Ayudantía 19. Circuitos RC 17 de Mayo de 2018 Ayudante: Matías Henríquez -

Transcripción

1 Pontifici Universidd tólic de hile Fcultd de Físic FIS Electricidd y Mgnetismo // Profesor: Giuseppe De Nittis - gidenittis@uc.cl Ayudntí 19 ircuitos R 17 de Myo de 2018 Ayudnte: Mtís Henríquez - mjhenriquez@uc.cl 1. Fórmuls y constntes 1.1. Leyes de Kirchhoff Ls leyes de Kirchhoff son muy importntes en el áre de ingenierí eléctric y que permiten resolver y nlizr circuitos. Existen dos leyes, ests son: Kirchhoff oltge Lw (KL): est ley estlece que l sum de voltjes en cd mll de un circuito es cero. Kirchhoff urrent Lw (KL): est ley estlece que el flujo neto de corriente en un nodo es 0, es decir, tod l corriente que entr un nodo, es l mism corriente que sle. Al plicr ls leyes de Kirchhoff en relidd no import el sentido de l corriente o signos de los voltjes en l medid en que uno se consistente con los cálculos. Recordr que: Si l corriente sle del terminl positivo y entr por el negtivo en un componente, este componente entreg energí. Por ejemplo: un fuente de voltje (esto no quiere decir que tod fuente de voltje entreg energí). Si l corriente entr por el terminl positivo y sle por el negtivo en un componente, este componente consume energí. Por ejemplo: un resistor. Todo resistor consume energí, y que por Ley de Ohm, el voltje tiene el mismo signo de l corriente. Reclcr que l usr KL, uno delierdmente puede fijr el sentido de l corriente en l mll. Lo importnte es que uno se consistente con los signos según lo explicdo nteriormente. Tmién l usr KL, d lo mismo los sentidos de l corriente entrndo o sliendo de un nodo, perfectmente tods ls corrientes pueden estr entrndo o sliendo del nodo, lo importnte es ser consistente. 1

2 1.2. rg y descrg de un cpcitor Antes de nlizr l crg y descrg de un cpcitor, es necesrio entender el comportmiento de los cpcitores en los circuitos. L ecución que oedece un cpcitor está dd por: Q (t) = (t) (1.1) en donde Q (t) es l crg instntáne en el cpcitor de cpcitnci en el tiempo t y (t) es l diferenci de potencil que se encuentr el cpcitor en el instnte t. Si dividimos mos ldos de l ecución por t (considerndo un intervlo de tiempo stnte pequeño) y tomndo el límite cundo t 0 se otiene: i (t) = (t) (1.2) en donde i c (t) es l corriente instntáne en el cpcitor y c (t) es el voltje instntáneo trvés del cpcitor. emos que l corriente en el cpcitor es proporcionl l derivd del voltje en el cpcitor. Esto quiere decir, cundo un cpcitor se encuentr crgdo un voltje constnte D (D viene de Direct urrent), entonces no circul corriente por el y que l derivd de un constnte es 0. Sin emrgo un cpcitor por si solo no prece crgdo un voltje constnte como por rte de mgi. emos el siguiente circuito: S 1 v (t) Supongmos que el interruptor S 1 está ierto y que el cpcitor está inicilmente descrgdo, es decir, Q (0 ) = 0 [], esto implic que v (0 ) = 0 [ ] según l ecución (1.1), es decir, l diferenci de potencil en el cpcitor es nul, lo que implic que se ve como un circuito cerrdo o cortocircuito. Supongmos que justo en t = 0 el interruptor S 1 se cierr, entonces el circuito equivlente justo en t = 0 es: v (0 ) vemos que el nodo v (t) se conect directmente l fuente de voltje, es decir v (0 ) =. Sin emrgo el cpcitor se ve como un cortocircuito en t = 0, es decir, su resistenci o impednci equivlente es 0. Por ley de Ohm, l corriente que circul por el circuito en t = 0 está dd por: 2

3 i (0 ) = 0 (1.3) es decir, literlmente un cortocircuito entre y tierr. Esto tmién se puede demostrr mtemáticmente, y que l cerrr el switch S 1 en t = 0 el voltje en el cpcitor cmi drásticmente desde 0 hst (est función, mtemáticmente, se conoce como esclón o step function en inglés). Ddo que l corriente es proporcionl l derivd del voltje, como el voltje cmi tn ruptmente, entonces l corriente es prácticmente infinit (unque en relidd limitd l cntidd de potenci máxim que puede entregr l fuente de voltje, sin emrgo, esto no es de nuestr incumenci por hor). De hecho l derivd de l función esclón, es l función impulso o δ(t) l cul tiene mplitud infinit y dur solmente un instnte. Un vez que circul corriente por el cpcitor, este empiez crgrse y que empiez precer crg en sus terminles. Dd que est corriente es prácticmente infinit, entonces el cpcitor se crg prácticmente de mner instntáne. Esto es consistente con l definición de función esclón dd nteriormente. Pr evitr este pek de corriente gignte y no quemr componentes o sufrir dños por quemdurs o explosiones, se utiliz un resistenci pr poder limitr est corriente inicil y evitr este slto de voltje que hce que su derivd se infinit. El circuito es el siguiente: R S 1 v (t) Supongmos que interruptor S 1 llev mucho tiempo ierto y se encuentr descrgdo, es decir, v (0 ) = 0. Ahor el interruptor se cierr en t = 0. uánto vle l corriente inicil por el cpcitor y cuánto vle l corriente y voltje finl en el cpcitor un vez que h psdo mucho tiempo con el interruptor cerrdo? Pr poder responder est pregunt vmos plicr lo prendido recién. Ddo que el cpcitor se encuentr completmente descrgdo en t = 0, entonces en t = 0 se ve como un cortocircuito o circuito cerrdo, v (0 ) = 0, es decir: R v (0 ) entonces l corriente inicil por el cpcitor está dd por: i (0 ) = R (1.4) 3

4 vemos que l resistenci R pudo limitr l corriente inicil y evitr un corriente infinit. Un vez que empiez circulr corriente en el cpcitor, este se empiez crgr y por lo tnto su voltje empiez suir, según l ecución (1.1). A medid que el voltje v (t) sue, entonces l corriente disminuye y que l corriente en el circuito está dd por: i (t) = v (t) R (1.5) undo y h psdo mucho tiempo con el switch S 1 cerrdo, much crg h sido trnsferid l cpcitor hst que y no circule corriente en el circuito, es decir: lím i (t) = 0 (1.6) t esto implic que lím t v (t) = según l ecución (1.5). Ahor usquemos el voltje y corriente instntáne en el cpcitor pr todo t. Justo en t = 0 el switch S 1 se cierr. mos utilizr KL (método de mlls) y definimos l corriente de l mll en sentido horrio. Notemos que l corriente de l mll es l corriente que ps tnto por l resistenci como por el cpcitor, i (t). Utilizndo KL se tiene: v R (t) v (t) = 0 (1.7) en donde es el voltje de l fuente constnte, v R (t) el voltje instntáneo de l resistenci R y v (t) es el voltje instntáneo en el cpcitor. Notemos que el signo negtivo de l ecución nterior denot un componente que entreg energí o potenci y el signo positivo indic quienes consumen energí o potenci. El voltje en l resistenci está ddo por v R (t) = i (t)r por Ley de Ohm, utlizndo l ecución (1.2) entonces l ecución de mll (1.7) qued: v R (t) v (t) = i (t)r v (t) = R d dt v (t) v (t) = d dt v (t) v (t) R = R (1.8) Ahor deemos resolver l ecución (1.8) diferencil de primer orden. L solución generl está ddo por l superoposición de ls soluciones homogénes y prticulr, sí que deemos recordr EDO. Primero, resolvemos l ecución homogéne: 4

5 d dt v (t) v (t) R = 0 dv (t) v (t) = dt R ln(v (t)) = t R α, v (t) = e t R v h (t) = Ke t R, (integrmos mos ldos) e α }{{} =K α R K R En donde l constnte K depende de ls condiciones iniciles. Ahor encontrmos l solución prticulr. Ddo que l prte derech o no homogéne de l ecución (1.8) es constnte, entonces sumimos que l solución prticulr v p (t) = A es constnte (método de los niquildores visto en EDO). Introduciendo est solución prticulr en l EDO (1.8) se tiene: Por lo tnto l solución generl está dd por: d dt A A R = R A = v (t) = v h (t) v p (t) v (t) = Ke t R (1.9) Ahor plicmos ls condiciones iniciles. Ddo que v (0) = 0 se otiene que K =, por lo tnto: v (t) = ( ) 1 e t R (1.10) L ecución de crg generl pr un cpcitor en conjunto con un resistenci equivlente R, es decir, un circuito R conectdo un fuente de voltje D de vlor, el voltje en el cpcitor está ddo por: v (t) = (v (0) )e t R (1.11) en donde v (0) es el voltje inicil en el cpcitor. Pr nuestro cso nterior v (0) = 0, y sí otenemos l ecución (1.10). 5

6 A l constnte τ = R l llmremos constnte de tiempo del circuito R, e indic que tn rápido se crg (o descrg como veremos después) el cpcitor. Notemos que pr un cortocircuito R = 0, l constnte de tiempo es 0, entonces el cpcitor se crg instntánemente. Notemos que cundo ps un sol constnte de tiempo t = τ = R, el circuito se h crgdo l 63 % proximdmente (1 e ). L form de ond del voltje pr condición inicil nul lo vemos en l siguiente figur: Figur 1: rg de un cpcitor l corriente en el cpcitor viene dd por l ecución (1.2): i (t) = ( v (0) R ) e t R (1.12) Figur 2: rg de un cpcitor: form de ond del voltje y corriente en este 6

7 Ahor vemos l descrg de un cpcitor. onsidere el siguiente circuito: S 1 v (0 ) R y supong que el cpcitor se encuentr crgdo inicilmente un diferenci de potencil v (0 ) = y el interruptor S 1 h estdo ierto por mucho tiempo y en t = 0este se cierr. Un vez que se cierr el interruptor S 1 empiezn fluir crgs por R (el cpcitor crgdo le entreg energí l resistenci) y por ende un corriente. A medid que el cpcitor entreg crg, el voltje en sus ornes v disminuyendo ( diferenci de un fuente de voltje, y que ls crgs que dn l vuelt complet en el circuito, l llegr l fuente de voltje son energizds nuevmente, en cmio el cpcitor no y que ctú como un terí con cpcidd limitd). Si el voltje en sus ornes v disminuyendo, tmién lo hce l corriente en mgnitud. Pr resolver el circuito utilizremos KL signndo l corriente de l mll i (t) en sentido horrio. Por lo tnto: v (t) = i (t)r v (t) = R d dt v (t) (1.13) el signo negtivo es porque el voltje v disminuyendo y l corriente en el cpcitor es proporcionl l derivd de est (recordr que se consideró en sentido horrio). Por lo tnto l ecución diferencil que deemos resolver es l siguiente: d dt v (t) v (t) R = 0 (1.14) l solución de est ecución diferencil y l clculmos nteriormente, y está dd por: v (t) = Ke t R (1.15) en donde K es un constnte rel que depende de l condición inicil. Ddo que v (0) = entonces K = y se tiene: v (t) = e t R (1.16) y l corriente por definición: 7

8 i (t) = R e t R (1.17) y el signo negtivo es consistente y que l corriente v en sentido horrio Equivlente Thévenin y Norton (Opcionl - Avnzdo) Un circuito puede ser representdo trvés de un función que relcion un señl de slid con un señl de entrd, es decir: x out = f(x in ) (1.18) en donde x in es l señl de entrd y x out es l señl de slid. Se l entrd x 1 que entreg un slid y 1 = f(x 1 ) y otr entrd x 2 que entreg un slid y 2 = f(x 2 ). Sen ls constntes reles α y β, entonces se dice que un circuito es linel cundo se cumple que: f(αx 1 βx 2 ) = αf(x 1 ) βf(x 2 ) = αy 1 βy 2 (1.19) Existen circuitos en l relidd que son lineles como tmién circuitos no lineles los cules son linerizdos en un punto de operción. Todo circuito linel tiene un representción equivlente Thévenin o Norton vist desde un puerto: Equivlente Thévenin: R th Liner KT th en donde el voltje Thévenin th corresponde l voltje visto desde el puerto con el puerto ierto, es decir th = y l resistenci equivlente de Thévenin que corresponde l resistenci equivlente vist desde el puerto, lo cul y semos clculr. Equivlente Norton: Liner KT I sc R norton 8

9 en donde l corriente de corto circuito (short circuit current) se clcul cortocircuitndo el puerto y midiendo l corriente de cortocircuito. L resistenci equivlente Norton es l mism resistenci equivlente Thévenin. Notemos que: R norton = R th (1.20) th = I sc R th (1.21) Pr clculr l resistenci equivlente vist desde el puerto es necesrio pgr tods ls fuentes independientes del circuito linel. Ls fuentes de voltje se pgn cortocircuitándols: Ls fuentes de corriente se pgn dejándols en circuito ierto: I Reducir un circuito linel su equivlente Thévenin result muy conveniente pr circuitos de primer orden y que sí podemos utilizr directmente l ecución (1.11) sin tener que utilizr Kirchhoff y resolver l EDO. emos el siguiente ejemplo, considere el siguiente circuito: R 1 S 1 v (t) Supong que el interruptor S 1 llev ierto mucho tiempo y que el cpcitor está descrgdo. El interruptor se cierr en t = 0, en este instnte el circuito equivlente es: 9

10 R 1 v (t) emos el circuito equivlente Thévenin visto desde el puerto : R 1 Tenemos que el voltje de thévenin th está ddo por: th = = R 1 (1.22) y hor pgmos l fuente de voltje como un cortocircuito y vemos que l resistenci equivlente vist desde el puerto es: R th = R 1 = R 1 R 1 (1.23) Por lo tnto podemos simplicr el circuito su circuito equivlente de primer orden: R 1 R 1 v (t) R 1 Utilizndo l ecución (1.11) y recordndo l condición inicil v (0) = 0 se otiene: v (t) = ( ) 1 e t(r 1 ) R 1 R 1 (1.24) 10

11 2. Prolems Prolem 1 onsidere el circuito de l siguiente figur: S 1 R 3 R 1 el interruptor S 1 h estdo cerrdo por un período de tiempo muy lrgo. () uál es l corriente en cd resistenci? Respuest: Ddo que el interruptor S 1 h estdo cerrdo por mucho tiempo, el cpcitor se encuentr completmente crgdo, lo que implic que no circul corriente por el, y por ende tmpoco circul corriente por R 3. Por lo tnto el circuito equivlente pr t < 0 es: R 1 Notemos que está en prlelo con serie R 3. Ddo que no circul corriente por l rm serie R 3 l cíd de potencil en R 3 es 0, lo que implic que el voltje en el cpcitor es el mismo voltje que en, es decir, v (0 ) = v R2 (0 ). Este voltje está ddo por: v (0 ) = v R2 (0 ) = luego ls corrientes por y R 1 están dds por: R 1 I R1 (0 ) = I R2 (0 ) = v (0 ) = R 1 11

12 () uál es l crg en el condensdor? Respuest: L crg en el condensdor es: Q(0 ) = v (0 ) = R 1 (c) En t = 0 se re el interruptor S 1. Encuentre l corriente que ps por l resistenci en función del tiempo. Respuest: El circuito equivlente cundo se re el interruptor en t = 0 es el siguiente: v (t) R 3 Pr resolver el circuito utilizremos KL y supondremos que l corriente i (t) de l mll v en sentido ntihorrio, entonces por KL: v (t) = v R2 (t) v R3 (t) d dt v v (t) (t) ( R 3 ) = 0 resolviendo l ecución diferencil se otiene: = ( R 3 )i (t) = ( R 3 ) d dt v (t) v (t) = Ke t ( R 3 ) en donde K es un constnte rel que depende de l condición inicil. Utilizndo l condición inicil: 12

13 v (0 ) = v (0 ) = K = Por lo tnto el voltje en el cpcitor está ddo por: R 1 v (t) = R 1 e t ( R 3 ) Notr que est ecución se pudo her otenido directmente de l ecución (1.16) y que l resistenci equivlente vist desde el puerto donde está el cpcitor (cundo el interruptor S 1 está ierto) es simplemente R 3, y el voltje inicil del cpcitor lo encontrmos nteriormente. Ahor clculemos l corriente en el cpcitor: i (t) = d dt v (t) = (R 1 )( R 3 ) e t ( R 3 ) por definición est es l corriente que ps trvés del cpcitor (en sentido de terminl positivo l negtivo, como si fuer un elemento que consume energí). Luego: i R2 (t) = i (t) = (R 1 )( R 3 ) e t ( R 3 ) (d) uánto tiempo dee psr pr que l crg en disminuy hst 4/5 del vlor en t = 0? Respuest: L crg en el cpcitor está ddo por: q(t) = v (t) = R 1 e t ( R 3 ) uscmos t 0 tl que: e t 0 ( R 3 ) = 4 5 t 0 = ( R 3 ) ln ( )

14 Prolem 2 Se tienen dos condensdores 1 y 2 con crgs iniciles Q 1 (0) = Q y Q 2 (0) = 0 respectivmente. Los condensdores están conectdos un resistenci R como indic l figur jo. En el instnte t = 0 se cierr el switch. Supong que 1 = 2 =. Determine l ecución diferencil que stisfce Q 2 (t). Respuest: Por conservción de l crg eléctric se cumple que: Q 1 (t) Q 2 (t) = Q, t Un vez que se cierr el switch, el circuito equivlente es el siguiente: 1 v 2 (t) v 1 (t) 2 R Quizás uno se pregunte por qué l polridd de los voltjes en los cpcitores es sí. Aquí se supuso que l corriente v en sentido ntihorrio. Lo importnte es que ls polriddes de 1 y 2 son distints, y que 1 se v descrgndo (entregndo crg) y 2 se v crgndo (reciiendo crg). Si fijmos l corriente en sentido horrio, ls polriddes se invierten. Aplicndo KL se tiene: 14

15 i(t)r v 2 (t) v 1 (t) = 0 i(t)r Q 2(t) Q 1(t) = 0 i(t)r 2Q 2(t) Q = 0 i(t) = Q 2Q 2(t) R l corriente i(t) se dispuso en sentido ntihorrio, y est crg el cpcitor 2, por lo tnto: reemplzndo se otiene: i(t) = dq 2(t) dt dq 2 (t) dt = Q 2Q 2(t) R Prolem 3 onsidere el siguiente circuito en donde el interruptor S 1 h estdo cerrdo por un tiempo muy lrgo: R 1 S 1 1 I 1 v (t) en t = 0 el interruptor S 1 se re. () lcule el voltje en el cpcitor pr t < 0. Respuest: El interruptor h estdo cerrdo por mucho tiempo por lo tnto el cpcitor está completmente crgdo y no circul corriente por el, el circuito equivlente es el siguiente: 15

16 R 1 1 I 1 v (0 ) Utilizndo KL en el nodo comprtido por R 1, e I 1 se tiene: despejndo v (0 ) se otiene: i R1 (0 ) I 1 = i R2 (0 ) 1 v (0 ) R 1 I 1 = v (0 ) v (0 ) = R 1 1 I 1 (R 1 ) () Determine l corriente en pr t > 0. Respuest: En t = 0 el interruptor S 1 se re, y el circuito equivlente es simplemente: v (t) con condición inicil: v (0) = v (0 ) = v (0 ) = 1 I 1 (R 1 ) R 1 l resistenci equivlente que ve el cpcitor es simplemente, por lo tnto el cpcitor se descrg con un constnte de tiempo. Utilizndo l ecución (1.16) se otiene: 16

17 v (t) = ( ) R2 1 I 1 (R 1 ) R 1 e t Por lo tnto l corriente en l resistenci pr t > 0 es: i R2 (t) = v (t) = 1 ( ) R2 1 I 1 (R 1 ) R 1 e t 17