6.- Series de Fourier de fucioes periódics ) Itroducció. b) Codicioes de Dirichlet. c) Desrrollo e Series de Fourier. d) Coeficietes de Fourier. e) Algus cosidercioes de simetrí. f) Fucioes discotius. Feómeo de Gibbs. g) Expsió de Fourier de medio rgo. h) Series de Fourier pr fucioes complejs. ).- Itroducció. E cursos previos de Mtemátics se h visto que dos vectores y b (distitos de cero) so ortogoles, cudo su producto itero b es cero; e u geerlizció de este cocepto, es muy comú hcer u logí e el cso de fucioes defiids e u cierto domiio, y decir que dos fucioes distits so ortogoles cudo su producto itero es cero. Fucioes ortogoles Defiició. Se dice que u cojuto de fucioes {φ k (t)} es ortogol e el itervlo < t < b si dos fucioes culesquier φ m (t) y φ (t) de dicho cojuto cumple que b m (φ m, φ ) = φ m (t) φ (t)dt = { m = Culquier cojuto de ortogol de fucioes diferetes de cero {φ k (t)} se puede ormlizr, es decir trsformrlo e u cojuto ortoorml dividiedo cd fució etre su orm. A Desrrollo e series ortogoles Supog que {φ k (t)} es u cojuto ifiito de fucioes ortogoles e el itervlo < t < b. L pregut es: Si y = f(t) es u fució defiid e el itervlo [, b], será posible determir u cojuto de coeficietes c, =,,,, pr el que podmos escribir l fució f(t) como f(t) = c φ + c φ + + c φ +? L respuest es sí se puede, y pr ello, debemos multiplicr el desrrollo terior pr f(t) por l fució m(t) e itegrr e el itervlo [,b] pr obteer b b b b f ( t) ( t) dt c ( t) ( t) dt c ( t) ( t) dt... c ( t) ( t) dt... m m m m 6-
Si embrgo, debido l propiedd de ortogolidd, ls itegrles del ldo derecho so cero, excepto cudo m =, sí que l expresió terior se reduce b b f ( t) ( t) dt c ( t) ( t) dt de dode podemos despejr los coeficietes c del desrrollo propuesto pr f(t). Co el resultdo terior, podemos escribir el desrrollo de f(t) como dode f ( t) c( t) c b f ( t) ( t) dt () t Si el cojuto de fucioes (t) es ortoorml, etoces el deomidor e l últim expresió es igul, y el cálculo del coeficiete c del desrrollo de f(t) se reduce b c f ( t) ( t) dt. E prticulr, ls fucioes periódics (como el seo y el coseo) de frecuecis distits, pero múltiplos de u frecueci fudmetl, so ortogoles y form u cojuto completo, por lo que so u bue opció pr relizr u desrrollo de l form descrit líes rrib. E lo que sigue lizremos los desrrollos pr u fució f(t) e térmios de u sum de seos y coseos. l represetció se llm serie de Fourier y, difereci de l serie de ylor, puede describir fucioes que o so completmete cotius o diferecibles. Además, so fáciles de diferecir e itegrr, sus módulos so fáciles de evlur y cd térmio icluye solmete u frecueci crcterístic. Este último puto es importte porque, como se verá más delte, l serie de Fourier se utiliz meudo pr represetr l respuest de u sistem u etrd periódic, y est respuest meudo depede directmete de l frecueci de etrd. Ls series de Fourier se utiliz e u mpli vriedd de situcioes físics, por ejemplo, ls vibrcioes de u cuerd fiit, l dispersió de l luz por u rejill de difrcció, l trsmisió de u señl de etrd trvés de u circuito electróico, etc. 6-
b).- Codicioes de Dirichlet. E párrfos teriores se h meciodo que ls series de Fourier puede usrse pr represetr u fució pr l cul o es posible u desrrollo de ylor. Ls codicioes prticulres que debe reuir u fució f(t), fi de que pued represetrse medite u serie de Fourier, se cooce como codicioes de Dirichlet y so ls siguietes: i. L fució f(t) debe ser periódic; ii. L fució debe ser moovlud y cotiu, excepto (posiblemete) e u úmero fiito de discotiuiddes fiits; iii. L fució debe teer solmete u úmero fiito de máximos y míimos detro de u periodo ; y iv. L itegrl de f(t) sobre u periodo, debe coverger. Si se stisfce ls codicioes teriores etoces l serie de Fourier correspodiete coverge f(t) e todos los putos e que f(t) es cotiu. Vle l pe mecior que cudo teemos situcioes físics (reles), ls tres últims codicioes de Dirichlet csi siempre se cumple, o sí l primer de ells, y que o tods ls fucioes so periódics. Si embrgo, e muchs situcioes es posible represetr u fució o periódic como u serie de Fourier medite l mipulció de l fució pr trsformrl e u form periódic, lo cul veremos más delte. E l siguiete figur se muestr u ejemplo de fució que puede represetrse como u serie de Fourier si ecesidd de modificrl, tod vez que preset u periodicidd evidete. Por otro ldo, si cosidermos l figur que se muestr cotiució, vemos que l fució represetd del ldo izquierdo o preset periodicidd, si embrgo se le puede itroducir u periodicidd, logrdo u extesió periódic de l fució, que se muestr e el ldo derecho. 6-
El procedimieto que seguiremos e tles csos se discutirá más delte. Resumiedo. Se dice que u fució f(t) es periódic, co periodo, si el domiio de f(t) cotiee tto t como t + ; y f(t+) = f(t) Auque tmbié stisfce ls codicioes teriores, el vlor míimo de será el que usremos e lo que sigue. c).- Desrrollo e Series de Fourier. Defiició. U serie de Fourier es u expsió de u fució periódic f(t), co periodo, e térmios de u sum ifiit de seos y coseos que tom l form f ( t) ( cos t b si t ) E otrs plbrs, culquier fució periódic se puede reescribir como u sum de fucioes rmóics multiplicds por costtes determir: y b. E el desrrollo terior, se cosider que l fució f(t) tiee u periodicidd defiid; si embrgo, más delte veremos que uque l fució o se periódic podremos hcer u álisis de Fourier medite l trsformd itegrl de Fourier. 6-
U ejemplo gráfico. Otros ejemplos. d).- Coeficietes de Fourier. Cosiderdo el desrrollo e térmios de fucioes ortogoles, podemos ecotrr los coeficietes del desrrollo de Fourier pr l fució f(t) dd por f t t b t (6.) ( ) ( cos si ) Vle l pe mecior que e est expresió se h seprdo el térmio cudo =, de l defiició de Serie de Fourier dd e l secció terior, y hor l sumtori empiez e =. 6-5
El térmio correspode l vlor promedio de l fució f(t) e el periodo, como veremos cotiució. Si multiplicmos l expresió (6.) por (cos mt) e itegrmos de ecotrmos que mietrs que pr =, se tiee f ( t)cos tdt pr,,,... f () t dt Por otro ldo, multiplicdo l expresió (6.) pero hor por (si mt), e itegrdo de, ecotrmos que b f ( t)si tdt pr,,,... Desrrollo e Serie de Fourier Defiició. Se f(t) u fució covergete e el itervlo t, el desrrollo e serie de Fourier pr f(t) existe y está ddo por f t t b t ( ) ( cos si ) dode los coeficiete del desrrollo y b está ddos por pr =,,,...; mietrs que está ddo por f ( t)cos tdt b f ( t)si tdt f () t dt A l ctidd que prece e ls expresioes teriores se le cooce como frecueci fudmetl y está dd por dode es el periodo de l fució f(t). El cálculo y estudio de ls series de Fourier se cooce como álisis rmóico (o álisis de Fourier) y es extremdmete útil l estudir fucioes periódics rbitrris y hcer u álisis de l mism e térmios de su coteido frecuecil o espectro,. 6-6
U ejemplo. Determi l represetció e series de Fourier de l siguiete fució f(t). Solució. Primero determiemos el periodo, y escribmos l expresió mtemátic de l fució f(t), resultdo que = y, t f() t, t A cotiució clculemos los coeficietes del desrrollo de Fourier f ( t) dt f ( t) dt dt dt f ( t)cos tdt si t si cos tdt dt como estmos cosiderdo que es u etero, este último resultdo se ulrá, por lo que Por otro ldo, el coeficiete b está ddo por b f ( t)si tdt cos t cos si tdt dt de uevo, como es u etero, podemos dvertir que co lo que cos ( ) b ( ) 6-7
Filmete, l serie de Fourier result ser ( ) f ( t) si t que desrrolldo los primeros térmios se escribe como f ( t ) si si si 5 t t 5 t Es importte mecior que l serie obteid teriormete, e pricipio, es u serie ifiit; si embrgo, e muchs situcioes será suficiete cosiderr u úmero fiito de térmios pr obteer l proximció desed, tod vez que coforme summos térmios el resultdo v covergiedo l fució origil f(t). Lo que puede precirse mejor e l siguiete secueci de imágees correspodietes l serie de Fourier recié costruid. si t si t si t si t si t si 5t 5 si t si t si 5t si 7t 5 7 si t si t si 5t si 7t si 9t 5 7 9 si t si t si t 6-8
Ates de cotiur vle l pe escribir ls siguietes idetiddes que puede resultr útiles e el álisis de Fourier si( x) si x cos( x) cos x si cos ( ) si cos Otro ejemplo. Dd f(t) = t defiid e el itervlo [-,] y co periodo =, bosqueje l gráfic etre t = - y t = y clcule los coeficietes de l serie de Fourier correspodiete. Solució. L gráfic de l fució tiee l form Así que A cotiució, clculmos los coeficietes de l serie de Fourier empezdo co f ( t) dt f ( t) dt t tdt Mietrs que los coeficietes está defiidos por f ( t)cos tdt t cos tdt pr clculr est itegrl, usmos el método de itegrció por prtes, t si t si t dt si [ si( )] cos t 6-9
cos cos( ) Pr termir, clculemos el coeficiete b es decir b f ( t)si tdt t si tdt b t cos t cos t dt cos [ cos( )] si t cos si si( ) ( ) cos ( ) Co lo terior, pr l fució f(t) = t defiid e el itervlo [-,] y co periodo =, l serie de Fourier result ser o expdid e sus primeros térmios ( ) f ( t) si t f ( t ) si t si si t t U ejercicio. Dd v(t) = t e el itervlo [,], v(t) = e el itervlo [,] y co periodo =, () bosqueje l gráfic etre t = y t = ; y (b) clcule los coeficietes de l serie de Fourier correspodiete. Solució. () L gráfic es 6-
(b) Los coeficietes so Así que l serie result v( t) dt [ ( ) ] v( t)cos tdt b v( t)si tdt [ ( ) ] t t vt ( ) cos si Cuy gráfic, cosiderdo los primeros y 5 térmios, es...5.5...5.5 6 8 6 8 e).- Algus cosidercioes de simetrí. E muchs ocsioes, l pridd de l fució f(t) permite simplificr el cálculo de su serie de Fourier, pr ello vle l pe idetificr el tipo de simetrí que preset dich fució y obvir el cálculo de los coeficietes y, o los coeficietes b, segú se l pridd mostrd por f(t). 6-
Fució pr U fució f(t) es pr si su gráfic es simétric respecto l eje verticl, tl como se muestr e l figur. E este cso se cumple que f ( t) f ( t) pr todo vlor de t e el domiio de defiició. Alguos ejemplos de fucioes pres so los siguietes Evidetemete, l itegrl de u fució pr de A +A es el doble de l itegrl de +A, es decir A A A pr f ( t) dt f ( t) dt pr 6-
Fució impr U fució f(t) es impr si su gráfic es tisimétric respecto l eje verticl, tl como se muestr e l figur. E este cso se cumple que f ( t) f ( t) pr todo vlor de t e el domiio de defiició. Alguos ejemplos de fucioes impres so Evidetemete, l itegrl de u fució impr de A +A se ul, es decir A f ( t impr ) dt A 6-
Producto de fucioes pres e impres. De cuerdo l clsificció presetd teriormete, el producto de fucioes stisfce ls siguietes propieddes: (pr) x (pr) = pr (impr) x (impr) = pr (pr) x (impr) = impr (impr) x (pr) = impr L simetrí e los coeficietes de Fourier. De ls propieddes de ls fucioes pres e impres, se puede demostrr que pr fucioes pres: / f () t dt, / f ( t)cos tdt y b mietrs que 6-
pr fucioes impres: y / b f ( t)si tdt f).- Fucioes discotius. Feómeo de Gibbs. L expsió e Serie de Fourier usulmete fucio de mer decud cudo teemos fucioes que so discotius e el itervlo requerido. Si embrgo, e estos csos l serie o produce u fució discotiu, sio que coect l fució origil e su discotiuidd. Por ejemplo, pr l fució diete de sierr defiid como f(t) = t (co > ) y periodo, que se muestr e l figur de l izquierd, y que preset u discotiuidd e t =, ecotrmos que el desrrollo e Serie de Fourier existe, tl como se muestr e l figur de l derech, el cul se h clculdo pr, 6 y térmios. E este puto mecioremos, si probr, que el vlor de l fució e térmios de l Serie de Fourier e l discotiuidd será el promedio de los vlores que tom f(t) e l discotiuidd. 6-5
Mtemáticmete, podemos expresr que e el puto de discotiuidd t d, l serie coverge l vlor ddo por f ( t ) lim f ( t ) f ( t ) FOURIER d d d E l discotiuidd, l represetció e series de Fourier de l fució, f FOURIER(t) tom vlores que rebs los correspodietes l fució origil f(t). Coforme se icluye más térmios e l represetció e serie, los putos co rebsmieto se cerc cd vez más l discotiuidd, pero o desprece, icluso e el límite cudo se cosider l serie complet. Este comportmieto se cooce como feómeo de Gibbs. E ls siguietes imágees se muestr este feómeo pr el desrrollo e serie de Fourier de l fució cudrd, defiid como F f() t F pr t pr t que evidetemete o es cotiu, tl como se preci e l gráfic. E l esqui superior izquierd se muestr l serie de Fourier compuest por u térmio, l derech se muestr l serie co dos térmios, mietrs que e l prte iferior l serie cost de tres térmios. 6-6
Uo puede umetr l ctidd de térmios e l serie, co l ide de que el desrrollo se v mejorr, pero esto o termi siedo cierto, l meos, o e l prte de l discotiuidd. E est últim gráfic se muestr el desrrollo cosiderdo térmios, sí como el rebsmieto δ que podemos dvertir o desprece, sio sólo se hce más cerco l discotiuidd. E este curso o se pretede u discusió complet de este feómeo, pero vle l pe mecior que el tmño de rebsmieto δ es proporciol l mgitud de l discotiuidd. g).- Expsió de Fourier de medio rgo. Hst este puto hemos cosiderdo fucioes periódics, por lo que plicr l teorí de Fourier pr hcer u desrrollo e series de seos y coseos h sido directo. Si embrgo, e muchs situcioes físics lo que se tiee so fucioes o periódics, pero esto o debe represetr myor problem y que (csi) siempre se puede defiir sobre u itervlo ddo, cosiderdo que e u observció o medició sobre u sistem físic el tiempo ivolucrdo es fiito. Alguos ejemplos de fucioes o periódics se muestr e ls figurs siguietes, ls cules so distits de cero e u itervlo fiito. Por lo terior, result muy útil exteder l fució o periódic e u fució periódic tes de clculr su represetció e serie de Fourier. L serie de Fourier de est fució periódic represetrí etoces correctmete l fució o periódic e el itervlo desedo. 6-7
Por ejemplo, si cosidermos u fució o periódic tl como l mostrd cotiució. Podemos extederl, simplemete repitiedo l fució, tl como se muestr e cuyo cso o hy simetrí respecto l eje y. Otr opció puede ser que como vemos preset simetrí impr, y que f(-t) = -f(t). Hy otr opció de extesió, mostrd cotiució, que preset simetrí pr, y que f(-t) = f(t). Como pudimos ver e el ejemplo mostrdo teriormete, meudo estmos e libertd de mplir l fució de vris mers; si embrgo, ormlmete es preferible usr lgu de ls simetrís vists teriormete (pr o impr) pr l extesió periódic, e lugr de u extesió periódic orml; y que el uso de u fució co ciert simetrí (pr o impr) os proporciorá coeficietes cero de culquier de los o b de l expsió, lo que puede proporcior u expsió más secill de l serie de Fourier correspodiete. 6-8
Otro ejemplo. L fució periódic mostrd cotiució tiee ls siguietes extesioes periódics. Extesió periódic orml: Extesió periódic pr: Extesió periódic impr: Como puede verse, pr l mism fució f(t), ls diferetes extesioes implic modificr el periodo, e el cso recié mostrdo, u domiio iicilmete etre y L, se mtiee si cmbios pr u extesió orml, pero se duplicó pr ls extesioes pr e impr. 6-9
Serie de Fourier de medio rgo Defiició. L serie de Fourier de u extesió periódic pr o impr de u fució o periódic se le llm serie de Fourier de medio rgo. Lo terior se debe que l fució o periódic se cosider equivlete l mitd de l fució expdid, y se medite u fució pr, o u fució impr. Serie coseo de Fourier de medio rgo Defiició. Si l fució o periódic se extiede medite u fució pr etoces los coeficietes b se ul y, por lo tto, el desrrollo de l fució se reduce f t t ( ) cos que sólo cotiee el desrrollo e térmios de coseos, por lo que se le cooce como Serie coseo de Fourier de medio rgo. Serie seo de Fourier de medio rgo Defiició. Si l fució o periódic se extiede medite u fució impr etoces los coeficietes se ul y, por lo tto, el desrrollo de l fució se reduce f ( t) b si t que sólo cotiee el desrrollo e térmios de seos, por lo que se le cooce como Serie seo de Fourier de medio rgo. U ejemplo. Ecuetre el desrrollo e series de Fourier pr l fució f(t) = t pr el itervlo < t. Solució. E este cso l fució tiee l siguiete represetció gráfic 6-
Lo primero que teemos que hcer es trsformrl e u fució periódic, sí que e este cso cosiderremos u expsió pr, por lo que hor teemos u fució tl como l mostrd cotiució E este cso, hemos extedido el rgo de iterés de < t, - < t, co lo que l fució extedid stisfce que f(-t) = f(t) demás, el periodo de l fució extedid es =, tl que dode k es u etero culquier. f(t + k) = f(t) Co lo terior, l serie de Fourier que obtegmos, debe represetr f(t) e el itervlo - < t, pero o fuer. Como l extesió que relizmos es pr, podemos plicr ls codicioes de simetrí presetds teriormete, de tl mer que los coeficietes b será cero y tedremos u serie coseo de Fourier de medio rgo f t t ( ) cos sí que uestr tre será clculr los coeficietes y, lo que hremos cotiució. De l defiició Mietrs que f () t dt t dt t 8 t dt t f ( t)cos tdt f ( t)cos dt dode hemos usdo l defiició de l frecueci fudmetl. 6-
Así que l itegrl evlur es t t t cos dt t cos dt t t cos dt que podemos resolver usdo itegrció por prtes, pr obteer sucesivmete, t t t si t si dt 8 t 8 t si t cos dt 6 6 cos Co lo que l serie coseo de Fourier pr f(t) = t e el itervlo - < t, se escribe como t f( t) 6 cos Qued de tre pr el lector iteresdo, costruir l serie seo de Fourier pr est fució, medite u extesió impr de f(t). A cotiució se muestr ls gráfics correspodietes l serie coseo de Fourier obteid teriormete, e l que se cosider series trucds e el -ésimo térmio, mostrdo e cd figur. = = 6-
= = = = 5 h).- Series de Fourier complejs. Ates de cocluir co este álisis de l teorí de Fourier pr los desrrollos e series de Fourier reles, vmos presetr l extesió ls series de Fourier complejs. Ddo que, e geerl, u expsió e series de Fourier cotiee tto seos como coseos, se puede escribir est expsió e u form más compct usdo u expoecil complej. Est simplificció tom e cuet que e ix = cos x + i se x. Lo que permite escribir l expsió e series de Fourier complej como f ( t) c expi t dode los coeficietes de Fourier c (pr ) está ddos por mietrs que c está ddo por c f ( t)exp i t dt c f () t dt. 6-
Est relció se puede derivr de mer similr como se hizo l derivció de los coeficietes reles y b ; sólo que e este cso, se debe multiplicr el desrrollo de f(t) por e itegrr usdo l relció de ortogolidd m expi t m pr m exp i t expi t dt pr m Los coeficietes complejos c se relcio co los coeficietes reles y b medite c ib c ib Si f(t) es rel etoces c - = c *, dode el sterisco ( * ) sigific complejo cojugdo. U ejemplo. Ecuetre u serie de Fourier complej pr f(t) = t e el itervlo - < t <. Solució. E este cso debemos escribir u serie de l form f ( t) c expi t dode los coeficietes de Fourier c (pr ) estrá ddos por c f ( t)exp i t dt t exp i t dt 6 usdo itegrció por prtes, ecotrmos que los coeficietes so mietrs que c estrá ddo por c c c t exp i t dt 6 6 6 i( ) 6 i( ) c 7 6 6 t dt f () t dt. 6-
Por lo que l serie de Fourier complej pr f(t) = t está dd por 7 6 f ( t) i ( ) exp i t cuy gráfic, clculd cosiderdo los vlores de idicdos, juto co f(t) = t, se muestr cotiució. -5 < < 5 - < < -5 < < 5 - < < 6-5