Sumas de divisores. Lola Thompson. 17 de Agosto de Oberlin College. Sumas de divisores. Lola Thompson. Introducción. Interlude.

Transcripción

1 Suma de diviore Thompon de Suma de diviore Thompon Oberlin College 17 de Agoto de / 74 Thompon Suma de diviore

2 La función (n) Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de de Definición Sea (n) la uma de diviore propio de n. Ejemplo: (p) = 1 para cada primo p Ejemplo: (12) = = 16 Podemo ecribir (n) = σ(n) n, donde σ(n) e la función de uma de diviore. 2 / 74 Thompon Suma de diviore

3 Número perfecto Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de de Pitágora obervó: (6) = = 6. 3 / 74 Definición n ea perfecto i (n) = n. Thompon Suma de diviore

4 Una fórmula para número perfecto pare Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de de Teorema (Euclide) Si 2 p 1 e primo, entonce 2 p 1 (2 p 1) e perfecto. Teorema (Euler) Todo número perfecto pare on dado por la fórmula de Euclide. 4 / 74 Thompon Suma de diviore

5 Y qué de lo número perfecto impare? Suma de diviore Thompon La heurítica de Pomerance: Número perfecto Número amigo Iteracione de de 5 / 74 Thompon Suma de diviore

6 Y qué de lo número perfecto impare? Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de La heurítica de Pomerance: Vea el reiduo (n) (mód n) como aleatorio. Si n e perfecto entonce (n) 0 (mód n). de 6 / 74 Thompon Suma de diviore

7 Y qué de lo número perfecto impare? Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de La heurítica de Pomerance: Vea el reiduo (n) (mód n) como aleatorio. Si n e perfecto entonce (n) 0 (mód n). Conocido dede Euler: un número perfecto impar n tiene que er de la forma pm 2 donde p e un primo y p σ(m 2 ) (= (m 2 ) + m 2 ). de 7 / 74 Thompon Suma de diviore

8 Y qué de lo número perfecto impare? Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de de La heurítica de Pomerance: Vea el reiduo (n) (mód n) como aleatorio. Si n e perfecto entonce (n) 0 (mód n). Conocido dede Euler: un número perfecto impar n tiene que er de la forma pm 2 donde p e un primo y p σ(m 2 ) (= (m 2 ) + m 2 ). Aí, para m dado, hay a lo ma O(log m) poibilidade para p. Depué de elegir uno de lo p, tendremo (pm 2 ) 0 (mód p), entonce hay, en el mejor de lo cao, una probabilidad de 1/m 2 que pm 2 ea perfecto. 8 / 74 Thompon Suma de diviore

9 Y qué de lo número perfecto impare? Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de de 9 / 74 La heurítica de Pomerance: Vea el reiduo (n) (mód n) como aleatorio. Si n e perfecto entonce (n) 0 (mód n). Conocido dede Euler: un número perfecto impar n tiene que er de la forma pm 2 donde p e un primo y p σ(m 2 ) (= (m 2 ) + m 2 ). Aí, para m dado, hay a lo ma O(log m) poibilidade para p. Depué de elegir uno de lo p, tendremo (pm 2 ) 0 (mód p), entonce hay, en el mejor de lo cao, una probabilidad de 1/m 2 que pm 2 ea perfecto. Como (log m)/m 2 converge, debería haber a lo ma un número finito de número perfecto impare. Ahora bien, abemo que no hay número perfecto impare pequeño; por lo tanto, e probable que no haya ninguno. Thompon Suma de diviore

10 Cuanto número perfecto hay? Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de Teorema (Hornfeck & Wiring, 1957) El número de número perfecto x e O(x ɛ ). de 10 / 74 Thompon Suma de diviore

11 Número amigo Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de de Definición Si (n) = m, (m) = n, y m n, entonce n y m forman un par amigable. Ejemplo (Pitágora): (220) = 284, (284) = / 74 Thompon Suma de diviore

12 Cuanto pare amigable on? Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de de Sea A(x) := #{n, m x : (n) = m y (m) = n} Erdő, 1955: A(x) = o(x) cuando x. Rieger, 1973: A(x) x/(log log log log x) 1/2, para x grande. Erdő & Rieger, 1975: A(x) = O(x/ log log log x). Pomerance, 1981: A(x) x/ exp((log x) 1/3 ), para x grande. Pomerance, 2014: A(x) x/ exp((log x) 1/2 ), para x grande. 12 / 74 Eto do último reultado implican (a travé de un imple argumento de cálculo) que la uma de recíproco de lo número amigo converge. Thompon Suma de diviore

13 Etimando la uma recı proca Suma de diviore Thompon Introduccio n Nu mero perfecto Nu mero amigo Iteracione de Uando la lita de nu mero amigo hata 1014, e puede motrar que la uma de recı proco A atiface de A > 0, Bayle & Klyve, 2011: A < 656, 000, 000 Nguyen, 2016: A < / 74 Thompon Suma de diviore

14 Iteracione de Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de de Podemo ver como un itema dinámico, mirando u iteracione: / 74 Una ecuencia de eta iteracione de e llama una uceión aĺıcuota. Thompon Suma de diviore

15 Reultado obre lo iteracióne de Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de de Conjetura Catalan-Dickon: Toda uceión aĺıcuota e acotada. Contra-Conjetura Guy-Selfridge: La mayoría de lo uceione aĺıcuota empezando dede un número par no on acotada. No e conocen uceione aĺıcuota ilimitada, pero el primer candidato empieza con / 74 Thompon Suma de diviore

16 Evidencia computacional Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de de Evidencia para Catalan-Dickon? Boma ha invetigado uceione aĺıcuota con número iniciale pare por debajo de Aproximadamente 1/3 de eto numero iniciale dan lugar a uceione aĺıcuota que aún no han terminado (calculando hata ). Evidencia para Guy-Selfridge? Boma y Kane encontraron que la media geométrica aintótica de lo cociente (2n)/2n etá ligeramente debajo de / 74 Thompon Suma de diviore

17 Suceióne aĺıcuota arbitrariamente larga Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de de Teorema (Lentra, 1975) Hay uceione aĺıcuota creciente arbitrariamente larga Teorema (Erdő, 1976) n < (n) < ((n)) < < k (n). Para cada k fijo, i n < (n), la ecuencia igue creciendo por lo iguiente k 1 pao ((n) < ((n)) < < k (n)) con probabilidad que tiende a / 74 Thompon Suma de diviore

18 Otro reultado obre uceióne aĺıcuota Suma de diviore Thompon Número perfecto Número amigo Iteracione de de Teorema (Pomerance, 2016) Aintóticamente, la media geométrica de lo cociente ((2n))/(2n) e lo mimo que para (2n)/2n. 18 / 74 Thompon Suma de diviore

19 Cita divertida Suma de diviore Thompon Cita divertida Pregunta motivadora de 19 / 74 Agutín (400 CE): Sei e un número perfecto de por í, y no porque Dio creó toda la coa en ei día; má bien, lo contrario e verdad. Dio creó toda la coa en ei día porque el número e perfecto. Thompon Suma de diviore

20 Cita divertida Suma de diviore Thompon Cita divertida Pregunta motivadora de Pitágora (Siglo VI BCE), obre la definición de amigo: Uno quien e el otro yo, como 220 y / 74 Thompon Suma de diviore

21 Cita divertida Suma de diviore Thompon Cita divertida Pregunta motivadora de Al-Majriti (Siglo X CE): He probado el efecto erótico... de dar a alguien el número má pequeño 220 a comer, y de comer yo mimo el número má grande / 74 Thompon Suma de diviore

22 Cita divertida Suma de diviore Thompon Un ejemplo moderno (de XKCD): Cita divertida Pregunta motivadora de En mi artículo, uo una extenión de la función divior obre lo entero Gauiano para generalizar lo llamado número amigo al plano complejo. Epere. E ete articulo implemente una larga preparación para un juego de palabra obre amigo imaginario? Puede que no lo ea. 22 / 74 Lo iento, etamo revocando tu licencia de matemático. Thompon Suma de diviore

23 Pregunta motivadora Suma de diviore Thompon Cita divertida Pregunta motivadora de Etudiar la comparación de (n) a n llevó a teorema de Schoenberg, Davenport, y Erdő-Wintner, y al nacimiento de la teoría de número probabiĺıtica. -Carl Pomerance En eta charla, no concentraremo en do pregunta particulare obre la función (n): 1 Cuale número on de la forma (n)? 2 Qué tan grande e el conjunto 1 ({n})? 23 / 74 Thompon Suma de diviore

24 Suma de diviore Thompon de Erdő fue el primero en coniderar la imagen de. 24 / 74 Thompon Suma de diviore

25 Entero impare en el imagen de Suma de diviore Thompon E fácil ver que cai todo lo número impare etán contenido en la imagen de : de 25 / 74 Thompon Suma de diviore

26 Entero impare en el imagen de Suma de diviore Thompon E fácil ver que cai todo lo número impare etán contenido en la imagen de : Si p, q on primo con p q, entonce (pq) = p + q + 1. de 26 / 74 Thompon Suma de diviore

27 Entero impare en el imagen de Suma de diviore Thompon de E fácil ver que cai todo lo número impare etán contenido en la imagen de : Si p, q on primo con p q, entonce (pq) = p + q + 1. La Conjetura Fuerte de Goldbach: Todo lo entero pare 8 on la uma de do primo deiguale. 27 / 74 Thompon Suma de diviore

28 Entero impare en el imagen de Suma de diviore Thompon de E fácil ver que cai todo lo número impare etán contenido en la imagen de : Si p, q on primo con p q, entonce (pq) = p + q + 1. La Conjetura Fuerte de Goldbach: Todo lo entero pare 8 on la uma de do primo deiguale. Eto ha ido probado para todo, excepto un conjunto excepcional con denidad aintótica 0! 28 / 74 Thompon Suma de diviore

29 Entero impare en el imagen de Suma de diviore Thompon de E fácil ver que cai todo lo número impare etán contenido en la imagen de : Si p, q on primo con p q, entonce (pq) = p + q + 1. La Conjetura Fuerte de Goldbach: Todo lo entero pare 8 on la uma de do primo deiguale. Eto ha ido probado para todo, excepto un conjunto excepcional con denidad aintótica 0! Aí que cai todo lo número impare 9 on valore de. 29 / 74 Thompon Suma de diviore

30 Entero impare en el imagen de Suma de diviore Thompon de Teorema (Pomerance, 2016) Para n x impar, n > 1, el número de m pq con (m) = n e O(x 3/4 log x). 30 / 74 Thompon Suma de diviore

31 Y qué de lo número pare? Suma de diviore Thompon de Teorema (Erdő, 1973) Una proporción poitiva de lo número pare no etán en la imagen de. 31 / 74 Teorema (Luca & Pomerance, 2014) Una proporción poitiva de lo número pare etán en la imagen de. Thompon Suma de diviore

32 Suma de diviore Thompon de La función puede enviar conjunto de denidad aintótica 0 a conjunto con denidad aintótica poitiva. Ejemplo Si A = {pq : p, q primo} entonce A tiene denidad aintótica 0 pero (A) tiene denidad aintótica 1/2. Ejemplo Erdő contruyó conjunto A de denidad poitiva tal que 1 (A) no ólo tiene denidad 0 i no que e, en realidad, vacío. 32 / 74 Thompon Suma de diviore

33 Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má de Que e puede decir obre 1 (A) cuando A tiene denidad aintótica 0? 33 / 74 Thompon Suma de diviore

34 Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Conjetura (Erdő, Granville, Pomerance, Spiro, 1990) Sea A un conjunto con denidad aintótica 0. Entonce 1 (A) también tiene denidad aintótica / 74 Thompon Suma de diviore

35 Conecuencia de Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má 35 / 74 Alguna conecuencia de (i e verdad): 1 Para cada entero poitivo fijo k, excepto por un conjunto de n con denidad 0, i (n) < n entonce n > (n) > ((n)) > > k (n) donde j e la iteración jéima de. 2 Para cada entero k 2, hay un conjunto A k de denidad aintótica 1 tal que 1 log( k (n)/ k 1(n)) β, x n x n A k cuando x, donde β viene de un teorema de Boma y Kane: 1 x n x log((2n)/2n) β cuando x. Thompon Suma de diviore

36 Special cae of Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Alguno cao epeciale de han ido probado: (Pollack, 2014) Si A e el conjunto de primo, entonce ( ) x # 1 (A) = O. log x 36 / 74 Thompon Suma de diviore

37 Special cae of Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Alguno cao epeciale de han ido probado: (Pollack, 2014) Si A e el conjunto de primo, entonce ( ) x # 1 (A) = O. log x (Troupe, 2015) Si A ɛ = {m : ω(m) log log m > ɛ log log m} entonce 1 (A ɛ ) tiene denidad / 74 Thompon Suma de diviore

38 Special cae of Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Alguno cao epeciale de han ido probado: (Pollack, 2014) Si A e el conjunto de primo, entonce ( ) x # 1 (A) = O. log x (Troupe, 2015) Si A ɛ = {m : ω(m) log log m > ɛ log log m} entonce 1 (A ɛ ) tiene denidad 0. (Pollack, 2015) Si A e el conjunto de paĺındromo en cualquier bae dada, entonce 1 (A) tiene denidad / 74 Thompon Suma de diviore

39 Progreo parcial Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Teorema (Pollack, Pomerance, T., 2018) Sea ɛ 0 cuando x. Supongamo que A e un conjunto de a lo ma x 1/2+ɛ entero poitivo. Entonce, cuando x, #{n x : (n) A} = o ɛ (x) 39 / 74 uniformamente en A. Thompon Suma de diviore

40 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Podemo uponer que ɛ 1/ log log x. Sea A un conjunto de a lo ma x 1/2+ɛ entero. Cuando contamo lo n x con (n) A, podemo decartar inmediatamente lo n inconveniente, incluyendo: n x 1/2 n in factore primo log x n cuya parte llena de cuadrado ( p 2 n pvp(n) ) e > x 2ɛ n con mcd(n, σ(n)) > log x n con algún divior entre x 1/2 10ɛ y x 1/2+10ɛ 40 / 74 (Bajo cada una de eta condicione, no dehacemo de o(x) entero.) Thompon Suma de diviore

41 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Etrategia de la prueba: 1 Motramo que para cada a A, el número de n x retante con (n) = a e x 1/2 ɛ. 2 Para #A x 1/2+ɛ, eta cota puntual del número de preimagene e uficiente para completar la prueba que #{n x : (n) A} = o(x). 41 / 74 Thompon Suma de diviore

42 De donde viene eta cota puntual? Suma de diviore Thompon Ecribimo n = de donde d e el divior de n má grande que no excede x. Notamo que e > 1. de Progreo parcial má 42 / 74 Thompon Suma de diviore

43 De donde viene eta cota puntual? Suma de diviore Thompon Ecribimo n = de donde d e el divior de n má grande que no excede x. Notamo que e > 1. Vamo a acotar el número de poibilidade para e, para un d dado, y luego umaremo obre d. de Progreo parcial má 43 / 74 Thompon Suma de diviore

44 De donde viene eta cota puntual? Suma de diviore Thompon Ecribimo n = de donde d e el divior de n má grande que no excede x. Notamo que e > 1. Vamo a acotar el número de poibilidade para e, para un d dado, y luego umaremo obre d. Nuetra upoicione obre n implican que de Progreo parcial má pero también que d < x 1/2 10ɛ dp (e) > x 1/2+10ɛ. 44 / 74 Thompon Suma de diviore

45 De donde viene eta cota puntual? Suma de diviore Thompon Ecribimo n = de donde d e el divior de n má grande que no excede x. Notamo que e > 1. Vamo a acotar el número de poibilidade para e, para un d dado, y luego umaremo obre d. Nuetra upoicione obre n implican que de Progreo parcial má pero también que d < x 1/2 10ɛ dp (e) > x 1/2+10ɛ. 45 / 74 De eta deigualdade, podemo deducir (uando el hecho que la parte llena de cuadrado de n e pequeña) que mcd(d, e) = 1. Thompon Suma de diviore

46 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon Ahora conideremo la ecuación (de) = a. de Progreo parcial má 46 / 74 Thompon Suma de diviore

47 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Ahora conideremo la ecuación (de) = a. Uando la definición de y la multiplicatividad de σ, una manipulación algebraica muy imple no da que σ(d)(e) + (d)e = a. 47 / 74 Thompon Suma de diviore

48 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Ahora conideremo la ecuación (de) = a. Uando la definición de y la multiplicatividad de σ, una manipulación algebraica muy imple no da que σ(d)(e) + (d)e = a. Entonce, e uficiente acotar el número de poibilidade para (e), dado d, porque d y (e) determinan e, y por lo tanto determinan n = de. 48 / 74 Thompon Suma de diviore

49 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Ahora conideremo la ecuación (de) = a. Uando la definición de y la multiplicatividad de σ, una manipulación algebraica muy imple no da que σ(d)(e) + (d)e = a. Entonce, e uficiente acotar el número de poibilidade para (e), dado d, porque d y (e) determinan e, y por lo tanto determinan n = de. Ademá, eta ecuación no dice que σ(d)(e) a (mód (d)). 49 / 74 Thompon Suma de diviore

50 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má 50 / 74 Ahora conideremo la ecuación (de) = a. Uando la definición de y la multiplicatividad de σ, una manipulación algebraica muy imple no da que σ(d)(e) + (d)e = a. Entonce, e uficiente acotar el número de poibilidade para (e), dado d, porque d y (e) determinan e, y por lo tanto determinan n = de. Ademá, eta ecuación no dice que σ(d)(e) a (mód (d)). Dado d, eto pone (e) en una clae de reiduo determinada de manera única módulo (d)/mcd((d), σ(d)). Thompon Suma de diviore

51 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Donde etamo? Dado d, queremo contar el número de poibilidade para (e). Sabemo que (e) etá en una clae de reiduo determinada de manera única módulo (d)/mcd((d), σ(d)). Queremo una cota uperior en (e). Una cota inferior e fácil: (e) e/p (e). La cota inferior no e tan útil, pero no e difícil motrar que no etá muy lejo de la verdad: (e) log x e P (e). 51 / 74 Thompon Suma de diviore

52 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon Recordamo: (e) log x e P (e). de Progreo parcial má Por de = n x, tenemo e x/d, y aí (e) log x x dp (e). Recordamo que dp (e) x 1/2+10ɛ. Entonce (e) log x x 1/2 10ɛ. 52 / 74 Thompon Suma de diviore

53 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má 53 / 74 Recapitulación: (e) etá en una clae de reiduo determinada de manera única módulo (d)/mcd((d), σ(d)) y (e) log x x 1/2 10ɛ. El número de poibilidade para (e), dado d, entonce e log x x 1/2 10ɛ mcd((d), σ(d)) + 1. (d) Tenemo (d) d/p (d) d/ log x. También, mcd((d), σ(d)) = mcd(d, σ(d)), y eto divide a mcd(n, σ(n)). Por lo tanto, mcd((d), σ(d)) log x. Entonce nuetra cota uperior e (log x) 3 x 1/2 10ɛ /d + 1. Sumando para d x 1/2 10ɛ, obtenemo la cota uperior que deeamo. Thompon Suma de diviore

54 Conecuencia Suma de diviore Thompon Conecuencia inmediata de nuetro reultado: de Progreo parcial má 54 / 74 Thompon Suma de diviore

55 Conecuencia Suma de diviore Thompon Conecuencia inmediata de nuetro reultado: de Progreo parcial má Si A e el conjunto de paĺındromo en cualquier bae dada, entonce 1 (A) tiene denidad / 74 Thompon Suma de diviore

56 Conecuencia Suma de diviore Thompon Conecuencia inmediata de nuetro reultado: de Progreo parcial má Si A e el conjunto de paĺındromo en cualquier bae dada, entonce 1 (A) tiene denidad 0. Si A e el conjunto de cuadrado, entonce 1 (A) tiene denidad / 74 Thompon Suma de diviore

57 Refutando una conjetura má fuerte Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má indican que u conjetura ería una conecuencia de la iguiente afirmación. Conjetura (Erdő, Granville, Pomerance, Spiro, 1990) Para cada entero poitivo θ exite una contante C θ tal que para cada entero poitivo m exiten a lo má C θ número n θm con (n) = m. 57 / 74 Thompon Suma de diviore

58 Boquejo de prueba Suma de diviore Thompon Refutamo la conjetura má fuerte, motrando que hay entero m con un número arbitrariamente grande de preimágene de la forma 2pq. de Progreo parcial má 58 / 74 Thompon Suma de diviore

59 Boquejo de prueba Suma de diviore Thompon Refutamo la conjetura má fuerte, motrando que hay entero m con un número arbitrariamente grande de preimágene de la forma 2pq. Obervamo que (2pq) = (p + 3)(q + 3) 6. de Progreo parcial má 59 / 74 Thompon Suma de diviore

60 Boquejo de prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Refutamo la conjetura má fuerte, motrando que hay entero m con un número arbitrariamente grande de preimágene de la forma 2pq. Obervamo que (2pq) = (p + 3)(q + 3) 6. Por una contrucción de Erdő/Prachar, hay un número infinito de entero con un número arbitrariamente grande de repreentacione de eta forma. 60 / 74 Thompon Suma de diviore

61 Boquejo de prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Refutamo la conjetura má fuerte, motrando que hay entero m con un número arbitrariamente grande de preimágene de la forma 2pq. Obervamo que (2pq) = (p + 3)(q + 3) 6. Por una contrucción de Erdő/Prachar, hay un número infinito de entero con un número arbitrariamente grande de repreentacione de eta forma. Nota: m = (2pq) pq, por lo que cada preimagen 2pq de m e 2m. 61 / 74 Thompon Suma de diviore

62 Boquejo de prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Refutamo la conjetura má fuerte, motrando que hay entero m con un número arbitrariamente grande de preimágene de la forma 2pq. Obervamo que (2pq) = (p + 3)(q + 3) 6. Por una contrucción de Erdő/Prachar, hay un número infinito de entero con un número arbitrariamente grande de repreentacione de eta forma. Nota: m = (2pq) pq, por lo que cada preimagen 2pq de m e 2m. 62 / 74 Aí, la conjetura fuerte falla para θ = 2. Thompon Suma de diviore

63 Refutando una conjetura má fuerte Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Uando una elaboración obre eto método, motramo: Teorema (Pollack, Pomerance, T., 2018) Exite una contante c > 0 tal que lo iguiente e cierto. Sean α y ɛ número reale poitivo. Hay un número infinito de m con por lo meno exp(c log m/ log log m) -preimagene en el intervalo (α(1 ɛ)m, α(1 + ɛ)m). 63 / 74 Thompon Suma de diviore

64 Lema Clave Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Uamo la iguente generalización de Erdő-Prachar: Lema (Pollack, Pomerance, T., 2018) Hay una contante aboluta poitiva c tal que, para a, b Z cualequiera con a 0 y b > 0, hay un número infinito de entero k con má que exp(c log k/ log log k) repreentacione de la forma (bp + a)(bq + a) con p, q primo. 64 / 74 Thompon Suma de diviore

65 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon Sea 0 < ɛ < 1. E concido que lo valore de (n)/n on deno en (0, ). de Progreo parcial má 65 / 74 Thompon Suma de diviore

66 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon Sea 0 < ɛ < 1. E concido que lo valore de (n)/n on deno en (0, ). Por lo tanto, podemo fijar n 0 > 1 con (n 0 )/n 0 (α ( ) ( ɛ, α )) 2 ɛ. de Progreo parcial má 66 / 74 Thompon Suma de diviore

67 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Sea 0 < ɛ < 1. E concido que lo valore de (n)/n on deno en (0, ). Por lo tanto, podemo fijar n 0 > 1 con (n 0 )/n 0 (α ( ) ( ɛ, α )) 2 ɛ. Ecribimo n = n 0 pq, donde p, q on primo ditinto que no dividen a n / 74 Thompon Suma de diviore

68 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má 68 / 74 Sea 0 < ɛ < 1. E concido que lo valore de (n)/n on deno en (0, ). Por lo tanto, podemo fijar n 0 > 1 con (n 0 )/n 0 (α ( ) ( ɛ, α )) 2 ɛ. Ecribimo n = n 0 pq, donde p, q on primo ditinto que no dividen a n 0. Entonce aí que (n 0 pq) = σ(n 0 )(p + 1)(q + 1) n 0 pq = (n 0 )pq + σ(n 0 )(p + q + 1), (n 0 )(n 0 pq) = ((n 0 )p + σ(n 0 ))((n 0 )q + σ(n 0 )) + (n 0 )σ(n 0 ) σ(n 0 ) 2. Thompon Suma de diviore

69 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon Por el lema clave, hay un número infinito de k Z con má de exp(c log k/ log log k) repreentacione de la forma con p, q ditinto. k = ((n 0 )p + σ(n 0 ))((n 0 )q + σ(n 0 )) de Progreo parcial má 69 / 74 Thompon Suma de diviore

70 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Por el lema clave, hay un número infinito de k Z con má de exp(c log k/ log log k) repreentacione de la forma con p, q ditinto. Definimo k = ((n 0 )p + σ(n 0 ))((n 0 )q + σ(n 0 )) m = k + (n 0)σ(n 0 ) σ(n 0 ) 2. (n 0 ) 70 / 74 Thompon Suma de diviore

71 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Por el lema clave, hay un número infinito de k Z con má de exp(c log k/ log log k) repreentacione de la forma con p, q ditinto. Definimo k = ((n 0 )p + σ(n 0 ))((n 0 )q + σ(n 0 )) m = k + (n 0)σ(n 0 ) σ(n 0 ) 2. (n 0 ) Entonce m < k y m tiene por lo meno exp(c log m/ log log m) repreentacione en la forma (n 0 pq). 71 / 74 Thompon Suma de diviore

72 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Por el lema clave, hay un número infinito de k Z con má de exp(c log k/ log log k) repreentacione de la forma con p, q ditinto. Definimo k = ((n 0 )p + σ(n 0 ))((n 0 )q + σ(n 0 )) m = k + (n 0)σ(n 0 ) σ(n 0 ) 2. (n 0 ) Entonce m < k y m tiene por lo meno exp(c log m/ log log m) repreentacione en la forma (n 0 pq). E fácil motrar que (1 ɛ)αm < n 0 pq < (1 + ɛ)αm). 72 / 74 Thompon Suma de diviore

73 Boquejo de la prueba Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Por el lema clave, hay un número infinito de k Z con má de exp(c log k/ log log k) repreentacione de la forma con p, q ditinto. Definimo k = ((n 0 )p + σ(n 0 ))((n 0 )q + σ(n 0 )) m = k + (n 0)σ(n 0 ) σ(n 0 ) 2. (n 0 ) Entonce m < k y m tiene por lo meno exp(c log m/ log log m) repreentacione en la forma (n 0 pq). E fácil motrar que (1 ɛ)αm < n 0 pq < (1 + ɛ)αm). 73 / 74 Aí, m tiene por lo meno exp(c log m/ log log m) preimágene n = n 0 pq en ((1 ɛ)αm, (1 + ɛ)αm). Thompon Suma de diviore

74 Suma de diviore Thompon de Progreo parcial má Gracia! 74 / 74 Thompon Suma de diviore