Modelos Poblacionales. Modelos poblacionales. Dinámica de especies aisladas. Ecuación de Malthus: notación. Ecuación de Malthus. Ecuación de Malthus

Transcripción

1 Organización Sisemas poblacionales Modelización de sisemas biológicos FIUER Pare I Inroducción: concepo de modelo Eapas de la modelización Modelos Comparimenales Modelos Poblacionales Modelos por Analogías Modelos Poblacionales Repaso Concepos y definiciones. Eapas de la modelización en modelos poblacionales Del modelo concepual al físico Del modelo físico al maemáico Ejemplos Objeivos Disinguir las caracerísicas de la Modelización Poblacional Aplicar las eapas implicadas en el proceso de modelización. Aprender a modelizar sisemas biológicos de diferenes nauralezas. Analizar algunos ejemplos de modelos biológicos. Repaso El problema de cinéica de poblaciones parece esar en desacuerdo con nuesra definición de comparimeno Modelos Poblacionales Población: conjuno de organismos de la misma especie viviendo en un espacio paricular en el mismo lapso de iempo o hay conservación o es homogéneo Las poblaciones esán compuesas por individuos capaces de ineraccionar enre sí icho Epidemiología?

2 Modelos Poblacionales Por qué esudiarlos: Puede preverse de forma deerminísica la dinámica de una población? Exise el modelo que nos permia describir la dinámica presa/predador? en el sisema inmune, por ej. Cómo influye el efeco del aprendizaje del depredador en los ciclos presa/predador? Pueden los pesicidas conrolar efecivamene las plagas? Modelos poblacionales Dinámica de especies aisladas Dinámicas con ineracción enre especies Dinámicas con ineracción enre especies: ejemplo: modelo simplificado del HIV Dinámica de especies aisladas Ecuación de Malhus Ecuación de Malhus: noación Ecuación de Pearl-Verhuls Ecuación logísica generalizada Modelos con reardo Inglaerra, 798 Modelos con disribución por edad Ecuación de Malhus Ecuación de Malhus Ecuaciones en diferencias El crecimieno no es influenciado por ninguna variable exógena La relación de sexos es : Todos los individuos ienen la misma edad o hay diferencias geográficas en las velocidades de crecimieno r ( ) + + r f Censo Habianes.9 x x x x x x x 0 6

3 Ecuación de Malhus: solución Ecuación de Malhus d d r rd d log( ( )) log( (0)) r ( ) (0) e r o La prueba del modelo propueso para el crecimieno a largo plazo indica que ése debe ser rechazado. Sin embargo podría ser úil para crecimieno a coro plazo. Como el crecimieno de la población depende sólo del amaño de la población, se debe agregar que si la población crece demasiado la asa de moralidad va a exceder a la de naalidad (recursos limiados) Todo eso implica un replaneo de nuesro modelo físico. Ejemplo de planeo de un modelo.explicación y predicción de los cambios en la población. 6. o saisfacorio para población..el crecimieno es proporcional a la población. 5. Crecimieno sin límies si r > 0 3. d/d r o si o 4. o e r Ecuación de Malhus Si a eso lo raducimos ora vez en lenguaje maemáico, debemos reemplazar r por f(()) que es una función decreciene de () para () grande, y se hace negaivo cuando () es muy grande. Por lo ano: En recurrencias: d d f () + f ( ) + Ecuación de Pearl (845) d d d d r( ) α( / ) Capacidad de acarreo o susenabilidad del medio Ec. en diferencias: << ; ; > [ α ( / )] y Ecuación de Pearl Regresión lineal + α x α Censo Habianes.9 x x x x x x x 0 6

4 d r( ) d d α d ( / Ecuación de Pearl ǫ ) Ecuación de Pearl-Verhuls (95) ε / β β ε / Punos de equilibrio o Ecuación logísica generalizada Ecuación logísica generalizada Población límie Punos de inflexión Ecuación logísica generalizada acimienos dependienes de densidad de población + + b d Ecuación logísica generalizada Efeco Allee Disminución en la asa de nacimienos por compeencia Incremenos en la asa de nacimienos por aumeno de la chance de enconrar pareja d d M r M es un umbral debajo del cual la asa nea de crecimieno es negaiva

5 Poblaciones Esrucuradas por Edad Esrucura earia: sólo los individuos de una deerminada edad se reproducen Tasas Independienes de densidad (caso más sencillo) d s s pero i, + i, i i, i i, + i i, con d i asa de morandad de la esrucura earia i s i asa de supervivencia de la esrucura earia i d s i, + si i, Esrucura earia: el Modelo de Leslie (945) Aproximación maricial + L L: Mariz de Leslie + n L n 0, +, +, + 3, + 0 m + f 0 3 s s s f0 s , 0,, ; ;, f s ; ; 0 0 f 0 0 s m fm m Esrucura earia: el Modelo de Leslie El Modelo de Leslie posee un puno de equilibrio esable al que evoluciona el sisema Por consecuencia: Siempre reorna al ese esado esable después de perurbaciones El sisema iende asinóicamene a esabilizarse con una asa nea de crecimieno y una esrucura earia propia (independienemene de las condiciones iniciales) Modelos con reardos Los nacimienos acuales dependen de la disponibilidad de recursos un período T de iempo arás La asa de nacimienos no es insanánea: Reardo debido a la maduración Reardo debido a la gesación Puede analizarse el sisema independienemene de las condiciones iniciales sólo ineresa la mariz L Las poblaciones con asa nea de crecimieno grande ienen una esrucura earia desproporcionadamene joven Las poblaciones con alas asas de morandad en odas las edades ambién poseen esrucura earia joven Modelos con reardos Modelos con reardos: ejemplo d ( T ) r ( ) d K Ecuación diferencial con reardo Figura. ( ) π Acos T El gusano del abeo balsámico

6 Ejemplo : Regulación de la Hemaopoiesis dc( ) λ( c( T )) gc( ) d m dc υa c( T ) gc m m d a + c ( T ) T6 T0 (Caos) Caso real (leucemia) Modelos poblacionales con cosecha (harvesing) d d r h o r E r-e Ejemplo: cosecha de peces Relaciones enre especies d d r B ρ( ) A + ρ( ) TIPO DE RELACIÓ Depredación Compeencia Comensalismo Simbiosis Parasiismo CARACTERÍSTICAS Consumo de un ser viviene por pare de oro. Lucha, direca o indireca, enre varios seres vivos, de una misma especie o de especies disinas, por el acceso a un recurso. Relación asimérica enre dos seres vivos; uno de ellos se beneficia, mienras que el oro no obiene beneficio ni perjuicio. Relación enre dos seres vivos con beneficio recíproco, a menudo hasa el exremo de que ninguno de ellos podría vivir sin el oro. Relación asimérica con beneficio para uno y perjuicio para el oro. El parásio se alimena a expensas de su huésped. Los individuos de una especie son el alimeno de los de la ora especie La especie depredada en forma aislada crece nauralmene según la disponibilidad de alimenos:

7 La especie predadora en forma aislada se exingue por fala de alimenos: La especie depredada pierde individuos cada vez que hay un encuenro enre ambas especies: La especie predadora incremena su población en función de los encuenros con su alimeno : Ecuación de Loka-Volerra Problemas presa predador Figura 3.4 Figura 3. d d d d ( r β ( r γ ) β + γ )

8 Ejemplo: el lince canadiense y la liebre de la nieve Modelado de compeencias Dos especies compiiendo por un mismo nicho ecológico Modelado de compeencias Modelado de compeencias Dos especies compiiendo por un mismo nicho ecológico Cuando había una sola especie se modelaba la disminución de alimeno mediane: Ahora las dos especies reducen el alimeno Disinos casos: ciclos límie, ejemplos Simbiosis o muualismo Relación con beneficios muuos enre las dos especies En casos exremos ninguno de los dos podría vivir sin el oro

9 Simbiosis: ejemplo Simbiosis: ejemplo Crecimienos inconrolados Beneficios muuos Ej.: algunas infecciones Capacidades de crecimieno conroladas Siuación más realisa Ej.: Hormiga/Hongo Comensalismo Relación asimérica enre dos seres vivos; uno de ellos se beneficia, mienras que el oro no obiene beneficio ni perjuicio. Parasiismo Relación asimérica con beneficio para uno y perjuicio para el oro. El parásio se alimena en derimeno de su huésped. Ej: pez imón X Modelos Poblacionales Uno de los modelos clásicos de compeencia inerespecífica es el modelo no lineal general de Loka-Volerra dx x d dy y d a, b, c, d, r, s R ( a x+ b y+ r) ( c y+ d x+ s) o puede resolverse en forma analíica Modelos Poblacionales Ubicación del puno críico y evolución asociada: y Exinción Explosión demográfica sin límies Equilibrio esable / inesable Exinción x Taylor - Jacobiano

10 Análisis de esabilidad Análisis de punos de equilibrio Ineracción enre 3 especies: Modelo Simplificado del Cáncer Los Inerferones son susancias naurales que produce el organismo para combair agresiones ales como las infecciones causadas por virus. o se conoce exacamene el mecanismo de acción de los inerferones alfa en el cáncer y en las enfermedades víricas, pero se cree que acúan como inmunomoduladores (susancias que modifican la acción del sisema inmuniario). Los inerferones alfa pueden bloquear ambién la muliplicación de los virus. El Inerferón Alfa-b se obiene mediane ecnología de AD recombinane : por una baceria que ha recibido un gen (AD) que le permie elaborarlo. El Inerferón Alfa-b usado como susiuo acúa de la misma forma que el inerferón alfa naural. Ineracción enre 3 especies: Modelo Simplificado del Cáncer S: células sanas (ovejas) C: células cancerígenas (lobos) I: inerferón (perros) Ineracción enre 3 especies: Dinámica del virus de HIV Células CD4 (cooperadoras): Células CD8 (cioóxicas): Virus HIV: desruye células CD4 Simbiosis: ejemplo 3 : población en cupla simbióica: el arrecife

11 Bibliografía Modeling Biological Sysems, J.W. Haefner, Springer, Y, 005 Mahemaical Biology I: An Inroducion, JD Murray, Third Ediion, Springer, 00 "Maemáicas para Biólogos", Hadeler "Compuer Modelling of Complex Biological Sysems", S. Siharama Iyengar, CRC Press. "Farmacocinéica Clínica", John G. Wagner, Ed. Reveré, S.A., 983. "Modelling and Conrol in Biomedical Sysems", Cobelli-Mariani, 988. "Drugs and Pharmaceuical Sciences", Gibaldi "Inroducción a la Bioingenieria", Marcombo-Boixareu Ediores, 988. "Modelling wih Diferencial Equaions", Burghes-Borrie. "An inroducion o Mahemaical Modelling", Bender. "Elemenos de Biomaemaica", Engel, Sec Gral de la OEA., Programa Regional de Desarrollo Cienífico, 979.