ANÁLISIS MATEMÁTICOS TEMA. FUNCION REAL DE VARIABLE REAL..... Itroducció..... Domiio..... Limites...6.4. Cotiuidd...9 TEMA : DERIVADAS..... Itroducció..... Sigos de l derivd..... Formuls priciples de derivds....4. Regls de derivció....5. Derivbilidd....6. Teorem de Rolle ***....7. Teorem del vlor medio o Cuchy ***...4.8. Teorem de L Hôpitl ***...4.9. Idetermicioes especiles ***...5 TEMA. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES... 6.. Represetció locl de fucioes...6.. Poliomio de Tylor ***...9 TEMA 4. INTEGRALES INDEFINIDAS... 0 4.. Itroducció... 0 4.. Tbl de Itegrles Imedits... 4.. Itegrció por prtes... 4.4. Itegrles Rcioles o descomposició e frccioes simples ***... 4 4.5. Itegrles de Cmbio de Vrible ***... 9 TEMA 5. INTEGRAL DEFINIDA... 8 5.. Itroducció... 8 5.. Itegrbilidd... 9 5.. Propieddes de ls Itegrles... 9 5.4. Teorem del Vlor Medio ***... 40 5.5. Fució Itegrl ***...4 5.6. Teorem Fudmetl del Cálculo Itegrl (TFCI ***...4 5.7. Regl de Brrow... 4 5.8. L Derivd de l Fució Itegrl ***... 4 5.8. Fució Itegrl e vrios trmos... 4 5.9. Cálculo de áres... 44 TEMA 6. SERIES... 47 6.. Sucesioes... 47 6.. Series... 47 6.. Crácter de ls series ***... 47 6.4. Tipos de series... 48 TEMA 7. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA... 54 7.. Itroducció... 54 7.. Métodos pr hllr el Poliomio Iterpolr... 54 CUADRO RESUMEN DE FÓRMULAS IMPORTANTES ***... 57
TEMA. FUNCION REAL DE VARIABLE REAL.. Itroducció Simbologí existe perteece pr todo / tl que o existe o perteece o pr todo Cojutos uméricos Nturles N {,, } como vemos el 0 o perteece. Eteros Z { -, -, -, 0,,, } Rcioles Q { -/, -, /, } o cotiee los decimles si periodo Reles R { e,, } cotiee úmeros rcioles si periodo Fució Trsformció que covierte u úmero rel e otro umero rel. f(x x f( Pr cd vlor de x, teemos u úico vlor. Fució Rel de vrible rel So ls fucioes co u vrible idepediete.
.. Domiio... Domiio Es el cojuto de vlores de l vrible x, pr los cules l fució existe El domiio viee crcterizdo por el tipo de fució. f( x x D.{ x 0 } Fució Poliómic El resultdo es siempre positivo D {R} Fució expoecil El resultdo es siempre positivo D {R} Fució Rciol El deomidor debe ser distito de cero f( x x x Fució Irrciol Fució logrítmic Fució trigoométric NOTA: El rdicdo debe ser myor o igul cero Vlores que hce myor de cero lo que hy detro del logritmo. f(x se g(x D R f(x cos g(x D R f(x tg g(x D {xєr/cos (g(x 0} y que tgx sex / cosx D {x є R / x- 0} f( x g( x impr D {R} pr D {x є R / g(x 0} f(x log e (g(xl (g(x D {x є R / g(x > 0} Fució Logrítmic El logritmo es l fució ivers de l expoecil log b b log 8 8 Logritmo eperio f(x log e x L x
... Grfics fudmetles Poliómics Si resto o sumo úmeros, geermos prlels Si ñdimos coeficietes x, x cmbimos l iclició. f(x x f(x x f(x x Expoeciles f(x e x Fució Rciol. f(x /x Fució Irrciol. f( x x Fució Logrítmic. f(x L x Fucioes trigoométrics. f(x se x Fucioes trigoométrics. f(x cos x 4
... Ruffii. Fctorizció de poliomios *** Cosiste e seprr ls fucioes poliómics e productos de birios. Solo loclizmos ls ríces eters. x 4x -4 * elegimos u umero que divid l termio idepediete, e este cso será;, -,, -. Vmos probdo. - 0 * Se tiee que ulr el último termio. *Hcemos lo mismo hst ulr 0 * El y el so solució de l ecució, si sustituimos por estos vlores tedrímos u 0. * Al sustituir el poliomio e fctores, poemos el sigo cotrrio de ls solucioes, pr descompoer y o ulr, por tto teemos que: x 4x (x-(x- *Tmbié podrímos hber clculdo ls solucioes medite l regl x bx c 0 x ( b ± b 4c..4. Relcioes trigoométrics *** tg x se x cosx se x cos x se x se x cosx cosx cos x se x..5. Relcioes Logrítmics *** l ( b l l b l b l l b l ( b bl l ( 8 l( l 5
.. Limites... Limites putules El límite de u fució e u puto, es el vlor l que tiede l fució cudo os cercmos dicho puto. f( x L x xo El ite mrc l tedeci, por tto, o tiee porque existir l fució e ese puto. Puede existir el límite, uque o exist l fució e ese puto. f( x x x... Limites lterles Limite por l izquierd x x 0 - f( x L Limite por l derech x x 0 f( x L Pr que exist el límite de u fució, los límites lterles debe coicidir. L L... Limites Ifiitos El límite de u fució cudo tiee ifiito, idic el vlor l que tiede l fució pr vlores de x muy grdes. x f( x L E este cso, l fució tiede cero. 6
..4. Tipos de solucioes Idetermids 0 0 0 Determids 0 ± 0 ± 0 0 0 ± 0..5. Cálculo de límites..5.. Idetermids tipo cociete 0/0 x x x 4 4 0 0 Idetermido Slvmos l idetermició simplificdo x x x 4 x x (x(x- x x 4 ** E u domiio NO podemos simplificr, PERO e los ites si porque o estmos e el puto, sio que tedemos el...5.. Idetermids tipo cociete x x x 7x x Pr slvr l idetermició, os fijmos e los grdos del poliomio y dividimos todo etre el myor grdo. x x x 7x x x x x x 7x x x..5.. Idetermició por ríces 7 Ls ríces suele provocr idetermicioes del tipo cso. ( x x x 0 0 7 0 0 ( - b( b Pr evitr l idetermició, hllmos el cojugdo b b 7, pero hy que probr siempre, por si x ( x x ( x x ( x x x x x x x x x x x x 0 7
..6. Teorem de Uicidd. Si f(x tiee ite e u puto x 0, dicho límite es úico...7. Ifiitésimos Diremos que u fució f(x es u ifiitésimo e el puto x 0, si f( x 0 x x 0 Etre distitos ifiitésimos se estblece órdees de ifiitud depediedo del ritmo co que tiede cero. Así, se dice que dos ifiitésimos f(x y g(x e x o, so equivletes cudo tiee el mismo ritmo, y e ese cso se cumple que f( x x x 0 g( x..8. Pricipio de Equivleci No vri el límite de u cociete idetermido l reemplzr u ifiitésimo por otro equivlete él. 8
.4. Cotiuidd U fució f(x es cotiu e u puto x o si Existe el límite e dicho puto f( x L x x 0 El límite coicide co el vlor de l fució e dicho puto f( x f( x 0 x x 0 Cotiu e x o No cotiu e x o.4.. Tipos de discotiuidd Evitble Cudo existe el ite e x o, pero l fució o est defiid e dicho puto o tom u vlor distito l ite. Ievitble de primer especie. Cudo existe los ites lterles pero so distitos. Slto fiito. Cudo l difereci etre los límites lterles es u úmero fiito Slto ifiito. Cudo l difereci etre los límites lterles es. Ievitble de segud especie Cudo lguo de los límites lterles o los dos, o existe. 9
.4.. Cotiuidd geéric Fució Poliómic Fució expoecil Fució Rciol Fució Irrciol Fució Logrítmic Fució trigoométric Cotiu siempre Cotiu siempre Cotiu e su domiio Cotiu e su domiio Cotiu e su domiio Cotiu siempre.4.. Cotiuidd e itervlos - Diremos que f(x es cotiu e (,b cudo lo es e todos los putos del itervlo, si coger i b. - Diremos que f(x es cotiu e [,b] cudo es cotiu e (,b y demás es cotiu por l derech de y por l izquierd de b..4.4. Propiedd de cotiuidd L sum, el producto, el cociete y l composició de fucioes cotius, es siempre otr fució cotiu. f( x e x e x sex fucio cotiu g( x sex e x sex fucio cotiu f o g f(g(x e sex g o f g(f(x se(e x fució cotiu fució cotiu.4.5. Teorems de Cotiuidd *** Teorem de Bolzo Si teemos u fució f(x cotiu e u itervlo cerrdo [,b], de mer que f( y f(b tiee sigos opuestos, etoces se puede segurr que hbrá, el meos u puto c etre y b, dode f(c 0. Teorem de los vlores itermedios Si teemos u fució f(x cotiu e u itervlo cerrdo [,b], y m represet el meor vlor de l fució y M el myor vlor de l fució, se puede segurr que l fució tomr todos los vlores itermedios etre m y M. 0
TEMA : DERIVADAS.. Itroducció L derivd de u fució e u puto, represet l pediete o iclició de l curv de l fució, e dicho puto. f'( x df ( x dx h 0 f( h f ( x 0 h x 0 pediete medi f( x 0 h f ( x 0 h Hcemos que h->0, pr clculr l pediete e ese puto, por eso se clcul el ite. NOTA: Pediete del 0% pte 0/00 00 m 0 m.. Sigos de l derivd f'( x >0 Pediete positiv Fució creciete f'( x <0 Pediete egtiv Fució decreciete f'( x 0 Pediete ul Puto de iflexió, puto máximo o puto míimo Pediete ul -> puto de iflexió
.. Formuls priciples de derivds f( x C f'( x 0 f( x x f'( x x f( x x f( x x f'( x f'( x x x f( x e x f'( x e x f( x x f'( x x l f( x l x f'( x x f( x se x f'( x cosx f( x cosx f'( x se x f( x tgx f( x f( x f( x rcse x rccosx rctg x f'( x f'( x f'( x f'( x cos x x x x f'( x tg x f'( x sec x.4. Regls de derivció º (K f(x k f(x º ( f(x ± g(x f(x ± g(x º ( f(x g(x (f(x g(x (f(x g(x 4º f(x' g ( (f(x / g(x' x f( x g(x' g( x 5º Regl de l cde. Pr fucioes compuests. f(g(x' f' ( g( x g'( x Primero derivmos l fució más exter, luego l siguiete, etc
.5. Derivbilidd L derivbilidd cosiste e sber si u fució es derivble o o. Ls codicioes pr que u fució se derivble so. º Pr que u fució f(x se derivble, debe ser obligtorimete cotiu. º Pr que u fució f(x se derivble e u puto, debe teer us pediete defiid e dicho puto, es decir, debe vrir de form suve e dicho puto º L derivbilidd e u puto, l comprobremos clculdo ls derivds lterles e dicho puto, mbs debe coicidir pr verificr que f(x es derivble e dicho puto. 4º L derivbilidd geerl de u fució f(x, se comprueb hciedo su derivd y estudido el domiio de l derivd obteid..6. Teorem de Rolle *** Si teemos u fució f(x cotiu e el itervlo cerrdo [.b] y derivble e el itervlo bierto (,b y demás f( f(b, etoces, existirá l meos u puto c etr y b, de mer que f (c 0.
.7. Teorem del vlor medio o Cuchy *** Si teemos u fució f(x cotiu e el itervlo cerrdo [.b] y derivble e el itervlo bierto (,b, etoces existirá l meos u puto c etre y b de mer que se cumpl f'( c f( b f( b Esto quiere decir que hbrá l meos u puto dode su derivd se igul l pediete medi. Ejemplo. Si vmos de vije u velocidd medi de 00km/h, y vmos circuldo etre 80km/h y 50km/h, e lgú mometo del vije iremos exctmete 00km/h..8. Teorem de L Hôpitl *** Si teemos dos fucioes f(x y g(x derivbles y teemos el siguiete ite idetermido f( x x x 0 g( x o 0 0 Podemos decir que dicho ite coicide co f( x f'( x x x 0 g( x x x 0 g' ( x Est regl se puede plicr cuts veces se ecesrio pr quitr l idetermició. 4
.9. Idetermicioes especiles *** Hy lgus idetermicioes que o so ls específics de L Hôpitl, pero se puede rreglr pr poder plicr el teorem de L Hôpitl. Dichs idetermicioes so: 0 L form de proceder es l siguiete. 0 xlx 0 l 00 ( x 0 Vemos que teemos u idetermició, pr slvrl, cmbimos uo de los coeficietes l deomidor ivertido, pr cotiur co l iguldd. x 0 x 0 lx x lx x l 0 x 0 0 x 0 x x x 0 x x Ahor si podemos plicr L`Hôpitl ( x 0 Y qued resuelto el límite x 0 b 0 (( cosx x ( ( cos0 x 0 Vemos que teemos u idetermició, pr slvrl hcemos el L del límite L ( L x 0 l ( (( cosx x x 0 x l ( cosx x 0 l ( cosx x l ( cos0 0 0 0 Y hor si podemos plicr L Hôpitl x 0 l ( cosx x x 0 cosx ( se x x 0 se x cosx se 0 cos0 0 0 Pero este NO es el resultdo del ite, sio del L del ite, por tto, pr hllr el resultdo del límite debemos despejr. L ( 0 e 0 x 0 (( cosx x 5
TEMA. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES.. Represetció locl de fucioes Es l represetció grfic de u fució, pr ello debemos hcer 7 psos idispesbles. PASOS IMPORTANTES EJEMPLO PRACTICO f( x º Domiio D { x R x 0 } D R { } x x GRAFICA DE LA FUNCIÓN º Putos de corte co los ejes E el eje x -> f(x 0 E el eje y -> f(0? x Eje x f(x 0 > 0 x 0 x Eje y f(0? f( 0 0 0 0 0 y 0 Sigo de l fució Sigo de l fució Hcemos u tbl co los putos críticos del domiio y los putos de corte e el eje x. - 0 - -/ x - - x - f(x - º Simetrí de l fució Pr > f(x f(-x Cogemos u puto l zr x x - Impr > f(x - f(-x f( f( NO es simetri->asimetrica 4º Periocidd de l fució Solo cosidermos periódics ls fucioes trigoométrics. No es periódic 6
5º Asítots Asítots Verticles. U rect verticl que idic u vlor de x, x 0, pr el cul l fució tiede ± f( x ± x x 0 Está siempre socids problems de domiio, sobretodo e frccioes y logritmos. Asítots Horizotles. U rect horizotl que idic que vlor tiede l fució cudo x tiede ± x ± f( x f( x x Normlmete vle co, excepto e expoeciles, dode clculmos y - f( x y f( x x x Ls sítots verticles NO puede cruzrse co l fució, PERO l horizotl SI puede cruzrse. Asítots Oblicus. U rect oblicu que idic l tedeci de l fució e ±. y mx Dode m x f( x x 0 ( f( x mx x Solo se clcul cudo NO hy sítots horizotles Asítots Verticles. Estudimos todos los putos críticos del domiio. x x x 0 Por tto, teemos u sítot verticl e x - Pr sber exctmete que ps e l sutot, estudimos los ites lterles e x -. x - x x x x x - - 0-0 Asítots Horizotles. Hcemos el ite cudo x tiede ± x x x x x x L Hôpitl x Por lo tto, teemos u sítot horizotl e y Asítots Oblicus. Como teemos u sítot horizotl NO estudimos ls sítots Oblicus. 7
6º Primer derivd Crecimieto y Decrecimieto Máximos y míimos Reltivos 6.. Clculmos l derivd. 6.. Igulmos cero. 6.. Resolvemos l ecució y se hll los putos críticos. - máximos - míimos - Ptos. Iflexió 6.4. Hcemos l tbl de sigos co: - Ptos. Críticos de f(x - Ptos. Críticos de f (x 6.5. Estudimos ls zos f (x > 0 > Creciete f (x < 0 > Decreciete f`(x 0 > P. Iflexió 7º Segud derivd Cocvidd y Covexidd **Solo lo hcemos si os pide ests culiddes de l fució, si o NO. 7.. Clculmos l ª derivd 7.. Igulmos cero el resultdo 7.. Resolvemos l ecució y hllmos los putos críticos de º orde, que so putos de iflexió. 7.4. Hcemos l tbl de sigos co: - ptos. Críticos f(x - ptos. Críticos f (x 7.5. Alizmos l cocvidd y covexidd f (x > 0 > covex (cuchr f (x < 0 > cócv f( x x x 6.. Clculmos l derivd. f ( x ( x x ( x ( x 6.. Igulmos l derivd cero. f ( x 0 ( x 0 6.. Resolvemos l ecució. 0 Idetermido Por tto NO hy solució, sí que NO hy putos críticos de l derivd, por tto NO hy máximos i míimos. 6.4. Hcemos l tbl - - f (x Creciete Creciete 7.. Hcemos l ª derivd f'' ( x ( x (( x ' ( x 7.. Igulmos cero ( x 0 7.. Resolvemos l ecució 0 Idetermido ' ( x Por tto NO hy putos críticos de º orde, sí que NO hy putos de iflexió. 7.4. Hcemos l tbl - - 0 f (x Covex - Cócv Co todos estos dtos y podemos dibujr l fució. ** Si teemos lgú puto critico dode f (x 0, etoces: f (x > 0 > míimo reltivo f (x < 0 > máximo reltivo f (x 0 > pto. Iflexió 8
.. Poliomio de Tylor *** El poliomio de Tylor de u fució f e u puto x 0, es u proximció poliómic de l fució, cpz de sustituir l propi fució e putos muy próximos x 0. Se clcul prtir de derivds sucesivs co l formul: f'( x 0 P ( x f( x 0! ( x x 0 x 0 f''( ( x x 0...! f ' x 0! ( x x 0 Ejemplo. Clcul el Poliomio de Tylor de grdo de l siguiete fució. f( x l( x e x Segú l teorí, l formul seguir será; P ( x f( f'(! ( x f''(! ( x f ''' (! ( x Así que vmos obteiedo cd operdor f( l( l 0 f'( l ( x ' x ( x f'' ( x 0 ( x ( ( ( x ( x ( f'''( x f''( x ( x f'''( x (-(-x ( Por tto, el poliomio de Tylor qued; P ( x 0 P ( x 0 x ( x ( x ( x ( x 6 ( x ( x Y si sustituimos e el poliomio de Tylor por u vlor muy cerco x, vemos que se proxim mucho dicho vlor, por ejemplo sustituimos por x, P (, 0 x ( x ( x, 0. 0. 0. 0.05 Qued comprobdo que el poliomio de Tylor fucio correctmete. (, (, **Tmbié podemos usr el Poliomio de Tylor pr hllr l rect tgete e u puto idicdo, sbiedo que: f'( x 0 P ( x f( x 0 ( x x 0 y f( x 0 f'( x 0 ( x x 0 y mx! 9
TEMA 4. INTEGRALES INDEFINIDAS 4.. Itroducció L itegrl es u fució que l derivrl, d lo de detro de l itegrl f( x dx F( x C F' ( x f( x Alguos ejemplos de itegrles xdx x C kdx kdx kx C x( x dx x (4-4xx^dx ( dx 4xdx 4x dx x dx 4xdx 4 x dx x dx 4 x x dx ( x ( x C 4x 4x x 4 x x 4 Derivd de lo de detro dx ( x dx ( x ( x C 4 C x 4 x 4 x 4 C x x dx x ( x dx Derivd de lo de detro ( x ( 6x ( x dx 6 6 C 9 ( x C e se x se x cosxdx e se x C x Es l derivd de (sex 5 xdx x x dx x dx x 5 C 5 x 5 C sex dx l( cosx cosx C x x e dx e dx x e dx 4e x C tg xdx se x cosx dx se x cosx dx l cosx C x dx x x ( x ( x l x C x lx x C 0
4.. Tbl de Itegrles Imedits kdx kx x dx x C se x dx cosx C C cosxdx se x C C x dx x C dx tgx l cos x e x dx e x C dx rcse x C x dx l x x C dx rccosx C x dx rctg x C x 4.. Itegrció por prtes Se us cudo teemos u producto de fucioes, si relció por l regl de l cde. f( x g( x dx uv vdu Sbiedo que los cmbios que debemos elegir so: u derivr du Fució que l derivrse se simplifique: poliomios, etc dv itegrr v Fució que l itegrse o se complique: expoecil, trigoométric Alguos ejemplos de posibles cmbios so: x e x dx x sex dx x cosxdx e x se x dx e x cosxdx ** x l x dx ** x rcse x dx x rccosx dx x rctg x dx u x v e x dx u x dv sex dx dv cosxdx D igul cul cojmos u l x dv x dx u rcsex u rccosx u rctg x dv x dx
Ejemplos de Itegrció por prtes. xe x dx u x du dx dv e x dx v e x Aplicmos l formul de l Itegrció por Prtes xe x dx xe x e x dx xe x e x C e x ( x C b x e x dx u x du xdx dv e x dx v e x Aplicmos l formul de l Itegrció por Prtes x e x dx x e x e x xdx x e x xe x dx x e x ( e x ( x C c x cosxdx u x du dx dv cosxdx v se x Aplicmos l formul de l Itegrció por Prtes x cosxdx xsex se x dx xsex ( cosx C xsex cosx C d *** e x sex dx Est es u itegrl cíclic, hgmos el cmbio que hgmos l fució se vuelve repetir. u sex du cosxdx dv e x dx v e x Aplicmos l formul de l Itegrció por Prtes e x se x dx se x e x e x cosdx Es l itegrl terior Vemos que prece l mism fució, por tto estmos obligdos hcer el mismo tipo de cmbio u cosx du se x dx dv e x dx v e x Aplicmos l formul de l Itegrció por Prtes e x se x dx se x e x e x cosdx sex e x cosxe x e x (-se xdx e x se x e x cosx e x sex dx e x ( se x cosx e x sex dx e x sex dx Vemos que l fució se repite, por tto, teemos que: e x ( se x cosx I I I e x ( se x cosx I e x ( se x cosx C
e l x dx u lx du x dx dv dx v x Aplicmos l formul de l Itegrció por Prtes l x dx l x x x x dx xlx dx xlx x C f Cso Prticulr ** rcse x dx u rcse x du x dx dv dx v x Aplicmos l formul de l Itegrció por Prtes rcse x dx rc se x x x x dx A A x dx x ( x x Por tto, teemos que dx ( x ( x dx ( x x rcse x dx xrcsex ( x C xrcsex x C g rctg x dx u rctgx du dx x dv dx v x Aplicmos l formul de l Itegrció por Prtes rctg x dx rctg x x x dx xrctgx x x A dx x Por tto, teemos que rctg x dx xrctgx x x dx l ( x C l ( x C x dx x A
4.4. Itegrles Rcioles o descomposició e frccioes simples *** Este método se us pr itegrles de cociete de poliomios. p( x q( x dx Pr llevr cbo este método de itegrció se debe seguir los siguietes psos: º Se compr los grdos de mbos poliomios y podemos ecotrros co dos situcioes º Se descompoe el poliomio del deomidor q(x medite Ruffii y teemos tres situcioes.. grdo p( x grdo q( x DIVIDIMOS p( x q( x dx Resto Cociete dx divisor.. grdo p( x < grdo q( x PASOº.. Ríces Reles simples o distits q( x ( x ( x b ( x c b c E este cso, descompoemos l itegrl e fctores, de l form: A x dx B x b dx C x c dx p( x q( x dx Dode solo qued clculr el vlor de A, B y C. E estos csos, el resultdo fil so logritmos... Ríces Reles Múltiples q( x ( x ( x b ( x c E este cso, descompoemos l itegrl e fctores, de l form: p( x q( x dx A x dx B x b dx C ( x b dx D x c dx E ( x c dx F ( x c dx E estos csos, el resultdo fil so logritmos o potecis... Ríces Complejs q( x ( x ( x b ( cx dx e Cudo vemos que uo de los fctores NO se puede descompoer más. E este cso, descompoemos l itegrl e fctores, de l form: p( x q( x dx A x dx B x b dx C ( x b dx Dx E dx cx dx e E este cso, el resultdo fil so logritmos o potecis y el ultimo fctor será u logritmo o rctg o ls dos. º CASO ESPECIAL TIPO ARCTG. dx x bx c No se puede descompoer x bx c E estos csos plicmos l siguiete formul directmete: dx dx rctg x bx c x bx c 4c b x b 4c b 4
Vmos relizr ejemplos de los csos expuestos e l tbl terior. x dx x º Como el grdo de p(x es myor que el grdo de q(x relizmos l divisió. x x x x 0 x x º Desrrollmos l itegrl co el resultdo de l divisió. x dx x x xdx b x 4 x 5x 6 x dx x dx x xdx x dx xdx dx x dx x x x rctgx dx x l ( x C º Vemos que el grdo del deomidor es myor, por tto, psmos l segudo puto, desrrollr dicho deomidor medite Ruffii. -5 6-6 - 0 0 º Por tto, l itegrl qued: x 4 A dx x 5x 6 x dx x 5x 6 (x-(x- B x dx x x º Desrrollmos el sistem de ecucioes pr hllr los vlores de A y B. x 4 A B A( x B( x Ax A Bx B x 5x 6 x x (x-(x- (x-(x- x 4 A Ax Bx B Dmos vlores x x 4 A( x B( x 4A( A A x x 4 A( x B( x 4B( B B 4º Desrrollmos l itegrl desde el pricipio. x 4 A dx x 5x 6 x dx B x dx x dx x dx x dx dx l( x x l ( x C l ( x x C dx 5
c dx x x x º Vemos que el grdo del deomidor es myor, por tto, psmos l segudo puto, desrrollr dicho deomidor medite Ruffii. - - - 0 0 x x x x ( x x x (x-(x- º Por tto, l itegrl qued: dx A x x x x dx B x dx C ( x º Desrrollmos el sistem de ecucioes pr hllr los vlores de A, B y C. A B C A( Bx ( x Cx A( x x x x x x ( x x( x Bx ( x Cx Dmos vlores x pr hllr ls icógits. x 0 A( 0 B 0 ( 0 C 0 A x A( B( C C x A( B ( C A B C B B 4º Desrrollmos l itegrl desde el pricipio. dx x x x x dx x dx dx l x l ( x ( x dx ( x ( x l x l ( x ( x dx l x l ( x C l x l ( x C x x l C x x d x dx x º Vemos que el grdo del deomidor es myor, por tto, psmos l segudo puto, desrrollr dicho deomidor medite Ruffii. 0 - - x x x ( x - NO 0 NO Vemos que el segudo fctor NO se puede descompoer, si que estmos e el cso.. 6
º Por tto, l itegrl qued: x x x dx A x dx Bx C dx º Desrrollmos el sistem de ecucioes pr hllr los vlores de A, B y C. A Bx C A( x (BxC(x Ax A Bx Cx x x x x x( x Ax Bx 0 Cx 0 A Por tto, despejdo el sistem de ecucioes, teemos que: A A B 0 B 0 B C 0 4º Desrrollmos l itegrl desde el pricipio. x 0 x x x x dx dx A x dx Bx C dx x dx dx x dx x x x dx x dx x dx l x x x l ( x C l dx x x x C e x dx x x x º Como el grdo de p(x es igul que el grdo de q(x relizmos l divisió. x x x x x x x 0 x x º Desrrollmos l itegrl co el resultdo de l divisió. x x x I dx dx dx x x x x x x Dividimos l itegrl e diferetes prtes. Estudimos est primer prte de l itegrl. Descompoemos el deomidor e fctores medite Ruffii NO - - 0 0 NO x x x x ( x x 7
Vemos que el segudo fctor NO se puede descompoer e fctores, por tto, teemos que l prte I es: I x x dx A x x x x dx Bx C dx x x x x A( x (BxCx x x x x( x x x x Ax Ax A Bx Cx A B A A C C A B Desrrollmos l itegrl desde el pricipio. I x x I dx A x x x x dx Bx C dx x x x dx x dx x x x Estudimos est segud prte de l itegrl. x x I dx dx x x x x Estudimos l tercer prte de l itegrl. I dx rctg x x x 4 4 x Itetmos scr u l I x dx dx x x x E este cso, estmos e el puto º, por tto, plicmos l formul directmete. Filmete, uimos tods ls prtes de l itegrl pr hllr el vlor totl de l mism. x dx dx I x x x x lx l ( x x dx x dx dx x dx 4 rctg x I 4 C x lx l ( x x x x dx I x rctg x C 8
4.5. Itegrles de Cmbio de Vrible *** Hy diferetes tipos de cmbio de vrible, sí que iremos viedo u ejemplo de los ms sigifictivos. 4.5.. Cmbio de vrible Persolizdo E estos csos, debemos elegir u fució que o se demsido grde y teg lgo rro, como logritmos, etc l x x dx tdt t t l x dt x dx C l x C Hy otr form de scr el vlor de dx, que es hlldo el vlor de l x y derivdo, por ejemplo: x dx t e t dt tdt t e t lx t l x x e t dx e t dt C l x C xlx dx dt l t t C l ( l x t l x C dt x dx se x cosxdx tdt t t se x dt cosxdx C se x C 9
4.5.. Cmbio de vrible pr Itegrles Irrcioles Lo usmos pr itegrles formds por Ríces de Poliomios de primer grdo. Usmos el cmbio de vrible pr quitros l ríz. x x dx ( t t tdt ( t 4 t dt t x t x x t dx tdt t 4 dt t dt t 5 5 t C 5 x 5 x C x dx x E este cso teemos que quitr mbs ríces, pr poder hcer esto, lo de detro de l ríz debe ser lo mismo e mbs. Hcemos el siguiete cmbio de vrible y sustituimos. x 0 t x t 6 dx 6t 5 dt Scmos el m.c.m. del expoete x t x x I t 8 t 5 º Dividimos t 8 0 t 8 dx t 6 t 6 6t 5 dt t 6t 5 dt 6 t 8 t dt INTEGRAL DE POLINOMIOS t t 6 t 5 t 6 t 5 0 t 6 t 5 0 SUSTITUIMOS t 4 t 5 t 4 t t 4 t 0 t 4 t t t t t 0 t t t 0 t t t 5 I t dt t 6 t 4 t t t 0
º Hcemos l ecució, sbiedo que: D d c R D d c R d t 6 t 4 t t t I t dt I t º Teemos que I vle: I t t dt t (t(-t dt t dt l( t C 4º Por tto, l itegrl totl vle: x dx 6 ( t 6 t 4 t t t dt l ( t 6 x 6t 7 7 6t 5 6t 4 5 4 6t 6t 6t 6l ( t C t 7 7 t 5 t 4 5 4 t t t l ( t C 6 7 6( x 7 6 5 6( x 5 ( x ( x 6 4 6 6 6 ( x 6 ( x 6l ( 6 x C
4.5.. Cmbio de vrible pr Itegrles Irrcioles Trigoométrics *** E este cso teemos tipos diferetes TIPO CAMBIO f ( x dx x set dx costdt TABLA MUY IMPORTANTE f ( x dx x se t dx cost dt se t f ( x dx x tg t dx dt cos t A cotiució detllmos u ejemplo de cd cmbio de vrible. º x dx (( x se t set costdt dx costdt se t costdt ( se t costdt cos t costdt cos t costdt cost costdt cos tdt cos dt L itegrl resultte se resolverá ms delte co el método 4.5.4.
º dx x set cost se t dt x se t se t dx cost se t dt cost se t dt cost cost dt se t se t cos t se t se t se t set cost cost dt se t set dt L itegrl resultte se resolverá ms delte co el método 4.5.4. dt cost set cost se t dt º 4 x dx 4 tg t dt 4( tg t cos t dt cos t x 4tgt tg t 4 dx dt cos t 4 4 dt dt dt 4 dt cos t cos t cost cos t cos t cos t L itegrl resultte se resolverá ms delte co el método 4.5.4.
4.5.4. Cmbio de vrible pr Itegrles Trigoométrics *** Se us pr fucioes del tipo f( sex, cosx dx Hy cutro tipos posibles, segú se ls itegrles trigoométrics; TIPO DE FUNCION IMPAR e SENO f( sex f( sex IMPAR e COSENO f( cosx f( cosx PAR e SENO y COSENO f( sex, cosx f ( sex, cosx El resto de Itegrles Trigoométrics TIPO DE CAMBIO cosx t sex t dx dt t sex t cosx t dx dt t tg x t t sex t cosx t dx dt t tg x t sex t t cosx t t dx dt t 4
Los cmbios vistos e l tbl terior se sc de relcioes trigoométrics, cotiució veremos como hemos coseguido dichos cmbios. Cmbio pr Itegrles Trigoométrics Impr e Seo cosx t se x cosx t dt sex dx dx cos x se x cos x se x t sex t dt sex t dt b Cmbio pr Itegrles Trigoométrics Impr e Seo Es el mismo rzomieto terior pero cmbido el seo por el coseo y vicevers. c Cmbio pr Itegrles Trigoométrics Pr e Seo y Coseo tgx t tg x cos x cos x tg x t cosx tg x sex t sex tgx cosx cosx t t dt (tgx' dx dx cos dt cos x t dt A cotiució vemos uos ejemplos de cd uo de los cmbios lizdos teriormete. Cmbio pr Itegrles Trigoométrics Impr e Seo se x cos x Vemos que es de seo impr y que: se x cos x ( se x cos x se x cos x Cmbi el sigo de l fucio Así que hcemos el cmbio señldo: cosx t se x t dx Teemos que: t dt se x cos xdx t t ( t t 4 dt t dt t 4 dt t t dt t dt t t dt ( t t 5 C 5 cos x cos 5 C 5 5
b Cmbio pr Itegrles Trigoométrics Impr e Seo se 4 xcosxdx Comprobmos que es Impr de Coseo y hcemos los cmbios explicdos e l tbl se x t cosx t dx dt t se 4 x cosxdx t 4 t t dt t 4 dt t 5 5 C se 5 x C 5 c Cmbio pr Itegrles Trigoométrics Pr e Seo y Coseo dx se x Comprobmos que es pr, y que uque cmbies el sigo de seo, l fució NO cmbi de sigo, sí que hcemos los cmbios del tercer cso. t tgx t sex t cosx t dx dt t L fució qued como: dx se t dt t t t t dt dt t dt t t t C t C C tg x cosx C sex 6
d El resto de itegrles trigoométrics. dx cosx Comprobmos que dich fució NO cumple ls propieddes teriores y hcemos los cmbios explicdos e l tbl: tg x t sex t t cosx t t dx dt t L fució qued: dx cosx t t dt t dt t t t t t dt t dt t C tg x C se x cos x C 7
TEMA 5. INTEGRAL DEFINIDA 5.. Itroducció L itegrl se us pr hllr el áre de forms o coocids. Dividimos dichs forms e otrs de ls que si coocemos su áre, por ejemplo rectágulos, áre b ltur i f( m i x s f( m i x áre b ltur A i f( M i x S f( M i x Observdo ls figurs teriores, vemos que el cálculo del áre se puede hcer por defecto o por exceso, segú esto teemos que: s clculo del áre por defecto SUMA INFERIOR DE RIEMANN S clculo del áre por exceso SUMA SUPERIOR DE RIEMANN Por tto, L mejor de tods ls sums iferiores co u trocedo myor, se llm Itegrl Iferior de Riem. L mejor de tods ls sums superiores co u trocedo myor, se llm Itegrl Superior de Riem. Si l itegrl superior y l itegrl iferior coicide, el resultdo es l Itegrl Defiid. b f( x dx 8
5.. Itegrbilidd U fució es itegrble si tiee u áre defiid etre l fució y el eje. Aquí vemos uos ejemplos de fucioes: Por tto, podemos decir que: Pr que u fució f(x se Itegrble e u itervlo cerrdo [,b], deberá ser por lo meos, discotiu de slto fiito 5.. Propieddes de ls Itegrles b b. k f( x dx k f( x dx b. [ f( x ±g( x ] b dx f( x dx ± b g( x dx b. Si f( x 0 x [, b] f( x dx 0 4. Si f( x g( x e [ b], b b 5. f( x dx f(x dx 6. f( x dx 0 b b f( x dx g( x dx b 7. f( x dx f( x dx b b c 8. Si < c < b f( x dx f( x dx b f( x dx c 9
5.4. Teorem del Vlor Medio *** Si teemos u fució f(x cotiu e u itervlo cerrdo [,b], etoces existirá l meos u puto c є [,b], de mer que cumpl b f( x dx f( c ( b Referete este teorem os puede hcer dos cuestioes muy importtes: - cuto vle c, que es el puto de Vlor Medio - cuto vle f(c que es el Vlor Medio de l fució. Ejemplo. De l siguiete fució, es cotiu b Aplicr el Teorem del Vlor Medio y hllr dicho vlor. f( x 4 x [, ] L fució es cotiu, y que es u poliomio. b Aplicmos el Teorem del Vlor Medio. ( 4 x dx f( c ( b f( c ( ( 4f( c x ( 4 x dx 4x 4 Por tto, el Vlor Medio de l fució es: 4f( c f( c 8 Y que el puto de Vlor Medio es: 4 ( ( 8 8 8 8 6 6 f( c 8 4 c c 4 8 8 4 c ± 4 Como el vlor debe estr detro del itervlo, vemos que teemos dos putos medios 4 4 c y c Observdo l grfic de l fució, comprobmos que el resultdo es correcto. 40
5.5. Fució Itegrl *** Exme Seguro Como hemos visto teriormete, l itegrl es el áre de l zo que hy etre l fució y el eje b f( x dx AREA Pero, si queremos el áre de u figur e l que u extremo del itervlo vrí, tedremos dich áre e fució de u vrible t, esto se cooce como Fució Itegrl Defiid Vrible. t AREA f( x dx F( t FUNCION INTEGRAL L fució itegrl tiee ls siguietes propieddes: L fució itegrl F(t SIEMPRE es cotiu b L fució Itegrl F(t es UNICA (uc llev el C 5.6. Teorem Fudmetl del Cálculo Itegrl (TFCI *** Exme Seguro Si Teemos u fució f(x cotiu e el itervlo cerrdo [,b] y teemos su fució itegrl F(t, etoces F(t será cotiu, derivble y F (t f(t. Ests crcterístics se cumple SIEMPRE. F( t t f( x dx F' ( t f( t NOTA: El TFCI es muy útil pr idicr que: Si f(x es cotiu -> F(t es derivble Si f(x o es cotiu -> F(t o es derivble Ejemplo. L siguiete Fució Itegrl es derivble? F( t t se x cos x 7 cosx dx Por el TFCI sbemos que si f(x es cotiu, F(t será derivble, por tto, estudimos l cotiuidd de f(x, D { x R 7 cosx 0 } { x R cosx 7 } D R Vemos que f(x siempre es cotiu, y que l fució coseo solo vri etre y -, por tto F(t es derivble e todo R. 4
5.7. Regl de Brrow Si Teemos u fució f(x cotiu e el itervlo cerrdo [,b] y teemos su fució itegrl F(t, etoces podemos decir que: F( t b f( x dx F( b F( Es l explicció teóric de cómo se hce ls Itegrles Defiids. 5.8. L Derivd de l Fució Itegrl *** Exme Seguro Existe diferetes vrites de l fució Itegrl, cotiució se ve tods y se explic como hcer l derivd. Fució Itegrl Derivd de l Fució Itegrl Ejemplo F( t F( t t f( x dx b f( x dx F( t g( t F( t f( x dx F( F( t g( t t h( t f( x dx F( F' ( t f( t Es l Fució Itegrl Clásic. t b t f(xdx F' ( t f( t F( t F' ( t f( g( t g'( t Precid l Regl de l Cde. c t h( t t g( t f( x dx F( t g( g( t f(xdx f(xdx c h( t g( t f(xdx f(xdx c c F' ( t f( h( t h'( t f( g( t g'( t F' ( t f( g( t g'( t f( h( t h'( t Precido l Regl de Brrow. t t f( x dx t rcse ( l x dx t F( t rcse ( l x dx F' ( t f( t rcse( l t F( cost t l x x F' ( t l cost cos t dx ( se t l t x F( t rccos dx tg x e t F' ( t rccos rccos F( t l t tg ( l t e t tg ( e t t t e x dx t e t t t e x dx F' ( t g'( t t f(xdx g( t f( t Hcemos l derivd de u producto. F' ( t t t e x dx t e t t e x t ] t e t t( e t e t e t 4
Ejercicio Típico de Exme. Hcer el siguiete límite t 0 t 0 t 0 t 0 x dx se t x dx se t 0 0 x dx 0 se 0 0 L itegrl defiid etre el mismo umero es ul. Por tto, plicmos L Hopitl x f( x g( x x f'( x g' ( x t 0 t cost 0 5.8. Fució Itegrl e vrios trmos Se estudi l fució itegrl e cd trmo de form idepediete, pero teiedo e cuet el trmo terior, y que l Fució Itegrl es como u gr sum Ejemplo. Clculr F(t de f(x e el itervlo [0,] x 0 x f( x x <x Observdo f(x tedremos que F(t será: F( t t xdx 0 t 0 xdx 0 t ( x dx < t F( t x 0 t 0 t x t x 0 x < t t Clculdo l Fució Itegrl, teemos: t 0 0 t t 0 t F( t t 0 t < t F( t t t < t 4
5.9. Cálculo de áres L Fució Itegrl sirve pr clculr áres de grfics, segú se dichs gráfics se us u método u otro. A cotiució estudimos los diferetes métodos. Áre de u fució sobre el eje b Áre f( x dx Áre de u fució debjo del eje Áre b f( x dx Áre etre dos fucioes b Áre ( g( x f( x dx Precido l Regl de Brrow, l fució superior meos l iferior. Áre etre dos fucioes cortdo los ejes b Áre ( g( x f( x dx Igul que e el cso terior, o import que los ejes se corte y que lo que queremos es el áre de l prte que hy etre mbs fucioes, d igul su situció respecto los ejes. 44
Ejemplo. 4. Hllr el áre de l regió itd por y x y x 0 º Colocmos ls fucioes de form coocid. y x f( x x y x 0 y x g( x x º Hllmos los putos de corte etre mbs fucioes, pr ello ls igulmos. x x x x 0 x ± 4 ( ± x º Debemos sber e que posició est cd gráfic, pr ello o hce flt dibujrls, co sber el vlor de cd u de ells pr u vlor x del itervlo, sbemos cul est por ecim. f( 0 0 g( 0 0 Vemos que g(x est por ecim de f(x. 4º Sbiedo los putos de corte y que g(x es l superior, teemos que el áre de l regió será: Áre ( g( x f( x dx ( ( x ( x dx ( ( x x x 8 4 4 9 u Viedo l gráfic comprobmos que todo est correcto. 45
b xy y x x y º Colocmos ls fucioes de form coocid. xy y x f( x y x g( x x x x y y x h( x x º Hllmos los putos de corte etre mbs fucioes, como e este cso teemos tres fucioes, teemos que dibujr ls fucioes pr sber cul se cruz co cul y luego igulrs dos dos. Vemos que l regió es simétric, por tto, vldrá co clculr u zo y luego multiplicr por dos. E l gráfic vemos que pr hllr el áre de l regió superior, ls fucioes que cort so: f(x co g(x f(x co h(x g(x co h(x Igulmos ls fucioes e ls prejs obteids teriormete; f( x g( x x x x x x ± f( x h( x x x 4 x x ± g(x co h(x se cruz e x0, lo vemos e l gráfic. Por tto, como hemos dicho que vmos hllr l regió superior, solo cogemos los putos de corte que está e l prte superior de los ejes, sí que teemos los siguietes putos de corte; 0, b, c º Sbiedo los putos de corte y l posició de cd fució, teemos que el áre de l regió será: Áre g( 0 x 4 ( x h( x x dx Áre Totl l 4l 0 lx l l ( f( x h( x dx x x 0 0 4 x dx x x dx 0 l l 4 l l l Áre de l regió superior 4 4 4 46
TEMA 6. SERIES 6.. Sucesioes U sucesió es u colecció orded de úmeros, que ormlmete sigue lgú tipo de formul, e fució de los úmeros turles. {,,,... } Alguos ejemplos de sucesioes, puede ser {,,,... } {, 4, 9, 6,... },,,,... 4 Y observdo ests sucesioes, podemos hllr el térmio geerl de cd u de ells, dicho termio geerl idic l fórmul que sigue cd sucesió, por ejemplo {,,, 4,... } {, 4, 9, 6,... },,,,... 4 6.. Series U serie es l sum de todos los elemetos de u sucesió E los csos teriores, tedremos ls siguietes series; 4... 4 9 6... 6.. Crácter de ls series ***...??? 4 Ls series solo puede teer dos crcteres distitos, depediedo de su resultdo: Covergete. Si el resultdo de l sum es u úmero fiito 0... 0, 0,0 0,00... 0,... 0 00 000 Divergete. Si el resultdo de l sum es ± 4 9 6... 47
6.4. Tipos de series 6.4.. Series de térmios positivos *** So quells dode todos sus térmios so positivos. Codició ecesri de covergeci. Pr que u serie se covergete deberá cumplir obligtorimete que: 0 Dich codició es ecesri, pero NO suficiete.... 0 Cumple l codició pero o es covergete 4... 9 0 Est si es covergete Criterios de covergeci Los criterios de covergeci so métodos que permite lizr l covergeci de l serie. Criterios Absolutos Criterio del cociete o de D lembert Criterio de Rbe Si teemos u serie clculmos P P < P > P CONVERGENTE DIVERGENTE Criterio de Rbe Este criterio se us pr series fctoriles o expoeciles. A veces se us e Poliómics de poco grdo. Es u cotiució de terior, e este cso clculmos P P < DIVERGENTE P > CONVERGENTE P No hy d que hcer Criterio de l Ríz o de Cuchy Se us e el mismo tipo de series que el criterio terior, y que es su cotiució. Si teemos u serie clculmos P P < CONVERGENTE P > DIVERGENTE P??? Este criterio se us pr series expoeciles o Poliómics. Nuc e series fctoriles. 48
Criterios Comprtivos o de Comprció. Estos criterios se bs e us series de refereci; Serie rmóic DIV > CONV b Serie geométric r r DIV 0 r < CONV Primer Criterio. No es muy cosejble. Si queremos lizr u serie,l comprmos co otr de refereci b 0 b si b es CONV es CONV b si b es DIV es DIV Segudo Criterio. El más cosejble de los dos. Si queremos lizr u serie,l comprmos co otr de refereci b P b P 0 y P ls dos series tiee el mismo crcter P 0 b es CONV es CONV P b es DIV es DIV Ejemplos de criterios de covergeci Criterio del cociete o de D lembert ( -!! ( -! (!! 0 0< CONV ( -! ( -!!! ( -( -( -... (!(-( -( -... (!! (! (!! (! (!! (! ( (! (! (! (! (!!! (! (! (! (! (! (!! (!(! (! ( ( ( ( I (! ( ( (( -( -... ( ( (! (( -( -...! I (! ( -( -( -... ( ( (( -( -... ( ( 4 4 4 6 4 4> DIVERGENTE 49
Criterio de Rbe (! 4 ((! (! 4 ((! ((! 4 4 (! (! 4 (! (! 4( ( ( (!! 4 (! (! 4 ((! I (! (! ( -( -... ( ( (( -( -... ( ( I (! ((( (( -( - (! (( ( -( -... 4( ( ( 4( 4 4 4 4 8 4 4 6 4 Rbe 4 6 4 6 4 4 4 8 4 8 4 6 4 ( 4 6 4 8 4 4 6 6 4 < DIVERGENTE Criterio de l Ríz o de Cuchy 5 5 5 5 5 5 < CONV 0 Idetermido Hciedo u desrrollo de l idetermició terior, sbemos que: poliomio Sber dicho desrrollo o es ecesrio e est sigtur. 4 5 5 4 5 5 0 5 4 5 < CONV 5 50
Segudo Criterio. El más cosejble de los dos. λcos º eimos el coseo, sustituyédolo por el vlor más lto que puede tomr, sbiedo que: cos 0 cos Vemos que el vlor ms lto que puede ser es 0 λcos λ Por tto, l serie qued: λ º Comprmos l serie co l serie rmóic, porque es u cociete de poliomios. Elegimos l rmóic y el vlor de como l rest de los expoetes de l serie. b b λ ( λ λ λ El límite de u cociete de poliomios es el cociete de los fctores co myor grdo. λ Por tto, segú ls respuests que os d: No covergete pr λ λ λ P 0 y P b CONVERGENTE Est opcio es Fls b Covergete solo pr 0 λ < Y hemos visto que pr λ c Nigu de ls teriores Est es l solució. es covergete, por tto est opció tmbié es Fls 5
6.4.. Series ltertes u ordetes *** Es u serie cuyos térmios lter el sigo, medite u coeficiete que provoc l lterci. ( cos( π Pr resolver este tipo de series, debemos plicr el criterio de Leibitz. 6.4... Criterio de Leibitz Codició ecesri de covergeci. Si teemos u serie de l form ( y queremos que coverj, debe cumplir que: 0 Método de Leibitz er Pso. Estudimos l serie co los térmios positivos solmete Si coverge > bsolutmete covergete b Si diverge > pso º º Pso. Estudimos l serie complet, co los térmios ltertes. ( coverge > codiciolmete covergete b ( diverge > divergete Ejemplo. ( Vemos que es u serie ltertes, por tto plicmos Leibitz º Pso. Estudimos l serie solo co los térmios positivos. Aplicmos el segudo criterio de comprció, siedo uestr serie de refereci: α α DIVERGENTE Por tto, b Expoete expoete del deomidor meos expoete del dividedo. - ½ ½ 5
Por tto, ls dos series tiee el mismo crácter, sí que uestr serie tiee u crácter divergete, por tto, debemos psr l º Pso. º Pso. Estudimos l serie co todos los térmios. 0 0 CONVERGE CONDICIONALMENTE CONVERGENTE Cogemos los coeficietes de l de myor grdo, e este cso el myor grdo es, sí que elegimos los coeficietes de grdo. Ejemplo se ( π L prte del seo, solo es pr hcer que l serie se lterte. º Pso. Estudimos l serie solo co los térmios positivos. Estudimos l serie medite el criterio de comprció, que es el mejor pr cocietes, por tto, teemos que l serie de refereci es: α α DIVERGENTE 0 b DIVERGE º Pso. Estudimos tod l serie. 0 0 CONVERGENTE CONDICIONALMENTE CONVERGENTE 6.4.. Tbl resume de Series Series de térmios positivos Series ltertes Criterios Absolutos Criterios Comprtivos Criterio de Leibitz Criterio del cociete Criterio de Rbe Criterio de Ríz de Cuchy Primer criterio Segudo criterio 5
TEMA 7. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA 7.. Itroducció L iterpolció Poliómic es u proximció poliómic de u fució, e u itervlo [,b] Es decir, coociedo lguos putos de l fució, podemos buscr u poliomio que pse exctmete por esos putos, y de est form, ecotrr u proximció l fució. Sbiedo que: Los putos de f coocidos so odos x 0, x, x L distci etre odos se llm distci iterodl h El grdo del Poliomio Iterpolr, es igul l úmero de odos meos uo (- 7.. Métodos pr hllr el Poliomio Iterpolr 7... Métodos geerles Pr hllr el poliomio Iterpolr, existe dos métodos, culquier de los dos so válidos siempre. 7... Método de Lgrge *** Teemos l fució f(x Teemos los odos x 0, x, x El Poliomio Iterpolr será: 0 P ( x f( x 0 L Sbiedo que: L 0 ( x x ( x x ( x 0 x ( x 0 x L L ( x x ( x x 0 ( x x 0 ( x x ( x x ( x x 0 ( x x 0 ( x x f( x L f ( x L Restmos x todos los odos meos el del térmio Restmos l odo del termio, todos los demás odos Ejemplo. Se P el poliomio de tercer grdo cuy grfic ps por los putos (-,, (0,0, (, y (,. Hllr P. (, x 0 f( x 0 ( 0, 0 x 0 f( x 0 (, x f( x (, x f( x Los térmios será: L 0 ( x x ( x x ( x x ( x 0 ( x ( x ( x 0 x ( x 0 x ( x 0 x ( 0 ( ( x ( x ( x 4 54
L ( x x ( x x ( x x 0 ( ( x x 0 ( x x ( x x ( 0 L ( x x ( x x 0 ( x x ( ( x x 0 ( x x ( x x ( x ( x ( x ( 0 ( 0 ( x ( x 0 ( x ( 0 ( L ( x x ( x x 0 ( x x ( x ( x 0 ( x ( x x 0 ( x x ( x x ( ( 0 ( x ( x ( x 4 ( x x ( x ( x x ( x 8 Así que el poliomio qued de l siguiete form: P ( x 4 x( x ( Por tto, x ( x ( x x ( x ( x x ( x ( x 0 L 4 8 x x ( x ( x 8 x ( x ( x P ( 8 4 8 4 4 4 4 P ( 8 4 5 0 8 4 5 5 4 4 5 7... Método de Newto Teemos l fució f(x Teemos los odos x 0, x, x El Poliomio Iterpolr será: P ( x 0 ( x x 0 ( x x 0 ( x x Sbiedo que: 0 f( x 0 f( x 0 f( x x 0 x x x 0 f( x 0 f( x x 0 x ( x x 0 ( x x ( x 0 x ( f( x ( x x 0 ( x x 55
7... Método especil. Método de Newto-Gregory *** Este método es u método especil pr odos equidisttes, es decir, que l distci iterodl se siempre l mism. El método cosiste e hcer u trigulo de diferecis. odo x 0 x x x fució f f f f( x 0 f( x f( x 0 f( x f( x ( f( x f( f( x f( x f( x f( x f( x ( f( x f( f( x f( x f( x f( x x 0 f( x f( x ( f( x f( x ( f( x f( x ( f( x f( x 0 x Hemos ido restdo l de bjo lo de rrib, sucesivmete, hst quedros co u solo térmio. Nos fijmos e l prte superior del trigulo, pr hllr el poliomio iterpolr. f P ( x f( x 0! h ( x x f 0! h ( x x ( x x f 0! h ( x x 0 ( x x ( x x Ejemplo Se f( x se π x cos( hllr el poliomio iterpolr reltivo los odos x 0, x, x. Vemos que h siempre. Hcemos el trigulo de diferecis, sbiedo que: x 0 f( x 0 se π x cos( πx se π cos( π 0 x f( x se π x cos( πx se π cos( π 0 x f( x se π x cos( πx se π cos( π f f f 0-4 - - Por tto, teemos que el poliomio iterpolr P ( x 0! ( 4 0! ( ( 4 0 ( x ( ( ( ( ( Y hor sustituimos l x por los vlores que ecesitemos. 56
CUADRO RESUMEN DE FÓRMULAS IMPORTANTES *** libro Fórmuls trigoométrics Dtos Trigoométricos tg x se x cosx se x se x cosx se x cos x cosx cos x se x tg x cos x Águlos 0 Π/6 Π/4 Π/ Π/ Π/ Π/4 5Π/6 Π se x 0 / / 0 cos x / 0 -/ - Logritmos coocidos Expoeciles coocids Propieddes Logrítmics No Idetermicioes L 0 L e l e l e L 0 - L e e e e 0 e 0 l ( b l l b l ( b bl l l l b b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 LAURA ALVAREZ DE FRUTOS. CURSO 0/04. 57