2ºESO Geometría Resumen y ejercicios. Cuerpos geométricos. Poliedros y cuerpos redondos. Áreas de cuerpos geométricos. Volumen de cuerpos geométricos

Transcripción

1 ºESO Geometí Resumen y ejeiios Cuepos eométios oliedos y uepos edondos Áes de uepos eométios Volumen de uepos eométios

2 Cuepos eométios. Un poliedo es un uepo eométio tidimensionl uys s son políonos. Tipos de poliedos. Elementos de un poliedo isms oliedos eules Un poliedo es eul si tods sus s son iules y sobe d vétie iniden el mismo númeo de s y ists. Relión de Eule iámides os poliedos eules son ino Tetedo Cubo Otedo Dodeedo Iosedo Cuepos edondos Cilindo, ono y esfe son uepos de evoluión 156 MTEMÁTICS º ESO

3 Cuepos eométios. isms, piámides, poliedos eules, Eule Ejeiios sobe pisms 1.1 Dibuj un pism obliuo de bse tinul Ejeiios sobe poliedos eules 3.1 Dibuj el desollo de un otedo de ldo m. 1. El númeo de véties de un pism es 0 Cuánts s tiene? 3.. Dibuj el desollo plno de un ubo de ldo 4 m. 1.3 Un pism tiene 18 ists. Qué políono tiene po bses? 3.3. uede existi un poliedo eul uys s sen otóonos? 1.4 Un pism tiene 9 s. o tnto es un pism 1.5 Un pism tiene 15 véties, po lo tnto ls bses son Ejeiios sobe piámides.1 Dibuj un piámide ieul de bse tinul.. veiu el políono de l bse de un piámide si tiene 5 s lteles..3. veiu el políono de l bse de un piámide si tiene 8 s..4. Dibuj el desollo de un piámide que tiene tods sus s iules Cuántos ldos omo máximo puede tene omo máximo ls s de un poliedo eul? 3.5. Cuánts s tinules pueden inidi en un vétie de un políono eul? 3.6. Cuánts s udds pueden inidi en un vétie de un políono eul? Ejeiios sobe l elión de Eule 4.1 Un poliedo euleino, puede tene el mismo númeo de véties y de ists? 4.. Compueb que se umple l elión de Eule en un piámide uy bse es un otóono..5. Cuál de ls siuientes fius es el desollo plno de un piámide? 4.3. Compueb que se umple l elión de Eule en el iosedo Compueb que se umple l elión de Eule en el dodeedo Un poliedo euleino tiene 0 s y 36 véties. Cuánts ists tiene? 4.6. Un poliedo euleino tiene 1 s y 40 ists. Cuántos véties tiene? MTEMÁTICS º ESO 153

4 Cuepos eométios. Sólidos de evoluión, ilindos, onos, esfes. Sobe sólidos de evoluión 1.1 Dibuj el uepo de evoluión que fom l fiu de bjo l i sobe el semento ltel izquiedo. Sobe ilindos.1. uede se posible el desollo de l fiu infeio el oespondiente un ilindo? 1.. Qué fiu del espio se ene l i el tpeio dibujdo bjo lededo de su ldo deeo? 1.3. Qué fiu del espio se ene l i el tpeio dibujdo bjo lededo de su ldo deeo?.. Si oemos un etánulo se obtiene el mismo ilindo doblándolo po l bse o po l ltu?.3. Queemos onstui un bote ilíndio que ten 9 m de lto y el dio de l bse mid 1,5 m. Dibuj su desollo plno. Sobe onos 3.1 Dibuj el desollo de un ono on dio de l bse 5 m. y de enetiz 10 m. 1.4 Qué fiu del espio se ene l i el tpeio dibujdo bjo lededo de su ldo izquiedo? 3.. Coemos un tiánulo de bse 4 m. y ltu 8 m. l ilo sobe l ltu obtenemos un ono. Cuánto mide su enetiz? 3.3. El desollo plno de l ltel de un ono uede se un íulo ompleto? 1.5. Qué fiu del espio se ene l i el tpeio dibujdo bjo lededo de su ldo deeo? Sobe esfes 4.1 l i un uto de íulo po uno de los dios que lo limitn Qué fiu obtenemos? 4. l i un íulo lededo de un eje exteio él Qué fiu obtenemos? 4.3 Qué fom tienen ls ots de u? 154 MTEMÁTICS º ESO

5 Cuepos eométios. 1. Un pism exonl uántos véties tiene?. Un piámide pentonl uántos véties tiene? 3. Un pism tinul uánts ists tiene? 4. Un piámide eptonl, uánts ists tiene? 5. Un poliedo onvexo tiene 4 s y 5 véties, uánts ists tiene? 6. Un poliedo onvexo tiene 9 s y 18 ists, uántos véties tiene? 7. Un poliedo eul de 6 véties, uál es? 8. El poliedo eul onvexo de 1 s, uál es? 9. Cómo se denomin el poliedo epesentdo en est fiu? 10. Indi si el sólido de l fiu es desollble MTEMÁTICS º ESO 157

6 Cuepos eométios. RISMS 1.1 l se un pism ls s lteles son plelomos. s bses son tiánulos y l se obliuo están desplzds. Soluiones de los ejeiios p pti. Un piámide tiene tnts s lteles omo ldos tiene l bse. Es un piámide pentonl. 3.3 fom un ánulo poliedo en flt l menos tes s. Si queemos que y tes s que sen otóonos se solpn. No es posible. 1.. El númeo de véties de un pism es siempe el doble de los véties de d bse. El pism es deonl, y po tnto tiene 1 s. 1.3 El númeo de ists de un pism es siempe el tiple de ls ists de d bse. El pism es exonl..3 Un piámide tiene siempe un más que ldos tiene l bse. Es un piámide eptonl..4 úni piámide tinul on tods ls s iules es el tetedo. 3.4 El máximo de ldos es ino y que pti del exáono no podemos onstui un ánulo poliedo. o eso poliedos eules sólo y on s tinules, udds y pentonles. 3.5 El máximo de s tinules es ino, el sexto tiánulo y no pemite onstui un ánulo poliedo. Con tes tiánulos tenemos el tetedo, on uto el otedo y on ino el iosedo. 1.4 El númeo de s de un pism es el númeo de ldos de l bse más dos. Es un pism eptonl..5 Si l bse es etnul, tiene que tene uto s que sen tiánulos. úni opión es l. OIEDROS REGURES 3.1 Un tetedo tiene oo s que son tiánulos equiláteos. 3.6 El máximo de s udds es tes, el uto uddo no pemite onstui un ánulo poliedo. Con tes uddos tenemos el ubo. 1.5 No y ninún pism que pued tene un númeo imp de véties. IRÁMIDES.1 3. RECIÓN DE EUER 4.1 No es posible. Si es un poliedo euleino debe umpli l elión de Eule Cs Véties ists. Si el númeo de véties es iul que el de ists, entones el númeo de s seí. Un poliedo de s? 158 MTEMÁTICS º ESO

7 Cuepos eométios. 4. Seún l elión de Eule Cs Véties ists, tendímos que y El iosedo tiene 0 s, 1 véties y 30 ists. sí pues l elión de Eule Cs Véties ists, tendímos que y El dodeedo tiene 1 s, 0 véties y 30 ists. sí pues l elión de Eule Cs Véties ists, tendímos que y C V, tendímos que 0 36 ists. ueo ists Tiene 54 ists. 4.6 C V, tendímos que 1 Véties 40. ueo Véties Tiene 1 véties. SORE SÓIDOS DE REVOUCIÓN Un ilindo on un ono en l pte supeio 1.5 Un tono de ono que po l oientión tiene l fom de un vso SORE CIINDROS.1 No es posible. lonitud de l bse del etánulo de oinidi on l lonitud de l iunfeeni de l bse del ilindo y lmente en l fiu es muy infeio. No, el ilindo es difeente slvo que l ltu y l bse del etánulo se l mism, es dei, slvo que se un uddo. enetiz es el dio del seto dibuj. Ddo que el dio es 10, π 5 es justo l mitd, po tnto y que dibuj medio íulo de dio En l fiu está luld l ltu. Nos bsmos en el teoem de itáos. 3.3 No, no es posible. Neesitmos que flte l menos un tozo p pode onstui l ltel pleándolo. SORE ESFERS 4.1 Un semiesfe 1. Es un tono de ono 1.3 Un ilindo que tiene quitdo un ono de l pte supeio.3 ltu del etánulo es 9 m. y su bse es l lonitud de l iunfeeni de l bse del ilindo π dio, donde quí el dio es 1,5. Tendás que poxim el vlo de π. SORE CONOS 3.1 uesto que el dio de l bse es 5, l lonitud de l iunfeeni es π 5. ltel del ono es un seto iul uyo o de medi l lonitud nteio. 4. Se obtiene lo que oloquilmente identifimos omo un donut. Mtemátimente es fiu es un too 4.3 Son esféis. MTEMÁTICS º ESO 159

8 Cuepos eométios. Soluiones UTOEVUCIÓN 1. Un pism exonl uántos véties tiene? 1 véties.. Un piámide pentonl uántos véties tiene? 6 véties 3. Un pism tinul uánts ists tiene? 9 ists 4. Un piámide eptonl, uánts ists tiene? 14 ists. 5. Un poliedo onvexo tiene 4 s y 5 véties, uánts ists tiene? 7 ists 6. Un poliedo onvexo tiene 9 s y 18 ists, uántos véties tiene? 11 véties 7. Un poliedo eul de 6 véties, uál es? Otedo 8. El poliedo eul onvexo de 1 s, uál es? Dodeedo 9. Cómo se denomin el poliedo epesentdo en est fiu? Iosedo 10. Indi si el sólido de l fiu es desollble Sí No olvides envi ls tividdes l tuto 160 MTEMÁTICS º ESO

9 Estudi l fi. Mide ls fius y plindo ls fómuls lul su eímeto y su Áe el RECTÁNGUO CUDRDO 4 D D tmbién TRIÁNGUO ROMO to semipeíme b Heón fómulde s s b s s s b d D 4 REOGRMO TRECIO b b OÍGONO REGUR OÍGONO CUQUIER [ l n l n l n potem ldo ldos númeode tiánulos áe Sum ontono ldos sum CÍRCUO CORON CIRCUR D π π π R R R R π π SECTOR CIRCUR EISE o o o o n n π π b π

10 S. de Mtemátis ºESO Cuepos sólidos. Elementos, áes y volúmenes ltel áe ltel un áe ltel ist potem ltu o lteles Cs bse áe bse peímeto bse ldo ist bse Elementos p volumen totl áe Esfe Cono Cilindo bse dio Cono Cilindo enetiz ltu Elementos V T V CONO V p IRÁMIDE piuds V ESFER esféis V CIINDRO lto no lo b V V RISM piuds no Fius T T bse un ilindo máximo íulo T T eto otoedo T eto bses dos eto ono eul y et piámide Reliones piámide ist bse ist ltel seundis p pinipl Reliones ono ltel seto ánulo n o o seundi pinipl o n 360

11 Áes de uepos eométios Reued lo más impotnte ÁRES DE CUEROS GEOMÉTRICOS RISM Áe ltel sum de ls áes de tods ls s lteles de un uepo eométio. Áe totl sum del áe ltel y del áe de ls bses de un uepo eométio. l nº s áe del etánulo t l áe del políono eul IRÁMIDE TRONCO DE IRÁMIDE l nº s áe del tiánulo t l áe del políono eul l nº s áe del tpeio t l áe de políonos eules CIINDRO CONO l π t π π l π t π π TRONCO DE CONO ESFER l π R t π Rπ R π 4 π MTEMÁTICS º ESO 177

12 Áes de uepos eométios pti 1. Estoy onstuyendo un pisin de 5,7 metos de lo, 4 metos de no y 1,9 metos de lto. Quieo ubi ls pedes y el fondo on zulejos de fom udd de 0 m de ldo. Cuántos zulejos neesité si poximdmente se despedii un 10%? 5. Un piámide eipi de bse udd tiene 150 metos de ltu y 139 metos de ist de l bse. Cuál es su supefiie ltel?. Un mde omp su ij un j de sus bombones fvoitos. j tiene fom de pism tinul de 1 m de l y 1 m de ldo de l bse. Cuál es l ntidd de ppel mínim que se neesit p envolvel? 6. Clul los metos uddos de tel que se neesit p fbi un sombill on fom de piámide dodeonl de 84 m de ist de l bse y 194 m de ist ltel. 3. Se v estu el ltel y l pte supeio de un toe on fom de pism otoonl de 1 m de lt. bse es un otóono eul de 3 m de ldo y 3,6 metos de potem. Si l empes de estuión ob 6 euos po d meto uddo, uál seá el peio de l estuión? 4. Un pizzeí e pizzs de vios tmños y ls vende en js exonles de 39 m de ldo y 4,7 m de lto. Qué ntidd de tón se neesit p d j teniendo en uent que l j está fomdo po dos ptes ompuests de un bse y el ltel? 7. pte exteio del tejdo de un edifiio tiene fom de tono de piámide de bses udds de 47 m y 51 m de ldo espetivmente. ist ltel del tejdo mide 7,3 m. Clul l supefiie. 8. Un meteo de plástio tiene fom de tono de piámide exonl. os ldos de ls bses miden espetivmente 36 y 4 m y l ist ltel mide 7,5 m. Clul l ntidd de plástio que se neesit p su fbiión. 174 MTEMÁTICS º ESO

13 Áes de uepos eométios 9. Un lt de onsevs tiene 16,6 m de ltu y 8,4 m de dio de l bse. Qué ntidd de metl se neesit p su onstuión? Qué ntidd de ppel se neesit p l etiquet? 13. Un vso de plástio tiene 7,1 m de diámeto supeio y 5,6 m de diámeto infeio. enetiz mide 1,6 m. Cuántos metos uddos de plástio se n neesitdo p fbi 150 vsos? 10. Se quiee tt dos depósitos on pintu ntioxidnte. os depósitos tienen 7,3 metos de lto y 9,7 metos de dio de l bse. El peio po pintu de d meto uddo es de 39 euos. Cuál es el peio finl de l pintu, sbiendo que sólo se pint l bse supeio de d uno? 14. He ompdo un ppel esistente l lo p fbime un lámp on fom de tono de ono, de 17,3 m de diámeto supeio y 15,7 m de diámeto infeio. ltu mide 3, m. Qué ntidd de ppel neesito? 11. Un op tiene fom de ono de 10, m de enetiz y 9,5 m de diámeto de l iunfeeni supeio. bse es un iunfeeni de 4,9 m de dio. Cd vez que se limpi, qué supefiie de istl y que limpi? 15. Sbiendo que el dio de l Tie es de 6370 kilómetos, lul l supefiie de nuesto plnet utilizndo distints poximiones del númeo π. 3 b 3,14 3,1416 d π 1. Se dese ondiion un silo ntiuo on fom de ono. ello se v pli un p islnte l ped inteio y l suelo. s dimensiones del silo son 16,5 metos de lto y 7,5 metos de dio de l bse. Qué ntidd de supefiie se v tt? 16. Clul l supefiie de un pelot de 5 m de dio. b Clul l supefiie de un pelot de dio doble de l nteio. Clul l supefiie de un pelot de dio 10 vees myo que l pime. d Qué elión y ente ls supefiies de ls esfes? MTEMÁTICS º ESO 175

14 Áes de uepos eométios utoevluión 1. Clul el áe totl de un otoedo de 7 metos de lo, 4 metos de no y 6 metos de lto.. Clul el áe totl de un pism tinul de 55 metos de ltu y 30 metos de ist de l bse. 3. Clul el áe totl de un piámide de bse udd de 69 metos de ltu y 77 metos de ist de l bse. 4. Clul el áe totl de un piámide exonl de 114 metos de ist ltel y 100 metos de ist de l bse. 5. Clul el áe totl de un tono de piámide de 7 s lteles sbiendo que ls ists de ls bses miden espetivmente 47 y 71 metos, l ist ltel mide 6 metos y ls potems de ls bses miden espetivmente 48,80 y 73,78 metos. 6. Clul el áe totl de un ilindo de 81 metos de ltu y 15 metos de dio de l bse. 7. Clul el áe totl de un ono de 9 metos de ltu y 4 metos de dio de l bse. 8. Clul el áe totl de un tono de ono uy enetiz mide 4 metos y los dios de ls bses miden espetivmente 41 y 57 metos. 9. Clul el áe de un esfe de 67 metos de dio. 10. Clul el áe totl de este uepo eométio sbiendo que l ist del ubo pequeño mide 13 metos y l ist del ubo nde es el tiple. 178 MTEMÁTICS º ESO

15 Áes de uepos eométios Soluiones de los ejeiios p pti zulejos. 880,71 m ,44 euos ,95 m ,58 m 6. 9,55 m ,05 m ,59 m ,57 m de metl 876,13 m de ppel ,37 euos ,8 m ,76 m 13. 4,14 m ,64 m km b km ,16 km d ,78 km ,16 m b 156,64 m 31415,93 m d l elión es iul l uddo de l elión ente los dios. Soluiones UTOEVUCIÓN m. 579,4 m ,19 m ,76 m ,83 m ,79 m ,3 m ,08 m ,44 m m No olvides envi ls tividdes l tuto MTEMÁTICS º ESO 179

16 Volumen de los uepos eométios. VOUMEN DE OS OIEDROS REGURES lonitud de ls ists MTEMÁTICS º ESO 197

17 Volumen de los uepos eométios. VOUMEN DE OS CUEROS EEMENTES 198 MTEMÁTICS º ESO

18 Volumen de los uepos eométios. 1. Expes los siuientes volúmenes en litos 3 dm 3 b 50 dm m 3 d 0,0007 m 3. Expes ls siuientes ntiddes en m 3 0,00001 dm 3 b 10 dm mm 3 d 1,5 m 3 3. Cuántos vsos de 50 m 3 se pueden llen on 0,04 m 3 de u? 8. D un vlo que te pez zonble p d un de los siuientes piddes Cpidd de un vso de u. b Cpidd de un pntno nde. Cpidd de un pisin de un let. d Cpidd del mleteo de un oe. 9. Qué ntidd es myo, medio meto úbio o el volumen de un ubo de medio meto de ist? Rzon l espuest. 4. Tnsfom en m 3 0,006 m 3 b 788 dm 3 0,00008 km 3 d mm 3 5. Un pntno tiene un pidd de 450 m 3. Si tulmente está un 76% de su pidd, uántos metos úbios de u ontiene? 10. Clul el volumen, en litos, de un ubo de m de ist. 11. Hll el peso de un bloque úbio de omión de,3 m de ist. Un meto úbio de omión pes 350 K. 6. Expes 34 m 3 en km 3 b 3440 m 3 en m 3,34 km 3 en dm 3 d 0, dm 3 en mm 3 e m 3 en dm 3 f 0,0 m 3 en m 3 1. Clul, en litos, el volumen de un tetbik uys dimensiones son 1x7x15 m. 13. Dunte un toment se eiston uns peipitiones de 80 litos po meto uddo. Qué ltu lnzí el u en un eipiente úbio de 10 m de ist? 14. Un pisin tiene uns dimensiones de 7x4x m. Cuánto tiempo tdán en llenl dos ifos uyo udl es de 70 litos po minuto d uno? 7. Me n endo 6 litos de efeso de nnj. En l tiend sólo quedn botells de 50 l. Cuánts teno que omp? 15. Clul, en litos, el volumen de un ono que tiene 1 m de ltu y uy bse tiene un dio de 5 m. MTEMÁTICS º ESO 195

19 Volumen de los uepos eométios. 16. Cuánts vees y que vi un ubo ilíndio de 40 m de ltu y 0 m de dio p llen un depósito ilíndio de,5 m de ltu y 3 m de dio? 3. Cuántos pees, pequeños o medinos, podemos intodui en un uio uys medids inteioes son 19x51x47 m? Se eomiend intodui, lo sumo, un pez, pequeño o medino, d uto litos de u. 4. Cuánto tiempo tdá un ifo en llen un depósito si viete 130 litos de u po minuto? El depósito es un pism de 3,6 m de ltu y bse exonl, de m de ldo y 1,7m de potem. 17. Se vieten,5 m 3 de u en un eipiente ónio uy bse tiene 1,7 m de dio y un ltu de,8 m. Qué poentje de l pidd del eipiente llenmos? 18. Cuántos vsos ilíndios de 19 m de ltu y,7 m de dio se pueden llen on 3,8 litos de efeso? 5. Clul el peso, en tonelds, de un piámide de omión, on un bse udd de 6 m de ldo y 17 m de ltu. Un meto úbio de omión pes,35 tonelds. 6. Clul el volumen de un tono de ono de 6,1 m de ltu, sbiendo que los dios de sus bses son 6,1 m y 3,8 m. 7. Hll el volumen, en litos, de un esfe de 5 m de dio. 8. Un plelepípedo tiene un ltu de 1 m y sus bses son ombos uys dionles miden 7 m y 4 m. Clul su volumen. 19. Intoduimos un bol de plomo, de 0,6 m de dio, en un eipiente ilíndio de 3,1 m de ltu y 0,9 m de dio. Clul el volumen de u neesio p llen el eipiente. 9. Se vieten 150 m 3 de u en un vso ilíndio de 4 m de dio. Qué ltu lnzá el u? 30. Clul el peso en mos de un linote de plt de 4x4x3 m. densidd de l plt es 10,5 /m Cuántos metos úbios de u se onsumen l vi 6 vees l dí un isten de 7,5 litos dunte 30 dís? 1. Cuántos litos de u puede ontene un depósito on fom de otoedo, si sus medids inteioes son 189x60x58 m?. Qué ntidd de u se obtiene l deeti un bloque úbio de ielo de 31,4 m de ist? densidd del bloque de ielo es 0,917 /m etiquet ltel de ppel, que ode ompletmente un lt ilíndi de tomte fito, mide 5x13 m. Clul el volumen de l lt. 3. Clul el peso de un ble ilíndio de obe de mm de diámeto y 1350 m de lonitud, sbiendo que l densidd del obe es 8,9 /m MTEMÁTICS º ESO

20 Volumen de los uepos eométios. 1. pidd de un pntno es de 95 m 3. Expes est pidd en litos.. Clul el peso en mos de un linote de plt de 19x4x3 m. densidd de l plt es 10,5 /m Clul el volumen del pism de l fiu, uy ltu es 4 m y uyo ldo de l bse mide,4 m. potem de l bse mide 1,6 m. 4. potem de un piámide eul mide 11 dm y l bse es un uddo de 15 dm de ldo. Clul su volumen. 5. Cuántos bloques úbios de pied, poximdmente, de 50 m de ist, en flt p onstui un piámide eul on bse udd de 08 m de ldo y 101 m de ltu? 6. Se en 19,8 m 3 de u en un eipiente ilíndio de 1,8 m de dio. Qué ltu lnzá el u? 7. Cuánts ops puedo llen on 11 litos de efeso, si el eipiente ónio de d op tiene un ltu inteio de 9 m y un dio inteio de 5 m? 8. Cuántos kilomos pes un bol de plomo de 17 m de dio? El plomo tiene un densidd de 11,4 /m Clul el volumen de un tono de ono de 7,6 m de ltu, sbiendo que los dios de sus bses miden 4,9 m y,1 m. 10. Clul el volumen de l esultu de l imen, sbiendo que sus bses son etánulos de 3 x 1 dm y su ltu 0 dm. MTEMÁTICS º ESO 199

21 Volumen de los uepos eométios. Soluiones de los ejeiios p pti 1. 3 l b l 1, l d 0,7 l m 3 b m 3 30 m 3 d m vsos m 3 b 0,788 m m 3 d 0, m m ,034 km 3 b 0,00344 m dm 3 d 8 mm 3 e 34,567 dm 3 f m botells m 3 b 500 m 3 70 m 3 d 350 l 9. Medio meto úbio. Un ubo de medio meto de ist tiene un volumen de 0,15 m l ,45 k 1. 1,6 l m minutos ,31 l vees ,5% vsos ,99 m 3 de u. 0. 1,35 m ,7 l. 8,4 l pees 4. 8,5 minutos m ,07 TN ,01 m m 3 9.,98 m ,54 m ,75 k Soluiones UTOEVUCIÓN l ,08 m ,75 dm bloques pox. 6. 1,95 m No olvides envi ls tividdes l tuto ops 8. 34,6 k ,08 m dm 3 MTEMÁTICS 00