ONDAS ESFÉRCAS RADACÓN ACÚSTCA.- SEA UN MEDO FLUDO LMTADO SÓTROPO Y HOMOGÉNEO. CONSDEREMOS EN SU NTEROR UNA ESFERA DE RADO QUE SE HNCHA RÁPDAMENTE HASTA LOGRAR UN VALOR DE RADO. EL FLUDO ALREDEDOR DE LA ESFERA SUFRE UNA BRUSCA COMPRESÓN PROPAGÁNDOSE DCHA PERTURBACÓN EN TODAS LAS DRECCONES RADADOR SÓTROPO. * TODOS LOS PUNTOS A GUAL DSTANCA DEL CENTRO O SON ALCANZA-DOS A LA VEZ Y PRESENTAN LA MSMA AMPLTUD DE PRESÓN SE FORMAN FRENTES DE ONDA (F.O. ESFÉRCOS QUE SE PROPAGAN POR EL MEDO ONDAS ESFÉRCAS..- S LA PERTURBACÓN ES PERÓDCA (HNCHAR DESHNCHAR SE FORMARÁN SUCESVOS FRENTES DE ONDA ESFÉRCOS DONDE LA PERTUR- BACÓN LLEGA A LA VEZ AUNQUE SUCESVOS F.O. DFERAN EN LA AMPL- TUD DE PRESÓN DEBDO A MOTVOS EXCLUSVAMENTE GEOMÉTRCOS. * LOS F.O. EN DÉNTCO ESTADO VBRATORO (GUALDAD DE FASE ESTÁN SEPARADOS POR UN NÚMERO ENTERO DE LONGTUDES DE ONDA (..- EL MOVMENTO VBRATORO DE CADA PUNTO P DEL MEDO SE REALZA EN LA DRECCÓN DE PROPAGACÓN DE MODO QUE EL RADO OP ES PERPENDCULAR AL F.O..- EN FUNCÓN DE LA FORMA DE LA FUENTE LA AMPLTUD DE PRESÓN PUEDE QUE NO SEA LA MSMA EN TODOS LOS PUNTOS DE UNA SUPERFCE ESFÉRCA AUNQUE SE VERFCA LA GUALDAD DE FASE YA QUE TODOS LOS PUNTOS DEL F.O. SON ALCANZADOS POR LA PERTURBACÓN EN EL MSMO NSTANTE. EN ESTOS CASOS SURGE LA CUESTÓN DE LAS PROPEDADES DE DRECCONALDAD DE LAS FUENTES SONORAS. 5.- COMO LA OBSERVACÓN SE REALZA EN UNA DETERMNADA DRECCÓN S NOS ALEJAMOS MUCHO DE LA FUENTE NDEPENDENTE MENTE DE SU FORMA >>> TODOS LOS PUNTOS QUE SE VEN BAJO UN DETERMNADO ÁNGULO SÓLDO ESTARÁN MÁS O MENOS EN EL MSMO ESTADO VBRATORO (GUALDAD DE FASE Y AMPLTUD Y SE PUEDE APROXMAR UN TROZO DE SUPERFCE ESFÉRCA POR SU PLANO TANGENTE CONSTTUYENDO EN PRMERA APROXMACÓN UNA ONDA PLANA
ECUACÓN GENERAL DE LAS ONDAS * PARA OBTENER LA ECUACÓN GENERAL DE LAS ONDAS (D UTLZAMOS AL GUAL QUE PARA EL CASO DE LAS ONDAS PLANAS LAS SGUENTES RELACONES:.- ECUACÓN DE CONTNUDAD.- PROPEDADES ELÁSTCAS DEL MEDO.- ECUACÓN DE LA DNÁMCA * SUPONEMOS UNA STUACÓN DEAL DONDE NO SE TENEN EN CUENTA LAS PÉRDDAS DE ENERGÍA DEBDO AL CARÁCTER VSCOSO DEL MEDO N CUALQUER OTRO TPO DE PÉRDDA ENERGÉTCA. * EN LA FGURA SE OBSERVA UN ELEMENTO DE VOLUMEN DEL FLUDO EN EQULBRO Y CUANDO ES ALCANZADO POR UNA ONDA DE PRESÓN. OA i OA ( i ( ( AA i.- CONSERVACÓN DE LA MASA ( ( ( ( / ( DE LA DEFNCÓN DEL FACTOR DE CONDENSACÓN ( DE ( Y ( ( DESPRECANDO NFNTÉSMOS DE ORDEN SUPEROR A SE OBTENE: (.- ECUACÓN DE ESTADO PARA EL CASO UNDMENSONAL TENAMOS c c QUE TENENDO EN CUENTA ( PARA EL CASO TRDMENSONAL QUEDA: c ( c
.- ECUACÓN DE LA DNÁMCA m F m F m F m F * ACTUANDO SOBRE LA COMPONENTE TENEMOS ( [ ] S S F Y CON GUAL PROCESO PARA LAS OTRAS DOS DRECCONES DEL ESPACO (5. (5. (5. * MULTPLCANDO LAS ECUACONES (5.* POR LOS VECTORES UNTAROS SEGÚN LAS DRECCONES SUMÁNDOLAS RESULTA (6 * DERVANDO LAS ECUCs. (5.* RESPECTVAMENTE RESPECTO DE : Y SUMÁNDOLAS [ ] c c (7 * DE LA RELACÓN ENTRE PRESÓN Y DESPLAZAMENTO DE LAS PARTÍCULAS SE OBTENE c (8 DONDE i. OPERADORES EN COORDENADAS ESFÉRCAS * LA RELACÓN ENTRE LAS COORDENADAS CARTESANAS Y ESFÉRCAS CON LA NOTACÓN DE LA FGURA ES: " # # cos cos sn sn sn * LOS OPERADORES NABLA Y LAPLACANO SE ESCRBEN COMO: # # sn u u u # sn sn sn
ONDAS ESFÉRCAS. ONDAS ESFÉRCAS ARMÓNCAS * S LAS ONDAS SON ESFÉRCAS (SMETRÍA ESFÉRCA ENTONCES LA VARABLE PRESÓN NO DEPENDE DE LAS VARABLES NDEPENDENTES ANGULARES ES DECR TOMA LA FORMA ( * A PARTR DE LA ECUACÓN DE ONDAS (7 Y PONENDO EL OPERADOR LAPLACANO EN COORDENADS ESFÉRCAS SE DEDUCE QUE: ( ( ( (9 c c c * LA ECUACÓN (9 ES DÉNTCA AL CASO UNDMENSONAL POR TANTO LA FUNCÓN DE ONDA SOLUCÓN MÁS GENERAL SERÁ: f g f g c c c c * LA PRMERA PARTE DE LA SOLUCÓN ANTEROR ES UNA ONDA DVERGENTE QUE PARTE DEL ORGEN CON VELOCDAD c MENTRAS QUE LA SEGUNDA ES UNA ONDA CONVERGENTE HACA EL ORGEN PERO AL SER UN MEDO LMTADO NO PUEDE HABER ONDA REFLEJADA; EN CONSECUENCA LA SOLUCÓN ES: ( f ( c * DE LA ECUACÓN (6 LA COMPONENTE RADAL DE LA VELOCDAD (QUE ES LA TOTAL ES: u u $ Y EL DESPLAZAMENTO RADAL DE LAS PARTÍCULAS DEL MEDO $ * PARA EL CASO DE LA PERTURBACÓN ARMÓNCA DE TPO COSENO Y TRABAJANDO CON LA EXPONENCAL COMPLEJA SE OBTENEN LOS SGUENTES RESULTADOS: % PERTURBACÓN: ( R [ A ] ( % PRESÓN ACÚSTCA: ( A ( ( (. DONDE A ES UNA CONSTANTE RELACONADA CON LA FUENTE EMSORA Y QUE TENE QUE TENER UNAS DMENSONES DE UNA PRESÓN POR UNA DSTANCA [A] P m g s - ; Y EL VALOR DE DONDE CALCULAMOS LA PRESÓN DEBE SER MAYOR QUE LAS DMENSONES DE LA FUENTE >. 5
% FACTOR DE CONDENSACÓN: c A c ( (. % VELOCDAD DE VBRACÓN: $ (. % DESPLAZAMENTO DE PARTÍCULAS: $ (. * TOMANDO LAS PARTES REALES DE LAS EXPRESONES (.* OBTENEMOS LOS VALORES DE LAS MAGNTUDES RELEVANTES. CONCLUSÓN: A DFERENCA DE LAS ONDAS PLANAS LA PRESÓN Y LA VELOCDAD VBRATORA DE LAS PARTÍCULAS NO ESTÁN EN FASE POR LO CUAL LA MPEDANCA ESPECÍFCA ES UNA CANTDAD COMPLEJA * LA MPEDANCA ESPECÍFCA QUE ES UNA CARACTERÍSTCA DEL MEDO A PARTR DE (. RESULTA SER: [ ] c c c R QUE TAMBÉN PUEDE EXPRESARSE COMO: TAL QUE: c ( / (5. / / [ ] [ ] [ ] c g ( / [ ] (5. E X E ( * EN LA FGURA SE MUESTRAN LOS FASORES DE LAS DSTNTAS VARABLES PARA UN NSTANTE Y UNA POSCÓN DADAS. A LO LARGO DEL TEMPO TODOS ELLOS GRAN CON VELOCDAD ANGULAR CONSTANTE EN EL SENTDO DRECTO (ANTHORARO. * EN FUNCÓN DE LOS VALORES DEL DESFASE ENTRE LOS FASORES DE PRESÓN Y VELOCDAD PODEMOS REALZAR DSTNTAS APROXMACONES Y VER COMO CAMBAN ALGUNAS DE LAS MAGNTUDES ACÚSTCAS CON LA DSTANCA A LA FUENTE EMSORA. EL PARÁMETRO RELEVANTE USADO ES EL PRODUCTO DEL Nº DE ONDA Y LA DSTANCA. ASÍ: A Si >> " g ( << R ( * * c E X E - / * ( 6
* ESTO NOS QUERE DECR QUE A DSTANCAS >> LA ONDA ESFÉRCA SE APROXMA A UNA ONDA PLANA Y QUE LA ENERGÍA RADADA POR LA FUENTE AL MEDO EN ESAS DSTANCAS DECAE SUAVEMENTE (TÉRMNO DE RADACÓN. B Si << ( " g ( >> ( * / - /. R E * X E * H qu fini os imncis * ESTO NOS QUERE DECR QUE A DSTANCAS << ES MUY DFÍCL TRANSFERR ENERGÍA ÚTL (LA POTENCA ACTVA ES PROPORCONAL AL cos ( DESDE LA FUENTE AL MEDO. COMO LA MAGNTUD CARACTERÍSTCA DEL TAMAÑO DE LA FUENTE DEBE SER MENOR QUE ; SE NFERE QUE UNA FUENTE PEQUEÑA NO PUEDE RADAR BEN A LONGTUDES DE ONDA MUCHO MAYORES QUE DCHO TAMAÑO O LO QUE ES LO MSMO A BAJAS FRECUENCAS. MEDO ES MUY REACTVO. * CAMBANDO UN POCO LA NOTACÓN ESTO MSMO PUEDE COMPROBARSE VENDO QUE: A c cos ( c cos ( c Y POR TANTO PARA DSTANCAS PEQUEÑAS A LA FUENTE FRENTE A LA LONGTUD DE ONDA A VELOCDADES DE VBRACÓN DADAS LE CORRESPONDEN PRESONES MUY PEQUEÑAS YA QUE cos ( * Y EN CONSECUENCA LA ENERGÍA PUESTA EN JUEGO QUE ATRAVESA LA UNDAD DE SUPERFCE EN LA UNDAD DE TEMPO (NTENSDAD DE LA ONDA ES MUY PEQUEÑA YA QUE ES PROPORCONAL AL cos (. CONCLUSÓN: NO SE PUEDEN CONSTRUR FUENTES SONORAS PEQUEÑAS CAPACES DE RADAR BASTANTE ENERGÍA A BAJAS FRECUENCAS. DENSDAD DE ENERGÍA E NTENSDAD DE LAS ONDAS ESFÉRCAS * OBTENÍAMOS EN EL TEMA ANTEROR CON CARÁCTER GENERAL QUE LA DENSDAD DE ENERGÍA NSTANTÁNEA ASOCADA A UNA ONDA MECÁNCA ERA: C P (6 c c * PARA ONDAS ESFÉRCAS LA AMPLTUD DE PRESÓN NO ES CONSTANTE SNO QUE DSMNUYE CON LA DSTANCA POR CAUSAS EMNENTEMENTE GEOMÉTRCAS. 7
8 ( ( ( ( { } R A on ( ( ( ( ( ( { } R c A on ( { } ( ( c c A / / / * PARA CALCULAR PROMEDOS HEMOS DE TENER EN CUENTA QUE TRABAJANDO CON MAGNTUDES COMPLEJAS SE VERFCA QUE: DADOS ( ( ( ( cos cos SE PUEDEN DEFNR LAS MAGNTUDES COMPLEJAS ( ( ( ( ( ( { } ( ( { } R R / DE MODO QUE: ( ( ( ( ( ( { } R T T $ (7 * SEGÚN LO ANTEROR LA NTENSDAD PROMEDO DE LAS ONDAS ESFÉRCAS EN UN PERODO QUE PUEDE CALCULARSE COMO EL VALOR PROMEDO DEL TRABAJO REALZADO POR LA ONDA CONTRA EL MEDO EXTERNO ES: ( ( ( loci sión Timo Sufici Escio Fu Timo Sufici Engí DE LO QUE SE NFERE: ( ( ( ( ( { } c R T T cos ( $ (8 QUE CONCDE EN SU FORMA CON EL VALOR OBTENDO PARA ONDAS PLANAS DONDE HAY QUE TENER EN CUENTA QUE: { } * A A A 5 6 " * EL VALOR MEDO DEL FLUJO DE ENERGÍA QUE ATRAVESA LA SUPERFCE ESFÉRCA DE RADO ES: c A c A W (POTENCA (9 LO QUE NOS DCE QUE LA POTENCA COMO CARACTERÍSTCA DE LA FUENTE ES NDEPENDENTE DEL RADO DE LA ESFERA (CONSERVACÓN DE LA ENERGÍA.
* LA DENSDAD DE ENERGÍA CNÉTCA PROMEDO EN UN PERODO SE DETERMNA: T T ( ( C C cos ( T $ T $ c * DE GUAL MODO PUEDE DETERMNARSE LA DENSDAD DE ENERGÍA POTENCAL PROMEDO EN UN PERODO: T T P P cos ( T $ T c $ c * LA DENSDAD TOTAL DE ENERGÍA PROMEDO EN UN PERODO RESULTA C P c c CONCLUSÓN: COMO LA PRESÓN Y LA VELOCDAD NO ESTÁN EN FASE PARTE DE LA ENERGÍA DE LA ONDA NO SE TRANSMTE FUERA DEL SSTEMA (EQUVALENTE A LA POTENCA REACTVA DE LOS CRCUTOS ELÉCTRCOS LA DENSDAD ES 7 DE /c (ONDAS PLANAS Y TENEMOS QUE AÑADR UN TÉRMNO RELACONADO CON EL PARÁMETRO. ( FUENTES ACÚSTCAS SMPLES * SE DENOMNA FUENTE SMPLE A CUALQUER RADADOR QUE EMTA CON UNA FRECUENCA TAL QUE SU LONGTUD DE ONDA ASOCADA SEA MUCHO MAYOR QUE LAS DMENSONES DE LA FUENTE Y CON CUALQUER ( DSTRBUCCÓN DE VELOCDADES ( P ( P DONDE P ES UN PUNTO CUALQUERA DE LA SUPERFCE VBRANTE. UN PARÁMETRO RELEVANTE DE LOS RADADORES ES LA FORTALEZA DE LA FUENTE DEFNDA COMO EL VOLUMEN DEL MEDO DESPLAZADO POR LA FUENTE EN LA UNDAD DE TEMPO; MATEMÁTCAMENTE EN SU FORMA COMPLEJA PODEMOS PONER: Q S Q S Q S $ $ $ SV SV EL TEOREMA DE RECPROCDAD ACÚSTCA (NO DEMOSTRADO AFRMA QUE PARA FUENTES SMPLES CON FORTALEZAS Q Y Q QUE PROPORCONAN UNOS PATRONES DE RADACÓN ( ( SE VERFCA Q Q. ( ( * POR TANTO S SABEMOS CALCULAR EL CAMPO DE PRESONES PARA UNA FUENTE SMPLE PODEMOS SABER EL CAMPO PARA CUALQUER OTRA FUENTE SMPLE DE LA MSMA FORTALEZA. SV 9
ESFERA PULSANTE MONOPOLO ACÚSTCO * SEA UNA SUPERFCE ESFÉRCA CUYO RADO VARÍA ARMONCAMENTE DE MODO QUE LOS PUNTOS SE MUEVEN CON UNA VELOCDAD RADAL DE GUAL VALOR ABSOLUTO: S u cos S u LO QUE DA UNA FORTALEZA DE LA FUENTE: Q Q SE S S u S u QSE $ $ SE SE SUFCENTE PARA LOGRAR UN PATRÓN DE RADACÓN DEFNDO. ( * UN PUNTO DEL MEDO EN CONTACTO CON LA SUPERFCE ESFÉRCA TENDRÁ DÉNTCA VELOCDAD QUE ELLA (CONTNUDAD DE LA FUNCÓN VELOCDAD A ( A ( ( ( ( A ( ( A c Y SUSTTUYENDO EN LAS EXPRESONES (.* OBTENEMOS LOS VALORES DE LAS MAGNTUDES ACÚSTCAS. EN PARTCULAR DE (9 OBTENEMOS LA POTENCA ÚTL PUESTA EN JUEGO POR EL MONOPOLO ACÚSTCO O POTENCA EMTDA QUE SERÁ: A ( ( W c c c c c ( QSE QSE W c RSE ( ( 8 8 DONDE R SE ( ES LA PARTE REAL DE LA MPEDANCA ESPECÍFCA DEL MEDO EVALUADA EN. CONCLUSÓN: LA POTENCA ÚTL (RADADA AL MEDO DEPENDE DEL FACTOR ; ES DECR DE LA DMENSONES DE LA FUENTE Y DE LA LONGTUD DE ONDA CORRESPONDENTE A LA FRECUENCA EMTDA. OTRA VEZ SE PONE DE MANFESTO A PARTR DE ( QUE LA POTENCA ÚTL RADADA ES MUY PEQUEÑA S << POR LO QUE ES MPOSBLE QUE CON UN RADADOR DE TAMAÑO PEQUEÑO PODAMOS EMTR APRECABLEMENTE A BAJAS FRECUENCAS (A LAS QUE CORRESPONDE LONGTUDES DE ONDA GRANDES EN COMPARACÓN AL TAMAÑO DE LA FUENTE.
TODO ESTO ES ANÁLOGO AL CASO ELÉCTRCO DONDE SE TENE: W V Z ( W W / ( R X ( ( ( ( ( ( / R ( / X Wc W W * EN EL CASO ACÚSTCO: W ( U ( U U / W ( ( ( ( S ( W / R ( X ( ( ( / S S Q W 8 SE ( ( RS ( X S ( Wc Wc * ES CONVENENTE HACER ALGUNA APROXMACÓN RAZONABLE; UNA DE LAS MÁS USUALES ES LA CONOCDA COMO LÍMTE DE ONDAS LARGAS EN LA QUE SE SUPONE QUE LA FUENTE EMTE A FRECUENCAS CUYA LONGTUD DE ONDA ASOCADA ES MUCHO MAYOR QUE EL RADO DE LA ESFERA. ASÍ S << << DE ( SE NFERE QUE QSE c QSE c A c CON LO CUAL QSE c sn ( ( ( (. POR TANTO LA NTENSDAD EN UN PUNTO A DSTANCA A PARTR DE LA AMPLTUD DE PRESÓN ES: A QSE c c Q SE (. 6 c Y LA POTENCA MEDA QUE ATRAVESA UNA SUPERFCE ESFÉRCA DE RADO ES: c W S QSE (. 8 EL RESTO DE LAS MAGNTUDES SE CALCULAN A PARTR DE (.* CON LOS VALORES DE (..
FUENTE HEMESFÉRCA * EN LA REALDAD LAS FUENTES SONORAS SUELEN ESTAR APOYA-DAS EN ALGUNA SUPER-FCE RÍGDA. EL CASO MÁS ELEMENTAL ES LA LLAMADA FUENTE HEM- ÉSFERCA QUE CONSSTE EN MEDA SUPERFCE ESFÉRCA DE RADO MONTADA SOBRE UNA SUPERFCE PLANA NF-NTA (ES SUFCENTE CON QUE LAS DMENSONES DE LA PANTALLA SEAN MUCHO MAYORES QUE LA LONGTUD DE ONDA ASOCADA A LA FRECUENCA DE EMSÓN CUYA RADACÓN ESTÁ CONFNADA A UN SÓLO SEMESPACO. * ASÍ S LA VELOCDAD DE LOS PUNTOS DE LA SUPERFCE Q QH $ S S u Su $ QH SHE SHE HEMESFÉRCA ES GUAL QUE EN EL CASO ANTEROR TENDREMOS: AL SER UNA FUENTE SMPLE EL PATRÓN DE RADACÓN ES DÉNTCO AL CASO DEL MONOPOLO SN MÁS QUE CAMBAR EL VALOR DE LA FORTALEZA DE LA FUENTE COMO Q Q RESULTA: SE H QH c Q c ( H ( sn( H (5. POR LO QUE LOS VALORES DE LA NTENSDAD EN UN PUNTO A LA DSTANCA Y LA ENERGÍA POR UNDAD DE TEMPO QUE ATRAVESA UNA SUPERFCE HEMESFÉRCA DE RADO SERÁN RESPECTVAMENTE: c (5. H c 8 Q H W H c H S H QH (5.
FUENTES REALES * LOS RADADORES REALES SON MÁS COMPLCADOS QUE LOS DESCRTOS EN PÁRRAFOS ANTERORES Y EN LA MAYORÍA DE LOS CASOS SE COMPONEN DE SUPERFCES VBRANTES APOYADAS POR SU CANTO EN UNA ESTRUCTURA EN LA QUE SE HA PRACTCADO UNA ABERTURA Y QUE DVDE EL ESPACO EN DOS ZONAS AL MENOS EN SU VECNDAD. * CADA PUNTO DE LA SUPERFCE (MEMBRANA o DAFRAGMA TENE UNA VELOCDAD PROPA QUE VARÍA CON LA POSCÓN DEL PUNTO E NCLUSO CON LA FRECUENCA ( P f Y PUEDE CONSDERARSE UNA FUENTE SMPLE COMO LAS VSTAS CON ANTERORDAD. SUMANDO LAS CONTRBUCONES NDVDUALES PODEMOS DETERMNAR EL PATRÓN DE RADACÓN DE PRESONES DE LA FUENTE. * SE PUEDEN DSTNGUR DFERENTES STUACONES EN FUNCÓN DE LA LONGTUD DE ONDA ASOCADA A LA FRECUENCA EMTDA Y DE LA DSTANCA AL FOCO DONDE QUEREMOS DETERMNAR EL VALOR DE LA PRESÓN YA QUE PUEDEN REALZARSE DSTNTAS APROXMACONES. A CAMPO LEJANO: CUANDO >> >> * PARA DSTANCAS MUY GRANDES A LA FUENTE REAL LA DSTANCA DE CADA PUNTO DEL FOCO AL LUGAR DONDE QUEREMOS DETERMNAR LA PRESÓN ES APROXMADAMENTE LA MSMA; ASÍ EN LOS DENOMNADORES DE LAS PRESONES SE PUEDE PONER UN VALOR FJO Y EN LOS ARGUMENTOS DE LAS EXPONENCALES SE PUEDE HACER UNA APROXMACÓN DE PRMER ORDEN LO QUE CONLLEVA QUE: * SE MANTENE LA LEY NVERSA DEL CUADRADO DE LA DSTANCA PARA LA DSTRBUCCÓN DE LAS NTENSDADES COMO LAS FUENTES SMPLES PERO EN CONTRAPOSCÓN A LAS ANTERORES SE PERDE EL CARÁCTER OMNDRECCONAL PASANDO A SER FUENTES DRECCONALES (RADÍAN DFERENTE NTENSDAD EN LAS DSTNTAS DRECCONES DEL ESPACO. EL PROBLEMA PRNCPAL ES EL DE DETERMNAR LOS DAGRAMAS DE RADACÓN PARA LO QUE DEBEMOS DETERMNAR LA PRESÓN DEBDA A LA FUENTE A UNA DSTANCA FJA EN FUNCÓN DE LA ORENTACÓN EN EL PLANO O EN EL ESPACO. B CAMPO PRÓXMO: EN ESTE CASO < < * AUNQUE PUEDE MANTENERSE UNA DSTANCA FJA EN LOS DENOMNADORES QUE APARECEN EN LA PRESÓN YA NO PUEDE HACERSE UNA APROXMACÓN DE PRMER ORDEN EN LOS ARGUMENTOS DE LAS EXPONENCALES; CON UNA APROXMACÓN DE SEGUNDO ORDEN SE NFEREN LAS SGUENTES CONCLUSONES:
* YA NO SE SGUE LA LEY DE LA NVERSA DEL CUADRADO DE LA DSTANCA APARECENDO REGONES ALTERNADAS DONDE LAS PRESONES PASAN POR MÁXMOS Y POR CEROS O MÍNMOS. * ESTE CAMPO EN LA ACTUALDAD TENE MUCHO NTERÉS EN LA TÉCNCA ULTRASONORA APLCADA A LA NDUSTRÍA QUÍMCA DEBDO A LA PROXMDAD DEL PUNTO TRATADO SOMETDO A LA PRESÓN ULTRASONORA A LA SUPERFCE RADANTE; NO DEBENDO STUARSE DE FORMA QUE QUEDE EN UNA ZONA DE PRESÓN NULA O MÍNMA SNO EN UNA DE PRESÓN MÁXMA. C CAMPO NMEDATO: MPEDANCA DE RADACÓN * A DSTANCAS MUY PRÓXMAS A LA FUENTE LOS CÁLCULOS DE PRESÓN SE COMPLCAN MUCHO DEBDO A LA NFLUENCA MÚTUA QUE SE EJERCEN LOS RADADORES ELEMENTALES ENTRE SÍ. EL COCENTE ENTRE LA FUERZA TOTAL APLCADA A LA SUPERFCE VBRANTE PARA CONSEGUR UN PATRÓN DE VELOCDADES DE VBRACÓN DADO Y LA VELOCDAD EN UN PUNTO DE DCHA SUPERFCE SE LE DA EL NOMBRE DE MPEDANCA MECÁNCA DE RADACÓN. RADACÓN POR UN DAFRAGMA * SE DENOMNA DAFRAGMA O PSTÓN A UNA SUPERFCE CRCULAR PLANA. MUCHOS RADADORES REALES SE PARECEN EN MAYOR O MENOR MEDDA A ESTE TPO DE ESTRUCTURAS. * SEA UN PSTÓN DE RADO MONTADO EN UNA PANTALLA ACÚSTCA PLANA Y RÍGDA DE EXTENSÓN NFNTA (MUCHO MÁS GRANDE AL MENOS QUE LA LONGTUD DE ONDA ASOCADA A LA FRECUENCA DE EMSÓN; SUPONGAMOS QUE TODOS LOS PUNTOS DE LA SUPERFCE VBRANTE TENEN LA MSMA VELOCDAD ( ( ( ( R { cos / ( } LA CUAL ES NORMAL A LA SUPERFCE Y QUE EMTE SÓLO HACÍA UNO DE LOS DOS SEMESPACOS EN QUE DVDE LA PANTALLA EL ESPACO TOTAL. * LA PRESÓN EN CUALQUER PUNTO SE PUEDE DETERMNAR DVDENDO LA SUPERFCE VBRANTE EN ELEMENTOS DE ÁREA NFNTESMAL CADA UNO DE LOS CUALES ACTÚA COMO UNA FUENTE SMPLE Y DEL QUE SABEMOS CALCULAR LA PRESÓN QUE CREA; SUMANDO LAS CONTRBUCONES DE TODOS LOS ELEMENTOS TENEMOS RESUELTO EL PROBLEMA. * LA PRESÓN CREADA POR UN ELEMENTO DE ÁREA S CON FORTALEZA Q S Q YA QUE EL ELEMENTO DE SUPERFCE Y LA VELOCDAD SON PARALELOS EN UN PUNTO A UNA DSTANCA SERÁ:
5 ( Q c LA PRESÓN TOTAL DEBDA A TODO EL DAFRAGMA SERÁ: ( ( $ $ SD SD S c S c (6 * RESOLVENDO LA NTEGRAL QUE APARECE EN (6 TENDREMOS DETERMNADO EL CAMPO DE PRESONES CREADO POR EL DAFRAGMA. VAMOS A CONSDERAR DOS STUACONES: A PRESÓN EN EL EJE DONDE HAREMOS LAS APROXMACONES DE CAMPO PRÓXMO Y CAMPO LEJANO. * LLAMANDO EJE AL EJE DEL PSTÓN Y DESCOMPONENDO LA SUPERFCE DEL PSTÓN EN CORONAS CRCULARES DE RADOS 8 Y 8 8 RESULTA: ( [ ] [ ] $ c / / 8 8 8 8 Y TENENDO EN CUENTA QUE { } / 8 8 8 8 8 ( [ ] [ ] c c ( 5 6 " sn c (7 * DE (7 SE DEDUCE QUE LA PRESÓN AXAL TENE FUERTES EFECTOS DE NTERFERENCA QUE FLUCTÚAN ENTRE Y c CONFORME VARA ENTRE E 9. LOS EXTREMOS DE PRESÓN SE PRODUCEN EN TAL QUE: " 5 6 " MN si MAX si TAL QUE m im m m DE LA CONDCÓN DE MÁXMO TENEMOS: ( ( n n / 5 6 " n n (8
" Si n Si n MAX. más lo 9 ( * S ESTAMOS EN CAMPO LEJANO << / << CON LA APROXMACÓN DE : / sn : si * ( c sn c sn ( c sn : c (9 QUE DECRECE CON LA NVERSA DE LA DSTANCA (REGLA DE LA DVERGENCA ESPERADA B PRESÓN EN FUNCÓN DE PARA EL CASO DE CAMPO LEJANO * ELGENDO LOS ELEMENTOS DE SUPERFCE COMO SE MUESTRA EN LA FGURA PODEMOS PONER LA FORTALEZA ELEMENTAL COMO Q sn; ; Y LA PRESÓN CREADA POR DCHO ELEMENTO SERÁ: c Q ( c sn; ( 6
* TENENDO EN CUENTA QUE cos ; sn; ; DE LA FGURA SE DEDUCEN LAS SGUENTES APROXMACONES: : sn cos ; EN EL EXPONENTE Y : EN EL DENOMNADOR ( ( : c sn cos; sn; $ ( ( : c $ ( ( : c $ sn cos; sn cos; : $ $ sn ; ; sn ; ; ( ( c cos( sn cos; sn ; ; sn( sn cos; sn ; ; * EL ARGUMENTO DEL SENO ENTRE LOS LÍMTES Y DEL ÁNGULO ; VARÍA ENTRE sn Y sn Y POR TANTO EL NTEGRANDO ES UNA FUNCÓN MPAR DE MODO QUE LA SEGUNDA NTEGRAL SE ANULA. TENENDO EN CUENTA QUE: cos( hcos; FUNCÓN DE BESSEL DE ORDEN UNO. J( h sn ; ; $ h DONDE J (h ES LA ( J ( ( sn c J( sn ( : c sn sn ( R TAL QUE Q ( c ( { ( } P J( sn c QP J ( ( sn sn sn sn sn ( CONCLUSONES: * PARA UNA DSTANCA FJA EN LOS PUNTOS QUE ESTÁN A LO LARGO DEL EJE EL TÉRMNO ENTRE [ ] ES GUAL A LA UNDAD; LO QUE QUERE DECR QUE LA PRESÓN PRODUCDA POR UN PSTÓN A LO LARGO DEL EJE ES GUAL A LA PRODUCDA POR UNA FUENTE HEMESFÉRCA DE GUAL FORTALEZA * LOS CEROS DE LA FUNCÓN J (</< ESTÁN LOCALZADOS EN <.8 7..5 c. POR LO QUE PARA c LA PRESÓN AL AUMENTAR DE sn.8 c sn.6 / QUE MODO QUE LA PRESÓN SE ANULA S ( 7
MARCA EL EXTREMO ANGULAR DEL ANCHO DEL HAZ SONORO DEL LÓBULO PRNCPAL DE LA PRESÓN ACÚSTCA * NO EXSTE SMETRÍA ESFÉRCA AUNQUE SE CONSERVA EL PATRÓN DE UNA ONDA DVERGENTE - / PARA UNA DRECCÓN DADA. * EN EL PRMER LÓBULO SECUNDARO LA PRESÓN MÁXMA ES MUCHO MENOR S. P ESTANDO LOCALZADO ENTRE LAS DRECCONES sn 7. c sn. /. DADAS POR Y TAL QUE ( * S > > EL PATRÓN TENE MUCHOS LÓBULOS SECUNDAROS. * S <. 8 SÓLO EXSTE EL LÓBULO PRNCPAL * S << EL TÉRMNO ENTRE [ ] ES APROXMADAMENTE GUAL A. * EL VALOR DE LA NTENSDAD SERÁ: ( ( J ( sn ( c ( c 8 sn ( DE ( O ( SE OBSERVA QUE ( c c ( 8 8 Q P " PARA PARA c ( ( Q P c - f - A l isón 8
DRECTVDAD * LA NTENSDAD EN LAS DSTNTAS DRECCONES DEL ESPACO DEPENDE DEL ASPECTO GEOMÉTRCO Y DEL TAMAÑO EN RELACÓN A LA LONGTUD DE ONDA DEL EMSOR Y EXPLCA COMO SE DSTRBUYE LA ENERGÍA EN EL MEDO. DE MODO SMLAR SE PODRÍA HABLAR DE LA MSMA PROPEDAD EN EL CASO DE RECEPTORES (TRANSFERENCA DE ENERGÍA DESDE EL MEDO. PARA DESCRBR ESTO SE UTLZAN DOS TPOS DE HERRAMENTAS: DAGRAMAS DE DRECTVDAD: REPRESENTACÓN GRÁFCA DE LA RESPUESTA DEL TRASDUCTOR EN CAMPO LEJANO EN FUNCÓN DE LA DRECCÓN DE LAS ONDAS SONORAS SOBRE UNA SUPERFCE ESFÉRCA DE RADO PARA UNA FRECUENCA CONCRETA. * DESCRBE EL MODO EN QUE LA RADACÓN SE DSTRBUYE EN TORNO A LA FUENTE. EN LA FGURA SE MUESTRAN LAS POSCONES DE MEDDA PARA UN CASO DE ALTAVOZ EN CAJA. EN GENERAL SE PUEDE REPRESENTAR BEN EL VALOR ( ; O UN VALOR NORMALZADO REFERDO A LA PRESÓN MÁXMA QUE CORRESPONDE A LOS VALORES ANGULARES NULOS ;. DEL MSMO MODO SE PUEDE UTLZAR UNA ESCALA LNEAL O UNA ESCALA LOGARÍTMCA ES DECR EXPRESADA EN DECBELOS. PARÁMETROS NUMÉRCOS.. FACTOR DE DRECTVDAD E ÍNDCE DE DRECTVDAD * DEFNDO PARA CADA FRECUENCA SE DEFNE EL FACTOR DE DRECTVDAD EN UNA DRECCÓN DADA Q( ; COMO LA RELACÓN ENTRE LA NTENSDAD ACÚSTCA QUE EN ESA DRECCÓN EMTE LA FUENTE Y LA NTENSDAD QUE PRODUCRÍA UNA FUENTE OMNDRECCONAL (SOTRÓPCA QUE RADA GUAL POTENCA QUE LA FUENTE EN ESTUDO. ( ; W Q( ; TAL QUE SO ( SO * LA POTENCA SONORA EMTDA POR LA FUENTE SE DETERMNA SUMANDO LA CONTRBUCÓN EN TODAS LAS DRECCONES A SABER: W ( ; S SO $ ( ; $ SE SE S 9
EN LA FGURA ADJUNTA SE OBSERVA UNA SUPERFCE ELEMENTAL S sn ; DONDE SE SUPONE QUE EL EJE PRNCPAL DE LA FUENTE ES EL EJE. SUSTTUYENDO EN LA ECUACÓN ANTEROR Q ( ; ( ; ( ; SO ( ; sn $$ ; ; EN MUCHOS CASOS LOS FOCOS SONOROS PRESENTAN SMETRÍA DE REVOLUCÓN ALREDEDOR DEL EJE POR LO QUE LA NTENSDAD ES NDEPENDENTE DEL ÁNGULO;. EN ESTAS STUACONES TENEMOS: $ ( Q ( (5 ( sn sn $ ( ( SE DEFNE EL ÍNDCE DE DRECTVDAD DD (B COMO: " D > D < D ( B logq (6 DREC. CON NTENSDADES MAYORES A LA MEDA SOTRÓPCA DREC.CON NTENSDADES MENORES A LA MEDA SOTRÓPCA EN GENERAL NO SE CONOCE LA EXPRESÓN ANALÍTCA DE ( POR LO QUE PARA DETERMNAR Q SE RECURRE A MÉTODOS NUMÉRCOS MDENDO EL VALOR DE LA NTENSDAD PARA DFERENTES DRECCONES Y CALCULANDO LOS VALORES: N $? ( sn ( sn > TAL QUE > N / ( sn ( /( ( sn > /(...... @ Q( N (7 sn >? ( (. DRECTVDAD (DRECTVDAD RELATVA: PARA UNA DSTANCA FJA Y EN EL CASO DE SMETRÍA CLÍNDRCA SE DEFNE LA DRECTVDAD DE LA FUENTE COMO EL COCENTE ENTRE LA PRESÓN SEGÚN UNA DRECCÓN DADA Y LA PRESÓN SEGÚN EL EJE DE SMETRÍA DE LA FUENTE ES DECR:
( ( D( (8 A VECES EN LOS DAGRAMAS DE RADACÓN SE MUESTRAN LOS VALORES DE LA DRECTVDAD EXPRESADA EN DECBELOS. EN UNA REPRESENTACÓN POLAR SE DAN LOS VALORES DE log D( FRENTE AL ÁNGULO QUE NDCA LA DRECCÓN DE OBSERVACÓN. ( * EN EL CASO DEL PSTÓN LA DRECTVDAD RESULTA D ( ( sn J sn (9 Y EN LA FGURA SE MUESTRA SU DAGRAMA DE DRECTVDAD EN EL QUE SE log D FRENTE A. REPRESENTA (
* SEGÚN LAS DEFNCONES ANTERORES EL ÍNDCE DE DRECTVDAD DE UN ÁNGULO CUALQUERA D ( ES LA SUMA DE UN TÉRMNO QUE CORRESPONDE AL ÍNDCE DE DRECTVDAD MÁXMO D Y OTRO QUE ES LA DRECTVDAD D( EXPRESADO EN LA ESCALA LOGARTMCA. D ( ( ( ( log log log log D log D SO SO DONDE EL SEGUNDO TÉRMNO DEL ÚLTMO MEMBRO SE PUEDE DETERMNAR S SE CONOCE EL DAGRAMA DE DRECTVDAD.. ANCHO DEL HAZ: ES EL ÁNGULO SÓLDO BAJO EL CUAL SE RADARÍA LA MSMA POTENCA QUE LA DE LA FUENTE EN ESTUDO CON NTENSDAD CONSTANTE GUAL A LA MÁXMA. W MAX S MAX B TAL QUE B ÁNGULO SÓLDO CASQ. ESFÉR. W ( ; S ( ; sn ; B ( ; sn ; $ $$ $$ MAX S ; S EXSTE SMETRÍA DE REVOLUCÓN B Y PARA MEDDAS DSCRETAS N MAX? $ ( SO B S u ( sn / (. ; B sn > / (. * A ESTE ÁNGULO SÓLDO LE CORRESPONDE UN ÁNGULO PLANO SEMÁNGULO CÓNCO DE VALOR: B B sn $ B MAX ( $ c cos s n MAX ( cos c cos. UN CONCEPTO MÁS PRÁCTCO ES EL DE ÁNGULO PLANO DEFNDO POR LAS DOS DRECCONES SMÉTRCAS RESPECTO DEL EJE A LAS QUE CORRESPONDEN NTENSDADES GUAL A LA MTAD DE LA MÁXMA. ( (
MPEDANCA MECÁNCA DE RADACÓN: CAMPO NMEDATO * PARA CONSEGUR UNA RÁPDA VBRACÓN DE CUALQUER MASA EN EL VACÍO SE NECESTA UNA POTENCA MECÁNCA: E F W F T T F F F W F M T $ T $ M M M ( ( F cos cos W DONDE ( ES LA COMPONENTE DE VELOCDAD EN LA DRECCÓN DE LA FUERZA. * S LA MSMA MASA SE TENE QUE MOVER EN EL SENO DE UN FLUDO Y QUEREMOS MANTENER LA VELOCDAD HEMOS DE NCREMENTAR LA POTENCA; ASÍ QUE W ( W M MR F E * EL VALOR DE MR ES UN VALOR CUANTTATVO DE CÓMO EL MEDO REACCONA CONTRA EL MOVMENTO DE LA SUPERFCE VBRANTE. ESTA FUERZA EXTRA PROPORCONA LA ENERGÍA QUE SE RADA AL ESPACO DE LA CUAL UNA PARTE SERÁ ÚTL POTENCA DEL ALTAVOZ Y OTRA PARTE SERÁ REACTVA LA CUAL QUEDA ALMACENADA EN EL MEDO Y SE DEVOLVERÁ A LA FUENTE DE ALGUNA MANERA. * ASÍ PUES LA MPEDANCA MECÁNCA DE RADACÓN TENDRÁ UNA PARTE REAL Y OTRA MAGNARA LA CUAL SERÁ EQUVALENTE A UNA MASA ACÚSTCA YA QUE EL MOVMENTO DEL MEDO SE REALZA SN COMPRESÓN APRECABLE (MEDO MUY GRANDE. * EL CÁLCULO PARA EL CASO DEL PSTÓN ES COMPLCADO Y NO LO DESARROLLAMOS AQUÍ. EL RESULTADO QUE SE OBTENE ES: MR c [ R ( X ( ] RMR X MR ( J( K( R ( Y X ( ESTE VALOR EN ANALOGÍA MPEDANCA SE PUEDE MODELAR COMO UNA RESSTENCA Y UNA AUTONDUCCÓN (MASA MECÁNCA EN SERE. CONCLUSONES: * LA PARTE MAGNARA EQUVALE A SUMAR UNA MASA EXTRA m R A LA REAL DEL PSTÓN DE MODO QUE SE VERFCA: mr X MR mr X ( / QUE A FRECUENCAS BAJAS SE APROXMA POR m R : 8 / ( QUE NO ES DESPRECABLE EN MEDOS DENSOS.
* LA POTENCA RADADA POR EL PSTÓN ES GUAL AL TRABAJO REALZADO CONTRA LA RESSTENCA DE RADACÓN; SENDO POR TANTO LA POTENCA MEDA RADADA (POTENCA ÚTL WR RMR / c R ( ( * S << PSTONES PEQUEÑOS O BAJAS FRECUENCAS ( c W R : c (. * S > PSTONES GRANDES O ALTAS FRECUENCAS * S >> W R : c (. R ( * Y X ( * * EN LA FGURA SE MUESTRA EL CRCUTO EQUVALENTE DE LA MPEDANCA MECÁNCA DE RADACÓN A BAJAS FRECUENCAS Y A ALTAS FRECUENCAS b
5 APÉNDCE A: FUNCONES DE BESSEL Y FUNCÓN DE STRUVE * S LA FUNCÓN ( f VERFCA LA ECUACÓN DFERENCAL ( ( (A. ENTONCES DCHA FUNCÓN ES UNA FUNCÓN DE BESSEL DE ORDEN QUE PUEDE ESCRBRSE EN FORMA DE UNA SERE DE POTENCAS DE LA FORMA: ( ( ( ( (? 9 / n n n n n J f (A. * ESTAS FUNCONES VERFCAN LAS SGUENTES RELACONES: ( ( [] ( ( ( [] ( ( ( [] J J J J J J J * EN ACÚSTCA SE UTLZA LA FUNCÓN DE BESSEL DE ORDEN ( J EVALUADA EN ( ( ( (? 9 5 6 " 7 5 8 6 6 / n n n n n J (A. * OTRA FUNCÓN QUE APARECE EN ACÚSTCA ES LA FUNCÓN DE STRUVE DE ORDEN ( K EVALUADA EN. ADQUERE LA FORMA: ( ( ( [ ] " 9? / i K i i i i i i (A. CUYOS PRMEROS TÉRMNOS SE DAN A CONTNUACÓN ( 5 6 " 9 7 5 7 5 5 9 7 5 K
APÉNDCE B: GRÁFCO DE LA MPEDANCA DE RADACÓN DE UN PSTÓN CRCULAR DE RADO MONTADO EN PANTALLA NFNTA 6
APÉNDCE C: TABULACÓN PARA EL PSTÓN DE LAS FUNCONES DE DRECTVDAD EN PRESONES E NTENSDADES Y DE LA RESSTENCA Y REACTANCA DE LA MPEDANCA DE RADACÓN 7
Coninución l bl 8
APÉNDCE D: DAGRAMA POLAR 9