El problema de la Braquistócrona y otros problemas de la Física como introducción al Cálculo de variaciones

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1 ArtíCULos Julo 7 pp. 4-6 El problema de la Braqustócrona otros problemas de la Físca como ntroduccón al Cálculo de varacones M. a José Haro DelcaDo M. a José Pérez Haro Con este trabajo pretendemos ntroducr a estudantes de.. curso de ngenerías a los problemas de Cálculo Varaconal. En el Bachllerato, se trabaja con problemas relaconados con el cálculo de óptmos de funcones de una varable. se trata de etender este tpo de problemas al trabajo con funcones de funcones (funconales) trabajando con ejemplos que representaron un desafío hstórco. se presenta una propuesta ddáctca que contene una secuencacón de contendos una metodología que une ecuacones dferencales problemas tradconales del cálculo varaconal. Palabras clave: Investgacón educatva, Cálculo varaconal, Ecuacones dferencales, Problema de la braqustócrona, Problemas sopermétrcos he Brachstochrone Problem and another Problems of the Phscs Scences as an Introducton to the Varatonal Calculus Wth ths work we am to ntroduce Varatonal Calculus problems to students n frst and second ear of an engneerng degree. At the secondar school, the work wth problems based on the optmzaton of a functon. We wll tr to lnk ths knd of problems to functonal ones, workng wth eamples that represented an hstorcal challenge. We offer here a ddactc proposal made of a sequence of theoretcal contents and a methodolog to connect dfferental equatons and tradtonal Varatonal Calculus problems. Ke words: Educatonal research, Varatonal Calculus, Dfferental Equatons, Brachstochrone problem, Isopermetrc problem. Una propuesta ddáctca Introduccón Ya que la fábrca del unverso es más que perfecta es el trabajo de un Creador más que sabo, nada en el unverso sucede en el que alguna regla de mámo o mínmo no aparezca (Leonhard Euler). comenzamos tratando conceptos báscos del cálculo varaconal procurando presentar dferencas smltudes con contendos prevos que a han sdo adqurdos por los estudantes. se presenta la dea de funconal comparándola con la dea de funcón, así como dversos ejemplos mu sencllos en los que aparecen funconales. se termna con un ejemplo, como es el de la longtud de un arco de curva que les permte utlzar conocmentos adqurdos en segundo de Bachllerato. la maor parte de las actvdades que se proponen a lo largo de este trabajo han sdo etraídas de los cuatro lbros ctados en las referencas bblográfcas, aunque adaptadas al nvel del conocmento de los estudantes. conjuntamente con los problemas en que es necesaro determnar los mámos mínmos de certa funcón f(), con frecuenca surgen problemas físcos en los que es necesaro hallar los valores mámo mínmo de un tpo especal de magntudes, llamadas funconales. 4 7 Artículo recbdo en Suma en febrero de aceptado en dcembre de

2 JULIo 44 7 se llama funconales a un determnado tpo de funcones cuos valores se determnan a partr de los valores de otras funcones. son «funcones de funcones» o tpos de funcones en los que la varable ndependente es una funcón. en el caso de las funcones, a cada número le corresponde otro número. en el caso de las funconales, a cada funcón le corresponde un número. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo. sea M C[, ] el conjunto de todas las funcones contnuas () defndas en [, ], sea: ( ) J ( ) d J[()] es una funconal que a cada funcón () C[, ] le asoca un valor determnado por J[()]. s () : J ( ) d s ()sn(p); ( ) π cos π J sn d π π s ()e : ( ) e e J e d ( ) Ejemplo. sea M C [, ] la clase de funcones () que tenen dervada contnua en [a, b] sea J[()] ( ), donde [a, b]. J[()] es una funconal defnda en M. s, por ejemplo, a, b 5, a la funcón () le corresponde el número J[()] (5) a ()tan, le corresponde el número J[()] +tan 5. Ejemplo. consderemos ahora este otro caso un poco más complcado. sea M C[, ] la clase de todas las funcones contnuas () defndas en [, ] sea j(, ) una funcón defnda contnua para valores de [, ] para todos los valores reales de. sea: ( ) φ (, ) J d J[ ()] es una funconal defnda en M. concretamente, s (), φ (, ) + tendremos que a () le corresponde el valor: ( + ) + d ln Ejemplo 4. la longtud l de un arco de curva plana que une dos puntos dados A(, ) B(, ) es una funconal.. A(, ) () Fgura. B(, ) la magntud l puede calcularse s se da la ecuacón de la curva, (). De este modo: l[ ( )] + ( ) d Por qué es esto así?. A(, ) D D + Fgura. B(, ) M. a José HAro DELICADo Y M. a José PérEz HAro

3 la longtud apromada del segmento de curva comprenddo entre + es: L ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) Una prmera apromacón de la longtud vene dada por: n n + ( ) L L ( ) Y el valor eacto de la longtud del arco: + ( ) L lm L lm ( ) n lm + ( f ( α )) + ( f ( α )) d, con α [, ] + Vamos a trabajar con este tpo de epresones que, por otra parte, desempeñan un papel mu mportante en el terreno de la físca de las matemátcas aplcadas. Una de las ramas más desarrolladas del trabajo con funconales es el llamado «cálculo Varaconal» o «cálculo de Varacones» que tene que ver con la búsqueda de mámos mínmos de funconales. Breve ntroduccón hstórca al cálculo de varacones se consdera de una gran mportanca que los estudantes encuentren que lo que estudan es útl que tene sentdo su aprendzaje. Por ello se hace necesaro ctar el momento hstórco en el que se empezaron a desarrollar los contendos objeto de estudo, así como los personajes mplcados en su desarrollo, los problemas que se resolveron con ellos sus mplcaco- n nes en el avance del conocmento humano de la cenca. De los tres problemas presentados en esta breve ntroduccón hstórca se tratarán más a fondo, con posterordad, el prmero el tercero (problema de la braqustócrona problema sopermétrco, respectvamente). el prmero de ellos se comenza a desmenuzar un poco en esta ntroduccón, con el fn de manejar las deas ntroducdas, resulta adecuado por los cocmentos prevos que a tenen los estudantes de estos nveles. el cálculo de varacones surgó en el sglo XV fueron euler lagrange los que lo convrteron en una teoría matemátca rgurosa. ras algunos trabajos prevos, euler publcó en 744 el lbro Método de búsqueda de líneas curvas con propedades de mámo o mínmo, o la resolucón del problema sopermétrco tomado en su sentdo más amplo, que es el prmer lbro en la hstora sobre cálculo de varacones. con solo 9 años, lagrange se nteresaba a por los trabajos de euler sobre los problemas de etremos, en partcular por los problemas sopermétrcos (entre todas las curvas cerradas en el plano de perímetro fjo, qué curva (s la ha) mamza el área de la regón que encerra?). Habendo comprobado que los métodos de euler en el cálculo de varacones eran ecesvamente complcados, tratándose de un tema de análss puro, lagrange desplaza las consderacones geométrco-analítcas de euler para sustturlas por un método puramente analítco para escrbrlas con un smbolsmo más apropado. en 755, descrbe en una carta drgda a euler su método, al que llama «Método de varacón», pero que euler denomnará «cálculo de varacones». su método puede lustrarse a partr del problema fundamental de hacer máma o mínma la ntegral donde Z f (,, ). A Z d el método de varacones se aplcó, tras su descubrmento, sobretodo en físca, especalmente en mecánca, llegó a ser una dscplna matemátca ndependente, con métodos propos de nvestgacón. JULIo 45 7 EL ProBLEMA DE LA BrAqUIstóCronA Y otros ProBLEMAs DE LA FísICA CoMo IntroDUCCIón AL CáLCULo DE VArIACIonEs

4 JULIo 46 7 los tres problemas sguentes tuveron una gran mportanca en el desarrollo del cálculo varaconal. Problema de la braqustócrona (breve tempo). en 696, Johann Bernoull publcó una carta, drgda a los matemátcos de la época, proponendo un problema sobre las líneas de deslzamento más rápdas, o braqustócronas. en este problema se ege determnar la línea que une dos puntos dados A B, que no pertenecen a una msma recta vertcal, de manera que una partícula se deslce por dcha línea desde el punto A hasta el punto B en el menor tempo posble. A(, ) P(, ) () Fgura B(a, b) se puede pensar sobre cuál será la línea de deslzamento más rápdo, llegando a la conclusón de que no será la recta que une los dos puntos (la dstanca más corta entre dos puntos es la recta), a que al moverse por la recta, la velocdad aumentará con una certa lenttud. Prevamente al planteamento del problema por parte de Johann Bernoull, Galleo a pensaba que el tempo sería menor s el camno se curvaba tomando la forma de un arco de crcunferenca, puesto que s se toma una curva que baje más bruscamente cerca del punto B, aunque el camno se alargue, una buena parte del msmo será recorrdo con maor velocdad. Fueron varos los matemátcos que encontraron la respuesta, entre los que cabe destacar a los hermanos Bernoull, lebnz, Newton l Hôptal. concretamente, Newton consderó el problema de encontrar la braqustócrona asocada con la construccón de túneles a través de la erra, conectando puntos fjos. consderemos el problema más de cerca. sea s la longtud del arco de curva que une A con P, la velocdad de la partícula en el punto P será v ds/dt, de donde se obtene dt ds/v, por lo que el tempo que tarda en desplazarse la partícula desde A hasta P vene dado por: s ds t v cómo se puede epresar v ds en funcón de de ()? supongamos que la partícula parte del resposo. como no ha frccón, se cumplrá el prncpo de conservacón de la energía. ello sgnfca que al moverse la partícula, desde un punto más alto a un punto más bajo, la energía potencal se convertrá en cnétca. la energía potencal en un punto stuado a una altura h es gual a mgh, donde m es la masa g es la aceleracón de la gravedad. la energía cnétca en un punto es mv /. en el punto A la energía cnétca es cero; en el punto P, la energía cnétca será gual a la varacón de la energía potencal entre A P, por lo que mv / mg. Despejando v, obtenemos g. ntentemos hacer lo msmo con ds. sean los puntos P(, ) ( + D, + D), que se encuentran en la curva (). llamemos Ds a la varacón de la longtud del arco de curva al pasar de un punto al otro. P(, ) D Fgura 4 D ( + D, + D) M. a José HAro DELICADo Y M. a José PérEz HAro

5 s D es pequeño, es Ds apromadamente gual a: ( ) + ( ) Por lo que Ds/D es apromadamente gual a: + s tomamos límtes cuando D tende a cero, se cumple que: ds d, por lo tanto: d + d d ds + d d Desde aquí llegamos a que el tempo que tarda una partícula en r desde A hasta B, a través de la traectora determnada por (), es: d ( ) d d a + g Hemos de encontrar una funcón (), contnua dervable, con dervada prmera contnua (esto se representa dcendo que () es de clase C ), que nos dé la solucón del problema: d a + g d mn ( ) d con (), (a)b el procedmento para obtener la solucón es algo más complejo resolveremos el problema más adelante. Problema de las líneas geodéscas. se pde determnar la línea de menor longtud que une dos puntos dados en certa superfce j(,, z). estas líneas son llamadas geodéscas. se tene un problema varaconal sobre el llamado etremo fjo o condconal. se pde hallar el mínmo de la funconal: Z donde las funcones () z() están sometdas a la condcón. este problema fue resuelto por Jakob Bernoull, pero el método general para resolver este tpo de problemas se obtuvo a partr de los trabajos de euler lagrange. Problema sopermétrco. se pde hallar una línea cerrada de longtud dada l que delmte el área máma S. esta línea, a se sabía cuál era en la antgua Greca. en este problema se ege hallar el etremo de la funconal S con una condcón complementara, que es que la longtud de la curva debe ser constante, es decr, la funconal: A. Fgura 5 l + ( ) + ( z ) d ( ) ( ) t l (t) + (t) dt t se ha de mantener constante. condcones de este tpo recben el nombre de sopermétrcas. los métodos generales de resolucón de problemas con condcones sopermétrcas fueron desarrollados por euler. Introduccón al cálculo varaconal en esta seccón se epone el objetvo fundamental del cálculo varaconal se menconan algunos de los problemas que resuelve. se ntentan establecer comparacones entre conceptos smlares de cursos anterores propos del cálculo dferencal, como la dea de varacón o ncremento de una funcón de una funconal, la dea de contnudad, la dea de. B JULIo 47 7 EL ProBLEMA DE LA BrAqUIstóCronA Y otros ProBLEMAs DE LA FísICA CoMo IntroDUCCIón AL CáLCULo DE VArIACIonEs

6 JuLO 48 7 mámo o mínmo los teoremas relaconados con estos conceptos. Después de algunos ejerccos relaconados con estas deas se presenta el problema fundamental objeto del cálculo de varacones algunos ejerccos para entender mejor lo tratado. El cálculo de varacones o varaconal estuda los métodos que permten hallar los valores mámos mínmos de las funconales. Los problemas en que es precso hallar el mámo o mínmo de funconales se denomnan problemas varaconales. Ha lees de la físca que se apoan en la afrmacón de que una determnada funconal alcanza su mínmo o su mámo en una determnada stuacón. Dchas lees recben el nombre de prncpos varaconales de la físca. A dchos prncpos pertenecen el prncpo de la accón mínma, la le de conservacón de la energía, la le de conservacón del mpulso, la le de conservacón de la cantdad de movmento, el prncpo de Fermat en óptca, etc. Por ejemplo: Prncpo de la accón mínma. Dado un sstema de coordenadas de todas las traectoras posbles que transcurran entre el nstante t t, el sstema escogerá aquella que mnmce la accón S ( ) S q, q L q ( t ), q ( t ), t dt Prncpo de Fermat en óptca: La traectora seguda por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tempo empleado en recorrerlo es mínmo. B t n( s ) ds c A Ejercco. Hasta qué orden de promdad es contnua en () la funconal: ( ) ( ) J + d consderada en M C [, ]? Solucón: Sea e > sea:. La varable z es funcón de la varable, se desgna como z f(), s a cada valor de pertenecente a certo domno de varacón de le corresponde un únco valor de z.. Se llama ncremento de la varable, a la dferenca entre dos valores,. S es la varable ndependente, d. La funcón f() es contnua en, s para todo ε postvo este un δ>, tal que s f() f( ) < ε, es <δ 4. Se llama funcón lneal a la funcón l() que satsface las sguentes condcones: l(c)cl(), donde c es una constante arbtrara l( + )l( )+l( ) 5. La funcón f() alcanza en un punto su mámo absoluto, s para todo punto, pertenecente al domno de defncón de la funcón, se verfca que f( ) f(). Del msmo modo se dce que f() alcanza en un punto su mínmo absoluto, s para todo punto pertenecente al domno de defncón de la funcón, se verfca f( ) f(). 6. eorema (Condcón necesara): S la funcón dervable f() alcanza su mámo o su mínmo en un punto nteror del domno de defncón de la funcón, entonces en este punto será f( ). La varable v se llama funconal dependente de la funcón (), se desgna como, v v[()], s a cada funcón () pertenecente a certa clase de funcones le corresponde un únco valor de v.. Se llama ncremento o varacón, δ, de () a la dferenca entre dos funcones, δ () (), pertenecentes a una clase consderada de funcones M. La funconal J[()] es contnua en (), hasta el orden de promdad k, s para todo ε postvo este un δ>, tal que s J[()] J[ ()] <ε, entonces: ()- () <δ ()- () <δ (k ()- (k () <δ 4. Se llama funconal lneal a la funconal L[c()] cl[()], donde c es una constante arbtrara L[ ()+ ()] L[ ()] + L[ ()] 5. La funconal J[()] tene un mámo en la curva (), s su valor en cualquer curva próma a () no es maor que J[ ()]. O sea s ΔJ J[()] J[ ()]. S además ΔJ, sólo para () dremos que se alcanza un mámo estrcto en la curva (). De la msma forma se defne la curva ()en la que se alcanza un mínmo. En este caso, ΔJ para todas las curvas prómas a () 6. eorema (Condcón necesara): S la funconal J[()], alcanza su mámo o su mínmo para (), sendo () un punto nteror de la regón de defncón de la funconal, entonces para () será δj[ ()]. Las funcones para las que δj se denomnan funcones estaconaras Relacón entre conceptos relatvos a mámos mínmos de funcones a mámos mínmos de funconales M. a JOSé HaRO DELCaDO M. a JOSé PéREz HaRO

7 ( ) ( ) J J < ε ( ) ( ) ( ) + d + d d + d Sea d e/, entonces s: ( ) ( ) < ε < ε tendremos que: ( ) ( ) J J < ε lo que quere decr que e >, d > (por ejemplo d e/), de modo que: ( ) ( ) < ε < ε entonces: ( ) ( ) J J < ε Ejercco. Demuestra que la funconal: ( ) ( ) J + d alcanza un mínmo estrcto en la curva (). Solucón: J J ( ) J ( ) + d d d Problema del cálculo de varacones Sea F una funcón de tres varables de clase C (con dervadas parcales prmeras segundas contnuas). Se consdera el sguente funconal: J( ) F( ( ), ( ), ) d Se trata de encontrar aquella funcón * (), con dervadas prmera segunda contnuas en [, ], verfcando que * ( ), * ( ), para que la funconal J alcance el valor mámo o mínmo. El problema en el caso de mamzacón, por ejemplo, es: ma J( ) F( ( ), ( ), ) d Ω con ( ), ( ) w { :[, ] R, tal que posee dervadas prmera segunda contnuas en [, ]}. Para este problema, el conjunto factble (llamado conjunto de funcones admsbles) es: Y { w / ( ), ( ) } Hablar sólo de mámo o mínmo de una funconal no supone pérdda de generaldad, a que mnj(), es equvalente a ma[ J()]. Además, el elemento que mnmza J () es el msmo que mamza [ J()]. Ejemplo. Dados los puntos (a, a) (b, b) del plano (, ), sendo a b, se trata de encontrar la funcón * () que une dchos puntos cua longtud sea mínma. b a a Fgura 6 Dada una funcón cualquera (), a sabemos que la longtud del arco de curva entre los puntos dados es: l[ ( )] ( + ( ) ) d El problema, por lo tanto, sería: con (a) a, (b) b. a b Funcones admsbles mn l[ ( )] ( + ( ) ) d a b b Julo 49 7 El ProblEma de la braqustócrona otros ProblEmas de la Físca como ntroduccón al cálculo de varacones

8 JULIo 5 7 Condcón necesara de optmaldad: condcón de Euler en esta seccón se presenta la condcón necesara para la estenca de etremal, que va a ser una de las deas más mportantes que se van a desarrollar en la que se va a apoar una buena parte de los ejemplos de los ejerccos problemas que se presentan. a través de este resultado vamos a enlazar con la resolucón de ecuacones dferencales, establecendo una relacón entre el problema fundamental del cálculo varaconal las ecuacones dferencales. esta condcón nos va a permtr tambén resolver dos de los problemas reales más mportantes del cálculo varaconal que se plantean en este trabajo, como son el problema de la braqustócrona los problemas sopermétrcos. empezamos recordando una sere de defncones necesaras para poder ntroducr los conceptos más relevantes. contnuamos con el teorema objeto de esta seccón, que es la condcón de euler, lo aplcamos fnalmente a la resolucón de dversos problemas. Defncón : se dce que es una funcón admsble para el problema de cálculo de varacones s se verfca que w, ( ), ( ) Defncón : sea * una funcón admsble para el problema de cálculo de varacones. se dce que * es mámo global s para cualquer funcón admsble, se verfca que J() J( * ). Defncón : sea * una funcón admsble para el problema de cálculo de varacones. se dce que * es mámo local, s este un d >, tal que para toda funcón admsble, pertenecente a la bola B( *, d) { w tal que d(, * )}, se verfca que J() J ( * ) eorema Condcón de Euler. s * () es un mámo local del problema varaconal, entonces en * () se verfca la ecuacón dferencal: F ( *( ), ( *) ( ), d ) ( ) ( ) ( ) d F *, *,, abrevadamente, podemos escrbr: d F d F esta últma epresón recbe el nombre de ecuacón de Euler (la publcó en 744). Puede que no haa nnguna funcón que sea solucón de la ecuacón anteror;, s la ha, puede que no sea únca. Utlzando la regla de la cadena para dervar la epresón: d d F llegamos a: F F F F Ha que hacer notar que la necesdad de que se cumpla la condcón de euler nos lleva a la resolucón de ecuacones dferencales, como vamos a poder comprobar en los sguentes ejemplos. a las funcones que satsfacen la ecuacón de euler se les llama etremales sólo en una de esas etremales se puede alcanzar el mámo o mínmo de la funconal. Ejercco. obtén las funcones que verfquen las condcones necesaras de mámo local del sguente problema: ( ) ma J ( ) d con (), () solucón: F (,, ) F F d ( ) d la condcón de euler supone resolver la ecuacón dferencal: ( ) + ello mplca que: ; c ; + c + c + c ; + c + c M. a José HAro DELICADo Y M. a José PérEz HAro

9 como (), (), obtenemos: c, 8 +c + c + +, el mámo sólo puede alcanzarse en la funcón () + +. Ejercco. obtén las funcones que verfquen las condcones necesaras de mámo o mínmo local del sguente problema: ( ) opt J ( ) + d con (), () 5. solucón: F (,, ) + enemos que: F + 4 d F ; ( ) 4 d Por lo tanto, la condcón de euler es la ecuacón dferencal , lo que mplca que () /, con Utlzando las condcones ncal fnal, obtenemos: (), lo cual es mposble 5() /, lo cual tambén es mposble. ello quere decr que el problema dado no tene n mámo n mínmo, es decr, no ha etremal que verfque las condcones ncal fnal. Ejercco. en qué curvas puede alcanzar su etremo la funconal: J ( ( ) ) ( ( )) ( ) d (), ()? solucón: F (,, ) ; F ; d F ; d la ecuacón de euler es + ; ; / + C ; /6 + C + C con las condcones de frontera obtenemos: 8 + C + C ; + C + C 6 6 C C 6 ; el etremo sólo puede alcanzarse en la curva: Ejercco 4. Halla los etremales de la funconal: ( ( )) ( ) J d; que satsfacen las condcones de frontera () e () 9/. solucón: F (,, ) ; F ; F la condcón de euler queda: /. Pero esta etremal no cumple una de las condcones de frontera, concretamente la prmera, a que s, entonces /. Ejercco 5. en qué curvas puede alcanzar su etremo la funconal: π J ( ( ) ) ( ( ) ( ) d () π,? solucón: F (,, ) ( ( )) ( ) ; F ( ); d F ( ); d F ( ) la ecuacón de euler tene la forma () (), smplfcando queda () + (). Ha que resolver la ecuacón dferencal +. Para ello hacemos: d p d dp dp d dp d d d p JULIo 5 7 EL ProBLEMA DE LA BrAqUIstóCronA Y otros ProBLEMAs DE LA FísICA CoMo IntroDUCCIón AL CáLCULo DE VArIACIonEs

10 JULIo 5 7 dp d p p dp + d pdp + d p + C (constante) p + C como p d/d, queda: ( ) + C d ; d C Hagamos C k d ± k d ; d ± k d Dos solucones partculares son: sn e cos. la solucón general será C sn + C cos. s tenemos en cuenta las condcones de frontera, nos queda C C. ello quere decr que el óptmo sólo puede obtenerse en la curva sn. en estos cnco ejemplos hemos poddo comprobar la relacón que se establece entre el cálculo de varacones las ecuacones dferencales a través de la condcón de euler. es decr, s el problema varaconal tene solucón, necesaramente ha de tenerla la ecuacón dferencal correspondente a la condcón de Euler. Casos partculares de la ecuacón de Euler a) F no depende de s F no depende de, la ecuacón de euler es de la forma F, que es una ecuacón algebraca sn nnguna complcacón, pero que sólo tendrá solucón s por casualdad se cumplen las condcones de frontera. Ejemplo ( ) ( ) mn J + d con las condcones () a, () b. Halla los valores de a de b, para los que la solucón obtenda sea solucón admsble. solucón: F ( + ) ; F ( + ). Para que se cumplan las condcones de frontera, deber ser a b. b) F depende sólo de s F no depende n de n de, entonces F, F F son nulos. enendo en cuenta la epresón desarrollada de la ecuacón de euler, F F F F, nos quedaría F. se ha de cumplr que, o ben o ben F. s, ha de ser ()C + C, que es una famla de rectas dependente de dos parámetros C C. s es F ( ), quere decr que esa ecuacón tene raíces reales, con lo cual k e k + C, que es tambén una famla de rectas con un solo parámetro que está contenda en la famla anteror. según esto, la longtud del arco de una curva: L ( ) + d tene como etremales rectas C + C, lo que nos parece lógco porque sabemos que la dstanca mínma entre dos puntos es la recta. Veamos otro ejemplo que puede resultar nteresante. s consderamos que el tempo que se tarda en recorrer una curva () desde un punto A(, ) hasta otro punto B(, ) vene dado por la funconal: donde: ( ( )) + ( ) d v( ) l ( ( )) + ( ) d es la longtud del arco de curva, v( ) es la velocdad, que, en este caso sólo depende de. como estamos en la stuacón planteada en este apartado, po- M. a José HAro DELICADo Y M. a José PérEz HAro

11 demos asegurar que el óptmo, caso de estr, es una recta. Qué lo dferenca del problema de la braqustócrona, cua solucón no es una recta, según las conclusones de los matemátcos que se enfrentaron a él? c) F sólo depende de de. en este caso la ecuacón de euler F F F F toma la forma F F F. Multplcando los dos membros por, obtenemos: d ( d F F F F cte ) Ejercco. Halla la etremal de la funconal ( ) J b + d a que pasa por los puntos fjos (a, b ) (a, b ) pertenecentes al semplano superor. solucón: como. F + no contene a, utlzamos la epresón F F C, que nos lleva a: + + C que queda como + C, sendo C * la nversa de C. Para resolver esta ecuacón dferencal de una manera senclla podemos hacer el cambo tant, con lo cual: * C * C cos t; + tan t * d C sn t dt como: * d C sn t dt tan t, d; d tan t C * cos t dt d; C * sn t + C elmnando el parámetro t, obtenemos que ( C ) + C * es una famla de crcunferencas de centro en el eje de abscsas. según el prncpo de Fermat, el camno que recorre un rao de luz al propagarse con una velocdad v(, ) en un medo bdmensonal no homogéneo consttue una etremal de la funconal: J ( ) d + v, ( ) s la velocdad de la luz es proporconal a, estamos en un caso mu smlar al anteror los raos de luz representan arcos de crcunferenca con centros en el eje OX. Ejercco. Problema de la superfce mínma de rotacón. Halla la curva con puntos ncal fnal dados, A B, que al grar alrededor del eje de abscsas forme una superfce de área mínma. z A Fgura 7 solucón: s recordamos, el área de una superfce de revolucón es: ( ) S d π + esta funcón depende sólo de de. Por ello, la ecuacón de euler tene la forma F F constante. es decr: + C + B JULIo 5 7 EL ProBLEMA DE LA BrAqUIstóCronA Y otros ProBLEMAs DE LA FísICA CoMo IntroDUCCIón AL CáLCULo DE VArIACIonEs

12 JULIo 54 7 que al smplfcar queda como: C + Un modo de poder ntegrar esta ecuacón de manera relatvamente senclla es hacer la susttucón snht. De esta forma queda C cosht, : d C snh t dt * d Cdt Ct + C snh t al proceder así la superfce que buscamos se forma al rotar la curva cua ecuacón vene dada en forma paramétrca por: * Ct + C C cosh t s se elmna el parámetro t, se tendrá: * C C cosh C que representa una famla de catenaras. las constantes ha que buscarlas a partr de las condcones de frontera que nos dcen que la curva empeza en A acaba en B. Problema del cuerpo de resstenca mínma en un fludo Veamos ahora un ejemplo un poco más complejo, pero mu nteresante por su aplcacón práctca. Parece ser que fue el prmer problema mportante de este tpo, propuesto resuelto por Newton. en sus Prncpa estudó el contorno que debe tener una superfce de revolucón movéndose a una velocdad constante en la dreccón de sus ejes para que presente la mínma resstenca al movmento. rataremos aquí con este problema. supongamos que queremos hallar la forma de un cuerpo sóldo de revolucón que se mueve en un fludo gaseoso, de manera que encuentre la resstenca mínma al movmento. Dreccón del gas a supondremos tambén que la densdad del gas es sufcentemente pequeña que las moléculas se reflejan como en un espejo cuando chocan contra la superfce del cuerpo. la componente normal de la presón será P rv sn q, sendo r la densdad del gas, v la velocdad del gas respecto del cuerpo q el ángulo que se forma entre la velocdad su componente tangencal. Ya que la presón es perpend. q l Fgura 8 cular a la superfce, la componente según el eje OX de la fuerza que actúa sobre un anllo de anchura: ( + ) d de rado (), se puede representar como: df ρv sn θ π ( + ) sn θd la fuerza que actúa en la dreccón postva del eje OX será: l F 4πρv sn θ + d Para smplfcar un poco el problema vamos a suponer que: sn θ + endremos de esta forma que: l F 4 πρv d se trata de hallar la funcón () en la que F alcanza el menor valor posble, sendo () e (l)r : F (,, ) ; F ; F d ; d F + 6 la ecuacón de euler queda: 6 ; + Multplcando por llegamos a F F C. es decr, C, o lo que es lo msmo C ; r M. a José HAro DELICADo Y M. a José PérEz HAro

13 C C C / resolvendo la ecuacón dferencal obtenemos: ( C + C /4 ) Usando las condcones de frontera nos queda C. /4 r r ( C l + C ; C ) l luego: r l 4/ /4 r l /4 4/ /4 d) F sólo depende de de ello quere decr que F F(, ) la ecuacón de euler es en este caso d d F ello supone que F C (constante) Ejercco. ( ) ma J( ) d ( ) con (), () solucón: como F ( ), la ecuacón de euler es F C; C/ C ; al ntegrar nos queda: ()C + C que es el etremal. s tenemos en cuenta las condcones de frontera ncal fnal, obtenemos C C. la únca funcón, por lo tanto, en la que puede alcanzarse el mámo es () +, con. Ejercco. entre las curvas que unen los puntos A(, ) B(, 5), halla la curva en la que puede alcanzar su etremo la funconal ( ) ( ) J + d solucón: F (,, ) ( + ); F ; F ; F los etremales son, por lo tanto, una famla de hpérbolas. s tenemos en cuenta las condcones de frontera tenemos: C + C *, 5 C / + C * C 4; c * 7. luego nuestra etremal será: 4/ +7 Problema de la braqustócrona cuando con anterordad hemos hablado del problema de la braqustócrona hemos llegado a la conclusón de que: ( ) ( ) a + ( ) d g + ( ) a d g Podemos observar que () no depende de, sno sólo de de (). s utlzamos la condcón de euler en la epresón: donde: a + ( ) d + F ( ) (, ( ), ( )) sería F, con lo que tendríamos: d d F que equvale a decr que F constante. Pero, ( ) F + ( ( )) ( ) C + ( ( )) Por comoddad, hagamos C /C. Nos queda: ( ) +( ( ) C elevamos al cuadrado ambos membros: ( ) + ( ) C JULIo 55 7 EL ProBLEMA DE LA BrAqUIstóCronA Y otros ProBLEMAs DE LA FísICA CoMo IntroDUCCIón AL CáLCULo DE VArIACIonEs

14 JULIo 56 7 Hacendo operacones, obtenemos: ( ) C ( ) + ( ) ; C ( ) ; ( ) C ( ) C se cumple que (). Para facltar el trabajo, ntroduzcamos una nueva varable ndependente q, de la sguente forma: C θ ( θ ) ( θ ) C cos sn q cuando s q < p, q aumenta con. C θ ( θ ) θ C sn C cos C ( + θ) cos s utlzamos la regla de la cadena, obtenemos que: d θ d θ C ( ) ( ) ( ) sn θ enendo en cuenta la epresón recuadrada de más arrba, llegamos a: d θ C θ d C sn C C ( θ) cos C C C θ ( θ) cos C ( + θ) cos C ( ) cos sn θ C sn θ ( cos θ) ntegrando, tenemos que: C ( θ ) ( θ sn θ ) + C como () ha de ser gual a cero, nos queda C Unendo las dos epresones tenemos: C ( θ ) ( θ) cos C ( θ ) ( θ sn θ) s llamamos R a C /, obtenemos: ( θ ) R( cosθ) ( θ ) R( θ sn θ) sendo q q. R q se obtenen tenendo en cuenta que (q )a e (q )b. la curva descrta por estas ecuacones es la cclode que pasa por (, ). la cclode se obtene a partr del recorrdo de un punto de la crcunferenca de rado R que rueda a lo largo del eje Y, por debajo. q ((q), (q)) R (a, b) Fgura 9 consderemos este otro ejemplo en el que trabajamos con la funconal: ( ) + ( ) d donde hace referenca al tempo empleado en desplazarse por la curva () desde un punto hasta un punto, a una velocdad v. Ya que ds/dt, entonces dt ds/. estamos en un caso smlar al de la braqustócrona, en el que () no depende de, sno sólo de de (). sería, por lo tanto, F de nuevo tendríamos: d d F que equvale a decr que: F constante C + ( ) s para ntegrar esta epresón hacemos un cambo de varable de la forma tanq, entonces, M. a José HAro DELICADo Y M. a José PérEz HAro

15 C + tan θ ( ) C + ( tan θ) sn θ cosθ sn θ C C cosθ s hacemos /C C, queda C snq. como d/d tanq, resulta que d tanqd tanqc cosqdq C snqdq. s ntegramos, nos queda C cosq+c. es decr: C snq, C cosq + C ; C C cosq; C sn q; ( C ) C cos q; + ( C ) C (sn q + cos q); + ( C ) C esta ecuacón representa una famla de crcunferencas con centros en el eje de ordenadas, lo que nos vene a mostrar que Galleo no andaba tan equvocado en sus ntucones. s comenzamos en (, ), sn θ θ ; C θ + C C cos cos θ C C como q, nos queda que C /C. 4 Fgura Problemas sopermétrcos en esta seccón se amplarán un poco más los contendos de cálculo varaconal desarrollados, con la ecusa de dar solucón a los llamados problemas sopermétrcos. aparece el problema a trabajado de optmzar funconales sujetas a condcones de frontera, pero tambén sujetas a otro tpo de condcones que amplían notablemente el número de problemas reales con los que se puede trabajar. se ntroducen los contendos mprescndbles una sere de ejemplos ejerccos práctcos mu conocdos que no requeren un gran aparato matemátco para ser resueltos. se hace necesaro, como en los casos anterores, resolver ecuacones dferencales elementales, con las que se puede trabajar ntroducendo las nocones más báscas que en la maoría de los casos los estudantes a conocerán por estar trabajando con ellas en la matera correspondente. Podríamos decr que los problemas sopermétrcos son problemas varaconales con lgaduras o condcones. Ya en la antgua Greca se trabajaba con este tpo de problemas. ejemplos típcos de ellos son los problemas como el de la prncesa fenca Ddo, fundadora de cartago. este problema se relata en La Eneda, de Vrglo. cuando huendo de ro, la prncesa llegó al norte de Áfrca quso comprar un terreno para nstalarse en él, el propetaro de la terra le djo «e concederé tanto terreno como puedas encerrar con la pel de este bue». se cuenta que la prncesa cortó la pel a tras las unó formando un recnto cerrado que después etendó hasta ocupar la maor área posble. Qué fgura crees que formó con dcha pel? Podríamos denomnar problemas sopermétrcos a aquellos en los que se pretende determnar la fgura geométrca de área máma perímetro dado. con un poco más de generaldad, un problema sopermétrco se enunca de la sguente forma: sean F G dos funcones contnuas con dervadas parcales prmera segunda contnuas en [, ]. entre todas las curvas () contnuas con de- JULIo 57 7 EL ProBLEMA DE LA BrAqUIstóCronA Y otros ProBLEMAs DE LA FísICA CoMo IntroDUCCIón AL CáLCULo DE VArIACIonEs

16 JULIo 58 7 rvada prmera contnua defndas en [, ], a lo largo de las cuales la funconal: ( ) (,, ) K G d tene un valor fjo l, se trata de hallar la curva en la que la funconal: ( ) (,, ) J F d alcanza su valor etremo. Para resolver el problema nos vamos a apoar en el sguente teorema. eorema de Euler. s la curva () nos da el etremo de la funconal: ( ) (,, ) J F d con las condcones ( ), ( ) ( ) (,, ) K G d l Y s () no es etremal de la funconal K este una constante l tal que la curva () es etremal de la funconal: ( ) ( ) + λ ( ) L F,, G,, d. Utlzando este teorema ntentemos resolver el sguente ejemplo: Halla la curva () de longtud l, de manera que el área del trapeco curvlíneo, ( ), ( ), sea máma. Nos nteresa el etremo de la funconal ( ), ( ) : ; ( ), ( ) S d () con la condcón sopermétrca: + d l solucón: F (,, ) ; G + Formamos la funconal aular: + λ + L d la nueva funcón: * F + λ + no contene a, luego tomamos la condcón F * F * C ; λ + λ + C + que smplfcada queda: C λ + s, para resolver la ecuacón dferencal, ntroducmos un parámetro t, medante la epresón tant, nos queda: λ C ; C λ cost + tan t como: d d λ sn tdt tan t ; d d tan t tan t λcostdt λsn t las ecuacones paramétrcas de las etremales son: λ sn t + C λ cost + C s se eclue t, nos queda: ( C ) ( C ) + λ que es una famla de crcunferencas de centro (C, C ). s aplcamos las condcones de frontera e sopermétrca, obtendremos c, C l. Fgura La catenara Halla la forma de una cuerda fleble, nelástca homogénea de longtud l que está colgada de dos puntos A B. M. a José HAro DELICADo Y M. a José PérEz HAro

17 solucón: el centro de gravedad, en la poscón de equlbro debe ocupar la poscón más baja, el problema es, por lo tanto, el de hallar el mínmo de la energía potencal. como Ep mgh, s por cada undad de longtud se tene una masa r, la masa de toda la cuerda será: m ρ l ρ + Por lo tanto: Ep ρ + g Prescndendo de las constantes r g, se trata de mnmzar: sujeto a: Ep + d ( ) ( ) l + ; ; Formamos la funconal aular: * + Ep + λ + d la ecuacón de euler F F quedaría: ( + λ ) + ) + + λ + C que smplfcada se reduce a: + λ C + s hacemos, como en el problema de la superfce mínma de rotacón, snht, nos queda: + l C cosht d C snht dt como: d d d snh t; d; snh t C snh tdt d C t + C snh t + s se elmna t, obtenemos: C + λ C cosh C que es una famla de catenaras. Prncpo de recprocdad en el problema sopermétrco las etremales de la funconal: J ( ) F (,, ) d con la condcón complementara: ( ) ( ) K G,, d constante concden con las etremales de la funconal K[ ()] con la condcón J[ ()] constante. esto nos lleva, por ejemplo, a decr que s la crcunferenca es la curva cerrada de longtud mínma que encerra un área máma, tambén es la crcunferenca la curva cerrada de área fja S de longtud mínma. Ejercco. Demostrad que entre todos los trángulos de base perímetro fjos el de área máma es el trángulo sósceles. Demostrad tambén que s son fjas el área la base, el trángulo sósceles es el de perímetro mínmo. solucón: este ejercco se puede resolver medante una pequeña smulacón con GeoGebra: Fgura JULIo 59 7 EL ProBLEMA DE LA BrAqUIstóCronA Y otros ProBLEMAs DE LA FísICA CoMo IntroDUCCIón AL CáLCULo DE VArIACIonEs

18 JULIo 6 7 consderemos una elpse stuemos dentro de ella trángulos donde dos de los vértces se stuarán en los focos. el lado que une los dos focos constturá la base de los trángulos. el otro vértce se moverá a lo largo de la elpse. enendo en cuenta que la suma de dstancas a los focos desde cualquer punto de la elpse es constante que todos los trángulos tenen por base la dstanca entre los focos, todos los trángulos que se formarán tendrán el msmo perímetro. en esta smulacón, se construe una elpse cualquera sobre ella trángulos de la forma eplcada más arrba. es lógco suponer que la maor área se obtendrá cuando D concda con cualquera de los vértces del eje menor, puesto que en ese caso tendremos la maor altura posble. ello se puede observar sobre la fgura. el trángulo de área máma es un trángulo sósceles. Para resolver la segunda cuestón podemos utlzar el prncpo de recprocdad. s el área la base son fjas, el de perímetro mínmo será el trángulo sósceles. Ejercco. Halla las etremales de: ( ) J d con las condcones: π d ( ) ( ) solucón: creamos la nueva funconal: ( ) π ; π π ( + λ ) L d Utlzamos la ecuacón de euler: d F λ ; F ; ; d λ ; λ ; λ r λ ; r ± λ la solucón general de la ecuacón sería: λ λ ( ) C e + C e s tenemos en cuenta las condcones de frontera : () C + C C C λπ λπ λπ λπ C e + C e ; C e C e λπ C λπ C e ; C ( e ) λπ e De aquí se deduce que o ben C C, o ben: λπ λπ e e λ en ambos casos, tanto s l, como s C C, sería () no se cumplría la condcón de lgadura: π d De todo ello deducmos que l debe ser negatvo las raíces se podrían poner como r ± λ. la solucón de la ecuacón sería: ( ) cos λ + sn λ C C s, entonces C. s p, entonces: C sn λπ λ ha de ser un número entero, luego l k, k,, enendo en cuenta que: π d nos queda: π C C sn k ( cosk) k C π C ± π la solucón queda: sn k ( ) ± π Ejercco. este ejercco es un ejemplo de problema sopermétrco que revste un poco más de dfcultad, pero que se consdera mu nteresante porque es una muestra de lo mucho que se puede hacer manejando unos pocos conceptos realzando algunos cálculos poco complejos. el nterés tambén radca en que es una aplcacón a un problema real. π M. a José HAro DELICADo Y M. a José PérEz HAro

19 Un cohete espacal de masa m, partendo del reposo, ha de ser acelerado vertcalmente haca arrba desde la superfce de la terra hasta una altura h en un tempo, medante la potenca de su motor (m u). s suponemos que m g permanecen constantes durante el vuelo, pretendemos controlar la potenca para mnmzar el consumo de combustble, que vene dado por: ( ) ( ) F u t u t dt Durante cuánto tempo deberíamos acelerar el cohete cuál será el consumo mínmo? solucón: enendo en cuenta la segunda le del movmento de Newton, en el nstante t, el cohete a una altura () debería epermentar una aceleracón neta de u g. además, hemos de mponer las condcones () () ; () h. Ya que (), entonces: ( ) ( ) t dt s ntegramos por partes, obtenemos: ( ) ( ) ( ) t t t t dt ( ) t t dt ( ) ( t ) dt t ( t ) dt ( ) t ( t ) dt como (t)u(t) g., tenemos: t u t g dt ( ) ( )( ( ) ) ( ) + t u t dt gt g t ( ) ( ) t u( t ) dt g h con lo cual: ( ) t u( t ) dt g + h C condcón de lgadura. Hemos de optmzar las etremales de: u ( t ) dt sujeto a: ( t) u( t ) dt g + h C creamos la funconal: ( ) ( ) L u t u + λ t u dt donde F *u + l( t)u; F u *u + l( t); F u *. aplcando la ecuacón de euler, nos queda: ( t ) F u + λ( t) u λ * u Para hallar el valor de l tenemos en cuenta la condcón de lgadura obtenemos: ( )( ) ( ) t t λ dt λ t dt ( ) λ t λ 6C C λ 6 luego la solucón es: ( ) g t u t h + Para hallar el tempo para el que se consume el mínmo combustble utlzamos la epresón: ( ) 9C F u u ( t ) dt ( t ) dt 6 C h gh g Dervando e gualando a cero obtenemos que el tempo durante el que deberíamos acelerar el cohete para gastar el menor combustble posble es de 6h g, sendo el gasto mínmo de combustble de: ( ) F u + 8 hg 6 g / h 4 6 g / h JULIo 6 7 EL ProBLEMA DE LA BrAqUIstóCronA Y otros ProBLEMAs DE LA FísICA CoMo IntroDUCCIón AL CáLCULo DE VArIACIonEs

20 JULIo 6 7 como se ha poddo observar a través de este recorrdo por aplcacones práctcas, ncluendo pequeñas modfcacones en las condcones de los problemas podemos saltar de una stuacón real a otra dferente resolvéndola con pocos cambos utlzando sólo un par de condcones. De esta forma, los estudantes pueden ver la tremenda potenca de esta teoría. Por ejemplo, hemos pasado de calcular el recorrdo óptmo de un rao de luz a calcular la curva a lo largo de la cual se llega de un punto a otro en el menor tempo realzando mu pequeños cambos, o se ha establecdo una mportante relacón entre la superfce mínma de rotacón la forma de una cuerda fleble de longtud fja colgada de dos puntos utlzando los msmos conceptos varando apenas el procedmento. Smulacón de dos problemas cláscos Después de esta breve ntroduccón teórca al cálculo varaconal, en la que se ha ntentado utlzar el conocmento prevo de los estudantes ejemplos práctcos con stuacones reales, vamos a trabajar con dos problemas cláscos como son el problema sopermétrco el problema de la braqustócrona. smulacón del problema sopermétrco empezaremos con el problema sopermétrco en el caso partcular de una famla de funcones elíptcas. lo haremos con el programa de Geometría dnámca, llamado GeoGebra. representaremos gráfcamente famlas de elpses de longtud constante, de centro (, ) ejes los de coordenadas: + a b como se trata de que estudantes que ncan sus estudos unverstaros en carreras de cencas e ngenería sean capaces de entender resolver los problemas, para apromar la longtud de la elpse utlzamos la epresón de ramanujan: l ( a + b) ( a + b)( a + b ) omando un valor fjo p /p, despejamos b en funcón de p de a. según varamos los valores de a, se modfca b vamos obtenendo las dferentes elpses. a la vez, se va representando gráfcamente el área, con lo cual se podrá observar que el mámo de dcha funcón se alcanza cuando a b, es decr, en el caso de la crcunferenca. estamos transformando un problema de cálculo de etremales a un problema de cálculo de mámos mínmos medante técncas adqurdas en. de bachllerato, pero ello permte manpular la dea de funconal que trabajamos medante las áreas de una famla de elpses. a cada elpse se le asoca su área, se trata de encontrar aquella elpse que dé el área máma sujeta a una longtud fja. se pretende que los estudantes despejen b de la epresón: p π ( a + b) ( a + b)( a + b) el valor de p, que es gual a la longtud de la elpse dvdda entre p, permanecerá fjo. Modfcarán a ello hará que b tambén se vaa modfcando (puesto que es funcón de a), de manera que el perímetro no se altere. a la vez se representarán las dversas elpses que se vaan obtenendo. Por otro lado, medante la epresón p * a * b, calcularán representarán gráfcamente la funcón área, que aparece como una curva punteada en la fgura. así podrán comprobar que el punto en el que el área es máma, se obtene cuando a b, es decr, cuando nuestra elpse es una crcunferenca, con lo que llegarán a la conclusón de que el etremal es la crcunferenca. smulacón del problema de la braqustócrona se trata de que los estudantes smulen con la auda de GeoGebra el movmento de una partícula sobre una recta sobre la cclode, con el fn de que comprueben que M. a José HAro DELICADo Y M. a José PérEz HAro

21 Fgura lo que han obtendo prevamente a nvel teórco utlzando fórmulas matemátcas se da realmente se puede observar. se dbujará una cclode se escogerán dos puntos de ella (el segundo de ellos más bajo que el prmero). se trazará una recta que pase por ambos puntos. sobre curva recta se trazarán puntos que se rán movendo según varíe el parámetro q de la curva cclode (por comoddad en la escrtura reemplazaremos la letra q por la letra t), que vendrá epresada en paramétrcas. a la vez utlzando las fórmulas apropadas, a deducdas a nvel teórco, se representarán gráfcamente las curvas correspondentes a las velocdades. así, la observacón será doble. Por una parte, se podrá comprobar cómo la partícula que recorre la cclode adelanta a la que se deslza por la recta antes de llegar al segundo punto. Y por otra, se comprobará cómo las ordenadas de los puntos que representan la velocdad de la partícula que recorre la cclode se stúan a partr de un determnado valor del parámetro q por encma de los que representan la velocdad de la partícula que se mueve sobre la recta. JULIo 6 7 Fgura 4 Referencas bblográfcas cerdá, e. (): Optmzacón dnámca, Pearson educacón, Madrd. elsgolz, l. (969): Ecuacones dferencales cálculo varaconal, Mr, Moscú. KrasNoV, M. l.; MaKareNKo, G. KseloV, a. (99): Cálculo Varaconal, Mr, Moscú. rouman, J. l. (995): Varatonal Calculus and Optmal Control, sprnger, New York. M. a José HAro DELICADo IES Al-Bast (Albacete) Escuela Superor de Ingenería Informátca UCLM (campus de Albacete) <marajose.haro@uclm.es> M. a José PérEz HAro M. S. Facultad de Físcas Unversdad Complutense de Madrd <perez@mpp-manz.mpg.d> EL ProBLEMA DE LA BrAqUIstóCronA Y otros ProBLEMAs DE LA FísICA CoMo IntroDUCCIón AL CáLCULo DE VArIACIonEs

22 XVI JAEM Jornadas sobre el aprendzaje la enseñanza de las matemátcas -5 julo Matemátcas creatvdad: un mundo en construccón Núcleos temátcos. Infantl prmara: ahí empeza todo. Ddáctca formacón del profesorado. Modelzacón formalzacón 4. resolucón de problemas 5. Materales recursos en el aula de matemátcas 6. Coneones contetos 7 Comuncacón dvulgacón