Introduión L trigonometrí es un ieni ntigu, y onoid por ls ulturs orientles y mediterránes pre-ristins. No ostnte, l sistemtizión de sus prinipios y teorems se produjo sólo prtir del siglo XVI, pr inorporrse omo un herrmient esenil en los desrrollos del nálisis mtemátio moderno. El origen de l plr trigonometrí proviene del griego. Es l omposiión de ls plrs griegs trigonon: triángulo y metron: medid; trigonometrí: medid de los triángulos. Se onsider Hipro (180-15.C.) omo el pdre de l trigonometrí deido priniplmente por su hllzgo de lguns de ls reliones entre los ldos y los ángulos de un triángulo. Tmién ontriuyeron l onsolidión de l trigonometrí Cludio Ptolomeo y Aristro de Smos quienes l pliron en sus estudios stronómios. Los álulos trigonométrios reiieron un grn impulso gris l mtemátio esoés John Neper (1550-1617), quien inventó los logritmos prinipios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el mtemátio suizo Leonrd Euler (1707-1783) hizo de l trigonometrí un ieni prte de l stronomí, pr onvertirl en un nuev rm de ls mtemátis. Originlmente, l trigonometrí es l ieni uyo ojeto es l resoluión numéri (lgeri) de los triángulos. Sin emrgo, el estudio de l trigonometrí no limit sus pliiones los triángulos: geometrí, nvegión, grimensur, stronomí; sino tmién, pr el trtmiento mtemátio en el estudio del movimiento ondultorio, ls viriones, el sonido, l orriente ltern, termodinámi, investigión tómi, et. Definimos l trigonometrí omo l prte de l Mtemáti que trt de l resoluión de triángulos por medio del álulo. Tmién podemos deir que es l rm de l Mtemáti que tiene por ojeto estudir l reliones numéris que existen entre los elementos retilíneos y ngulres de un tringulo o de ulquier otr figur geométri en generl y su pliión l soluión numéri de los prolems que pudiern presentrse. L trigonometrí se divide en TRIGONOMETRIA PLANA O RECTILINEA Y EN TRIGONOMETRIA ESFERICA Trigonometrí pln: Se oup fundmentlmente de l resoluión de triángulos plnos. Pr ello, se definen ls rzones trigonométris de los ángulos y se estudin ls reliones entre ells. L trigonometrí esféri, que se us sore todo en nvegión y stronomí, estudi triángulos esférios, es deir, figurs formds por ros de irunferenis máxims ontenidos en l superfiie de un esfer. Resoluión de triángulos. Tringulo: polígono de tres ldos Un polígono es un figur geométri pln limitd por segmentos retos (o urvos) onseutivos no linedos, llmdos ldos. Se d el nomre de elementos de un triángulo los ldos y A C ángulos que lo onstituyen. Por lo tnto en todo tringulo hy seis elementos, tres ldos y tres ángulos. Semos que ddos tres de ellos entre los que figure por lo menos un ldo, se pueden determinr los otros tres elementos desonoidos en funión de los que se onoen. FAUD-Mtemáti I - 1 β Γ B
L geometrí nos enseñ onstruir on los tres dtos triángulos que ontienen ls inógnits; l trigonometrí nos enseñr lulr los vlores de ess inógnits. Ldos de un tringulo: segmentos retilíneos que se miden on l unidd del sistem métrio deiml. Ángulos: figur pln, porión del plno omprendid entre dos semirrets on un origen omún denomindo vértie. Pr medirlos Se emplen preferentemente tres sistems de mediión de ángulos que desrrollremos ontinuión. Generión de ángulos: En trigonometrí los ángulos se onsidern omo engendrdos por un semirret móvil l girr lrededor de su origen que se supone fijo. Así en el ejemplo l semirret OA gir lrededor del punto fijo O, mnteniéndose en el mismo plno y generndo el ángulo AOB l psr de l posiión iniil OA l posiión finl OB. Al ldo que se onsider omo posiión iniil se lo llm tmién ldo origen y l de l posiión finl ldo lire Un ángulo sí generdo es positivo si el sentido del giro indido por un fleh urvilíne es ontrrio l de ls gujs del reloj (AOB) y negtivo si el sentido del giro es el mismo de ls gujs del reloj (AOB ). L semirret móvil puede psr del ldo iniil l ldo finl y se diretmente o después de her efetudo un giro ompleto; o tmién después de her efetudo ierto numero de giros ompletos. Por lo tnto si designmos por l ángulo desripto l psr diretmente de l posiión OA l OB tendremos que los ángulos generdos son 1 giro ompleto + giros ompletos + n giros ompletos + los ules tendrán sus ldos oinidentes pero los ules no serán igules; por el ontrrio, en el orden esrito son d vez myores. A estos ngulos se los denomin ongruentes de un giro. Como los giros pueden tener sentido positivo o negtivo los vlores de l medid de un ángulo están omprendidos entre - y +. Medid de los ángulos Que es medir un ángulo?: es omprrlo on otro ángulo que se tom omo unidd de medid. Que es medir un ro de irunfereni?: es omprrlo on otro ro de l mism irunfereni que se tom omo unidd. Se demuestr en geometrí que: L medid de un ángulo entrl es l medid del ro que r, siempre que l unidd de ro se l que orresponde l unidd del ángulo. FAUD-Mtemáti I -
En Trigonometrí se emplen preferentemente tres lse de uniddes de ángulos que dn lugr tres sistems de mediión: el sistem Sexgesiml, el sistem Centesiml y el sistem Cirulr. Sistem Sexgesiml. L unidd de ro en este sistem es el grdo sexgesiml (º) o simplemente grdo que es el ro equivlente l 360 v prte de l irunfereni. A su vez el minuto ( ) es 1/60 de un grdo sexgesiml El segundo ( ) es 1/60 de un minuto sexgesiml. º 1/360 Por lo tnto en este sistem l irunfereni mide 360º C 1 360 --- C 360 º 1º/60 1 1 /60 1 Ej: Pr indir que un ángulo mide 6 grdos, 47 minutos y 16 segundos on 75 entésimos de segundo esriimos: 6º 47 16,75 Sistem Centesiml L unidd de ro en este sistem es el grdo entesiml ( G ) que es el ro equivlente l 400 v prte de l irunfereni. El ángulo entrl que le orresponde se llm Angulo A su vez el minuto ( M ) es 1/100 del grdo entesiml El segundo ( S ) es 1/100 del minuto entesiml G 1/400 C 400 1 G Por lo tnto en este sistem l irunfereni mide 400 G --- C 400 G 1 G /100 1 M 1 M /100 1 S Ej: En este sistem pr indir que un ángulo mide 6 grdos, 47 minutos y 16 segundos on 75 entésimos esriimos: 6 G 47 M 16,75 S Sistem Cirulr L unidd de ro en este sistem es el rdin, que es el ro uy longitud es igul l del rdio. El ngulo entrl que le orresponde se llm ngulo de un rdin. El ro se mide en rdios de irunfereni. Semos que l long de l irunfereni es: C π r Pues si doptmos l longitud r omo unidd de medid, diremos que tod l irunfereni mide: C π rdines Y el ángulo de 1Rdin será C 1Rdin π FAUD-Mtemáti I - 3
Existe un formul de equivleni entre los tres sistems que nos permite onvertir l medid de un ngulo dd en un sistem de mediión determindo ulquier de los otros dos. 360 400 rd π rd Reduión de ángulos de un sistem otro g g Bst reemplzr en l iguldd l medid del ngulo dto y despejr l inognit Por ejemplo untos grdos, sexgesimles mide un ngulo de un Rdin. Dto ------------ ng 1 rd Inógnit -------- ng º 360 rd π rd Reemplzndo por el vlor dto 360 1rd π rd Y despejndo l inognit º resolvemos 1 rd 360 π rd º 57,9577778º (form inomplej) º 57º 17 44,8 (form omplej) Tl de equivlenis Sist. Sexgesiml Sist. Centesiml Sist. irulr Cirunfereni 360 º 400 G π rd 3/4 Cirunfereni 70 º 300 G 3/ π rd 1/Cirunfereni 180 º 00 G π rd 1/4 Cirunfereni 90 º 100 G π/ rd Pr reordr L irunfereni trigonométri es l figur geométri que present 3 rterístis fundmentles 1. El Centro de l irunfereni oinide on el origen del Sistem de Coordends Crtesins (D). Es un irunfereni de rdio 1 (uno) 3. Los ángulos están orientdos respeto l sistem oordendo. El ldo iniil oinide on l porión positiv del eje x y el vértie on el origen del sistem oordendo. El ángulo se gener entones por l rotión respeto del vértie que se onsider fijo de l semirret móvil l psr de l posiión iniil OX l posiión finl OM ( Sentido de Giro ntihorrio, ángulo positivo) FAUD-Mtemáti I - 4
Funión: Se die que un ntidd vrile es funión de otr ntidd tmién vrile undo el vlor de l primer depende del de l segund, de mner tl que d vlor de est orresponde uno o vrios vlores determindos de quell. L ntidd vrile de l ul depende l funión se llm vrile independiente o rgumento. En ls funiones trigonométris l vrile independiente es el ngulo. Se el áng. vrile y OM un posiión determind de l semirret móvil que lo desrie. Sore el ldo lire del ángulo tomemos ritrrimente el punto M y desde el tremos el segmento MX perpendiulr l ret que ontiene l ldo origen Ox. Tendremos sí determindos tres segmentos dirigidos que determinn el tringulo retángulo X OM Q OM OQ QM que representremos por ρ y llmremos rdio-vetor que representremos por x y llmremos sis que representremos por y y llmremos ordend Q Con l sis, el rdio vetor y l ordend se pueden formr seis rzones: y x y ; ; ρ ρ x y sus reipros x y ρ ρ ; ; x y Ests rzones son funiones dependiente del ángulo, porque l vrir su medid vrín x e y (el rdio vetor se mntiene onstnte y on vlor positivo) y por lo tnto ls rzones en ls que ests vriles intervienen. En mio son independientes de l longitud de los segmentos que determinn los ldos del tringulo retángulo. M Efetivmente si determinmos otr posiión ritrri del punto M sore l ret que ontiene el ldo lire del ángulo podremos formr otros triángulos retángulos omo vemos en l figur Estos triángulos tienen el ángulo omún y los otros dos ángulos respetivmente ongruentes. En onseueni los Q Q ldos orrespondientes son proporionles, en onseueni, si estleemos l rzon de los pres de ldos orrespondiente veremos que es onstnte Ej: y ρ QM OM Q M OM onstnte Lo mismo podemos segurr pr ls 5 rzones restntes. FAUD-Mtemáti I - 5
Podemos deir entones que ls rzones que se pueden formr on l sis, l ordend y el rdio-vetor, son funiones que dependen únimente de l mplitud del ángulo Definiremos ls 6 funiones trigonométris del ángulo, en términos de l sis, l ordend y el rdio-vetor, y en términos de los ldos de un tringulo retángulo omo sigue: Rdio-vetor ρ A x sis β γ B y ordend C ordend y seno sen rdio vetor ρ teto opuesto hipotenus rdio vetor ρ hipotenus os ente ose ordend y teto opuesto sis x os eno os rdio vetor ρ teto dyente hipotenus rdio vetor ρ hipotenus se nte se sis x teto dyente ordend y teto opuesto tn gente tg sis x teto dyente sis x teto dyente ot ngente ot g ordend y teto opuesto Ls funiones trigonométris son pues números strtos Grfio de ls Funiones trigonométris L form más senill pr onstruir el grfio de ls funiones trigonometris es representr los pres de puntos que se otienen trs relizr un tl de vlores en l que se relionn los vlores de los ngulos (preferentemente expresdos en rdines) y el vlor de l funion trigonométri orrespondiente. Tomremos omo ejemplo el grfio de l funion seno uy expresión nlíti es: ysenx ángulo en rdines (x) 0 π/6 π/4 1/π π 4/3π 3/π 5/3π π 4π seno (y) 0 1/ / 1 0-3/ -1-3/ 0 0 Confeiond l tl donde se relionn lgunos ángulos on sus senos, se representn los pres de puntos otenidos en un Sistem de Coordend Crtesins. Sore el eje de ls siss (x) se mrn los vlores de los ngulos y sore el eje de ordends (y) los vlores de l funion seno orrespondiente. Se muestr ontinuión el grfio de l funion seno, oseno y tngente de un ngulo. FAUD-Mtemáti I - 6
y sen x y os x y tg x Signos de ls funiones trigonométris De uerdo on el udrnte en que se hlle el ldo terminl del ángulo y teniendo en uent que l distni de un punto ulquier l origen de oordends es siempre positiv, y plindo l "ley de los signos", ls funiones trigonométris pueden ser positivs o negtivs. En l tl de l prte inferior se resumen los signos de ls funiones trigonométris en d uno de los udrntes. Seno oseno tngente otngente sente osente Cudrnte I + + + + + + Cudrnte II + - - - - + Cudrnte III - - + + - - Cudrnte IV - + - - + - Tl de ls funiones trigonométris de 0º, 30º,45º,60º y 90º 0º 30º 45º 60º 90º sen 0 1/ / 3/ 4/ os 4/ 3/ / 1/ 0 tg 0 3/3 1 3 Línes trigonométris Ls rzones trigonométris deduids en un írulo goniométrio se orresponden on los vlores de iertos segmentos de ret que se denominn línes trigonométris. A ontinuión vmos olegir ls línes trigonométris en el primer udrnte. L form de otener ls línes trigonométris en los otros tres udrnte es similr. FAUD-Mtemáti I - 7
Ls reliones entre ls funiones trigonométris de un mismo ángulo dn lugr ino reliones lgeris que reien el nomre de Formuls Fundmentles. Ls misms permiten onoiendo un de ls funiones trigonometriíts lulr ls demás. Formuls Fundmentles sen + os 1 os 1 sen sen 1 os tg tg sen os 1 ot g ot g os sen 1 ot g tg se 1 os os 1 se sen 1 ose ose 1 sen FAUD-Mtemáti I - 8
Reliones entre ls funiones de los ángulos omplementrios Se die que dos ángulos son omplementrios undo su sum lgeri es igul un ángulo reto. Cundo dos ángulos son omplementrios uno ulquier de ellos se llm omplemento del otro. Según que l unidd de medid de los ángulos sen el grdo Sexgesiml, el grdo Centesiml o el Rdin, un ángulo reto medirá: 90º o 100 G o π/. Tomndo omo refereni l unidd de medid del Sistem Sexgesiml diremos que si y β son dos ángulos omplementrios dee verifirse l definiión + β 90 90 β o ien β 90 En el tringulo retángulo CBA los ángulos gudo y β son omplementrios, es deir + β 90º. Se tiene que: sen os β ot g tg β A β γ B C os senβ tg ot g β se ose β os e se β Así, ulquier funión de un ángulo gudo, es igul l orrespondiente ofunión de un ángulo omplementrio. Resoluión de Triángulos Retángulos Resolver un tringulo es lulr los elementos desonoidos del B mismo en funión de los que se onoen y que pr ello, es β neesrio y sufiiente onoer tres elementos, entre los ules figure por lo menos un ldo. Cundo resolvemos triángulos retángulos uno de los elementos, el áng. reto es onoido priori, luego pr tener los tres dtos γ str onoer otros dos elementos que podrán ser dos ldos, o A C ien un ldo y un ángulo gudo. Ls reliones que vinuln los elementos onoidos on ls inógnits serán ls funiones trigonométris de ángulos gudos y el Teorem de Pitágors. sen sen β Reliones entre los ldos y ángulos sen senβ os os β os os β FAUD-Mtemáti I - 9
tg tg β tg tg β ot g ot g β ot g ot gβ Reliones entre los ldos Los tres ldos de un triángulo retángulo están reliondos por el teorem de Pitágors, el que permite esriir: + Relión entre los ángulos gudos En todo tringulo, l sum de los ángulos interiores es igul dos retos. Luego: + β + γ 180 pero si el triángulo es retángulo es : γ 90 luego: + β 90 Como ests reliones lign los elemento del tringulo tres tres, result que onoidos dos de ellos, podemos determinr el terero. Formul de l superfiie Pr un triángulo ulquier l formul generl es: 1 S h Pero si el tringulo es retángulo uno de los tetos se puede onsider omo se y el otro omo ltur. Luego podemos esriir: 1 S Funiones irulres invers. L invers de l funión goniométri y sen es l funión ng. sen y y se lee e el ángulo uyo seno vle y si expresmos l funión irulr y sen x x r sen y x será entones l medid del ángulo Ej: 30º y sen 30º y 0,5 l invers de l funión es r sen 0,5 30 º FAUD-Mtemáti I - 10
En form nálog se definen ls inverss de ls otrs funiones irulres x r sen y x r os y x r tg y x r ose y x r se y x r otg y Resoluión de triángulos oliuángulos Un triángulo que no es retángulo se le llm oliuángulo. Como en todo triángulo, los elementos son los tres ángulos, β y γ y los tres ldos respetivos, opuestos los nteriores,, y. No ostnte, undo se hl de triángulos oliuángulos no se pretende exluir l triángulo retángulo en el estudio, que qued sumido omo so prtiulr y uy resoluión y h sido trtd en est gui. Un prolem de resoluión de triángulos oliuángulos onsiste en hllr tres de sus elementos, ldos o ángulos, undo se onoen los otros tres (uno de los ules h de ser un ldo). A Teorem del seno En el tringulo ABC, no neesrimente retángulo, trzmos l perpendiulr de uno de sus vértie (A) l ldo opuesto. Los triángulos BDA y ADC son retángulos. B D En el BDA se umple: h h sen β h senβ sen γ h senγ sen β sen γ Generlizndo senγ senβ C senγ senβ sen Teorem: En todo tringulo, los ldos son proporionles los senos de los ángulos opuestos FAUD-Mtemáti I - 11
Teorem del oseno: nuevmente hemos refereni l tringulo de l figur que se djunt. En el triángulo ABC, l trzr l perpendiulr del vértie A l ldo opuesto, se formn los triángulos retángulos BDA y ADB. Entones se umple: A + h P (1) P BC BC P B C h + ( P ) Reemplzndo P por su igul en (1) D Desrrollndo el udrdo del inomio h + P + P h P ( ) En el tringulo BDA P + P + P P os β Entones reemplzndo h en () Simplifindo y reemplzndo + os β Teorem de oseno: en todo tringulo, el udrdo de uno de sus ldos es igul sum de los udrdos de los otros dos ldos menos el duplo del produto de esos ldos por el oseno del ángulo omprendido. + os + os β + osγ Clulo del Are Semos que l superfiie de un triángulo es: A (1) En el triángulo ADC se ltur S h sen γ h senγ B D () FAUD-Mtemáti I - 1 C
Reemplzndo en l iguldd (1) h por su igul en () S sen γ FAUD-Mtemáti I - 13
Teorem Fundmentl: El re de un triángulo es igul l semi produto de ls medids de dos de sus ldos por el sen del ángulo omprendido. Fórmul de Herón- Áre del triángulo en funión de los tres ldos S p( p )( p )( p ) Siendo :,, los ldos del tringulo y p el semi perímetro + + p Teorem: El áre de un tringulo ulquier, es igul l ríz udrd del produto del semi perímetro, por d uno de los números que se otiene de restr este d un de ls medids de los ldos del tringulo. Pr investigr. L tl siguiente ontiene un listdo de mteriles pr uierts de tehos inlindos. Completr los dtos onsignndo en l mism los ángulos mínimos en grdos sexgesimles que deen formr dihos tehos on l horizontl y expresndo demás l pendiente en porentje. Angulo mínimo Pendiente (%) Cuiert Tej frnes sin entlondo 30º 57,7% Tej frnes on entlondo 15º Tej olonil Tej de fir de vidrio Cuiert de pizrr Chp ero glvnizds Chps de firoemento Chp de luminio FAUD-Mtemáti I - 14
Ejeriios de pliión 1- Determinr los ángulos omplementrios Respuests 5º 17 34 84º 4 6 β 63º 04 15 β 6º 55 45 γ 3,5º γ 57,5º. Hllr los ángulos suplementrios Respuests - 48º 51 37 131º 08 3 β 15º 1 14 β 7º 47 46 γ - 3,5º γ 147,5 º 3. Expresr l medid ext del ángulo en grdos, minutos y segundos sexgesimles Respuests Rd 114º 35 9,6 β 5 Rd β 86º 8 44 γ 3 G 45 M 67,8 S γ 1º 6 39,97 4. Hllr l medid ext del ángulo en Grdos Sexgesimles. Respuests π/3 Rd 10º β 7π/ Rd β 630º γ 9π/4 Rd γ 405º 5. Si un ro de irunfereni de longitud igul 10 m sutiende un ángulo entrl θ 4 Rd, hllr el rdio de l irunfereni. Respuest: rdio,50 m 6. En un predio pr Exposiiones l ire lire, se sudividen pr lquilr prels en dos espios irulres de diferente tmño. El primero de 45 m de diámetro en 6 prtes. Cd de ells lquild quinenlmente en $000. Si el segundo írulo tiene un 30 % más de superfiie que el primero, y se lo divide en 8 prels igules.. Responder. Cuánto medirá el diámetro del segundo predio?. Cuánto medirá el perímetro de dos prels onseutivs del primer irulo sudividido?. Cunto medirá el perímetro de tres prels onseutivs del segundo irulo sudividido? Respuests:. Ø 51,31 m. Perímetro 9,1 m. Perímetro 111,75 m FAUD-Mtemáti I - 15
7. L grn pirámide de Egipto mide 147 m de ltur, on un se udrd de 30 m por ldo. Clule untos grdos minutos y segundos sexgesimles mide el ángulo que se form undo un oservdor se sitú en el punto medio de un ls rist de l se y oserv l úspide de l pirámide. Respuest: 51º 57 48,49 8. El frinte de un sistem de proyeión reomiend instlr un proyetor en un teho omo se muestr en l figur. L distni del extremo del soporte de montje l entro de l pntll es de 85,5 pulgds y el ángulo de depresión es de 30º. Not: 1 pie (1 ) 1 pulgds. 1 pulgd (1 ),54 m Responder. Si se desprei el espesor de l pntll que distni de l pred dee montrse el soporte?. Si el soporte mide 18 pulgds de lrgo y l pntll est 6 pies de ltur, determine l distni del teho l orde superior de l pntll. 30º 18 6 85,5 Respuests:. 74,05 pulgds 188,09 m. 4,75 pulgds 6,87 m Grfio sin esl FAUD-Mtemáti I - 16
9. Un puente levdizo mide 150 m de lrgo extendido sore un río omo se muestr en el diujo. Ls dos seiones del puente pueden girr hi rri hst un ángulo 35º.. Si el nivel del gu est 15 m jo del puente errdo, hllr l distni d entre el extremo de un seión del puente y el nivel del gu undo el puente est ierto por ompleto.. Cul es l seprión s entre los extremos de ls dos seiones undo el puente est ierto por ompleto? Respuests:. d 58.00 m. s 7,13 m s d 15.00 Grfio sin esl 150.00 10. Un grimensor puede medir on el teodolito el ángulo β 85º que le permite desde su posiión oservr en su totlidd el edifiio que se muestr en el diujo. L mir del teodolito est un ltur de 1.60 del nivel de piso.(± 0,00) Los dtos proporiondos son: 5º β 85º y el grfio otdo. Responder. A que distni se enuentr el teodolito?. Cuál será l ltur totl del edifiio? Respuests:. 34,9 m. h 157,50 m β 1.60 3.00 Grfio sin esl FAUD-Mtemáti I - 17