TEMA1: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 STEMAS LINEALES TEMA: STEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Defiició U ecució liel de "" icógis es u iguldd del ipo:. b siedo i úeros reles coocidos lldos coeficiees. i so ls icógis cuo vlor h que deerir. b úero rel lldo ério idepediee. Si b l ecució se ll hoogée. No so ecucioes lieles quells e ls que prece érios coo: - 8 Defiios sise de "" ecucioes lieles co "" icógis coo u cojuo de igulddes de l for:.. b.. b..... b Los coeficiees se represe coo ij os idic que ese coeficiee se ecuer e l ecució "i" copñ l icógi "j". Si odos los érios idepediees so el sise se ll hoogéeo.. Solucioes de u SEL. Clsificció. Llreos solució de u SEL co "" icógis culquier cojuo ordedo de "" úeros reles que susiuidos e el sise sisfce ods ls igulddes. U SEL o iee solucioes ecesriee si l iee és o iee porqué ser úic. Resolver u sise es ecorr ods sus solucioes. Ejeplos: ) U ecució: solució úic o iee solució ifiis solucioes b) Dos ecucioes: c) Tres ecucioes: solució úic ifiis solucioes () () (-) No iee solucioes Solució úic () 8 / IBR IES LA NÍA

2 STEMAS LINEALES No h solució Ifiis solucioes: - () () (-8-). Nor que e el cso de ifiis solucioes h ecucioes que "sobr" (so equivlees ors). E el cso e el que o h solució se ñde codicioes (ecucioes) "icopibles" co ls eriores. Aediedo l º de solucioes de u sise los clsificreos del siguiee odo: Deerido SCD (solució úic) SEL Copibles (co solució) Ideerido (ifiis solucioes) SCI Icopibles (si solució) Los sises hoogéeos siepre so copibles que iee l eos l solució i lld solució rivil. Ejercicios: º) Resuelve clsific los siguiees sises: ) b) c) 8 d). Méodo de GAUSS Los éodos usules pr resolver u sise o so ás que rsforcioes sucesivs del sise iicil e oros equivlees ere sí. Ls rsforcioes que se puede relir e u sise de for que lo covier e oro equivlee so:. Cbir el orde de ls ecucioes. Muliplicr culquier ecució por u º disio de. (*). Sur u ecució or uliplicd por u º. Supriir o ñdir u ecució que se cobició de ls deás Eise u éodo globl secillo pr l resolució de sises de ecucioes lieles. Se r del éodo de Guss que es u geerlició del éodo de reducció que cooces. Cosise e rsforr el sise iicil e oro equivlee e el cul ls icógis se puede despejr de for esclod. / IBR IES LA NÍA

3 STEMAS LINEALES / IBR IES LA NÍA Ejeplo: Ahor ese sise esclodo o rigulr se resuelve fácilee de bjo hci rrib : se obiee el vlor de de l ercer ecució ( ); ése se susiue e l segud se obiee el vlor de ( -); los vlores de se susiue e l prier ecució se obiee el vlor de ( ). E lugr de escribir ls ecucioes eers podeos siplificr el proceso del éodo de Guss si cosideros úicee los coeficiees los érios idepediees dispuesos e u ri:.... A ri de coeficiees del sise sise ri plid del B b b b.... A ' A Ejercicios: º) Uili el éodo de Guss pr clsificr resolver siepre que se posible los siguiees sises: ) (-8) ) ) () ) ((-)/-/) ) 8 8 () ) ) (()/) 8) () Ese sise se puede coverir uilido ls curo rsforcioes cids erioree (*) e oro equivlee esclodo: 9

4 STEMAS LINEALES / IBR IES LA NÍA 9) ( ) 8 ) () ) ) 9 (---) ) ( ). ) ) SCI ) ( ) 9 (-) ) 8. Resolució de probles º) Se esá preprdo dosis co dos ipos de copleeos pr los srous de l ve Eerprise. Cd gro del copleeo A coiee uiddes de riboflvi de hierro de crbohidros. Cd gro del copleeo B coiee uiddes de riboflvi de hierro de crbohidros. Cuáos gros de cd copleeo so ecesrios pr producir ecee u dosis co uiddes de riboflvi de hierro de crbohidros? º) U refierí copr peróleo dos píses A B. Coprdo brriles l pís A. brriles l pís B resul u precio edio de 9 8$ el brril. Coprdo. brriles l pís A. l B el precio edio es de 8$ por brril. Cuáo cues el brril de crudo e cd pís? [$ $] º) U ied posee res ipos de coservs A B C. El precio edio de ls res coservs es. U cliee copr uiddes de A de B de C debiedo bor 8. Oro copr uiddes de A de C bo 9. Clcul el precio de u uidd de A or de B or de C. (A B C 8) º) Por u heldo dos horchs bidos os cobrro e u helderí u dí. Oro dí por curo heldos curo horchs os cobrro. U ercer dí uvios que pgr por u horch curo bidos. Ro si h o o oivos pr pesr que lgú dí l fcur es icorrec. º) El señor Góe dej sus hijos e hereci su foru co ls siguiees codicioes: El or recibirá l edi riéic de lo que recib los oros dos ás. euros. Al edio le dej l edi riéic de lo que recib los oros dos.

5 STEMAS LINEALES El pequeño recibirá l edi riéic de lo que percib los oros dos eos. euros. Eplic rodee si co es iforció es posible verigur cuáo h hereddo cd uo de los res hijos. 8º) U epres del secor de l lieció produce res ipos de boboes A B C que vede por uidd respecivee. L epres quiere lr l ercdo u uev cj de boboes vridos que coeg die uiddes vlg. Ple u sise de ecucioes pr verigur el º de boboes que debe colocr de cd ipo e l cj. D ods ls solucioes posibles.[b C; A B C; A B C] 9º) U perso dese iverir 8 euros e res producos ficieros A B C. Ere el produco A el B quiere iverir siee veces ás que e el produco C. El produco A ofrece u rebilidd del % el B del % el C del %. Clcul cuáos euros iee que dedicr cd produco pr obeer u rebilidd globl del %. [ A: ; B; ; C: ] º) Nuesro proveedor de pils os cobr por u pequeñ dos edis u grde. E or ocsió por dos pequeñs res edis dos grdes. ) Cuáo os cues pequeñs 9 edis grdes? [ ] b) Cuál es el precio de u pil edi? [ ] c) Cuáo vle u pequeñ ás u grde? [ ] d) Podeos clculr el precio de u pil pequeñ? e) Si ñdios l codició de que u grde vle el doble que u pequeñ cuál es el precio de cd u? [ ; ; ] º) Por res bucs de pio u plco de seis erds se h pgdo 9. Hll los precios de cd loclidd e los siguiees csos: f) A oro especdor le cues dos locliddes de plco u de pio. g) A oro especdor le cues dos de plco dos de pio. h) A oro especdor le cues dos de plco u de pio. º) U esdo copr. brriles de peróleo res suiisrdores diferees que lo vede 8 dólres el brril respecivee. L fcur ol sciede illoes de dólres. Si del prier suiisrdor recibe el % del ol del peróleo coprdo cuál es l cidd coprd cd suiisrdor? [.;.;.] º) Se vede res especies de cereles por scos: rigo cebd ijo. El precio de u sco de rigo es derios uo de cebd vle derios iers que el precio del sco de ijo es ' derios. Si se vede scos por derios cuáos scos de cd especie h? Ierpre los resuldos d l eos u solució priculr. ' < < 8' º) U re rspor vijeros l recudció del ipore de sus billees sciede.. Clcul cuáos vijeros h pgdo el ipore ol del billee que vle cuáos h pgdo el % del billee cuáos el % sbiedo que el úero de vijeros que h pgdo el % es el doble del úero de vijeros que h pgdo el billee eero. [; ; ] º) E l ied "El As de Oros" se puede coprr los rículos A B C por u ol de. Tbié por se puede coprr los rículos A B C e l ied "El As de Cops" si bie e es ied los rículos A B so u % ás cros que e l ied "El As de Oros" e o que el rículo C es u % ás bro e "El As de Cops" que e "El As de Oros". ) Cuál es el precio del rículo C e "El As de Oros"?() b) Cuáo cues coprr los rículos A B e "El As de Cops"?() / IBR IES LA NÍA

6 STEMAS LINEALES / IBR IES LA NÍA º) Heos iverido. e ccioes de ls epress A B C. Después de u ño l epres A reprió u beeficio del % l B del 8% l C del %. E ol recibios.8 ) Deducir rodee si se puede verigur o o lo que iverios e cd epres. b) Deducir rodee lo que iverios e cd epres si ñdios l iforció de que e l epres C iverios el doble que e l epres A. (A:. B:. C:.8). PARA PRACTICAR MÁS: º) Uili el éodo de Guss pr clsificr resolver siepre que se posible los siguiees sises:. ) ( b ( ) c. ) ( d. SCI e. 8 9 SCI f. g. SCI (()/(99)/(9)/) h. 8 (--9) i. j. (/-//) 8º) U dre sus dos hijos iee e ol ños; el hijo or iee res veces l edd del eor l dre iee el doble de l su de ls eddes de sus hijos. Clcul ls res eddes.() 9º) Se ju persos ere hobres ujeres iños. Se sbe que ere los hobres ls ujeres duplic l úero de iños. Tbié se sbe que ere los hobres el riple de ls ujeres ecede e l doble de iños. Ple u sise de ecucioes que peri verigur el úero de hobres ujeres iños. Resuelve el sise. [] º) Co se puede coprr los rículos AB C D e l ied "Copre bro" co se puede coprr los isos curo rículos e l ied "Vedeos clidd".

7 STEMAS LINEALES E es segud ied los precios de A B C so u % superiores los de l prier ied e o que el precio de D e l segud es u % ás bro que e l prier. Averigu rodee el precio de D e l ied prier jusific que o podeos hllr el precio de A co los dos que os h ddo. [ ; SCI co grdos de liberd] º) U fábric dispoe de res áquis A B C pr producir ciero rículo. Cudo rbj ls res se fbric uiddes de dicho rículo por dí. Si l A o fucio pero l B l C sí l producció desciede u %. Y cudo A B fucio orlee pero C sólo res curs pres de su rediieo orl l producció bj u %. Cuás uiddes fbric hbiulee cd áqui?[a: uiddes B; uiddes C: 8 uiddes] º) Mª Dolores Pilr Lidi sle de cs reuiedo ere ls res euros llev solee billees de euros. Mª Dolores Lidi gs l id de lo que llev Pilr l ercer pre gsdo ere ods euros. Averigu cuáo llev cd u sbiedo que Lidi llev eos de euros. [() () ()] º) Lewis Crroll uor de "Alici e el pís de ls rvills" propoe u proble que puede eucirse sí: el cosuo e u cfeerí de u vso de liod res sádwiches siee bicochos h cosdo u chelí dos peiques iers que u vso de liod curo sádwiches die bicochos vle u chelí cico peiques. Hll cuál es el precio:. De u vso de liod u sádwich u bicocho. [8 p]. De dos vsos de liod res sádwiches cico bicochos. [9 p] Resuelve el proble recorddo que u chelí vle peiques. º) U coercie iee liros de ecl de gu vio. Al probrl observ que es desido liger por lo que decide ñdir cier cidd de vio eoces l cidd de gu es el % del ol. Coo sigue siedo u liger ñde de uevo l is cidd de vio que es eoces l cidd de gu es el % del ol. Cuáos liros de vio se ñde e cd ocsió cuáos h de gu? [; ] / IBR IES LA NÍA