Análisis II: Derivadas y sus aplicaciones. 1. Determina la función derivada de las siguientes funciones: 3 1

Transcripción

1 I.E.S. Jun Crlos I Ciempozuelos Mdrid Mtemátics II * Análisis II: Derivds y sus plicciones *. Determin l función derivd de ls siguientes funciones: f ' 7 9 f 7 b f c f d e f ' f f ' f ' ' ' f ' f f g f ln Producto : f ' ' ' Polinomio : f f ' f f ' ' f ' Fctorizndo f f ' f ' ln ln ln ln Producto : f ' cos' tg cos tg ' sen tg cos h f cos tg 7 f sen sen cos cos cos cos cos cos Simplificndo : f cos i sen sen f ' sen' cos cos f 7 f j f sen tg k f rcos l f e ln f ' sen' tg sen tg ' cos tg sen tg sen cos sen tg sen sen tg sen tg cos cos f ' ' rccos rccos ' rccos rccos f ' e ' ln ' ' e e

2 ln ln f ln f ' ln ln m f n f e 9 ln e e ' ln e ln ' f ' ln ln e ln 9 ln e e ln ln ln ln e ln cos ' sen cos sen ' sen sen cos cos sen sen sen sen cos cos sen cos cos sen sen sen sen f ' cos sen o f p f cos q f f ' cos cos ' cos sen sen cos sen f [ cos ] f ' [ sen ] sen f f ' R.de l cden: f ' ' 8 r f s f t f e Polinomio : f f ' ' ' f ' u f log f f ' log v ln e log log ln ln ln log log e log e f ' e e ' e e e e e e e e e e e e e ln ln ln ln ln ln 8 ln 8 ln ln 8 ln ln ln 8 ln f '

3 w f R. de l cden: f ' f ln y f ln z f e ' ' f ' ' Logritmo : f ln ln f ' ln ' f ' ln f ' e ln ln ' ln ' e f sen f ' sen ' ' cos b f sen f ' cos cos sen ' sen sen c f sencos f ' sen ' cos cos ' coscos sen sen cos cos d f cos sen f ' cos ' sen sen ' sen sen cos cos sen sen e f e e f e f ' e e e f f rctg f ' rctg ' ' cos sen tg g f ln sen f ' ln ' sen sen ' ' h f sen ln f ' sen ' ln ln ' ' cos ln i f sen ln j f sen k f e f ' sen cos ln ln sen' ln ln ' sen ln sen ln sen ln cos ln ángulo doble f ' sen cos sen sen cos sen sen sen f ' e ' ' e e

4 e e l f m f e e e e f e e f ' e e e e e e f e e f ' e e e e e e se denomin 'coseno hiperbólico'cosh e e L función: se denomin 'seno hiperbólico'senh Vemos que: senh' cosh cosh' senh L función: n f sen ln ln Derivción logrítmic: ln f ln sen ln ln sen [ ln f ] ' [ ln ln sen ] ' f ' ln ' ln sen ln ln ' sen sen' f f ' f ' ln sen ln ln sen ln cos ln f sen tg sen f ' sen ln ln sen ln tg Eponencil potencil : f ' ln sen ln sen ' ln sen sen ln ln ' ln f ' ln sen sen ln cos ln sen sen ' f ' f ln ln ln sen sen tg o f f ' ² f ' f ' 8 ' i Aunque l función f se puede derivr simbólicmente, se obtiene un función con vlores imginrios. Esto es sí porque el rgumento de rcsen nunc puede ser myor que : ℝ f ' rcsen' p f rcsen q f sen r f e ' ln ln ' f ' sen ' 'cos cos ln ln ln ln ln ln cos ln ln ln COMPOSICIÓN s f ln f ' e COMPOSICIÓN f ' ln ln

5 t f u f 7 7 f 7 7 POTENCIA f ' 7 7 v f ln COCIENTE f ' 7 7 sen sen sen f ln lnsen ln sen sen cos sen cos sen cos cos cos f ' sen sen sen cos cos o tmbién, directmente: ' ' f ' sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen cos sen sen cos sen cos cos cos sen sen sen cos cos sen sen sen sen sen w f rcsen tg f cos y f z f f ' tg f ' ln ln ln ln f ' ln lnf ln f ' ' ln f g ln g ln g ' ln g ' ' g ln ln g f ' ln ln f ' f ln ln f ' ln ln f bb f rctg tg ' ln f ln ln [ ln f ] f ' f b f [ bc f tg sen f ' sen tg bd f log f ' f ' ] f f ' ln f log f ' ln ln ln

6 f e ln f ' ln e ln ln be f bf f ln e f ' bg f sen cos e e e e e f ' cos cos sen sen cos sen cos O tmbién : f sen f ' cos cos bh f f Derivción logrítmic: ln f ln ln [ ln f ] ' ln ' f ' ' ln ln ' ' f f ' f ' ln ln f [ ] [] f ' ln Eponencil potencil : f ' ' ln ' f ' ln ln. Represent gráficmente ls siguientes funciones: f Dominio : Domf ℝ Simetrí: f f Función pr. Corte con ejes : Eje : f Eje y: y f y Asíntots : A. horizontl ± y f Por debjo f Por debjo f ' > f creciente, f ' < f decreciente, Etremos : f ' Mínimo locl en P, Crecimiento : f ' Puntos de infleión : f ' ' ±, f ' ' < Conve,, Puntos de infleión en ± P, P, Curvtur: f ' ' f ' ' > Cóncv

7 b f Dominio : Domf [, Simetrí: No present. Corte con ejes : Eje : f Eje y: y f y Asíntots : No present. Crecimiento : f ' f ' > f creciente, Etremos : f ' No es etremos puesto que no cmbi crecimiento. Curvtur: f ' ' f ' ' > Cóncv, Puntos de infleión : : f ' ' No present. c f ln f ln No es necesrio el vlor bsoluto. El rgumento es Dominio : Domf ℝ Simetrí: f ln ln f Función pr. Corte conejes : Eje : f Eje y: y f y Asíntots : No present Crecimiento: f ' f ' > f creciente, f ' < f decreciente, Etremos : f ' Mínimo locl en P, Curvtur: f ' ' f ' ' > Cóncv, f ' ' < Conve,, Puntos de infleión: f ' ' ± d Puntos de infleión en ± P,ln P,ln f e Dominio : Domf ℝ Simetrí: f e e f f No present. Corte con ejes : Eje : f e e e > ℝ No present Eje y: y f y f f y Crecimiento : f ' e f ' > f creciente, f ' < f decreciente, Etremos : f ' Mínimo locl en P, Curvtur: f ' ' e f ' ' > Cóncv ℝ Puntos de infleión : f ' ' No present Asíntots : A.Oblicu l izquierd por encim

8 e f Dominio : Domf ℝ } Simetrí : f f f No present. Eje : f Corte conejes : Eje y: y f y y ± A. horizontl Asíntots: A. Verticl f Por encim f Por debjo f f f ' < f decreciente Dom f Etremos : Dom f :f ' No present. Crecimiento : f ' Curvtur : f ' ' f ' ' > Cóncv, f ' ' < Conve, Puntos de infleión : Dom f : f ' ' No present f f Dominio: Domf ℝ Simetrí : f f f No present. Eje : f Eje y: yf y Asíntots : No present Crecimiento : f ' f ' > f creciente ℝ Etremos : No present.siempre creciente Curvtur : f ' ' f ' ' > Cóncv, f ' ' < Conve, Puntos de infleión: f ' ' Cmbi de conve cóncv Corte conejes :

9 g f Dominio : Dom f ℝ, } Simetrí: f f Función impr. Corte con ejes : Eje : f Eje y: y f y A. verticles Asíntots : 8 8 f f 8 8 f f Comptible con simetrí impr A. oblicu ± Crecimiento : f ' y ± f Por encim f Por debjo Función impr f ' >f creciente,, f ' <f decreciente,,, Máimo locl P, Ps de creciente decreciente Etremos : f ' Punto de infleión P,Se mntiene decreciente ntes y después Mínimo locl P, Ps de cecreciente creciente Curvtur: f ' ' 8 8 f ' ' > Cóncv,, f ' ' < Conve,, Puntos de infleión: f ' ' Punto de infleión en P,

10 h f Dominio : Domf ℝ } Simetrí: f f f No present simetrí. Corte con ejes : Eje : f Eje y: y f y f f A. verticl Asíntots : A. oblicu f y Por debjo Por encim f ' > f creciente Dom f Etremos : Dom >f : f ' No present Curvtur: f ' ' f ' ' > Cóncv, f ' ' < Conve, Crecimiento : f ' Puntos de infleión : Dom f : f ' ' No present. i f si si > f Dominio : Domf ℝ Simetrí : No present simetrí. Corte con ejes : Eje : f Eje y: yf y Asíntots: No present si < f ' > f creciente,, Crecimiento : f ' si > f ' < f decreciente,, Etremos : f ' Mínimo locl en P, Máimo locl en P, Curvtur : f ' ' si < f ' ' > Cóncv,, si > f ' ' < Conve, Puntos de infleión : f ' ' Punto de infleión en P,

11 j f Dominio: Dom f ℝ Simetrí : f f f No present. Corte con ejes : Eje : f Eje y: yf y Asíntots : Crecimiento : A. horizontles y y f ' f Por encim f Por encim f ' > f creciente, f ' < f decreciente, Etremos : f ' Máimo locl en P, Curvtur : f ' ' 7 7, 7 7 f ' ' < Conve, f ' ' > Cóncv, Puntos de infleión: f ' ' k f e e ± 7 Puntos de infleión: f senh Dominio : Domf ℝ e e e e Simetrí: f f Función impr. Corte con ejes : Eje : f e e Eje y: y f y Asíntots : No present e e Crecimiento : f ' f ' > f creciente ℝ Etremos : ℝ :f ' No present e e f ' ' > Cóncv > Curvtur: f ' ' f ' ' < Conve < Puntos de infleión : f ' ' Punto de infleión en P, ± 7 7± 7,

12 l e e f f cosh Dominio : Domf ℝ e e e e Simetrí: f f Función pr. Corte con ejes : Eje : ℝ :f No present Eje y: y f y Asíntots : No present e e f ' > f creciente > Crecimiento : f ' f ' < f decreciente < Etremos : f ' Mínimo locl en P, Curvtur: f ' ' e e f ' ' > Cóncv ℝ Puntos de infleión : ℝ :f ' ' No present m f e e e e f tnh Dominio : Domf ℝ e e e e Simetrí: f f Función impr. e e e e Corte con ejes : Eje : f e e Eje y: y f y Asíntots : e y f Por debjo e A. horizontles e f y f Por encim e f e e e e e e e e f ' > f creciente ℝ e e e e Etremos : ℝ :f ' No present e e Curvtur: f ' ' 8e e e e 8 f ' ' > Cóncv < f ' ' < Conve > e e Puntos de infleión : f ' ' Punto de infleión en P, Crecimiento : f '

13 . Escribe l ecución de ls rects tngente y norml l gráfic de ls siguientes funciones en el punto que se indic: en d d e en ' ' 7 Tngente: y ' [ ] y 7 y 7 Norml: y [ ] ' y 7 y 7 7 b b b ' b e c ln e en e9 e ' e ' Tngente: y e e ' [ ] y 9 9 y [ ] b ' Norml: y e y 7 y c [ ] d ' y e e y e e e b ' Tngente: y b b' [ ] y y Norml: y b Norml: y d en d e d ' e Tngente: y d d ' [ ] y e e y e e d ' e [ ] e' y 9 y en c ' c c' Tngente: y cc ' [ ] y y [ ] c' y y Norml: y c f f ln en f ' f f ' Tngente: y f f ' [ ] y y [ ] f ' y y Norml: y f

14 g g sen en π h π π g ' cos g g ' π π π Tngente: y g g ' [ π ] y π π y h en h h ' No se pueden definir l rects tngente y norml h ' i ln en i i ln 9 i ' Tngente: y ln 9 horizontl i ' Norml: y g π [ π ] g ' π y π π y Norml: verticl. Clcul los siguientes límites: cos sen L ' Hôpitl e e b c b d e f ln L ' Hôpitl L' Hôpitl ln ln b b ln ln b ln b e e h Sólo eiste límite lterl e ln e e e L ' Hôpitl e cos sen sen L ' Hôpitl sen cos L ' Hôpitl cos cos sen sen e g ln L ' Hôpitl e e e e e ln z ln z z z L' Hôpitl L ' Hôpitl e e e z z tg tg Sólo eiste límite lterl ln ln tg tg ln ln cos sen L' Hôpitl sen sen cos sen L ' Hôpitl tg tg sen cos ln

15 tg i L ' Hôpitl tg ln j k sen sen cos tg tg L ' Hôpitl L ' Hôpitl 8tg tg ln ln ln ± ± ± tg. Encuentr el áre del triángulo que form con los ejes coordendos l rect tngente l gráfic de l función f en. 9 y y9 Corte eje : f ' Corte eje y: y9 Los puntos de corte determinn los ctetos de un triángulo rectángulo bse en OX y ltur en OY: 9 b h 7 A u Rect tngente: y f f '. Dd l función f, encuentr un punto en el que l rect tngente su gráfic se prlel l segmento que une los puntos, y, 8. A, B,8 AB,8 f ' ABy 8 AB 7. Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de l función su punto de infleión. f ' f ' ' f ' ' ' f ' ' f''' 7 Rect y f f ' y 7 f en Punto de infleión: f ' ' f ' ' ' 8. Determin el ángulo que formn ls gráfics de 9 y f y g en el punto en que se cortn. Punto de corte P, Tngente f: y f f ' f ' y y Ángulo con eje OX rctg,º Punto de corte: f g Tngente g: y g g ' g ' y y Ángulo con eje OX rctg º Ángulo entre tngentes :,º º 8, º 8º 8,º 7,7º e presente un único c punto singulr. Se trt de un máimo locl, un mínimo locl o un punto de infleión? 9. Hll el vlor del prámetro c de modo que l función f e c e e c Punto singulr: f ' e c c c c ± c Pr que l solución se únic el discriminnte h de nulrse: c c e e f ' f ' Es fácil ver que :f ' > Por tnto l función es creciente slvo en el punto singulr que, en consecuenci, es necesrimente punto de infleión. f '

16 f ln, determin cuáles de ls rects tngentes l gráfic de f en el intervlo [, e] tienen l máim pendiente..dd l función Lo que nos piden es buscr el máimo de l función derivd en dicho intervlo, y que l función derivd d l pendiente de l rect tngente: f ' f ' ' Buscmos etremos de l función derivd : f ' ' Vemos que ntes con < f''> y con > f''<, de modo que f' present un máimo locl en. Puesto que en [,e] no hy más puntos singulres y l función es continu y derivble en todo el intervlo, el vlor máimo de f' se drá necesrimente en el máimo locl, esto es en. Ahí será donde se dé l myor pendiente..de un función f sbemos que f 'f '' y que f '''. Podemos segurr que f tiene máimo, mínimo o punto de infleión en? Tiene un punto de infleión, y que l curvtur ª derivd crece loclmente ª derivd >. Como f'' se nul signific que, por continuidd, ps de negtiv conve positiv cóncv.. Dd l función f b, hll el vlor de los prámetros y b pr que ls rects tngentes l gráfic de l función en y sen prlels l eje OX. L condición equivle que su derivd se nule: derivd nul pendiente nul tngente horizontl prlel OX f ' b f ' : b Resolviendo 9 b f ' : 88 b.clcul el punto de l gráfic de f en el que l pendiente se máim. Piden buscr el máimo de l función derivd, y que l función derivd d l pendiente de l rect tngente: 8 f ' f ' ' Buscmos etremos de l función derivd : f ' ' ± Se puede ver que con < f''>, con, f''< y con > f''>, de modo que f' present un máimo locl en y mínimo locl en. Puesto que no hy más puntos singulres, l función es continu y derivble en ℝ y f los máimos ± y mínimos locles de f' son tmbién bsolutos, y por tnto el myor vlor de l pendiente se d en..clcul los vlores del prámetro que hcen que ls tngentes de l curv y en los puntos de infleión sen perpendiculres entre sí. y ' y ' ' y ' ' ' En los puntos de infleión h de tenerse y ' ' y ' ' ' : y ' ' Pr que l ª derivd no se nule h de ser. Ls pendientes en estos puntos son: f ' f ' Pr que ls rects sen perpendiculres entre sí, ls pendientes hn de ser un el inverso del opuesto de l otr, por tnto: ±.Encuentr los vlores de los prámetros y b pr que f sen b si si se derivble en. En primer lugr es necesrio que se continu:f f sen f bb b Además, hn de igulrse los límites lterles de l derivd: f ' [sen ]' cos f ' [ ] '

17 .Un pelot se lnz verticlmente hci rrib desde lo lto de un torre, de mner que su ltur, en metros, viene descrit por l ecución ht t t 8 donde t son los segundos trnscurridos desde su lnzmiento. En qué instnte lcnzrá l pelot su ltur máim? Buscmos los etremos de l función: d h t t dt d h < ht tiene un máimo en t s dt 7.Un fábric se encuentr l orill de un río de m de ncho. Agus bjo, m, hy un centrl eléctric en l orill contrri. Se quiere hcer un tendido eléctrico desde l fábric hst l centrl eléctric. Si el coste del tendido es de /m sobre tierr y de /m sobre el gu, determin en qué punto h de cruzr el cble el río pr que el coste del tendido se mínimo. Si llmmos l distnci de l fábric l punto donde el cble cruz el río hci l centrl ver dibujo; por trigonometrí: Cble sobre tierr: Coste: Cble sobre gu: Coste: L función que d el coste de l instlción será: f Aligermos l notción tomndo como unidd de distnci centenres de metro y de coste decens de miles de por centenr: f Buscmos hor los etremos de l función: f ' ± ± Sólo tiene sentido l solución que es menor que, y que l otr llevrí más llá de l centrl, lo que es bsurdo. Se puede nlizr el signo de l derivd y ver que ese etremo corresponde con un mínimo. Por tnto el río debe cruzrse en,m Elevndo l cudrdo: 9 8.Ls ciuddes A, B y C están situds como indic l figur. Se quiere construir un utopist que enlce A con C. Cd kilómetro de utopist cuest, pero si se provech l crreter eistente entre B y C el coste es de sólo. Cómo h de construirse l utopist pr que el coste se mínimo? 8 km B C km A Es un situción muy similr l del ejercicio nterior. Si llmmos l distnci lo lrgo de l crreter CB desde C hst donde sle l nuev utopist en dirección A, por trigonometrí: Autopist sobre crreter ntigu: Coste: Autopist nuev: 8 Coste: 8 L función que d el coste de l utopist será: f 8 Aligermos l notción tomndo como unidd de distnci l decen de kilómetros de coste ls decens de miles de : f 8 Buscmos hor los etremos de l función: 8 8 f ' Al cudrdo ± 8± Como ntes, sólo tiene sentido l que se menor que 8, y 9 que de otro modo l utopist sobrepsrí el pueblo B, lo que es bsurdo. Por tnto, se d un etremo en 8 Se pueden nlizr signos y ver que se trt de un mínimo, por tnto l utopist h de prtir desde l ntigu crreter CB un tercio desde C de l distnci que sepr mbs ciuddes,7 km de C

18 9.De un hoj circulr se cort un sector formándose un cono. Clcul ls dimensiones del cono que, construido de est form, tiene el volumen máimo Volumen del cono / Áre de l bse ltur Podemos clculr el rdio de l bse del cono prtir del rdio del círculo originl, y que l circunferenci de l bse del cono h de ser igul l longitud del ldo curvo del sector circulr originl: π r π αr r α R π Ahor, por trigonometrí: h R r R α R R α π π L epresión que d el volumen del cono en fución del ángulo α será: V α π R α α π π π R Pr ligerr notción definimos un nuev vrible α y entonces: V π πr Buscmos los etremos de l función: V ' Anlizndo el signo de l derivd vemos que es un máimo, por tnto el volumen máimo se d con α π [ ] es decir, recortndo del círculo un sector de ángulo α π rd,º. Qué ángulo deben formr dos segmentos de y uniddes pr que el triángulo formdo por su etremo común y sus etremos libres teng áre máim? Situndo el triángulo como en l figur, podemos clculr su ltur: hsenπ α L epresión tmbién es válid pr ángulos α gudos. El re entonces: b h senπ α Aα Aαsen π α da Buscmos etremos de l función: cos π α cos π α dα d A π α π α π Con l segund derivd senπ α < d α α π Por tnto el áre lcnz un máimo cundo formn un ángulo recto.

19 .Con un crtulin de 8 cm se construye un cj recortndo un cudrdo de cd esquin y doblndo ls solps resultntes. Cuáles serán ls dimensiones de dich cj pr que el volumen contenido se máimo? Llmndo l ldo del cudrdo que recortmos ver figur, el volumen de l cj qued: V 8 Desrrollndo: V V ' ±9 ±7,cm Buscmos etremos : V ' cm L primer solución no tiene sentido, puesto que de cm no se pueden recortr dos trozos de, cm. Anlizndo el signo de l ª derivd V'', vemos que es negtivo pr l ª solución, y por tnto se trt de un máimo. Por tnto, ls dimensiones pedids son cm X cm X cm.un lmcén con form de prism recto tiene un volumen de 7 m y tl que mide el doble de lrgo que de ncho. L pérdid de clor trvés de ls predes lterles es de W por metro cudrdo y trvés del techo de W por metro cudrdo. Suponiendo que l pérdid trvés del suelo es nul, determin ls dimensiones del lmcén pr minimizr ls pérdids de clor. 7 8 Volumen entre el áre de l bse 88 L superficies: Techo Predes L función que d l pérdid de clor, en W, será: f f ' Buscmos etremos: 7 Anlizndo l segund derivd f ' ' 8 vemos que se trt de un mínimo, por tnto ls dimensiones serán 7 m de ncho, m de lrgo y m de lto. Llmndo l ncho del lmcén, el lrgo será y el lto.se quiere fbricr un lt de refresco cilíndric con un cpcidd de cm. Clcul sus dimensiones rdio y ltur de mner que l cntidd de hoj de cero que se utilice en su fbricción se mínim. Volumen entre el áre de l bse π L superficie del cilindro será: Bses π Lterl π π L función que d l superficie de hoj de cero utilizr será: f π f ' π 8 Buscmos etremos: π π π Anlizndo l segund derivd f ' ' π vemos que se trt de un mínimo, por tnto ls dimensiones: rdio de,cm. π, cm y ltur de π π Llmndo l rdio de l bse, l ltur del cilindro será, en cm,

20 .Se quiere construir un gsoliner en un terreno rectngulr de 8 m de superficie junto un utopist. Hy que cercr los ldos del terreno que no dn l utopist. Cuáles hn de ser ls dimensiones del terreno pr que l cntidd de vll se mínim? 8 áre entre ldo 8 L función que d l longitud vllr será : f f ' Buscmos etremos: no tiene sentido l ríz negtiv Anlizndo l segund derivd f ' ' 7 vemos que se trt de un mínimo. Por tnto ls dimensiones serán de m X m el ldo de m dndo l utopist. Llmndo l lterl que d l crreter, el ncho será, en m,.con m de lmbre se quiere vllr un terreno de l myor superficie posible. Determin ls dimensiones del terreno en ls situciones siguientes: Se trt de un terreno rectngulr y hy vllr los cutro ldos. Uno de los ldos : El otro ldo: S S ' S ' Dimensiones m m b Se trt de un terreno rectngulr que lind por uno de sus ldos con un cntildo y sólo hy que vllr los otros tres ldos. Fondo : Ancho prlelo l cntildo: S S ' S ' Dimensiones m m c Se trt de un terreno con form de triángulo isósceles del que sólo hy que vllr los dos ldos igules, el otro d un cntildo. Bse cntildo: Altur: S S ' S ' 7, m Dimensiones m ldo del cntildo, m ldos igules Medio cudrdo, cortdo en digonl Ldo del triángulo : m d Es un terreno con form de sector circulr que hy que vllr completodos ldos rectos y uno curvo Rdio del círculo: r Amplitud del sector: α rd Longitud de l vll: r r α α r r r r r αr Áre del sector: S r rd,º Sector circulr de m de rdio y,º de mplitud. S ' r r S ' r r m α.un lmcén de frut dispone de kg de nrnjs. Actulmente el precio de ls nrnjs es de céntimos el kg. Cd dí que ps, debido l desbstecimiento del mercdo, el precio de ls nrnjs sube en céntimo. Si los costes de lmcenmiento scienden por dí, y cd dí se estropen kg de frut, cuánto hy que esperr pr vender ls nrnjs con el myor beneficio? Llmndo l número de dís que dejmos psr, tendremos: Cntidd de frut en ventkg: Precio de vent de l frut /kg:,, Coste lmcén : Los beneficios serán los ingresos de l vent menos los gstos de lmcenje. Si lo epresmos todo en euros l función de beneficios: f,,, f ' f ' ' Buscmos etremos: f ' Es un máimo, puesto que l ª derivd es negtiv Pr conseguir el máimo de beneficios hbrá que esperr dís pr vender.

21 7.Un empres de teléfonos móviles v scr un nuevo modelo y ntes de hcerlo encrg un estudio de mercdo. En dicho estudio de mercdo llegn l conclusión de que poniendo un precio de vent de conseguirín venderse. uniddes. El mismo estudio de mercdo sugiere que por cd de umento en el precio de vent se venderín. teléfonos menos. Sbiendo esto, con qué precio de vent se consiguen los myores beneficios? sobre los iniciles: Precio de vent: Uniddes vendids: Gnncis: G G ' G ' El precio óptimo de vent es de 7 8.Con cutro plos de m de lrgo se quiere construir l estructur de un tipi tepee, tiend indi con bse cudrd. A qué distnci hy que situr entre sí ls bses de los plos pr que el volumen de l tiend se máimo?, cuánts pieles de bisonte hcen flt pr cubrir l tiend? Not: es mplimente conocido que un piel de bisonte dulto d pr cubrir, m², menos conocido es el hecho de que el volumen de un pirámide es V Ldo de l bse: Altur de los triángulos lterles : V Abse ltur Altur de l pirámide h: 8 V ' V ' <, V ' >, Máimo en Se consigue el volumen máimo con un seprción de los plos de m, m m, m y el áre lterl totl : L ltur de los triángulos lterles será: A b b m, m, m :, m / piel 8, pieles Se necesitn 9 pieles de bisonte. m h

22 9.Un estudio clínico h estblecido que l concentrción en sngre de cierto ntitumorl se d t puede epresr como c t donde c es l concentrción en mg/l de sngre, d es l p t dosis inicil en mg, p es el peso del pciente en kg y t es el tiempo en hors trnscurrido desde su dministrción. Encuentr un epresión pr conocer el momento de myor concentrción y l concentrción máim del medicmento en función de l dosis inicil y el peso del pciente. Aplícl un pciente de 8 kg que recibe un dosis inicil de mg. d p t d t t d p t p t p t dp d p d d c ' t p t t má p cmá c t má p c má p p p p Hemos de buscr el etremo de l función: c' t c ' t cmá, mg / l 9 Pciente en estudio: t má 89 h b Represent en un gráfico l concentrción lo lrgo del tiempo en un cso clínico de dministrción de mg de ntitumorl un niño de kg de peso. t t t t * Domc [, no se plic pr tiempo negtivo * c t> t [, * Asíntot horizontl: y por encim c' t> ct creciente t, t c ' t< ct decreciente t, c' t t Máimo en t, c t tt 8 c ' ' t t c ' ' t > ct cóncv t, c ' ' t< ct conve t, Punto de infleión en, f b si c si cumpl ls hipótesis del Teorem de Rolle en el intervlo [, ]. En qué punto se cumple l tesis?.determin, b y c pr que l función: En primer lugr l función h de ser continu en todo el intervlo. Puesto que son polinomios, sólo podrín presentrse problems en l unión de subdominios, en : f f c f b b c b b c Por otr ldo, l función h de ser derivble en el intervlo. De nuevo bstrá con forzr l derivbilidd en : f ' b' f ' c ' cc c Derivble en Además, l función h de tomr el mismo vlor en los etremos del intervlo: f f b c bc Tenemos por tnto que ls condiciones pr los prámetros son: Resolviendo: b c c b c L función sí definid, f si < cumple el Teorem de Rolle en el intervlo [,], lo que signific si que l derivd se nul en lgún punto del intervlo. Derivndo : f ' si < f ' se nul en si

23 .Se f. Prueb que ff, pero que f ' no se nul nunc en el intervlo [, ]. Eplic por qué este resultdo contrdice, prentemente, el Teorem de Rolle. f f ' f condición que es bsurd. L derivd no se nul. Lo que sucede es que l función no stisfce ls condiciones del Teorem de Rolle, y que no es derivble en todo el intervlo considerdo, en concreto no lo es en, y que f ' y f '. Si buscmos puntos donde se nule l derivd :.Determin los prámetros y b pr que l función: si f b si cumpl ls hipótesis del Teorem del Vlor Medio en el intervlo [, ]. Dónde se cumple l tesis? En primer lugr l función h de ser continu en todo el intervlo. Puesto que son polinomios, sólo podrín presentrse problems en l unión de subdominios, en : f f b b b f b b7 Por otr ldo, l función h de ser derivble en el intervlo. De nuevo bstrá con forzr l derivbilidd en : f ' ' f ' b ' Derivble en Tenemos por tnto que ls condiciones pr los prámetros son: b7 Resolviendo: b 9 si < L función sí definid, f cumple el Teorem del Vlor Medio en el intervlo [,], lo que 9 si f f signific que eiste lgún punto c en el intervlo en el que l derivd tom el vlor f ' c 9 si < Buscmos vlores en los que l derivd f ' tome el vlor si. Se tiene l función: si f si < Prueb que stisfce ls hipótesis del Teorem del Vlor Medio en el intervlo [, ] y clcul los puntos en que se cumple. En primer lugr l función h de ser continu en todo el intervlo. Ambs epresiones presentn continuidd en sus subdominios, y sólo podrín presentrse problems en l unión de subdominios, en : f f f L función es continu en. Por otr ldo, l función h de ser derivble en el intervlo. De nuevo bstrá con forzr l derivbilidd en : f ' ' f ' ' f es derivble en Tenemos por tnto que se cumplen ls hipótesis del teorem del vlor medio en el intervlo [,], lo que signific f f que eiste lgún punto c en el intervlo en el que l derivd tom el vlor f ' c ± si < Buscmos vlores en los que l derivd f ' tome el vlor si < < El vlor no es plicble puesto que qued fuer del subdominio de es rm de l función. Por tnto, los puntos en que se d l tesis del Teorem del Vlor Medio son y

24 .Clcul b pr que l función f cumpl el Teorem de Rolle en el intervlo [, b] y encuentr el punto concreto en que lo stisfce. H de drse: f bf b b b b b b bb b b ± b ± > [ Por ser un función polinómic, es derivble en ℝ y se puede plicr el Teorem de Rolle en los intervlos, [, ] y ]. Dicho Teorem grntiz l eistenci de puntos en esos intervlos en los que l derivd se nul. Los buscmos: f ' [, ] [ ± ±8 Podemos comprobr que ],,. y tmbién que.se f un función continu y derivble en todo ℝ y tl que f. Determin cuánto h de vler f pr segurr que en el intervlo [, ] eiste un un vlor c tl que f ' c8. Aplicndo el Teorem del Vlor Medio l intervlo [,], h de tenerse que f ' c f f f 8 8 f.p.a.u. 9 Se l función f 7 si Estudir l continuidd y l derivbilidd de f. si Continuidd: Sólo puede hber discontinuidd en l unión de subdominios, puesto que son epresiones polinómics. 7 7 f f 7 f L función es continu en ℝ. Derivbilidd: Sólo puede fllr l derivbilidd en l unión de subdominios, puesto que son epresiones polinómics. d f ' [ ] d [ d f ' d ] L función no es derivble en. b Hllr los máimos y mínimos locles de f. f ' 7 si < si > se nul en se nul en f ' ' 7 si > si < Se presentn dos máimos locles en y. Hbrá un mínimo locl gudo no derivble en. c Dibujr l gráfic de f.

25 7.P.A.U. 9 Se l función f : Estudir l continuidd y derivbilidd de f en. si Redefinimos f si > Continuidd: f f f L función es continu en. f ' ' Derivbilidd: L función no es derivble en. f ' ' b Estudir cuándo se verific que f '. Puesto que ff, eiste contrdicción con el Teorem de Rolle en el intervlo [, ]? L derivd se nul en ±. No eiste contrdicción con el Teorem de Rolle y que no se cumple dicho teorem en el intervlo, puesto que l función no es derivble en todo él [,]. 8.P.A.U. 9 Dd l función ln b si y f se pide: si Hllr los vlores de los prámetros y b pr los que l función f es continu en. b ln b b b f Pr evitr que el límite se L ' Hôpitl infinito, el numerdor deberí ser únicmente un término en, de mner que se cncelen los ceros de numerdor y denomindor. Por tnto h de tenerse b f b± f b En el cso b, estudir si l función f es derivble en plicndo l definición de derivd. f h f f ' h h h lnh h h h lnh h h h h h L' Hôpitl h h h h h h L función sí es derivble en. 9.P.A.U. 9 hllr el punto o puntos de l gráfic de f en los que l pendiente de l rect tngente se. Dd l función f ' f b Hllr l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto. y f f ' y y c Se g un función derivble con derivd continu en tod l rect rel, y tl que g y g. Demostrr que eiste l menos un punto c en el intervlo, tl que g ' c.

26 Es plicción direct del Teorem del Vlor Medio que es plicble g en, por ser derivble. Por tnto: g g c, :g ' c.p.a.u. 8 Obtener los máimos y mínimos reltivos y los puntos de infleión de l función f ln. ln ln f ' ' ' f ' ' Mínimo locl en. Máimos y mínimos:f ' ln [ ln] e f ' ' e e Máimo locl en e f ' [ln ] ln ln [ ln ] f ' ' Puntos de infleión: f ' ' ln e f ' ' ' e e Punto de infleión en e.p.a.u. 8 Dd l función f e se pide dibujr l gráfic de f, estudindo el crecimiento, decrecimiento, puntos de infleión y síntots. f ' e e e f ' ' e e e f ' ' ' e e 7 e Máimos y mínimos:f ' e e f ' ' No es máimo ni mínimo Crecimiento: f ' e < Función siempre decreciente, slvo en Puntos de infleión: f ' ' e f ' ' ' e Punto de infleión en f ' ' ' e Punto de infleión en Asíntots:Sólo horizontl f e Domineponencil y función por encim, puesto que f> ℝ.P.A.U. 7 Se consider l función f m donde m> es un constnte. Pr cd vlor de m hllr el vlor > tl que l rect tngente l gráfic de fen el punto, f pse por el origen de coordends. f ' Tngente y f f ' y m Pr que pse por el origen de coordends: m m y m m> b Hllr el vlor de m pr que l rect y se tngente l gráfic de f. L rect y ps por el origen de modo que es uno de los csos nteriores: y y m y m f.p.a.u. 7 Dibujr l gráfic de l función indicndo su dominio, intervlos de crecimiento y decrecimiento y síntots. si < si < si f En es continu pero no derivble f ' f ' ' si > si > si > Dominio :ℝ } A. Verticl: f f Asíntots : A. Horizontl: f f : y : y A. Oblicu: No present Crecimiento: f ' > Creciente,, f ' < Decreciente, Etremos reltivos: ℝ: f ' No present etremos 'suves', present un mínimo locl no derivble en. Curvtur: f ' ' > Cóncv, f ' ' < Conve,, Ptos. infleión: ℝ :f ' ' No present infleiones 'suves', present un infleión gud en.

27 .P.A.U. 7 Se g un función continu y derivble pr todo vlor rel de, de l que se conoce l siguiente informción: i. g' > pr todo,,, mientrs que g'< pr todo,. ii. g''> pr todo, y g''< pr todo,,. iii. g, g, g. g y g. iv. Teniendo en cuent los dtos nteriores, se pide: Anlizr rzondmente l posible eistenci o no de síntots verticles, horizontles u oblicus. Si l función es continu en ℝ, entonces no puede hber síntots verticles. Eiste un síntot horizontl hci en y según el límite ddo y por tnto no l hy oblicu. Hci no hy síntot horizontl el límite no está cotdo y podrí o no eistir síntot oblicu sbemos que es cóncv, y podrí cercrse por debjo l síntot b Dibujr de mner esquemátic l gráfic de l función g.. P.A.U. Clculr los vlores de y b pr que l función si f cos si b si se continu pr todo vlor de. Continuidd: Sólo puede hber discontinuidd en l unión de subdominios f f cos f f π f b π b π π f cos π π π b b Estudir l derivbilidd de f pr los vlores de y b obtenidos. Derivbilidd: Sólo puede fllr l derivbilidd en l unión de subdominios f ' cos ' sen f ' ' No derivble en. f ' ' π f ' cos ' sen π π π π π π Derivble en π π. P.A.U. Dd l función f e se pide dibujr su gráfic indicndo su dominio, síntots, intervlos de crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos reltivos, intervlos de concvidd y conveidd y puntos de infleión f ' e e e f ' ' e e e f ' ' ' e e 8 e Dominio :ℝ A. Verticl: No present Asíntots : A. Horizontl: f f : No present. : y A. Oblicu:No present Crecimiento: f ' > Creciente > f ' < Decreciente < Mínimo reltivo en cmbi de decreciente creciente Curvtur: f ' ' > Cóncv > f ' ' < Conve < Ptos. infleión: f ' ' Punto de infleión en cmbi curvtur Etremos reltivos: f '

28 7.P.A.U. Dibujr l gráfic de l función f indicndo su dominio, intervlos de crecimiento y decrecimiento y síntots. f ' ' Dominio :ℝ } A. Verticl: f f ' Asíntots : A. Horizontl: f ± f y A. Oblicu:No present Crecimiento: f ' > Creciente f ' < No es decreciente en ningún momento. Etremos reltivos: ℝ: f ' No present etremos. Curvtur: f ' ' > Cóncv < f ' ' < Conve > Ptos. infleión: ℝ :f ' ' No present infleiones 8.P.A.U. Estudir y representr gráficmente l función f. f ' ' Dominio :ℝ } A. Verticl: f f f ' Asíntots : A. Horizontl: f ± y A. Oblicu:No present Crecimiento: f ' > Creciente < f ' < Decreciente > Etremos reltivos: ℝ: f ' No present etremos. Curvtur: f ' ' > Cóncv f ' ' < No es conve en ningún momento Ptos. infleión: ℝ :f ' ' No present infleiones 9.P.A.U. Hllr el punto P en el que se cortn ls gráfics de ls funciones: f g ± P, no es válido b Hllr ls ecuciones de ls rects tngentes en el punto P cd un de ls curvs nteriores y demostrr que son perpendiculres. f ' r f : y y g' r g : y y L pendiente de un es l invers de l opuest de l otr y,por tnto, son perpendiculres tg α9º tg α

29 . Se pide: sen cos Clculr sus etremos locles y/o globles en el intervlo [, ].P.A.U. Se consider l función f sen cos sen cos π Los etremos reltivos: f ' sen cos sen cos tg π El signo de f' sólo depende del numerdor.por su prte, el vlor de sen es menor que el de cos entre y π y l contrrio entre π y π. Rzonndo prtir de quí y de lo signos del seno y coseno en cd cudrnte, π podemos estudir el signo de l derivd y ver que en hy un mínimo locl y en π un máimo locl. π Tenemos demás : f πf π f f π El máimo y mínimo reltivos lo son bsolutos en el intervlo. Er de esperr por igulrse l función en los etremos. El denomindor no se nul y, por tnto, l función es continu y derivble en ℝ: f ' b Comprobr l eistenci de, l menos, un punto c [, ] tl que f 'c. Sugerenci: utilizr el teorem de Rolle. Demostrr que en c hy un punto de infleión. Bst con plicr el Teorem de Rolle l función en dicho intervlo, ddo que su vlor es igul en los etremos y es derivble en ℝ. En l segund prte del enuncido debe hber un error, pueso que hemos encontrdo en el intervlo puntos con derivd nul que son máimo y mínimo locles, y no puntos de infleión. se pide: Hllr l ecución de l rect tngente su gráfic en el punto, f pr >.. P.A.U. Dd l función f ' f r : y f f ' y y b Hllr los punto de corte de l rect tngente hlld en el prtdo con los dos ejes coordendos. y Eje : y Eje y : y P, P, c Hllr el vlor de > que hce que l distnci entre los dos puntos de corte hlldos en el prtdo b sen mínim. Buscmos etremos: d ' dp,p P P d Se pude nlizr el signo de l derivd y ver que es un mínimo, definid pr >, hllr el punto, f tl que l rect tngente l gráfic de f en ese punto se prlel l eje OX..P.A.U. Dd l función f ln ln P,ln f ln f ' r : y f f ' Buscmos que f '

30 . P.A.U. Se considern ls funciones: f g Representr f y g en un mismo gráfico. f es un prábol biert hci bjo, con simetrí pr y que ps por,,, y, g se represent como dos trmos de rect y que g si si > b Clculr el ángulo que formn en los puntos de corte. Buscmos los puntos de corte: f g ± 7 7 Sólo positiv > Por simetrí pr, hbrá otro corte en Clculmos l pendiente de f en esos puntos: f ' f ' 7 7± ±7 Por tnto el ángulo de l curv f en esos puntos será el de su rect tngente: rctg 7. El ángulo de l gráfic de l función g en esos mismos puntos es ± π y,por tnto, el ángulo entre mbs gráfics será, clculndo l diferenci,: rctg 7 π,7 º o lo que es lo mismo ±7, º. P.A.U. Justificr rzondmente que l gráfic de l función OX l menos un vez en el intervlo [, ]. f cort l eje Puede verse que f y f y, demás, por trtrse de un función polinómic es continu en ℝ. Por tnto puede plicrse el Teorem de Bolzno en el intervlo [,] lo que nos grntiz l eistenci de l menos un vlor de en dicho intervlo en el que l función se nul y por tnto su gráfic cort l eje b Determinr rzondmente el número ecto de puntos de corte con el eje OX cundo recorre tod l rect rel. Estudimos el comportmiento de l función prtir de su derivd: f ' Vemos que est derivd es siempre positiv, lo que signific que l función es creciente ℝ. Por tnto, tendrá únicmente un punto de corte con el eje, y que un vez que lo trviese como función creciente, no desciende de nuevo pr volver cortr l eje nunc decrece..p.a.u. Se consider l función f ln. Determinr los intervlos de crecimiento y decrecimiento, y los intervlos de concvidd y conveidd. f ' < < Decreciente f ' f ' pr Mínimo locl f ' > > Creciente f ' ' < f ' ' f ' ' f ' ' > f ' ' f ' ' < < Conve pr Punto de infleión, Cóncv pr Punto de infleión > Conve b Dibujr l gráfic de f. c Clculr ls ecuciones de ls rects tngentes l gráfic de f en sus puntos de infleión. y f f ' : y ln y ln : y ln y ln

31 .P.A.U. Clculr l bse y l ltur de un triángulo isósceles de perímetro 8 y áre máim. Llmndo l mitd de l bse, que será el ldo desigul, cd uno de los lterles medirá cm. Aplicndo el Teorem de Pitágors, l ltur del triángulo será h El áre: A 8 A' 8 Buscmos puntos singulres: A' Anlizndo el signo de l derivd vemos que se trt de un máimo A ' >, A' /<. Ls dimensiones del triángulo de áre máim serán cm el ldo desigul y cm los ldos igules h cm 7.P.A.U. Dd l función f, se pide: Hllr l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto, f con <<. y f f ' y y b Hllr los puntos A y B en los que l rect hlld en el prtdo cort los ejes coordendos verticl y horizontl respectivmente. Puntos de corte Eje : y Eje y : y B, A, c Determinr el vlor de, pr el cul l distnci entre el punto A y el punto, f es el doble que l distnci entre el punto B y el punto, f. d A, P AP,, Se el punto P, f P, d A, P d B, P d B,P BP,, 8.P.A.U. Sbiendo que l función f tiene como derivd: f ' 8 7 Hllr los intervlos de crecimiento y decrecimiento de f. < < < f ' 7 < <7 7< :f ' > :f ' < :f ' < :f ' > f creciente f decreciente f decreciente f creciente b Hllr los máimos y mínimos reltivos de f. Visto el esquem nterior, clrmente hy un máimo reltivo en y un mínimo reltivo en 7 c Es el punto un punto de infleión de f? Justificr rzondmente l respuest. Sí, puesto que l derivd se nul pero se mntiene el decrecimiento ntes y después de ese vlor de. f ' 87 8 f ' Podemos nlizr l ª y ª derivds: f ' ' 8 7 8f ' ' Hy un punto de infleión f ' ' ' 9 7f ' ' ' 8 puesto que l ª derivd se nul y l tercer no. e si 9.P.A.U. Dd l función f si Determinr su dominio y clculr los límites lterles cundo. Domf ℝ }no está definid pr por ser ríz de un denomindor. Sí lo está en pues unque tmbién se ríz se define un vlor puntul prte. e e e e

32 b Estudir l continuidd y hllr el vlor de pr el que l función es continu en. e L ' Hôpitl e Pr que se continu en h de tenerse que.. Se pide: sen Clculr sus puntos críticos en el intervlo bierto,..p.a.u. Se consider l función f El denomindor no se nul y, por tnto, l función es continu y derivble en ℝ: f ' Los etremos reltivos: f ' sen cos π π sen sen cos sen cos El signo de f' sólo depende del numerdor. Rzonndo prtir de los signos del seno y coseno en cd cudrnte, podemos estudir el signo de l derivd y ver que en hy un máimo locl y en π y en π hy mínimos locles. b Clculr los etremos reltivos y/o bsolutos de l función f en el intervlo cerrdo [, ]. Ddo que f πf π los máimos y mínimos locles encontrdos ntes lo son tmbién bsolutos en el intervlo. c Hllr l ecución de l rect tngente l gráfic de l función f en el punto π,f. y f π f ' π π y 9 π y 9 9.P.A.U. Se l función f. Estudir su continuidd y derivbilidd. Redefinimos f si Por ser epresiones polinómics, l continuidd y derivbilidd solo si > puede fllr en l unión de subdominios: Continuidd: f f f L función es continu en. Derivbilidd: f ' 8 ' 8 8 L función no es derivble en. f ' 8 ' 88 b Dibujr su gráfic..p.a.u. Determinr los vlores de ls constntes A, B, C y D pr los cules l gráfic de l función rel de vrible rel f A sen B C D tiene tngente horizontl en el punto, y, demás, su derivd segund es f '' sen. f D f ' A cos B C f ' AC A C f ' ' Asen B A B C

33 .P.A.U. Se consider l función rel de vrible rel f. Se pide: Hllr sus máimos y mínimos reltivos y sus síntots. Puntos notbles : f ' Pr < el rdicndo es myor que y por tnto l derivd es positiv. Del modo nálogo se rzon pr > y entonces se ve que l derivd es negtiv. Por tnto el punto notble en es un máimo. No present síntots verticles no hy epresiones no cotds pr vlores finitos de. Asíntot horizontl: Usndo lindicción ± ± ± Por tnto hy síntot horizontl en y f ' b Hllr los puntos donde l gráfic de f tiene tngente verticl. f ' f ' f ' En estos puntos l derivd es infinit pendiente verticl. c Representr gráficmente l función. Not: Pr ls síntots puede ser de utilidd l iguldd A B A B. A AB B.P.A.U. Se f un función rel de vrible rel, derivble y con derivd continu en todos los puntos y tl que: f ; f ; f ' ; f ' Se pide: Clculr g', sbiendo que g f f. g ' f ' f f ' f ' f g ' f ' f f ' f ' b Clculr f f. e f f e L ' Hôpitl f f ' f ' f f ' f ' 8 e.p.a.u. Dd l prábol y, se consider el triángulo Tr formdo por los ejes coordendos y l tngente l prábol en el punto de bscis r >. Hllr r pr que Tr teng áre mínim. y r r r y r r r r r Eje : y Puntos de corte Áre: Ar r r r r Eje y : y r y f r f ' r r A ' r Buscmos los etremos: A' r r r r r r r r r r r r r r Reescribiendo l derivd: A' r podemos nlizr fácilmente su signo y ver que es negtiv pr r menores que y positiv pr vlores myores. Por tnto eiste un mínimo de áre pr r.

34 .P.A.U. Se considern ls funciones f, g b. Clculr y b pr que ls gráfics de f y g sen tngentes en. Pr que sen tngentes, deben coincidir en ese punto y demás h de coindir su derivd pr que l f g b b pendiente se l mism pr mbs: f ' g ' f ' g ' b b Pr los vlores de y b clculdos en el prtdo nterior, dibujr ls gráfics de mbs funciones y hllr l ecución de l rect tngente común. L representción gráfic result muy sencill, y que mbs son prábols bierts hci rrib cóncvs, con coeficiente principl positivo. Bst buscr l posición del vértice como el etremo reltivo de cd un de ells: f ' f ' V f, g ' g ' V g, 7.P.A.U. Se P un polinomio de grdo tl que: i. P es un función pr. ii. Dos de sus ríces son,. iii. P. Hllr sus puntos de infleión. Si tiene ríces en y y es un función pr, entonces tmbién tiene ríces en y Por tnto, el polinomio h de ser P que, pr, es P Por tnto: P ' P P ' ' 8 Ptos. infleión: P ' ' P ' ' ' ± P ' ' ' ± b Dibujr su gráfic. Corte con ejes: Eje : Eje y : y Puntos notbles: P ' Mínimo locl P ' ' > Máimo locl P ' ' < Mínimo loclp ' ' > Crecimiento: P ' > Creciente,, P ' < Decreciente,, P ' ' > Cóncv,, Curvtur: P ' ' < Conve, 8.P.A.U. Ddos tres números reles culesquier r, r, r, hllr el número rel que minimiz l función D r r r. D ' r r r r r r r r r D ' ' > mínimo n si 9.P.A.U. 999 Se consider l función. m si Determinr m y n pr que se cumpl el teorem del vlor medio en intervlo [, ]. f Bst con logrr que l función se continu y derivble en : Continuidd :f f m 8m Derivbilidd : f ' n n f n n f ' n m n m b Hllr los puntos del intervlo cuy eistenci grntiz dicho teorem. f si < si f 8 f El Teorem del Vlor Medio firm que h de eistir l f f < : f ' 8dentrodel subdomino Buscmos en cd subdominio: :f ' ± mbos dentro del subdomino menos un punto c en el intervlo en el que se teng: f ' c

35 7.P.A.U. 999 Se consider un triángulo isósceles cuy bse ldo desigul mide cm y cuy ltur mide cm. En él se inscribe un rectángulo, cuy bse está situd sobre l bse del triángulo. Epresr el áre A de dicho rectángulo en función de l longitud de su bse. b Escribir el dominio de l función A y dibujr su gráfic. c Hllr el vlor máimo de dich función. Al inscribir el rectángulo se form en l prte superior un triángulo h semejnte l originl pr cuy ltur tenemos l proporción: Por tnto h L ltur del rectángulo será, por tnto cm El áre del rectángulo, por tnto : A A' El dominio viene de l restricción geométric sobre : Dom f [,] Pr l representción gráfic, vemos que A es un prábol : A Los puntos de corte se dn en y el rectńgulo tiene áre nul Buscmos etremos: A' es máimo, rectángulo de áre máim cm 7.P.A.U. 999 Dos vionets se encuentrn situds ls nueve de l mñn un distnci de km, en ls posiciones que se indicn en l figur. L vionet A se mueve hci el sur un velocidd de 7 km/h, mientrs que l vionet B se dirige hci el oeste en dirección hci A km/h. Escribir ls funciones que indicn ls posiciones de A y km B en cd instnte, sí como l distnci entre mbs. A b A qué hor será mínim dich distnci? Bt B At Tomndo como referenci l posición inicil del vionet A y suponiendo que los ejes coordendos OX, OY coinciden con ls direcciones de movimiento de B y A respectivmente, el punto en que se encuentr cd un, en función del tiempo t, será : At, 7t Bt t, distncis en km y los tiempos en hors. L distnci que les sepr será : d t AB t, 7t t 7t t 7 7 t 7 t t t 7 t 7 t t Se trt de un mínimo puesto que l función tiene un único etremo y sus límites en ± son. El momento de máim proimción se produce l cbo de un hor estrán unos km. Buscmos etremos: d ' t