Revista Ingeniería UC, Vol. 20, No. 2, Agosto

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1 Revsta Ingenería UC, Vol 20, No 2, Agosto Optmzador de enambre modfcado aplcado al cálculo del fluo de carga óptmo en redes eléctrcas de potenca con varables de control mxtas y funcón de costos de generacón no convexa Aleandro Centeno,a, Demetro Rey Lago a, Juan Martínez b a Insttuto de Matemátca y Cálculo Aplcado, Facultad de Ingenería, Unversdad de Carabobo, Valenca, Venezuela b Departamento de Físca, Facultad de Ingenería, Unversdad de Carabobo, Valenca, Venezuela En el presente artículo se expone la mplementacón del Algortmo de Enambre de Partículas (AEP modfcado para el cálculo del Fluo de Carga Óptmo (FCO en redes eléctrcas de potenca con varables de control contnuas dscretas (mxtas y funcón de costos de generacón no convexa El nvel de tensón en las barras generadoras, y la potenca actva sumnstrada por las undades generadoras, han sdo consderadas de tpo contnuo La potenca reactva sumnstrada por los compensadores en dervacón, y la poscón de los cambadores de toma bao carga en los transformadores de potenca, han sdo consderadas de tpo dscreto La funcón a mnmzar es el costo total de generacón de potenca actva por undad de tempo, consderando el comportamento de undades generadoras multvalvulares Para la supervsón y control del cumplmento de las restrccones, que como problema de optmzacón plantea el cálculo del FCO, se ha mplementado el crtero desarrollado por Kalyanmoy Deb El algortmo desarrollado es sometdo a prueba para el cálculo del FCO en la red IEEE 30 Los resultados obtendos demuestran, al ser comparados con los dervados medante mplementacones prevas basadas en dversas técncas metaheurístcas, que el algortmo propuesto computa solucones smlares a las meores publcadas hasta el presente Palabras clave: Fluo de carga óptmo, Algortmo de enambre de partículas, Optmzacón Modfed partcle swarm optmzaton algorthm appled to computng optmal power flow n electrcal power networks wth mxed nteger control varables and non-convex cost functon Resumen- Abstract- Ths artcle presents the mplementaton of modfed Partcle Swarm Optmzaton algorthm (PSO for computng the Optmal Power Flow (OPF n electrcal power network wth mxed ntegers control varables and non-convex cost functon The set of contnuos control varables s gven by the level of voltage n the bars and the actve power generaton suppled by the power supply unts On the other hand, the set of nteger control varables set s gven by the compensatng reactve power suppled by shunt reactor and the poston of load tap changers n power transformers The functon to optmze s the cost of fuel for power generaton per unt of tme wth valve pont loadng effects For the supervson and control of the restrctons assocated to the computng of OPF has been mplemented the rules proposed by Kalyanmoy Deb The mplemented algorthm s tested for the computng OPF n IEEE - 30 network The obtaned results show, compared to those derved by prevous mplementatons based on metaheurstc technques, that the algorthm here proposed computes smlar solutons to those found n the lterature Keywords: Optmal power flow, Partcle swarm optmzaton algorthm, Optmzaton Revsta Ingenería UC

2 A Centeno et al / Revsta Ingenería UC, Vol 20, No 2, Agosto 2013, Recbdo: Marzo 2013 Aceptado: Juno Introduccón El cálculo del Fluo de Carga Óptmo (FCO consttuye un problema de optmzacón, con aplcacón en las áreas de operacón y planfcacón de sstemas eléctrcos de potenca, cuya solucón determna los valores óptmos para un conunto de varables de control y estado, tenendo en cuenta restrccones operaconales y de segurdad 1] Desde su formulacón ncal 2, 3], el cálculo del FCO ha sdo obeto de una profusa labor de nvestgacón tendente a desarrollar e mplementar computaconalmente métodos numércos para su solucón 4] Más aun, con el advenmento de los métodos metaheurístcos 5] se orgnó un nuevo paradgma en el tratamento del cálculo del FCO Las metaheurístcas consttuyen estrategas ntelgentes para dseñar o meorar procedmentos heurístcos muy generales y que comprenden un conunto de técncas teratvas, generalmente de tpo estocástcas, las cuales actúan sobre una poblacón de ndvduos que son evoluconados medante una sere de reglas prevamente especfcadas 6] En partcular, el Algortmo de Enambre de Partículas (AEP es una metaheurístca basada en poblacón y fundamentada en la premsa conocda como la metáfora socal 7] Dversas técncas de optmzacón metaheurístcas han sdo aplcadas extosamente para la resolucón del cálculo del FCO 8] En el presente artículo se expone la mplementacón del AEP para el cálculo del FCO con varables de control mxtas (contnuas dscretas y funcón de costos de generacón no convexa El nvel de tensón en barras, y la potenca actva sumnstrada por las undades generadoras, han sdo consderadas como varables contnuas La potenca reactva sumnstrada por los compensadores en dervacón, y el valor de los cambadores de toma bao carga en los transformadores de potenca, han sdo Autor para correspondenca Correo-e: adcenteno@uceduve (Aleandro Centeno consderados como varables dscretas El obetvo ha sdo mnmzar el costo total de generacón, por undad de tempo, ncorporando el modelado de undades generadoras multvalvulares 9] Para el maneo de las restrccones asocadas al cálculo del FCO se ha mplementado el crtero de Deb K 10] El algortmo desarrollado ha sdo sometdo a prueba para el cálculo del FCO en la red IEEE 30 2 Formulacón del problema del fluo de carga óptmo El problema del cálculo del FCO, tal y como se le conoce en la actualdad, fue orgnalmente planteado como una extensón del cálculo del Despacho Económco 1, 2] Como problema de optmzacón no lneal sueto a restrccones, el FCO presenta la sguente formulacón general: Mn f (x, u (1 Sueto a: h (x, u 0 (2 g (x, u 0 (3 x R m R N u R l R N f (x, u : R m+l R N R Representa la funcón obetvo h (x, u : R m+l R N R Representa las restrccones de gualdad g (x, u : R m+l R N R Representa las restrccones de desgualdad x: Representa el vector de m varables de control u: Representa el vector de l varables de estado Para el cálculo del FCO, la seleccón de la funcón obetvo obedece a un análss de la red eléctrca de potenca bao estudo en térmnos de su segurdad y economía de funconamento exstendo, por ende, múltples aspectos de la msma que pueden ser planteados a tal fn 11] En el presente estudo, se ha selecconado el costo total de generacón de potenca actva por undad de tempo En este sentdo, la funcón obetvo debe modelar matemátcamente las curvas Revsta Ingenería UC

3 70 A Centeno et al / Revsta Ingenería UC, Vol 20, No 2, Agosto 2013, de entrada salda (costos vs potenca generada asocadas a las undades generadoras presentes en la red 9] Típcamente, en redes con presenca de centrales termoeléctrcas, las curvas entrada salda asocadas a las undades generadoras son aproxmadas o modeladas medante un polnomo de orden dos (funcón convexa 9] Sn embargo, la curva entrada salda asocada a undades generadoras térmcas de gran potenca presenta un rzado, que se superpone al modelo de orden dos, debdo al tempo de apertura secuencal de sus válvulas de admsón de combustble (undades multvalvulares a medda que aumenta la demanda de potenca actva 9], tal y como se esquematza en la Fgura 1 Mn f n g 1 ( c1 + c 2 P G + c 3 PG 2 + c 4 S en ( ] c 5 P mín ] ] $ G P G h (4 n g : Número ] de undades ] generadoras ] ] c $ 1 h, $ c2 MWh, $ c3 MW h], $ 2 c4 h, 1 c5 MW : Coefcentes de costos para la ésma undad PG mín, PG máx MW]: Límtes de sumnstro de potenca actva para la ésma undad generadora P G MW]: Potenca actva sumnstrada por la ésma undad generadora En lo referente a las restrccones de gualdad dadas por (2, para el cálculo del FCO éstas son defndas a partr del balance de potenca actva y reactva en las barras de la red bao estudo, de la sguente forma 11]: h Pg P d A( 0 1,, n 1 Q g Q d B( 0 1,, n pq (5 Fgura 1: Curva de entrada salda típca para undad térmca multvalvular (fuente propa Como consecuenca drecta del rzado, esquematzado en la Fgura 1, la funcón de costos de generacón no debe ser modelada medante una funcón convexa, debendo recurrrse a la ncorporacón de una componente de rectfcacón snusodal (funcón no convexa Bao esta premsa, en la presente nvestgacón el costo total de generacón de potenca actva por undad de tempo se modelará de la sguente forma 12]: y Con A( B( n V V Y ( cos δ δ α 1 n V V Y ( S en δ δ α 1 n: Número de nodos o barras n pq : Número de nodos o barras tpo PQ P g, P d MW]: Potenca actva total generada y demandada, respectvamente, en la ésma barra Q g, Q d MVAR]: Potenca reactva total generada y demandada, respectvamente, en la ésma barra V kv], δ rad]: Magntud y fase, respectvamente, del voltae en la ésma barra Y ] Ω 1, α rad]: Magntud y fase, respectvamente, para admtanca entre las barras ésmas En lo referente a las restrccones de desgualdad dadas por (3, para el cálculo del FCO éstas Revsta Ingenería UC

4 A Centeno et al / Revsta Ingenería UC, Vol 20, No 2, Agosto 2013, son defndas en funcón de los límtes operatvos mpuestos a la red bao estudo, y sus componentes consttutvos, de la sguente forma 11]: g PG mín P G PG máx 1, 2,, n g QG mín Q G QG máx 1, 2,, n g V G mín V G V G máx 1, 2,, n g t mín t t máx 1, 2,, n t QC mín Q C QC máx 1, 2,, n c V mín V V máx 1, 2,, n 1 δ mín δ δ máx 1, 2,, n 1 S r S r máx 1, 2,, n r (6 n r : Número de ramas n t, n c : Número de transformadores de potenca y compensadores en dervacón, respectvamente Q G MVAR]: Potenca reactva sumnstrada por la ésma undad generadora Q C MVAR]: Potenca reactva sumnstrada por el ésmo compensador en dervacón V G kv]: Magntud del voltae en la ésma undad generadora t : Valor del cambador de toma bao carga del ésmo transformador de potenca S r MVA]: Magntud de la potenca total transmtda a través de la ésma rama QG mín, QG máx MV AR]: Límtes de sumnstro de potenca reactva para la ésma undad generadora QC mín, QC máx MV AR]: Límtes de sumnstro de potenca reactva en la ésma undad compensadora V G mín, V G máx kv]: Límtes para la magntud del voltae en la ésma undad generadora t mín, t máx : Límtes para el valor del cambador de toma bao carga del ésmo transformador V mín, V máx kv]: Límtes para la magntud del voltae en la ésma barra tpo PQ δ mín, δ máx rad]: Límtes para la fase del voltae en la ésma barra S r máx MVA]: Magntud de la potenca total máxma transmsble a través de la ésma rama Fnalmente, en el presente estudo las varables de control (x y estado (u de la red estarán consttudas por los sguentes conuntos: x V x P x t x Q x ] (7 con V x V G1 V G2 VGng ], P x P G1 P G2 P G(n g 1], tx t 1 t 2 t nt ] y Q x Q c1 Q c2 Q cnc ] u V u δ u Q u S u ] (8 con V u P re f V 1 Vnpq ], δ u δ 1 δ n 1 ], Q u Q G1 Q G2 Q Gng ] y Su S r1 S r2 S rnr ] P re f MW]: Potenca actva sumnstrada por la barra de referenca ( n re f Nótese que los conuntos en (7 y (8 están conformados por las msmas varables ya defndas al enuncar las ecuacones (4 (6 3 Algortmo propuesto En el presente artículo se ha mplementado una modfcacón del AEP en su versón local 13], conuntamente con el crtero desarrollado por Deb K 10], con la sguente estructura: 31 Defncones báscas Partícula (x Una partícula estará consttuda por el conunto de varables de control (7 Poscón de (x En el espaco de búsqueda S ] m 1 x mín x máx R N, para la k ésma teracón, vendrá dada por x x 1 x 2 ] x I, donde x m ] x mín 1 x máx R, sendo x mín, x máx los límtes mpuestos a las varables de control El enambre de partículas vendrá dado por X x 1 x 2 ] T x p Velocdad de (x En el espaco Y m ] 1 v mín v máx R N, estará representada por v v 1 v 2 ] v I, donde v m ] v mín 1 v máx R, sendo v mín, v máx los límtes mpuestos a la velocdad: v mín v máx x máx x mín Para X se defne: V v 1 v 2 ] T v p Meor poscón de (x Representa la meor poscón ndvdual hallada por cada partícula, x m xm 1 x m 2 x ] m m Para X se defne: X m x m 1 x m 2 x ] T m p Revsta Ingenería UC

5 72 A Centeno et al / Revsta Ingenería UC, Vol 20, No 2, Agosto 2013, Estado de (x Representa las varables de estado u (8 calculadas a partr de x Desempeño de (x Vendrá dado por f ( x, u, donde la funcón f representa la funcón obetvo planteada en (4 Para X se defne: F f 1 f 2 f ] m f Meor desempeño de (x Vendrá dado por f m f ( x m, u m, donde um es calculada a partr de x m Para X se defne: F m f m 1 f m 2 f ] m m Restrccones de desgualdad para (x Denotada por d, representará el número de restrccones (6 satsfechas por u Para X se defne: D d 1 d 2 ] d m Restrccones de desgualdad meor para (x Denotada por dm, representará el número de restrccones (6 satsfechas por u m Para X se defne: D m dm 1 dm 2 ] dm m Poscón meor local para (x Denotado por x ml, representa la poscón selecconada en el conunto x x nvec 1 X, sendo n vec el número de vecnos más cercanos a x (de acuerdo a la norma euclídea, para la cual se satsface (con fundamento en el crtero de Deb K 10]: f ml mín f, f n }? ó dml 1 mín d, d nvec }, 1 tenendo asocado el vector u ml Poscón meor global en X Denotado como x mg X, consttuye la poscón para la cual se cumple (con fundamento en el crtero de Deb K 10]: f mg mín F } ó dmg máx D }, tenendo asocado el vector u mg Meor solucón ndvdual para (x Conunto conformado por x m, u m, f m, dm Meor solucón global X mg Conunto conformado por x mg, u mg, f mg, dmg } Crtero de Deb K maneo de restrccones Dado un problema de optmzacón 10] con restrccones y dos propuestas para su solucón denotadas como: s, IF, IO } y s, IF, IO ; con s Ω R N, IF N 0, IO R, sendo Ω el espaco de búsqueda, IF un índce de factbldad (cumplmento de restrccones e IO un índce de optmaldad (valor de la funcón obetvo, entonces: ( S IF 0 IF 0, entonces selecconar s, IF, IO } ( S IF > IF, entonces selecconar s, IF, IO } S ( IF IF IO < IO, entonces selecconar s, IF, IO } Valor en por undad (pu Dada una magntud (M y su magntud base asocada (M base, entonces, el valor en por undad (pu para M, se defne como: M pu M M base (9 32 Parámetros del algortmo Tamaño del enambre: p N 0 Número máxmo de teracones: k máx N 0 Número de partículas vecnas: n vec N 0 Factor de nerca: ω 0, 1] Factor cogntvo: ϕ 1 R + Factor socal: ϕ 2 R + 33 Secuenca de pasos del algortmo Cálculo del Meor Vecno S se cumple que > mg, sendo mg el índce de la partícula que representa a x mg en X, se calcula x ml para x a partr del conunto x x nvec 1 X x } mg En caso contraro ( mg, se hace xml x mg Revsta Ingenería UC

6 A Centeno et al / Revsta Ingenería UC, Vol 20, No 2, Agosto 2013, Actualzacón de velocdad Se calcula v (k+1, medante la sguente expresón 13]: v (k+1 ωv + ( ϕ 1 r 1 xm x + ( ϕ 2 r 2 xml x (10 r 1, r 2 U (0, 1: emulan el comportamento estocástco del enambre U (0, 1: Funcón de dstrbucón de probabldades unforme entre 0 y 1 Lmtar velocdad Para cada componente de v (k+1, se aplca el sguente crtero 14]: S ( v (k+1 S ( v (k+1 < v mín > v máx v (k+1 v (k+1 v mín v máx Actualzar poscón Se calcula x (k+1, medante la sguente expresón 13]: x (k+1 x + v (k+1 (11 Aplcar pared reflectante Para cada componente de x (k+1, se aplca el sguente crtero 14]: S x (k+1 S x (k+1 ( x (k+1 v (k+1 ( x (k+1 v (k+1 < x mín v (k+1 x (k+1 2x mín > x máx x (k+1 2x máx v (k+1 Dscretzacón Para las componentes de x (k+1, a las cuales se les mpone la condcón de tomar valores dscretos, se les aplca el sguente tratamento: x (k+1 x (k+1 x (12 x x : Paso defndo para la ésma varable de estado Cálculo de estado Se calcula u (k+1, medante la solucón del sstema de ecuacones dado por (5, aplcando el método de Newton Raphson 15] Cálculo del desempeño Se evalúa f (k+1 f ( x (k+1, u (k+1 Cálculo de restrccones de desgualdad Se computa d (k+1 Actualzacón de meor solucón ndvdual Implementando el crtero de Deb K 10], se comparan los conuntos x (k+1, u (k+1, f (k+1, d (k+1 y x m, u m, f m, dm Actualzacón de meor solucón global Implementando el crtero de Deb K 10], se comparan los conuntos x (k+1, u (k+1, f (k+1, d (k+1 y xmg, u mg, f mg, dmg } 34 Incalzacón del Algortmo x mín v mín Para cada x (0 } p 1 X(0, se tene: x (0 + U (0, 1 ( x máx x mín Para cada v (0 p 1 V(0, se tene: v (0 + U (0, 1 ( v máx v mín } p Para cada x (0 1 X(0, se aplca la Ecuacón (12, se calcula u (0, f (0 y d (0 construyéndo- (0 se, de esta forma, X m D (0 m D (0 Por últmo, se hace: X (0, F m (0 } m } m 1 1 F (0 y Xmg (0 x (0 1, u(0 1, f (0 1, } d(0 1 La secuenca de pasos del algortmo propuesto se observa en la Fgura 2: X (0, V (0, F (0, D (0, X (0 m, F (0 m, D (0 m, X (0 } mg Incalzacón( k 0 Mentras no se alcance condcón de parada Desde 1 hasta p xml CálculodelMe orvecno( (k+1 v ActualzacóndeVelocdad( (k+1 v LmtarVelocdad( (k+1 x ActualzarPoscón( (k+1 x, v (k+1 } AplcarParedRe f lectante( (k+1 x Dscretzacón( (k+1 u CálculodeEstado( (k+1 f CálculodelDesempeño( (k+1 d CálculodeRestrcconesdeDesgualdad( xm, u m, f m, dm } ActualzacóndeMe ors olucónindvdual( xmg, u mg, f mg, dmg } ActualzacóndeMe ors olucónglobal( Fn Desde Fn Mentras S alda x mg, u mg, f mg, dmg } Fgura 2: Seudocódgo Revsta Ingenería UC

7 74 A Centeno et al / Revsta Ingenería UC, Vol 20, No 2, Agosto 2013, Varables, parámetros y caso prueba 41 Varables En el presente desarrollo las varables ndependentes están consttudas por el conunto de varables de control especfcadas en (7, mentras que las varables dependentes venen dadas por el conunto de varables de estado especfcadas en (8 El algortmo propuesto genera un conunto ncal de varables de control, almacenadas en la matrz de enambre, y las evolucona (manpula calculando el conunto de varables de estado asocado 42 Parámetros Para el optmzador por enambre modfcado, los valores asgnados a los parámetros ϕ 1, ϕ 2 } fueron obtendos en 14], mentras que los valores asgnados para los parámetros ω, p, n vec, k máx } fueron defndos por los autores de la presente nvestgacón En lo que respecta al método de Newton Raphson 15], la toleranca para el desauste de potenca (ε se fó en 0,0001 En la Tabla 1, se resume los valores asgnados: Tabla 1: Valores asgnados para los parámetros del algortmo propuesto Parámetro Valor asgnado Factor de nerca (ω 0,735 Factor cogntvo (ϕ 1 1,494 Factor socal (ϕ 2 1,494 Tamaño del enambre (p 40 Número de partículas vecnas (n vec 3 Número máxmo de teracones (k máx Implementacón computaconal Para la mplementacón del códgo se utlzó Sclab v-540, en una computadora personal dotada de un procesador Intel doble núcleo de 1,60 GHz con 500 MB de memora RAM 44 Caso prueba Se mplementó el algortmo desarrollado para el cálculo del FCO en la red de prueba IEEE 30, la cual se muestra en la Fgura 3 Como potenca base (S base, para los cálculos en por Fgura 3: Dagrama unflar de la red de prueba IEEE 30 18] undad, se asgno un valor de 100 MVA Este valor, conuntamente con los datos asocados a los elementos consttutvos de la red IEEE-30, así como los requerdos para la formulacón completa del cálculo del FCO, fueron obtendos en 12, 16, 17, 18, 19] 45 Expermentos Se efectuó un expermento de cen eecucones del algortmo propuesto para el cálculo del FCO sobre el caso prueba Cada eecucón se efectuó con una semlla dstnta para el generador de números aleatoros 46 Índces estadístcos Para la caracterzacón de los resultados obtendos en las cen eecucones, para la funcón costo total de generacón de potenca actva por undad de tempo (costos de generacón asocada a la red IEEE 30, se utlzó la medana como índce de tendenca central de los datos y su desvacón, con respecto a la medana, como índce de dspersón Revsta Ingenería UC

8 A Centeno et al / Revsta Ingenería UC, Vol 20, No 2, Agosto 2013, de los msmos Adconalmente, se tabularon el meor y peor valor computado 5 Resultados En la Fgura 4, se muestra la representacón medante dagrama de caa de los 100 valores computados por el algortmo para la funcón costo total de generacón de potenca actva por undad de tempo (costos de generacón asocada a la red de prueba IEEE 30 Tabla 2: Resultados computados para la funcón costos de generacón en 100 eecucones Meor valor $/h] Medana $/h] Meor valor $/h] Desvacón meda $/h] 952, , ,511 1,151 Resultados Expermentales Tabla 3: Valores óptmos computados para las undades generadoras Barra N V G V G mín V G máx P P mín G G P máx G Q G Q mín G Q máx G 1 1,0766 0,90 1,10 1,4973 0,50 2,00 1,0104-0,20 2,00 2 1,0572 0,5205 0,20 0,80 0,0691-0,20 1,00 3 1,0300 0,2414 0,15 0,50 0,2729-0,15 0,80 4 1,0349 0,3228 0,10 0,35 0,2487-0,15 0,60 5 1,0455 0,1753 0,10 0,30 0,0120-0,10 0,50 6 1,0670 0,1494 0,12 0,40 0,1593-0,15 0,60 bao carga en los transformadores de potenca (t para cada N de transformador Tabla 4: Valores óptmos computados para los cambadores de toma bao carga Barra Barra N t Poscón ncal fnal t mín t máx Fgura 4: Valores computados para la funcón costos de generacón en 100 eecucones En el dagrama de caa de la Fgura 4, la línea nferor de la caa se ubca en el prmer cuartl (q 1 o 25 %, la línea superor en el tercer cuartl (q 3 o 75 %, y la línea del medo representa la medana Las líneas de extensón muestran los datos ubcados dentro del rango ] 2, 5q1 1, 5q 3 ; 2, 5q 3 1, 5q 1 Los puntos representados fuera de las líneas de extensón (+ representan datos atípcos En la 2, se muestra el meor y el peor valor computado por el algortmo propuesto, en 100 eecucones, para la funcón costos de generacón, conuntamente con la medana y la desvacón meda respecto a la medana de los datos En la Tabla 3, se muestran los valores óptmos (pu computados para la magntud del voltae ( V G, la potenca actva (P G y reactva (Q G sumnstrada por las undades generadoras En la Tabla 4, se muestra los valores óptmos (pu computados para los cambadores de toma , ,90 1, , , , En la Tabla 5, se muestra los valores óptmos (pu computados para la potenca reactva sumnstrada por las undades compensadoras en dervacón (Q C Tabla 5: Valores óptmos computados para las undades compensadoras Undad Barra Q C Poscón Q mín C Q máx C N N , , , , , ,00 0, , , , , En el gráfco de barras de la Fgura 5, se muestra Revsta Ingenería UC

9 76 A Centeno et al / Revsta Ingenería UC, Vol 20, No 2, Agosto 2013, los valores óptmos (pu computados para la potenca transmtda por rama ( S r conuntamente con sus valores de potenca máxma transmsble ( S r máx Fgura 7: Fase del nvel de tensón en barras (rad Fgura 5: Potenca transmtda vs Máxma transmsble por rama (pu En el gráfco de la Fgura 6, se muestra los valores óptmos (pu computados para el nvel de tensón ( V en las barras tpo PQ, conuntamente con sus valores límtes permtdos 0, 95; 1, 05] asocada a la red IEEE 30, con los meores obtendos medante la mplementacón de dversas técncas metaheurístcas Tabla 6: Resultados comparatvos obtendos medante la mplementacón de dversas técncas metaheurístcas Técnca mplementada Costos de generacón $/h] Pérddas de potenca actva MW] AGS 19] 1302,970 9,121 AEP 19] 1301,920 8,870 AED 19] 1301,950 9,166 AGH 19] 1301,890 8,825 APE 20] 955,508 - ABT 20] 956,498 - BTM 20] 969,109 - PEM 20] 953,573 - BTH 20] 959,563 - AEP (calculado 952,406 7,274 Fgura 6: Nvel de tensón en barras tpo PQ (pu En el gráfco de la Fgura 7, se muestra los valores óptmos (rad computados para la fase (δ del nvel de tensón en barras, conuntamente con sus valores límtes permtdos 0, 000; 0, 2443] Fnalmente, en la Tabla 6 se muestra los resultados comparatvos entre el meor valor computado en este reporte para la funcón costo total de generacón de potenca actva por undad de tempo y pérddas de potenca actva totales, 6 Análss de resultados Con fundamento en los resultados obtendos y expuestos en la seccón 5, se ha demostrado las capacdades del algortmo desarrollado en el presente estudo al computar solucones, para el cálculo del FCO en la red IEEE 30, smlares a las meores publcadas hasta el presente En partcular, el algortmo propuesto ha computado una solucón de mayor optmaldad que las publcadas en 19, 20] Adconalmente, el algortmo Revsta Ingenería UC

10 A Centeno et al / Revsta Ingenería UC, Vol 20, No 2, Agosto 2013, desarrollado exhbó alta establdad numérca según se desprende de la baa dspersón de los resultados computados en todas las eecucones Por últmo, el esquema mplementado en el presente desarrollo medante la ncorporacón del crtero propuesto por Deb K 10] para el análss y actualzacón de la meor experenca partcular y global en el enambre, conuntamente con un esquema local de actualzacón de poscón, ha evdencado su efcenca y robustez para el maneo de las restrccones que como problema de optmzacón plantea el cálculo del FCO En partcular, lo anteror resultó fehacentemente constatado pues todas las solucones computadas resultaron factbles 7 Conclusones En el presente artículo, se ha expuesto la aplcacón del Algortmo de Enambre de Partículas modfcado, conuntamente con el crtero para el maneo de restrccones propuesto por Kalyanmoy Deb, para el cálculo del fluo de carga óptmo en redes eléctrcas de potenca consderando a sus varables de control asocadas de tpo mxto e ncorporando una funcón obetvo no convexa El algortmo mplementado fue sometdo a evaluacón medante el cómputo del cálculo del fluo de carga óptmo en la red de prueba IEEE 30 Los resultados obtendos han demostrado, al ser comparados con los dervados medante mplementacones prevas basadas en dversas técncas metaheurístcas, que el algortmo aquí propuesto computa solucones factbles, para la funcón costo total de generacón de potenca actva por undad de tempo, smlares a las meores publcadas hasta el presente y con alto grado de establdad numérca Referencas 1] Momoh, J, Koessler, R, Bond, M, Stott, B, Sun, D, Papalexopoulos, A, & Rstanovc, P (1997 Challenges to optmal power flow IEEE Trans Power Systems, 12, ] Carpeter, J (1962 Contrbuton a l etude du dspatchng economque Bulletn Socety Francase Electrcens, 8(3, ] Dommel, H, & Tnney, W (1968 Optmal power flow solutons IEEE Transacton on Power Apparatus and System, 87, ] Frank, S, Steponavce, I, & Rebennack, S (2012 Optmal power flow: a bblographc survey I Energy Systems, 3(3, ] Glover, F 1986 Future paths for nteger programmng and lnks to artfcal ntellgence Computers and Operatons Research, 13, ] Melán, B, Moreno, JA, & Moreno, JM (2003 Metaheurstcs: A global vew Revsta Iberoamercana de Intelgenca Artfcal, (19, ] Kennedy, J, & Eberhart, R (1995 Partcle swarm optmzaton Proceedngs of the IEEE Internatonal Conference on Neural Networks, 4, ] Frank, S, Steponavce, I, & Rebennack, S (2012 Optmal power flow: a bblographc survey II Energy Systems, 3(3, ] Wood, AJ, & Wollenberg, BF (1984 Power Generaton, Operaton & Control New York: John Wley & Sons, ] Deb, K (2000 An effcent constrant handlng method for genetc algorthms Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng, 186(2 4, ] Oñate, P (2008 Solucón del problema de fluos de potenca óptmo con restrccones de segurdad por un optmzador de partículas modfcado Tess doctoral, Centro de Investgacón y Estudos Avanzados del Insttuto Poltécnco Naconal Undad Guadalaara, Jalsco, Méxco 12] Gopala Krshna Rao, C, & Yesuratnam, G (2013 Optmal power flow wth valve pont loadng effects of cost functon and mxed-nteger control varables usng bg-bang and bg-crunch optmzaton Journal of Advanced Computer Scence and Technology, 2(1, ] Eberhart, R, & Sh, Y (2001 Partcle swarm optmzaton: developments, applcatons and resources Proceedngs of the 2001 Congress on Evolutonary Computaton, 1, ] Robnson, J, & Rahmat Sam, Y (2004 Partcle swarm optmzaton n electromagnetc IEEE Transactons on Antennas and Propagaton, 52(2, ] Arrllaga, J, Arnold, C, & Harker, B 1983 Computer Modellng of Electrcal Power Systems Chchester, Jhon Wley & Sons 16] Labdan, R, Slman, L, & Bouktr, T (2006 Partcle Swarm Optmzaton Appled to the Economc Dspatch Problem J Electrcal Systems, 2(2, ] Swarup, K (2006 Swarm ntellgence approach to the soluton of optmal power flow J Indan Inst Sc, 86, ] Dutta, A (2009 Sngle Obectve Optmal Power Flow Usng Partcle Swarm Optmzaton Master Revsta Ingenería UC

11 78 A Centeno et al / Revsta Ingenería UC, Vol 20, No 2, Agosto 2013, Thess, Electrcal and Instrumentaton Engneerng Department of Thapar Unversty, Patala, Punyab, Inda 19] Bhaskar, M, Muthyala, S, & Sydulu, M (2010 A novel progressvely swarmed mxed nteger genetc algorthm for securty constraned optmal power flow (SCOPF Internatonal Journal of Engneerng, Scence and Technology, 2(11, ] Thtthamrongcha, C, & Eua-arporn, B (2007 Selfadaptve Dfferental Evoluton Based Optmal Power Flow for Unts wth Non-smooth Fuel Cost Functons J Electrcal Systems, 3(2, Revsta Ingenería UC