Límite de ua sucesió umérica. Como ua breve itroducció presetamos u pequeño problema de células ideales, resuelto afortuadamete. El cual dice lo siguiete: Demostrar que al año habrá () células, sabiedo que estas se reproduce a partir de ua y tiee de ua e ua, gesta durate u mes y madura para teer otra e otro mes. Utilizaremos la siguiete simbología: Célula recié acida. Célula madura. Mes Gráfica de la reproducció Coteo de células 9 Le ivitamos a que e base a su observació coloque e las filas º y º las células y el úmero de ellas. º º Si lograste observar el comportamieto de los úmeros, basta sumar dos úmeros cosecutivos últimos para obteer el tercero, esta sucesió de úmeros los matemáticos le llama serie de Fiboacci.
La cual está formada por los siguietes úmeros:,,,,,,,,,, 9,,,,, 9, 9,,,,..., etc. Sí esta serie de úmeros te quedó clara, escribe los cico úmeros cosecutivos de la serie aotada e el párrafo aterior, e esta líea: Cuál será el último úmero?, cometa e tu equipo, a tu profesor o profesora cual es este y aótalo e este espacio: Lo aterior quiere decir que haz defiido el ite de la serie de Fiboacci. esta serie de úmeros guarda otro ite, el cual lo vamos a descubrir mediate el lleado de la siguiete tabla, este ite lo ocupa mucho los profesioales del arte y costrucció, la prueba está que la proporció la ecotramos hasta e la aturaleza. Divisió del últimoúmero aterior alúltimo Resultado del cociete...... 9
. 9 9. 9 9 9 9 9.999..99999.9.999...99.999 Tal parece que si seguimos costruyedo esta tabla jamás tedremos defiido el ite de esta sucesió, porque aparece úmeros cada vez más raros, si embargo vamos a obteer dicho ite por proporcioes a cotiuació: Sea el segmeto de recta que a cotiuació se muestra, la parte más gruesa y la más delgada y el total del largo del segmeto es X +, os queda: X Sí las partes so proporcioales la razó quedará: X : X :: X :
escrito de otra forma queda: X X X haciedo los productos cruzados es: X X X X X pasamos los térmio del primer miembro al segudo miembro y quedado igualada dicha epresió de la siguiete forma: X X resolviedo esta epresió por la fórmula geeral para resolver ecuacioes de segudo grado, siedo a = ; b = - ; c = - y la fórmula geeral es: X b b ac a sustituyedo dichos valores queda la epresió: X X las solucioes so X y X.
Aproimadamete X =.999 X = -.999 Por lo cual el ite de los cocietes de los úmeros de Fiboacci es aproimadamete:.999 debido a que las razoes co las que se cálculo el valor de X so: X X X sustituyedo el valor de X queda:.9 99.9 99.9 99 haciedo dichas operacioes os resulta:.999
Sí graficamos los cambios de los cocietes que está aotados e la tabla aterior, veremos ua gráfica como la que se muestra a cotiuació:.....9 Si observa solo pudimos graficar hasta /, si puede grafique hasta la última fracció de la tabla, pero como sabemos que i el lápiz co la puta más aguzada logrará graficar todos los cocietes de los úmeros de Fiboacci pues le ivitamos a que lo itete. Sugerimos para visualizar mejor este ejemplo: que vea la película de Doald e el país de las matemagicas de Walt Disey. E esta película se observa como los profesioales del arte, arquitectos, detistas, musicos, etc., y e la aturaleza como preseta la secció aurea o dorada. Si embargo e esto último vemos que se puede visualizar tambié el cocepto del ite.
Como actividad de estudio es coveiete que sepas cual es la bacteria que os produce la efermedad comúmete llamada FARINGITIS, esta es el Staphylococus aureus, esta bacteria se duplica cada horas, siguiedo la misma pauta del desarrollo de los úmeros de Fiboacci, haz u diagrama de árbol, determia la sucesió de úmeros, determia la ley matemática co la cual se reproduce y determia el ite de la sucesió. Como observó, para llegar a este cocepto debemos situarlo sobre ua escala umérica los putos correspodietes a los térmios de la sucesió, te ivitamos a que hagas la gráfica de la siguiete serie de úmeros y determies lo que se te pide.,,,, 9,..., -,... Si hacemos ua tabulació dádole valores a podremos ver co mayor facilidad la aproimació al ite de esta sucesió. N 9
9 El cálculo para para = queda: = queda: para = queda: Calcule el ite de las sucesioes siguietes, utilizado la metodología ates usada: a),,,,, b),,,,, 9 c),,,,, d),,,,, e),,,,, f).9,.99,.999,.9999,.99999,... Determia los valores que se idica e la tabla desde = hasta = e el siguiete espacio:
.. 9 9 Si aotas sus equivalecias e decimales ocupado ua calculadora, Cuál es el ite de esta sucesió? Si teer que hacer todo esto que hemos hecho, podrás idicar los ites de las siguietes sucesioes de úmeros idicadas e la tabla?: Sucesió Límite 9
De la tabla idicada co úmeros os da por ite, Si X es ua variable cuyo campo de variació es la sucesió se dice que X se aproima al ite, o bie que X tiede a, y se represeta. La sucesió o cotiee a su ite, si embargo, la sucesió,,,,,, e la que todos los térmios impares so iguales a. por tato, ua sucesió puede o o coteer a su propio ite. Si embargo, como veremos más adelate, decir que a implica a sucesió dada o cotiee a su ite como térmio., esto es, se sobretederá que cualquier Quizá todo esto que hemos estudiado o despierte mucho la asiedad matemática que tiees, para esto veremos los siguietes temas que los matemáticos le llama Matemática formal, si embargo, esto o quiere decir que lo que hemos visto hasta ahora o te permita formalizar las matemáticas que ambicioas. Límite de ua fució. Si segú la sucesió, f segú la sucesió 9 9,,,,, 9 Ahora bie, si segú la sucesió..,.,, ; segú la sucesió.;.;.;..., ;... Parece razoable
esperar que tiede a siempre que tieda a. e estas codicioes se establece que el ite de cuado tiede a es igual a, y se represeta por el simbolismo. Determie el ite de y X, siedo X los térmios de cada ua de las sucesioes: a),,,,,,, b),,,,,,, 9 c),,,,,,, d),,,,,,, e),,,,,, f).9,.99,.999,.9999,.99999,...,, Límites por la derecha y por la izquierda. Cuado 9 segú la sucesió,,,,,, -,, cada térmio es siempre meor que. Se epresa diciedo que tiede a por la izquierda, y se represeta por. Aálogamete, cuado segú la sucesió.;.;.;...;,, cada térmio es siempre mayor que. Se epresa diciedo que tiede a por la derecha y se represeta por que la eistecia del f a implica la del ite por la izquierda. Es evidete f a y la
del ite por la derecha f a eistecia del ite por la izquierda (derecha). Ejemplo: Sea la fució f, y que por ambos so iguales. Si embargo, la 9. El domiio de defiició es el itervalo. Si a es u úmero cualquiera del itervalo abierto, a 9 eiste y es igual a 9 a. Cosidérese ahora que a. Si tiede a por la izquierda, 9, y si tiede a por la derecha, 9 o eiste, puesto que para, 9 es u úmero imagiario. Por tato, o eiste 9. Aálogamete, 9 eiste y es igual a ; si embargo, o eiste 9 y i 9. Ejemplo ) Hagamos el aálisis del siguiete ite precisió de ua milésima. co Solució: Sí hacemos la sustitució directa del ite os quedará: idetermi ado Ahora hagámoslo co lo que os mecioa e el párrafo aterior: Aalizado por la izquierda el ite co precisió de ua milésima, es decir, os aproimamos a ua milésima por la izquierda del, lo cual quiere decir
que hacemos ua diferecia de dos co ua milésima para ver a que valor tederá el ite, siedo este de la siguiete forma:. =.999 el ite queda:.999.999.999.999.99.999.999.999..999 Aalizado por la derecha el ite co precisió de ua milésima, es decir, os aproimamos a ua milésima por la derecha del, lo cual quiere decir que hacemos ua suma de dos co ua milésima para ver a que valor tederá el ite, siedo este de la siguiete forma: +. =. el ite queda:.......... Como podemos ver los dos ites se aproima a si redodeamos los dos resultados, esto lo comprobarás co los métodos que se utiliza para ites idetermiado que veremos más adelate, mietras eso sucede hagamos otro ejercicio u poco más difícil pero co este método que estamos viedo todo se hace fácil.
Ejemplo ) Aalicemos el ite de f cuado. Hagámoslo sustituyedo directamete la tedecia y veamos que pasa: 9 idefiido o idetermi ado Nuevamete hagámoslo co lo que hemos apredido e el párrafo aterior: Aalizado por la izquierda el ite co precisió de ua milésima, es decir, os aproimamos a ua milésima por la izquierda del, lo cual quiere decir que haremos ua diferecia de co. para ver a que valor tederá el ite, siedo este de la siguiete forma:. =.999 el ite queda:.999.99.999.999..99..9..9..9 Aalizado por la derecha el ite co precisió de ua milésima, es decir, os aproimamos a ua milésima por la derecha del, lo cual quiere decir que hacemos ua suma de co. para ver a que valor tederá el ite, siedo este de la siguiete forma: +. =. el ite queda:
... 9...99999..9999..9..9 Redodead o a cetésimas es. Como podemos ver los dos ites se aproima a. si redodeamos los dos resultados, esto lo comprobarás co los métodos que se utiliza para ites idetermiado que veremos más adelate, mietras eso sucede hagamos otro ejercicio u poco más difícil pero co este método que estamos viedo todo se hace fácil. Ejemplo ) Aalicemos el siguiete ite Hagámoslo sustituyedo directamete la tedecia y veamos que pasa: divisió o defiida ateriores: Nuevamete hagámoslo co lo que hemos apredido e los párrafos Aalizado por la izquierda el ite co precisió de ua milésima, es decir, os aproimamos a ua milésima por la izquierda del, lo cual quiere decir que haremos ua diferecia de co. para ver a que valor tederá el ite, siedo este de la siguiete forma:. =.999 el ite queda:.999.999.999.9999.... El ite por la izquierda es aproimadamete. que es casi
Aalizado por la derecha el ite co precisió de ua milésima, es decir, os aproimamos a ua milésima por la derecha del lo cual quiere decir que hacemos ua suma de co. para ver a que valor tederá el ite, siedo este de la siguiete forma: +. =. el ite queda:....999.... El ite por la derecha aproimadamete. que es casi Como podemos ver los dos ites se aproima a. si redodeamos los dos resultados, esto lo comprobarás co los métodos que se utiliza para ites idetermiado que veremos más adelate, mietras eso sucede hagamos otro ejercicio u poco más difícil pero co este método que estamos viedo todo se hace fácil. Utilizado el método de aproimació que se aprediero e esta secció realiza los siguietes ejercicios: a) b)
c) d) e) f) Si embargo esto au o lo es todo, habrá que apreder a utilizar las herramietas que os ha proporcioado e los cursos ateriores de matemáticas, para esto teemos que apreder el siguiete tema que calmará au más tu asiedad matemática. Teoremas sobre ites. I. Si f c, costate, tedremos f c a. Si f A a y g B a, resulta: II. k f ka a, siedo k ua costate. III. f g f g A B a a a.
IV. f g f g AB a a a V. f a g f a g a A, B siemprequeb. VI. a f f a A, siempreque A sea u úmero real. Estos teoremas de ites se ve u poco áridos, si embargo so herramietas que debemos apreder para poder abordar la fórmula geeral de la derivada o derivada por defiició o derivada por los cuatro pasos, que tambié es otra herramieta fuerte para resolver problemas si teer que hacer alguas veces el uso de gráficos, tablas y alguos otros recursos. Límite de ua fució. E la fució defiida por: f() =. Dode el domiio de la fució (valores de X), cotega todos los úmeros reales. El ite de f() cuado se aproima por ejemplo al valor de, será. Lo cuál se preseta: f Y se lee el ite de la fució f() es cuádo el valor de la variable tiede al valor de. Eiste diferetes casos para poder calcular el ite de ua fució, que so:
CASO I: Si la fució dada está simplificada, basta sustituir directamete el valor a que tiede la variable idepediete y realizar las operacioes idicadas, el resultado será el valor del ite buscado. EJEMPLO : Calcula el ite de la fució: y = + cuado. Sustituimos el valor de por y realizamos las operacioes idicadas utilizado los teoremas sobre el ite, y teemos: f El ite de fució y = + es igual a cuado tiede a. Aota e tu cuadero la fució siguiete y obté el LÍMITE sabiedo que: y cuado. Qué resultado obtuviste?, cométalo co tus compañeros y maestro. Resuelve los siguietes ites que so demasiado fáciles: a) b) c) d) 9
e) f) g) h) i) h h h j) h h k) h l) h m) ) ñ)
o) p) q) Cálculo de epresioes idetermiadas. E ocasioes obteemos epresioes idetermiadas cuado o se cooce su valor, por ejemplo: Cuado se preseta el cociete. Veamos uos resultados referete a esto:..?. -.? Segú la primera lista el resultado da uo, ya que el umerador y el deomiador so iguales. Segú la seguda lista el resultado es cero, ya que el umerador es cero. Si lo hacemos co la calculadora ésta marca error.
Para calcular LÍMITES idetermiados co ayuda de la derivada, derivamos el umerador y deomiador dode se sustituye e esta ueva fracció el LÍMITE a este procedimieto recibe el ombre de teorema de L Hospital, (este método lo veremos más adelate cuado cubramos el tema de derivadas de fucioes algebraicas y trigoométricas si es posible debido al tiempo que se dispoe). CASO II: Se da cuado es ecesario, primero simplificar la fució dada, ates de sustituir directamete el valor de la variable idepediete, por que, de lo cotrario puede dar lugar a la forma idetermiada. La simplificació geeralmete se obtiee factorizado las partes o epresioes que sea posibles de la fució dada. EJEMPLO : Calcula el ite de la fució X 9 y cuado. X teemos: Si sustituimos directamete el valor al que tiede la variable idepediete, f 9 9 9 9 quedado esto idefiido Por lo tato, será ecesario primero factorizar la epresió; e éste caso el umerador y posteriormete habrá que reducir la epresió, luego sustituir el valor de la variable idepediete: f 9
Aota e tu cuadero la fució: y y calcula su ite cuado tiede a. Al termiar de hacer este problema e equipo cometa co el resto del grupo como le hiciero para llegar a tal resultado, si los resultados so distitos y tus compañeros o te covece del procedimieto que siguiero cosulte a su facilitador. Para esto tedrás que factorizar tato el deomiador como el umerador. Para tegas el gusto de practicar lo apredido e este apartado te facilitamos los siguietes ejercicios que sabemos que los harás co gusto e casa, si co esto se te preseta alguos problemas para teer domiio de este tema o dudes e cosultar a tus compañeros de equipo, al resto del grupo y a tu facilitador clave del coocimieto: a) b) c) d) e)
f) g) CASO III: Este caso se da cuádo e la fució dada es ecesario simplificar por medio de la racioalizació de su umerador o deomiador, ates de sustituir directamete el valor a que tiede la variable idepediete de la fució, por que si o, da lugar a la idetermiació. Este caso se puede idetificar fácilmete porque es la fució irracioal, debido a que aparece el sigo radical. EJEMPLO : Calcula el ite de fució f cuado. Sustituimos directamete el valor de la variable idepediete por, y teemos: f Etoces será ecesario primero racioalizar el umerador de la epresió, multiplicado dicha epresió por su cojugado, evita que aparezca el radical e el umerador de la siguiete forma:
Después, sustituyedo por teemos: Escribe e tu cuadero la fució: cuado. Recuerda que tiees que racioalizar la epresió. f y determie su ite Nuevamete como los deportistas, hay que hacer mucha práctica para poder teer domiio de lo que se quiere lograr y para esto te presetamos los siguietes ejercicios: a) b) c) d) e)
f) h h h g) i) j) Límite de fucioes co tedecia a ifiito. Si el ite de ua fució es ifiito cuado su valor aumeta o dismiuye ifiitamete cuado f c c. Es decir: O si ua fució tiede hacia el ite l (uo), cuado la variable idepediete X tiede al ifiito, es decir: f c Podemos deducir que eiste ciertos ites que se preseta geeralmete, cuado la variable idepediete X tiee el valor de cero ó ifiito: a) c ; b) c Co base a lo aterior, podemos decir que:
Sí el máimo grado se preseta e el deomiador el ite siempre será cero. Sí el máimo grado se preseta e el deomiador el ite siempre será. Sí tato el deomiador como e umerador tiee el mismo grado, se tedrá como respuesta los coeficietes de los térmios mecioados. Esto implica que este tipo de ites se puede resolver por simple ispecció visual, si embargo, habrá que apreder el procedimieto riguroso de los matemáticos, que es lo que sigue y e esta situació se os preseta: CASO IV: Cuado e ua fució se obtiee la idetermiació. Si la variable idepediete tiede al ifiito y se requiere ecotrar el ite de ua fució epresada como u cociete de poliomios, será ecesario dividir primero, el umerador y el deomiador por la variable co mayor epoete que eista e cual quiera de ambos, ates de sustituir e la epresió el valor a que tiede la variable idepediete. EJEMPLO : Obté el ite de la fució: y cuado tiede a ifiito (). Si sustituimos directamete, teemos: Por lo que será ecesario dividir primero el umerador y deomiador por X, que es la variable que hay co el mayor epoete o térmio de mayor grado:
EJEMPLO : E este ejemplo el térmio de mayor grado se preseta e el umerador y ocupado el método estricto de los matemáticos se hace de la siguiete forma: EJEMPLO : E este ejemplo el térmio de mayor grado se preseta e el deomiador y ocupado el método estricto de los matemáticos se hace de la siguiete forma:
Sí observaste esto o requiere de tato procedimieto matemático, aplicado las reglas que se preseta co viñetas ates de esto solo se tiee que hacer lo siguiete: Repitiedo el ejemplo se puede hacer de la siguiete forma: Obté el ite de la fució: y cuado tiede a ifiito (). Como la fució preseta el térmio de mayor grado de orde, etoces podemos poer lo siguiete: aotamos sólo los coeficietes de quedado : observa si coicide co la respuesta del procedimieto largo y haz tus cometarios co tus compañeros y el facilitador. Repitiedo el ejemplo se puede hacer de la siguiete forma: Como la fució preseta el térmio de mayor grado de orde y está e el umerador, etoces podemos poer lo siguiete: aotamos sólo el coeficiete de y todos los demás térmios queda co ceros,la epresió será : 9
observa si coicide co la respuesta del procedimieto largo y haz tus cometarios co tus compañeros y el facilitador. Repitiedo el ejemplo se puede hacer de la siguiete forma: E este ejemplo el térmio de mayor grado se preseta e el deomiador: ispecció : simple la epresió queda por Sabemos que ya tiees asiedad por practicar lo que acabas de apreder, para esto te poemos los siguietes ejercicios, hazlos por los dos métodos co el tiempo que requieras e casa: a) b) c) 9 d) e)
f) g) Como u pequeño repaso de lo que haz apredido resuelve lo siguiete co tus compañeros detro de clase:.- Escribe e tu cuadero la fució f y ecuetra el ite, cuado tiede a ifiito..- Obté el ite cudo X tiede a de la fució f.- Ecuetra el ite:.- Ecuetra el ite: