Regresón smple y múltple 1. A partr de la sguente tabla de datos, Y 4 5 7 1 X 1 4 5 6 Estmar la regresón Y = +X + Solucón Basta calcular, Y X y x x y x 4 1-3 -3 9 9 5 4-0 0 0 7 5 0 1 0 1 1 6 5 10 4 Suma 8 16 0 0 19 14 Para obtener, ˆ xy 19 1.357 y ˆ Y ˆ X 1.57 1 x 14. La palabra regresón provene de un estudo de Galton, quen, a fnales del sglo XIX, examnó la relacón entre la altura de los hjos y la de sus padres. Un estudante decde llevar a cabo un estudo smlar para lo que recoge datos de 110 compañeros, estmando la sguente relacón. Ŷ = 49.78+0.73X R = 0.45, EER = 5.08 Donde y representa la altura de los estudantes y x la meda de las alturas de sus padres a) Interprete los coefcentes estmados b) Cuál es el sgnfcado del estadístco R? c) Cuál es la predccón para la altura de un alumno s la altura meda de los padres era 178cm?
d) Cómo debe nterpretarse el valor de EER? Solucón a) Por cada ncremento de 1 cm en la altura de los padres, la del estudante se ncrementará 0.73 cm. En este caso no hay una nterpretacón razonable para el térmno ndependente b) El modelo explca el 45% de la varacón de la altura de los estudantes c) El pronóstco es Ŷ = 49.78+0.73*178 = 179.7 d) El Error Estándar de la Regresón es una medda de la desvacón típca del error de regresón es decr, una medda de la dspersón de las observacones en torno a la recta de regresón. 3. El estmador máxmo verosíml de la varanza de las perturbacones aleatoras del modelo de regresón lneal es e e/n. Compare la caldad de este estmador con el mínmo cuadrátco e e/nk, en térmnos de sesgo, varanza. Solucón: Sabemos que el estmador MCO, s, es nsesgado. Como el estmador * e'e n k máxmo verosíml, s s, éste será necesaramente sesgado, sendo n n * n k e'e n k n k k sesgo E( s ) E 1 n n k n n n es decr, sesgado a la baja. El tamaño del sesgo dsmnuye con n. Para calcular la varanza del estmador MCO, recordemos que el estadístco ( n k) s se dstrbuye como una con nk g.l. por lo que su meda es nk y su ( n k) s varanza (nk). Por tanto var ( nk) de donde se deduce fáclmente 4 que var( s ). n k Por otra parte la varanza del estmador MV será, e'e n k e'e n k var var var( s ) var( s ) n n n k n es decr, la varanza del estmador ML es menor.
Ambos son consstentes. En el caso del MCO es claro que su varanza tende a cero cuando n. Por otro lado con n el sesgo del estmador MCO es nulo así como su varanza. 4. Consdere el modelo de regresón Y = 0 + 1 X +. Sabemos que los estmadores MCO habtuales son nsesgados. Sea b 1 el estmador obtendo bajo el supuesto de que el parámetro 0 es nulo. a) Obtener E(b 1 ) y comprobar que no tene sesgo cuando 0 =0. Hay algún otro caso en el que dcho estmador sea nsesgado? b) Obtenga la varanza de b 1 c) Demostrar que var(b 1 ) var(β 1), sendo β 1 el estmador MCO con constante Solucón a) Aplcando el crtero MCO al modelo Y = 1 X + obtenemos, Y X X X X X X 0 1 1 0 1 X X X X b Tomando esperanzas vemos que E(b 1 ) = 1 solo cuando 0 = 0 o X = 0. b) La varanza será, X X X ( ) X E var( b1 ) E b1 E( b1 )... E X E X X c) S comparamos esta expresón con la de var(β 1), es evdente que X ( X X ) dado que el denomnador de la últma expresón sempre será menor, es decr X ( X X ). La gualdad solo se da cuando la meda de X es nula, en cuyo caso ambos estmadores concden.
5. Consdere la regresón, ˆ 0.033 0.656, 0.397, 0.0544 0.0358 Y X R SCR SCE (0.0976) (0.1961) donde Y representa la tasa de partcpacón de las mujeres en la fuerza laboral (TPFL) en 197 y X la msma tasa en 1968. Los resultados se obtuveron a partr de una muestra de 19 cudades norteamercanas y entre paréntess fguran los errores estándar de los estmadores). a) Interprete los resultados de esta regresón b) Contraste la hpótess H 0 : 1 = 1 contra la alternatva H 0 : 1 > 1. Especfque claramente el nvel de sgnfcatvdad elegdo y el valor crítco en tablas para el msmo. c) Suponga que en 1968 la TPFL fue de 0.58. Obtenga una predccón para E(TPFL en 197) y construya un ntervalo de confanza del 95% para la msma d) Cómo probaría que los resduos de la regresón están normalmente dstrbudos? Sol. a) Hay una asocacón postva lo que no es sorprendente s tenemos en cuenta el hecho de que desde la II Guerra Mundal ha habdo un ncremento constante de las mujeres en el mercado laboral. b) Usando un test t de una cola, t =.656 1 = 1.754. Para 17 g.l. el valor.1961 crítco al 95% para un contraste unlateral es 1.74. Para este contraste la zona de aceptacón estaría a la zquerda de 1.74 y la de rechazo a la derecha de ese valor. Como el valor del estadístco de contraste queda dentro de la regón de aceptacón, no se puede rechazar la hpótess nula. c) La meda es 0.033+0.656*.58 = 0.5838. Para construr el ntervalo del 95%, emplearíamos la fórmula 0.5838.11*(ee. del pronóstco), donde.11 es el valor crítco al 95% para una t 17. La desvacón típca se calcularía a partr de, 1 ( X0 X) ˆ n x aunque en este caso no tenemos datos sufcentes para llevar a cabo ese cálculo.
d) No es posble contestar a esta cuestón por falta de datos (necestaríamos la sere de las dscrepancas de la regresón para poder hacerlo). 6. Suponga se le contrata para analzar el número de veces que los padres dvorcados dejan de pagar la mensualdad que le corresponde al cónyuge encargado de la custoda de sus hjos. Para ello construye y estma por MCO el sguente modelo (errores estándar entre paréntess), donde, Pˆ.0 0.50M 5.0Y 0.80 A 3.0B 0.15 C, N 0 (0.10) (0.0) (1.0) (3.0) (0.05) P = número de meses que deja de pagar en los últmos cuatro años M = número de meses que el encargado de pagar la pensón almentca estuvo parado en los últmos cuatro años Y = porcentaje de renta dsponble destnado a la pensón almentca A = la edad del cónyuge e encargado de pagar B = creencas relgosas del cónyuge encargado de pagar (en una escala de 1 a 4, sendo 4 el de creencas relgosas más fuertes) C = número de hjos del matrmono Se pde, a) Indque cuál es el sgno esperado de los coefcentes de M e Y. Construya un test para contrastar esa hpótess. Emplee un nvel de sgnfcatvdad del 5%. b) Contraste la hpótess de que el parámetro de A es estadístcamente sgnfcatvo. Emplee un nvel de sgnfcatvdad del 1% c) Lleve a cabo el msmo contraste para las varables B y C pero a un nvel de sgnfcatvdad del 10% Solucón a) Para ambos el sgno esperado es postvo (cuantos más meses desempleado, más meses dejará de pagar la pensón, cuanto mayor sea el porcentaje que la pensón almentca representa respecto a su renta dsponble, más meses dejará de pagar). Por tanto deseamos contrastar la hpótess H 0 : =0 contra la alternatva H 1 : >0 [o s se prefere H 0 : 0 y H 1 : >0]. Es pues un contraste unlateral.
Para 14 g.l. (0-6), el valor crítco en tablas para el 5% es 1.761 y los estadístcos de contraste, 0.5 5 tm 5 y ty 1.5 0.1 0 Por tanto en el prmer caso podemos rechazar la hpótess nula y aceptar que la varable afecta postvamente (sgno postvo), pero no en el segundo. b) En este caso se trataría de un contraste a dos colas (blateral), H 0 : = 0 y H 1 : 0, sendo el valor crítco en tablas.977. El estadístco de contraste vale t A = 0.8, de manera que no podemos rechazar la hpótess nula. c) Análogamente, 3.0 0.15 tb 1 y ty 3 3.0 0.05 Por tanto la varable relgosdad no es estadístcamente dstnta de cero. 7. Suponga que con datos referdos al tamaño de la clase (T) y al promedo de las calfcacones (C), empleamos una muestra de 1 observacones correspondentes a alumnos de tercer curso para estmar la sguente ecuacón, ˆ 50.4 5.8, 0.08, 11.5 C T R EER (0.4) (.1) a) Construya un ntervalo de confanza del 95% para el coefcente de pendente 1 b) Calcule aproxmadamente el valor p para el contraste blateral de la hpótess nula H 0 : 1 = 0. En base a este resultado, rechazaría la hpótess al nvel del 5%? Y al 1%? c) Contraste la hpótess H 0 : 1 = -5.6 al nvel del 1%. Emplee un test unlateral y uno blateral, especfcando en cada caso las hpótess nula y alternatva y los valores crítcos en tablas. d) Construya un ntervalo de confanza del 99% para 0
Solucón a) El ntervalo se obtene de ˆ 1 t ˆ / ee( 1). Buscando en las tablas de la dstrbucón t para 10 g.l. (1-), observamos que el valor crítco al 95% es, 1.98, de manera que ˆ t ee( ˆ ) 5.8 1.98*.1 ( 10.1958, 1.464) 1 / 1 b) El estadístco de contraste es para dcha hpótess es, t 10 5.8 0.63.1 En las tablas de la dstrbucón de referenca puede comprobarse que la probabldad de encontrar un valor menor que -1.98 es 0.05, que la probabldad de encontrar un valor menor que -.358 es 0.01, que la probabldad de encontrar un valor menor que -.617 es 0.005, etc. Es decr que en este caso, el valor p < 0.005 y por lo tanto rechazaríamos esa hpótess tanto al 5% como al 1%. c) Sguendo el msmo procedmento, tendremos, 5.8 ( 5.6) t10 0.0995.1 Para el test unlateral las hpótess nula y alternatva serán H 0 : 1 = 0 y H 1 : 1 < 0 y el valor crítco en tablas.36. No podemos pues rechazar la hpótess. S empleamos un test blateral las hpótess nula y alternatva serán H 0 : 1 = 0 y H 1 : 1 0 y el valor crítco en tablas.6. No podemos pues rechazar la hpótess. d) El ntervalo resulta como antes ˆ t ee( ˆ ) 50.4.6* 0.4 (466.95, 573,85) 0 / 0 8. Para estudar la mortaldad nfantl en una muestra de 64 países subdesarrollados, se estman los dos modelos sguentes, ˆ 63.6416 0.0056.316, 0.7077 1 Y X X R (11.59) (0.0019) (0.099) ˆ 168.3067 0.0055 1.7680 1.8686, 0.7474 1 3 Y X X X R (3.89) (0.0018) (0.489) ( )
Sendo Y la tasa de mortaldad nfantl, X 1 el PIB per cápta, X la tasa de alfabetzacón de las mujeres y X 3 y la tasa de fecunddad total. a) Justfque el sgno esperado para X 3 b) Compruebe s los cambos en los valores de los coefcentes por la nclusón de X 3 son estadístcamente sgnfcatvos c) A su juco cuál de los dos modelos presentados es mejor? Justfque su respuesta d) Calcule el error estándar del estmador correspondente a X 3 Solucón a) A pror cabe esperar una relacón postva: cuantos más hjos tenga una mujer, mayor será la probabldad de fallecmentos debdos a falta de atencón, almentacón, salud, etc. b) El correspondente al PIB per cápta apenas ha varado al contraro que el coefcente de la tasa de alfabetzacón que es bastante dferente. Para contrastar s esta dferenca es estadístcamente sgnfcatva, podemos emplear un test tpo t y contrastar s en la prmera ecuacón, el coefcente de esta varable es estadístcamente dstnto de -1.768, o ver s en la segunda el coefcente es sgnfcatvamente dstnto de -.316, t 61.316 ( 1.768).3 0.099 Al ser mayor (en v.a.) que el valor crítco en tablas al 1%, rechazamos la hpótess nula, es decr que la dferenca es sgnfcatva. c) Obtenemos el valor del estadístco F para contrastar s la segunda regresón es preferble a la prmera, F 1,60 (0.7474 0.7077) /1 9.43 (1 0.7474) /(64 4) Por tanto rechazamos la hpótess nula de que la tasa de fecunddad sea no sgnfcatva. d) Para obtenerlo basta recordar la relacón entre los estadístcos t y F, F t 1, g g
Lo que en este caso sgnfca que el valor del estadístco t para la hpótess de que esa varable es nula, vale 9.43 = 3.07 y por lo tanto el ee(b 3 ) = 1.8686/3.07 = 4.19 9. En dcembre de 1969 apareceron publcadas en una prestgosa revsta de nvestgacón, las sguentes dos regresones, referdas a una muestra de 74 países con datos de 1964, ln S / Y 7.3439 0.1596ln Y / N 0.054lnG 1.35lnD 0.3990lnD 1 ln S / N.7851 1.1486ln Y / N 0.065lnG 1.3438lnD 0.3966lnD 1 sendo, S/Y el rato de ahorro del país, S/N el ahorro per cápta, Y/N la renta per cápta, G la tasa de crecmento de la renta per cápta, D 1 el porcentaje de poblacón por debajo de 15 años y D el porcentaje de poblacón por encma de 64 años. a) Explque s los sgnos de los coefcentes son los esperados b) Examne cudadosamente los resultados de ambas estmacones y dga s le parecen correctos, justfcando su respuesta Solucón a) Los sgnos son efectvamente los esperados: el ahorro (tanto s es la propensón meda, como s es el ahorro per cápta) aumentará con la renta per cápta y con su tasa de crecmento. Por otra parte la poblacón entre 0-14 y de más de 64, no trabaja y por tanto no ahorra, lo que justfca el sgno negatvo. b) Dado que, S N S Y, ln S / N ln S / Y ln Y / N Y N de manera que la segunda ecuacón debería ser exactamente gual quela prmera excepto que al coefcente de ln Y/N habría que sumarle exactamente una
undad. Observando las estmacones, se comprueba que este requsto, aunque se verfca aproxmadamente para todas las varables, no lo hace para el térmno ndependente que es sgnfcatvamente dferente en ambas ecuacones. Los resultados no pueden ser correctos. 10. Con una muestra de 0 vvendas venddas en una comundad, se ha tratado de modelzar el preco obtenéndose, sendo, Pˆ 119. 0.485X 3.4X 1.7X 0.0X 1 3 4 0.090X 5 48.8 X 6, R 0.7, SCE 41.5 P, el preco en mles de, X 1, número de dormtoros, X, número de baños, X 3, el tamaño de la vvenda (en m ), X 4, el tamaño de la parcela, X 5, la antgüedad de la vvenda en años y X 6, es una varable bnara que toma el valor 1 s el estado general de la casa es malo. SCE es la suma de cuadrados explcada. a) Suponga que un propetaro hace una reforma consstente en convertr parte de una sala exstente en un nuevo cuarto de baño. Cuál será el efecto en el preco de la casa? b) Otro propetaro añade un nuevo cuarto de baño aumentando el tamaño de la msma en 9 m. Cuál es el efecto sobre el preco? c) Qué sucederá con el preco de una vvenda s su propetaro deja que se deterore hasta que pueda consderarse en mal estado? d) Calcule en R de la regresón y un estmador de la varanza de las perturbacones Solucón a) El preco se ncrementará en 3400 b) El ncremento ahora será 3400+15300=38700 c) El preco se reducrá en 48800 d) Tenendo en cuenta la equvalenca entre el coefcente de determnacón y el coefcente de determnacón corregdo (.3.16), se encuentra nmedatamente que R = 0.776. Por lo tanto, SCE 0.776 y SCT 57.037, SCR 15.537 SCT
Entonces, SCR 15.537 ˆ 0.073 n k1 0 7 11. La msma ecuacón del ejercco anteror con los errores estándar de los estmadores entre paréntess, es, Pˆ 119. 0.485X 3.4X 1.7X 0.0X 1 3 4 (3.) (.61) (8.94) (0.1) (.00048) (0.311) (10.5) Conteste a las sguentes cuestones, 0.090X 5 48.8 X 6, R 0.7, SCE 41.5 a) Es sgnfcatvo el coefcente de X 1? Escrba las hpótess nula y alternatva empleadas, así como el nvel de sgnfcacón y el valor crítco en tablas b) En general las casas con cnco dormtoros se venden por un preco muy superor a las de dos dormtoros. Es esto compatble con la estmacón del enuncado y la respuesta dada en a)? c) El propetaro de una vvenda compra un solar adyacente de 500m. Construya un ntervalo de confanza del 99% para el ncremento de valor de la vvenda d) El estadístco F una vez omtdas las varables X 1 y X 5, es F = 0.08 Son los coefcentes de estas varables estadístcamente dstntos de cero al 10%? Escrba la hpótess nula a contrastar. Solucón a) El sgno esperado es postvo de manera que las hpótess nula y alternatva son respectvamente H 0 : = 0 y H 1 : > 0. El test apropado es un test t, que arroja el sguente resultado t 0-7 = 0.485/.61 = 0.186. Una t 13 es vrtualmente una normal. Para un nvel del 5% en un contraste unlateral, el valor crítco es 1.64, de manera que no podemos rechazar la hpótess nula. b) El coefcente de X 1 mde el efecto parcal del número de dormtoros mantenendo constante X 3, el tamaño de la vvenda. Dado que una vvenda con 5 dormtoros es mucho más grande que una de, el resultado en a) no nos dce gran cosa. c) El ntervalo de confanza del 99% será 500(0.0.58*0.00048) ó (9.38, 10.6)
d) El valor crítco al 10% de dcha dstrbucón es F, =.30. Dado que 0.08 <.30 no podemos rechazar la hpótess nula H 0 = 1 = 5 =0 1. Para estudar la relacón entre las ventas de helados, Y, y la temperatura de una determnada cudad costera, X, se estman los cuatro modelos sguentes, con datos daros del año 199 (N=365), (1) Yˆ 105 400D 4.7X 8.3 D X, SCR 534.75 t t t t t () Yˆ 50 3.5X 9 D X, SCR 794.3 t t t t (3) Yˆ 14 557D 7.3 X, SCR 5480.68 t t t (4) Yˆ 350 7.7 X, SCR 9819.15 t t D es una varable dummy que toma el valor 1 s el día en cuestón es de los meses de julo, agosto o septembre. a) Interprete los resultados anterores b) Elja el modelo que consdere más adecuado Solucón a) En los tres prmeros modelos estamos suponendo que el hecho de estar en verano tene un efecto adconal al de la temperatura. En (1) la dummy afecta tanto a la constante como a la pendente, en solo a la pendente y en 3 solo a la constante. Se observa una varacón mportante en el coefcente de X según consderemos uno u otro modelo. El modelo (4) hace depender las venta úncamente de la temperatura b) La eleccón desde un punto de vsta estadístco ha de basarse en el tamaño de la SCR. Aunque en purdad habría que comparar los cuatro modelos, dada la escasa varacón en cuanto a los grados de lbertad, los dos canddatos mejor stuados son el modelo (1) y el (3). Dado que el (3) resulta de mponer en (1) la restrccón 4 =0, podemos emplear un contraste tpo F, F 1,361 (5480.68 534.75) /1 10.54 534.75/(365 4) Este valor es mayor que el crítco en tablas para cualquera de los nveles de sgnfcatvdad habtuales. Por lo tanto rechazamos la hpótess nula y elegmos el modelo (1). Como solo hay un grado de lbertad en el numerador, podemos tambén obtener el rato t para b 4 como la raíz cuadrada de 10.54, es decr 3.5,
aproxmadamente, lo que conduce a la msma conclusón: la varable DX es estadístcamente sgnfcatva y el modelo (1) mejor que el (3). 13. Una regresón múltple con dos varables explcatvas arroja el sguente resultado, Yˆ X X R ˆˆ N 4 0.4 1 0.9, 8/ 60, ε'ε 50, 9 sendo 9 0 0 X'X 0 50 10 0 10 80 a) Contraste la hpótess de que las dos pendentes suman 1 b) Contraste la hpótess de que la pendente de X 1 es nula Solucón a) Las varanzas de los estmadores resultan de, 1 9 0 0 0.034483 0 0 50 9 3 0 10 80 0 0.00564 0.0181 1 ˆ ( X'X ) 0 50 10 0 0 0.00513 0.00564 Por lo tanto los errores estándar de los estmadores de pendente, var( ˆ ˆ ) 0*0.00513 0.4106, ee( ˆ ) 0.64 1 1 var( ˆ ˆ ) 0*0.0181 0.564, ee( ˆ ) 0.506 cov( ˆ ˆˆ ) 0*( 0.00564) 0.051 1 El contraste de la hpótess H 0 : 1 + =1 puede entonces llevarse a cabo a partr del estadístco, t 93 0.4 0.9 1 0.3 0.399 var( ˆ ) var( ˆ ) cov( ˆ ˆ ) 0.4106 0.564 *0.051 1 1 De manera que la hpótess no puede ser rechazada.
b) Empleando los datos anterores, 0.4 t6 0.65 0.64 De manera que la hpótess no puede ser rechazada. 14. Un nvestgador cree, acertadamente, que la relacón entre dos varables X e Y vene dada por Y = 1 + X+u. Dada una muestra de n observacones de dchas varables, junto con una tercera Z, que no es determnante de Y, el nvestgador estma como, b ( Z Z )( Y Y ) ( Z Z )( X X ) Suponendo que Z y X son no estocástcas analce s dcho estmador es nsesgado. Solucón Susttuyendo Y por su valor, b Z Z Y Y Z Z X X Z Z [ 1 X u ] [ 1 X u] Z Z X X Z Z [ X X ] u u Z Z u u Z Z X X Z Z X X donde hemos expresado el estmador como la suma del verdadero parámetro poblaconal más un térmno de error. Por lo que se refere a la nsesgadez,
Z Z u u Z X Z X Z Z E u u Z Z X X E b E E E Z Z u u E Z Z u u Z Z X X Z Z X X La esperanza de es obvamente (es una constante) y el denomnador de la esperanza del segundo térmno puede salr fuera del operador esperanza s asummos que Z y X son no estocástcas. En cuanto al numerador, empleamos la propedad de que la esperanza de una suma es la suma de las esperanzas, junto con la no aleatoredad de Z y el supuesto habtual de que la esperanza del térmno de error es nula. Así llegamos a la conclusón de que el estmador es nsesgado. 15. Tras recoger una muestra de 100 observacones de las varables X e Y, un nvestgador propone estmar 1 en la regresón Y = 0 + 1 X + a partr de la 1 expresón ˆ Y 1 * n Y. X X n 1 a) Compruebe s el estmador es sesgado o nsesgado b) Qué puede decr de la varanza del estmador en relacón con la del estmador MCO? En concreto, cuál de los dos estmadores tendrá una varanza menor? c) Dga s el estmador ˆ 1 * es consstente. Justfque su respuesta. Solucón a) El estmador es nsesgado puesto que, Y Y ( X ) ( X ) ( ) X X X X X X n 1 0 1 n n 0 1 n n n 1 1 n 1 n 1 n 1 Y, tenendo en cuenta los supuestos del modelo, la esperanza de la expresón anteror es precsamente, 1
b) Dado que el estmador pertenece a la msma clase de estmadores que el MCO, el teorema de Gauss Markov garantza que la varanza de este estmador será mayor que la de MCO. c) Este estmador no es consstente. Independentemente del tamaño muestral, se obtene solo a partr dos observacones (prmera y últma), por lo que aumentar el tamaño de la muestra no tendrá aquí el efecto deseado, es decr la convergenca haca el verdadero valor del parámetro. 16. Con datos USA del perodo comprenddo entre el prmer trmestre de 1948 al segundo de 1978 (estadístcos t entre paréntess), se ha estmado la sguente ecuacón, ˆ k k p (16.33) (1.69) ( 6.4) (15.86) y h p ln 1.549 0.7135ln 0.1081ln e 0.0045 t, R 0.98 y= produccón real en el sector prvado k= medda del flujo de servcos de captal h= horas por persona en el sector prvado p e = índce de precos al productor para el combustble y productos relaconados p = Deflactor de precos en el sector prvado t = tempo a) Apoya la estmacón anteror la hpótess de que un aumento en el preco relatvo de la energía causa un descenso de la productvdad del captal exstente- y de los recursos laborales? Justfque su respuesta b) Entre 197 y 1977 el preco relatvo de la energía (p e /p) aumentó un 60%. A partr de la ecuacón anteror, cuál es la pérdda de productvdad? c) Tendos en cuenta los cambos en (h/k) y (p e /p), cuál fue la tendenca de la tasa de crecmento de la productvdad durante el perodo muestral? d) Cómo debe nterpretarse el coefcente de (h/k), 0.7135? e) El hecho de que cada coefcente ndvdual sea sgnfcatvo, sgnfca que podemos rechazar la hpótess de que R = 0? Por qué? Solucón a) Sí dado que el sgno del coefcente del preco es negatvo y estadístcamente sgnfcatvo
b) La pérdda se cfra en 60*0.1081 = 6.486% c) La tendenca de la tasa de crecmento fue de un 0.45% d) Es una elastcdad: por cada ncremento de un punto porcentual en el factor trabajo, el ncremento de la produccón es 0.7135 % e) S todos los coefcentes son estadístcamente sgnfcatvos, es muy poco probable que no sean globalmente sgnfcatvos. En este caso, 0.98/ 3 F3,118 198.37 (1 0.98) /118 17. La sguente ecuacón trata de explcar el salaro de los drectores generales en dferentes sectores productvos, log( salaro ˆ ) 4.59 0.57 log( ventas) 0.011roe 0.158 fnan (0.30) (0.03) (0.004) (0.089) 0.181cons 0.83 serv, (0.085) (0.099) N 09, R 0.357 roe es el rendmento de los actvos; fnan, cons y serv, son varables bnaras para los sectores fnancero, de consumo y servcos. El sector del transporte se ha tomado como categoría base. a) Cómo debe nterpretarse el valor del coefcente de ventas? b) Calcular la dferenca porcentual aproxmada en el salaro entre los sectores de transporte y servcos, mantenendo fjas ventas y roe. Es esta dferenca sgnfcatva al 1%? c) En general s b 1 es el estmador de una varable fctca donde la endógena está en logartmos, la dferenca porcentual exacta entre el valor esperado cuando la fctca toma el valor 0 y 1, vene dado por 100[exp(b 1 )1]. Emplear esta expresón para calcular la dferenca salaral exacta del supuesto contemplado en b y comparar los resultados. d) Cuál será la dferenca porcentual aproxmada entre los salaros de los sectores de consumo y fnancero. Escrbr una ecuacón que permta contrastar s esta dferenca es estadístcamente sgnfcatva.
Solucón a) Mde drectamente la elastcdad, es decr un ncremento de un 1% en las ventas, provocará un ncremento de un 0.57% en el salaro del drector general. b) La dferenca será exactamente el valor del coefcente de la dummy servcos multplcada por 100, es decr -8.3%. Es estadístcamente sgnfcatva, dado que -0.83/0.099 = -.85. c) 100[exp(-0.83)-1] =-4.65%, algo mayor que la cfra anteror d) La dferenca será 100(0.181-0.158)=.3%. Para contrastar s la dferenca es sgnfcatva, deberíamos estmar una ecuacón en la categoría base fuese el sector fnancero (o el de consumo) y ver luego s la dummy del sector de consumo (fnancero), es o no estadístcamente sgnfcatva. 18. Para contrastar el efecto, s lo hay, del consumo de marhuana sobre el salaro de los trabajadores, dsponemos de datos de salaros, educacón, experenca y sexo de una muestra longtudnal. Además dsponemos de la contestacón de cada trabajador a la pregunta En cuántas ocasones fumaste marhuana el mes pasado? a) Escrbr una ecuacón que permta estmar los efectos sobre el salaro del consumo de esta droga b) Especfcar un modelo que permta contrastar s el consumo de marhuana tene efectos dstntos en hombres y mujeres. Cómo se contrastaría que no hay dferencas entre sexos? c) Supongamos que se consdera preferble medr el consumo clasfcando a los ndvduos en cuatro grupos: no consumdor, consumdor ocasonal (1-5 veces al mes), consumo moderado (6-10 veces) y consumdor habtual. Proponer un modelo que permta estmar los efectos de la droga sobre el salaro. d) Usando el método defndo en c), explcar cómo contrastar la hpótess nula de que el consumo no afecta al salaro. e) Cuáles son los problemas para obtener nferenca causal con este tpo de datos? Solucón: a) Un modelo adecuado sería, log(salaro) = 0 + 1 uso+ educ+ 3 exper+ 4 exper + 5 mujer+u de manera que 100 1 medrá el cambo porcentual en el salaro dervado consumr marhuana una vez más al mes.
b) Emplearíamos el modelo, log(salaro) = 0 + 1 uso+ educ+ 3 exper+ 4 exper + 5 mujer+ 6 mujer*uso La hpótess nula de que el uso de la droga no presenta dferencas por género sería H 0 : 6 =0 c) Defnendo las dummy apropadas y tomando como categoría base a quenes no consumen droga, log(salaro) = 0 + 1 uso1+ 1 uso+ 1 uso3+ educ+ 3 exper+ 4 exper + 5 mujer+u uso1, uso y uso3, son dummy para los dferentes grados de consumo. d) La hpótess nula es H 0 : 1 = 3 = 3 =0. El estadístco de contraste sería una F con q=3 y n-8 g.l. e) El térmno de error contendrá factores como el hstoral famlar (que ncluye el hstoral del uso de droga por parte de los padres) que podrían afectar a los salaros y tambén estar correlaconados con el uso de marhuana. Nos nteresa el efecto del uso de droga por parte de una persona en su salaro, de manera que debemos procurar mantener constantes el resto de los factores. Deberíamos procurar obtener datos del hstoral famlar para nclurlo en la ecuacón como una varable adconal. 19. Para tratar de analzar s la pertenenca a un sndcato nfluye en el salaro, estmamos la sguente ecuacón, ˆ 11.4 0.30 0.0003 1.01 1., 34, 0.14 W edad edad educ Snd N R (0.34) (0.10) (0.00) (0.0) (1.0) donde w es el salaro en euros/hora, edad es la edad en años del trabajador, educ, los años de educacón y snd una dummy que toma el valor 1 s el trabajador está aflado a un sndcato. a) Valorar los resultados de la ecuacón anteror b) Cómo justfcamos la nclusón de la edad al cuadrado? Qué tpo de relacón hay entre el salaro y la edad? No vola la nclusón de edad y edad el supuesto de no multcolnealdad perfecta? c) Consdera que la forma funconal es adecuada? Justfque su respuesta d) No deberíamos gnorar el térmno ndependente?
e) Basándose en los resultados de la regresón, consdera que es benefcoso para un trabajador estar sndcado? Justfque su respuesta. Solucón: a) Todos los coefcentes estmados tenen los sgnos (dreccón) esperados. Los de edad y nvel de estudos, son estadístcamente sgnfcatvos, sn embargo el coefcente de determnacón corregdo, es bajo. b) Implcaría que los salaros crecen con la edad de forma no lneal: el crecmento es menor cuanto mayor es el valor de la edad. La relacón parece lneal por cuanto el coefcente de edad no es sgnfcatvamente dstnto de cero. Edad y Edad no tenen colnealdad perfecta. c) Dado que los ncrementos en los salaros suelen negocarse en térmnos porcentuales, una relacón semlogarítmca donde la varable dependente fuese log w, sería más apropada (así es como suele tratarse este tpo de ecuacones en la lteratura econométrca) d) En este contexto suele ser una buena dea gnorar el térmno ndependente (a no ser que estemos seguros de su exstenca) ncluso s su magntud es elevada. e) El coefcente de la dummy correspondente es sufcente para afrmar que, en este caso, no hay evdenca favorable a que la sndcacón redunde en mayores salaros. 0. Consdere la dos regresones, y x x x u, e 1 1 3 3 y z z z u 1 1 3 3 con, z x x 1 1 z x 4x 3 z x 3x 5x 3 1 3 Sea X = [x 1 x x 3 ] y Z = [z 1 z z 3 ] a) Mostrar que las columnas de Z pueden expresarse como combnacones lneales de las columnas de X, es decr que Z = XA sendo A una matrz 3x3. Encontrar los elementos de dcha matrz b) Dados los elementos de A -1 mostrar que los resduos estmados de las dos ecuacones son déntcos.
c) Cuál es la relacón entre ˆ ˆ 1 y para = 1,, 3? Cuál es la relacón entre ˆ y ˆ para = 1,, 3? 1 Solucón: a) Es nmedato comprobar que las ecuacones que relaconan las columnas de Z con las columnas de X son, z x x 1 1 z x 4x 3 z x 3x 5x 3 1 3 Y por lo tanto la matrz A que resuelve Z = XA es, 1 0 A 1 3 0 4 5 Para mostrar que las columnas de X son combnacones lneales de las columnas de Z, necestamos resolver el sstema anteror para expresar cada x como funcón de z, es decr, debemos calcular X = ZA -1. A es una matrz cuadrada no sngular y por tanto nvertble, de manera que A -1 exste. Tenemos entonces, X = ZA 1 z z z 1 3 17 8 10 5 1 8 4 1 b) Las matrces de proyeccón P y las matrces productoras de resduos M, son las msmas en ambos casos, es decr P X =P Z dado que, 1 1 1 1 1 1 1 PX X( X'X) X' ( ZA )[( ZA )( ZA )] ( ZA )' Z( Z'Z) Z' P Z Por tanto las matrces productoras de resduos M X, M Z han de ser tambén guales, con lo que queda probada la afrmacón. c) Puesto que los resduos de las dos regresones son guales, debe cumplrse la gualdad ˆ ˆ 1 XA X. Ello mplca que ˆ A ˆ y ˆ A ˆ de donde se obtene, ˆ ˆ ˆ 1 1 3 ˆ 17 ˆ 8 ˆ ˆ 1 1 3