Els nombres naturals mesuren els segments que contenen un nombre enter de vegades el segment unitat.

Transcripción

1 Trigonometri Rmon Noll Deprtment de Mtemàtiques IES Pons d Irt Introduió de geometri elementl. Dues hipòtesis de prtid L primer hipòtesi que eptrem, sense demostrió, en el nostre trell diu que trit un segment que nomenem unitt, per d segment eistei un úni nomre rel positiu que dón el vlor de l sev relió o ró m el segment unitt, és dir l sev mesur. Reíproment, per d nomre rel positiu eistei un segment que el té per mesur, i tots els que el tenen per mesur són ongruents, oinidents per superposiió. Eemples: Els nomres nturls mesuren els segments que ontenen un nomre enter de vegdes el segment unitt. Els nomres rionls p/q mesuren els segments que ontenen un nomre enter p de vegdes el segment que result de prtir el segment unitt en un nomre enter q de prts iguls. El nomre irrionl mesur l digonl d un qudrt de ostt el segment unitt. D = p D = D E E = D = + p 5 El nomre irrionl + 5 mesur l digonl d un pentàgon regulr de ostt el segment unitt. (Ho podeu demostrr om eerii) L segon hipòtesi diu que dont un qudrt de ostt unitt, l relió o ró entre l superfíie de qulsevol retngle i l d quest qudrt, és dir l mesur de l sev àre, ve dond pel nomre rel que result de multiplir els nomres rels que mesuren el ostts del retngle. prtir d quest fet és immedit de demostrr que l mesur de l àre d un tringle ve dond per l meitt del produte de l mesur d un ostt per l mesur de l ltur sore quest ostt. D J H D re( µ )=/ µ re( D)=/ µ re( HJ)= / H

2 . ngles determints per dues prl leles i un sent Siguin les retes r i s, i l ret t que les tll. Llvors es omplei, ) α = β = r i s prl. leles ) γ = β = r i s prl. leles ) ω + β = 8 = r i s prl. leles { r i s prl. α = α leles = = α 3 = α 4 β = β = β 3 = β 4 t r s 3 4 t 3 4 r s És onvenient memoritzr els noms que reen les diferents prelles d ngles iguls en el teorem nterior: α i α, α 3 i α 4, β i β, β 3 i β 4 oposts pel vèrte. α i α 3, α i α 4, β i β 3, β i β 4 orresponents. α i α 4, β i β 4 lterns eterns. α i α 3, β i β 3, lterns interns..3 riteris d igultt o ongruèni de tringles Entenem per tringles iguls o ongruents, quells que es poden portr tenir tots els seus elements oinidents per superposiió. Si només tenim en ompte quest definiió, per omprovr si dos tringles són iguls huríem de omprovr que tenen sis elements oinidents, tres ngles i tres ostts. El següents riteris, que no demostrem, permetrn estlir l igultt mitjnçnt l omprió de només tres elements. Dos tringles són iguls o ongruents si es omplei lgun de les següents ondiions: ) --: dos ostts d un d ells són iguls dos de l ltre, i l ngle que determinen és igul. ) --: els tres ostts d un són iguls ls tres de l ltre. ) --: dos ngles d un d ells són iguls dos de l ltre i el ostt que omprteien és igul prtir del terer riteri és immedit omprovr que -- tmé és un riteri d igultt. Notem que -- és un riteri d igultt només en el s que el tringle sigui retngle. H H

3 .4 Teorem de Pitàgores El teorem de Pitàgores er onegut de totes les ivilitzions de l Orient, en èpoques nteriors o ontemporànies l ivilitzió greg del temps de Pitàgores [vi ]. L úni dute es present en el s d Egipte, en el qul no tenim onstàni esrit d quest oneiement. Presentem un versió de l demostrió que es tro en el teorem I.47 dels Elements d Eulides. llí prtei el qudrt sore l hipotenus en dos retngles determints per l ltur del tringle des de l ngle rete; llvors demostr que les àrees d quests retngles són iguls les de dsun dels qudrts sore els tets. En els tringles retngles el qudrt sore el ostt que sutendei l ngle rete és igul ls qudrts sore els ostts que formen l ngle rete. Siguin el tringle retngle, Q i Q els qudrts i sore els tets i, i Q 3 el qudrt 3 sore l hipotenus. Eulides omenç onstruint quests qudrts i l ltur des del vèrte de l ngle rete, i justifi que els tets estn linets respetivment m els ostts i dels qudrts Q i Q. Llvors estlei que, si prolong l ltur M orresponent l vèrte fins tllr en N el ostt 3 3 més llunyt del qudrt Q 3, el qudrt Q és igul l retngle 3 M i el qudrt Q l retngle 3 M. onsegüentment Q + Q = Q 3. Ho justifi ií: Q M Q 3 Q 3 N 3 Q és el dole del tringle, per tenir l mtei se i l mtei ltur. Els tringles i 3 són ongruents, pel riteri --. El retngle 3 M és el dole del tringle 3, per tenir l mtei se 3 i l mtei ltur M. El qudrt Q i el retngle 3 M són iguls, en ser de superfíie dole que els tringles ongruents itts. Diu que pssri el mtei per Q i 3 M. Llvors, Q + Q = 3 M + 3 M = Q 3. Finlment, el teorem I.48 estlei l proposiió reípro que no demostrem. És dir que si en un tringle els qudrts sore dos ostts sumen l mtei àre que el qudrt sore l ltre ostt, llvors el tringle és retngle..5 Teorem de Tles Dondes dues retes r i s sents en el punt O, i els punts, sore r i, sore s, es omplei l equivlèni: i prl leles O O = O O. r s Demostrió: = ) L estrtègi de l prov pss per relionr les rons entre segments m rons entre àrees, que siguin fàils de omprr. Trçrem els segments i, i tindrem en ompte que les Qun diem teorem I.47, signifi que es trt del teorem 47 del llire I. Vegeu (Eulides) [.3 ]. quest és l estrtègi d Eulides en el teorem VI. dels Elements. O h s h r 3

4 àrees de i són iguls, en omprtir un mtei ostt, i un mtei ltur sore quest ostt, l distàni entre les prl leles i. =) O O = = O h r = O h r àre (O) àre (O ) = àre (O) àre (O) + àre ( ) = àre (O) àre (O) àre (O) + àre ( = ) àre (O ) = O h s = O O h s O Si es dón l proporionlitt entre segments tenim: O O = O O = Llvors, els tringles.6 Semlnç de tringles àre (O) àre (O) àre (O = ) àre (O ) = àre (O ) = àre (O ) = = àre ( ) = àre ( ). i tenen l mtei ltur i, per tnt, i són prl leles. nomenem tringles semlnts, els tringles tls que els ngles d un d ells són iguls ls de l ltre. Llvors, prtir del teorem de Tles es poden demostrr els riteris de semlnç següents: Dos tringles són semlnts si i només si tenen dos ostts proporionls i l ngle que quests ostts determinen igul. Dos tringles són semlnts si i només si tenen els tres ostts proporionls. ií, en l figur djunt, les prelles de tringles que si presenten són semlnts. Qunt l demostrió dels dos riteris, il lustrem om es pot tur m l presentió de l prov del s reípro del primer d ells. És dir que, si dos tringles tenen dos ostts proporionls i l ngle que determinen quests ostts és el mtei, llvors tots els ngles són iguls. Suposem, l figur djunt, que els tringles i onsiderts ompleien = α = i / = /. Superposiio Re³pro de teorem de Tles Podrem trslldr sore de mner que oinideiin, per superposiió, els ngles α. ií el vèrte urà sore el vèrte, el ostt sore el ostt, i el ostt sore el. Llvors, pel reípro del teorem de Tles, tenim que els segments i són prl lels. Per tnt, es ompleien les igultts d ngles: l qul os és l que preteníem demostrr.  = i  =. 4

5 .7 El teorem de l ltur i el teorem del tet quest són dos teoremes fàils d estlir prtir del teorem de Pitàgores o é de l semlnç de tringles. El teorem de l ltur diu que en qulsevol tringle retngle l ltur orresponent l vèrte de l ngle rete és mitjn proporionl entre les projeions perpendiulrs dels tets sore l hipotenus. És dir, H H = H H, o é, H = H H. H El teorem del tet diu que en qulsevol tringle retngle d tet és mitjn proporionl entre l sev projeió perpendiulr sore l hipotenus i l hipotenus. És dir, H =, o é, = H. Les rons trigonomètriques dels ngles guts L oservió de les relions entre els ostts dels tringles retngles semlnts, permet d estlir unes rons invrints en quests tringles. onretment, en l ol leió de tringles retngles semlnts de l figur djunt s oserv que si mntenim l ngle α onstnt: =, = = = = = = onstnt =, = = = = = = onstnt =, = = = = = = onstnt Llvors, quest invriàni de quoients, estlei l sev independèni respete de l grndàri dels ostts i legitim les definiions següents per un ngle α gut, en un tringle retngle. sinus(α) = tet opost hipotenus, tet djent tet opost osinus(α) =, tngent(α) = hipotenus tet djent. quests tres quoients reen el nom de rons trigonomètriques de l ngle α, i es representen mitjnçnt les notions sin α, os α i tn α. L importàni d questes rons de r l trtment de prolemes geomètris v ser dvertid molts segles enrere. Els seus vlors per ls diferents ngles vn ser lults i emmgtzemts en llrgues llistes de tules. vui en di els podem otenir de les luldores ientífiques, en les quls els progrmdors hn implementt lgoritmes que proporionen quests vlors m un grn veloitt. 5

6 . Les rons trigonomètriques inverses Tmé s utilitzen les rons trigonomètriques inverses sent, osent i otngent. Es defineien:. Qutre identitts se α = os α, ose α = sin α, otn α = tn α. onsiderem el tringle retngle de tets i, i hipotenus. Sigui α és l ngle opost l tet. Presentem qutre identitts m les seves demostrions: sin α + os α =. 3 iò és immedit pel teorem de Pitàgores, perquè: ( ) ( sin α + os α = + = ) + = =. tn α = sin α os α. Perquè tn α = = / / = sin α os α. + tn α = se α. Perquè + tn α = + sin α os α = os α + sin α os = α os α = se α. + otn α = ose α. Perquè + otn α = + os α sin α = sin α + os α sin = α sin α = = ose α..3 Eemple pràti per omprr mètodes Un estrtègi per resoldre el prolem de mesurr distànies o ltures de llos inessiles es s en l onsiderió de tringles semlnts. onstruirem un qudrnt que ens judrà en quest prolem. quest es ompon de: Un llistó de fust, (llrgàri entre 35 i 45 m). Un rtó rígid o fullol MP KN de form retngulr (5 5 m). El ostt MK seguei l direió del llistó, i els ostts KN i MP li sern perpendiulrs. Sore KN nirà esrit l mesur del ostt, i sore N P s estlirà un grduió mil limètri ssignnt N el vlor. Tmé s estlirà un grduió ngulr de 9 sore un qurt de irumferèni de entre K, ssignnt KN el vlor i seguint l orientió horàri. Un plomd penjd del vèrte K. K V M P o 9 X o N O X K N H mur ) Oserveu el gràfi djunt en què l oservdor O ol lo el qudrnt m el llistó, seguint l direió del rig visul, dirigit l pdmunt del mur que té dvnt. Justifiqueu que els tringles KN X i OHV són semlnts. 3 Les notions sin α, os α, et., són les epressions reujdes de (sin α), (os α), et. 6

7 ) Troeu l fórmul que dón l lçd del mur utilitznt l informió de l prtt nterior. ) luleu l lçd d un hitió en què KN = 5 m, XN = 6 m, OH = 5 m i l lçd del punt de mir de l oservdor és.7 m. d) Feu el àlul per un hitió en què OH = 4.5 m i NKX = 3 i l lçd de l oservdor és.7 m. e) Si entre l oservdor O i el peu d un mur H que voleu mesurr hi hgués un ostle que us impedís mesurr l distàni OH, om ho podríeu fer per tror l lçd del mur? (Podeu llunyr-vos del mur.) Resoluió: ) Els tringles KNX i OHV són semlnts perquè NKX = V OH, en ser ngles guts de ostts perpendiulrs, i KNX = ÔHV = 9. ) En ser els tringles KN X i OHV semlnts, els seus ostts són proporionls. Per tnt, HV NX = OH KN = HV = OH NX KN, i l lçd del mur resultrà de sumr HV l lçd de l oservdor. ) onsiderem que l pret de l hitió jug el pper del mur l prtt nterior. Llvors, HV 6 m = 5 m 6 5 = lçd = HV +.7 = +.7 = 3.7 m. 5 m 5 d) En ser l ngle d elevió onegut podem utilitzr l trigonometri. tn 3 = HV 4.5 =.7 + HV = tn m. e) Es podri resoldre prenent mesures des de dos punts d oservió P i Q diferents, de mner que estiguessin linets m el peu R de l vertil del mur que pss pel punt V p on hem dirigit les dues visuls, vegeu l figur djunt. V,5m Q m 8m 8m P Tindríem = V H i y = P R desoneguts, i les ddes del qudrnt onegudes en les dues posiions P i Q de l oservdor, ií om l ltur HR d quest últim. Si suposem que s hn fet les letures que figuren en el gràfi, tenim: 8 = + y, 8 8m m = y = = 6.67 m. 8 Llvors, l ltur del mur, seri de.5 m + 6, 67 m = 8.7 m. Si, en un ltre mur, en llo de fer les letures nteriors s hguessin fet les letures dels ngles d elevió, i questes hguessin sigut 35 i 5, i l distàni entre les dues oservions fos de y H R mur 7

8 m, l resoluió seri: tn 35 = y tn 5 = y + = tn 5 = = y = y tn 35 y + = y(tn 35 tn 5 ) = tn 5 = tn 5 tn 35 tn 5 = = tn 5 tn 35 tn 35 tn m L lçd del mur s otindri fegint quest mesur l ltur de l oservdor..4 Rons trigonomètriques que l reordr Si en un qudrt trem un digonl i en un tringle equilàter trem un ltur, otenim l onfigurió d ngles de les figures djuntes. més, de l pliió del teorem de Pitàgores, s otenen les mesures dels ostts que s hi indiquen. p 3 ± 45 ± 6 ± / p 3 Llvors, en resulten les rons trigonomètriques següents: sin 3 = / = sin 45 = = = sin 6 = 3/ = 3 os 3 = 3/ = 3 os 45 = = = os 6 = / = tn 3 = / 3/ = 3 = 3 3 tn 45 = = tn 6 = 3/ / = 3.5 Definiió lterntiv sore l irumferèni trigonomètri nomenem irumferèni trigonomètri, un irumferèni de rdi sore l que representem ngles orientts m el seu vèrte sore el entre, un ostt fi sore un diàmetre i l ltre vrile segons el vlor de l ngle. El fet de tenir el rdi de vlor, permetrà identifir les rons trigonomètriques om les longituds d uns erts segments que s hi representen. onretment, el sinus i el osinus vindrn representts sore el diàmetre itt nteriorment i un ltre de perpendiulr. De moment només trellem m ngles guts i positius, és dir orientts en sentit ntihorri. Si oservem el gràfi tenim que: sin α = O = = = OM. os α = O O = O = O. tn α = O = D O = D = D. M O D 8

9 prtir d iò, si utilitzem els dos diàmetres perpendiulrs om eios de oordendes, es poden definir les rons trigonomètriques d un ngle gut om els vlors numèris d uns erts segments: 4 y D sin α = Projeió de O sore l ei OY de les ordendes. tn sin os α = Projeió de O sore l ei OX de les sisses. tn α = Segment D de l tngent per, intereptt entre l interseió D, m O, i. O os 3 Dos teoremes sore tringles no retngles Presentem dos teoremes sore tringles utngles, que estendrem tringles otusngles, i donrn ps l definiió de rons trigonomètriques per qulsevol ngle. 3. Teorem del sinus Per tringles utngles. quest teorem ens permetrà otenir informió de tots els elements d un tringle qun oneguem dos ngles i un ostt, o é, un ngle, el ostt opost i un ltre ostt. Diu que: En qulsevol tringle utngle, es omplei: sin α = sin β = sin γ Demostrió: Trem l ltur H. Dels dos tringles retngles H i H, otenim sin α = H i sin β = H, és dir sin α = sin β. De l mtei mner, si es trç l ltur orresponent l vèrte s oté sin β = sin γ. Per tringles otusngles. Suposem que el tringle té un ngle α = otús. En trçr l ltur des de, dels tringles retngles H i H s oté sin(8 α) = H i sin β = H, és dir (8 α) = sin β. H H ± 8 4 Més endvnt veurem que quest mner d introduir les rons trigonomètriques, possiilit l etensió d quest onepte ngles no guts i ngles negtius. quest etensió simplifirà l presentió d lguns teoremes. 9

10 Llvors, si tuéssim igul que ns, trçnt l ltur des de, otindríem: 3. Teorem del osinus sin(8 α) = sin β = sin γ Per tringles utngles. quest teorem ens permetrà otenir informió de tots els elements d un tringle qun oneguem un ngle i dos ostts qulssevol. Diu que: En qulsevol tringle utngle, es omplei: = + os α Demostrió: Trem l ltur H i nomenem = H i y = H. Dels dos tringles retngles H i H, otenim = + y, = ( ) + y, os α =. H y Si eliminem i y, restnt les dues primeres igultts i tenint en ompte que = os α, en result Finlment, reordenem i s oté Per tringles otusngles. = ( ) = + = + os α. = + os α. Suposem que el tringle té un ngle α = otús. En trçr l ltur des de, dels tringles retngles H i H s oté tuem igul que ns i en result Finlment, reordenem i s oté ± 8 = + y, = ( + ) + y, os(8 α) =. = ( + ) = = os(8 α). = + + os(8 α). H y

11 Resum Teorem del sinus Teorem del osinus Tringles utngles Tringles otusngles sin α = sin β = sin(8 α) = sin γ sin β = sin γ = + os α = + + os(8 α) ± 8 És evident que si féssim un etensió de l definiió de les rons trigonomètriques, per ngles α no guts, de mner que sin α = sin(8 α) i os α = os(8 α), es podrien presentr dsun dels dos teoremes de form unifid, m independèni dels tipus d ngles implits. quest etensió de l definiió de les rons es presentrà l seió següent, i m els seu ús els dos teoremes es presentrn sot l úni form: Teorem del sinus: Teorem del osinus: sin α = sin β = sin γ = + os α 4 Rons trigonomètriques per ngles qulssevol Hem vist l seió nterior l onvenièni d estendre l definiió de les rons trigonomètriques per ngles no guts. quest etensió es f sore l irumferèni trigonomètri i, per ssolir el que llí es preteni, només l definir les rons, igul que en el s dels ngles guts, om projeions sore els eios. quest definiió tmé serà doptd per ngles mjors de 8 i ngles negtius. No justifiquem perquè ho fem ií, enr que puntem l sev utilitt en molts tipus de prolemes; un d ells podri ser el de l desripió d un moviment irulr mitjnçnt l determinió de les oordendes m l jut de les rons trigonomètriques. ií que, en generl, per qulsevol ngle α, positiu o negtiu, inlosos els que superen l volt de irumferèni tenim sin α = Projeió de O sore l ei OY de les ordendes. os α = Projeió de O sore l ei OX de les sisses. tn α = Segment D de l tngent per, intereptt entre l interseió D, m O, i. os y O sin tn D

12 Un de les primeres qüestions oservr és l dels possiles vlors i signes d questes rons, segons el vlor de l ngle: ± ± 9 ± ± 9 8 ± ± ± ± sin os tn tn os sin os tn sin sin os tn sin sin - sin - sin os - os - os os tn < - tn < tn < - tn < Tmé l reordr que les rons trigonomètriques dels ngles α + t 36, en què t Z, són les mteies que les de l ngle α. D ltr nd, de l oservió de les rons trigonomètriques en els diferents qudrnts de l irumferèni s etreuen les relions següents: ± 9 sin(9 α) = os α os(9 α) = sin α tn(9 α) = otn α ± 9 + sin(9 + α) = os α os(9 + α) = sin α tn(9 + α) = otn α ± 8 sin(8 α) = sin α os(8 α) = os α tn(8 α) = tn α ± 8 + sin(8 + α) = sin α os(8 + α) = os α tn(8 + α) = tn α ± 7 sin(7 α) = os α os(7 α) = sin α tn(7 α) = otn α ± 7 + sin(7 + α) = os α os(7 + α) = sin α tn(7 + α) = otn α sin( α) = sin α os( α) = os α tn( α) = tn α Eemples: àlul de tn 4, os 495, sin 3 i se( ). tn 4 = tn(8 + 6 ) = tn 6 = 3. os 495 = os( ) = os(35 ) = os(8 35 ) = os(45 ) = 3 sin 3 = sin(7 + 3 ) = os 3 =, se( ) = os( ) = os = os(8 + 3 ) = os 3 =. 3 3/ = 3.

13 5 Fórmules o identitts trigonomètriques Presentem un ol leió de formes útils en totes les pliions de l trigonometri. 5 Grup : Rons trigonomètriques de l sum i de l diferèni de dos ngles sin( + ) = sin os + os sin sin( ) = sin os os sin os( + ) = os os sin sin tn( + ) = tn + tn tn tn os( ) = os os + sin sin tn( ) = tn tn + tn tn Grup : Rons trigonomètriques de l ngle dole i de l ngle meitt sin() = sin os os() = os sin tn() = tn tn sin os = os + os = tn os = + os Grup 3: Trnsformió de sumes i diferènies en produtes sin + sin = sin + sin sin = os + os sin os + os = os + os os = sin + os sin Grup 4: Rons trigonomètriques dels ngles n, n N Oservem que, per les fórmules dels grups i, tenim: os() = os sin sin() = sin os os[(n + )] = os(n) os sin(n) sin sin[(n + )] = sin(n) os + os(n) sin Llvors, podem lulr sin(n) i os(n) pels vlors suessius de n i en result: os() = os sin sin() = sin os os(3) = os 3 3 sin os sin(3) = 3 sin os sin 3 os(4) = os 4 6 sin os + sin 4 sin(4) = 4 sin os 3 4 sin 3 os os(5) = os 5 sin os sin 4 os sin(5) = 5 sin os 4 sin 3 os + sin 5 Oservem que si onsiderem onjuntment els oefiients de sin(n) i os(n), oinideien m els oefiients ( n k) del tringle ritmèti m un orreió en els signes. ií otenim les fórmules: os(n) = sin(n) = ( ) n os n ( n ( n ) os n sin ) os n sin + ( n 3 ( n 4 ) os n 3 sin 3 + ) os n 4 sin 4 () ( ) n os n 5 sin 5 5 () 5 Troreu l demostrió dels tres primers grups molts llires de tet de r de tillert. 3

14 6 Àre d un tringle Sigui el tringle de ostts, i. Estudiem diverses mneres de err l àre S, segons les ddes disponiles i m l jut de l trigonometri. En funió de dos ostts i i de l ngle α = que determinen S = h h = sin α = S = sin α. h En funió dels tres ostts i del rdi de l irumferèni irumsrit l irumferèni de rdi r, irumsrit l tringle, insrivim el tringle retngle de tet i ngle opost α, l hipotenus del qul serà un diàmetre r. Llvors, S = sin α r h sin α = = S = r = S =. 4r r En funió del seu perímetre p i del rdi r de l irumferèni insrit Sigui p = + + el semiperímetre del tringle. onsiderem l prtiió del tringle en tres tringles prtir dels segments d etrems l inentre i els vèrtes. Llvors, l ltur de d tringle és el rdi r de l irumferèni insrit i s oté S = r + r + r = + + r = S = p r. r r r En funió dels tres ostts, i. Fórmul d Heró 6 El mí que seguim en l reer d quest fórmul és: () onsiderr S = sin α = sin α os α. () Utilitzr el teorem del osinus per tror os α en funió de, i. (3) Utilitzr les fórmules trigonomètriques de l ngle meitt per tror sin α i os α en funió dels ostts, per tl de sustituir quests vlors en l epressió de S del primer ps. onsiderem, dons, S = sin α os α. Llvors, = + os α = os α = +. 6 L demostrió més ntig que tenim de l fórmul que presentem és d Heró d lendri [fl. ]. No utilitz l trigonometri i es pot tror (Fuvel Gry) [987], 5 6. Tmé es pot tror un demostrió no trigonomètri (Xmó) [],

15 Per tnt, Si nomenem p = + + sin α = os α = ( ) os α = + os α = ( + ) és fàil omprovr que: = = ( + )( + ) ( + )( + + ) + = (p ), + = (p ), + = (p ), + + = p. Si sustituïm l fórmul de l àre: (p )(p ) (p )p p(p )(p )(p ) S = =. Per tnt, finlment, S = p(p )(p )(p ). 7 Mesur d ngles en rdins, mesur d rs i mesur de setors El proés de mesur dels ngles es du terme en dues fses: Es trç un irumferèni de entre el vèrte de l ngle. Es ompr l r de irumferèni ontingut entre els dos ostts de l ngle, m un r unitt trit prèviment. L unitt de mesur m l que hem trellt fins r, er un dels rs que resultv de dividir en 36 prts iguls, l irumferèni trçd en l primer fse. L nomenàvem gru segesiml. L mesur resultnt és independent de l irumferèni trçd per otenir-l, en ser totes les irumferènies figures semlnts entre si. Es pot introduir un ltr unitt de mesur per ls ngles, si tenim en ompte que l longitud d un irumferèni de rdi r és πr, en què el nomre π ve proimt per L nov unitt de mesur és un r de irumferèni que mesur igul que el seu rdi, s nomen rdin i es represent m el símol rd. D quest definiió result que l relió entre els dos tipus de mesur es regei per l proporió 36 π, l qul present l relió de les mesures d un erle en els dos tipus d unitts. L mesur en rdins d un ngle permet omprr diretment l r que determin sore l irumferèni trigonomètri m els segments que hi determinen les seves rons trigonomètriques. És ií perquè s utilitz l mtei unitt, el rdi de l irumferèni trigonomètri, per mesurr-los. Per eemple, ( π ) ( ) ( ) π 36 sin 4 rd = sin 8 rd = sin = sin 45 = 8 permet estlir que, sore l irumferèni trigonomètri, l relió entre l mesur de l r orresponent 45 = π/4 rd i l mesur del segment que determin el sinus és / π/4 = questes onsiderions permeten d firmr que: 7 7 Si qun epressem l ngle no hi figuren les unitts, signifi que questes són rdins..., 5

16 Per qulsevol ngle α es omplei que: 36 π = α α rd. Eemples: ) Epressió de l ngle α = 7 en rdins: 8 ) Epressió de l ngle α = 3π 5 π = 7 = α α rd = 7 π rd 8 = 7π 8 rd. rd en grus: 8 π = α 3π/5 = 3π 5 8 π = 78. onsegüentment, els ftors de onversió d unes unitts les ltres són: De grus rdins: π 8. De rdins grus: 8 π. L longitud d un r de erle L α d ngle entrl α, en què el rdi del erle és r, es pot lulr de l mner següent: α en grus: α en rdins: 8 α = πr L α = πα r L α 8. π = πr L α = α α rd L rd r. α Si es té en ompte l proporionlitt entre les àrees α dels setors de erle i els seus ngles α entrls, i que l àre d un erle de rdi r és πr, s oté que: α en grus: α en rdins: 36 α = πr α = πα r α 36. π = πr α = α rd r. α rd α 8 Funions trigonomètriques Les funions que, d vlor d un ngle epresst en rdins, ssignen les seves rons trigonomètriques, s nomenen funions trigonomètriques. L epressió dels ngles en rdins és essenil de r les pliions; un eemple onret el tindrem l seió 9, en què proimrem les funions orresponents l sinus i l osinus mitjnçnt polinomis. Si representem els ngles sore l irumferèni trigonomètri de l mner eplid l seió 4, es definei: L funió sinus de l ngle, om l funió que ssign el vlor de l ordend de P, l ngle = ĈOP. Es represent f() = sin. O y P y ¼/ ¼ 3 ¼/ ¼ 5¼/ 3¼ - 6

17 L funió osinus de l ngle, om l funió que ssign el vlor de l siss de P, l ngle = ĈOP. Es represent f() = os. P y y O ¼/ ¼ 3 ¼/ ¼ 5¼/ 3¼ - L funió tngent de l ngle, om l funió que ssign el vlor de l ordend del punt d interseió T de l ret P m l ret =. Es represent f() = tn. y y P T O ¼/ ¼ 3 ¼/ ¼ 5¼/ 3¼ 9 proimió polinòmi de sin i os Un dels prolemes importnts, de r les pliions, és el de lulr m un proimió tn grn om es vulgui les rons trigonomètriques de qulsevol ngle. Se sp que prtir del segle iii quest qüestió v ser ordd pels gres. m l evoluió dels proediments de l mtemàti tmé evoluionà l mner de dur terme questes proimions, m el resultt que els polinomis esdevingueren un ein fonmentl en quest ts. Leonhrd Euler [77 783], mtemàti i físi suís present l prtt 34 de l sev Introdutio in nlysin infinitorum de l ny 748, l proimió polinòmi del sin i os prtir de les fórmules () i () de l pàgin 3. 8 Presentem tetulment i interpretem el que esriu: Sit rus z infinite prvus, erit sin. z = z & os. z = : sit utem n numerus infinit mgnus, ut sit rus nz finite mgnitudinis, put, nz = v; o sin. z = z = v n erit os. v = v + v v &., & sin. v = v v3 3 + v v &. Sigui l r z, infinitment petit, sern sin z = z i os z = ; sigui, d ltr nd, n un nomre infinitment grn, de mner que l r nz tingui un mgnitud finit, posem, nz = v; en ser sin z = z = v serà: n os v = v! + v4 4! v6 6! +, i sin v = v v3 3! + v5 5! v7 7! + 8 Vegeu (Euler) [748], 99; vegeu tmé 9 de l trduió espnyol de, i (Dunhm) [999], 93. quest mtei proimió hvi sigut desoert per Is Newton, utilitznt uns ltres mètodes l ny 665. Volem fer esment de l produió ientífi d Euler per l sev immens quntitt i qulitt. Ell mtei dei que el responsle er el seu llpis, el qul li er difíil de seguir. Per fer-nos un ide del volum del seu trell item que les ores ompletes d Euler s estn pulint des del 9, sot el títol Leonrhdi Euleri Oper Omni su uspiiis Soiettis Sientrum Nturlium Helvetie, per iniitiv de l dèmi de iènies Helvèti, i hn pregut més de 7 volums. 7

18 S oserv que l sev estrtègi es s en l onepió d un stúi que impli l mnipulió de mgnituds infinitment petites i d ltres infinitment grns. Detllem el que f: onsider un mgnitud v finit, i f z = v n, de mner que si n es onsider tn grn om es vulgui llvors, en ser v finit, el vlor de z es més petit que qulsevol vlor prefit. m llengutge més tul diríem que n tendei impli que z tendei. El fet que z sigui tn petit om es vulgui l utoritz presentr les proimions: 9 sin z z = v n i os z. prtir d quí, per les fórmules () i (): n(n ) os(v) =! v n(n )(n )(n 3) + n 4! n(n )(n )(n 3)(n 4)(n 5) 6! = n n n n Llvors, qun n s oté que Per tnt, n p n v4 n 4 v6 n 6 + = v! + n n n n n n n 3 n v4 4! n n n n n n n 3 n n 4 n n 5 n v6 6! = p n p = =, p =,,, 3,... os v = v! + v4 4! v6 6! + 9 Es poden omprr les mesures de sin z i z per estr epressdes en les mteies unitts, els rdins. T T z z z z O O O O Qunt l primer, si onsiderem l irumferèni trigo- Efetivment, l segon proimió és immedit. nomètri, oservem que És dir, que podem firmr Llvors, Per tnt, àre(tringle O) < àre(setor O) < àre(tringle OT ). sin z < z < tn z sin z < z < sin z sin z = os z < <. os z z lim os z z sin z sin z lim lim = lim = z z z z z = sin z lim = = sin z z, qun z. z z 8

19 i os es pot proimr m el polinomi p n () =! + 4 n + ( )n 4! (n)!. De l mtei mner es pot tror sin v = v v3 3! + v5 5! v7 7! + i sin es pot proimr m el polinomi q n+ () = 3 3! + 5 n+ + ( )n 5! (n + )!. Es pot oservr l on proimió que proporionen quests polinomis prtir dels seus gràfis. Vegeu el s de l funió os, l qul omprem m els polinomis de gru, 8, 4,, 6 i 3. y p ( ) 8 p ( ) p ( ) 3 5¼ 4¼ 3¼ ¼ ¼ ¼ ¼ 3¼ 4¼ 5¼ p ( ) p ( ) 4 p ( ) 6 Tmé podem fer-ne l omprovió numèri. l tul següent mostrem el vlor proimt del osinus de diversos ngles m 9 deimls orretes, i les seves proimions m els polinomis de grus 8,,, 4, 6, 8 i. π 5π/4 3π/ 7π/4 π p 8 () p () p () p 4 () p 6 () p 8 () p () os S oserv, de l mtei mner que pssv en els gràfis, que: En ugmentr el gru del polinomi, l proimió és més on. En llunyr-se l ngle del vlor, disminuei l ordre d proimió. punt històri L trigonometri entes om disiplin que erv d estlir les relions entre les mesures de tots els elements d un tringle, nsqué Grèi l èpo d Hipr [ii ], o potser un mi ns m pol loni [iii ]. Seml lr que un de les motivions de l sev priió, residí en l intent de rer un model osmològi rionl que epliqués i relionés els moviments dels stres en l volt eleste, i ontriuís l mesur d op més urd dels fenòmens relionts, om l durd de les hores de lror, les posiions reltives dels plnetes, et. quest intent esdevingué 9

20 en el món gre, més trdr, en el segle iv, l èpo de Pltó. S elorren diferents models i prtir possilement d pol loni i, de ple, m Hipr i Ptolemeu [ii d], per tl de onordr més urdment quests models m les oservions, s introduïren erles eèntris i epiiles per proimr millor les trjetòries dels stres interiors de l esfer eleste. En d ltres prules els moviments d quests stres s epliven prtir de l omposiió de trjetòries irulrs m diferents entres. L ompleitt que fegi quest teori, ontriuí fer més punyent l neessitt de relionr les mesures dels ngles i els ostts dels tringles. Hipr fou, possilement, el primer estlir quest relió, m l ompilió d un tul de ordes, en què es reollien els vlors de les ordes determindes per diferents rs de irumferèni. El mtei v fer Menelu en el primer segle de l nostr er, però p d questes tules s h onservt. L or més ntig en què podem tror-ne un model és l omposiió Mtemàti o Sinti Mtemàti de Ptolemeu, ompost de tretze llires onservts íntegrment. llí es pot estudir l sev presentió, ií om els proediments geomètris, m les demostrions pertinents, emprts per elorr-les. En questes tules, els vlors de les ordes orresponents diferents rs o ngles entrls d un irumferèni venien donts en funió del rdi. ií, si en l irumferèni (O, O) es onsider l ord i l r, sutendits per l ngle entrl α = ÂO, l tul proporionv per d vlor de α l mesur de l ord = rd (α). És dir, el vlor de l ord de l ngle α que proporionv l tul er R sin(α/), en què R er el rdi de l irumferèni. O R / = rd( ) = R sin( /) Per estudir l evoluió de l trigonometri, prtir de Ptolemeu, hem de trslldr-nos l Índi i, més trd, l ivilitzió àr. De l mtei mner que entre els gres, està lligd m l interès per resoldre els prolemes pràtis origints per l stronomi. Però, tmé, el fet de ser útil per soluionr prolemes origints en ltres disiplines om l topogrfi i l òpti l onvertei d op en un disiplin més independent i strt. l Índi troem un primer innovió en els oneptes àsis de l disiplin. iò pss prtir del segle iv, en què en els Siddhnt es present per primer vegd l estudi de l relió entre l meitt d un r α dont i l meitt de l ord d quest r. quest semiord rei el nom de jy rdh o ord meitt, el qul s reujà jy o tmé jiv. quest nov relió és equivlent l que oferei l funió sinus, m l orreió del ftor R igul l rdi de l irumferèni. ií tenim l nov relió semiord (α) = R sin α. Posteriorment els àrs, per nomenr l semiord, onservren l form jiv, m l irumstàni que el seu signifit en quest idiom er el de ple, pit o di. Els trdutors Gerrd de remon i Roert de hester, en el segle ii, l vn onvertir en l prul, de signifit equivlent en lltí, sinus. Finlment, Edmund Gunter [58 6] professor d stronomi Londres li v ssignr l notió sin. l trigonometri índi, tmé troem les noves relions Vegeu (Ptolemeu) [ii]. Es pot despenjr de l pln we glli.nf.fr. El reu punt que presentem en quest seió pot ser mplit prtir, entre d ltres, de (g) [979], 9-85, (erggren) [986], 7-56, (jori) [98 9], 4-79, (Gheverghese) [99], i de l ediió de 996, i (Youshkevith) [976], 3-5.

21 kojy (α), equivlent R os α. ukrmjy (α), equivlent R( os α). Els mtemàtis àrs egueren de les fonts índies, els Siddnth hvien estt trduïts l àr en el segle viii, i de les fonts gregues, eistien trduions de l lmgest, en el segle i, i de les Esfèriques de Menelu. ií, dels primers inorporren les noves relions trigonomètriques. L relió kojy (α) rei el nom de sinus del omplement de l r, i ukrmjy (α) el de sinus inlint en l direió de l flet entre l r i l ord. L trduió lltin d quest últim er sinus versus, o sinus vers o inlint. Moltes vegdes per distingir-los lrment, esrivien sinus retus, o sinus rete, per designr el sinus. O R = sinus rete( ) = R sinus( ) D D = sinus vers( ) = R ({ osinus( )) O = sinus del omplement( ) = R osinus ( ) Els àrs dquiriren dels gres tots els oneiements sore tringles plns i esfèris, i els mpliren. Tmé introduïren noves relions trigonomètriques. En temps d l-huwrizmi troem l omr i l omr invertid d un ngle α, trduïdes l lltí om umr ret i umr vers. L primer er l longitud de l omr s d un gnòmon l situt perpendiulrment l terr horitzontl, i l segon er l omr t, sore un pret vertil, d un gnòmon l situt perpendiulrment sore quest. L ngle α er l ngle d inlinió dels rigs del Sol respete del pl horitzontl. t l s l Es pot veure que questes eren les relions equivlents les nostres otngent i tngent, umr ret (α) = s = l ot α umr vers (α) = t = l tn α. Tmé s introdueien en el segle i, el diàmetre de l omr sore el gnòmon vertil, equivlent l osent, i el diàmetre de l omr invertid sore el gnòmon horitzontl, equivlent l sent. diàmetre de l omr (α) = s = l s α diàmetre de l omr invertid (α) = t = l se α. u l-wf, en el segle definei les línies trigonomètriques prtir del erle, deint de nd els gnòmons i, per eemple, present l tngent trigonomètri sore un ret tngent l irumferèni. ií, si representem totes les línies trigonomètriques itdes, m els noms tuls, sore un irumferèni de rdi unitt, tenim el gràfi djunt de fàil justifiió. Vegeu (Youshkevith) [976], 34.

22 F E O D = sinus( ) O = osinus( ) D = tngent( ) FE = otngent( ) O = sent( ) OE = osent( ) u l-wf tmé proporion tules del sinus, osinus i tngent per l rdi igul, les quls onsegüentment proporionen els vlors per les funions trigonomètriques tl om es onsideren tulment, sense neessitt del ftor de orreió igul l rdi R. l destr l importàni de l eistèni de tules de tngents i otngents de r l simplifiió dels àluls. Per r quest seió item que els noms tngent i sent són introduïts per Thoms Finke el 583, i el terme otngent per Edmund Gunter el 6. Qunt les representions gràfiques d questes línies om funions de l ngle, seml que es troen per primer vegd en el trell de Roervl [6 675] sore l determinió de l àre sot l iloide. llí utilitz un or uilir que no es ltr que el gràfi del osinus, l qul no identifi, però si que identifi en el mtei trell l or del sinus orresponent l primer qudrnt. 3 Referènies g,. K. [979] Mthemtis in nient nd Medievl Indi. hukhm Orientli, Vrnsi-Delhi. erggren, J. L. [986] Episodes in the Mthemtis of Medievl Islm. Springer, New York. jori, Florin [98 9] History of Mthemtil Nottions. Open ourt Pu. o., L Slle, Illinois. [Reeditt per Dover, New York, 993]. Dunhm, Willim [999] Euler. The mster of us ll. The Mthemtil ssoition of meri, Wshington D. [Trduió espnyol Euler. El mestro de todos los mtemátios., Nivol, Mdrid, ]. Eulides [.3 ] Elements. Trduió espnyol àrre de Mrí Luis Puerts m introduió de Luís Veg, Elementos, en tres volums. Gredos, Mdrid, 994. Heth, Sir Thoms [98]. The Thirteen ooks of Eulid s Elements. mridge University Press, mridge. [Reeditt per Dover, New York, 956]. Ver, Frniso [97]. ientífios Griegos, volums. guilr, Mdrid. Euler, Leonhrd [748] Introdutio in nlysin Infinitorum. Lusnne. Tmé Oper Omni,, 8-9. [Ediió Fsimilr i trduió espnyol Introduión l nálisis de los infinitos. SEM Thles i Rel Soiedd Mtemài Espñol, Sevill, ]. Fuvel, John, Gry, Jeremy [987] The History of Mthemtis: Reder. MMilln Press & The Open University. Gheverghese, George [99] The rest of the Peok: Non-Europen Roots of Mthemtis. Penguin ooks, Hrmondsworth, U.K. [Trduió espnyol àrre de Joo árdens, L rest del Pvo Rel. Ls Mtemàtis y sus Ríes no Europes. Ediiones Piràmide, Mdrid, 996]. Ktz, Vitor J. [993] History of Mthemtis. Hrperollins ollege Pulishers, New York. 3 Vegeu (Ktz) [993] Tot el tet d quest seió h estt etret de (Noll) [6], 3 3 i 58 6.

23 Noll, Rmon [6] Estudis i tivitts sore prolemes lu de l Històri de l Mtemàti. Soiett tln de Mtemàtiques, relon. Ptolemeu, ludi [II] omposition Mthémtique o [lmgest]. [Fsímil de l trduió frnes d Hlm dels nys Liririe Sientifique et Tehnique lert lnhrd, Pris, 988]. Xmó, Sestià [] Geometri, Sessions de preprió per l Olimpíd Mtemàti, 67 3 Youshkevith, dolf P. [976] Les Mthémtiques res. Vrin, Pris. (És un trduió, àrre de zenze i Jouihe, de l versió en llengu lemny de l terer prt d un or en llengu russ sore Les mtemàtiques l edt mitjn ). Índe Introduió de geometri elementl. Dues hipòtesis de prtid ngles determints per dues prl leles i un sent riteris d igultt o ongruèni de tringles Teorem de Pitàgores Teorem de Tles Semlnç de tringles El teorem de l ltur i el teorem del tet Les rons trigonomètriques dels ngles guts 5. Les rons trigonomètriques inverses Qutre identitts Eemple pràti per omprr mètodes Rons trigonomètriques que l reordr Definiió lterntiv sore l irumferèni trigonomètri Dos teoremes sore tringles no retngles 9 3. Teorem del sinus Teorem del osinus Rons trigonomètriques per ngles qulssevol 5 Fórmules o identitts trigonomètriques 3 6 Àre d un tringle 4 7 Mesur d ngles en rdins, mesur d rs i mesur de setors 5 8 Funions trigonomètriques 6 9 proimió polinòmi de sin i os 7 punt històri 9 3