Guía de Problemas Nº 3. Integrales de movimiento I

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1 Mazo 015 PROLEMA 1 Guía de Poblemas Nº 3 Integales de movimiento I Se lanza, hacia el bateado, una bola de béisbol de 10 g, con una velocidad de 1 m/s en diección hoizontal. Después que el bate golpea la pelota ésta sale en una diección que foma un ángulo de 40º con la hoizontal, con una velocidad de módulo 36 m/s. Si el contacto dua 0,05 s: a) Calcula el impulso ejecido po el bate sobe la bola duante el impacto. b) Calcula la fueza impulsiva pomedio ejecida po el bate PROLEMA Un cohete que pesa 104 N se dispaa veticalmente hacia aiba desde la Tiea. Su moto suminista un empuje vetical hacia aiba de 106 N duante 0 s, seguido po un empuje que decece linealmente con el tiempo desde 106 N a ceo, en los 100 s siguientes. a) Enconta el impulso total sobe al cohete. b) Calcule el impulso en los pimeos 60 s. c) Enconta la velocidad del cohete después de 10 s usando el esultado de (a). Supone que la masa del cohete pemanece constante. PROLEMA 3 Una masa de kg se mueve de deecha a izquieda a lo lago de la ecta y = 0,5 m, con un vecto velocidad v = 10 i ( m / s). a) Calcula el vecto momento angula especto de Q pemanece constante? Justifica bevemente la espuesta. b) En el instante en el que el cuepo pasa po la posición x =1m, ecibe un impulso de manea que su vecto velocidad cambia a v = 6 ( j ( m / s) : i) detemina el cambio en el vecto cantidad de movimiento. ii) detemina el cambio en el vecto momento angula especto de Q PROLEMA 4 En el movimiento amónico simple, la fueza puede escibise F = - k A cos ( π f t), donde A es la amplitud del movimiento, k es la constante de la fueza estauadoa y f es la fecuencia. a) Calcule el impulso de esta fueza ente t = 0 s y t = τ/4 s, donde τ es el peíodo. b) Halle la velocidad cuando t = τ/4 patiendo del impulso y suponiendo que v i = 0. c) Compae este esultado con el obtenido po las ecuaciones usuales del movimiento amónico simple. (Nótese: f = π k ) m F. t. t i N PROLEMA 5 Una fueza = ( ) actúa, sobe una patícula de.7 kg de masa, inicialmente en eposo, duante el intevalo [0.00 s, 1.9 s]. a) Calcule el impulso suministado po la fueza, y la velocidad final de la patícula. 1

2 Mazo 015 b) Calcule el tabajo ealizado po la fueza al cabo de dicho intevalo de tiempo, si la patícula se mueva en una tayectoia ectilínea en el sentido de la fueza aplicada. PROLEMA 6 Una pelota de m = 1 kg es lanzada con una velocidad hoizontal de módulo 10 m/s desde una teaza de 50 m de altua. y a) Detemina el vecto momento angula L especto de O(xy), fijo en la base de la toe, paa: V 0 i) el instante del lanzamiento; ii) cuando está a 5 m de altua. b) Pemanece el vecto momento angula L constante? Justifica. O x PROLEMA 7 La figua muesta un cuepo de masa m apoyado sobe una mesa hoizontal libe de ozamiento y sometida a la inteacción con una banda elástica de constante k y longitud popia H, la que tiene el oto extemo sujeto al punto O fijo en la mesa. Suponiendo que damos al cuepo una velocidad O H 30º V o V o como la indicada en la figua, a) Obtene expesiones paa las componentes adial y tansvesal del vecto velocidad de la patícula en función de su distancia al punto O. b) Suponiendo nula la componente adial del vecto velocidad en el instante inicial, obtene una expesión que pemita detemina la máxima defomación de la banda elástica. PROLEMA 8 Una bala, de masa m = 50 g, es dispaada con una velocidad v0 = 400 m / s. La longitud del cañón es d la bala. Cuál es esta fueza? = 1 m. En su inteio se supone constante la fueza de ozamiento que se ejece sobe PROLEMA 9 Una caja de 40 kg de masa se empuja hacia aiba po una tabla inclinada de 5 m de longitud con una fueza es paalela a la misma. El extemo supeio de la tabla se encuenta a 3 m del piso y el coeficiente de ficción ente la tabla y el cuepo es 0.3. Enconta el tabajo efectuado po la ficción, a) cuando la caja se empuja desde la pate infeio a la supeio de la tabla. b) cuando, una vez que la caja se encuenta en la pate supeio, se la suelta, pemitiendo que deslice hasta la mitad de la tabla.

3 Mazo 015 PROLEMA 10 Un cuepo de masa 5 kg, apoyado sobe una mesa hoizontal, se ata a una cueda delgada la cual se hace pasa po una polea ensamblada en un extemo de la mesa, de modo tal que la cueda queda extendida a lo lago de la misma. El oto extemo de la cueda se une a oto cuepo de masa de 3 kg el cual cuelga libemente. Si el sistema se libea desde en eposo y la velocidad de la masa de 3 kg es de 1.50 m/s después de habe ha caído 0.80 m hay ozamiento ente la mesa y el cuepo de 5 kg? Si lo tiene calcule el valo del coeficiente de ozamiento. PROLEMA 11 Un bote se emolca en agua a una velocidad constante v. La magnitud de la fueza de esistencia del agua es F v =K v, donde K es una constante. a) Enconta el tabajo efectuado po la fueza esistiva duante el tiempo tascuido ente t 1 y t usando el W = F ds dt dt = F v dt método de la integal odinaia: ( ) b) Realiza una gáfica que epesente la integación, sombea el áea que epesenta el tabajo. c) Qué potencia se equiee paa emolca el bote? PROLEMA 1 Una patícula es ataída hacia un punto O del espacio, po una fueza F, cuya magnitud es popocional a la distancia de la patícula a dicho punto. a) Calcule el tabajo de la fueza cuando la patícula se mueve desde la posición (0,1) hasta (1,), a lo lago de las siguientes cuvas, i) y=x+1 ii) y=1+x iii) y=-x +x+1 iv) desde (0,1) hasta (1,1) a lo lago del eje x, y desde (1,1) hasta (1,) a lo lago del eje y. b) Indique si esta fueza es consevativa. c) Asumiendo que el plano tiene un coeficiente de ozamiento dinámico, µ d cuál es el tabajo ealizado sobe la patícula, cuando ésta se mueve desde el punto (0,1) hasta el punto (1,), a lo lago del camino iv) y vuelve, po el mismo camino al punto de patida? Explique el esultado. d) Resuelva los incisos a) y b) si la fueza tiene la siguiente expesión: F ˆ ˆ = a i + b x j PROLEMA 13 Una cuenta de masa m desliza sobe un alambe sin ficción desde el punto A, en la pate supeio, hasta el punto en la pate infeiove Figua). a) El tabajo efectuado po la gavedad sobe la cuenta es: m g y a m g y b m g ( ya yb ) m g ( y y ) b a y y A y A x b) Supóngase que ahoa hay ficción en el alambe y el coeficiente de ozamiento tiene un valo µ. El tabajo efectuado po la gavedad sobe la cuenta es: m g ( y y ) a b 3

4 Mazo 015 m g ( yb ya ) m g µ ( yb ya ) ( ) m g y y µ mg b a PROLEMA 14 Una patícula de masa Kg se mueve con velocidad constante v1 = 3. 5 ˆj ( m ) u s cuando enta a una egión del espacio en la cual se ve sometida a una fueza de magnitud constante que tiene la siguiente foma: F = 10i ˆ 6 ˆ j 4 k ˆ N. a) Calcule el tabajo de F cuando la patícula se desplaza desde el punto P 0 =(0, 0, 0.5) al punto P 1 =(.5, 0.5, 0) a lo lago de la ecta que une a dichos puntos Depende el tabajo de la fueza del camino? Justifique su espuesta b) Con qué velocidad llega la patícula a P 1? PROLEMA 15 Sobe un plano hoizontal, libe de ozamiento, un cuepo de masa 5 kg se mantiene, mediante un mecanismo adecuado, en contacto con un esote compimido 0 cm. El plano se halla a una altua de m sobe el nivel del piso. Asumiendo que todas las supeficies del sistema están libes de ozamiento 3 y que la constante elástica del esote es de 5 10 N / m, Calcule: a) La enegía mecánica del sistema al momento de libea el esote. b) La enegía cinética del cuepo cuando éste deja de esta en contacto con esote. c) La velocidad con que el cuepo llega al piso y el tiempo de caída 0cm H=.0 m PROLEMA 16 Un objeto de 1 kg de masa desliza sobe una mesa lisa con velocidad v constante y choca con un esote de constante elástica, acoplamiento. κ = 0. 5 N, quedando unido al mismo mediante un sistema de cm a) Obtenga una expesión paa la enegía cinética del cuepo en función de la defomación del esote. b) Cuál debeía se la velocidad inicial del cuepo paa que la amplitud de oscilación del esote sea de cm? c) Realice gáficas cualitativas de la enegía mecánica, potencial y cinética del sistema en función de la posición. PROLEMA 17 Los cuepos m 1 y m están unidos mediante una cueda inextensible, de masa despeciable, que pasa po un agujeo en la mesa hoizontal libe de ozamiento; mientas m 1 se mueve a lo lago de una tayectoia cicula de adio o, el cuepo m cuelga bajo la mesa. a) Obtenga una expesión paa la velocidad v 01 que debe tene m 1 si se desea que el cuepo m pemanezca en eposo especto de un sistema de efeencia fijo a tiea. 4

5 Mazo 015 b) Suponiendo que mientas m 1 se mueve con la velocidad obtenida en a), la masa del cuepo m se duplica, (el sistema deja el equilibio). Detemina el vecto momento angula del cuepo que gia sobe la mesa especto del cento de la tayectoia Se mantiene constante? Justifique. H c) Obtenga una expesión paa el módulo de la velocidad de cada cuepo, especto de tiea, en función del camino H ecoido po m a medida que cae. d) Obtenga expesiones paa la tensión en la cueda en ambas situaciones. PROLEMA 18 Un cuepo de masa M, se mueve con velocidad v o, cuando se encuenta a una distancia D de un esote de constante elástica K. La pista hoizontal tiene un ozamiento no nulo. Al llega al esote, el cuepo ha pedido, debido al ozamiento, el 30% de la enegía cinética inicial. a) Calcule la velocidad con la que choca conta el esote b) Cuál es el valo del coeficiente de ozamiento dinámico ente cuepo y pista? v 0 D. c) Cuál es la máxima defomación del esote si el coeficiente de ozamiento es el calculado en b)? d) Si inicia el etoceso, con qué velocidad abandona al esote? Qué distancia ecoe hasta detenese? e) Realiza gáficas cualitativas que muesten la vaiación de las distintas fomas de enegía involucadas, en función de la distancia x. PROLEMA 19 Un bloque de 10 kg desliza po una pista como la que se muesta en la figua. Pate desde el punto A, desde el eposo, ecoe un tamo cicula, sin ozamiento, y llega a un tamo hoizontal C, de 4.0 m de lago, que tiene ozamiento, siendo µ = 0. 5 el coeficiente d dinámico. Po último el bloque choca conta un esote ubicado en una zona donde la pista es lisa (libe de ozamiento). a) Si el bloque pasa po el punto C con una velocidad de 6.6 m/s, cuál es el adio de cuvatua del tamo A? A b) Si el esote se compime hasta10cm, siendo ésta su máxima compesión, cuánto vale la constante elástica del mismo? c) ajo las condiciones planteadas en a) y b), hasta qué altua sube el bloque en su viaje de vuelta? d) Desde qué altua debeíamos solta al bloque, si deseamos que el esote se compima la mitad de lo que se compimió en el inciso b). e) Realice la gáfica coespondiente paa la enegía potencial del sistema, paa el movimiento hoizontal, hasta que se detiene. PROLEMA 0 Un péndulo simple se sepaa 15º de la vetical y luego se suelta desde el eposo. La 5

6 Mazo 015 longitud del péndulo es de 30 cm y la masa de la pesa es de 0.1 kg. a) Cuál es la velocidad de la pesa cuando pasa po el punto más bajo de su tayectoia? b) Compaa este esultado exacto con el esultado que puede obtenese usando las expesiones paa el movimiento amónico simple (MAS). c) Es útil la solución de MAS si el ángulo inicial desde el cual se suelta la masa es de 60º? Explique la causa de este esultado. PROLEMA 1 Un péndulo de masa M = 1 kg y longitud L se O deja en libetad desde la posición hoizontal. Cuando llega a la posición vetical encuenta un clavo Q, ubicado debajo del punto de suspensión O, a una distancia d = /3 L, que lo obliga a cambia la tayectoia. a) Detemina si el cuepo M puede ealiza una vuelta completa alededo de Q. C Q A b) Si puede hacelo, detemina con que velocidad pasa po los puntos A, y C. c) En este caso, cuál es la tensión en la cueda al pasa po cada punto? PROLEMA El cuepo de masa m, está unido a una cueda elástica de constante k, cuyo extemo está sujeto al punto O, el cual petenece a la polongación imaginaia del cículo, de adio R, que contonea al casquete esféico. Po la supeficie inteio del casquete, de masa es M, puede movese, libe de ozamiento, el cuepo de masa m. El casquete, a su vez, está apoyado sobe el plato de una balanza. Suponiendo que el cuepo m, se deja en libetad en el punto A, y que en dicha posición la cueda elástica está sin defoma, Cuál es la condición a impone paa halla el valo mínimo de m paa que el cuepo siempe se mantenga en contacto con el casquete? A O balanza Que la componente nomal de la fueza de contacto se anule justo en la pate infeio del casquete Que la componente nomal de la fueza de contacto sea nula en todo punto No impota el valo de la componente nomal de la fueza de contacto el cuepo siempe se va a mantene en contacto debido a su peso. Como hay una componente de fueza hacia aiba, el cuepo se va paa aiba y no se puede mantene el contacto. a) Obtene el valo mínimo de la masa m, necesaio paa que el cuepo se mantenga en contacto con el casquete duante todo su movimiento. b) Si se da la condición de masa mínima, detemina las componentes nomal y tangencial del vecto aceleación cuando el cuepo pasa po la pate infeio del casquete. Detemina la lectua en la balanza. c) Si la masa suspendida fuea el doble de la masa mínima, cual seía entonces la lectua en la balanza al 6

7 Mazo 015 pasa el cuepo po la pate infeio del casquete? PROLEMA 3 Una masa m está colocada sobe el extemo libe de un esote de constante k. a) Calcula el tabajo efectuado po cada una de las fuezas exteioes cuando se le pemite a la masa alaga el esote desde su longitud sin caga L a su longitud de equilibio, L+d. b) Po las consideaciones de enegía, enconta el máximo desplazamiento de m si se le pemite cae después de colgala del extemo libe del esote. PROLEMA 4 Un cuepo de 1Kg está apoyado sobe un esote de constante elástica k = 60 kg s. Inicialmente el esote, de longitud natual 60cm, se encuenta compimido 45 cm. El cuepo se deja en libetad, a) Discuta cómo se modifica la dinámica del sistema masa-esote si inicialmente éste se suelta desde una posición: i) po encima de la posición de equilibio del sistema, ii) po debajo de la posición de equilibio del sistema. b) Calcule la máxima altua que alcanzaá el cuepo. c) Calcule la máxima velocidad del cuepo y la posición a la que ocue. d) Repeti los incisos anteioes si el cuepo está ígidamente unido al esote. PROLEMA 5 Un bloque desliza po una pista cuva libe de ozamiento y sube po un plano inclinado, tal como se ve en la gáfica. El coeficiente de ozamiento ente el plano inclinado y el cuepo es µ. La altua máxima a la que llega el cuepo sobe el plano inclinado es: y y y max max max h = 1 + µ cot θ ( ) h = 1 µ cot θ = h µ cot θ ( ) ( ) No se puede detemina 7

8 Mazo 015 PROLEMA 6 La figua muesta la óbita elíptica en la que quedó atapada una sonda exploadoa, de masa ms = 50 kg, sometida al campo gavitatoio de un planeta. Cuando pasa po el peihelio de la óbita, P, la sonda se encuenta a 5500 km del cento del planeta y tiene una velocidad de v = 1, El módulo P 4 m s del vecto velocidad en especto de un sistema de coodenadas con oigen en O es: nulo v =6,0 10 v =5,15 10 v =1, m s m s m s Radio del Planeta: 750 km G = 6, N-m kg - Mp= 5, kg. PROLEMA 7 Cuánta enegía se equiee paa eleva un kilogamo de caga desde la Tiea hasta la Luna? Qué apidez debe tene una nave espacial al sali de la atmósfea paa pode escapa de la Tiea PROLEMA 8 Consideemos un poyectil a una distancia = R del cento de la Tiea (R = Radio Teeste). Se lanza al poyectil con una velocidad inicial pependicula al adiovecto que detemina su posición especto del cento teeste. a) Indica esquemáticamente la natualeza de las óbitas que se obtienen al hace vaia la velocidad inicial desde 0 hasta infinito. Indica los dominios de velocidad que son caacteísticos de las tayectoias elípticas, paabólicas e hipebólicas. b) Realiza el mismo análisis del inciso anteio, peo tómese un ángulo de 10º ente v y. PROLEMA 9 El gáfico a continuación muesta la enegía potencial en función de la coodenada x. Realice una descipción cualitativa del movimiento de una patícula según sea su enegía total la indicada en la figua con (1), (), (3) y (4). Indique los puntos de equilibio, si son estables o inestables, si existen baeas de potencial, si la tayectoia tiene puntos de etono, etc. PROLEMA 30 Una patícula de M = 4 g está sometida al campo de una fueza cental cuya enegía potencial vaía con la distancia,, de la patícula al cento de fueza, como lo sugiee la figua. Suponga que la patícula viene desde infinito y se está acecando al oigen de fueza, que 0 =4 cm y b =8 cm. a) Si pasa po la posición =1 cm con una enegía cinética T=5 eg, detemine la velocidad de la patícula cuando pasa po 0 y b. 8

9 Mazo 015 b) ajo la condición planteada en el inciso anteio, indique cualitativamente el punto de etono. c) ajo la condición planteada en el inciso a) si al pasa po 0, piede 3 eg de su enegía mecánica, analice el tipo de tayectoia que seguiá la patícula posteiomente. d) Suponiendo que la patícula tiene una enegía mecánica de E=9 eg. Analice las egiones pemitidas y las egiones pohibidas paa el movimiento de la patícula cuando (a) se aceca desde el infinito (b) pate desde una posición 0 < < b hacia la deecha. Justifica su espuesta adecuadamente. Poblemas Adicionales PROLEMA 31 Un automóvil que va a 10 m/s (unos 36 km/h) choca conta un ábol. a) Un pasajeo sin cintuón golpea el paabisas con la cabeza y se paa en 0.0 s. La masa de su cabeza es 5 kg. La fueza media que se ejece sobe su cabeza es: 500 N 1 N 500 N Ninguna de las anteioes b) Un pasajeo de 70 kg de masa que lleva el cintuón de seguidad se paa en 0.5 s. La fueza media que se ejece sobe el pasajeo es: 1400 N 350 N 5 N oto c) Discuta a qué factoes se puede atibui la difeencia de tiempo en el fenado de la cabeza del pime conducto y el tiempo del segundo conducto. PROLEMA 3 Una pelota se mueve con velocidad de 10 m/s y ebota conta una paed pependiculamente. Si después del ebote la pelota sale con igual velocidad a la que taía, a) se conseva la cantidad de movimiento de la pelota? b) cuál es el impulso que ejece la paed sobe la pelota? y el de la pelota sobe la paed? c) Idem (a) y (b) peo suponiendo que la velocidad de la pelota, luego del ebote, es la mitad de la que tenía antes del mismo. PROLEMA 33 La fueza actuante sobe un cuepo de 10 kg de masa es F = ( 10 + ) fueza está medida en newton y el tiempo en segundos. a) Cuáles son las unidades de p? b) Después de 4 segundos: t i N, donde la El cambio de momento lineal es: El cambio en la velocidad es: 9

10 Da. C. Caletti ( v = 5.6 i ( m / s) p = 56 i ( N. s) v = 1.8 j ( m / s) p = 56 j ( N. s) p = 7 ( N. s) v = 7. i ( m / s) p = 18 i ( N. s) Ninguno de los anteioes c) Duante cuánto tiempo debeía actua la fueza paa que el cambio en el momento lineal tenga un módulo de 00 N/s? Supone velocidad inicial nula. 10 segundos 5 segundos 3/5 segundos oto ( v0 i 6 j m / s d) Cómo cambian estos esultados si ahoa el cuepo tiene velocidad inicial = ( ) PROLEMA 34 Una patícula se mueve bajo la acción de una fueza cuya enegía potencial asociada es: p 3 ( ) = E x 3x x a) Taza un gáfico de E ( x ) p b) Detemina la diección de la fueza en angos apopiados de la vaiable x. c) Discuti los posibles movimientos de la patícula paa difeentes valoes de su enegía total. d) Halla las posiciones de equilibio. Clasificalas según sean estables e inestables. e) Taza un gáfico F(x) PROLEMA 35. Una caja de huevos de 5 kg de masa está sostenida, en una ampa sin ficción, po un esote de longitud natual constante l =1.0 m = N. Defina un nivel de efeencia paa la enegía m k 3 potencial, tal que la caja tenga enegía potencial gavitatoia nula cuando su cento de masa coincida con el extemo del esote elajado, y evalúe la enegía potencial total del sistema en equilibio., y 45º M PROLEMA 36 Un esote, de constante elástica k y longitud popia l0, se sujeta desde uno de sus extemos a un punto fijo y desde el oto a un cuepo de masa m que desliza sin ozamiento sobe una vailla hoizontal. El movimiento tiene luga en un plano vetical. Suponiendo que el cuepo se deja en libetad cuando el cuepo se ubica a distancia máxima, xmáx, desde O, la enegía cinética del cuepo cuando pasa po T = 1 k l ( ( )) 0 1+ cosec θmax 10

11 Da. C. Caletti T = 1 k l ( ( ) 1 ) 0 cosec θmax T = 1 k l 0 Ninguna de las anteioes donde tan cosec ( θ ) ( θ ) = max 1 sen l = 0 ( θ ) x max PROLEMA 37 Un satélite atificial descibe una tayectoia cicula de adio 0 alededo de la Tiea a) Cuál debe se el cambio en su enegía cinética paa que pase a descibi una óbita elíptica cuyo apogeo A esté a 0. b) Qué cambio se debe da a su velocidad paa que pase a descibi una óbita cicula de adio 0. c) Realice las cuvas de Enegía Potencial Efectiva y Enegía Mecánica coespondientes a estos cambios de óbita. PROLEMA 38 Un cohete lanza una cápsula espacial de M = 0 kg, en un punto con una velocidad V = km/h a una altua de 40 km. Cuando la cápsula ha ecoido una distancia de 30 km a lo lago de su tayectoia espacial, su velocidad es V A = 100 km/h a una altua de 64 km. Consideando el cento de la Tiea fijo en el espacio y un adio teeste de 6370 km, calcule el valo medio del módulo de la fueza esistente sobe la cápsula (la fueza esistiva se debe a la inteacción ente la cápsula y la atmósfea enaecida). R T R A R A 11