SOLUCIONES DE CINEMÁTICA PROBLEMA 24 (pág. 42)

Transcripción

1 FÍSICA Y QUÍMICA DE º DE BACHILLERATO SOLUCIONES DE CINEMÁTICA PROBLEMA 4 (pá. 4) Un salador de loniud inicia el salo con una rapidez de 3 km/h y un ánulo con la horizonal de 38º. Suponiendo el rozamieno con el aire despreciable: a) Deerminar el valor de la marca conseuida A) INTERPRETACIÓN DEL ENUNCIADO v.v y v =s r =(,)m v =(v cos, v sen) a=(,) r =(A,) v A la visa del dibujo podemos ideniicar nuesra incónia: lo que preende lorar un salador de loniud es desplazarse lo máimo posible a lo laro de la horizonal, por lo que la marca reisrada coincide con el valor del máimo alcance A en nuesro caso. Las variables de las que disponemos, y que son las que van a condicionar la marca, son la rapidez v con la que inicia el salo (v =3 km/h), el ánulo con el que sala sobre la horizonal (=38º), y el valor de la aceleración de la ravedad en el luar en el que se produce el salo (=9,8m/s ). Así pues, lo que preendemos deerminar es una epresión para el alcance A en unción de las variables v, y. Es decir: A ( v,, ) B) EMISIÓN DE HIPÓTESIS Podemos emiir alunas hipóesis como las siuienes: Cuano mayor sea la rapidez v con la que sala, mayor deben ser las componenes horizonal y verical de la velocidad inicial (v y v y ), por lo que más iempo ardará en subir y bajar y durane más iempo, por ano, se desplazará a lo laro de la horizonal (y con mayor rapidez). Todo ello implica, deiniivamene, que mayor debe ser la marca reisrada A. En el caso eremo en el que la rapidez inicial sea nula (v =), la marca reisrada debe ser ambién nula (A=). Cuano mayor sea el ánulo con el que inicia el salo (sin que varíe la rapidez inicial v ), menor es la componene horizonal de la velocidad inicial (v ), por lo que menor desplazamieno horizonal cabe esperar. Sin embaro, a la vez que ocurre eso, ambién se

2 FÍSICA Y QUÍMICA DE º DE BACHILLERATO hace mayor la componene verical de la velocidad inicial (v y ), por lo que más iempo arda en subir y bajar y, por ano, mayor desplazamieno a lo laro de la horizonal cabe esperar. Así pues, no podemos predecir con precisión cómo va a depender deiniivamene la marca reisrada A con el ánulo. Lo que sí que podemos predecir con seuridad es que si ese ánulo uera de 9º, el alcance horizonal debería ser nulo (A=), ya que el movimieno del alea sería sólo de subida y bajada; esa realidad debe verse con claridad en la epresión que obenamos para A. Cuano mayor sea la aceleración de la ravedad, más rápidamene debe variar la componene verical de la velocidad, lo que se raduce en que menos iempo ardará el alea en subir y bajar; por ano, durane menos iempo se va a esar desplazando a lo laro de la horizonal y menor disancia horizonal A se desplazará. En el caso eremo de que no eisiese la ravedad (=), el alea describiría un movimieno recilíneo en la dirección del salo inicial y nunca reresaría a ierra, por lo que el alcance debería ser ininio. Todo eso lo podemos resumir con la siuiene epresión: v A A? A C) RESOLUCIÓN ANALÍTICA Tenemos que enconrar una epresión para A en unción de v, y. Para ello, lo primero que conviene hacer es ideniicar las epresiones vecoriales para las maniudes que caracerizan el movimieno del alea: Componene horizonal Componene verical a ( a, ay) a ay v ( v, v ) v v cos v ce y v v a ( ) y y y v v sen y r (, y) ( ) v v cos y y v y( ) ay( ) y vsen Las ecuaciones encuadradas son aquellas de las que podemos hacer uso, ya que nos relacionan variables conocidas con posibles incónias. En nuesro caso, la marca reisrada A coincide con la posición horizonal en el insane inal, de modo que: A v cos

3 FÍSICA Y QUÍMICA DE º DE BACHILLERATO Lo que no conocemos es, pero sí sabemos que en ese insane la posición verical y es precisamene cero, de modo que: vsen ( v sen ) vsen vsen La solución = correspode realmene al insane inicial = en el que, además de ser y=, resula ser =. Es, por ano, la ora solución la que nosoros andamos buscando. Inroduciendo esa epresión en la obenida para A: A v cos vsen v sen cos Av cos Sabemos por rionomería que esa epresión se puede simpliicar aún más, ya que sen= sen cos. Por ano: D) CONTRASTACIÓN DE LAS HIPÓTESIS v sen A Podemos comprobar con esa epresión que la dependencia de A con v y con coincide con lo que habíamos predicho en el aparado B): Cuano mayor sea v mayor será la marca reisrada A, de modo que si la rapidez inicial se hace el doble la marca se cuadruplica. De ahí la imporancia de que ese ipo de aleas sean capaces de desarrollar la mayor velocidad posible, de modo que suelen coincidir los campeones de velocidad ( meros lisos) con los campeones de salo de loniud. Además, en el caso eremo de que v =, podemos comprobar que realmene sale un valor para A=, al y como habíamos predicho. Cuano mayor sea el valor de menor será la marca reisrada, de modo que si el valor de se duplica la marca se reduce a la miad. Además, en el caso eremo de que no hubiese ravedad (=) la marca A se haría ininia, al y como habíamos predicho. En cuano a la dependencia de la marca con el valor del ánulo con el que se inicia el salo, eníamos dudas sobre cómo acabaría dependiendo, ya que vimos que eisían simuláneamene dos dependencias opuesas enre sí. Ahora ya podemos despejar dudas al respeco, ya que el resulado indica que la marca depende del valor de sen. Lá ráica de esa unción enre º y 9º se desaca al maren. En ella se puede observar que crece enre º y 45º, mienras que decrece sen º 45º 9º enre 45º y 9º. Por ano, la marca A crecerá y decrecerá de la misma manera, y podemos aseurar que el máimo valor se obendrá precisamene para un salo con una inclinación de 45º sobre la horizonal. Lo que ambién se observa claramene es que si el ánulo uera de 9º, la marca sería nula (A=) ya que sen8º=, al y como habíamos predicho.

4 FÍSICA Y QUÍMICA DE º DE BACHILLERATO E) OBTENCIÓN DE RESULTADOS Susiuyendo los valores de cada variable en la epresión obenida para la marca, y eniendo en cuena que 3 km/h = 8,89 m/s: v sen (8,89) sen( 38º) A 7,8 A 7,8m 9,8 Por ano, la marca reisrada sería de 7 m y 8 cm. Creo que el record mundial esá en 8 meros y pico. b) Cómo podría mejorar al máimo su marca si es incapaz de correr más rápido? La respuesa a esa preuna ya esá discuida al y como hemos resuelo el aparado anerior. Si es incapaz de correr más rápido, es decir, si no puede aumenar el valor de v, sólo le quedan dos posibilidades: bien aumenar la inclinación del salo hasa 45º ( no más!!), o bien irse a salar a un luar en el que el valor de la aceleración de la ravedad sea menor. Si llea a salar con una inclinación de 45º la marca conseuida habría sido de 8 m y 6 cm, por lo que la habría mejorado en 4 cm (siempre que omemos =9,8m/s ). Compruébalo ú mismo/a. Con respeco al valor de la ravedad, se podría analizar cómo podría inluir en la marca el luar del planea donde se realice la compeición, ya que la ravedad no vale lo mismo en odos los punos de la supericie de la Tierra. El valor de la ravedad en cada puno depende de la disancia que le separe del cenro de la Tierra, así que depende ano de su laiud como de su aliud (en realidad, depende más de la laiud que de la aliud). La ravedad se hace mayor conorme nos alejamos del Ecuador hacia los Polos (debido al achaamieno del planea), y se hace menor conorme ascendemos sobre el nivel del mar. Por ano, para poder comparar, podríamos escoer dos luares donde la ravedad ome valores casi eremos: en una ciudad de Ecuador a ran alura, como Quio, donde =9,765m/s, y en una ciudad nórdica cercana al Polo Nore y que esé a nivel del mar, como Nordkinn, donde =9,83m/s. Dónde sería mejor la marca? Cuáno variaría? Inluye eso siniicaivamene? Traa de responder ú a esas preunas.

5 FÍSICA Y QUÍMICA DE º DE BACHILLERATO c) Qué alura máima alcanzaría? No vamos a repeir odos los pasos deenidamene, sino sólo aquellos que sean necesarios y de una manera más resumida. Buscaremos una epresión para la alura máima (h=y ma ) en unción de los daos v, y. Las hipóesis se podrían resumir en el cuadro de la derecha, pero en esa ocasión raa de jusiicarlas ú mismo/a. Si v h Si h Si h RESOLUCIÓN ANALÍTICA: Para enconrar la epresión de h debemos ener en cuena dos cosas: por un lado que las ecuaciones que caracerizan el movimieno del alea siuen siendo las mismas: v cos y v sen vy vsen y por oro lado, que la condición de que se encuenre en la posición de alura máima es que, en ese mismo insane (llamémosle h ) la componene verical de la velocidad se hace nula (v yh =). Así pues: h vsen h h Para deerminar la epresión de h iualamos a cero la componene verical de la velocidad en ese insane, de modo que: vsen vsen h h Ahora susiuimos esa epresión en la anerior, de modo que: v sen v sen v sen v sen h vsen v sen h Se puede comprobar ácilmene que se cumplen las hipóesis aneriores, y se podrían analizar casos eremos, pero eso hazlo ú. OBTENCIÓN DE RESULTADOS: Tomando los valores v =8,89 m/s, =9,8 m/s y =38º, obenemos un valor para la alura máima de h=,53 m. Sin embaro, cambiando el valor de por 45º obenemos una alura máima de h=, m. Compruébalo ú mismo/a.