Profr. Efrín Soto Apolinr. Ley de senos Hst hor hemos resuelto triángulos retángulos, pero tmién es omún enontrr prolems on triángulos que no son retángulos, omo utángulos u otusángulos. Pr resolver estos prolems el método que hemos utilizdo no funion, pero podemos utilizr l ley de senos. Ley de senos Pr ulquier triángulo que se enuentre en el plno, on ángulos internos α, β, γ, y longitudes de ldos opuestos,, respetivmente, se umple: Teorem 1 γ β α En plrs, l ley de senos die: «pr ulquier triángulo que se enuentr en un plno, ls longitudes de sus ldos son proporionles los senos de sus ángulos opuestos». Si nosotros onoemos l longitud de uno de los ldos del triángulo y sus ángulos internos, podemos lulr ls longitudes de los otros dos ldos utilizndo est ley. Resuelve el siguiente triángulo isóseles: Ejemplo 1 3 m 50 50 Como el triángulo es isóseles, los dos ldos inlindos miden 3 m. Vmos demostrrlo usndo l ley de senos. Pr esto definimos: = 3 m, α = 50, β = 50 y neesitmos lulr. Utilizndo: podemos despejr pr otener: = sin β = 3 sin(50 ) sin(50 = 3 m ) www.prendemtemtis.org.mx 1/5
Profr. Efrín Soto Apolinr. Con esto qued demostrdo que es un triángulo isóseles. Pr lulr l longitud de l se, deemos notr que l sum de los dos ángulos onoidos es 100 y que el terer ángulo dee medir 80. Con esto podemos volver utilizr l ley de senos pr lulr l longitud de : Ahor solmente sustituimos los vlores onoidos: = sin γ = sin γ = 3 sin(80 ) sin(50 3.85673 m ) Y on esto hemos resuelto este triángulo utángulo. L ley de senos tmién funion pr triángulos otusángulos, omo se muestr en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2 Resuelve el siguiente triángulo otusángulo: 5 m 15 100 En este so = 5 m, β = 15, γ = 100 y podemos lulr α: α = 180 15 100 = 65 Ahor podemos lulr l longitud del ldo plindo l ley de senos: sin(65 ) 5 Despejndo y resolviendo otenemos: 1.427876 m. Finlmente, podemos lulr el vlor de : Sustituyendo los vlores otenemos: Y terminmos. = 5 sin(100 ) sin(65 ) = sin(15 ) = sin γ 5.4330756 m L ley de senos sirve tmién pr resolver prolems plidos. Ejemplo 3 Un ompñí onstrutor v perforr un tunel trvés de un erro pr reduir el tiempo de trnsporte de Atlán (punto A en l figur) Btlán (punto B). Si el tunel está sore l ret que ps por los puntos A y B, uál será l distni de l rreter? Cztlán es el punto C indido en l siguiente figur. Se midieron: AC = 31.6 km, CBA = 45 y CAB = 71.6. www.prendemtemtis.org.mx 2/5
Profr. Efrín Soto Apolinr. C A Cerro B Empezmos notndo que podemos lulr el vlor del ángulo ABC: ABC = 180 45 71.6 = 63.4 Ahor podemos lulr l distni entre los puntos A y B plindo l ley de senos: AB = 31.6 sin(45 ) sin(63.4 ) 39.9 km Tmién podemos lulr l distni entre el punto C y Btlán: BC = 31.6 sin(71.6 ) sin(45 ) 42.4 km Con esto hemos resuelto ompletmente el triángulo ABC. Esto signifi que tulmente pr llegr desde Atlán Btlán reorren, l menos, 31.6 km desde Atlán hst Cztlán primero, y después 42.4 km desde Cztlán hst Btlán. 31.6 km + 42.4 mk = 74 km en totl. Con l nuev rreter que psrá trvés del tunel, l distni se ort 40 km, proximdmente. En el punto A se enuentr un vión que vij hi el este, desde hí 70 grdos hi el norte (izquerd del frente del vión) se enuentr un eropuerto. Si vnz 100 kilómetros, uiándose el vión hor en el punto B, el mismo eropuerto está 70 l sur respeto del mismo vión. A qué distni se enuentrn los puntos A y B del eropuerto? Ejemplo 4 Empezmos elorndo un digrm pr tener un mejor ide del prolem: C Definimos: α = 70, y β = 30. A 70 30 100 km B www.prendemtemtis.org.mx 3/5
Profr. Efrín Soto Apolinr. El terer ángulo γ = 80, porque 70 + 30 + 80 = 180. Pr lulr ls distnis que queremos onoer plimos l ley de senos. BC sin(70 ) = 100 BC = 100 sin(70 ) 95.42 km L distni desde el punto A hst el punto C es: AC sin(30 ) = 100 AC = 100 sin(30 ) 50.77 km Y hemos termindo. Ejemplo 5 Mro notó que se form un ángulo de 15 desde un punto P en el suelo hst l op de un árol, pero si vnz horizontlmente 20 metros hi el árol un punto Q, el ángulo que se form es de 25. Cuál es l ltur del árol? Empezmos hiendo un osquejo de l situión: T Árol 15 25 P Q R 20 m Ddo que los ángulos RQT y TQP son suplementrios y RQT mide 25, se sigue que TQP mide 155. Ahor que onoemos dos ángulos internos del triángulo PQT podemos lulr l medid del ángulo PQT: PQT = 180 15 155 = 10 Ahor podemos plir l ley de senos pr lulr l medid del ldo QT: QT sin(15 ) = 20 sin(10 ) QT = 20 sin(15 ) sin(10 ) 29.81 metros Ahor podemos lulr l longitud del segmento QR, plindo l definiión de l funión oseno en el triángulo retángulo QRT: QR = QT os(25 ) = 29.81 os(25 ) 27.02 metros Finlmente, podemos plir el teorem de Pitágors en el triángulo retángulo QRT pr lulr l ltur del árol. www.prendemtemtis.org.mx 4/5
Profr. Efrín Soto Apolinr. En este triángulo, l hipotenus mide QT = 29.81, y el teto onoido: QR = 27.02. Y hemos termindo. RT = = QT 2 QR 2 (29.81) 2 (27.02) 2 = 888.64 730.08 = 158.55 12.59 metros Créditos Todo dee herse tn simple omo se posile, pero no más. Alert Einstein Este mteril se extrjo del liro Mtemátis II esrito por Efrín Soto Apolinr. L ide es omprtir estos truos pr que más gente se enmore de ls mtemátis, de ser posile, muho más que el utor. Autor: Efrín Soto Apolinr. Ediión: Efrín Soto Apolinr. Composiión tipográfi: Efrín Soto Apolinr. Diseño de figurs: Efrín Soto Apolinr. Produtor generl: Efrín Soto Apolinr. Año de ediión: 2010 Año de puliión: Pendiente. Últim revisión: 17 de septiemre de 2010. Derehos de utor: Todos los derehos reservdos fvor de Efrín Soto Apolinr. Méxio. 2010. Espero que estos truos se distriuyn entre profesores de mtemátis de todos los niveles y sen divulgdos entre otros profesores y sus lumnos. Este mteril es de distriuión grtuit. Profesor, grdezo sus omentrios y sugerenis l uent de orreo eletrónio: efrin@prendemtemtis.org.mx www.prendemtemtis.org.mx 5/5