( x) x. Esto significa que la base de la función exponencial siempre es positiva, por lo que el valor de f ( x)

Transcripción

1 Fcultd de Cotdurí Admiistrció. UNAM Fucioes epoecil logrítmic Autor: Dr. José Muel Becerr Espios MATEMÁTICAS BÁSICAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA FUNCIONES EXPONENCIALES U fució epoecil co bse se defie como: dode ( ) f R co > 0, es u úmero rel. Esto sigific que l bse de l fució epoecil siempre es positiv, por lo que el vlor de f ( ) siempre es positivo. Además, l bse o puede ser l uidd, porque se covertirí e l fució costte ( ) Es importte que est fució o se cofud co l fució f ( ) f., cu bse es que soci cd úmero rel u úmero positivo. El comportmieto de ests fucioes es mu distito. Pr ejemplificr esto, se tom el vlor de tbuldo mbs fucioes, se tiee: ( ) ( ) f f Como puede precirse, l difereci de vlores es cosiderble, que e l primer fució sólo se clcul el cubo del úmero e l segud se comport de form epoecil. DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Al grficr l fució tomdo e cosiderció l tbulció terior, se obtiee:

2 Fcultd de Cotdurí Admiistrció. UNAM Fucioes epoecil logrítmic Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Ahor, si se grfic l fució, se tiee: Grficdo l fució., se obtiee: Filmete, si se grfic l fució, se tiee:

3 Fcultd de Cotdurí Admiistrció. UNAM Fucioes epoecil logrítmic Autor: Dr. José Muel Becerr Espios De cuerdo lo terior, se puede cocluir que : El domiio de l fució epoecil es el itervlo bierto: (, ) El rgo de l fució epoecil es el cojuto de todos los úmeros reles positivos: ( 0, ) No cruz l eje, siempre cort l eje e el puto P ( 0,) ps por el puto P (,) Siempre es creciete si > siempre es decreciete si 0 < < L fució crece más rápido si l bse es cd vez mor decrece más rápido si l bse es cd vez meor Es cotiu Si el vlor de l bse es uo, se covierte e l fució costte f ( ) rect prlel l eje, u uidd de distci., represetd por u Es importte mecior que se puede modificr los prámetros de l fució epoecil de mer similr los que ls fucioes trigoométrics. Esto es, se puede presetr vricioes de l form: k k + f k, f ( ), f ( ), f ( ) + k, etc. ( ) ECUACIONES EXPONENCIALES A ls ecucioes que cotiee térmios de l form, >, se les llm ecucioes epoeciles. Tles ecucioes puede resolverse plicdo de form propid ls lees de epoetes de form tl que pued llegrse u epresió co l mism bse reducir, teiedo e u v cuet que: u v Ejemplos. Resolver ls siguietes ecucioes epoeciles: + ) + Por ser múltiplos de, l iguldd terior se puede escribir como:, pero se sbe que ls ctiddes igules co bses igules tiee epoetes igules, sí que: +. Resolviedo l ecució se tiee: ) Por ser 8 múltiplos de, l iguldd terior se puede escribir como: ( ) ( ) dode: igules, por tto: , pero se sbe que ls ctiddes igules co bses igules tiee epoetes, resolviedo, se tiee: 8 de ) + Ls lees de epoetes más plicds e este tipo de ecucioes so: m m+, m m m m ( ).

4 Fcultd de Cotdurí Admiistrció. UNAM Fucioes epoecil logrítmic Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Como, l ecució se puede escribir como: +. Pero se sbe que ls ctiddes igules co bses igules tiee epoetes igules, se tiee: , resolviedo l ecució de segudo grdo por fctorizció: ( + )( + ) 0. ) Aplicdo lees de epoetes se tiee: Multiplicdo por 5 : fctorizdo 5 : 5 ( 5 ) ) Aplicdo lees de epoetes se tiee: fctorizdo se tiee: ( + + ) ( ) + 5 ) Multiplicdo l ecució por dos: Multiplicdo mbos miembros por : hciedo el cmbio de vrible: u, se lleg : ( + ) + 0

5 Fcultd de Cotdurí Admiistrció. UNAM Fucioes epoecil logrítmic Autor: Dr. José Muel Becerr Espios 5 u u + 0 u plicdo fórmul geerl:, b 5, c : u 5u 0 ( 5) ± ( 5) ( )( ) 5 ± 5 5 ± 5 ± ( ) u 5 u sustituedo e u : INTERÉS COMPUESTO Si se deposit u ctidd de diero M e u cuet que pg u ts de iterés ul i, se puede obteer el cpitl C que se tedrá e es cuet l fil de t ños. El cpitl será el moto origil más el redimieto que geeró e ese tiempo, es decir M + M i t, o bie: C M ( + i t) Si se deposit es mism ctidd, pero los itereses se pg cd seis meses (llmdo periodo de cpitlizció), etoces el cpitl l fil del primer semestre será: i C M +, l cuet comezrá el i i i segudo periodo co ese vlor, pero termirá co u sldo de: C M + + M +. 0 i Si se prosigue sucesivmete co el proceso, l fil de diez ños, se tedrí u cpitl de: C M + El iterés gdo se vuelve depositr (se cpitliz) e l cuet que tmbié g iterés. Cudo sucede esto, se dice que l cuet pg iterés compuesto. E térmios geerles, si se quiere ivertir u moto M e u cuet que pg u iterés k veces l ño, u ts ul i, el cpitl C que se tedrá u periodo de tiempo t viee ddo por l epresió: C M + Ejemplo. U profesioist ivierte 50, 000 pesos e u bco que pg el 8% de iterés ul. Si se reivierte los dividedos cutrimestrlmete, cuáto cpitl tedrá e ños? 5 i k kt

6 Fcultd de Cotdurí Admiistrció. UNAM Fucioes epoecil logrítmic Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Se sustitue los dtos e l epresió terior, cosiderdo que u ño tiee tres cutrimestres: ( ) 008. C 50000, , ( ) 50000, ( 505. ) 8, 5. 5 pesos. Ejemplo. U perso debe, 000 pesos e su trjet de crédito que cobr u ts de iterés ul de %. Si o reliz igú pgo el bco cpitliz los itereses trimestrlmete, cuáto deberá e ños? U ño tiee cutro trimestres, por lo que sustituedo e l fórmul se tiee: ( ) 0. 8 C 000, + 000, ( ) 000, ( 5. ) 55,. pesos. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Se l siguiete epresió: b Se defie l logritmo e bse de u úmero b como el epoete l que h que elevr l bse pr obteer dicho úmero, esto es: log b que se lee: el logritmo e bse del úmero b es. Ejemplos: log 8 log8 5 5 log5 5 Como se puede ver, u logritmo o es otr cos que u epoete, hecho que o se debe olvidr cudo se trbje co logritmos. Los logritmos fuero itroducidos e ls Mtemátics co el propósito de fcilitr, simplificr o icluso, hcer posible complicdos cálculos uméricos. Utilizdo logritmos se puede covertir productos e sums, cocietes e rests, potecis e productos ríces e cocietes. L costte es u úmero rel positivo distito de uo, se deomi bse del sistem de logritmos. L poteci pr culquier vlor rel de solo tiee setido si > 0. Logritmos decimles Se llm logritmos decimles los logritmos que tiee por bse el úmero 0. Al ser mu hbitules es frecuete o escribir l bse: log 0 log

7 Fcultd de Cotdurí Admiistrció. UNAM Fucioes epoecil logrítmic Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Como: 0 0 log log log , log 0 000, 0 0,000 log , Es decir, el logritmo deciml de potecis de diez (co úmeros turles) es el úmero de ceros que posee. Logritmos turles Se llm logritmos turles (hiperbólicos o eperios) los logritmos que tiee por bse el úmero e: log l e el úmero e es u úmero irrciol mu importte e Mtemátics su vlor es clcul medite l epresió: e. 88 se e + pr cudo es mu grde. Cmbio de bse log log log b b Ejemplo: Clculr: log 5 0 Se idetific ls vribles: 5, 0, b 0 (por usul coveieci) log00. 0 log5 0. log Comprobció: 5. 0 Atilogritmo Es el úmero que correspode u logritmo ddo. Cosiste e el problem iverso l cálculo del logritmo de u úmero. log tilog

8 Fcultd de Cotdurí Admiistrció. UNAM Fucioes epoecil logrítmic Autor: Dr. José Muel Becerr Espios es decir, cosiste e elevr l bse l úmero resultdo : 0. log 0. 0 tilog Propieddes de los logritmos.- log 0.- log.- log.- log ( u v) log u + log v u v 5.- log logu logv.- log ( u ) log u.- log ( u ) log u Fució logrítmic Se llm fució logrítmic l fució rel de vrible rel: log f ( ) L fució logrítmic es biectiv defiid de R + e R sus crcterístics so: L fució logrítmic solo está defiid sobre los úmeros positivos Los úmeros egtivos el cero o tiee logritmo L fució logrítmic de bse es l recíproc de l fució epoecil de bse Ls fucioes logrítmics más usules so l de bse 0 l de bse e Es l fució ivers de l fució epoecil. Ejemplos de fucioes logrítmics: log ( 8 ) log 0 + ( ) l DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS Se l fució log 0, si se tbul se grfic, respectivmete se obtiee lo siguiete: 8

9 Fcultd de Cotdurí Admiistrció. UNAM Fucioes epoecil logrítmic Autor: Dr. José Muel Becerr Espios log Si l fució es l, l tbulció l gráfic so ls siguietes: f ( ) l Ahor, cosidérese l fució log 0. 5, tbuldo grficdo se tiee respectivmete: log

10 Fcultd de Cotdurí Admiistrció. UNAM Fucioes epoecil logrítmic Autor: Dr. José Muel Becerr Espios De cuerdo ls gráfics teriores, se puede cocluir que: El domiio de l fució logrítmic es el cojuto de todos los úmeros reles positivos: ( 0, ) El rgo de l fució logrítmic es el itervlo bierto: (, ) No cruz l eje, siempre cort l eje e el puto P (,0) ps por el puto P (,) Siempre es creciete si > siempre es decreciete si 0 < < L fució crece más rápido si l bse es cd vez mor decrece más rápido si l bse es cd vez meor Es cotiu. Es importte mecior que se puede modificr los prámetros de l fució logrítmic de mer similr los que ls fucioes trigoométrics. Esto es se puede presetr vricioes de l form: f ( ) k log, f ( ) log k, f ( ) log ( + k), f ( ) log + k, etc. ECUACIONES LOGARÍTMICAS log dode es u úmero rel positivo, co Ls ecucioes que cotiee térmios de l form, se cooce como ecucioes logrítmics. Se puede resolver plicdo ls lees de los logritmos de form tl que pued llegrse u epresió co logritmos de l mism bse, sbiedo que: log u u Ejemplos. Resolver ls siguietes ecucioes logrítmics: ) + log ( ) log0 0 Aplicdo l curt propiedd de los logritmos se tiee: log 0 ( ) ( ) 0 log 0 0 ( ) fctorizdo el triomio se obtiee: ( + )( 5) , elevdo l diez se tiee: por lo tto: 5 si embrgo, debe descrtrse como solució debido que o eiste el logritmo de u úmero egtivo. 0 ) log ( + ) log0 + Aplicdo l quit propiedd de los logritmos se tiee: log0, que es equivlete log +, elevdo l diez se tiee: : ( ) 0 log 0 ( + ) si se fctoriz el triomio se obtiee: ( )( ) 0 0 0, por lo tto:. 0

11 Fcultd de Cotdurí Admiistrció. UNAM Fucioes epoecil logrítmic Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ( 5 ) l ) l l 5 l ( ) ( ), hor, si se plic l set propiedd de los logritmos se tiee: l ( 5 ) l elevdo l e se tiee: e l ( 5 ) e l triomio se obtiee: ( )( ) , por lo tto: ) log log8 Cmbido bse dos el segudo térmio del primer miembro: log log log log log log log8 log log log 5) l 5l Hciedo el cmbio de vrible: u l, se lleg : u 5u u 5u 0 u 0 u u + 0 u sustituedo e u l : u l l e u l l ) ( 5) log ( ) 0 e ( u )( u + ) 0 log + log ( 5) log ( + ) Aplicdo e mbos miembros el tilogritmo se lleg : log ( 5) log ( + ) ) log ( log ) Aplicdo mbos e miembros el tilogritmo se lleg : log ( ) log log uevmete, plicdo e mbos miembros el tilogritmo se lleg : log ± e, fctorizdo el.

12 Fcultd de Cotdurí Admiistrció. UNAM Fucioes epoecil logrítmic Autor: Dr. José Muel Becerr Espios APLICACIONES Algus pliccioes de l fució epoecil so:. El proceso de declició de l eficieci de u prto o istrumeto puede ser represetdo por fucioes epoeciles decrecietes. Esto se debe que por turlez l ieficieci iicil es bj, medid que trscurre l vid del equipo v perdiedo sus propieddes por efecto del uso el desgste es cumultivo.. L presió tmosféric de u globo o eroplo decrece medid que umet l ltur. Est presió se relcio l ltur e kilómetros sobre el ivel del mr medite u epresió de tipo epoecil.. E l cictrizció orml de herids puede obteerse por medio de u fució epoecil. si A 0 represet el áre origil de l herid A es igul el áre de l herid después de dís, etoces l cictrizció orml de herids puede obteerse sí: A A0e E óptic. Si u sol hoj de vidrio ccel % de l luz que ps por ell, el porcetje p de luz que ps por hojs sucesivs est ddo proimdmete por l ecució: p 00e L respuest l publicidd e l televisió. El porcetje de persos que respodiero u comercil televisivo pr u uevo producto después de t dís se ecuetr co l epresió: 0.t R 0 00e. Por su prte, lgus pliccioes de l fució logrítmic so:. El de septiembre de 85, u terremoto de itesidd 8. e l escl de Richter scudió l Ciudd de Méico. Auque se sbe que est cifr correspode u terremoto de gr itesidd, o siempre se sbe iterpretr que pr ello es ecesrio coocer el cocepto de logritmo. L escl de Richter es u de ells, mide l eergí liberd e el movimieto co l rotur de ls rocs. Pr elborrl se mide l mplitud máim de ls ods que registr el sismógrfo se defie l mgitud M del sismo como el logritmo de dich mplitud l que se ñde u costte que depede de l distci del observtorio l epicetro del periodo de ls ods registrds. L relció etre l eergí liberd, E, l mgitud del terremoto viee dd por loge.5m., de dode se deduce que pr u vrició de u solo puto e l escl de 5 mgitudes, l eergí liberd se multiplic por 0., es decir, proimdmete por treit.. E Químic, e u disolució, el producto de ls cocetrcioes de ioes H+ OH- es siempre costte e igul 0. El ph se defie como [ ]. Si se cosider que u moles litro log H + H + OH 0, lo que equivle u sustci es eutr cudo [ ] [ ] ph. U disolució es ácid si su ph es iferior, básic si es superior. De hí que u shmpoo ph o eutro, que l uev tedeci se utilizr productos co ph 5. 5 suve se el de que mejor se dpt l ph de l piel.. E l rqueologí, tmbié se h provechdo ls vetjs de los logritmos. El crboo, C, es rdictivo mietrs que e l mteri viv mtiee u proporció costte, e l mteri muert su proporció dismiue. L relció etre l edd t de u objeto l velocidd de desitegrció del C presete e él viee dd por l t. Por lo tto,, el

13 Fcultd de Cotdurí Admiistrció. UNAM Fucioes epoecil logrítmic Autor: Dr. José Muel Becerr Espios C que permece e l mteri se puede clculr l edd l despejr t midiedo l ctidd de de l ecució.. L itesidd soor e decibelios, utilizdo logritmos decimles 5. El cálculo de l lumiosidd de ls estrells emple logritmos e bse 5. L cocetrció de lcohol e l sgre de u perso se puede medir segú ls ivestigcioes médics sugiere que el riesgo de teer u ccidete l mejr u vehículo pude obteerse por u ecució co logritmos... De este modo se ecotró que los restos de srcófgos egipcios teí u tigüedd de proimdmete,00 ños. Este método es fible sólo pr eddes iferiores 5,000 ños.