Dpto. Física Aplicada R. Valiente 1. Se advierte a los alumnos que estas transparencias no incluyen demostraciones

Transcripción

1 Se adverte a los alumos que estas trasparecas o cluye demostracoes

2 MEDIR es determar el valor de ua magtud al compararla co u patró que se deoma udad de medda. Desde Galleo la Físca se basa e epermetos, formulado leyes y teorías que rge e terpreta los feómeos estudados Hasta fales del XIX o se desarrollaro la Termo y EM por falta de aparatos para realzar epermetos La físca modera (co s. XIX) se desarrolló gracas al descubrmeto de feómeos físcos o eplcables co la teoría clásca mecáca cuátca y teoría de la relatvdad Medda + udades. La velocdad de u coche es 00. El sstema de udades aceptado: Sstema Iteracoal (S.I.): Apartr de la Revolucó fracesa se creó el sstema métrco decmal A medados del s. XIX comezó a etederse por Europa No es hasta 960 cuado los físcos adoptaro el S.I. La metrología: parte fudametal de la Físca. Defcó de las udades co mayor precsó. Destacar cotrbucoes de físcos como Webber y Gauss (campo magétco), Gorg E 954 se troduce: ampero (A), el kelv (K) y la cadela (cd) No es hasta el año 970 cuado se completa co el mol

3 3 E España o es hasta el año 989 cuado aparece e el BOE el sstema métrco de decmal de 7 udades báscas, deomado Sstema Iteracoal: Compuesto por la sguetes udades báscas Logtud: Metro (m) Masa: Klogramo (kg) Tempo: Segudo (s) Correte eléctrca: Ampero (A) Temperatura: Kelv (K) Catdad de ua sustaca: mol (mol) Itesdad lumíca: cadela (cd)

4 Prefjos

5 Udades dervadas

6 Udades que o so del SI pero que so aceptadas detro de él

7 Coclusó: gua magtud físca puede ser medda co completa certeza. Podemos reducr la certdumbre pero uca elmarla por completo. No sempre certdumbres muy pequeñas so ecesaras INSTRUMENTOS ESCALAS DATOS CRONÓMETROS INDICADORES RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS ERRORES EN LOS DATOS ERRORES EN LOS RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS No se pretede desarrollos matemátcos rgurosos, que se escapa del cometdo de esta asgatura, pero s poer las bases de la teoría de errores para poder maejarse e cualquer laboratoro.

8 Desafortuadamete debdo a fallos humaos, mperfeccoes de los strumetos, el resultado de toda medda debe tee u certo grado de certdumbre. Toda medda debe coteer: UNIDAD+NÚMERO+ERROR ERROR cetífcamete es evtable y afecta a toda medda. Dferecar de fallo o metedura de pata Ejemplo: Cuáto mde este lápz? Errores evtables Errores trísecos cm El carptero utlza u metro de carptero de madera: 35 cm Técco utlza la cta métrca: 35.5 cm U físco co u calbre: El aparato más precso es el terferómetro y tee ua precsó de 0-7 m. Icluso podríamos teer problemas de defcó de logtud, varacó co T, humedad, etc.

9 TIPOS DE ERRORES Errores sstemátcos: ctes. a lo largo de ua sere de meddas Msmo orge y magtud para las msmas codcoes Su efecto es cremetar o dsmur la medda sempre la msma catdad Orge: fallo e la calbracó (cero del strumeto). Suposcó erróea, uso de u parámetro o catdad adecuada. Feómeos aturales advertdos. Errores de lectura: paralaje. Solucó: Recalbracó, Escalas y udades adecuadas. Mejora de las codcoes de medda. Utlzacó de métodos alteratvos. Cambo del strumeto de medda. No hay prcpos geerales para tratarlos. Es la epereca la que puede hacer ua adecuada valoracó, detectarlos y elmarlos o corregrlos. Ejemplos: Balaza s calbrar NASA mllas e vez de km (soda Marte) Ctes. Uversales eactas Pédulo método estátco y dámco Dlatacó, rozameto,. Paralaje empleo del espejo Escala mal graduada

10 TIPOS DE ERRORES Errores aleatoros: sempre presetes e cualquer epermeto. Se produce por u gra úmero de varacoes mpredecbles y descoocdas e la realzacó repetda del epermeto e codcoes aparetemete détcas. Varía de ua medda a otra y que lo msmo puede ser postvo que egatvo. Orge: Fluctuacoes aleatoras del proceso a vel mcroscópco Sesbldad strumetal. Al descoocer su causa es mposble determarlos de forma eacta (estmacoes). Respode a dstrbucoes probablístcas Puede ser tratados medate métodos estadístcos Solucó: Repetcó de meddas. Setdo comú. El aálss de los errores aleatoros es lo que costtuye la teoría de errores. La repetcó de las meddas es el arma para luchar cotra los errores aleatoros pero o cotra los sstemátcos. Ejemplos: Estmacó de las pequeñas dvsoes de la escala de lectura por el observador Fluctuacoes de la temperatura Fluctuacoes de voltaje Vbracoes mecácas Errores al dsparar y parar u croómetro

11 Dseñar y realzar be u epermeto sgfca: plafcar u epermeto cuya precsó es apropada a su propósto (esto ege u estado de coocmeto y cosecuete refleó prevos y puede sgfcar replatearse e sucesvas etapas la modelzacó del epermeto). asegurarse de elmar los errores sstemátcos e métodos e strumetos, (el dspostvo epermetal debe estudarse mucosamete). estmar la precsó del resultado fal (la estmacó preva a la realzacó es mprescdble para ahorrar mucho trabajo útl). regstrar las meddas y los cálculos co fdeldad, clardad y cocsó (resulta ta deseable la formacó completa como la que es superflua)

12 Por qué es mportate estmar el error? Las observacoes epermetales sempre vee afectadas de mprecsoes. Prevecó de catástrofes (errores sstemátcos). Alguas observacoes se usa para computar u resultado, debemos coocer cómo las mprecsoes de las observacoes dvduales cotrbuye a la mprecsó total del resultado. Mullke (gota de acete) e su día obtuvo ua carga para el electró de (.59±0.00) 0-9 C sedo el valor actual de (.6089± ) 0-9 C. Esto hzo que hasta 930 otras costates que utlza e tuvera u error del 0.5%. Itercoeó e la Ceca. Importaca de obteer estmacoes eactas y precsas de las costates físcas. E alguos casos los cetífcos realza hpótess y modelos que sólo puede ser refutados o cotrastados co la realzacó de eperecas dseñadas al respecto. E estos casos es fudametal coocer s el resultado de la medda juto co su error aparece detro de lo que se estmó como valor esperado para dcho modelo. Determacó de la desdad: oro o aleacó.

13

14 Por qué es mportate estmar el error? Determacó de la desdad de dos pezas que se supoe oro: Eperto A: medda rápda 5 g/cm 3 y valor verdadero etre 3.5 y 6.5 g/cm 3. Eperto B: 3.9±0. g/cm 3. S la desdad del oro es 5.5 g/cm 3 y la de ua aleacó que lo mta es 3.8 g/cm 3. Qué coclusoes podemos sacar? La del B es la más precsa La prmera medda o puede detfcar el materal Co certdumbres grades es dfícl obteer resultados El eperto B debe justfcar u error ta pequeño La últma y más mportate es que s el error o podemos obteer ua coclusó vállda No pretedemos que elabores o verfques uevas teorías, pero s que verfques teorías ya estetes: Hooke, Newto, etc. A meudo los estudates pesa que repetr ya verfcadas e multtud de ocasoes y de modo más precso es u s setdo pero fudametal e la cacó epermetal y juega u papel fudametal a la hora de dseñar u epermeto y emplear las herrametas de aálss

15 Eacttud vs. Precsó (accuracy vs. precso) La EXACTITUD de u epermeto es ua medda de cuato de cerca está u valor meddo del valor verdadero. S el valor verdadero o se cooce es dfícl determar la eacttud de la medda. Eacttud error sstemátco pequeño La PRECISIÓN de u epermeto determa cómo de eactamete se ha obtedo el resultado s etrar e s el valor se parece al verdadero. Ua medda más precsa o tee porque ser más eacta. Gra precsó errores aleatoros pequeños Medda eacta pero mprecsa Precsa pero eacta Precsa y eacta La precsó de u epermeto se dca medate el úmero de cfras sgfcatvas del error. El bue epermeto es el que produce ua estmacó eacta y precsa de la catdad medda.

16 CÓMO ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE? Sabedo que hay errores hay que estmarlos. mm V Hay certdumbres más dfícles que estmar que las relacoadas co las escalas.

17 REPRESENTACIÓN NUMÉRICA DEL RESULTADO EXPERIMENTAL Ua vez medda ua magtud y estmado su error, : ( 0 ± ) [udades] La altura de persoa es.8 y el error es cm, se epresa:.8±0.0 m La mejor estmacó es.8 y la verdadera altura estará etre m y m es sempre defdo postvo, cuado meor es más precsa es la medda. Ojo, s es mayor que algo falla. Carece de setdo.

18 MEDIDAS DIRECTAS Es la que se obtee drectamete del aparato de medda Ivolucra drectamete la lectura de ua escala o patalla dgtal Las fuetes de error so la lectura y la terpolacó de la escala E epermetos de óptca p.e. es más complcado defr las magtudes auque se emplee u baco óptco. AL ESTIMAR UN ERROR NO DEBEMOS LIMITARNOS A LAS ESCALAS SINO QUE HAY OTRAS FUENTES DE INCERTIDUMBRE MÁS DIFÍCILES DE ESTIMAR. Equpos Dgtales: El úmero de cfras sgfcatvas cocde co el úmero de cfras mostradas e la patalla. U voltímetro que dca 8 V, la certdumbre será ± V. Los mauales dca las certdumbres depededo de los ragos de medda. Falsa sesacó de precsó, dos persoal obtedría resultados dferetes. La dspersó de los datos es ua buea medda de la certdumbre de la medda y el promedo está más prómo al valor verdadero que ua úca medda. A partr de ahora haremos el tratameto de errores supoedo que las meddas está lbres de errores sstemátcos. Sólo tedremos e cueta los errores debdos a la precsó de los strumetos de medda y los aleatoros o estadístcos.

19 Error cometdo al realzar ua sola medda de la magtud : El error (absoluto) vee dado por el error de precsó (o smplemete precsó) del aparato, e p. Aparato aalógco: la precsó es la mtad de la dvsó más pequeña que puede medr el aparato. El error de precsó de ua regla dvdda e mm es e p 0.5 mm. Aparato dgtal: e p míma magtud que es capaz de medr el aparato. Multímetro dgtal medmos la ddp y obteemos 34 V se tomará e p V. S el úmero es 34.7 V, e p 0. V, etc. Error cometdo al realzar meddas de ua magtud : Regla geeral: ua úca medda es poco fable. Al medr varas veces obteemos ua sere de valores dferetes,,,, cada uo afectado por la precsó e p. Cuál es el valor más fable? Co cuál os quedamos? Cuátas meddas es precso realzar? La mejor apromacó al valor verdadero de vee dado por la meda artmétca,

20 Qué error se comete al tomar el valor medo como el mejor valor? Cuátas meddas realzo? Procedmeto Comezamos por tres meddas. Se calcula su valor medo, se halla la dspersó total o dfereca etre los valores etremos (D ma - D m ), y se calcula el porcetaje de dspersó d 00 (%). Casos segú el valor de d: S 0% < d < %, o se hace más meddas. S % < d < 6%, se realza 3 meddas más. S 6% < d < 5%, al meos so ecesaras 5 meddas totales. S d >5% al meos sería ecesaras 50 meddas. Prof. Estmar el error cometdo al apromar el valor verdadero por el valor medo dspersó de los datos e toro al valor medo. Defmos la desvacó respecto al valor medo como la dfereca Defmos la dspersó por el valor medo de los cuadrados de las desvacoes: ( ) s

21 que se deoma varaza del cojuto de datos o desvacó cuadrátca meda de los msmos. Al valor s se le deoma desvacó típca o desvacó estádar. Cuado el úmero de datos es pequeño, suele defrse la desvacó típca reemplazado por - e el deomador. Por tato, defmos la desvacó estádar de,,,, como σ ( ) s / La dfereca etre ambas es sgfcate. S uo repte 6 veces ua medda la dfereca etre.45 y -.4, esta dfereca dsmuye coforme aumeta. E el laboratoro emplearemos la seguda defcó que da lugar a errores más grades sempre debe clarfcarse cual de las defcoes se utlza para que los lectores sea capaces de verfcar los cálculos S realzamos u gra úmero de meddas, defmos la desvacó estádar de la meda como σ m / s σ m σ

22 La desvacó estádar como certdumbre S medmos la msma catdad veces, sempre co el msmo método y s las fuetes de error so pequeñas y aleatoras, etoces epresamos el resultado de ua medda como: ± má( e p, σ m) [udades] Como veremos más adelate, la probabldad de que el resultado correcto (valor verdadero) este detro del rago ±σ es del 68% Ejercco: Se ha realzado ua sere de meddas de la logtud de ua barra co ua regla graduada e mm. L/mm L/mm L/mm Determa la mejor apromacó al valor verdadero de L co su error

23 La mejor apromacó al valor verdadero es la meda artmétca L 5 L mm Ates de calcular el error es coveete coocer la precsó de la medda Le p 0.5 mm. Para obteer ua estmacó del error L ± 0. 5mm L L ( L L) Σ 6 0. s 0.8 σ m L ( ) mm / s 0. mm má( e ) má(0.5,0.) 0.5 mm, p σ m L 4.4±0.5 mm

24 Cfras sgfcatvas: Redodeo El emplear muchas cfras e el error es ecesaro ya que es sólo ua estmacó. No cofudr cfras sgfcatvas co decmales. El º de cfras sgfcatvas de ua medda se utlza para dcar el grado de certdumbre. Crteros:.El valor de ua medda y su error debe epresarse e las msmas udades.e el error sólo debe emplearse ua cfra sgfcatva co la ecepcó de que s esta cfra es, se añade otra más. Redodeo: a) S la prmera cfra es mayor que 5, la cfra de orde de magtud ateror aumeta e udad s 0.9 s. b) S la prmera cfra que se suprmera es meor que 5, la últma cfra coservada o varía 5.3 m 00 m. c) S la prmera que se suprme es 5 puede darse dos casos: m 40 m 350 N 300 N Estas reglas de redodeo se aplca al error y posterormete al valor de la medda. El valor de la medda debe teer la msma precsó que su error. Al redodear hay que desprecar todas las cfras cuyo orde de magtud sea feror al del error. Error 0.7 kg y el valor de la medda kg, el resultado fal debe epresarse como: 5.8±0.7 kg

25 Ejerccos: Escrbr adecuadamete los sguetes resultados: L 0.467± m 90.8±5.7 m M 3478±8 kg ± kg t -46.±4.6 ºC ±4 ºC Q ± C La lectura de dos masas e ua balaza dgtal tee varas cfras sgfcatvas. Redodea el resultado y da su error co las cfras sgfcatvas adecuadas. S el porcetaje de error es: ) M 6.65±0.% ) 09.7±%

26 MEDIDAS INDIRECTAS. PROPAGACIÓN DE ERRORES Hay magtudes o medbles drectamete co el aparato de medda, so que se determa de modo drecto a partr de otras magtudes. Se dde que la medda es drecta. El error de la medda drecta es fucó de los errores de las meddas drectas (errores prmaros). Los dferetes errores prmaros cotrbuye de forma dferete al error fal. Es posble mmzar el error de la medda drecta s se reduce los errores prmaros que más cotrbuye al error fal. El procedmeto para calcular este error se cooce como propagacó de errores. Sea q ua magtud que se evalúa de modo drecto a partr de las magtudes A, B, C, D y E, q f(a, B, C, D y E). f fucó ftamete dervable. dq f f f da + db + dc A B C +... f A f B ( q) ( A) + ( B) +... Esto es certo úcamete s los errores de A, B, C, so depedetes y aleatoros

27 . Epresar e forma de error fraccoal y porcetaje de error la velocdad de u scooter: a) v 55± m/s b) u -0± m/s c) S la eergía cétca es Ec4.58 J ± % reescrbe el error y su magtud e fucó del error absoluto. Reescrbe correctamete los sguetes resultados: a) 3.33±.4 mm b) t 34567±543 s c) λ ± m d) r ± mm 3. Calcula el error relatvo de las cuatro meddas del apartado ateror, ordea las meddas segú su precsó (de mayor a meor) 4. Escrbe los errores dados a cotuacó e la forma estádar y reescrbe el resultado redodeado adecuadamete: a) 543. m ± 4% b) v m/s ± 8% c) λ m ± 4% 5. Queremos medr el dámetro de ua moeda y dspoemos para ello de ua regla graduada e mm y de u calbre co precsó de 0.05 mm. S el dámetro de la moeda es del orde de cm, que strumeto debo utlzar s la precsó debe ser mejor del %.

28 6. U estudate trata de determar la aceleracó de la gravedad mdedo el tempo t que ua pedra tarda e caer desde ua altura h del suelo. Despúes de ua sere de meddas obtee t.6±0. s la altura es h.6±0. m Calcular g co su error relatvo y absoluto. 7. La teoría de la relatvdad espacal establece que la masa de ua partícula o es costate so que es ua fucó de la velocdad de la partícula, segú la relacó: m m 0 v c Dode m 0 es la masa e reposo, v la velocdad de la partícula y c la velocdad de la luz. Co el objeto de medr la relacó carga/masa del electró e reposo, los electroes vaja a ua velocdad aprecable. Etoces, e realdad lo que se mde es esa relacó cuado el e - tee velocdad v. S e/m es la relacó carga masa medda cuado los e - vaja a m/s, ecotrar el factor por el que se debe multplcar este valor para obteer e/m 0. Qué error relatvo se comete s se omte ese factor? 8. Se ha meddo la dstaca de la Terra al Sol y de Marte al Sol: d TS (.5±0.4) 0 8 km d MS (.5±0.4) 0 8 km Qué medda es más precsa? Justfícalo

29 9. Ua barra rectagular de masa M tee dmesoes a, b, c. El mometo de erca I alrededor de u eje perpedcular a la cara ab y que pasa por su cetro es I M ( a + b Realzamos las sguetes meddas: M 35.0±0. g a 80± mm b 0± mm c 0.00±0.0 mm Calcular la desdad y el mometo de erca de la barra co su error. 0. El calor específco molar de u sóldo a bajas temperaturas está dado por C v a T+ b T 3. S a.35±0.05 mj mol - K - y b 0.0±0.00 mj mol - K -4 y T 5.0±0.5 K. Calcular el valor de C v a esa temperatura co su error.. Se ha realzado 5 meddas de cada ua de las resstecas R y R : R 9.5, 9.8, 0., 9.9, 0. Ω; R 5.5, 5., 4.8, 5., 5.0 Ω. La precsó de cada medda es 0. Ω. Calcular el mejor valor de R y R y su error. S las colocamos e paralelo cuál será la ressteca equvalete? )

30 REPRESENTACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES TABLAS Sempre que tegamos parejas de putos de las msmas varables debe escrbrse e forma de tablas. Cuado queramos comparar dos o más lstas de úmeros, estos debe dspoerse e columas e paralelo. U error grave y bastate frecuete e el trabajo del laboratoro es olvdarse de los datos orgales obtedos drectamete del epermeto por o aotarlos medatamete, por lo que se recomeda que al tomar los datos estos se dspoga ya e forma tabulada. Cada tabla debe estar umerada correlatvamete y debe teer u pe de tabla o leyeda eplcatva que dque a que se refere los datos Coveo: los úmeros que aparece e la tabla sea admesoales. Por tato, es ecesaro que e la cabecera de la tabla se eprese la magtud dvdda por su udad. Por ejemplo, T/K. S los valores umércos dados e la tabla so muy grades o muy pequeños, se utlzará los prefjos y sufjos cetífcos correspodetes o medate multplcacó por las potecas de 0 adecuadas. Así, epresaremos Pa como.3 y e la cabecera P/MPa, o e vez de coefcetes de dlatacó leal de K - se epresará.3 e la celda correspodete y α 0 5 /K - e la cabecera de dcha columa.

31 TABLAS (cotuacó) Recomedacoes: E las tablas se represeta tato los datos drectos de las meddas del laboratoro como de los pasos termedos relevates y los resultados fales. Las meddas de ua msma magtud se escrbrá preferblemete sobre ua msma columa vertcal. E la cabecera de cada columa se dcará el ombre de la magtud dvddo por su udad. Al escrbr la udad e la cabecera o es ecesaro repetrlas luego e cada celda. Es coveete elegr las udades (o las potecas de 0 adecuadas) para que los úmeros quede epresados e el rago etre 0. y 000. Los errores e la estmacó de cada magtud se puede poer e la cabecera de la columa correspodete, s so comues a todas las meddas de la msma magtud. E caso cotraro, debe clurse ua columa adcoal dcado el error e cada ua de las meddas. V ± 0./V I/A I/A

32 GRÁFICAS La forma más útl de presetar resultados epermetales es el empleo de gráfcas que relacoa dos o más varables. La gráfca permte terpretar la relacó etre dos varables o su comportameto de ua maera más seclla que ua tabla Su uso es fudametal cuado queremos comparar los resulta-dos epermetales co las predccoes teórcas de u modelo Puede realzarse co la ayuda de u ordeador, pero es más formatvo dbujarlas e papel mlmetrado (#) a) VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE E TODO estudo epermetal de causa y efecto lo fudametal es varar ua codcó (causa) y observar los correspodetes valores de otra magtud (efecto), que está (o se sospecha) relacoado co el prmero. Coveo para todas las gráfcas e físca: la varable depedete (catdad que cotrola el vestgador y que varía de modo regular) se represeta e el eje horzotal (eje X), y la varable depedete (la catdad cuyo valor se determa medate la medda) se represeta e el eje vertcal (eje Y). La causa se represeta e el eje X y el efecto e el eje Y. Así la relacó etre la causa y el efecto es más fácl de terpretar.

33 GRÁFICAS (cotuacó) b) ELECCIÓN DE LA ESCALA Las escalas se elge de forma que los putos quede lo más espacados posble (ocupado el mayor área posble) Las escalas vertcal y horzotal puede ser dferetes s es ecesaro. E alguos casos o es ecesaro que la terseccó de los dos ejes cocda co el puto (0, 0). Los ejes debe dvdrse e tervalos regulares, o para cada puto. Debe elegrse ua escala cómoda, usado factores que faclte el cálculo. Así, se utlzará tervalos de,, 5, 0, Los valores escogdos debe ser fáclmete subdvddos. S los valores a represetar so muy grades o muy pequeños, se debe emplear u factor multplcador que permta usar u mámo de dos o tres dígtos para dcar el valor de la dvsó prcpal. E ese caso el factor multplcador debe aparecer a la derecha de las udades empleadas.

34 GRÁFICAS (cotuacó) c) ETIQUETAS Después de decdr que varable se represeta e cada uo de los ejes, debe escrbrse el ombre de las catdades que se está represetado juto co sus udades. Se empleará la otacó abrevada estádar, esto es, m e lugar de metros. Los valores mostrados e la gráfca debe ser admesoales dvdedo la magtud por su udad. S queremos mostrar la varacó de la velocdad respecto al tempo debemos escrbr, t/s e el eje X y v/m s - e el eje Y. Las dvsoes prcpales realzadas co aterordad debe teer u úmero asgado. El título puede aparecer sobre la gráfca (cabecera) o detro de la gráfca ua vez que todos los putos epermetales ha sdo represetados de tal maera que el título o terfera. Toda gráfca debe clur u pe de fgura, dode se va eumera correlatvamete y se descrbe co pocas palabras y de forma eplícta lo que se muestra e ella y las escalas empleadas. Tato tablas como gráfcas debe ser autoeplcatvas, debe ser posble etederla s ecesdad de leer el resto del teto.

35 GRÁFICAS (cotuacó) d) CURVAS Y PUNTOS EXPERIMENTALES Los putos epermetales debe ser claramete vsbles y sufcetemete grades para dstgurse de las curvas de trazo cotuo S se dbuja más de ua curva o cojuto de putos epermetales procedetes de dferetes sustacas o codcoes e la msma gráfca, éstas debe dstgurse medate el uso de símbolos (,,,,, etc) o colores dferetes para los putos de las dsttas curvas. S la gráfca comeza a complcarse es mejor dbujar las gráfcas por separado. E ocasoes alguos putos epermetales parece o teer relacó co el resto de los datos. Estos putos o debe ser sobrepesados y s el tempo lo permte debe ser eplcados o reevaluados co objeto de que sea cosstetes co el resto de los meddas. Toda gráfca co datos epermetales debe clur ua dcacó de la certdumbre de la medda, se debe represetar també los errores. Esto se realza por medo de las barras de error. Esto cosste e trazar segmetos horzotales y/o vertcales cetrados e los putos epermetales y cuya logtud sea gual a (a lo largo del eje X), y y a lo largo del eje Y.

36 GRÁFICAS (cotuacó) Las líeas, rectas o curvas, que mejor se ajusta al cojuto de putos epermetales, ha de ser cotuas y fas, uca quebradas ya que geeralmete las magtudes físcas y sus dervadas varía de forma cotua, además pudera cofudrse co putos epermetales. El trazado de la curva que mejor se ajusta a la dstrbucó de putos epermetales se realza de forma que pase por el mayor úmero posble de éstos y deje apro. a la derecha el msmo úmero de putos que a la zquerda. El sgfcado de las desvacoes co respecto a ua curva teórca puede depeder del error estmado, y por eso es ta mportate dbujar las barras de error. e) ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LA GRÁFICA La vetajas de la represetacó gráfca es la smplcdad co que se obtee formacó de forma drecta observado por ejemplo su forma, tedeca e tercepcoes co los ejes. La forma de ua gráfca determa medatamete s la varable depedete aumeta o dsmuye co u cremeto de la varable depedete, pudédose medr e muchos casos la tasa de ese cambo.

37 GRÁFICAS (cotuacó) S los putos se stúa e líea recta, se puede decr que este ua relacó leal etre las dos varables. S las varables so drectamete proporcoales se apromará a cero de modo smultáeo y la líea pasará por el orge, e este caso el puto (0, 0) será relevate.

38 GRÁFICAS (cotuacó) Normas geerales Los putos epermetales debe ser epresados medate símbolos claramete vsbles, uca putos pequeños. Las gráfcas debe dbujarse e papel mlmetrado y ha de ocupar meda pága o como mucho ua completa. Las proporcoes de la gráfca debe ser razoables y de acuerdo co lo que se pretede mostrar. Las dvsoes de las escalas e los ejes debe estar separadas,, 5, 0, udades y uca (3, 7, 3, ). La escala de cada eje debe llevar ua leyeda que dque la magtud represetada y su udad, tal y como ya hemos dcado co aterordad. El (0, 0) o debe dcarse a meos que sea u puto relevate de la gráfca. La curva y los putos epermetales debe cubrr el área de la gráfca y o sólo ua parte de ésta, lo mejor es elegr las dvsoes de cada eje de modo que la pedete de la curva (e el caso de ser ua líea recta) forme apromadamete 45º co la horzotal. S los putos resulta aleados y la teoría dce que la relacó etre las varables es leal, etoces debe trazarse ua recta de regresó leal obteda medate el ajuste por el método de mímos cuadrados. Falmete, la gráfca debe clur e su cabecera u título, breve y claro que dque lo que represeta y u pe, dode las gráfcas se umera correlatvamete y que cluye la eplcacó de la msma, tal y como hemos dcado aterormete.

39 EJEMPLOS DE GRÁFICAS NO DESEABLES La gráfca es demasado pequeña, debe ocupar al meos meda pága. El título es muy pobre, os da la msma formacó que los ejes Represetamos t frete a v y o v frete a t (v. título) Las etquetas de los ejes debe formar de la magtud y udades (v/m s - ) El puto (0,0) o es relevate. Los putos debe ocupar el mayor área posble. Los datos de v varía desde 00 a 30 m s - Los datos debe ajustarse a ua líea (?)

40 Fgura. Varacó de la velocdad frete al tempo de u coche acelerado Velocdad, v/m s - Tempo, t/s

41 GRÁFICAS NO DESEABLES (cotuacó) La gráfca es demasado pequeña El título es rdículo Los ejes debe teer etquetas co ombre y udades Nuca se debe utlzar líeas para ur los putos epermetales, para eso está los ajustes Los grds se poe e ambos ejes o e guo Quzá a Bll Gates le guste las gráfcas co fodo grs pero el procedmeto cetífco ormal dce que debe ser blaco Falta la ecuacó que ajusta a los putos epermetales

42 Fgure 3. Poscó de ua bola e movmeto Poscó, /cm Tempo, t/s

43 GRÁFICAS NO DESEABLES (cotuacó) No se apreca las dvsoes o marcas Título muy pobre Líea dbujada a mao, usar regla /cm La pedete se calcula a partr de putos separados (4.0 cm/s) t + (0.3 cm) La ecuacó debe utlzar los símbolos dados e los ejes No se apreca las dvsoes o marcas t/s Escala adecuada

44 Errores meddas drectas Se obtee el error absoluto de u cojuto de meddas como ε X La medda que os mde la dspersó de los datos etoro al valor medo vee dada por la varaza: ( ) s A partr de aquí obteíamos la desvacó estádar σ ( ) s / Para u úmero grade de meddas podemos obteer la desvacó estádar de la meda, que os da el error e la meda de u úmero de meddas. El cojuto de los valores medos dará lugar a ua dstrbucó de las medas. Por tato, σ es la desvacó estádar de la dstrbucó de u úco cojuto de meddas y σ m es la dstrbucó estádar de la dstrbucó de las medas de varos cojutos de meddas, es deseable que cada cojuto tega el msmo úmero de meddas. σ m / s σ m σ

45 Relacó etre σ y σ m Cosderemos u cojuto de meddas. El error e ua de esas meddas es Dode X es el valor verdadero de la magtud, que por supuesto es descoocda. El error e la meda es Esto es para u cojuto de meddas. Pero s realzamos u gra úmero de cojuto de meddas, cada cojuto cosstete e meddas. Cada uo tedrá su propo ε, ε,, ε y el correspodete E. S ahora sumamos los valores de E para todos los cojutos y dvdmos por el úmero de cojutos, es decr, calculamos el valor medo sobre todos los cojutos, el promedo de ε es ε. El promedo e el doble sumatoro es cero ya que los errores ε y ε j so depedetes, y el promedo de cada uo es cero. Etoces, teemos: Y por defcó ε E X X ( X ) ε Elevado al cuadrado obteemos E ε + m X ε E j ε ε σ E y σ ε σ m j σ

46 Relacó etre σ y σ m Se podría llegar al msmo resultado. Repetmos meddas varas veces y calculamos el promedo: La certdumbre o la desvacó estádar de la meda será fucó de las desvacoes estádar de cada cojuto de meddas Medate la propagacó de errores teemos: Como las so meddas de la msma magtud, sus errores será todos guales Además, Falmete m σ σ σ σ σ σ ),...,, ( m f σ σ σ σ m σ σ σ σ σ σ σ σ...,...,,...

47 Retomemos las meddas drectas. Propagacó de errores. Hemos determado, y, co ua certdumbre, y, y queremos calcular las certdumbres de ua catdad q que depede de las aterores. Calcular q es secllo, pero como afecta las certdumbres de, y, al error q. q + y; q + y q y; q + y q y; q q + y y q / y; q q + y y Se puede comprobar que estos resultados so los msmos que los obtedos medate el método de las dervadas parcales. La regla de las dervadas parcales es sempre válda pero hay formas alteratvas (productos, dvsoes o potecas): ) Se toma eperaos q f(a, B, ) lq l f(a, B, ) ) Se derva ambos membros 3) Se detfca dferecales co los errores de las varables.

48 S ua magtud físca Z se relacoa co otras, A, B y C medate la ecuacó Z AB /C Determar su error s las meddas drectas vee afectadas por errores A, B y C.

49 ANÁLISIS DE LA DEPENDENCIA ENTRE VARIABLES. AJUSTE POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Las leyes de la Físca establece relacoes etre varables E u epermeto se modfca ua varable (cotrolada por el vestgador: tempo, temperatura, ) y se observa el comportameto de otra tratado de comprobar la relacó que establece la ley físca etre ambas Hasta ahora hemos tratado co datos cuado se realza meddas e codcoes détcas Los epermetos más teresates tee lugar cuado medmos valores dferetes de dos varables tratado de vestgar la relacó matemátca estete etre ambas Los epermetos más teresates está relacoados co aquellos e los que la relacó es leal: Dadas dos varables físcas cualesquera e y la relacó es de la forma y a + b Dode a y b so costates. S las dos varables tee ua relacó de este tpo, etoces al represetar y frete a debe ser ua líea recta sedo a la pedete de la recta y b la ordeada e el orge, valor de corte de la recta co el eje de ordeadas Ejemplos: v v 0 +g t, F k, V I R, ΣF m a,

50 Ua ley será válda s al realzar las meddas epermetales de ua de las varables o magtudes e fucó de la otra comprueba que sgue la relacó predcha por la ley Por ejemplo, deberíamos medr la velocdad de u móvl v e dsttos states t para luego comprobar s la relacó leal es certa. S se verfca esta relacó podremos determar tato v 0 como g a partr de los datos epermetales Hay varos métodos que permte comprobar las relacoes de proporcoaldad etre dos varables y el valor de los coefcetes de proporcoaldad. Seguremos dos: ) Método gráfco. Permte comprobar stu el resultado s ecesdad de cálculos laborosos ) Método de mímos cuadrados

51 ) Método gráfco (laboratoro o comprobacó) S ua catdad y es lealmete proporcoal a otra, al represetar ua frete a la otra se obtee ua líea recta. Al represetar los putos epermetales obtedremos ua sere de putos que determa ua recta. Trazado la recta que más se aproma a los putos epermetales podemos obteer u valor umérco apromado de a y b Tempo t/s Velocdad v/m s Depedeca de la velocdad frete al tempo y R v -v 6 ms - 0 t -t.75 s t/s a g v t v t

52 ) Método gráfco (cotuacó) Es mportate darse cueta que las udades de a y b se obtee a partr de las udades de e y. Los putos epermetales se dstrbuye sguedo ua líea recta como predce la ley físca: v v 0 +g t Esta ecuacó se correspode co la de ua recta dode Y por tato, t y v(t) a g b v 0 El método gráfco se obtee s mas que determar la pedete y el puto de terseccó co el eje y: a g 9.4 m s - y b 4 m s - Es posble determar errores de a y b? S, auque es u método e geeral muy mprecso

53 ) Método gráfco (cotuacó) Depedeca de la velocdad frete al tempo 40 y R b ± b t/s Al calcular a y b cudado co las udades de e y.

54 ) Método de mímos cuadrados Váldo para cualquer tpo de fucó Caso más secllo: ajustar el cojuto de putos a ua líea recta de ecuacó y a + b El método de los mímos cuadrados da como mejor estmacó de los parámetros a (pedete de la recta) y b (ordeada e el orge) aquellos que mmza la suma de los cuadrados de las dferecas etre los putos epermetales y los de la recta. 40 y R Y a +b - y t/s

55 ) Método de mímos cuadrados (cotuacó): Sea (, y ), (, y ),, (, y ) u cojuto de putos obtedos epermetalmete. S o se dce lo cotraro todos co el msmo peso estadístco. E caso cotraro, cada puto debe ser pesado co la frecueca correspodete El método de mímos cuadrados trata de obteer la ecuacó de la recta ya +b que mejor se ajusta a los datos epermetales. Para cada uo de los valores,,, se obtee los valores del ajuste Y a +b, Y a +b,, Y a +b. Se defe la desvacó Y como la dfereca etre el valor epermetal y y el correspodete valor del ajuste Y : Y Y Y Y Y Y M y y y a a a + b y + b + b y y El crtero de mímos cuadrados cosste e mpoer la codcó de que sea mímo. Este método os determa los valores de a y b que hace que la catdad R Y a + b y sea míma. ( Y ) ( ) ( )

56 ) Método de mímos cuadrados (cotuacó): Este crtero podría parecer arbtraro: podría hacerse míma la suma ( X ) o be la dstaca del puto a la recta La razó de ser queda clara cuado se elge como varable depedete aquella magtud que se puede cotrolar mejor y que se puede medr co mayor precsó o meor error relatvo. Así, su cotrbucó al error absoluto de los coefcetes de la recta será desprecable frete a la cotrbucó de la varable y. Codcó de mímo ege que R/ a0 y R/ b0: R a R b ( a + b y ) ( a + b y ) 0 0 Los valores de a y b que hace mímo R da lugar a: a a + b + b y y Resolvedo este sstema obteemos los valores de la pedete y de la ordeada e el orge:

57 ) Método de mímos cuadrados (cotuacó): Dode El coefcete de correlacó, r, etre e y es ua medda de lo be que se aproma los putos epermetales a la recta ajustada y vee dado por r correlacó perfecta, r 0.7 los putos se aleja de ua recta ( ) ( ) a y y y y y b y y y y a y y ; ) ( ) ( ) )( ( y y y y r

58 ) Método de mímos cuadrados (cotuacó): Como e y so meddas epermetales posee ua certa certdumbre asocada, be al proceso de medda, be a la precsó de los strumetos. Esto hace que los coefcetes a y b obtedos medate el ajuste por mímos cuadrados tega certa certdumbre. Recordemos que la codcó de mímo presupoe que los errores de so desprecables frete a los de y. Para que esta suposcó sea válda se debe elegr como varable depedete aquella que se puede varar co mayor cotrol y medr co meor error relatvo. Medate propagacó de errores: Teedo e cueta la suposcó cal 0 j j j j j j j j j j j j y y b b b y y a a a + + ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j j j y b y b y a y a

59 ) Método de mímos cuadrados (cotuacó): Aparte de este error este u error tríseco al método de ajuste por mímos cuadrados y que se debe a que la recta o pasa por los putos epermetales: Recta que pasa por el orge: y a ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( b a y b b a y a j j j j j j y a ( ) a y a

60 Ejemplo: E la sguete tabla se muestra la logtud de u muelle e fucó de la masa que cuelga de él. Obteer la costate del muelle y su logtud cal de acuerdo co la ley de Hooke. Supoer la masa del muelle desprecable. M/g L/cm Alargameto de u muelle frete a la masa suspedda m/g

61 /g y /cm y /g cm /g y y 3.0 y a y ( ) cm / y g m / kg b y a cm

62 Alargameto de u muelle frete a la masa suspedda 40 y m/g Teedo e cueta las epresoes de los errores de a y b, obteemos: a cm/g y b 0.8 cm Teedo e cueta la ley de Hooke: F P m g k ( l l 0 ) y comparado co la ecuacó de la recta y a + b, se obtee a b g / k 4.94 ± 0.07 N l ± / m m

63 Lealzacó de ecuacoes Hemos aplcado el método de los mímos cuadrados cuado la relacó etre dos varables es leal. Este múltples casos e los que las leyes físcas está descrtas por ua relacó o leal etre varables Es posble geeralzar este método para aplcarlo e el caso de fucoes o leales. Es posble realzar u cambo de varables que trasforme la relacó cal e ua relacó leal e las uevas varables. Por ejemplo, la teoría dca que la relacó etre el espaco recorrdo por u móvl y el tempo e caída lbre es: s ( t) g t E este caso es posble lealzar dcha ecuacó para que tega la forma y a +. Realzado los cambos de varable: t, s y la ecuacó resultate es: y g

64 Lealzacó de ecuacoes (cotuacó): S embargo hay otros ejemplos u poco más complcados: La varacó de la ressteca, R, de u termstor co la temperatura sgue ua depedeca epoecal: R A e B / T La varacó del calor específco, c p, de u sóldo a baja temperatura: c p a T + b T 3 La epasó adabátca de u gas verfca: P V cte El perodo de u pédulo de logtud l: γ T π l / g

65 Se estuda las osclacoes elástcas de u muelle helcodal, de costate elástca k y masa m 0. Se quere determar cómo depede el período de osclacó T de la masa m 0. El estudo teórco predce u valor del período de: m M + T π 3 k sedo M ua masa etera uda a u etremo del resorte, metras que el otro etremo está udo a u puto fjo. Deseamos obteer la costate elástca k y la masa de este. El epermeto se realza mdedo los períodos T de osclacó del resorte e fucó de los dsttos valores de M. Se ha obtedo los sguetes datos epermetales: 0 T/s M/kg Masa sobre el resorte frete al perodo M/kg

66 S desarrollamos la epresó del período y la comparamos co la ecuacó de la recta teemos: y T ; M 4π m T M + 0 k 3 4π 4π m a ; b 0 k k 6 Cuadrado del perodo frete a la masa sobre el resorte del perodo M/kg Ajuste del cuadrado del perodo frete a la masa sobre el resorte y m + m * M0 Value Error m m Chsq NA R NA 3 y R

67 U recpete cotee u determado gas (supuesto deal). Se comprme adabátcamete mdedo la presó y el volume del msmo. Las lecturas so: P/mbar V/cm Calcular el coefcete adabátco del gas (co su error) teedo e cueta que PV γ C te. Adjutar tabla y represetacó gráfca adecuada.

68 La ressteca eléctrca de u termstor varía co la temperatura como R Aep( B / T ) Dode T es la temperatura absoluta y A y B so las costates característcas del termstor. Las lecturas so: t/ºc R/kΩ Obteer las costates A y B ecesaras para calbrar el termstor y poderlo emplear como termómetro.

69 Probabldad y fucoes de dstrbucó Hasta ahora hemos hablado de errores aleatoros y hemos dcho que se les puede aplcar procedmetos estadístcos pero o hemos justfcado el porque de las cosas. El dccoaro de la Real Academa de la Legua establece 3 acepcoes a la palabra estadístca: ) Estudo de los datos cuattatvos de ua poblacó, de los recursos aturales e dustrales, del tráfco o de cualquer otra mafestacó de las socedades humaas. ) Cojuto de estos datos 3) Rama de la matemátca que utlza grades cojutos de datos para obteer ferecas basadas e el cálculo de probabldades. La ), además del recueto, colleva orgazar, presetar, resumr y estudar. A esto se deoma Estadístca Descrptva. Nataldad, IPC, tasa de paro, poblacó actva, De ello se ecarga el INE. La ) hace alusó a la recogda de datos de terés s que tervega u aparato matemátco mportate. Estadístcas de ua empresa, de u jugador de balocesto, La 3) que es la que a osotros os teresa es la que se deoma Estadístca Iferecal, es decr, que permte sacar cosecuecas de ua poblacó a partr de ua muestra de ella. La dfereca esecal co la estadístca descrptva es que el cojuto de datos dspobles es la totaldad de los msmos.

70 Probabldad y fucoes de dstrbucó Al o dspoer de la totaldad de la poblacó los resultados sempre podrá teer errores que se cuatfca medate las téccas de Cálculo de Probabldades. Etoces, por qué utlzamos muestras? Comoddad, ahorro ecoómco, mposbldad práctca de acceder a la totaldad de ua poblacó. La fereca estadístca es ua herrameta básca e todas las cecas epermetales, socales, etc. Como ejemplo, y muy recete, podemos mecoar las ecuestas de estmacó de voto co su error u horqulla, los cotroles de caldad que se regula medate ormas ISO. E la Físca, la estadístca es ua herrameta fudametal como e cas todas las cecas epermetales, ya que permte medr las dferecas etre los valores epermetales obtedos y los valores esperados segú el modelo teórco supuesto (método cetífco). Los métodos estadístcos se utlza para cotrolar los errores de medda y estudar s los modelos so compatbles co los valores epermetales observados. E otras ocasoes, los modelos físcos cluye modelos estadístcos como la ley de dstrbucó de velocdades e u gas, las estadístcas de Ferm- Drac, Bose-Este, o el prcpo de certdumbre.

71 Probabldad y fucoes de dstrbucó Nos cetraremos por tato e la Estadístca Iferecal. Para muchos la estadístca modera ace co las téccas del cálculo de probabldades, que permtó obteer coclusoes de ua poblacó a través de ua pequeña muestra de la msma co ua pequeña probabldad de fallo. E cecas como la Físca, Químca, etc., aparece lo que se deoma feómeos pseudoaleatoros, es decr so determstas, pero pequeñas varacoes e las codcoes cales o efectos de fluctuacoes (errores aleatoros) hace que sea tratados como feómeos aleatoros. El orge del cálculo de probabldades está lgado al estudo de los juegos de azar (Pascal y Fermat, 650): cartas, dados, ruleta, etc. Huyges publcó e 657 u trabajo relatvo al juego de los dados. E 8, Perre Smo, marqués de Laplace publca la prmera defcó de probabldad. La defcó se basa e el deseo de teer ua medda cuattatva sobre el grado de segurdad de que u acotecmeto se produzca o o. Esta dea puede cuatfcarse asgado u úmero a la probabldad. S es el úmero de casos posble, y h el úmero de casos favorables al suceso A, defmos la probabldad p de acertar como h p( A) úmero de casos favorables úmero de casos posbles Def. clásca Laplace

72 Dos estudates de Físcas teta poerse de acuerdo e como pasar ua tarde. Acuerda que tomará su decsó lazado ua moeda. S sale cara rá al ce, s sale cruz saldrá a tomar ua caña y s la moeda cae de cato, estudará. Que podemos apreder: la epereca, os dce que los estudates o tee muchas gaas de estudar. Sabemos tutvamete que la moeda o caerá de cato, que lo hará sobre la cara o sobre la cruz. S la moeda es legal, la posbldad de que salga cara o cruz so las msmas. La probabldad se basa e cuestoes tales como : Cuál es la probabldad de que ua moeda caga de cato? Probabldad de que salga cara? Y de que salga cruz? Desde u puto de vsta matemátco, ecestamos asgar valores umércos a cada ua de las probabldades volucradas. S llamamos p el valor umérco de la probabldad de que al lazar ua moeda, salga cara. Puesto que es gualmete posble que al lazar la moeda, salga cruz, la probabldad de que salga cruz també debe teer asgado el valor p. Como teemos la certeza de que saldrá cara o cruz, p debe ser el valor asgado al suceso seguro, el que ocurrrá sempre que lacemos ua moeda al are. Elgedo el valor para el suceso seguro. Esto es p. Etoces la probabldad de que la moeda muestre cara es : / ; la probabldad de que muestre cruz es : /; y la probabldad de que salga cara o cruz es: ½+ ½

73 S lazamos ua moeda teemos dos resultados posbles: cara o cruz. La probabldad de que salga cara es p ½. La probabldad de que salga cruz es també ½ y por tato ½ + ½ dca que es seguro que salga cara o cruz. E el caso de u dado co 6 caras marcadas del al 6, la probabldad de que salga u 3 es /6 y la probabldad de que salga u úmero par es 3/6 ½. S lazamos ua moeda 00 veces y aotamos el úmero de veces que sale cara: N T N C F a F r Las frecuecas absolutas proporcoa escasa formacó de cómo se comporta el suceso a medda que el úmero de meddas crece, es más se da la paradoja que la dfereca etre caras y cruces puede aumetar. Por ello se calcula las frecuecas relatvas: cocete de la frecueca absoluta del suceso (úmero de caras) y el úmero total de pruebas realzadas.

74 El este dagrama hemos dbujado las frecuecas para uestro epermeto y se puede comprobar que las frecuecas relatvas del suceso CARA tede a establzarse haca u valor 0.5. Esto quere decr que la frecueca del suceso cara toma valores más prómos a 0.5 de maera que las fluctuacoes u osclacoes alrededor de este valor so cada vez más pequeñas, es decr, el polígoo de frecuecas se suavza coforme aumeta el úmero de tradas. 0.6 Frecueca relatva Numero de sucesos Jacques Beroull demostró la ley de los grades úmeros que dce: La frecueca relatva de u suceso tede a establzarse e toro a u valor a medda que el úmero de pruebas del epermeto crece defdamete. A este úmero, al que la frecueca relatva se acerca cuato mayor es el úmero de pruebas realzadas, se deoma probabldad del suceso. Problema, para coocer la probabldad es precso realzar u gra úmero de pruebas, de esta forma sólo podemos obteer u valor apromado de la probabldad

75 Por defcó, p es u úmero compreddo etre 0 y. S p 0 el suceso es mposble. S p es seguro gaar, ya que todos los resultados so favorables (h ) S h so los casos favorables, -h so los desfavorables y, por tato, la probabldad de o gaar es h q p de dode p + q. De modo que la suma sea la udad. A la defcó de Laplace hay que añadr que los casos debe ser gualmete probables cometedo el error de clur e la defcó lo que se quere defr. Surge la defcó aomátca de la probabldad, que establece la probabldad de u suceso como el úmero al que tede el cocete etre el úmero de veces que sucede (frecueca) y el úemro de veces que se realza el epermeto. Kolmogorov relacoó el cocepto de frecueca relatva de u suceso y su probabldad cuado el úmero de esayos es muy grade. Esta defcó es la que aplcamos al tratar de represetar los errores de medda medate u modelo estadístco. Es de esto modo e el que se ue la estadístca y la probabldad, que a partr aquí se desarrolla de modo cojuto. La estadístca permte medr las dferecas etre los valores epermetales obtedos y los valores esperados.

76 La defcó de Kolmogorov relacoada co las frecuecas relatvas y que eucó vo Mes: Se llama probabldad de u suceso al límte de la frecueca relatva de éste, cuado el úmero de pruebas efectuadas tede a fto cumple los sguetes aomas: ) La probabldad de u suceso A, p(a), cualquera es postva o ula: p(a) 0 ) La probabldad de u suceso certo es gual a la udad p(a) 3) La probabldad de la uó de dos sucesos compatbles es gual a la suma de las probabldades de cada uo de ellos: p(a B) p(a) + p(b) 4) La probabldad del suceso, cotraro al suceso A, es p( ) A p(a) A 5) La probabldad del suceso mposble es cero 6) La probabldad de u suceso es meor o gual a la udad. La probabldad de u suceso está compredda etre 0 y 7) S el espaco muestral de u epermeto se puede descompoer e posbles sucesos equprobables e compatbles etre sí, y de ellos h so favorables a la realzacó de u certo suceso B, la probabldad de éste es h/; razó etre casos favorables al suceso B y el úmero de casos posbles

77 8) La probabldad de que ocurra dos sucesos A y B depedetes es el producto de las probabldades de cada uo de ellos separadamete. Como las probabldades so ferores a la udad, el producto es sempre feror a cualquera de los factores. 9) S los sucesos A y B so compatbles, se verfca que la uó de A y B es p(a B)p(A)+p(B)-p(A B)

78 Ejerccos y problemas ) Se cosdera u epermeto aleatoro que cosste e lazar u dado. Calcular la probabldad de obteer: Número par Número prmo Múltplo de tras Múltplo de cco ) Se realza u epermeto aleatoro que cosste e lazar dos moedas. Hallar las sguetes probabldades: Obteer dos caras Obteer dos cruces Obteer ua cara y ua cruz Obteer al meos ua cruz 3) Se realza u epermeto aleatoro que cosste e etraer ua carta de la baraja española. Halla las sguetes probabldades: Obteer u oro Obteer u as Obteer la sota de espadas 4) Lazamos dos dados y aotamos su suma. Hallar la probabldad de los sguetes sucesos: Obteer ua suma gual a Obteer suma gual a 8 Obteer suma meor o gual a 4

79 Ejerccos y problemas 8) Hallar la probabldad de que al lazar 3 moedas se obtega al meos ua cara. 9) U saco hay a bolas blacas y b bolas egras. Se saca ua bola Cuál es la probabldad de que sea blaca? A cotuacó se saca otra s devolver la ateror. Determar la probabldad de que sea també blaca. 0) E ua ura hay a bolas blacas y b bolas egras (a ). Sacamos dos bolas smultáeamete. Calcular la probabldad de que las dos bolas sea blacas? ) E el juego de la ruleta rusa se serta ua bala e u revólver co capacdad para ses. Se gra la cámara, se aputa a la cabeza y se dspara. Cuál es la suerte de quedar vvo después de jugar ua vez, dos veces, tres veces, muchas veces? ) Teemos 6 bolas e ua bolsa, bolas blacas y egras, calcular la probabldad de sacar blacas y ua egra (co reemplazameto) para cada uo de los casos posbles (todas blacas, 5B y N, 4B y N, ) 3) S realzamos ua apuesta a la Lotería Prmtva (marcamos 6 de los 49 úmeros), calcular la probabldad de teer 6 acertos. Y 5 acertos.

80 Total 0 00 S es el resultado de u epermeto, defremos la probabldad de que el valor verdadero sea como la frecueca del resultado e u cojuto sufcetemete amplo después de repetr el epermeto muchas veces. Ua magtud o varable se llama dscreta s sólo puede tomar u úmero cotable de valores, es decr, los posbles valores so úmeros aslados. Ej.: úmero de turstas al año, úmero de ordeadores defectuosos e u lote de 00, etc. Por lo geeral, se represeta e forma de tablas de dstrbucó de frecuecas. Se asga a cada úmero que aparece su frecueca absoluta (úmero de veces que se repte u dato). A partr de esta se puede obteer la frecueca relatva, es decr, el cocete etre las frecuecas absolutas y el úmero total de datos. Además, se puede calcular el porcetaje correspodete. Supogamos que realzamos u total de meddas de ua catdad o varable, u epermeto muestra que aparece f veces, se regstra f veces,,, f veces. Etoces se tee que para los valores de la varable dscreta teemos frecuecas absolutas f, frecuecas relatvas f r o porcetajes p que verfca: f +f + +f ; f r +f r + +f r ; p +p + +p f 3 3 f r p F 5 7 0