los putos fijos. Po tato: si ( kl) = 0 kl = π Ν [5] E cosecuecia, se fomaá odas estacioaias paa valoes discetos de la fecuecia. El úmeo atual epeseta el ode del modo de vibació y coicide co el úmeo de vietes que se obseva e la oda estacioaia. Además, el cociete ete u amóico y la fecuecia fudametal daá u úmeo eteo. v ν 1 ν = = Ν [6] L ν 1 Las odas estacioaias se caacteiza po peseta putos e eposo cotiuo, llamados odos y egioes de cueda dode la cueda oscila alededo del equilibio (vietes), e cuyos cetos se ecueta los putos de máxima amplitud. Cuado es 1, sólo hay u viete, y la fecuecia se deomia fudametal. El úmeo de vietes se coespode co los múltiplos eteos de esta fecuecia. 1 Distígase e este documeto la fecuecia ν de la velocidad de popagació v. 3

4 Cada puto de la oda estacioaia se puede descibi como u movimieto vibatoio amóico simple (MVAS) co ua amplitud alededo del eje de equilibio depediete del puto de la cueda que cosideemos y co ua fecuecia disceta dada po la ecuació [6]. Figua 1 - Modos de vibació de ua oda estacioaia e ua cueda fija po ambos extemos. O bie obsevado e la gáfica que la distacia ete dos odos es media logitud de oda o aalizado la ecuació [4] se deduce que la logitud de oda se elacioa co de la siguiete maea: λ L L = λ = Ν [7] Po ota pate, podemos estudia el efecto de la tesió e la cueda y las caacteísticas del mateial paa elacioalo co la velocidad de popagació. Haciedo u desaollo teóico más geeal y empleado ecuacioes difeeciales se obtiee fialmete la ecuació de odas: y y τ = σ [8] x t Y la velocidad de popagació de la oda es: ω τ v = = [9] k σ DISEÑO Y PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Paa estudia la fomació de amóicos e odas estacioaias pepaamos u motaje expeimetal empleado u geeado de odas y u vibado mecáico. Éste último, pemite geea odas siusoidales de distitas fecuecias. Además, colocamos u sopote fijo y ua polea que seviá de extemos fijos paa la cueda que vamos a hace odula. Paa compaa los efectos y la depedecia de las caacteísticas del mateial e la fomació de amóicos empleamos dos cables distitos, uo de cobe y oto de alumiio (ecubietos de u plástico, cuya ifluecia despeciamos). U extemo del cable lo atamos al sopote fijo y el oto lo colocamos sobe la polea y lo atamos a uas masas que lo tesa. Al vaia estas masas podemos estudia el efecto de la tesió e la velocidad de popagació y e la fecuecia fudametal y sus amóicos. E las cuedas colocamos ua clavija móvil que se puede eosca al vibado mecáico. De esta maea, la cueda o está atada al vibado. 4

5 Figua - Fotogafía del motaje expeimetal. Se apecia el geeado de odas y ua oda estacioaia. Hay que tata de aliea coectamete el sistema polea-cable-vibado-sopote paa evita posibles petubacioes. Además, los sopotes se falca co gades masas paa evita que la tesió e la cueda los desestabilice. Ates de empeza el expeimeto e sí, ealizamos las medidas de los distitos elemetos de uesto motaje al coloca los cables ete los extemos fijos: Cable azul: L a =,61 ± 0,01m (eo de sesibilidad de la cita mética) d a = 1,70 ± 0,05 mm (medido co el pie de ey) Cable blaco (mayo goso): L b =,61 ± 0,01m d b =,90 ± 0,05 mm El valo de las masas que dispoemos paa coloca e u extemo de la cueda paa tesa la misma lo obteemos mediate la pesada e la báscula electóica del laboatoio, y asigamos el eo de sesibilidad: m 1 = 1976 ± 1g m = 988 ± 1g m 3 = 48 ± 1g (El eo al suma vaias masas es la aíz de la suma de los cuadados de los eoes). E cuato al geeado de odas, empleamos uo cuya pecisió e la escala 1-100Hz es de 1mHz. No obstate, podíamos emplea uo co meo pecisió dado que el eo humao e la detemiació de la fecuecia seá muy gade compaado co el eo de sesibilidad. E cuato a la amplitud, seleccioamos aquella que pemita apecia claamete las odas estacioaias si que desestabilice el motaje expeimetal. El pocedimieto de medida cosiste e i vaiado la fecuecia del vibado hasta obseva la apaició de ua oda estacioaia. E ese mometo, se vaía muy cuidadosamete la fecuecia hasta alcaza el puto de esoacia (vietes de máxima amplitud) y máxima estabilidad de la cueda (odos fijos). Se aota la fecuecia que maca el vibado y el úmeo de vietes coespodiete a la oda estacioaia. Paa cada viete se calcula la logitud de oda λ (ecuació [7]) y su ivesa, y sus coespodietes eoes: δ ( ) ( L) δ λ = Ν [10] 1 δ ( λ) δ = [11] λ λ Maipulado la ecuació [], podemos escibi la fecuecia e fució de la ivesa de la logitud de oda, y epesetado uestos datos e ua gáfica, podemos hace u ajuste po míimos cuadados paa obtee la velocidad (que es la pediete de la ecuació de la ecta): v v = [1] λ Este poceso se puede epeti paa ua tesió distita. Si se añade o se quita algua masa, los valoes obteidos paa los amóicos seá distitos, y tambié la velocidad, que depede de tesió. Paa obtee u valo de la velocidad basta co ealiza la medida de dos fecuecias popias: v ' v v = [13] 1 1 λ λ ' 5

6 δ ( v v ) = δ ( v ) + δ ( v ) δ = + ' ' δ δ [14] λ λ λ λ ' ' 1 1 δ ( v) = δ ( v v ) + δ ' [15] λ λ ' Las velocidades obteidas paa distitas tesioes vaiaá e fució sólo de la tesió, si se supoe que la desidad lieal del cable o ha vaiado al poe más o meos peso. Paa obtee este valo ua vez coocidas las masas, es suficiete co despeja la desidad lieal de la ecuació [9]: τ = mg δ ( τ ) = gδ ( m) [16] τ σ = [17] v δ ( σ ) = 4δ ( v) + δ ( τ ) [18] Paa calcula la desidad volúmica hay que dividi la lieal (kg/m) ete la secció del cable, de maea que ρ (kg/m 3 ) es: d d A = π δ ( A) = π δ ( d ) [19] σ ρ = δ ( ) ( ) ( A) ρ = δ σ + δ [0] A U método alteativo paa calcula la desidad lieal es ealiza el cálculo de la velocidad de popagació paa distitas tesioes y epeseta v fete a la tesió e ua gáfica. Mediate u ajuste po míimos cuadados, segú la ecuació [9], la pediete seá la ivesa de la desidad lieal. 1 δ ( v ) = vδ ( v) v = τ y = mx [1] σ 1 1 σ = δ ( σ ) = δ ( m) [] m m Si queemos calcula la velocidad máxima de u puto de la cueda situada e el ceto del viete, debemos medi la amplitud de oscilació especto al equilibio y la fecuecia. Si cosideamos que este puto de la cueda ealiza u MVAS, podemos deduci la expesió paa la velocidad máxima: dx x = Asiωt v = = Aω cosωt v ( ) ( ) ( ) max = Aω δ v max = δ A + δ ω [3] dt E la última pate de la páctica se utiliza u muelle gigate (SLINKY) paa estudia los mismos feómeos que e los cables. E este caso, uesta mao es el agitado y se coloca el muelle e el suelo, fijo u extemo a la pata de ua silla. Del oto extemo lo sujetamos y estiamos co uesta mao y hacemos que oscile. Moviedo la mao más o meos ápido podemos i buscado aquella fecuecia paa la que se maifieste ua oda estacioaia. Si se ecueta la fecuecia fudametal, se podá geea sus múltiplos moviedo la mao veces más ápido. Mediate u coómeto (sesibilidad e la cetésima) se mide el tiempo que tada u viete e ealiza u úmeo detemiado de oscilacioes N y se calcula el peíodo. Coocida la logitud del muelle estiado podemos calcula de maea aáloga a los ateioes apatados la logitud de oda y la velocidad de popagació. t = N 1 T δ ( T) = δ ( t ) + ( N ) = ( ) = 1 N δ ν δ ν δ [4] N T T Apate, se calcula tambié co el coómeto la velocidad de popagació de u pulso e ua oda logitudial al desplaza del equilibio ua secció de muelle y libeala. Se mide el tiempo t que iviete e ecoe veces ua distacia D. D v = δ ( ) ( t ) ( D) ν = δ + δ [5] t Se toma el valo aceptado de g=9,81m/s co eo despeciable. (Tiple) 6

7 ADQUISICIÓN DE DATOS Cable azul Iicialmete colocamos el cable azul sobe la polea y medimos el diámeto del cable. Realizamos esta medida vaias veces paa distitas masas suspedidas paa compoba que el diámeto o vaía co la tesió. E teoía cualquie mateial dismiuye su diámeto al aumeta la tesió, peo e este caso las vaiacioes so iapeciables. E las tes medidas ealizadas, los valoes ea siempe iguales a los idicados e el apatado de pocedimieto expeimetal, co lo que cocluimos que la tesió o ifluye e el diámeto del cable. E cuato a la logitud de vibació, hay que señala que ésta vaía depediedo de la tesió y de la amplitud de la oda, dado que si hay u viete, la logitud de la cueda es mayo que si está e el eje de equilibio. Además la polea viba tambié, o está pefectamete fija, co lo que es posible que cometamos u eo sistemático e uestos cálculos, que debeemos tee e cueta. Ua maea de cuatifica este eo seía asigado u eo mayo a la medida de la logitud de la cueda. Ua vez colocado el cable azul sobe la polea, fijo al sopote y coectado al vibado mecáico, buscamos ua oda estacioaia vaiado la fecuecia del geeado de odas, cuya amplitud fijamos a la mitad de su valo máximo y su fecuecia a 40Hz. Ceca de este valo ecotamos ua oda co 4 vietes (coespodiete al cuato amóico) ν 4 = 41, ± 0,1Hz. Aputamos dicho valo y pocedemos a busca la fecuecia fudametal dividiedo el valo ete cuato. E efecto, el amóico fudametal se ecueta justo e el valo espeado (v 1teo = 10,3 ± 0,03Hz ; v 1exp = 10,3 ± 0,1Hz). Cabe destaca que auque hayamos obteido el valo exacto espeado, el eo e al detemiació expeimetal es bastate gade al se difícil distigui cuádo se poduce la esoacia paa odas co u úmeo de vietes pequeño. Posteiomete vamos aumetado la fecuecia del vibado paa ecota los sucesivos amóicos (hasta el octavo), y obteemos los siguietes esultados: Tabla 1 Fecuecia ν del vibado mecáico al fomase la oda estacioaia segú el úmeo de vietes y la masa m suspedida del extemo del cable azul. m m 1 m + m 3 ν 1 ± 0,1 Hz ν 3 ± 0,1 Hz 1 10,3 / 0,6 17,7 3 30,5 6,6 4 41, 5 51,4 6 61,4 7 71,7 8 8, El geeado de odas coectado al vibado tiee ua sesibilidad de 1mHz, peo esta ga pecisió caece de valo debido a la impecisió a la hoa de detemia e qué puto exacto se ecueta la esoacia. Hay que ajusta la fecuecia del geeado a ojo, y o se apecia vaiacioes sigificativas e la esoacia de la oda e u itevalo de 0,Hz, co lo que asigamos u eo de 0,1 Hz a todas las medidas. Paa ajusta la fecuecia os fijamos simultáeamete e la amplitud de los vietes (tatado que sea máxima y o pesete modulació) y e la estabilidad de la foma del cable (odos fijos). Esta foma de obtee la fecuecia costituye ua de las picipales limitacioes de uesto método expeimetal, dode el eo del expeimetado puede se causa de eoes sistemáticos. E ealidad, el eo cometido es mayo cuato meo es. Además de que el eo elativo es mayo, esulta más difícil distigui la esoacia cuato meo es el úmeo de vietes. No obstate, po simplifica y dada la abitaiedad a la ahoa de asiga el eo, escogemos el mismo eo e todas las medidas. Otas causas de eo obsevadas ada más comeza el expeimeto so: 7

8 la vibació de la estuctua de sujeció y de la polea al viba el cable, la ecesaiamete impefecta alieació del sistema polea, vibado mecáico y sopote fijo y las oscilacioes hoizotales del cable (ya o so odas e u plao, sio e 3D). E cuato al caácte de la oda estacioaia, se espea que al sujeta u odo co la puta de los dedos, la oda pemaezca ialteada (si se despecia el goso de los dedos y se supoe que se ha obteido la oda estacioaia co exactitud). Las obsevacioes expeimetales se coespode co lo espeado. Si la oda estacioaia o está bie fomada o o la había, al coloca u dedo sobe la cueda se cotaba el movimieto odulatoio. Po el cotaio, si los odos estaba fijos y bie defiidos, al apetalos co los dedos co cuidado, la oda pemaecía pácticamete ialteada (dismiuía levemete su amplitud debido al goso de los dedos). Esta apeciació poe de maifiesto que e ua oda estacioaia, o se popaga igú pulso a lo lago del cable, i se mueve el mismo, sio que todos sus putos oscila tasvesalmete como u oscilado amóico simple (fozado) co la fecuecia del vibado. Los odos está totalmete quietos (e teoía), mietas que los putos situados e los vietes ealiza las oscilacioes de mayo amplitud y su velocidad es máxima al pasa po el eje de equilibio. Paa obtee ua medida oietativa de la amplitud de oscilació de los vietes (que se puede elacioa co la velocidad) utilizamos el pie de ey ceádolo poco a poco a la altua de los vietes hasta que oza po aiba y po abajo co los vietes, valo que coespode al doble de la amplitud de oscilació especto a la posició de equilibio. Realizamos esta medida paa el tece amóico (ν 3 ) y asigamos u eo cosideable: A 3 = 31 ± 4 mm A 3 = 16 ± mm Cable blaco Ua vez sustituido el cable azul po el blaco (de mayo goso), medimos las fecuecias atuales de vibació desde el segudo hasta el sexto amóico (pescidimos del pimeo debido a u itevalo de icetidumbe mayo e su detemiació, puesto que su amplitud es mayo, la eegía está más epatida, y cualquie petubació iestabiliza la oda si el motaje o es pefecto). Tabla Fecuecia ν del vibado mecáico al fomase la oda estacioaia segú el úmeo de vietes y la masa m suspedida del extemo del cable blaco. m m 1 m 1 + m 3 m 1 + m ν 1 ± 0,1 Hz ν 13 ± 0,1 Hz ν 1 ± 0,1 Hz 13,4 15, 16,6 3 0,5,7 4,8 4 7,5 30,4 33,5 5 34,1 37,9 41,7 6 40,8 45,6 49,8 Nota: Las columas está odeadas de izquieda a deecha po masa total ceciete. masa. A pimea vista se apecia que la fecuecia de u mismo amóico es mayo cuato mayo es la Muelle Sobe el suelo del laboatoio extedemos el muelle y fijamos u extemo a la pata de ua silla y el oto extemo lo tesamos co uesta mao, que se coviete e esta pate del expeimeto e el vibado mecáico. Medimos 10 oscilacioes (miado el viete) y asigamos u eo gade debido a la icostacia del agitado tato e fecuecia como amplitud (uesta mao), que puede se u facto detemiate e la impecisió del esultado fial, además de tee e cueta el eo de eacció e la medida del tiempo. 8

9 Tabla 3 Tiempo t 10 e el que el viete completa 10 oscilacioes alededo del equilibio paa difeete úmeo de vietes e la oda estacioaia del muelle. t 10 ± 0,5 s 1 9, 4,6 3 3,7 4,7 Nota: El eo e la pimea medida es seguamete mayo poque o se distiguía si se había alcazado la esoacia. Apate, hay u eo e el cotaje de las 10 oscilacioes, pues sospechamos que empezamos a cota e 1 e luga de e 0. Paa medi la velocidad de popagació de u pulso e el muelle tesado L t = 3,5 ± 0,1m (cita mética), cotaemos vaias espias del muelle paa emitilo, poemos e macha el coómeto y lo deteemos cuado ha ealizado 4 veces el tayecto de ida y vuelta. Este es u ejemplo clao de oda logitudial, distita de la tasvesal. E este caso, se popaga ua compesió del muelle a lo lago del mismo y se efleja e su extemo. La diecció de popagació coicide co la oscilació alededo de u puto de equilibio debida a la elasticidad del muelle. Asigamos u eo gade a todas uestas medidas poque la medida del tiempo es bastate impecisa, e pate po la alta velocidad de popagació y tambié po el amotiguamieto que impide ve co claidad cuado llega el pulso al extemo (el pulso se achata ). El tiempo medido es: t 8 = 3,3 ± 0,5s TRATAMIENTO DE DATOS Cable azul Mediate las ecuacioes [7] y [10] se puede calcula la logitud de oda paa cada fecuecia. Tas su epesetació gáfica y ajuste po míimos cuadado (figua siguiete), se puede calcula los esiduos a pati de la ecuació de la ecta y los valoes expeimetales. Tabla 4 Logitud de oda de la oda estacioaia e el cable azul paa cada fecuecia y esiduo de cada valo expeimetal especto a la ecta de ajuste. m m 1 m + m 3 ν 1exp ± 0,1 Hz ν (Hz) λ (m) ν 3 ± 0,1 Hz 1 10,3-0,04 5, ± 0,0 / 0,6-0,08,610 ± 0,010 17,7 3 30,5 0,3 1,740 ± 0,007 6,6 4 41, -0,17 1,305 ± 0, ,4-0,11 1,044 ± 0, ,4 0,15 0,870 ± 0, ,7 0,11 0,746 ± 0, , -0,13 0,653 ± 0,003 Nota: ν epeseta el esiduo del valo expeimetal fete al valo de la ecta ajustada po míimos cuadados. 9

10 ν (Hz) m 1 0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 1/λ (m -1 ) Figua 3 - Depedecia lieal de la fecuecia de la oda estacioaia fete a la ivesa de su logitud de oda desde el pime hasta el octavo amóico y distitas tesioes. Ecuació de la ecta: ν = (53,55 ± 0,14) 1/λ + (0,00 ± 0,13) [Hz] = 0,99998 Tato visualmete como a pati del coeficiete de coelació lieal, se veifica que existe ua depedecia lieal co muy poca desviació de los putos especto a la ecuació de la ecta (véase los esiduos, compaables al eo de cada medida, e la tabla ateio). Además, la ecuació [1] teóica se ajusta a los datos expeimetales obteidos, puesto que ambas ectas pasa po el ceo. Segú la ecuació [1], la pediete equivale a la velocidad de popagació de la oda e cable: v a1 = 53,55 ± 0,14 m/s Paa las fecuecias coespodietes a las masas y 3, al habe medido sólo dos fecuecias, o tiee setido ajusta po míimos cuadados, co lo que segú las ecuacioes [10] a [15], la velocidad vale: v a3 = 46,5 ± 1,0 m/s El eo coespodiete al segudo valo es (diez veces) mayo al o habe ajustado vaias medidas po míimos cuadados. Se obseva que la velocidad de popagació es meo e el segudo caso, dode la masa es tambié meo. Esto cocueda co lo espeado (ecuació [9]). E cuato a la desidad lieal, el valo que se obtiee a pati de [16] a [18] es: σ a1 = 6,75 ± 0,03 g/m σ a3 = 6,7 ± 0,3 g/m Como se obseva, los valoes so compatibles y o se apecia igua vaiació de la desidad lieal co la tesió, auque o estamos e codicioes de exclui tal posibilidad dado que la pecisió de uesto segudo esultado o es alta. Paa compobalo había que habe hecho medidas de más amóicos y habe ajustado aálogamete a la pimea masa. Las coespodietes desidades volúmicas, po las ecuacioes [19] y [0], so: ρ a1 =,98 ± 0,18 g/cm 3 ρ a3 =,9 ± 0, g/cm 3 E cuato a la velocidad máxima, segú la ecuació [3] y a pati del valo medido paa la amplitud del tece amóico co la pimea masa podemos obtee u valo oietativo de la velocidad: v max3 = 3,0 ± 0,4 g/cm 3 m 10

11 Cable blaco De maea aáloga al cable azul, se calcula las logitudes de oda paa cada fecuecia, y se obtiee ua tabla co los siguietes valoes: Tabla 5 Logitud de oda de la oda estacioaia e el cable blaco paa cada amóico. y esiduo de cada valo expeimetal de la fecuecia especto a la ecta de ajuste. m m 1 m 1 + m 3 m 1 + m λ (m) ν 1 ± 0,1 Hz ν 1 (Hz) ν 13 ± 0,1 Hz ν 13 (Hz) ν 1 ± 0,1 Hz ν 1 (Hz),610 ± 0,010 13,4-0,18 15, 0,04 16,6-0,0 3 1,740 ± 0,007 0,5 0,08,7-0,06 4,8-0,15 4 1,305 ± 0,005 7,5 0, 30,4 0,04 33,5 0, 5 1,044 ± 0,004 34,1 0,00 37,9-0,06 41,7 0,09 6 0,870 ± 0,003 40,8-0,14 45,6 0,04 49,8-0,14 Nota: Las columas está odeadas de izquieda a deecha po masa total ceciete. La ecuació de cada ecta empleada paa el cálculo del esiduo está idicada bajo la figua siguiete ν (Hz) m 1 m 1 + m 3 m 1 + m 0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1/λ (m -1 ) Figua 4 - Depedecia lieal de la fecuecia de la oda estacioaia fete a la ivesa de su logitud de oda desde el segudo hasta el sexto amóico y distitas tesioes. Ecuació de la ecta (m 1 ): ν = (35,7 ± 0,3) 1/λ + (-0,1 ± 0,3) [Hz] = 0,99988 Ecuació de la ecta (m 1 + m 3 ): ν = (39,67 ± 0,10) 1/λ + (-0,04 ± 0,08) [Hz] = 0,99999 Ecuació de la ecta (m 1 + m ): ν = (43,5 ± 0,3) 1/λ + (0, ± 0,3) [Hz] = 0,99993 Cabe destaca que la coelació lieal es muy alta, como se obseva a pati de los coeficietes de coelació lieales y los esiduos compaables al eo de la tabla ateio. Esto idica que las medidas ealizadas ha sido pecisas y que el método expeimetal os ha sido útil paa obtee ua medida de la velocidad fiable a pati de vaias medidas de la fecuecia. Paa cada tesió, las velocidades espectivas so: v b1 = 35,7 ± 0,3 m/s v b13 = 39,67 ± 0,10 m/s v b3 = 43,5 ± 0,3 m/s Estos esultados so cosideablemete meoes a los obteidos e el cable azul (v 1a = 53,55 ± 0,14 m/s ; v a3 = 46,5 ± 1,0 m/s ) debido a la difeecia e las caacteísticas del cable empleado, lo que 11

12 se veá eflejado e la desidades lieales. Apate, los valoes de la velocidad cece co la masa, de acuedo a la ecuació [9]. Paa duplica la velocidad de popagació, había que cuadiplica la tesió, puesto que v es fució de la aíz de la tesió. Si ealizamos u ajuste po míimos cuadados de la velocidad al cuadado fete a la tesió (ecuació [1]), se obtiee la siguiete gáfica: v (m /s ) τ (N) Figua 5 - Depedecia lieal ete la velocidad de popagació de la oda al cuadado y la tesió sometida al cable. Ecuació de la ecta: v = (63,61 ± 0,17) 1/λ + (4 ± 4) [m /s ] = 0, Se obseva ua coelació lieal alta, auque se ituye que se ha cometido algú eo sistemático, puesto que la odeada e el oige o es ceo, e cota de la pedicció del modelo teóico. Si se toma la aíz cuadada de la odeada, la desviació es de 7 ± m/s. A pati de la pediete y segú la ecuació [] se obtiee la desidad lieal del mateial: σ b = 15,7 ± 0,04 g/m Y la desidad volúmica: ρ b =,38 ± 0,08 g/cm 3 E este caso, la desidad obteida es meo a la del cable azul. Esto puede debese a que estaba ecubieto po u plástico de mayo goso, de meo desidad que el alma metálica. Muelle A pati de las medidas obteidas del tiempo de oscilació y segú la ecuació [4] obteemos uos valoes paa el peíodo y la fecuecia de cada amóico: Tabla 6 Fecuecia de vibació de la mao ν al geea la oda estacioaia e el muelle y logitud de oda coespodiete a cada amóico ν (Hz) λ (1/m) 1 1,09 ± 0,1 7,0 ± 0,, ± 0,3 3,50 ± 0,10 3,7 ± 0,5,33 ± 0,07 4 3,7 ± 0,8 1,75 ± 0,05 1

13 4 3 ν (Hz) ,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 1/λ (m -1 ) Figua 6 - Depedecia lieal de la fecuecia de la oda estacioaia fete a la ivesa de su logitud de oda desde el pime hasta el cuato amóico e el muelle gigate. Ecuació de la ecta: ν = (5,9 ± 0,5) 1/λ + (0,3 ± 0,) [Hz] = 0,99 Se apecia e este caso que la coelació lieal o es ta alta dada la impecisió del método expeimetal, e el que el eo humao juega u papel detemiate. A pati de la pediete se deduce que la velocidad de popagació es: v m1 = 5,9 ± 0,5 m/s Alteativamete se puede calcula la velocidad de popagació de u pulso a pati del tiempo medido paa ecoe 8 veces la logitud del muelle alogado, y segú la ecuació [5]: v m = 8,5 ± 1,3 m/s Se obseva que ambos valoes o compate el itevalo de eo, peo está a meos de dos baas de eo, co lo que se puede afima que so compatibles. CONCLUSIÓN E esta páctica se ha estudiado la fomació de amóicos e cables y muelles e odas estacioaias. Se ha compobado e todos los casos que existe ua fecuecia fudametal y que sus amóicos so múltiplos de ella. Además, se ha calculado las logitudes de oda coespodietes, así como la velocidad de popagació de la oda e los distitos cables, y se ha obteido valoes compatibles e distitas medidas. Además, se ha calculado las desidades lieales y volúmicas de los dos cables, y se ha obteido valoes cecaos a los del alumiio: Tabla 7 Compaació de las desidades lieales de cada cable co los del alumiio y el cobe (Hadbook). ρ (g/cm 3 ) ρ a,9 ± 0, ρ b,38 ± 0,08 ρ al,70 ρ cu 8,9 13

14 Los valoes obteidos cocueda co los del alumiio, auque esto o os pemite exclui la pesecia de cobe e el cable. Éste está ecubieto po plástico y e su iteio podía habe ua aleació de distitos mateiales. Po tato, estos esultados y compaacioes so sólo oietativos. El segudo valo (cable blaco) es meo pobablemete po tee u ecubimieto de plástico de mayo goso. Ete las limitacioes expeimetales está la foma de obtee la fecuecia a ojo. Esta detemiació os impide obtee esultados pecisos dado que uestas obsevacioes o distigue difeecias e u itevalo de 0,1Hz, co lo que se malgasta la alta pecisió del geeado de odas. Se ecesitaía u apaato que midiese la amplitud paa asegua que hemos llegado al puto de esoacia de la oda estacioaia. Apate, el hecho de que la logitud del cable sea levemete vaiable al cambia la tesió y que la estuctua vibe apeciablemete ha podido oigia algú eo sistemático que o hemos teido e cueta e la obteció de uestos esultados. E cuato al expeimeto co el muelle, cabe destaca que fue algo impovisado, y que los valoes obteidos o so fiables, sio que da ua idea de su ode de magitud y sobe todo ua idea coceptual y visual muy claa. Se cometieo eoes e la medida de la logitud y al cota el úmeo de oscilacioes. Po tato, esta expeiecia piloto debeía epetise co más igo ealizado más medidas y co mayo pecisió paa obtee uos valoes fiables. Además, podía compaase los valoes obteidos paa la velocidad pevia medida de la tesió a la que se somete la cueda, la costate elástica del muelle, etc. E esume, podemos coclui que el expeimeto ha cumplido el objetivo de estudia la fomació de amóicos e cables y muelles y que los datos expeimetales se ha ajustado co ua alta coelació a los modelos teóicos. Además se ha obteido valoes de la velocidad de popagació de las odas y de las desidades lieales y volúmicas, y se ha compaado éstos últimos co los valoes tabulados, que so compatibles co el valo del alumiio. E esume, pese a las limitacioes expeimetales, se ha ecotado valoes compatibles co lo espeado y, e geeal, valoes pecisos y altas coelacioes lieales e todos los ajustes, co lo que el expeimeto se ha desaollado satisfactoiamete y se ha logado los objetivos popuestos. Bibliogafía: Tiple-Mosca, 5ª Ed. 005.; Ed. Reveté; Vol., Apédice Hadbook of Physics ad Chemisty, th Editio Guió de pácticas del Laboatoio de Mecáica y Odas, º de Física, UVEG 14