Simulación Dinámica Discreta de Modelos Compartimentados con Software

Transcripción

1 Resumen Simulación Dinámica Discrea de Modelos Comparimenados con Sofware Luis E. Valdez - Silvia V. Romero 2 - Silvia I. Navarro 3 - Gusavo A. Juarez 3 La presene noa muesra simulaciones efecuadas de modelos comparimenados dinámicos discreos expresados mediane problemas con valores iniciales de ecuaciones en diferencias, ecuaciones que son resuelas con el sofware de aplicación libre EED, creado para al fin. Para ello, parimos de planeos de modelos comparimenados y realizaremos cuando sea posible, enunciados de problemas, principalmene denro de ecología, dinámica poblacional y de economía. Proponemos realizar una presenación de los modelos comparimenados de uno, dos y res comparimenos que conforman un odo denro de un sisema que varían a lo largo del iempo, en donde se represenan como modelos dinámicos discreos mediane ecuaciones y sisemas de ecuaciones en diferencias, en ese primer paso con coeficienes consanes. El méodo de los comparimenos consise en un sisema donde el odo se compone de un ciero número de comparimenos o subsisemas que esán ligados o relacionados. Para ello esudiamos en forma discrea ese número de ejemplares o canidades a lo largo del iempo mediane ecuaciones en diferencia, preendiendo que cada comparimeno enga su propia ecuación y por ello en su oalidad, el odo, el sisema, se represena por las ecuaciones simuláneas en diferencias o sisema de ecuaciones en diferencias. Objeivo Presenar simulación dinámica con el sofware EED, en problemas inerdisciplinarios que se planean mediane modelos comparimenados discreos. Méodos A parir de la enseñanza efecuada de las Ecuaciones en Diferencias, en la formación de Profesores de Maemáicas en los úlimos años de las carreras de Maemáicas de la Faculad de Ciencias Exacas y Naurales-UNCa, y en el Insiuo de Esudios Superiores Andalgalá, con conenidos ano eóricos como aplicados, nos propusimos acualizar el sofware recienemene presenado que permie simular problemas con valor inicial discreos; el cual nos da la posibilidad difundir en forma conjuna lo realizado en esa emáica. 9

2 Fundamenación Es frecuene observar modelos maemáicos dinámicos en la forma coninua, ano a nivel educaivo como en invesigación. La formación de profesores de maemáica en los úlimos años, nos permiió aplicar la creación de modelos maemáicos discreos mediane ecuaciones en diferencias. Las mencionadas presenan una venaja imporane, pues posibilia iniciarse en el pensamieno maemáico inerdisciplinario mediane el planeo de problemas de diversas áreas, donde la maemáica asume su carácer insrumenal, proporcionando además de la modelización, la simulación de los mismos, de las cuales se obienen como resulados el comporamieno del problema asumido. Además, por un lado, las ecuaciones en diferencias, no requieren de un esudio previo de un análisis maemáico, conribuyendo a que pueda ser conenido en el nivel medio, ampliando el concepo de progresión. Por oro lado, al deerminar un problema con valor inicial discreo, puede simularse el modelo sin necesidad de resolver la ecuación en diferencias. Para eso úlimo el equipo de rabajo desarrolló un sofware que permie el rabajo en forma accesible. Lo que se propone como rabajo, son problemas inerdisciplinarios que puedan simularse mediane ecuaciones o sisemas de ecuaciones en diferencias lineales con coeficienes consanes, y en algunos casos cuadráicos, al el modelo de crecimieno inhibido conocido como logísico discreo. Por ello se consideran problemas moivadores y de aplicación en economía, ecología, dinámica poblacional y epidemiología, odos ellos bajo el concepo de modelos comparimenados. Desarrollo Ese rabajo se enmarca denro de la maemáica aplicada, en paricular en la modelización maemáica y denro de ellas, finalmene a los llamados modelos maemáicos dinámicos discreos. Es por ello rabajaremos con ecuaciones en diferencias y más precisamene con sisemas de ecuaciones en diferencias. Su evolución y posible esabilidad del sisema que se modela es la propuesa final, eso es, el 20

3 comporamieno del modelo para lo cual escribiremos el nuesro como un Problema con Valor Inicial Discreo (PVDI). Para ello comenzaremos mencionando que uilizaremos un PVID para represenar una siuación real en donde una, dos o más especies, o ipos de elemenos, que conforman un odo, o sea un sisema desde el puno de la eoría general de sisemas y que evolucionan conjunamene al al forma que uno de ellos depende, no solo de sí mismo, sino ambién de los oros componenes con los que comparen su medio, puedan ser represenados. De esa manera esamos diciendo que el odo esá conformado en comparimenos, y de allí la expresión de modelos comparimenados. El méodo de los comparimenos consise en un sisema con ciero número de comparimenos o subsisemas que esán ligados o relacionados, al el caso de dos especies que conviven en un mismo hábia, o personas de una comunidad que durane un ciero iempo recorren diversos esados de salud respeco a una deerminada enfermedad. Para el caso de un único comparimeno llamamos modelos unicomparimenado, asociamos al mismo con ecuaciones en diferencias lineales con coeficiene consane de primer orden, en el caso de considerar un reraso corresponde a una de segundo orden, y cuando consideramos un carácer esable en un valor no nulo, se oma el crecimieno inhibido cuadráico llamado ecuación logísica discrea. En odos esos casos con un valor inicial se conforma el problema con valor inicial discreo y se realiza la simulación con el sofware Ecuaciones en Diferencias. Con los modelos unicomparimenados se permie jusificar el supueso para una parición en dos comparimenos, donde la forma del modelo puede ser lineal en un sisema de ecuaciones en diferencias con dos sucesiones y dos ecuaciones de primer orden lineales con coeficienes consanes, siendo que la única forma que adquiere una esabilidad no nula la da el caso de aquellos modelos que se asocian a procesos de Markov. Con esos sisemas se propone ambién un modelo cuadráico, en donde paricipan érminos que conienen ambas sucesiones, consecuencias del ipo de modelo, donde dicho érmino proviene del supueso de la paricipación de ambas sucesiones, al 2

4 el caso de modelos de ipo presa depredador, donde el conaco enre especies puede ser el deerminane del comporamieno del sisema. La forma logísica de alguna o ambas sucesiones es ambién una posibilidad que se planea, a fin de hallar oro ipo de esabilidades. Esos modelos comparimenados, llamamos bicomparimenados a fin de aclarar la canidad de comparimenos que posee. La aplicación de dinámica poblacional, compeencias enre negocios, visa aquí, puede rápidamene exenderse a res o más comparimenos al igual que los de ipo procesos de Markov. En el caso de modelos de res comparimenos se cuena con el modelo epidemiológico ipo SIR, que no es lineal, jusamene por los érminos de conacos, por lo que se prevé la exensión del sofware, aunque las de ipo lineal son fácilmene simulados con el sofware. Talvez el apore didácico más imporane de los modelos comparimenados esá en su visión para generalizar y represenar gráficamene a los disinos modelos a parir de los más simples. En efeco la correspondencia de los modelos comparimenados con sus inerpreaciones gráficas se muesra a coninuación, acompañando de ejemplos de aplicaciones con sofware de la simulación. Modelos Unicomparimenados. a) Modelo Unicomparimenado cerrado, con la única especie que se modifica en el iempo en forma densodependiene con muliplicidad diferencia resula de la forma recursiva a, por lo que la ecuación en a. Eso se represena en la figura. Figura : Modelo Unicomparimenado cerrado 22

5 Si además iene un valor inicial C conocido el problema con valor inicial discreo que se debe resolver la siguiene: a 0 0 C Ejemplo : Se coloca un capial inicial de veine mil pesos a una asa mensual de cinco por cieno durane ocho meses, con capialización mensual. Encuenre la expresión que modela el problema y calcule el mono durane los ocho meses que el desarrollo. El mono en cada iempo lo indicaremos con M. Así el mono inicial es M , y el crecimieno del mono es dependiene de la canidad en un 5%, es decir el nuevo mono se obiene como M, 05M, con lo que la ecuación resula M,05M 0, y el problema con valor inicial que modela el problema es: M,05M M Ahora para simular el modelo usamos el sofware obeniendo: Mes Mono , , , ,9 2842,0 23

6 Figura 2: Simulación del ejemplo b) Modelo Unicomparimenado no cerrado, con la única especie que se modifica en el iempo en forma densodependiene con muliplicidad a, y por una canidad consane que incluye ingresos o egresos expresados con una variable b, por lo que la ecuación en diferencia resula de la forma recursiva figura 3. a b. Vemos la represenación en la Figura 3: Modelo Unicomparimenado no cerrado Si además iene un valor inicial C se debe simular es el siguiene: conocido el problema con valor inicial discreo que 24

7 a 0 b C Ejemplo 2: La población de una pequeña localidad a parir de un año dado considerado como base, con unos habianes varía en los siguienes años con una asa de naalidad de 35 por cieno, y con una moralidad de 9 por cieno. Además el movimieno migraorio es de 60 personas que ingresan anualmene y 20 que emigran. Considere un modelo de esa dinámica poblacional e indique el amaño poblacional durane diez años. Solución: Se iene una población inicial P habianes. Las asas de naalidad b y moralidad d son densodependienes, por los que su diferencia conribuye al parámero de la ecuación en diferencias, eso es a b d 0,35 0,9, 6, mienras que los índices de migración no son densodependienes, y conforman el érmino consane de la ecuación en diferencias, es decir: b Con eso el modelo comparimenado es, Los amaños poblacionales en los años soliciados esán en la siguiene abla: Año Población

8 Figura 4: Simulación del ejemplo 2. c) En algunos casos nos ineresa modelar un problema donde la única especie alcanza un valor el cual permanece esable en adelane. Tal modelo en Ecología se conoce como logísico. Para nuesro caso hablaremos de un crecimieno inhibido cuadráico o logísico discreo. En efeco, el comporamieno variacional dado por una ecuación en diferencias de primer orden lineal con coeficienes consanes, es o bien consane, o de crecimieno indefinido o un decrecimieno a cero. La limiación de ese modelo llamado malhusiano fue compleado por Verhuls en 837, proponiendo una asa de variación relaiva proporcional al amaño de población y a la diferencia de esa a un amaño de equilibrio dado previamene, definiendo así al crecimieno logísico discreo por el PVID: N N 0 ( Ka) N N(0) an Aquí la ecuación en diferencias es cuadráica de primer orden. En efeco, el número de individuos de una población esá deerminado no solo por el poencial reproducor sino por oras variables ales la que el ambiene señala un ope de crecimieno, sea ya por el recurso alimenicio o por el espacio disponible. Tal valor se conoce como capacidad de 26 2

9 carga del ambiene, se lo represena con K, y se inerprea como el número promedio de individuos que puede soporar el ambiene. Además con a expresaremos a la asa de crecimieno, y así la expresión logísica surge de la asa de crecimieno proporcional a su amaño y al que resa para alcanzar la capacidad de carga es decir: N N a( K N ) N Ejemplo 3: Consideremos una población inicial de cuaro ejemplares que crece a rimo acelerado en un principio para luego reducir su inensidad de crecimieno hasa alcanzar el valor esable de 80 individuos. Planearemos el modelo logísico discreo, en donde la consane a de la asa de crecimieno sea 0,0, es decir: N N 0 ( 80 0,0) N 4 0,0N 2 Figura 5: Simulación numérica del ejemplo 3 27

10 Figura 6: Simulación del ejemplo 3 d) Oro caso de un modelo comparimenado de una especie, es aquel donde la variación no solo depende del amaño anerior de la población sino de uno más arás. Se suele denoar como crecimieno con reraso o reardo, y lo represenaremos con una ecuación en diferencias lineal de segundo orden con coeficienes consanes. El amaño de la población de la única especie que esamos considerando hasa ese momeno puede variar no solo respeco del amaño en el esado anerior sino de oro esado previo a ése. Una enfermedad congénia puede aparecer en una generación inermedia, o un recurso como el alimeno puede depender de la depredación dada por la generación anerior la cual es consecuencia de la asa de reproducción de la generación anerior a ella. En cualquiera de los casos, x n depende ano de x n como de x n. Eso se puede expresar mediane una ecuación en diferencias de segundo orden, aquí consideramos con coeficienes consanes, lineal, es decir de la forma: x ax bx d n2 n n. 28

11 En consecuencia podemos modelar el comporamieno de nuesra población unicomparimenada mediane el PVID: x n2 ax x x n 0 bx A B n d Ejemplo 4: Tal vez el problema más famoso es el que generó la sucesión de Fibonacci, por ello podemos recrearla en sus primeros quince érminos. Figura 7: Simulación del ejemplo 4 Modelos Bicomparimenados a) Para los casos de modelos con dos comparimenos, consideramos primero el caso lineal con dos especies e Y, en donde las asas de conribución de cada especie si es 29

12 consane. En al caso el sisema de ecuaciones en diferencias asociado al modelo bicomparimenal de la figura 8, se indica en la expresión siguiene: Y a c by dy m n Figura 8: Modelo Bicomparimenado Ejemplo 5: Consideremos dos especies de las cuales la primera, acuando como presa, ane la ausencia de la segunda Y, que acúa como depredador, crece en forma naural a una asa de 4%, es decir que la variación es +0,04=,04, que colocaremos como coeficiene en el sisema, pero que ane la presencia del depredador Y disminuye, si por cada 25 depredadores desaparecen 2 presas, eso da un 8% de disminución siendo -0,08 el coeficiene del sisema. Por oro lado ane la fala de las presas el depredador disminuye en un 62%, así la variación es 0,62 0, 38. Además la presencia de la presa, aumena la supervivencia del depredador en un 25%, como consecuencia que nace un depredador por cada cuaro presas. Para regular la población se reiran 4 ejemplares del depredador anualmene mienras que de las presas se raa de manener lo 30

13 exisene. Inicialmene se iene 00 ejemplares de la primera especie y 5 de la depredadora. Ese modelo se expresa como: Y,04 0,25 0,08Y 0,38Y 0 4 Figura 9: Simulación del ejemplo 5 durane 20 años b) Con m y n nulos, el modelo es cerrado, además aplicando algebra de marices, puede reconocerse que la esabilidad del modelo bicomparimenado cerrado se da mediane el proceso de Markov, con el cual los escalares a, b, c y d deben variar enre cero y uno y las sumas siguienes se deben de cumplir: a c y b d. Ejemplo 6: Dada la población de una provincia, donde disinguimos por un lado la población de la Capial, y por oro el reso de la provincia Y, deseamos modelar la dinámica de al población durane quince años, considerando que se deprecia el movimieno migraorio exerno, aquel que emigra o inmigra de la provincia. Si 3

14 inicialmene hubo habianes en la capial y en el inerior, y se observa que el 8% va de la capial al inerior mienras que el 24% va del inerior a la capial, simule la dinámica en la cual se desprecia el crecimieno naural, es decir, naalidad y moralidad. Finalmene, con el modelo obenido, observe que sucede en los siguienes quince años. Solución: Con los valores dados, el sisema de ecuaciones en diferencias que corresponde es: Y 0,92 0,08 0,24Y 0,76Y Simulando los quince años con los valores iniciales dados se obiene: Figura 0: Simulación ejemplo 6 c) Para los modelos bicomparimenados, exise la posibilidad de planear modelos no lineales, en paricular consideramos aquí los cuadráicos. Eso se debe a que la variación que sufre una especie respeco de la canidad que posee la ora es dependiene de ella ambién, eso es, que exise un facor de conaco enre ambas, que influye como facor 32

15 33 de cambio cuaniaivo. Por ello el modelo bicomparimenado cuadráico lo expresamos en forma general mediane: n y qx dy cx y m y px by ax x y d) En paricular omaremos un caso reducido del mismo, dado por: y y dx cy y y bx ax x Ese modelo es conocido en ecología como presa depredador, aunque los bicomparimenados lineales ambién lo son. Modelos Tricomparimenados Es decir consideramos modelos con res comparimenos, y al igual que anes podemos omar casos cerrados o no, lineales o no, y con reraso o no. Por un momeno pensemos en los lineales con coeficienes consanes, el sisema de ecuaciones en diferencias queda: p Z c Y b a Z n Z c Y b a Y m Z c b Y a

16 Figura : Modelo Tricomparimenado Para el caso en que el modelo es de ipo procesos de Markov, donde odos los coeficienes de las variables ienen valores enre cero y uno y la suma de las columnas es igual a uno, y el sisema es homogéneo o sea m n p 0. Eso nos asegura una esabilidad. Ejemplo 7: Supongamos que una deerminada gaseosa se vende en un barrio en res ipos de negocios: kiosco, almacén y supermercado. Se observa que por disinos moivos, los inegranes de esa comunidad odos compran, los fines de semana, al menos un envase en un local, pero que por moivos de aención, precio, horarios u ora comodidad, recurren a diferenes locales. Si suponemos que inicialmene los que compran en el kiosco son 40, en el almacén 20 y oros 70 en el supermercado, y que de los que compran una semana en el kiosco el 0% a la semana siguiene compran en el almacén y el 5% pasa a comprar en el supermercado. De los que un fin de semana compran en el almacén a la semana siguiene 5% pasan a comprar en el kiosco y el 34

17 5% en el supermercado. Y de los que compran en un fin de semana en el supermercado, al fin de semana siguiene el 25% compra en el kiosco, el 0% pasa a comprar en el almacén. Cómo varia la clienela enre los res locales de vena durane el mes? Planee el modelo y simule durane ese mes con la condición inicial dada. Solución: El sisema de ecuaciones en diferencias que modela el problema es: K A S 0,75K 0,0K 0,5K 0,5A 0,70A 0,5A 0,25S 0,0S 0,65S Ahora simulemos el problema con valor inicial discreo durane los cuaro fines de semana. Figura 2: Simulación del ejemplo 7 35

18 CONCLUSION La implemenación del sofware para simular modelos maemáicos dinámicos discreos nos permiió generar una moivación en el alumnado pudiendo sugerir modificaciones a problemas planeados. Con mayor expecaiva surge ahora el encuadre eórico de los modelos comparimenados por su inerpreación acompañada del esquema grafico para la creación de dicho modelo. De esa manera se coninúa con la area de difundir las ecuaciones en diferencias, que por su pracicidad ofrece la venaja de poder enseñarse en el nivel medio, para lo que se sugiere incorporar denro de la formación del fuuro docene. REFERENCIAS [] Bassanezi Carlos Rodney (2004) Ensino-aprendizagem com modelagem maemáica. Ediorial Conexo. Brasil. [2] Engel Alejandro B. (978) Elemenos de Biomaemáica. Ed. OEA. Washingon. EEUU. [3] Haberman Richard (998) Mahemaical Model. Mechanical Vibraions, Populaion Dynamics and Traffic Flow. An Inroducion o Applied Mahemaics. SIAM. Philadelphia. [4] Iannelli Mimo (990) Inroduzione ai Modelli di Popolazione. Universia degli Sudi di Treno. [5] Juarez Gusavo, Navarro Silvia (2005) Ecuaciones en Diferencias con aplicaciones a modelos en Sisemas Dinámicos. Ediorial Sarquis. Caamarca. [6] Juarez Gusavo, Navarro Silvia (202) Progresiones Geoméricas de Oro. Revisa Apores Cieníficos a Phymah. Vol. II, Sepiembre 202. Faculad de Ciencias Exacas y Naurales. Universidad Nacional de Caamarca. [7] Juarez Gusavo, Navarro Silvia (203). Problemas discreos con valores iniciales. Revisa en Educación Maemáica. Unión Maemáica Argenina. Año 26, Vol. II. [8] Juarez Gusavo, Navarro Silvia (204) Ecuaciones en Diferencias Recíprocas y Semirrecíprocas. Revisa Apores Cieníficos a Phymah. Vol IV seiembre 204. Faculad de Ciencias Exacas y Naurales. Universidad Nacional de Caamarca. [9] Juarez Gusavo, Navarro Silvia (20) Las Ecuaciones en Diferencias en los Modelos Maemáicos Discreos. Revisa Apores Cieníficos a Phymah. Vol. I sepiembre 20. Faculad de Ciencias Exacas y Naurales. Universidad Nacional de Caamarca. [0] Valdez Luis, Juarez Gusavo, Navarro Silvia, Barros Luis (204) Implemenación de sofware para la enseñanza de las ecuaciones en diferencias con valores 36

19 iniciales. Revisa de Educación Maemáica. Unión Maemáica Argenina. Volumen 29 - N. [] Valdez Luis (2009) Maemáica Financiera. Ed. Cienífica Universiaria Caamarca. [2] Valdez, Luis (204). Sofware Maemáica Financiera. Versión Caamarca. Insiuo de Esudios Superiores Andalgalá Caamarca 2 Escuela Secundaria N 77 3 Faculad de Ciencias Exacas y Naurales Universidad Nacional de Caamarca juarez.caamarca@gmail.com luis_valdez@arne.com.ar 37