Cantidad de movimiento

Transcripción

1 Cantidad de oiiento Ya io que a cada aa inercial e debe aociar una energía relacionado con u oiiento en el epacio-tiepo cantidad de oiiento (o oento lineal) (1) p Con unidad [ p ] kg Que eto correponde a una energía e fácil a deotrar p p p La agnitud de ete ector e ( ) () 1 p 1 La cantidad de oiiento da un entido á general a la egunda ley de Newton y a la noción de fuerza la egunda ley d d F a ( ) dp (3) F La fuerza e la taja de cabio de la cantidad de oiiento de la aa K Ipulo Vio que la acción de una fuerza contante F aplicada obre una ditancia en el epacio correponde al trabajo (4) W F Si al lugar del deplazaiento coniderao el interalo de tiepo obre el cual e aplica la fuerza teneo el ipulo (5) J F t Con unidad [ ] J N kg 1

2 hora i F cte. dp dp p p1 p cte. por lo tanto, la ariación intantánea t t1 t p e igual a la ariación proedio; el ipulo en eta condición F t t p t (6) J p p1 El ipulo e igual a la ariación de cantidad de oiiento Pero tabién e cuple eta relación i la fuerza no on contante El teorea del ipulo-cantidad de oiiento (7) En general (8) J F dp F dp p p t t t t1 t t1 El ipulo e igual al área debajo de la fuerza en función del tiepo Si definio una fuerza edia F ed (9) J F ( t t ) ed 1 1

3 En relación a la acción de la fuerza en el epacio-tiepo teneo do relacione Trabajo (ecalar) dp W F K K 1 Ipulo (ector) J F t p p 1 Conidere una aa, inicialente al repoo p1 0, y tabién K Cuando una fuerza contante actúa obre la aa durante un tiepo curto t t t1, el teorea del ipulo-cantidad de oiiento da p p1+ J 0+ F t (10) J F t p La cantidad de oiiento e igual al ipulo que lo aceleró dede el repoo a u rapidez actual En cabio, la energía cinética en t e: (11) K K Wtotal F La energía cinética e igual al trabajo total realizado obre la aa para acelerarla Ejeplo: coniderao do pelota, una tiene una aa kg la otra 0.10kg La priera tiene una rapidez y la egunda 0 cantidad de oiiento: p1 p kg Pero no tiene la ia energía cinética K 1 4J y K 0J, la do tienen la ia El reultado e que para detener la egunda bola, neceitao hacer un trabajo 5 ece á grande que para detener la priera 3

4 Sin ebargo, la energía cinética no e el único factor Por ejeplo, una pelota de béibol y una bala de un rifle calibre 0. tienen á o eno la ia energía cinética e neceita hacer el io trabajo para parar la Pero parar la bala del rifle con la ano e uy peligroo tiene un a fuerza de penetración (preión) ucho á grande Todo lo átoo de la ano aborben la energía para parar la pelota de béibol pero ucho eno átoo aborben la energía para parar la bala del rifle La preión e definida coo F (1) P Donde F e la fuerza perpendicular a la área La preión e una cantidad ecalar con unidad [ P ] Pa (Pacal) 5 Otra unidade on el bar donde 1bar 10 Pa, el illibar donde1ilibar 100Pa o el 5 atófera donde 1at Pa 1.013bar 1013ilibar (preión atoférica al niel del ar) En el odelo olecular, la preión en un fluido e un fenóeno relacionado con lo choque de la olécula eto choque producen una fuerza perpendicular a la uperficie de cualquier aa en contacto con el fluido p t (13) P N 4

5 Un equialente ecánico (odelo) una pelota que rebota en una pared Si la aa de la pelota e 0.40kg e u elocidad inicial e 1 30, la cantidad de oiiento inicial e p ( ) 0.40kg 30 1kg 1 1 La pelota rebota con elocidad + 0 que correponde a la cantidad de 0.40kg 0 8kg oiiento p ( ) El cabio de cantidad de oiiento: p p1 8kg 1kg 0kg Eta ariación de cantidad de oiiento e relacionado con un ipulo igual a: J 0kg 0N El choque contra la pared e uy corto, típicaente duró J 0N J Fed t Fed 000N t Eta fuerza e ucha á grande que el peo: w g 3.9N Eto e típico de fuerza elática interoleculare (electroetática) on uy alta! 5

6 Coneración de la cantidad de oiiento Coniderao la interacción entre do partícula Según la tercera ley de Newton, cada una ejerce obre la otra una fuerza igual pero opueta en dirección Coo la interacción dura el io tiepo t, lo ipulo on iguale: J1 J En cualquier itea, la fuerza que la partícula ejercen entre i fuerza interna Eta on diferente de la fuerza ejercida obre cualquier parte de un itea por aa fueran del itea fuerza externa Un itea ailado e un itea que no iente la acción de fuerza externa Por ejeplo, un itea ailado de do partícula do fuerza interna, obre, F, y obre, F plicando la relación entre fuerza y ariación de la cantidad de oiiento ( dp (14) F Pero, egún la tercera ley de Newton: y F dp dp dp d (15) F F ( p p ) dp F ): Definio la cantidad de oiiento total del itea: p p + p p (16) total El principio de la coneración de la cantidad de oiiento dptotal (17) 0 ptotal cte. Si la ua ectorial de la fuerza externa obre un itea e cero, la cantidad de oiiento total del itea e contante 6

7 En general, por un itea de N partícula N N (18) ptotal pi p1 + p + + pn NN i i i 1 i 1 dp Si el itea e ailado total 0 El principio de la coneración de la cantidad de oiiento no depende de la naturaleza de la fuerza interna la coneración de la cantidad de oiiento e cuple io cuando la fuerza no on coneratia la energía cinética no e conerada Choque Definición de choque cualquier interacción fuerte entre aa que dura un tiepo relatiaente corto dp En general, la fuerza interna fuerza externa itea e ailado y total 0 aplica la ley de coneración de la cantidad de oiiento, e Do tipo de choque: dk Choque elático: 0 coneración de la energía cinética dk Choque inelático: 0 non coneración de la energía cinética En general lo choque entre olécula de un fluido on elático ete fenóeno perite una reditribución de la energía de anera unifore de la olécula iguiendo la coneración de la cantidad de oiiento ete ecanio e a la bae del fenóeno de preión y teperatura en un fluido (ga en particular) con alor proedio 7

8 dk En un choque elático 0, por lo tanto la energía cinética inicial y final on igual (19) i i f f dp plicando la coneración de la cantidad de oiiento 0 (0) i + i f + f Si conoceo la aa y la elocidade iniciale, podeo reoler la ecuacione iultáneaente para obtener la elocidade finale Un cao epecial iportante e cuando i 0 (el blanco que debe golpear ) Sea la coponente x de la elocidad inicial de y y la coponente x de la elocidade finale la coneración de energía (1) + La coneración del oento lineal () ( ) Diidio una ecuación por la otra (3) + Sutituio en la ecuación de la coneración de la cantidad de oiiento (4) + Subtituio en la ecuación + (5) + 8

9 Para choque elático donde una de la partícula (el blanco) e inóil + + De la expreione para y podeo deducir alguno reultado iportante: Si << Si De la ecuación + deducio que (6) Eto e la elocidad de relatia a depué del choque - tabién eto e el negatio de le elocidad de relatia a ante del choque En choque rectilínea elático de cuerpo la elocidade relatia ante y depué del choque tienen ia agnitud pero igno opueto (7) ( ) f f i i Exite una relación ectorial iilar una propiedad general de todo lo choque elático Si el choque elático de do cuerpo no e de frente, la elocidade no etán alineada Cada elocidad tienen coponente deconocida y hay 4 incógnita en total Para reoler lo problea teneo olaente E p y cte y la expreione para p x y Neceitao, por tanto, inforación adicional coo dirección o agnitud de ea elocidade 9

10 Moderador en reactor nuclear En un reactor nuclear e producen neutrone de alta rapidez durante el proceo de fiión Para una reacción en cadena e neceita reducir la elocidad de eto neutrone Se ua por eto choque con núcleo de oderadore carbono o grafito Lo choque on elático de frente con un núcleo de carbono 1µ, donde µ e la unidad de aa atóica, y 0 Para lo neutrone 1µ y Uando la ecuacione + y + depué del priero choque. 10 y El neutrón terina con de u rapidez inicial y u energía cinética bajo a alor inicial o 0.7 del Depué de un egundo choque, la energía cineática bajara de nueo de 0.7 del alor inicial hata 0.5 ece el alor inicial Rápidaente, el neutrón e deplazara uy lentaente 10

11 Choque elático, bidienional de partícula Modelo ecánico dico obre ea in fricción bola de billiard Maa 0.500kg y 0.300kg Velocidade de aa ante y depué del choque i f +.00 La coneración de la energía cinética: i f f i f f 4.47 La coponente x de la cantidad de oiiento: xi xf + xf ( ) 0.500kg 4.00 ( 0.500kg).00 coα ( 0.300kg) co β La coponente y: 0 fy + fy 0 ( 0.500kg).00 enα ( 0.300kg) 4.47 enβ Teneo do ecuacione iultánea para α y β á encillo eliinar β Pongao ( 0.500kg) 4.00, ( 0.500kg).00 y C ( 0.300kg) La coponente en x: 4.47 coα + Cco β co α ( co α ) C C coβ co β 11

12 La coponente en y: 0 en α C enβ enβ enα en β en α C C coα+ co α + en α coα+ Suando lo do: 1 C C + C coα + C co α De eto deducio α 36.9 Para β, ubtituio coα en la priera ecuación: De eto deducio β C + Ccoβ co β + C C 1

13 El decaiiento β Etudiando el proceo de decaiiento beta de lo núcleo radiactio el fíico Niel ohr encontró una aparente contradicción con el principio de coneración de la cantidad de oiiento - a ete oento no etaba claro que al niel del átoo la leye de la fíica e aplicaba in odificación (la relatiidad de Eintein e una) en particular, Niel ohr no etaba eguro que la ley de coneración de cantidad de oiiento e aplicaba El fíico Wolfgang Pauli realizo que para cuplir con ete principio el proceo de decaiiento beta deberé producir una partícula nuea eta partícula e torno e torno er el neutrino, que fue decubierta 5 año depué Para entender el problea, coniderao un odelo donde el itea eta inicialente en repoo y coniderao el proceo de decaiiento con un proceo de do partícula 1 1 plicando la ley de coneración de energía: Q K1 + K Por la ley de coneración de la cantidad de oiiento: 1 1 K1 La cobinación de la do ecuacione iplica que K 1 1 K K 1 En térino de la ua Q 1 (8) K1 Q y K Q plicao ete odelo al proceo de decaiiento α del radón donde un átoo de 18 helio eta expulado del átoo: Rn Po + α La aa del Polonio e que e kg kg, ucho ayor que la aa de la partícula α Durante ete proceo e obera una cantidad de energía a la energía cinética: 13 K J y 14 K 1 10 J Q J que correponde 98% de la energía cinética e a a la partícula α con eno aa 13

14 La fira del proceo con do partícula e el diagraa que da el núero de partícula α con la energía K 1 - ete diagraa tiene un pico, que uetra que toda la partícula α eitida tiene exactaente eta energía Pero no e obera la ia cura de energía en el cao del decaiiento β donde un electrón β o poitrón β + eta eitido Por ejeplo para el iuto i Po + β 13 Coo , e epera un energía cinética K J (en realidad e debe hacer una corrección relatiita porque la elocidad e uy cerca de la elocidad de la luz) En 1896, Henri ecquerel decubrí la radioactiidad y en 1900 otró que el decaiiento beta no etaba ono-energético el diagraa de K uetra alor continua 13 de 0 a J, pero eta últia alor e obera con uy poca frecuencia 14

15 El problea e oluciona ipleente introduciendo otra partícula eta partícula no debe haber carga eléctrica (principio de coneración de la carga) y debe er poco aia para e encargar de la ayor parte de la energía cinética Enrico Feri propuo el nobre neutrino (little neutral one) con íbolo ν e Eta nuea partícula fue decubierta por Jae Chadwick en de hecho durante el decaiiento beta la partícula e el ante-neutrino ν e En 1956, el neutrino fue directaente oberado El neutrino e una partícula extreaente iportante en tronoía cuando la etrella aia explotan en Supernoa, del orden de 90-99% de la energía ecánica e eitido en fora de neutrino 58 Ej. La upernoa SN1987 que exploto en lo nube de Magallane eitió 10 neutrino 46 con energía total 10 J, eto e 100 ece á energía que eitido por el Sol en año 15

16 Choque inelático En cao de choque no elático no hay coneración de la energía cinética por lo tanto depué de un choque inelático iepre K < K K < 0 La energía e tranfora en calor, ruido (onda onoro) deforación ecánica o ligación oleculare Un cao epecial cuando do aa que choque e quedan junta f i Depué f f f y aplicando la ley de coneración de cantidad de oiiento (9) + ( + ) i i f Si el cuerpo etaba en repoo inicialente 0 (30) f + Energía cinética inicial i i (31) K 1 i i La energía cinética final (3) K ( + ) ( + ) ( ) K f f i i i E una fracción de la energía inicial (33) K f K + i Se hace un trabajo igual ( + ) (34) K Kf Ki Ki Ki Ki Ki W <

17 Ejeplo El péndulo balítico Una bala de aa, e diparada contra un bloque de adera de aa M, que cuelga coo un péndulo Depué del ipacto el bloque ocila hata una altura áxia y La bala e incrute en el bloque choque inelático plicando la ley de coneración de la cantidad de oiiento ( + M) ( + MV ) V La energía cinética final 1 Kf ( + MV ) Durante la ocilación teneo E K+ U cte. y a la altura áxia todo la energía eta en fora potencial graitacional 1 ( ) + MV ( + M ) gy V gy + M gy Midiendo, M e y podeo deterinar i kg, M.0kg, y 3.00c kg kg (9.8 ) kg La elocidad V gy nte del ipacto: K bala kg(307 ) 36J Depué del ipacto: K bala + bloque 1 (.005kg)(0.767 ) 0.589J Cai toda la energía cinética inicial deaparece 17

18 Centro de aa Supongao un itea forado de N partícula de aa con poición ( x, y, z ) i i i i La aa inercial total del itea M N i i 1 Pero para decribir correctaente la inercia debeo coniderar la ditribución de aa en el itea El centro de aa del itea e la poición edia ponderada por la aa de cada partícula forando el itea x i i y i i z i i i i i (35) ( xc, yc, zc ),, M M M r i i i (36) rc i i Caracterítica del CM En cuerpo ólido que tienen ditribución continua de ateria, la ua deben er ubtituida por integrale Si un cuerpo hoogéneo tiene centro geoétrico el centro de aa eta en ete centro Si un cuerpo hoogéneo tiene un eje de ietría, el centro de aa eta obre ete eje ece, el centro de aa puede e encontrar fuera del objeto (ej. en un dona, el centro de aa eta en el agujero) 18

19 Ejeplo para la olécula de agua Separación entre lo átoo: d Maa de H: 1µ kg Maa de O:16µ El odelo repreenta lo átoo con punto porque la aa e concentrada en el núcleo ( el radio del átoo) Para O: x y 0 O O 10 5 Para H: xh d 105 co e yh ± d 105 en El centro de aa: x y c c ( 1.0µ ) d co5.5 + ( 1.0µ ) dco d µ + 1.0µ µ ( ) d ( ) 1.0µ en µ d en µ + 1.0µ µ El centro de aa e cerca del átoo de O y obre el eje de ietría no eta afectado por rotación 19

20 Moiiento del centro de aa Deriao la expreión r c para obtener la elocidad del centro de aa dr M i (37) drc i i c Multiplicando por la aa total (38) ptotal Mc Eto e la cantidad de oiiento total del itea Si p total P P e contante: c cte. M 0

21 cción de fuerza externa obre oiiento del centro de aa La egunda ley de Newton (39) F Fext+ Fint Mac Por la tercera ley F int 0 pero i F dp ext 0 0 Y la acción de fuerza externa produce la aceleración a c d dc (40) Fext Mac M c c cte Cuando actúan fuerza externa obre un cuerpo o una colección de partícula, el centro de aa e uee coo i toda la aa etuiera encontrada ahí y la fuerza neta obre ella fuera la ua de la fuerza externa obre el itea Ete principio legitia el odelo de partícula para cuerpo ólido en aplicar la leye de Newton 1

22 Suponga que un cohete que igue una trayectoria parabólica e epare en do pio de igual aa el centro de aa continua a eguir la trayectoria original En general, decribio el oiiento de cuerpo rígido por la cobinación del oiiento de tranlación (centro de aa) y rotación (alrededor de un eje que paa por el centro de aa) Para el oiiento de tranlación podeo ecribir: dc d dp (41) Mac M ( Mc) O ea dp (4) Fext

23 El principio de la propulión a reacción Segundo la tercera ley de Newton, un cohete e ipulado hacia delante por expulión de ga por atrá fuerza obre el cohete fuerza obre el cobutible En principio e tiene coneración de la cantidad de oiiento, pero i la aa total del itea cohete+ga no diinuye la aa del cohete i aria Supongao que al intante t, la aa del cohete e Coniderao un oiiento unidireccional la elocidad e y la cantidad de oiiento e Pi En un interalo de tiepo finito la aa cabia de d < 0, eto porque e expula hacia atrá una cantidad de cobutible d ec la elocidad de ecape del cobutible relatia al cohete ( ) cq + la elocidad del cobutible queado ec d d( ) cantidad de oiiento cq ec l terino del interalo de tiepo, la elocidad del cohete e + d y u aa + d La cantidad de oiiento del cohete e por tanto: ( + d)( + d) P ( d)( d) ( d)( ) f ec la cantidad de oiiento total del itea en t+ 3

24 Según el principio de la coneración de la cantidad de oiiento P i P f ( )( ) ( )( ) + d + d + d + d+ d+ dd d+ d d d ec d d El egundo térino e un producto de do infiniteial y por lo tanto e uy chico ec ec Quedao olaente con térino: d d ec El principio de la propulión a reacción: d (43) ec d O en térino de fuerza: d (44) F ec La fuerza e proporcional a la elocidad de ecape y a la rapidez de expulión de la aa De eto deducio la aceleración: d ec d (8.38) a Si ec y d on contante, la aceleración auenta hata agotare la aa de cobutible Un cohete debe quear u cobutible rápidaente y expular lo a grande elocidad lo cohete funcionan óptiaente en el epacio, donde no hay reitencia del aire 4

25 d d d e contante podeo integrar ec d ec Si ec d' d' ' ec ec d' ' 0 (45) 0 ecln ec ln 0 0 aa original El cociente aa al agotare Ete cociente debe er el á grande poible para axiizar la ganancia de rapidez en un cohete, la aa inicial e cai puro cobutible 0 0 La rapidez final > 0 i ln > 1 > e.7 5

26 Ejeplo de la naeta epacial El cohete expula 1 10 de u aa en 1, con ec 400 d ec d a Nota que la repueta no depende de 0 Si la elocidad de ecape e la ia, la aceleración erá la ia para un cohete de 10000kg expulando1000 kg de cobutible, o un atronauta de 60 kg expulando 0.5 kg de aa fin de proeer uficiente epuje hacia arriba para encer la graedad, lo ehículo de lanzaiento pueden conuir á de kg/ e expular el cobutible queado a elocidade de á de 4000 / 6