Sistemas poblacionales. Modelización de sistemas biológicos FIUNER

Transcripción

1 Sisemas poblacionales Modelización de sisemas biológicos FIUER

2 Organización Pare I Inroducción: concepo de modelo Eapas de la modelización Modelos Comparimenales Modelos Poblacionales Modelos por Analogías

3 Modelos Poblacionales Repaso Concepos y definiciones. Eapas de la modelización en modelos poblacionales Del modelo concepual al físico Del modelo físico al maemáico Ejemplos

4 Objeivos Disinguir las caracerísicas de la Modelización Poblacional Aplicar las eapas implicadas en el proceso de modelización. Aprender a modelizar sisemas biológicos de diferenes nauralezas. Analizar algunos ejemplos de modelos biológicos.

5 Repaso El problema de cinéica de poblaciones parece esar en desacuerdo con nuesra definición de comparimeno o hay conservación o es homogéneo

6 Modelos Poblacionales Población: conjuno de organismos de la misma especie viviendo en un espacio paricular en el mismo lapso de iempo Las poblaciones esán compuesas por individuos capaces de ineraccionar enre sí

7 Modelos Poblacionales Por qué esudiarlos: Puede preverse de forma deerminísica la dinámica de una población? Cuál podrá ser el modelo más simple que nos permia describir la dinámica presa/predador? en el sisema inmune, por ej. Cómo influye el efeco del aprendizaje del depredador en los ciclos presa/predador? Pueden los pesicidas conrolar efecivamene las plagas de insecos?

8 Modelos poblacionales Dinámica de especies aisladas Dinámicas con ineracción enre 2 especies Dinámicas con ineracción enre especies: ejemplo: modelo simplificado del HIV

9 Dinámica de especies aisladas Ecuación de Malhus Ecuación de Pearl-Verhuls Ecuación logísica generalizada Modelos con reardo Modelos con disribución por edad

10 Ecuación de Malhus: noación Inglaerra, 1798

11 Ecuación de Malhus El crecimieno no es influenciado por ninguna variable exógena La relación de sexos es 1:1 Todos los individuos ienen la misma edad o hay diferencias geográficas en las velocidades de crecimieno

12 Ecuación de Malhus Ecuaciones en diferencias f ( ) 1 1 r Censo Habianes r x x x x x x x 10 6

13 Ecuación de Malhus: solución d d r rd d log( ( )) log( (0)) r ( ) (0) e r

14 Ecuación de Malhus La prueba del modelo propueso para el crecimieno a largo plazo indica que ése debe ser rechazado. Sin embargo podría ser úil para crecimieno a coro plazo. Como el crecimieno de la población depende sólo del amaño de la población, se debe agregar que si la población crece demasiado la asa de moralidad va a exceder a la de naalidad (recursos limiados) Todo eso implica un replaneo de nuesro modelo físico.

15 Ejemplo de planeo de un modelo 1.Explicación y predicción de los cambios en la población. 2.El crecimieno es proporcional a la población. 3. d/d = r = o si = o 6. o saisfacorio para población. 5. Crecimieno sin límies si r > 0 4. = o e r

16 Ecuación de Malhus Si a eso lo raducimos ora vez en lenguaje maemáico, debemos reemplazar r por f(()) que es una función decreciene de () para () grande, y se hace negaivo cuando () es muy grande. Por lo ano: d d f () En recurrencias: ( 1 f )

17 Ecuación de Pearl (1845) d d d d r( ) (1 / ) Capacidad de acarreo o susenabilidad del medio Ec. en diferencias: (1 1 / )

18 Ecuación de Pearl 1 1 y Censo Habianes x x x x x 10 6 Regresión lineal x x x 10 6

19 Ecuación de Pearl d d d d r( ) (1 / ) / Punos de equilibrio

20 Ecuación de Pearl-Verhuls (1925) / o

21 Ecuación logísica generalizada

22 Ecuación logísica generalizada Población límie Punos de inflexión

23 Ecuación logísica generalizada acimienos dependienes de densidad de población b 1 1 d

24 Ecuación logísica generalizada Efeco Allee Disminución en la asa de nacimienos por compeencia Incremenos en la asa de nacimienos por aumeno de la chance de enconrar pareja d d r M M es un umbral debajo del cual la asa nea de crecimieno es negaiva

25 Poblaciones Esrucuradas por Edad Esrucura earia: sólo los individuos de una deerminada edad se reproducen Independiene de densidad (caso más sensillo) pero i i i i i i i i s s d 1, 1,,, 1, i i i s s d, 1 1 1, 1

26 Esrucura earia: el Modelo de Leslie (1945) ; ; ; ; 2, 2 1 3, 1, 1 1 2, 0, 0 1 1, 3, 3 1 0, s s s f Aproximación maricial m m m m s s s f f f f =L L: Mariz de Leslie n n L 1

27 Esrucura earia: el Modelo de Leslie El Modelo de Leslie posee un puno de equilibrio esable al que evoluciona el sisema Por consecuencia: Siempre reorna al ese esado esable después de perurbaciones El sisema iende asinóicamene a esabilizarse con una asa nea de crecimieno y una esrucura earia propia (independienemene de las condiciones iniciales) Puede analizarse el sisema independienemene de las condiciones iniciales sólo ineresa la mariz L Las poblaciones con asa nea de crecimieno grande ienen una esrucura earia desproporcionadamene joven Las poblaciones con alas asas de morandad en odas las edades ambién poseen esrucura earia joven

28 Modelos con reardos Los nacimienos acuales dependen de la disponibilidad de recursos un período T de iempo arás La asa de nacimienos no es insanánea: Reardo debido a la maduración Reardo debido a la gesación

29 Modelos con reardos d ( T ) r ( ) 1 d K Ecuación diferencial con reardo Figura 1.11

30 Modelos con reardos: ejemplo 1 ( ) A cos 2T

31 Ejemplo 2: Regulación de la Hemaopoiesis gc T c a T c a d dc c g T c d dc m m m ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( T=6 T=20 (Caos) Caso real (leucemia)

32 Modelos poblacionales con cosecha (harvesing) d d r 1 E h r r-e o

33 Ejemplo: el gusano de la yema de abeo d d ( ) r 1 2 B 2 A 2 ( )

34 Relaciones enre especies TIPO DE RELACIÓ CARACTERÍSTICAS Depredación Consumo de un ser viviene por pare de oro. Compeencia Comensalismo Simbiosis Parasiismo Lucha, direca o indireca, enre varios seres vivos, de una misma especie o de especies disinas, por el acceso a un recurso. Relación asimérica enre dos seres vivos; uno de ellos se beneficia, mienras que el oro no obiene beneficio ni perjuicio. Relación enre dos seres vivos con beneficio recíproco, a menudo hasa el exremo de que ninguno de ellos podría vivir sin el oro. Relación asimérica con beneficio para uno y perjuicio para el oro. El parásio se alimena a expensas de su huésped.

35 Relaciones presa-predador Los individuos de una especie son el alimeno de los de la ora especie

36 Relaciones presa-predador La especie depredada en forma aislada crece nauralmene según la disponibilidad de alimenos:

37 Relaciones presa-predador La especie predadora en forma aislada se exingue por fala de alimenos:

38 Relaciones presa-predador La especie depredada pierde individuos cada vez que hay un encuenro enre ambas especies:

39 Relaciones presa-predador La especie predadora incremena su población en función de los encuenros con su alimeno :

40 Relaciones presa-predador Ecuación de Loka-Volerra

41 Relaciones presa-predador 1 2 Figura 3.1

42 Problemas presa predador Figura 3.4 d d d d ( r 2 1 ( r ) 1 )

43 Ejemplo: el lince canadiense y la liebre de la nieve

44 Modelado de compeencias Dos especies compiiendo por un mismo nicho ecológico

45 Modelado de compeencias Dos especies compiiendo por un mismo nicho ecológico Cuando había una sola especie se modelaba la disminución de alimeno mediane: Ahora las dos especies reducen el alimeno

46 Modelado de compeencias

47 Disinos casos: ciclos límie, ejemplos

48 Simbiosis o muualismo Relación con beneficios muuos enre las dos especies En casos exremos ninguno de los dos podría vivir sin el oro

49 Simbiosis: ejemplo 1 Crecimienos inconrolados Beneficios muuos Ej.: algunas infecciones

50 Simbiosis: ejemplo 2 Capacidades de crecimieno conroladas Siuación más realisa Ej.: Hormiga/Hongo

51 Comensalismo Relación asimérica enre dos seres vivos; uno de ellos se beneficia, mienras que el oro no obiene beneficio ni perjuicio. Ej: pez imón X

52 Parasiismo Relación asimérica con beneficio para uno y perjuicio para el oro. El parásio se alimena en derimeno de su huésped.

53 Modelos Poblacionales Uno de los modelos clásicos de compeencia inerespecífica es el modelo no lineal general de Loka-Volerra dx x a x b y d dy y c y d x d a, b, c, d, r, s R r s o puede resolverse en forma analíica

54 Modelos Poblacionales Ubicación del puno críico y evolución asociada: y Exinción Equilibrio esable / inesable Explosión demográfica sin límies Exinción x

55 Análisis de punos de equilibrio

56 Análisis de esabilidad

57 Ineracción enre 3 especies: Modelo Simplificado del Cáncer Los Inerferones son susancias naurales que produce el organismo para combair agresiones ales como las infecciones causadas por virus. o se conoce exacamene el mecanismo de acción de los inerferones alfa en el cáncer y en las enfermedades víricas, pero se cree que acúan como inmunomoduladores (susancias que modifican la acción del sisema inmuniario). Los inerferones alfa pueden bloquear ambién la muliplicación de los virus. El inerferón alfa-2b presene en InronA se obiene mediane un méodo conocido como ecnología de AD recombinane : el inerferón alfa-2b es producido por una baceria que ha recibido un gen (AD) que le permie elaborarlo. El inerferón alfa-2b usado como susiuo acúa de la misma forma que el inerferón alfa naural.

58 Ineracción enre 3 especies: Modelo Simplificado del Cáncer S: células sanas (ovejas) C: células cancerígenas (lobos) I: inerferón (perros)

59 Ineracción enre 3 especies: Dinámica del virus de HIV Células CD4 (cooperadoras): Células CD8 (cioóxicas): Virus HIV: desruye células CD4

60 Simbiosis: ejemplo 3 : población en cupla simbióica: el arrecife

61 Bibliografía Modeling Biological Sysems, J.W. Haefner, Springer, Y, 2005 Mahemaical Biology I: An Inroducion, JD Murray, Third Ediion, Springer, 2002 "Maemáicas para Biólogos", Hadeler "Compuer Modelling of Complex Biological Sysems", S. Siharama Iyengar, CRC Press. "Farmacocinéica Clínica", John G. Wagner, Ed. Reveré, S.A., "Modelling and Conrol in Biomedical Sysems", Cobelli-Mariani, "Drugs and Pharmaceuical Sciences", Gibaldi "Inroducción a la Bioingenieria", Marcombo-Boixareu Ediores, "Modelling wih Diferencial Equaions", Burghes-Borrie. "An inroducion o Mahemaical Modelling", Bender. "Elemenos de Biomaemaica", Engel, Sec Gral de la OEA., Programa Regional de Desarrollo Cienífico, 1979.