UNA RECONSTRUCCIÓN DE SIGNIFICADOS EN EL CONCEPTO DE DERIVADA. EL CASO DE LA LINEALIDAD DEL POLINOMIO *

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1 UNA RECONSTRUCCIÓN DE SIGNIFICADOS EN EL CONCEPTO DE DERIVADA. EL CASO DE LA LINEALIDAD DEL POLINOMIO * RESUMEN: María del Plar Rosado Ocaña y Francsco Cordero Osoro Centro de Investgacón y Estudos Avanzados del IPN. Méxco mrosado@mal.cnvestav.mx y fcordero@mal.cnvestav.mx Se presentan los resultados de un proyecto de nvestgacón cuya fnaldad es formular una reconstruccón del sgnfcado de la dervada, basada en consderar que la propedad de lnealdad del polnomo en el marco del argumento gráfco del comportamento tendencal de las funcones- posblta que los estudantes construyan, desde este argumento, un nuevo sgnfcado a la prmera dervada y a su vez usarlo en el bosquejo de gráfcas de polnomos en general. La stuacón refleja la posbldad de reconstrur sgnfcados en el concepto de dervada y explca la relacón de éstos con el concepto, a través de la actvdad humana. PROBLEMÁTICA Consderando que la problemátca fundamental de la enseñanza de las matemátcas, consste en una confrontacón entre la obra matemátca y la matemátca escolar, y que cada una es de naturaleza y necesdad dstnta; la tarea fundamental de la Matemátca Educatva consste en reorganzar a la obra matemátca. La fuente prncpal de la reorganzacón se encuentra en la reconstruccón de sgnfcados en contextos nteractvos que formula la organzacón socal del salón de clases (Cordero, 00). El concepto de dervada ha tendo muchos acercamentos, sn embargo no es clara su reorganzacón en la matemátca escolar. Un cuestonamento que se hace, en el marco de la problemátca es, s la dervada como concepto es el resultado de la actvdad, es decr, s corresponde a la naturaleza del conocmento que provene de la actvdad. Se percbe en dferentes nvestgacones que el concepto de dervada no corresponde a esa naturaleza. En dversos estudos se reporta que el estudante no ncorpora sgnfcados a la dervada a pesar de conocer que es la pendente de una recta. En este artículo, se presentan los resultados de un proyecto de nvestgacón que consderando el cuestonamento dentro de esta problemátca, propone una reconstruccón de sgnfcados en el concepto de dervada. PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN Dentro del marco anteror, se formula la sguente pregunta de nvestgacón: Qué sgnfcados se pueden reconstrur, con relacón a la dervada a través de la stuacón dseñada para construr la propedad de lnealdad del polnomo, en contextos nteractvos de los estudantes? Para aproxmarse a una respuesta, se ha pretenddo hacer un estudo basándose en el marco teórco y la metodología elegda de la nvestgacón, realzando un dseño de la stuacón para la recoleccón de datos y su respectvo análss. * Este trabajo es el segumento de la comuncacón breve La Varacón, la Aproxmacón y la Transformacón como un marco de reconstruccón de sgnfcados en el concepto de dervada. El caso de la Lnealdad del Polnomo, presentado en RELME 5 en Buenos Ares, Argentna.

2 HIPÓTESIS La hpótess consste en creer que la construccón la propedad de lnealdad del polnomo en el marco del argumento gráfco del comportamento tendencal de las funcones- posbltará que los estudantes construyan, desde este argumento, un nuevo sgnfcado a la prmera dervada y a su vez usarlo en el bosquejo de gráfcas de polnomos en general. MARCO TEÓRICO La Socoepstemología es consderada una aproxmacón teórca que toma en cuenta las relacones entre las dmensones ddáctca, cogntva y epstemológca a través de la ncorporacón de la dmensón socal. Se trata de consderar las nteraccones que surgen en el salón de clases entre el profesor y los estudantes, y entre los estudantes msmos, como una actvdad humana que debe consderarse más allá de los conceptos matemátcos a la hora de reorganzar la obra matemátca y antes de ser llevada al salón de clases. Esta perspectva teórca, brnda herramentas ddáctcas a los docentes para que partcpen actvamente en el dseño de stuacones del Cálculo, esas herramentas dependen de los sgnfcados y de sus reconstruccones que surgen de la actvdad humana y los sgnfcados y sus reconstruccones componen contendos matemátcos específcos que reorganzan la obra matemátca (Cordero, 00). La socoepstemología se basa en cuatro elementos: sgnfcados, procedmentos, procesos y objetos y argumentos. Una descomposcón genétca basada en la socoepstemología, que consdera a los conceptos que aluden a un comportamento de la funcón que tene certa tendenca (stuacón de transformacón), puede ser formulada como sgue: Sgnfcados. Patrones de comportamento de la funcón. Procedmentos. Varacón de parámetros de la funcón. Procesos-objetos. Funcón como una nstruccón que organza comportamentos. Argumento. Comportamento tendencal de las funcones. Este trabajo, toma en cuenta esta aproxmacón teórca en el dseño de stuacón. METODOLOGÍA La metodología de la nvestgacón consste en observar a las stuacones a través de un cclo teratvo, consderando tres elementos mutuamente relaconados: análss de hechos o datos, dseño de la stuacón y su mplementacón, la recoleccón de datos y con ello consderar la experenca de la cual se partó. (Martínez, 999). Estos tres elementos componen varas etapas para alcanzar la actualzacón de la descomposcón genétca de los conceptos nvolucrados en las stuacones. En la etapa uno, se parte de una experenca epstemológca estudando el contendo matemátco correspondente al tópco del proyecto, y se organza el contendo con base a lo que sgnfca entender el concepto y cómo el concepto puede ser construdo por el que aprende. (Cordero, 998). Para la etapa dos, se trabajan ejemplos de dseño e mplementacón de stuacones y coleccón de datos en el laboratoro.

3 En la etapa tres, se realza un análss de los datos colecconados y posterormente se reconsdera la experenca de la cual se partó. En la etapa cuatro, al analzar los datos colecconados y de acuerdo a los resultados obtendos, se espera encontrar los fundamentos para la aplcacón de la stuacón en el proyecto. Al realzar el redseño de la stuacón, se parte de esos resultados. Para la etapa cnco, se realza la aplcacón del redseño y la coleccón de datos. En la etapa ses, se realza el análss de datos y la actualzacón de la descomposcón genétca. Se pretende alcanzar un refnamento del recorte o ampltud del entendmento sobre el cuál se partó. La teracón contnúa hasta alcanzar una explcacón de la evolucón socoepstemológca del contendo matemátco de la problemátca. DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN En la ddáctca actual, todavía hallamos énfass en los aspectos formales y rgurosos, dejando de lado los aspectos epstemológcos y pscológcos concernentes a los conceptos. En el cálculo, los conceptos fundamentales son señalados por la dervacón e ntegracón, explcados a través de las concepcones del límte y de funcón, acompañados de sus representacones geométrcas, la recta tangente a una curva, y el área bajo la curva. Cabe señalar que esta ddáctca ha generado una cultura, en el profesor y estudante, aprenden a decr lo que es la dervada e ntegral y representarlos geométrcamente, sn tener una explcacón que les permta estudar fenómenos de varacón contnua, sólo lo concben como una herramenta que los provee de algortmos efcentes, a los cuales hay que buscarles aplcacón (Cordero, 997). Esta ddáctca tene un buen desarrollo de los argumentos analítcos sobre los conceptos, logrando matzarlos a través de los domnos de las funcones, sn embargo la ddáctca nsnúa que estos argumentos susttuyen cualquer otro tpo de argumentos, por ejemplo, los ntutvos y los vsuales. La característca fundamental de esta ddáctca es que toma los conceptos matemátcos como objetos ya hechos, sn consderar que estos conceptos tenen que ser construdos por el sujeto como una herramenta funconal que le será posble tratar con dstntas clases de stuacones. El concepto de dervada es presentado comúnmente por ventanas como la sguente: P Se le presenta al alumno una curva, se señala un punto y se le pde que trace la recta tangente a la curva en dcho punto. Sn embargo, este tpo de ventanas nos pueden representar tres stuacones, la stuacón de varacón, la stuacón de aproxmacón y la stuacón de transformacón (Cordero, 00). La dea central, es dseñar stuacones que no solamente tomen en cuenta la adquscón del conocmento, sno tambén el desarrollo de actvdades. Esas stuacones deben mostrar o nterpretar de alguna manera relacones entre los contextos algebraco y gráfco. El lenguaje de

4 herramentas basado en la actvdad humana nos ayuda a dentfcar a la categoría del comportamento tendencal de las funcones a través de argumentos cualtatvos, estos argumentos cualtatvos nos llevan a nuevas accones que reflejan un ntercambo permanente entre los contextos algebracos y gráfcos. Uno de los aspectos mportantes de la nvestgacón, es el dseño de la stuacón que se trabajó con los estudantes y que se presenta a contnuacón. Qué le pasa a una funcón cuando se le suma una recta? SECUENCIA La funcón cuadrátca, tene como gráfca la curva que aparece en la fgura sguente y se llama parábola. Se trata que dentfquen la propedad que tene la funcón cuadrátca una recta. Para tal propósto les sugermos las sguentes actvdades. cuando se le suma Actvdad. a) Grafquen en un sstema de ejes coordenados la funcón resultante [ ( = y ( ], como se ndca a contnuacón: y ( = x ( = y ( 5x = ( y ( = 0. x ( y ( = x ( = y ( b) Organcen sus resultados en una tabla que regstre las característcas de la recta y de la funcón resultante. Actvdad. x ax b a) Descrban lo que le pasa a la parábola cuando se le suma una recta, o sea cuando resulte. b) Ilustra la descrpcón anteror con varos casos. Grafca en los msmos ejes coordenados la funcón resultante y la recta.

5 Actvdad. Consderen ahora, la funcón cuadrátca funcón en la gráfca. = x 7 x 5 y su gráfca. Identfquen la parte lneal de la = x 7 x 5 Actvdad.Conjeturen acerca de lo que le pasa a una funcón cuadrátca cuando se le suma una recta. SECUENCIA La funcón cúbca, tene como gráfca la curva que aparece en la fgura. Fgura Se trata que dentfquen la propedad que tene la funcón cúbca recta. Para tal propósto les sugermos las sguentes actvdades. cuando se le suma una Actvdad. Grafquen en un sstema de ejes coordenados la funcón resultante [ ( = y ( ], como se ndca a contnuacón: y ( = x ( = y ( 5x = ( y ( = 0. x ( y ( = x ( = y ( b) Organcen sus resultados en una tabla que regstre las característcas de la recta y de la funcón resultante. Actvdad. x ax b a) Descrban lo que le pasa a la funcón cúbca cuando se le suma una recta, o sea cuando resulte. b) Ilustra la descrpcón anteror con varos casos. Grafca en los msmos ejes coordenados la funcón resultante y la recta.

6 Actvdad. Consderen ahora, la funcón cúbca funcón en la gráfca. = x 7 x 5 y su gráfca. Identfquen la parte lneal de la = x 7 x 5 Actvdad. Conjeturen acerca de lo que le pasa a una funcón cúbca cuando se le suma una recta. SECUENCIA P ( n n n = an x an x...a x a0 Una funcón de la forma recbe el nombre de polnomo de grado n. Actvdad. a) Bosquejen en el msmo sstema de ejes coordenados las gráfcas de la recta y la funcón resultante al sumar el polnomo P ( = 0. 5x. x x y la recta y ( = x 5. 5 b) Descrban el comportamento de la gráfca de la funcón resultante con respecto a la recta. = P ( = 0. 5x. 5x x y ( = x 5 Actvdad. Consderen el polnomo de la gráfca del polnomo con respecto a su parte lneal 5 P 5 ( = x 7 x x 5 x 9 y = 5 x 9. y su gráfca. Descrban el comportamento 5 P 5 ( = x 7 x x 5 x 9 Actvdad. En la sguente gráfca, se han varado los parámetros de la parte lneal del polnomo de la actvdad anteror. Propongan una expresón analítca para esta gráfca. (Justfquen su respuesta). Actvdad. a) De acuerdo a los resultados que obtuveron en las actvdades anterores conjeturen, escrbendo en un párrafo, lo que le pasa a un polnomo cuando se le suma una recta. b) Demuestren la conjetura.

7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Asala, M., Brown, A., Devres, D., Dubnsky, E., Mathews, D., & Thomas, K. (996). A framework for research and currculum development n undergraduate mathematcs educaton. CBMS Issues n Mathematcs Educaton: Research n Collegate Mathematcs Educaton. II, 6, -. Cantoral, et. Al, (000). Desarrollo del Pensamento Matemátco. Ed. Trllas, Méxco, D.F. Cordero, F. (00). La dstncón entre las construccones del cálculo. Una epstemología a través de la actvdad humana. Revsta Latnoamercana de Investgacón en Matemátca Educatva. Numero, 0-8. Cordero, F. (997). Una base de sgnfcados en la enseñanza de la matemátca avanzada. Sere: Antologías, número. Cordero, F. Solís, M. (997ª). Las gráfcas de las funcones como una argumentacón del cálculo. Sere Cuadernos de Ddáctca, Grupo Edtoral Iberoamérca, ª. Edcón, 79 pp. Cordero, F. (998). El entendmento de algunas categorías del conocmento del cálculo y análss: el caso del comportamento tendencal de las funcones. Revsta Latnoamercana de Investgacón en Matemátca Educatva. Numero, Martínez, M. (999). Estudo de las relacones que el estudante hace para construr la gráfca de la dervada y de la prmtva: efectos de la enseñanza en la transformacón de funcones., tess de maestría. Dreccón de estudos de posgrado. Subnodo Regonal de Matemátca Educatva. Unversdad Autónoma del Estado de Hdalgo.