Universidad nacional Santiago antúnez de mayolo

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1 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 Unieridd ncionl Snigo núnez de myolo ÍSI GEERL I PR ESTUDITES DE IEIS E IGEIERÍ Mg. Opcino L. VÁSQUEZ GRÍ Profeor de íic de l culd de ienci HURZ PERÚ 1 1

2 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 PITULO IV IÉTI DE U PRTIUL: Segund ley de ewon

3 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí ITRODUIÓ. En el cpíulo relio l cinemáic, e decribió el moimieno de l prícul in ener en cuen l cu que l producen, relcionndo l poición, deplzmieno, elocidd y l celerción con el iempo. Sin embrgo, e muy imporne reponder much pregun relciond con l cu que originn lo moimieno. lgun de é pueden er: qué mecnimo produce el moimieno?; porqué un cuerpo lnzdo obre un uperficie horizonl e deiene?, porqué lo elecrone lrededor del núcleo girn decribiendo orbi?; porqué ociln lo péndulo?. L repue e y or pregun erán repondid en ée cpíulo. Por nuer eperienci diri bemo que el moimieno de lo cuerpo e el reuldo de u inerccione con lo demá cuerpo que lo roden. E inerccione pueden decribire por un concepo memáico denomindo fuerz. L cinéic báicmene eudi l relción enre l fuerz y lo cmbio que originn en el moimieno de l prícul. En ee cpíulo e eudirá e eudirá el cmbio en el moimieno de l prícul plicndo lo concepo de m y fuerz. Poeriormene, e eudirán l re leye de ewon plicándol en l decripción del moimieno. 4. OEPTO DE UERZ Y MS. L ide de fuerz eá relciond con much ciidde del quehcer coidino. í por ejemplo cundo el hombre jl de l cuerd, ejerce un fuerz obre el cuerpo como e muer en l figur 4.1. Tmbién e ejerce fuerz cundo el be golpe un blón (figur 4.1b). Eo ejemplo muern que l fuerz e encuenr ocid un ciidd muculr y lgún cmbio en el edo de moimieno de un cuerpo. Sin embrgo, en l nurlez eien much fuerz que no producen moimieno mcrocópico, un de e fuerz e l fuerz gricionl que cú obre el cuerpo de un peron end cómodmene en un illón. Por oro ldo, cbe hcere l pregun Qué fuerz hce que un cuerpo celee dine gue libremene por el epcio?. ue ewon quien coneó e pregun firmndo que el cmbio en l elocidd de un cuerpo e proocdo por un fuerz. Por lo no, i un cuerpo e muee con elocidd conne, no e neceri fuerz lgun pr mnenerlo en moimieno. Eo indic que un fuerz e l cu cpz de producir un cmbio en l elocidd, e decir, producir u celerción. () (b) igur 4.1 () L fuerz T plicd por el hombre l eremo de l cuerd e rnmiid l oro ldo de l pole y permie ubir l bloque, (b) l plicr l fuerz l pelo undo el be, e cmbi l dirección de moimieno de l pelo Por oro ldo, i obre un cuerpo cún ri fuerz imulánemene, el cuerpo e celerrá i l fuerz reulne o fuerz ne que cú obre el cuerpo e diferene de cero. Si l reulne de e fuerz e nul, enonce l celerción mbién erá nul, y l elocidd del cuerpo erá conne. E decir, i l fuerz ne que cú obre un objeo e cero, enonce el objeo permnecerá en repoo o e moerá con elocidd 3

4 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 conne en líne rec. undo l elocidd del cuerpo e conne o cundo el cuerpo e encuenr en repoo, e dice que el cuerpo e encuenr en equilibrio. Debe oberre demá que l plicción de fuerz obre un cuerpo produce deformcione, l mim que pueden llegr er rniori o permnene dependiendo de l inenidd de dich fuerz plicd, como e el co del choque de do uomóile. L plbr m e muy fmilir l igul que l fuerz. Si por ejemplo, un mio upernque e quel que coniene un enorme cnidd de meri. omo eremo má delne, e muy difícil deener un cuerpo mio o e muy difícil poner en moimieno un cuerpo que poee un grn m. En comprción un peine e cuerpo que poee un cnidd pequeñ de m. El énfi quí e l cnidd de m y no l ide de dirección crece de impornci. Por lo no l m e un cnidd eclr. 4.3 LS UERZS DE L TURLEZ uerz de conco. L myor pre de fuerz cundo obre cuerpo que obermo en l nurlez on l fuerz de conco ejercid por ejemplo por reore, cuerd, y uperficie en conco mecánico direco con el cuerpo. Son el reuldo de l fuerz moleculre ejercid por l molécul de un cuerpo obre l molécul del oro. En odo lo co, e fuerz eán diribuid obre el áre de conco. En priculr i e áre e pequeñ en comprción con el áre ol del cuerpo, enonce puede idelizre como un ol fuerz concenrd l cul e encuenr plicd en un puno del cuerpo (figur 4.). Un ejemplo de eo podrí er l fuerz que el uelo ejerce obe l lln de un uomóil. Por oro ldo, i l fuerz cún lo lrgo de un longiud, l fuerz puede idelizre como un fuerz linelmene diribuid w(). L crg lo lrgo de l longiud de un ig e un ejemplo ípico de e idelizción (figur 4.b). L fuerz reulne de w() e equilene l áre bjo l cur de crg diribuid y e reulne cú ré del cenroide. () (b) igur 4.. () uerz concenrd plicd l ig, (b) fuerz diribuid linelmene obre l ig uerz de cuerpo. Un fuerz de cuerpo e derroll cundo un cuerpo ejerce un fuerz obre oro cuerpo in enrr en conco mecánico direco. E fuerz pueden er L fuerz gricionl. E l má débil de l curo inerccione fundmenle. Se conider deprecible cundo l prícul en inercción on prícul fundmenle (elecrone, proone, ec). E difícil oberrlo enre cuerpo de l id diri. Sin embrgo, e de grn impornci cundo e eudi l inerccione enre cuerpo de grn m (figur 4.3), le como lo plne, élie y erell. L fuerz gricionl e l lig nuero plne y el iem olr. L fuerz gricionl jueg un ppel imporne en l eolución de l erell y en el compormieno de l gli. 4

5 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 igur 4.3 L fuerz gricionl enre l ierr y l lun e de cción dinci L fuerz elecromgnéic. Incluye l fuerz elécric y l mgnéic. L fuerz elécric e debe l inercción enre crg elécric, puede er rci o repuli (figur 4.4). L fuerz mgnéic e origind por l crg elécric en moimieno, e de origen dipolr y generlmene e ober en l inercción de imne (figur 4.4b), L fuerz elecromgnéic enre prícul fundmenle e n inen comprd con l inercción griori que é úlim puede deprecire cundo e eudi prícul crgd. () (b) (c) igur 4.4 () L fuerz elécric enre do crg de igno igule e de crácer repulio, (b) l fuerz elécric enre do crg de igno opueo e de crácer rcio y (c) fuerz mgnéic de crácer repulio y rcio L inercción nucler fuere. Tiene lugr enre l prícul elemenle llmd hdrone, que incluyen lo proone y lo neurone, elemeno coniuyene del núcleo ómico. E l fuerz reponble de mnener unido lo núcleo. Por ejemplo, lo do proone del áomo de helio e mnienen unido grci l inercción nucler fuere impidiendo l repulión elecroáic enre ello. L inercción nucler fuere e de coro lcnce, decrece rápidmene con l eprción enre l prícul y e deprecible cundo l prícul fundmenle eán eprd un dinci del orden de uno poco diámero nuclere L inercción nucler débil. Tmbién e un inercción de coro lcnce, iene lugr enre elecrone y proone o neurone y e l reponble de l deinegrción rdioci be. 4.4 PRIMER LEY DE EWTO: Ley de inerci. ne de enuncir l primer ley de ewon e necerio ber Qué e un prícul libre?. L repue e pregun erí que un prícul libre e quell que no eá omeid inercción lgun. En relidd en l nurlez no eie prícul libre lgun. Sin embrgo, en l prácic, eien lgun prícul que e pueden coniderr como libre, y e porque e encuenrn muy dine un de or o porque u inerccione con l demá e cnceln dndo lugr un inercción nul. Por no, l primer ley de ewon eblece que: Un prícul libre iempre e muee con elocidd conne eo e, in celerción 5

6 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 Un cuerpo en repoo o en moimieno con elocidd conne en líne rec coninurá en dicho edo meno que obre ell cúe un fuerz eern ne. En l figur 4.5 e ober que el bu permnecerá en repoo iempre que ei fuerz eern que l obligue cmbir de edo y en l figur 4.5b e ober que el bu e moerá en líne rec iempre que no cué fuerz ne que l obligue cmbir dicho moimieno L endenci e ecribe diciendo que el cuerpo iene inerci. Por ello l primer ley de ewon e denomin mbién ley de inerci. En relidd ewon no fue el primero en eblecer e ley. ño ne Glileo, ebleció que: culquier elocidd un ez imprid obre un cuerpo en moimieno permnecerá riguromene, iempre y cundo l cu de l rerdción en elimind. igur 4.5 () El bu e mnendrá en repoo i no eie fuerz ne que l obligue cmbir dicho edo, (b) El bu eguirá moiéndoe con MRU h que el conducor plique lo freno pr deenerlo 4.5 MROS DE REEREI. E quel lugr del epcio en donde en form rel o imginri e iú un oberdor pr eudir un fenómeno fíico. onencionlmene l mrco de referenci e le oci un iem de coordend que permie ubic l fenómeno en el epcio y iempo. Lo mrco de referenci pueden er inercile y no inercile Mrco de referenci inercil E quel lugr del epcio que e conider en repoo o con moimieno recilíneo uniforme, y en el cul e ubic un oberdor pr nlizr un moimieno mecánico. Debido u roción diri y u inercción con el ol y lo demá plne, l ierr no e un mrco inercil de referenci debido u moimieno orbil lrededor del ol y u moimieno de roción lrededor de u propio eje, l ierr eperimen un celerción cenrípe de proimdmene 4,4.1-3 m/ dirigid hci el ol y un puno en l uperficie errere (Ecudor) eperimen un celerción dicionl de 3, m/ hci el cenro de l ierr. Sin embrgo, e celercione on pequeñ comprd por ejemplo con l celerción de l gredd por ello menudo e deprecin. En l myorí de lo co e upondrá que un oberdor ubicdo en l ierr e un oberdor inercil. En l figur 4.6, puede oberre que un oberdor en l uperficie errere coniuye un mrco de referenci inercil. () (b) igur 4.6 () El dm ubicdo en l ierr e un oberdor inercil y ober que l efer de m m e muee hci l derech debido l celerción imprid por l componene ngencil de T, (b) L peron ubicd en ierr mbién e un oberdor inercil, el ober que l fuerz que cu el moimieno circulr e l enión T en el cble 6

7 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí Mrco de referenci inercil E quel lugr del epcio en donde e ubic un oberdor moiéndoe con celerción. Ee mrco de referenci e uilizdo cundo dede l ierr e ober que el cuerpo iene do celercione. Debe enere en cuen que pr un mrco de referenci inercil no e cumplen l leye de ewon. En l figur 4.7 y 4.6b e muer do mrco de referenci no inercile- igur 4.6 () El dm ubicdo en el inerior del gón e un oberdor no inercil y ober que l efer de m m e encuenr en equilibrio, (b) L dm ubicd en el plo girorio mbién e un oberdor no inercil, ell ober que el bloque e encuenr en equilibrio 4.6 MOMETO LIEL. El momeno linel de un prícul e un cnidd ecoril definid como el produco de u m por u elocidd linel, eo e p m El momeno linel e un cnidd muy imporne pue combin do elemeno que crcerizn el edo dinámico de un prícul: u m m y u elocidd como e muer en l figur 4.8. Su unidde en el iem inerncionl e epren en kg.m/. igur 4.8 Prícul que e muee con un cnidd de momeno p = m. 4.7 OSERVIÓ DEL MOMETO LIEL. onideremo do prícul ild uje únicmene u inercción muu como e muer en l figur 4.9. Debido u inercción, u elocidde cmbn con el iempo, iendo u ryecori en generl cur. En ciero inne, l prícul de m m 1 e encuenr en l moiéndoe con un elocidd y l or de m m e encuenr en moiéndoe con un elocidd. En un inne poerior dich prícul e encuenrn en l poicione y moiéndoe con elocidde y, repecimene. Enonce el momeno linel del iem en el inne, erá p p1 p m1 1 m (4.) Y el momenum linel del iem formdo por e do prícul en un inne poerior erá p' p p m m (4.3) ' ' ' ' Un reuldo muy imporne de nuer obercione e que iempre e cumple que 7

8 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 p p p p ' ' 1 1 m m m m ' ' (4.4) L ecución (4.4) coniuye l conerción del momeno linel, e decir: El momeno linel de un iem ildo formdo por do prícul omeid u inercción muu permnece conne. () (b) igur 4.9. Siem ildo formdo por do prícul que permien erificr el principio de conerción del momeno linel. (b) od inercción d lugr un inercmbio de momeno ún cundo ee principio h ido demordo pr do prícul, ée principio e cumple mbién pr un iem ildo de prícul, e decir p p1 p... pi... pn pi con n e (4.5) nlizndo l ecución (4.4) e ober que el cmbio de momeno de un prícul durne un inerlo de iempo e igul y opueo l cmbio de momeno de l egund prícul en el mimo inerlo de iempo, eo e ( p p ) ( p p ) ' ' 1 1 p p 1 (4.6) Ee reuldo muer que un inercción enre do cuerpo produce in inercmbio de momeno. E decir el momeno gndo por un prícul e igul y opueo l momeno perdido por l or (ée l figur 4.9b) 4.8 MS IERIL. Si e quiere cmbir el edo de repoo y/o moimieno de un cuerpo, ée e reiirá l cmbio. L reienci de un cuerpo l cmbio de u edo de moimieno e denomin inerci. Por ejemplo conideremo do bloque ólido grnde de igul mño, uno de mder ec y el oro de mel. Si e quiere moer lo bloque obre l uperficie horizonl áper, e requiere má efuerzo pr poner en moimieno l bloque meálico que l de mder. E e decir, el bloque de mel iene myor inerci que el bloque de mder. L m e un propiedd inrínec de l meri que mide u inerci o u reienci u celerción. Si e quiere medir l m de un cuerpo b con comprr l celercione que con un fuerz dd producirí obre cuerpo diferene. Sin embrgo, i un fuerz, que cú obre un cuerpo de m m 1 le produce un celerción 1, l mim fuerz plicd un cuerpo de m m le producirá un celerción. L rzón enre l do m e define como l rzón iner de l mgniude de l celercione producid por l mim fuerz. Eo e m m 1 1 (4.7) 8

9 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 Si l m de uno de lo cuerpo e conocid, e puede clculr l m del egundo comprndo u celercione que le produce l plicción de un fuerz. 4.9 SEGUD LEY DE EWTO. L primer ley de ewon eplic lo que le ucede un cuerpo cundo l reulne de od l fuerz eern plicd un cuerpo e nul. L egund ley de ewon reponde l pregun de qué le ucede un cuerpo que e encuenr omeido un fuerz reulne diferene de cero. Pr llegr formulr e ley e pre de l ecución (4.4), e decir, e diide ell enre el inerlo de iempo, obeniendo p1 p (4.8) E ecución indic que l ricione promedio repeco del iempo del momeno linel de do prícul on de igul mgniud pero de de enido opueo. Si el inerlo de iepo e hce cd ez má y má pequeño l ecución (4.8) e ecribe lim p lim 1 dp1 dp d d p (4.1) (4.9) E decir, l ricione innáne del momeno de l prícul en culquier inne, on igule y opue. Deinndo l rzón de cmbio del momeno de un prícul como l fuerz producid por l inercción con l or, e iene dp 1 d (4.11) L ecución (4.11) repreen el enuncido memáico de l egund ley de ewon l mim que eblece: L rzón de cmbio del momeno linel de un prícul e igul l fuerz reulne que cú obre ell. Teniendo en cuen que, l ecución (4,11) puede ecribire en l form d( m) d (4.1) Pr cuerpo cuy m no rí cundo e mueen, eo e l m e mniene conne, e iene d m m d (4.13) Ecución que eblece que i un cuerpo de m conne e encuenr omeido l cción de un fuerz reulne diferene de cero, dich fuerz e igul l produco de u m por l celerción que le prooc u plicción de dich fuerz. 4.1 UERZ DEIDO L ELERIÓ DE L GRVEDD. L fuerz má conocid en nuer id coidin e l fuerz debido l rcción gricionl que l ierr ejerce obre u uperficie o lur pequeñ comprd con el rdio de l ierr. E fuerz e denomin peo de un cuerpo y e repreen en ee rbjo como. E fuerz iempre e encuenr dirigid hci el cenro de l ierr como e muer en l figur

10 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 igur 4.1 uerz obre un cuerpo (peo) un lur pequeñ Se h io neriormene que cundo un cuerpo ce libremene eperimen un celerción de l gredd, celerción que e encuenr dirigid hci el cenro del plne. l plicr l egund ley de ewon l cuerpo en cíd, e iene W m g (4,14) Debido que el peo depende de l celerción de l gredd y e rí con l lur y con el lugr donde e mid, enonce, el peo mbién rirá con l ubicción geográfic. E decir, el peo diferenci de l m no e un propiedd inrínec de l meri TERER LEY DE EWTO. ewon formuló un ercer ley, n rcendene en u ignificción fíic como l neriore. E ley eblece que: i do cuerpo inercún enre í, l fuerz que ejerce el cuerpo obre el cuerpo e igul y opue l fuerz que ejerce el cuerpo obre el cuerpo. E decir (4.15) E ley mord en l figur 4.8, equile firmr que l fuerz iempre precen en prej. L fuerz que ejerce el primero obre el egundo e denomin cción y l fuerz que ejerce el egundo obre el primero e denomin rección. L fuerz de cción y rección ienen igul mgniud y dirección pero enido opueo (4.16) En odo lo co, l fuerz de cción y rección no e plicn en el mimo cuerpo, e decir cún en cuerpo diferene. igur () uerz de cción y rección enre do imne cuyo polo enfrendo on del mimo igno, (b) l fuerz de cción que el ronu ejerce obre l ne e l cción y l fuerz que ejerce l ne obre el piloo e l rección 1

11 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí EUIOES DE MOVIMIETO. Si un prícul de m m inercú con or prícul de m m 1, m,. m n. d prícul l inercur con l prícul de m m ocion un inercmbio de momeno crcerizdo por l fuerz ejercid obre m. El cmbio ol de momeno erá dp d 1... i... n i (4.17) Si prícul iene un m conne, l ecución (4.17) puede ecribire en l form i m (4.18) undo l prícul e muee repeco un mrco de referenci inercil, y, z, l fuerz í como l celerción pueden decomponere en función de u componene como e muer en l figur E decir iˆ ˆj kˆ m iˆ ˆj k ˆ y z y z m y my z m z (4.19) igur 1. Digrm de fuerz y celercione en coordend orogonle, y y z 4.13 UERZS DE RIIÓ urlez de l fricción Se denomin fuerz de fricción o implemene fricción l fuerz ngene l uperficie de conco enre do cuerpo que iende reiir el delizmieno relio enre ello, o u endenci. E fuerz en generl e debe l inercción enre l molécul de l uperficie de lo cuerpo, fuerz que ece e denomine de coheión o dheión. En much iucione ingenierile e hce mucho efuerzo por diminuir l fricción. Por ejemplo, e uiliz ceie con l finlidd de diminuir el dege del pión en un cilindro de combuión inern del moor de un uomóil. Sin embrgo, eien or iucione en l cule el rozmieno e bolumene necerio, un de ell e en el co de un moimieno de un uo en un í, quí el rozmieno e necerio pr que e rnmi l rcción neceri l lln del uo y de e mner e muee el mimo. De hecho en el dieño de un neumáico e iene en cuen e iución. En un crreer húmed, lo epcio en l bnd de roddur ienen cnle que recogen el gu y l deín. Por lo no, eo cnle en grn medid ein que el gu enre en el conco pimeno neumáico diminuyendo de ee modo l fricción y ocionndo que el neumáico pine obre el pimeno. 11

12 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 L uperficie que precen er muy li, cundo e le eminn con un microcopio preenn un conjuno d irregulridde como e muer en l figur 4.1. El áre microcópic de conco pr eo puno e uncilmene inferío l uperficie mcrocópic. En eo puno de conco l molécul cercn eperimenn grnde fuerz inermoleculre rci, dndo lugr lo que e denomin olddur en frio. E fuerz de rozmieno e ocin con eo puno de olddur, pero lo delle eco de cómo e originn e fuerz no eá clrmene enendido. Sin embrgo, e hn derrolld lgun relcione empíric que permien eplicr el origen de l fricción. igur 4.13 un cundo do uperficie lmene pulid on pue en conco, ell preenn irregulridde en u uperficie cundo e ober en un microcopio le de fricción En l nurlez e diinguen re ipo de rozmieno: rozmieno eco, rozmieno húmedo y rozmieno por roddur Rozmieno eco. Tmbién conocido como de oulomb, e quel rozmieno que prece cundo l uperficie que inercún on ec e decir een de lubricción. Puede er ) Rozmieno eáico. quel que prece cundo l uperficie de conco e encuenrn en repoo relio. b) Rozmieno cinéico. quell fuerz de rozmieno que prece cundo l uperficie de conco e encuenrn en moimieno relio Rozmieno húmedo. E quel rozmieno que e encuenr preene enre cp de fluido que e mueen diin elocidde. Ee rozmieno e de impornci cundo e eudi el moimieno de fluido ré de ubo y orificio. Tmbién iene impornci cundo e eudi el moimieno de de un ólido en un fluido, por ejemplo el moimieno de un ión y cundo e eudi el moimieno de mecnimo lubricdo por ejemplo el moimieno de lo pione en el moor de un uomóil. En e ección no limire l eudio de l fricción ec o de olulomb. l coniderr ee ipo de fricción, e necerio ener en cuen que l fricción e opone l moimieno relio o u endenci l moimieno. Má ún, en el co de l fricción eáic enre l uperficie en conco de lo cuerpo umen en mgniud en l mim proporción en que lo hce l fuerz eern plicd y en el co de l fricción cinéic, e rí con l elocidd. En l figur 4.13, e ober que l umenr l fuerz eern prir de cero, l fuerz de fricción e incremen progreimene conforme lo hce l fuerz eerior rndo de mnener l cuerpo en equilibrio eindo de ee modo u moimieno. Ee equilibrio eáico e mnendrá h que l fuerz de rozmieno eáic lcnz u lor máimo. undo l fricción lcnz u lor máimo i eguimo incremenndo l fuerz eerior hbrá un moimieno inminene. Si eguimo incremenndo l fuerz eerior, l fuerz de fricción no puede equilibr y enonce el cuerpo e moerá obre l uperficie. Tn prono como el cuerpo 1

13 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 e muee, l mgniud de l fricción diminuye de un lor menor (fricción cinéic) l que permnece proimdmene conne cundo el cuerpo e muee iempre y cundo l elocidd e moderd. igur 4.13 () cundo obre el bloque no cú fuerz horizonl eern l fricción e nul, (b) l plicr un fuerz eerior l principio e iende delizr iendo el delizmieno inminene cundo l fuerz de fricción eáic lcnz u lor máimo (c) relción fuerz de rozmieno en función de l fuerz eern Leye de fricción En el ño 1781,.. oulomb publico lo reuldo de un grn número de eperimeno obre fuerz de fricción en uperficie ec, coniuyéndoe hor como l leye de l fricción. I. L fuerz de fricción máim que puede derrollre e proporcionl l rección norml, iendo l conne de proporcionlidd el coeficiene de rozmieno eáico ( ). m (4.9) nálogmene l mgniud de l fuerz de rozmieno cinéic e proporcionl l rección norml iendo l conne de proporcionlidd el coeficiene de rozmieno cinéico ( k ) m k (4.1) II. III. IV. L fuerz de fricción eáic máim, í como l fricción cinéic on independiene del áre de l uperficie en conco. L fuerz de rozmieno máim e myor que l fuerz de fricción cinéic L fuerz de fricción cinéic e independiene de l elocidd del cuerpo iempre que e e pequeñ El coeficiene de fricción El coeficiene de fricción e define como l rzón enre l mgniud de l fuerz de fricción y l rección norml enre l uperficie de conco. E decir (4.) El coeficiene de fricción e un conne que e deermin eperimenlmene y depende de lo merile de lo cule eán hecho lo cuerpo í como de l condicione o edo de l uperficie en conco. En generl e demuer que k,75 1 y 1 k k (4.3) 13

14 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 En l Tbl 4.1 e muer el coeficiene de rozmieno eáico y cinéico pr lgun uperficie en conco Tbl 4.1 Vlore proimdo de coeficiene de fricción eáic pr uperficie ec Tipo de uperficie en conco oeficiene de rozmieno eáico Mel obre mel,15-,6 Mel obre mder,-,6 Mel obre piedr,3-,7 Mel obre cuero,3-,6 Mder obre mder,5-,5 Mder obre cuero,5-,5 Piedr obre piedr,4-,7 Tierr obre ierr,-1, ucho obre hormigón,6-,9 De lo eñldo neriormene prece dre curo iucione diferene cundo un cuerpo ólido eá en conco con un uperficie horizonl. 1. L fuerz plicd l cuerpo no iende moer l cuerpo lo lrgo de l uperficie, en ee co l fricción e cero (figur 4.14).. L fuerz plicd eeriormene l cuerpo iende moer l cuerpo, pero no e lo uficienemene grnde pr inicir el moimieno. En ee co l fuerz de fricción e deermin plicndo l ecucione de equilibrio en l dirección horizonl (figur 4.14b) 3. L fuerz eerior plicd e l que el cuerpo eá puno de inicir u moimieno. En ee co e dice que el moimieno e inminene. L fuerz de rozmieno h lcnzdo u lor máimo y conjunmene con l rección norml equilibrn l fuerz eerior plicd. En e condicione e cumple que. Se debe ener en cuen demá que l fricción e opone l moimieno inminene (figur 4.14c). 4. El cuerpo e deliz bjo l cción de l fuerz eern. En ee co l fricción e cinéic y e plic l ecución. El enido mbién e opueo l moimieno relio igur () Sin rozmieno, (b) no hy moimieno (P < ), (c) moimieno inminene hci l derech (P = m ) y (d) Moimieno relio (P > m ). 14

15 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí Ángulo de rozmieno ece e necerio remplzr l fuerz de fricción y l rección norml por u reulne. pr deerminr el ángulo de rozmieno conidermo nuemene el co del bloque de peo W decnndo obre l uperficie horizonl rugo. undo no e plic fuerz eern horizonl l reulne qued reducid l peo m l rección norml (figur 4.15). Si hor e plic un fuerz cuy componene horizonl e P l cul iene moer l bloque hci l derech (figur 4.14b), l fuerz reulne erá inclind y form un ángulo con l ericl. Si eguimo incremenndo el lor de de l mner que mbién crece l componene horizonl h llegr lcnzr el moimieno inminene el ángulo enre y l ericl mbién crece y lcnz un lor máimo. ee lor e le denomin ángulo de rozmieno eáico y e d el nombre de. de l geomerí de l figur 4.15c, e deduce que g g m (4.4) Por oro ldo cundo hy moimieno el módulo de l fuerz de fricción diminuye h lcnzr l fuerz de rozmieno cinéic k. de l mner que el ángulo de rozmieno mbién diminuye h lcnzr el lor k llmdo ángulo de rozmieno cinéico. De l geomerí de l figur 4.15d e iene. g g k k k k (4.5) igur () Si l fuerz eern e perpendiculr l plno el rozmieno e nulo, (b) l plicr l fuerz eerior odí no hy moimieno el ángulo de rozmieno < (c) l eguir umenndo l fuerz eern el rozmieno mbién umen h lcnzr u lor máimo e decir, el moimieno inminene e hci l derech en ee co = y (d) Moimieno relio = k uerz de fricción en fluido. Si un cuerpo e muee un elocidd relimene bj en el inerior de un fluido líquido o geoo, l fuerz de fricción puede coniderre proimdmene proporcionl l elocidd innáne y de enido opue ell, cuy epreión memáic erá (4,6) El coeficiene κ depende de l geomerí del objeo móil. Por ejemplo i el cuerpo que e muee iene imerí eféric de rdio R, l ley de Soke eblece que 15 6 R (4.7) El coeficiene η e denomin coeficiene de icoidd cinéic l mim que depende de l fricción inern del fluido epred n kg.m o en g.cm -1-1 unidd llmd POISE. Debe eñlre demá que el coeficiene

16 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 de icoidd depende de l emperur, diminuyendo en lo líquido cundo e incremen l emperur y umenndo en lo ge cundo e umen l emperur. undo un cuerpo eférico e deplz ré de un fluido icoo bjo l cción de un fuerz como u peo (ée l figur 4.16), l plicción de l egund ley de ewon no d y m W m m g m (4.8) y igur 4.16 () Moimieno de un efer en el inerior de un fluido icoo deprecindo el empuje hidroáico, (b) moimieno de l efer en un fluido icoo eniendo en cuen el empuje hidroáico Debido que el peo de l efer e mniene conne, l celerción produce un umeno coninuo de l elocidd y por no un umeno en l fricción de l modo que eenulmene l fuerz del ldo izquierdo de l ecución e equilibrn ocionndo que l celerción e nule. De ee modo l efer e muee rpidez conne prir de ee inne. e elocidd e le llm elocidd límie o elocidd erminl, l cul erá epred por l ecución m g L mg (4.9) L L ecución (4.9) debe corregire cundo e conider el empuje hidroáico ejercido por el fluido, el cul egún el principio de rquímede e igul l peo del fluido delojdo dirigido hci rrib. En ee co l fuerz reulne hci bjo erá m g m g (4.3) f L omo l prícul e eféric cuy m e, enonce l ecución nerior e ecribe 6 R L 4 gr 3 3 f gr L f (4.31) 9 16

17 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí DIÁMI DE MOVIMIETO URVILÍEO: oordend norml y ngencil undo un prícul e muee en un ryecori curilíne, l ecucione de moimieno pueden eprere en función de do componene, un dirigid lo lrgo de l ngene denomind fuerz ngencil y l or dirigid hci el cenro de curur denomind fuerz cenrípe como e muer en l figur 4.17 igur 4.17 Prícul en moimieno curilíneo omeid un fuerz reulne que h ido decompue egún l direccione norml y ngencil E decir l plicción de l egund ley de ewon conduce l ecución m eˆ ˆ ˆ ˆ n en m e ne n (4.3) omo l componene repeci egún l direccione norml y ngencil deben er equilene, l ecución nerior e ecribe d m m (4.33) d m m (4.34) n n L primer de e ecucione indic que el cmbio en l mgniud de l elocidd e producid por l reulne de l fuerz en l dirección ngencil y l egund indic que el cmbio en l dirección de l elocidd e l reulne de l fuerz en dirección norml o cenrípe Si el moimieno e circulr u rdio de curur erá el rdio R de l circunferenci que decribe l prícul y u elocidd linel erá, enonce l ecucione de moimieno e ecriben d m m d n m n m R (4.35) En el co que el moimieno e circulr uniforme l únic celerción que eie e l celerción norml o cenrípe, en ee co l celerción ol erá y l ecución de moimieno erá m m p (4.36) 17

18 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí DIÁMI DE MOVIMIETO URVILÍEO: oordend rdil y rnerl undo un prícul e muee en un ryecori curilíne, l ecucione de moimieno pueden eprere en función de do componene, un dirigid lo lrgo de l dirección rdil y or en dirección rnerl como e muer en l figur 4.19 igur 4.18 Prícul en moimieno curilíneo omeid un fuerz reulne que h ido decompue egún l direccione rdil y rnerl E decir l plicción de l egund ley de ewon conduce l ecución m ˆ ˆ ˆ ˆ rer e m rer e (4.37) omo l componene repeci egún l direccione norml y ngencil deben er equilene, l ecución nerior e ecribe r m r m r r (4.38) m m r r (4.39) 4.15 DIÁMI DE MOVIMIETO URVILÍEO: oordend cilíndric undo un prícul e muee en un ryecori curilíne, l ecucione de moimieno pueden eprere en función de do componene, un dirigid lo lrgo de l dirección rdil y or en dirección rnerl como e muer en l figur 4.18 E decir l plicción de l egund ley de ewon conduce l ecución m ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ rer e zez m rer e ze z (4.4) 18

19 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 igur 4.18 Prícul en moimieno curilíneo omeid un fuerz reulne que h ido decompue egún l direccione rdil y rnerl omo l componene repeci egún l direccione norml y ngencil deben er equilene, l ecución nerior e ecribe r m r m r r (4.4) m m r r (4.43) m (4.44) z z 19

20 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 Problem 1 Un efer de m m, e encuenr obre un bidor como e muer en l figur. Si l uperficie inclind e li, deermine el lor de l celerción máim que puede ener el bidor condición de que l efer no ecpe. Problem Un pquee de 5 kg e lnz por un plno inclindo con un elocidd inicil de 4 m/. Sbiendo que el coeficiene de rozmieno enre el pquee y el plno inclindo e,35. Deermine: () l elocidd del bloque lo re egundo de inicire el moimieno; (b) l dinci l cul el pquee e deiene. En l figur e muer el DL y cinéico de l efer. L fuerz que cún obre ell on u peo W, l fuerz que ejerce el eremo derecho del bidor 1 y l fuerz que ejerce obre l efer el plno inclindo del bidor. En l figur e muer el DL y cinéico de l bloque. L fuerz que cún obre él on u peo W, l fuerz que ejerce obre l bloque el plno inclindo del bidor y l fuerz de fricción cinéic k. plicndo l ecucione de moimieno enemo. m en 1 m co W m() y mg co m Remplzndo l ecución () en (1), reul mgg 1 m El lor de l celerción máim pr que l efer no ecpe del bidor e obiene hciendo, enonce l ecución (3) e ecribe en l form. mgg m 9,81g m m y 3,57 m / plicndo l ecucione de moimieno enemo. m Wen15 k m mgen15 k m (1) W co15 m() y m mg co15 y 5(9,81) co15 47,38 () Remplzndo l ecución () en (1), reul 5(9,81) en15,35(47,39) 5 L celerción e enonce

21 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1,78 m/ Pre (). L elocidd del pquee depué de 3. omo l celerción e conne y l elocidd inicil e 4 m/, l elocidd del bloque erá. 4 m / (,78 m / )(3 ) 1, 66 m / R. Pre (b) álculo de l dinci recorrid por el pquee h deenere. omo el moimieno e con celerción conne y l elocidd en e 4 m/ y en nul e iene Problem 3. d 4 (,78 m / ) d 1, 7 m R. En l figur e repreen un efer homogéne de 5 kg upendid de un cuerpo de kg medine un cuerd fij en el puno. El moimieno del iem e l que el ángulo e mniene conne cundo l elocidd de e dirige hci l izquierd. El coeficiene de fricción enre el cuerpo y l uperficie horizonl e,4. Deermine l mgniud de l fuerz. d plicndo l ecucione de moimieno e iene m P ( m m ) k P k ( m m ) (1) y y W W m () ( m m ) g ( 5)(9,81) m 45, 5kg () Suiuyendo el lor de obenido en l ecución () en l ecución (1) e iene P, 4(45, 5) 5 P 98,1 5 (3) En l ecución (3) e iene do incógni, l fuerz P y l celerción del iem, pr deerminr dich cnidde, e rz el DL y cinéico pr l efer y e plic l egund ley de ewon. plicndo l ecucione de moimieno e iene m Ten m (4). En l figur e muer el DL y cinéico del iem bloque má efer. L fuerz que cún obre él on lo peo W y W ; l fuerz de rozmieno k ; l fuerz eerior P Y l fuerz que ejerce l uperficie horizonl obre. y y T co W m () m mg T (5) co Remplzndo l ecución (5) en (4), reul m gg 9,81g3 m 5,66 m/ (6) 1

22 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 l uiuir ee lor de l celerción en l ecución (3) e iene. Problem 4 P 98,1 5(5, 66) P 39,6 El bloque de kg decn obre l plc de 6 kg en l poición indicd en l figur. Deprecindo l m de l cuerd y pole y uilizndo lo coeficiene de rozmieno indicdo. Deermine el iempo necerio pr que el bloque delice,5 m obre l plc cundo el iem e uel dede el repoo T m T W en3 m T m gen3 m (9,81)(,5), (169,91) T 13,8 () k En l figur e muer el DL y cinéico de. Sobre él cún l fuerz: L enión en el cble T, el peo del bloque W, l fuerz ejercid por el bloque obre l plc,, l fuerz de rozmieno enre l plc y el bloque, k y l fuerz de rozmieno enre l plc y el plno inclindo k. plicndo l ecucione de moimieno l plc e iene. En l figur e muer el DL y cinéico de. Sobre él cún l fuerz: l enión en el cble T, el peo W, l fuerz ejercid por l plc obre el bloque, y l fuerz de rozmieno cinéico k. W co 3 m () y y m W co3 m g co3 169,91 6(9,81) co 3 679, 65 (3) m W en3 T m ' k k m gen3 T m 6(9,81)(, 5), (169, 91),1(679, 65) T 6 19,35 T 6 (4) plicndo l ecucione de moimieno egún l direccione mord e iene y y W co 3 m () m g co 3 (9,81) co 3 m 169,1 (1) Undo cinemáic de moimieno dependiene e deermin l relción enre celercione. L (5)

23 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 En l figur e muer el DL y cinéico pr el bloque : obre ee cún, el peo W ; l fuerz ejercid por el plno obre, l fuerz ejercid por obre P y l fuerz de rozmieno k,. Reoliendo imulánemene l ecucione (), (4) y (5), e obiene l celerción del bloque y l plc.,75 m/ Pr deerminr el iempo que demor el bloque en recorrer,5 m obre l plc e deermin l celerción reli de con repeco, e decir (,75 iˆ) (,75 iˆ) / / (1,5 iˆ ) m / Debido que l celerción reli e conne y dirigid hci rrib e iene Problem 5 1 / 1,5m ( ) (,75 m / ),186 plicndo l ecucione de moimieno, egún el iem de referenci mord, enemo P y y W co m () m g co 15(9,81)(4 / 5) m 117, 7 (1) m P W en m k, P m gen m k, 15(9,81)(3/ 5),5(117, 7) 15 P 9, () En l figur e muer el DL y cinéico del bloque : obre ee cún, el peo W ; l fuerz ejercid por el plno obre,, l fuerz ejercid por obre P y l fuerz de rozmieno k,. L m de lo bloque y de l figur on de 15 y 1 kg, repecimene. Lo coeficiene de fricción on de,5 enre y el plno y, enre y el plno. Deermine l mgniud de l fuerz reulne que e derroll enre lo bloque l dejrlo libre. Lo bloque e encuenrn en repoo en el inne inicil. plicndo l ecucione de moimieno, egún el iem de referenci mord, enemo y y W co m () m g co 1(9,81)(4 / 5) m 78,48 (3) 3

24 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 k, k, 1(9,81)(3/ 5) P, (78, 48) 11 m W en P m m gen P m 43,16 P 1 (4) Debido que mbo bloque mueen juno, enonce, l celerción de mbo bloque on igule. demá de cuerdo l ercer ley de ewon, L ecucione () y (4) e ecriben P 9, ,16 P 1 plicndo l ecucione de moimieno, egún el iem de referenci mord, enemo y Pen3 W co 3 m () m,5p 3(9,81) co 3,5P 5, 49 (1) m mgen3 P co 3 m 3(9,81) en3 P co 3 m y k k 49,5,866P,(,5P 5,49) 3,9 m / P 14,7 Problem 6 Un collr de 3 kg deciende lo lrgo de un brr como e muer en l figur. undo u elocidd e de 3 m/ e plic un fuerz horizonl por medio de un cble. Suponiendo que el coeficiene de rozmieno enre el collr y l brr e de,. Deermine el módulo de l fuerz pr que el collr recorr 1 m má obre l brr ne de deenere. 9,6,966P 3 () omo l fuerz eerior P e conne, el moimieno del collr erá uniformemene rido, enonce l celerción del collr e deermin de l cinemáic, eo e. d f i (3 m / ) ( )(1 m) 4,5 m / l remplzr e lor de l celerción obenido en l ecución () e iene 9, 6,966P 3( 4,5 m / ) P 3,93 Problem 7 En l figur e muer el DL y cinéico del collr: obre ee cún, el peo W; l fuerz ejercid por l rill obre el collr,, l fuerz P y l fuerz de rozmieno k. Lo bloque y de 9 kg y 14 kg de m, repecimene, eán delizndo hci debjo de un plno inclindo, como e muer en l figur. El coeficiene de fricción cinéic enre y el plno e,3; y enre y el plno e,. Deermine: () l fuerz en l brr que conec y i e iene un m deprecible y (b) l celerción de lo bloque. 4

25 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 En l figur e muer el DL y cinéico del bloque : obre ee cún, el peo W ; l fuerz ejercid por l rill obre el bloque, T y l fuerz de rozmieno k,. 118,94 (3) m W en3 T m k, m gen3 T m k, 14(9,81)(1/ ) T, (118,94) 9 44,88 T 14 (4) Teniendo en cuen que ecucione () y (4), e iene, l reoler l,87 m / plicndo l ecucione de moimieno, egún el iem de referenci mord, enemo T 4,6 y y W co 3 m () m g co 9(9,81)( 3 / ) m 76,46 (1) m W en3 T m k, m gen3 T m k, 9(9,81)(1/ ) T,3(76, 46) 9 Problem 8 El cuerpo de 9 kg mordo en l figur decn obre un plno lio. L fuerz plicd l cuerpo e incremen muy lenmene prir de cero. Deermine el lor máimo que puede dquirir l fuerz in que el cilindro lio de 6 kg lg del cuerpo por el puno 1,1 T 9 () En l figur e muer el DL y cinéico del bloque : obre ee cún, el peo W ; l fuerz ejercid por l rill obre el bloque, T y l fuerz de rozmieno k,. En l figur e muer el DL y cinéico del iem compueo por el cilindro má el cuerpo. L fuerz que cún on: el peo de, W, el peo del cilindro, W, l fuerz de rección que ejerce el pio obre el cuerpo, y l fuerz eern P. plicndo l ecucione de moimieno, egún el iem de referenci mord, enemo y y W co 3 m () m g co3 14(9,81)( 3 / ) m 5

26 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 plicndo l ecucione de moimieno, egún el iem de referenci mord, enemo m P ( m m ) () El iempo que demor el bloque en deenere, (b) L dinci que recorre el bloque dede que e le plic l fuerz h que el bloque e deiene y (c) L poición del bloque 1 depué de que e plicó l fuerz. En l figur e muer el DL del cilindro en l poición críic. L fuerz que cún on l rección y el peo del cilindro W. plicndo l ecucione de moimieno, egún el iem de referenci mordo, e iene En l figur e muer el DL y cinéico del bloque: obre ee cún, el peo W; l fuerz ejercid por el pio obre el bloque y l fuerz eerior. m y, y en m g m () mg en () m, o m (3) Remplzndo l ecución () en (3), reul mg cg m g cg (4) l uiuir l ecución (4) en (1) obenemo m Problem 9 P ( m m ) g cg m P kg kg m (9 6 )(9,8 / )(1 / 5) P m 35,8 El bloque de 3 kg mordo en l figur eá moiéndoe hci l izquierd 6 m/ cundo e le plic l fuerz. L mgniud de l fuerz iene ddo por l ecución, donde e el iempo en egundo. Si l uperficie e li. Deermine: plicndo l ecucione de moimieno, egún el iem de referenci mord, enemo m m 6 3,67, (1) E ecución muer que l celerción e un función del iempo Pre () Tiempo que demor el bloque en deenere i d d d,67, (,67, ) d, 67,1 i ( 6 m / ), 67,1 6,7 6 5,9 R () 6

27 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 Pre (b) Dinci recorrid h deenere, 67,1 i 6, 67,1 d d 6, 67,1 En l figur e muer el DL y cinéico del bloque: obre ee cún, el peo W; l fuerz ejercid por el pio obre el bloque, l fuerz eerior y l fuerz de fricción cinéic k. Seprndo rible e inegrndo e obiene l poición en culquier iempo L dinci erá d d [ 6, 67,1 ] d [ 6, 67,1 ] d d 3 6,34, 3 (3) 5,9 [ 6, 67,1 ] d d 6(5, 9), 67(5, 9).3(5, 9) d 17,46 m 3 R Pre (c). L poción cundo = 1 depué de plicr erá 1 Problem 1 1 6,34, 3 3 6(1),34(1), 3(1) 6,83 m R 3 El bloque de 5 de peo, mordo en l figur eá moiéndoe hci bjo 6 m/ cundo e le plic l fuerz reiene. L mgniud de l fuerz reiene iene ddo por l ecución, donde e l elocidd innáne en m/. Si el coeficiene de rozmieno enre el bloque y el plno inclindo e,. Deermine: () l elocidd del bloque l cbo de 5 e, (b) L dinci que recorre el bloque durne lo primero 5 y (c) L elocidd límie que lcnz el bloque. plicndo l ecucione de moimieno, egún el iem de referenci mord, enemo y W co m() W co 5 (,94) m 34,9 (1) Wen m W Wen3 g 5 5 (,34) 7,3,3(34,9 ) 9,8 38,53 7,3 5,51 y m k k (1,51, 9 ) m / () Pre (). Velocidd del bloque l cbo de 5. debido que l celerción e función de l elocidd e procede inegrr l ecución () pr deerminr lo olicido d (1,51, 9 ) m / d d d (1,51,9 ) 6 m/ ln(1,51, 9 ) 9 6 1,51, 9, 3e 5,1,79e,9,9 undo = 5, e iene 5 5, 1, 79e,9(5,) 5,395 m/ R 7

28 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 Pre (b). Dinci recorrid durne 5 egundo. Se obiene prir de l ecución que relcion l elocidd en función del iempo, e decir d 5 d d,9,9 [5,1,79 ],9,9 5,1,7e,7 5 5,1,79e d e d,79 5,1 e,9 5, 1(5), d,9(5 ) 7e,7 8,13 m R Pre (c). Velocidd límie o erminl del bloque. L elocidd límie e quell elocidd que e obiene hciendo cero l celerción, e decir de l ecución () enemo plicndo l ecucione de moimieno, egún el iem de referenci mord, enemo m, T m e W g T k T 417 1,76 (1) (1,51, 9 ) m / 1,51 L m /,9 5, 1 m / R L En l figur e muer el DL y cinéico del bloque : obre ee cún, el peo W y l fuerz de enión en el cble T. Problem 11. El crro y el bloque de l figur pen 15 y 5, repecimene. Lo bloque eán en repoo y el reore de conne k = 417 /m eá indeformdo cundo lo bloque e encuenrn en l poición mord en l figur. Deermine l elocidd y l celerción del bloque cundo eé,3 m debjo de u poición inicil. plicndo l ecucione de moimieno, egún el iem de referenci mord, enemo m y, y W T m W 5 T g 5 T 5,51 () plicndo cinemáic de moimieno dependiene enemo L (3) En l figur e muer el DL y cinéico del crro : obre ee cún, el peo W ; l fuerz ejercid por el pio obre el bloque, l fuerz de enión en el cble T y l fuerz eláic en el reore e. Remplzndo l ecución (3) en (1), reul T 417 1,7 (4) 8

29 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 Sumndo l ecucione (1) y (), e iene , 1 6,54 1,91 (5) Pre (). Velocidd de cundo h recorrido,3 m d 6,54 1,91 d d,3 [6,54 [6,54 1,91 ] d 1,7 m / 5,455 ],3m. R Pre (b). celerción del bloque cundo h decendido,3 m. de l ecución (5) e iene Problem 1 6,54 1,91(, 3) 3, 7 m / R L cden fleible mord en l figur pe 8,3 /m. El coeficiene de rozmieno cinéico enre l cden y el plno e de,. Si e uel l cden priendo del repoo en l poición que e muer. Deermine: () l elocidd en el inne en que od ell lcnce l poición ericl y (b) el iempo que rdrá el eremo en bndonr el plno horizonl. omo e conoce el peo por unidd de longiud, l denidd linel de peo e puede eprer por: W W W W L L plicndo l ecucione de moimieno l porción de cden horizonl de longiud (L b), e iene y 1 1, y W m () (1) W ( L b) W ( L b) () k k W m m 1 1, W ( L b) T k g W ( L b) T k W( L b) (3) g En l figur e muer el DL y cinéico del rmo de cden en el plno ericl: obre ee cún, el peo W, l fuerz de enión en el lmbre que une lo elbone T. plicndo l ecucione de moimieno l porción de cden horizonl de longiud b, e iene En l figur e muer el DL y cinéico del rmo de cden en el plno horizonl: obre ee cún, el peo W 1, l fuerz de enión en el lmbre que une lo elbone T, l rección norml del pio obre l cden 1 y l fuerz de fricción cinéic k. y m, y W g W T b g w Wb T (4) Sumndo l ecucione (3) y (4) e iene W ( L b) b ( L b) b g W k W W L b k ( L b) g g [ b k ( L b)] (5) L 9

30 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 Pre (). Velocidd cundo l cden qued ericlmene d g [ b k ( L b)] d L d g [ b k ( L b)] db L g ( L b) 4,8 d [ b k ( L b)] db L b 1,m g b b klb k L (9,8) 4,8 1, (1, ), (6)(4,8) (1, ), (6)(1, ) , 3, 7[13,84 5, 76,864 1, 44] En l figur e muer el DL del cuerpo pr un poición rbirri hci l derech del bloque 5,3 m/ R Pre (b). Tiempo que rd en bndonr el eremo de l uperficie horizonl. g b d [ b k ( L b)] db L 1,m g b b klb k L b b b 1, 3, 7, 6 1,,576) db b b d 4,8 1,96 3,9 1,88 db 1,96b 3,9b 1,88 1, 4,8 1, db 1,96b 3,9b 1,88 d plicndo l ecucione de equilibrio, egún el iem de referenci mord, enemo (3 m ) (1,7 m) W (3 m) (3 ) (1,7) m g(3) (3 ), 8 (1, 7) (9,8)(3) k k M O 588 3,476 (1) En l figur e muer el DL y cinéico del bloque. L fuerz que cún on. L fuerz de rección que ejerce obre, L fuerz de rección que ejerce el pio obre, l fuerz de fricción en l uperficie de conco uperior e inferior k y k, el peo del bloque W y l fuerz de = 1 k. Problem 13. Se plic un fuerz de 1 k obre un cuerpo cuy m e de 15 kg. El cuerpo iene un m de kg. uál e l elocidd de depué de recorrer 3 m?. onidere que el coeficiene de rozmieno cinéico pr od l uperficie en conco e,8. El cenro de gredd del cuerpo e encuenr en u cenro geomérico. 3

31 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 plicndo l ecucione de moimieno, egún el iem de referenci mord, enemo m y, y W m m g () () 3,476 m, m ' k k m k k ( ) m k (588) 1, ,476 39, 8 d 9958, ,476 d Seprndo rible e inegrndo e iene 3m d d 1,95 3,476 En l figur e muer el DL y cinéico del bloque pr un poición rbirri hci bjo. L fuerz que cún on el peo de W y l enión en el cble T - plicndo l ecucione de moimieno enemo y, y 1(9,81) T T 1 (1) m m g T m En l figur e muer el DL de l pole móil P, pr un poición rbirri hci bjo. L fuerz que cún on l enión T y l enión en el cble inferior T - 6, 44 m / R Problem 14 Un bloque de 1 kg eá unido un conrpeo de 5 kg medine un cble dipueo como e muer en l figur. Si el iem e bndon dede el repoo. Deermine: () l enión en el cble, (b) l elocidd de rncurrido 3 y (c) l elocidd de cundo recorrido 1, m. plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene y P P, y T 3T ( ) T P, y 3 T () m En l figur e muer el DL y cinéico del bloque pr un poición +y hci bjo. L fuerz que cún on el peo de W y l enión en el cble T - 31

32 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene y, y 5(9,81) T 5 45, 5 T 5 (3) m m g T m En l figur e muer el DL y cinéico del bloque. Sobre él cún l iguiene fuerz: l enión en el cble T, y el peo del mimo W. Undo cinemáic de moimieno dependiene, e deermin l relción enre celercione 3 L 3 3 (4) Reoliendo imulánemene (1, (), (3) y (4) e obiene T 3 (5),75 m / (6),5 m / (7) Pre (b). Velocidd de depué de 3 de inicido el moimieno.5(3) 6,75 m / plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene T T m y, y T m g m 1, (9,81) 1, 9,81 (1) En l figur e muer el DL y cinéico del bloque. Sobre él cún l iguiene fuerz: l enión en el cble T, y el peo del mimo W, l fuerz ejercid por l rill y l fuerz eern P. Pre (c). Velocidd de depué que h recorrido 1, m depué inicido el moimieno d (,75)(1, ) 1,34 m / Problem 15 El iem repreendo en l figur eá inicilmene en repoo. Deprecindo el rozmieno. Deermine: () l mgniud de l fuerz neceri pr que l elocidd de l delizder e de 4 m/ cundo hy recorrido 5 mm hci l derech y (b) l enión correpondiene en el cble. onidere que l m de lo bloque y on 1kg y 3 kg, repecimene. plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene y, y () m g 3(9,81) 9, 43 m W m P T m, P T 3 () Uilizndo cinemáic de moimieno dependiene, e encuenr l relción de celercione. E decir L 3

33 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 (3) Debido que ejecu un moimieno recilíneo uniforme, u celerción e deermin undo cinemáic del moimieno recilíneo. Eo e En l figur e muer el DL y cinéico de l efer. Sobre él cún l iguiene fuerz: l enión en el cble T, y el peo de l efer W. d 4 (,5 m) 16 m / L celerción del bloque erá m (16 / ) 3 m / Pre (). L enión en el cble erá T 9,81 T (9,81 3) T 41,81 R Pre (b) L fuerz P e deermin de l ecución () plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene m y, y T m g m (1) En l figur e muer el DL y cinéico de l pole P Sobre ell cún l iguiene fuerz: l enión en el cble T, y l enión T, el peo de l pole egún el enuncido del problem e deprecible. P (41,81 ) 3(16 m / ) P 131, 6 R Problem 16. En el prejo mordo en l figur l efer iene un m η = 1,8 ece myor que l de l brr. L longiud de l úlim e L =1 cm. L m de l pole y de lo hilo, í como el rozmieno, on deprecible. L efer e eblece un mimo niel con el eremo inferior de l brr y e uel dede el repoo. l cbo de qué iempo é e igul con el eremo uperior de l brr. plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene T T ( ) P T T () En l figur e muer el DL y cinéico de l brr. Sobre ell cún l iguiene fuerz: l enión en el cble T, y el peo de l brr W. plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene 33

34 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 m y, y T m g m ( ) m g T m (3) Remplzndo l ecución () en (1) reul T m g m (4) Se deermin l relción enre celercione uilizndo cinemáic de moimieno dependiene. uerd que une l eper y l pole P P P P L 1 (5) El iempo que demor l efer en lcnzr el eremo uperior de l brr erá Problem m (1, 15 m / ) 1,4 R Sbiendo que el iem mordo en l figur pre del repoo. Deermine l elocidd en el inne = 1, de: () el collr y (b) el collr. Deprecie l m de l pole y el efeco de l fricción. uerd que une l brr y l pred ( P) ( Q P) L ( ) ( ) L P Q P (6) Q P Remplzndo l ecución (5) en (6), reul (7) Reoliendo imulánemene l ecucione (3), (4) y (7), obenemo En l figur e muer el DL y cinéico del collrín. Sobre él cún l iguiene fuerz: l enión en el cble T, el peo del collrín W y l fuerz ejercid por l rill obre el collrín. ( m m) g m 4m (8) Según el enuncido del problem m = 1,8 m, l ecución (8) e ecribe ( m m) g [m 1,8 m ](9,8) m 4m 1,8m 4m,338 m / L celerción de l brr erá (,338 m / ),677 m/ L celerción reli de l efer con repeco erá,338 ˆj (, 677 ˆj ) / / (1,15 ˆj ) m / plicndo l ecucione de moimieno l collrín, egún el iem de referenci mordo, e iene, T T m T, 7,5 (1) m En l figur e muer el DL y cinéico del collrín. Sobre él cún l iguiene fuerz: l enión en el cble T, el peo del collrín W, l fuerz ejercid por l rill obre el collrín y l fuerz eern de 34

35 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 Problem 18 Un bloque de 5 kg decn obre un uperficie inclind y un conrpeo de 15 kg e une l cble en l form indicd. Si e ignor l fricción. Deermine l celerción de y l enión en el cble inmedimene depué de que el iem empiez moere dede el repoo plicndo l ecucione de moimieno l collrín, egún el iem de referenci mordo, e iene m, T m, T 1 () Remplzndo l ecución (1) en (), reul 15 1 (3) Undo cinemáic de moimieno dependiene e deermin l relción enre l celercione de mbo collrine. Debido que eie un moimieno relio de con repeco, e necerio enconrr l relción enre l celercione, pr eo e rz el iem de referenci mordo en l figur ( ) L L (4) (5) (6) Remplzndo l ecución (6) en (3), e iene 15( ) 1,5 m / 1, m / Pre (). Velocidd de depué de 1,. omo l celerción e conne e plic l ecucione de MRUV, e decir m, 1, / (1, ) 1, m/ R Pre (). Velocidd de depué de 1,. omo l celerción e conne e plic l ecucione de MRUV, e decir m,,5 / (1, ),6 m/ R plicndo cinemáic de moimieno dependiene e iene y / conne (1) Derindo l ecución (1) repeco l iempo do ece e obiene l relción enre l celercione. / () L relción ecoril de l celerción reli de con repeco erá iˆ ˆ j (3) / / En l figur e muer el DL y cinéico del bloque. Sobre él cún l iguiene fuerz: l enión en el cble T, el peo del collrín W y l fuerz ejercid por el bloque obre. 35

36 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 4 T 134, 8 (7) Remplzndo l ecución () en (5) enemo 15 T 138, 76 (8) Sumndo l ecucione (7) y (8), no d plicndo l ecucione de moimieno l bloque, egún el iem de referenci mordo, e iene, m gen m m 15(9,81) en 15 5,38 (4) m y, y m g co T m / 15 T 15(9,81) co / 15 T 138, 76 (5) / m En l figur e muer el DL y cinéico del bloque má l pole. Sobre él cún l iguiene fuerz: l enión en el cble T, el peo del bloque W y l fuerz ejercid por el bloque obre = y l fuerz ejercid por el pio obre el bloque. 55 4,68 m m,74 /,,74 / R Remplzndo l celerción obenid en l ecución (7), reul Problem 19 4(, 74) T 134, 8 T 137, R El loque de 4 kg mordo en l figur e conec l bloque de 8 kg medine un cuerd de 1,5 m que p por l pole li ubicd en. l rnur horizonl e li. undo =,8 m l elocidd del bloque e 1, m/ hci l derech. Sbiendo que l fuerz P iene un mgniud de 5 y e horizonl odo el iempo, deermine: () l celerción del bloque y (b) l enión en l cuerd. plicndo l ecucione de moimieno l bloque, egún el iem de referenci mordo, e iene En l figur e muer el DL y cinéico del bloque. Sobre él cún l iguiene fuerz: l enión en el cble T y el peo del collrín W, m gen T m 5 T 5(9,81) en 5 T 83,88 (6) m Sumndo l ecucione (4) y (6) y eniendo en cuen que =, reul plicndo l ecucione de moimieno l bloque, egún el iem de referenci mordo, e iene 36

37 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 m y, y T W m y,9,36,8 y,1m T T m g m 39, 4 4 (1) En l figur e muer el DL y cinéico del bloque. Sobre él cún l iguiene fuerz: l enión en el cble T, el peo del collrín W, L fuerz ejercid por el pio obre el bloque y l fuerz eern P. Derindo l ecución (4) repeco del iempo e obiene l relción enre l elocidde. E decir dy d 1 1/,36 ( ),36 (6) d d Si l elocidd de e = 1, m/, l elocidd del bloque erá,8 m(1, m / ),36,8 m,96 m / (7) plicndo l ecucione de moimieno l bloque, egún el iem de referenci mordo, e iene y, y m Ten W m m g Ten () 78, 48 Ten () m, P T co m 5 Tco 8 (3) De l gráfic puede oberre que cundo =,8 m, el ángulo θ erá g,6 3, Derindo l epreión de l elocidd repeco del iempo e iene. d d,36,36 [,36 ] 3,5,8 (8) Reoliendo imulánemene l ecucione (1), (4) y (8), e obiene Problem. T 1,6 m / 46,5 Un cj de 3 kg decn obre un crro de kg, iendo el coeficiene de rozmieno eáico enre mbo,5. on l condición de que l cj no delice obre el crro. Deermine: () el máimo lor de l mgniud de. (b) l celerción correpondiene del crro. Un ez deermindo el ángulo e procede remplzrlo en l ecución (3) obeniéndoe: 5 T(4 / 5) 8 (4) Deerminemo hor l relción enre l celercione, uilizndo cinemáic de moimieno dependiene, e decir L y y (, 6 ), 6 1,5,9, 6 (5) undo =,8m de l ecución (5) e iene Primero upondremo que l fuerz P e uficienemene pequeñ de l mner que l cj no e deplz obre el crro. jo e condicione e rz el DL y cinéico del iem crro má cj: l fuerz que cún on el peo W T = W + W ; l rección norml y l fuerz eern P. 37

38 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 m g 73,575, 5(3)(9,81) Remplzndo ee lor en l ecución (4), e iene 73,575, 6P P m m 1, 63 R plicndo l ecucione de moimieno l iem, egún el iem de referenci mordo, e iene, P ( m m ) (3 ) P 5 (1) m En l figur e muer el DL y cinéico de l cj. L fuerz que cún on, el peo W y l fuerz de rozmieno eáic l que le comunic l celerción. l remplzr el lor de l fuerz P m obenido en l ecución (1) e obiene Problem 1 1,63 5, 45 m / R Un cj de 3 kg decn obre un crro de kg, como e muer en l figur. Si lo coeficiene de rozmieno enre mbo on =,5, k =, y l fuerz eerior plicd e de P = 15. Deermine: () l celerción del crro, (b) l celerción de l cj y (c) l celerción reli de l cj repeco l crro plicndo l ecucione de moimieno l bloque, egún el iem de referenci mordo, e iene y, y () m g 3(9,81) 94,3 () m m g m, 3 (3) m Del problem nerior e ober que l fuerz máim que e puede plicr l crro in que delice el bloque e P m =1,63. Pero en ee problem l fuerz plicd obre el crro e P = 15, enonce eiirá delizmieno enre l cj y el crro jo e condicione e rz el DL y cinéico de l cj : l fuerz que cún on el peo W ; l rección norml y l fuerz de rozmieno cinéic Remplzndo l ecución (1) en (3), reul P 3 5, 6 P (4) De l ecución (4) e concluye que l crecer l fuerz P, l fuerz de rozmieno eáic mbién umen. Sin embrgo, dich fuerz no puede umenr indefinidmene ino h lcnzr u lor máimo ddo por plicndo l ecucione de moimieno l bloque, egún el iem de referenci mordo, e iene 38

39 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 y, y () m g 3(9,81) 94,3 () m m g m un ángulo θ = 4 con l ericl. Deermine: () l enión en l cuerd y (b) l celeridd. k k, k m g g 1,96 m / m m m, (9,81) R En l figur e muer el DL y cinéico del crro : l fuerz que cún on u peo W, l fuerz que ejerce l cj obre el crro, l fuerz que ejerce el pio obre l lln del crro repreend por y l fuerz eern P. En l figur e muer el DL y cinéico de l efer. L fuerz que cún on l enión en el cble T y el peo W de l efer plicndo l ecucione de moimieno l bloque, egún el iem de referenci mordo, e iene Problem. y, y m m g m m g m g 49,5 m, P m k 15 m () 15, (94,3 ) 4,56 m/ k R Un efer de pequeñ dimenione y m m = 5 kg e uje un cuerd de longiud L = m pr hcerl girr decribiendo un circunferenci horizonl celeridd conne o. Sbiendo que l cuerd form plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene z m T co mg m() T T (64, 3 )( en4 ) Problem 3. mg 5(9,81) co co 4 64, 3 R Ten n m 3,5 m / z n m R 5 ( m ) en4 R Do lmbre y eán unido un efer de 5 kg. Si e hce gir l efer de modo que decrib un circunferenci horizonl celeridd conne. Si θ 1 39

40 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 = 6 y θ = 3, d =1, m y l enión en lo lmbre e l mim. Deermine: () l elocidd y (b) el lor de l enión. Ten3 T1en6 5 R, 5T,866T 5 R 1, 366T 5 (3) R De l geomerí de l figur e iene que riángulo O en el O Og 3 R ( d ) g 3 (4) De l geomerí de l figur e iene que riángulo O en el O Og6 R g 3 (5) De l ecucione (4) y (5) e iene En l figur e muer el DL y cinéico de l efer. L fuerz que cún on l enione en lo cble T 1, T y el peo W de l efer ( d ) g3 g3 (1, m ) g 3 g6 ( g 6 g3 ) (1, m) g 3,6m R,6g6 R 1,39 m Remplzndo l ecución (1) y el lor de R en l ecución (3) reul 5( ) 1,366(35,91 ) 1,39 3,19 m / R plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: Dirección z T co T co mg m() 1 1 z co 3 1 co 6 5 (9,81 / ),866T,5T 49, 5 (1) 1 m T T kg m z Problem 4. El bloque que iene un m de 3 g eá unido l érice del cono circulr reco por medio de un cuerd liger. El cono eá girndo un rpidez ngulr conne lrededor del eje z de l modo que el bloque dquiere un rpidez de,6 m/. e rpidez deermine l enión en l cuerd y l rección norml que ejerce el cono obre el bloque. Deprecie el mño del cono en el cálculo. Teniendo en cuen que l enione on igule Dirección norml n,866t,5t 49, 5 T 35,91 () n m T en T1 en 1 m R n 4

41 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 En l figur e muer el DL y cinéico de l efer. L fuerz que cún on l enión en el cble T, l rección norml y el peo W de l efer Problem 5 T 3,7,81 El mrco mordo en l figur gir lrededor de un eje ericl. El coeficiene de fricción enre el bloque de 15 kg y l plform e =,4. Deermine el coeficiene de fricción enre el bloque de 1 kg y l uperficie ericl i el bloque empiez ubir cundo el mrco gir con un rpidez ngulr = 4 rd/. plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: z T co en mg m() T co en mg (1) m z Ten co m R n m De l geomerí de l figur e iene n () En l figur e muer el DL y cinéico del bloque. L fuerz que cún on l enión en el cble T, l rección norml, l fuerz de fricción, y el peo W del bloque g R 3mm 37 (3) 4mm,15en,15(,3/.5) R, 9 m (4) Remplzndo el lor de R y el ángulo θ en l ecucione (1) y () e iene T en kg m co (,3 )(9,81 / ),8T, 6,94 (5) (,6 m/ ) Ten37 co37 (,3 kg)[ ],9m, 6T,8 1, (6) Reoliendo imulánemene l ecucione (5) y (6) e iene plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene:,,,4(15 )(9,81 / ), z z m m g m m g () (1) m g kg m 58,86 () m n n T m m r, r 41

42 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 T kg rd m 58,36 15 (4 / ) (,9 ) T 58,86 16 T 157,14 (3) En l figur e muer el DL y cinéico del bloque. L fuerz que cún on l enión en el cble T, l rección norml, l fuerz de fricción, y el peo W del bloque En l figur e muer el DL y cinéico del bloque. L fuerz que cún on l rección norml, l fuerz de fricción k cuyo enido e opueo l moimieno e decir eá dirigido hci rrib y l derech y el peo W del bloque plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene:, z z () T 98,1 (4) m T m g m T m g kg m n n r 1 (9,81 / ) (1 )(4 / ) (1, ) m m m r kg rd m 19 (5) Remplzndo l ecucione (3) y (5) en (4) reul Problem 6 157,14 (19 ) 98,1,31 R El bloque de m m repreendo en l figur e deliz en un pi circulr conenido en un plno ericl cuyo rdio e r =, m. El coeficiene de fricción cinéic enre el bloque y l pi e k =,3. En l poición repreend l elocidd del bloque e 3 m/ en el enido de deceno. Deermine l celerción del bloque en ee inne. plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: mg co m r mg co m r m(9,81 m / )(3/ 5) m n m(1,4) (1) m n (3 m/ ) m m(9,81 m / )(4 / 5),3 m m(7,848),3 m () k k m mgen m mgen m Remplzndo l ecución (1) en (), reul m(7,848),3(1, 4 m) m 4,73 m/ L celerción norml eá dd por 4

43 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 n n r 3 m/ m 4,5 m / L celerción ol del bloque cundo p por el puno erá n 4,73 / 4, 5 / m m Problem 7 6, 54 m / Un prícul de m m e muee en un cnl cilíndrico priendo dede el repoo cundo θ =. Deermine l rección norml que ejerce el cilindro obre l prícul en culquier poición θ. Undo l definición de celerción ngencil l ecución () puede ecribire d d d d d d gco d d gco d g co d g co d( R ) d gr co d gren (3) Remplzndo l ecución (3) en (1) no d ( gren ) mgen m R 3 mgen R Problem 8 Un prícul de m m inicilmene en repoo en deliz hci bjo en un plno ericl prir de l cim de un ro lio, de rdio R, como e muer en l figur. Deermine: () el puno donde l prícul bndon l uperficie li y l elocidd de l prícul en ee inne, (b) qué dinci L del puno de poyo del ro ce l prícul. En l figur e muer el DL y cinéico de l prícul en culquier poición θ. L fuerz que cún on l rección norml, y el peo W de l prícul plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: n m mgen m R n En l figur e muer el DL y cinéico de l prícul en culquier poición θ. L fuerz que cún on l rección norml, y el peo W de l prícul mgen m R (1) mg co m gco () m 43

44 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: n m mg co m R mg co m (1) R n mgen gen m m () Moimieno horizonl: e MRU (co ),56 R(co ) (7) m m Undo l definición de celerción ngencil l ecución () puede ecribire d d d d d d gen d d gen d gen d gen d( R ) m d gr en d gr co m m gr 1 co (3) Remplzndo l ecución (3) en (1), reul gr 1 co mg co m m R 3mg co mgr (4) m m En el puno donde l prícul bndon l uperficie, enonce e iene 3mg co mgr m co m m 48, (5) 3 l remplzr l ecución (5) en (3) reul gr(1 / 3),56 R (6) gr 3 Un ez que l prícul bndon l uperficie cilíndric e moerá bjo l cción de l gredd decribiendo un ryecori prbólic. Moimieno ericl: e un moimieno rido con celerción igul l de l gredd 1 y ( en m ) g 1 y R en g,56 ( m ) (8) undo l prícul impc en el pio hbrá recorrido un dinci horizonl d y decendido un lur ericl, enonce l ecucione 7 y 8 e ecriben d,56 R(/ 3) 1,71 R (9) d 1,71 ( R R co 48, ),56 R( en48, ) 4,95 R R(1/ 3) 1,98 R 4,95 d d R(1/ 3) 1,98 R 4,95 1,71 R 1,71 R d R(1/ 3) 1,1d 1, 68 R d,7r L longiud L olicid erá L Problem 9 Ren m d Ren48,, 7R L 1, 47 R R Un eferi de m m e uel dede el repoo en el puno y ocil en un plno ericl en el eremo de un cuerd de longiud L. Deermine: () l 44

45 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 componene ngencil de l celerción en el puno en función del ángulo θ, (b) l elocidd en el puno en función de θ, θ y L, (c) l enión en l cuerd en función de m, g y θ cundo l efer pe por l poición má bj de u ryecori, (d) el lor de θ i l enión en l cuerd e T = m g cundo l efer p por el puno d d d d d d gen d d gen d gen d gen d( L ) d gl en d gr co co (3) R gr co gr co co Pre (c). pr deerminr l enión en el puno, e remplz el lor del ángulo θ = en l ecución (3). E decir En l figur e muer el DL y cinéico de l prícul en culquier poición θ. L fuerz que cún on l enión en el cble T, y el peo W de l prícul gl(co co ) gl(1 co ) (4) Remplzndo ee lor en l ecución (1), e iene m T mg gl L T mg(3 co ) (5) R co [ (1 co )] Pre (d) álculo de θ cundo T = mg. Ee lor e obiene remplzndo el lor de l enión en l ecución (4). E decir Pre () plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: n m T mg co m L T mg co m (1) R mgen gen n m m () R Problem 3 mg mg(3 co ) 1 co 1/ co (1/ ) 6 R Un efer pequeñ de m m e dej cer en un recipiene hemiférico lio de rdio inerior R que e encuenre girndo lrededor de un eje ericl con un rpidez ngulr conne rd/. inlmene l efer qued en repoo repeco l recipiene en l poición mord. Deermine el ángulo θ que define e poición de equilibrio con relción l recipiene. El igno meno (-) de l ecución () indic que l celerción ngencil iene un enido opueo l poición ngulr θ. Pre (b). Undo l definición de celerción ngencil, l ecución () puede ecribire 45

46 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 En l figur e muer el DL y cinéico de l efer en l poición θ. L fuerz que cún on l enión en el cble, y el peo W de l efer. En l figur e muer el DL y cinéico de l efer en l poición θ. L fuerz que cún on l enión en el cble, y el peo W de l efer. plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: z co mg m() m mg / co (1) en m r n z m n () Remplzndo l ecución (1) en (9, reul. Problem 31 ( mg / co en m Re ) ( )( n ) co co 1 g R g R R L efer de pequeñ dimenione un rpidez recorriendo un circunferenci horizonl en el inerior de un cono reco de be circulr como e muer en l figur. Epree l elocidd en función de l lur y de l ryecori obre el érice del cono. plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: z en mg m() m mg / en (1) n co / () z m m r Remplzndo l ecución (1) en (9, reul ( mg / en )co g r cg De l figur djun e ober que r r y y h h cg h n (5) m r (3) (4) Remplzndo l ecucione (4) y (5) en l ecución (3) reul h g y g y h R Problem 3 En el eremo de un plno inclindo un ángulo θ decn un bloque pequeño de m m. El plno inclindo gir uniformemene lrededor de un eje ericl con un rpidez ngulr. Si l dinci del cenro de gredd del bloque l eje de giro e R. Deermine el lor del coeficiene de rozmieno 46

47 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 eáico pr que el boque e mneng inmóil repeco l plno inclindo girorio. Problem 33 L czole cónic gir lrededor de u eje ericl l rpidez ngulr conne de 6 rpm rrrndo con ell do efer. Si cd efer iene un m de 3,6 kg y eán ubicd iméricmene un dinci R = 4,5 cm del eje de giro. Deermine l fuerz de conco enre cd efer y l uperficie ericl de l czole. En l figur e muer el DL y cinéico de l efer en l poición θ. L fuerz que cún on l rección ejercid por l uperficie obre el bloque, l fuerz de fricción eáic y el peo W del bloque En l figur e muer el DL y cinéico de l efer izquierd. L fuerz que cún on l fuerz que ejerce l pred ericl obre l efer, l fuerz que ejerce l uperficie inclind de l czole y el peo W de l efer plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: z co en mg m() co en mg (1) m z n m en co m R en m R co () Diidiendo l ecucione () y (1) reul co en en co R co g co n R g gen Ren Pr que l ecución nerior e cumpl e necerio que g co Ren g g R plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: z co 3 mg m() m mg / co3 (1) n z m en m R 3 () Remplzndo l ecución (1) en () reul m g g3 m R m R ( g g3 ) 3,6[( ) (,54) 56, 48 R n 9,81( g3 )] 47

48 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 Problem 34 El rnpordor de bnd que e muee celeridd conne, p por un pole guí, como e muer en l figur. Sobre el rnpordor e coloc un erie de pequeño pquee pr er rnpordo. Sbiendo que el coeficiene de rozmieno enre lo pquee y l bnd e,75. Deermine el lor máimo de con l finlidd que lo pquee no delicen obre l bnd rnpordor mgg3 mg co g3 9,81 co, 75,,97 m/ R Problem 34 m R En un uperficie eféric de rdio R e encuenr un cuerpo de m m. El coeficiene de fricción enre y l uperficie de l efer e y el ángulo enre l ericl y el rdio ecor del cuerpo e. uál erá l elocidd ngulr máim de roción de l efer, pr el cul el cuerpo no e muee con repeco l efer?.. En l figur e muer el DL y cinéico de uno de lo pquee pr un poición θ = con l ericl. L fuerz que cún obre el bloque on l rección norml, l fuerz de fricción eáic dirigid hci rrib y l derech que ei que lo pquee delicen obre l bnd y el peo W del bloque plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: mgen m() mgen mgen = (1) m En l figur e muer el DL y cinéico del cuerpo pr un con l ericl. L fuerz que cún obre el cuerpo on l rección norml, l fuerz de fricción eáic dirigid hci rrib y l derech que ei que el cuerpo delice obre l uperficie eféric y el peo W del cuerpo. debe oberre que decribe un ryecori circulr en un plno horizonl n m mg m R co / () Remplzndo l ecución (1) en () e iene n plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: 48

49 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 z en co mg m() en co mg (1) n m co en m r co en m r () z m Diidiendo l ecucione () y (1) e iene Problem 35 co en r ( Ren ) en co g g g( cg 1) R( en co ) n R El crro de crrer que iene un m de 17 kg eá ijndo horizonlmene lo lrgo de un pi circulr con un ángulo de perle de θ = y que iene un rdio de curur ρ = 1 m. i el coeficiene de fricción enre l lln y el pimeno e =,. Deermine l rpidez máim l cul puede ijr el crro in delizre hci rrib de l pendiene z en co mg m() co en mg (1) n m m en m co / en m co / () Diidiendo l ecucione () y (1) e iene co en co en g(co en ) co en 1(9,81)(co, en ) co,en Problem 36 4, 41 m/ R n z g Un péndulo cónico conie en un efer que iene 6 kg de m oenid por un hilo de 1,5 m de longiud que gir en orno un eje ericl con un elocidd ngulr conne l que mneng el hilo formndo un ángulo de 3 con l ericl como e indic. Deermine: () l enión en el hilo (b) l celeridd linel de l efer. En l figur e muer el DL y cinéico del crro. L fuerz que cún obre el crro on l rección norml, l fuerz de fricción eáic dirigid hci bjo y l izquierd que ei que el crro delice obre l crreer y el peo W del crro En l figur e muer el DL y cinéico del crro. L fuerz que cún obre el crro on l enión en el cble T, y el peo W de l efer plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: 49

50 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 Remplzndo l ecución (4) en (5) reul Problem 37 67,97 =1,8,5 rd / plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: m m r r r Ten m r r r ( ) ( ) (1) m m( r r ) m( r r ) () z m T co W m() (3) z El miembro O ro lrededor de un eje horizonl que p por O nimdo de un elocidd ngulr conne nihorri = 3 rd/. undo p por l poición θ =, e le coloc un pequeño bloque de m m un dinci rdil r = 45 mm. Si e ober que el bloque rebl pr θ = 5. Deermine el coeficiene de rozmieno eáico enre el bloque y el brzo O. inemáic De l gráfic e ober que l efer decribe un circunferenci de rdio r conne r Len 1,5en3 r r r,75m En l figur e muer el DL y cinéico del crro. L fuerz que cún obre el crro on l rección norml, l fuerz de fricción eáic dirigid hci rrib y l derech que ei que el bloque delice obre l plnc y el peo W del bloque Del enuncido e iene que l efer decribe un moimieno circulr uniform con n e De igul form por er l ryecori un circunferenci de rdio conne, no eie celerción ericl z Remplzndo l cnidde obenid en l ecucione (1), () y (3), reul T co mg T co 3 6(9,81) Ten T T 67,97 (4) 3 6(,9 ),5T 5, 4 1,8 (5) plicndo l ecucione de moimieno egún el iem de referenci mordo, e iene: m m r r r r ( ) mgen m r r 5 ( ) mgen m r r 5 ( ) (1) m m( r r ) mg co 5 m( r r ) () inemáic r r r,45 m 5 3 rd / 5

51 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 Remplzndo eo lore en l ecucione (1) y () e iene m g en5 m(, 45(3 )) 4,5 m m g co5 m[,45() r()(3)] De donde e obiene que m g co5 [ m g co5 ] m g en 5 4, 5 m,55 R 51

52 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 PROLEMS PROPUESTOS. 1. El bloque de 5 kg mordo en l figur decn obre plno horizonl pr el cul el coeficiene de rozmieno e k =,3. Si el bloque eá ujeo l cción de un fuerz remolcdor de 4 como e indic. Deermine: () l celerción del bloque, (b) l elocidd del bloque lo 5 egundo depué de hber prido del repoo. myor celerción que puede eperimenr i lo coeficiene de fricción on =,4 y k =,3 5. El coeficiene de fricción eáic enre l cj y l plform del cmión e =,35. Deermine l dinci mínim de frendo que puede recorrer el cmión, priendo de un celeridd de 76 km/h y iendo conne l celerción del frendo, in que l cj delice hci delne.. L m de l cj mord en l figur e 5 kg y el coeficiene de rozmieno enre l cj y el plno inclindo e,5. Deermine l celerción de l cj omeid l cción de l fuerz horizonl de P = 5. undo u elocidd e: (),5 m/ hci rrib en l dirección del plno inclindo y (b) 5 m/ hci bjo en l dirección del plno inclindo. 6. Un cj de kg decn obre un crro de 1 kg como e muer en l figur. Si lo coeficiene de rozmieno eáico y cinéico enre l cj y el crro on prácicmene igule,75. Deermine l celerción de cd pre cundo l mgniud de l fuerz e: () 15 y (b) Un brr puede moere in fricción no hci rrib como hci bjo enre do cquillo fijo. El eremo inferior de l brr e encuenr en conco con l uperficie inclind de un prim. Si l relción enre u m e igul η y coniderndo deprecible el rozmieno en l uperficie en conco. Deermine l celerción: () de l brr y (b) de l cuñ 7. El puno O e el eje de giro de un péndulo imple que ocil libremene en el plno ericl de l plc. Si e recibe un celerción conne =,5 m/ dirigid plno inclindo θ = 3 hci rrib, ecribir l epreión del ángulo conne β que dop el péndulo r el cee de l ocilcione que iguen el rrnque. Deprecie l m del brzo del péndulo 4. El conducor de un cmión r de remolcr un cj uilizndo un cuerd que poee un fuerz de 9. Si l cj e encuenr inicilmene en repoo y iene un m de 5 kg. Deermine l 8. El coeficiene de fricción eáico enre l cj de 45 kg y el crro de 136 kg e =,5. Deermine l máim fuerz P que e puede plicr l cj in que hcer que reble en el crro 5

53 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 conne poii, derie un epreión pr l profundidd h neceri pr que l efer lcnce un elocidd. 9. Deermine l celercione de lo cuerpo y y l enión en el cble debido l plicción de l fuerz P = 5. Deprecie l fricción y l m de l pole 13. Si lo bloque y mordo en l figur e ueln dede el repoo. Deermine: () l celercione de y, (b) l enión en el cble que oiene y (c) l elocidd que lcnz do egundo depué de inicido el moimieno. 1. Lo bloque y e encuenrn conecdo por un cble de m deprecible que p ré de l pole in fricción y mbién de m deprecible como e muer en l figur. Si lo coeficiene de fricción enre el bloque y el plno inclindo 3 con l horizonl on =, y k =,1. Deermine: () l celerción de cd uno de lo bloque y (b) l enión en el cble. 11. Un cilindro de m m decn obre un crrio be l como e muer en l figur. Si β = 45 y θ = 3. Deermine l celerción pendiene rrib máim que puede comunicre l crrio in que el cilindro pierd conco en. 14. Un brr de longiud l y m deprecible conec el cenro de m del crro M y l pequeñ eferi de m m. Si el crro e encuenr omeido un celerción conne hci l derech. Qué ángulo θ con l ericl form l brr libremene ocilne cundo é lcnz l poición ecionri?. Qué fuerz ne P (no repreend ) e plicrí l crro pr qué ée dquier l celerción epecificd). 1. En un enyo de reienci l moimieno en un bño de ceie, un eferi de m m e old dede el repoo en l uperficie del fluido (y = ). Si l fuerz de fricción e proporcionl l elocidd innáne ( donde k e un 15. En el iem mordo en l figur. Deermine l celerción del cilindro, i u m e η ece myor que l del bloque. onidere que el coeficiene de rozmieno enre l uperficie inclind y el bloque e k y l m de l cuerd y pole on deprecible. 53

54 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí El iem e bndon dede el repoo. Deprecindo l fricción, deermine: () l celerción del crrio, (b) l celerción del cilindro, (c) l enión en el cble que une l pole y (c) l elocidd del cilindro depué de de inicido el moimieno. 19. El mecnimo de l figur e un celerómero y e compone de un émbolo de 1 kg de m que deform l reore cundo l crc recibe un celerción cendene. Deermine l conne recuperdor k que debe ener el reore pr que el émbolo lo core 6 mm dede l poición de equilibrio y oque el conco elécrico cundo l celerción que umen len y connemene lcnce el lor de 5g. Deprecie l fricción 17. L delizder y eán conecd por un brr liger de o,5 m de longiud y e mueen con rozmieno deprecible por l guí horizonle. L delizder iene un elocidd de,9 m/ hci l derech cundo u poición =,4 m. Deermine: () l celerción de cd un de l delizder y (b) l fuerz que eperimen l brr en ee inne. L rpidez de conco del ión de 5 Mg e de 5 km/h, inne en que e bre el prcíd de frendo y e pgn lo moore. Si l reienci ol obre el ión rí como e muer en el gráfico. Deermine l dinci que recorre el ión h que l elocidd e reduce 1 km/h. L rición de l reienci puede proimre como, donde k e un conne 18. L correder y eán conecd por un brr rígid liger y e mueen con fricción deprecible en l rnur, l mim que e encuenrn fij en un plno horizonl. Pr l poición mord, l elocidd de e,4 m/ hci l derech. Deermine l celerción de cd un de l correder y l fuerz en l brr en ee inne 1. L correder y de igul m, mord en l figur e encuenrn conecd medine un brr rígid liger y e mueen in fricción en l rnur que e encuenrn en un plno ericl. Si el iem e liber dede el repoo cundo = y. Deermine: () l celerción inicil de l correder y (b) l elocidd de cundo y =. 54

55 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1. Lo coeficiene de fricción enre el bloque y el bloque on =,1 y k =,1 y enre el bloque y el plno inclindo on =,4 y k =,. El bloque iene un m de 1 kg y el bloque de 5 kg. Si el iem pre del repoo en l poición indicd. Deermine: () l celerción de, (b) l elocidd de repeco de en el inne =,5. 5. En l figur e muer do bloque y de 5 kg y kg de m, repecimene. Sbiendo que el coeficiene de rozmieno enre el bloque y l uperficie inclind e k =, y el iem e liber dede el repoo. Durne el moimieno de lo cuerpo deermine: () L celercione de lo bloque y, (b) l enión en el cble que une lo bloque y (c) l dinci recorrid durne lo primero 6 egundo de moimieno. 3. Sbiendo que el coeficiene de rozmieno enre el bloque y l uperficie horizonl e k =,. Deermine l mgniud de l fuerz que hrí que el bloque celere hci l derech 5 m/. Deprecie l m de l pole y de lo cble. 6. Pr bjr del cmión un pil de mder comprimid, el conducor inclin primero l cm del ehículo y depué celer dede el repoo. Si lo coeficiene de fricción enre l pil de mder comprimid del fondo y l cm on =,4 y k =,3. Deermine: () l celerción mínim del cmión que proocrá delizmieno de l pil de mder, (b) l celerción del cmión neceri pr que l equin de l pil de mder llegue l eremo de l cm en,4. 4. Lo do bloque mordo en l figur e encuenrn en repoo l principio. Si e ignorn l m de l pole y el efeco de fricción en é, y uponiendo que lo componene de fricción enre mbo bloque y l pendiene on =,5 y k =,. deermine: () l celerción de cd bloque, (b) l enión en el cble 7. Un cmión eá bjndo por un plno inclindo 1. El conducor fren de repene pr eir un coliión y el cmión deceler un rimo de 1 m/. Si el coeficiene de rozmieno eáico enre l crg W = 4,5 k y l plform del cmión e =,3, delizrá l cj o permnecerá ecionri repeco l cmión?. 55

56 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí Un bloque de 5 kg decn obre un uperficie inclind y un conrpeo de 15 kg e une l cble en l form indicd. Si e ignor l fricción. Deermine l celerción de y l enión en el cble inmedimene depué de que el iem empiez moere dede el repoo 8. El bloque de 1 kg eá oenido por el bloque de 4 kg el cul e jl hci rrib obre el plno inclindo medine un fuerz conne de 5, i e ignor l fricción enre el bloque y l pendiene y el bloque no rebl obre el bloque. Deermine el lor mínimo permiible del coeficiene d fricción eáic enre bloque. 3. Un cj de 5 kg eá upendid de un cble unido un crreill de kg mond obre un ig I inclind en l form que e muer. Si en el inne indicdo l crreill iene un celerción de,4 m/ hci rrib y l derech, deermine: () l celerción de reli y (b) l enión en el cble D. 9. El bloque de 3 lb eá oenido medine un bloque de 55 lb y unido un cuerd l cul e plic un fuerz horizonl de 5 lb, como e muer en l figur. Sin omr en cuen l fricción, deermine: () l celerción del bloque y (b) l celerción del bloque reli. 3. El bloque pe 8 lb y el bloque 16 lb. Lo coeficiene de fricción enre od l uperficie de conco on =, y k =,15. Si l fuerz horizonl P = 1 lb. Deermine: () l celerción del bloque y (b) l enión en el cle 33. Un rcocmión ij 9 km/h cundo el conducor plic lo freno. Si l fuerz de frendo del rcor y el remolque on, 16 k y 6 k, repecimene. Deermine: () l dinci recorrid por el rcocmión ne de deenere, (b) l componene horizonl de l fuerz preene en el engnche enre el rcor y el remolque mienr eo n frenndo 34. El cmión de 55 kg eá puno de remolcr el ehículo de 35 kg que inicilmene eá en repoo. El cmión eá equipdo con rcción en l curo rued y el coeficiene de fricción enre 56

57 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 lo neumáico y l pi e =,75. Si l reienci del remolque l rodmieno e deprecible. Deermine l máim celerción inicil del cmión cundo = 1 m 38. d un de l re plc iene un m de 1 kg. Si el coeficiene de fricción cinéic y eáic de cd uperficie en conco on k =,3 y =,, repecimene. Deermine l celerción de cd uno de l plc cundo e plicn l re fuerz horizonle. 35. L cj mord en l figur e jld lo lrgo del pio por un mlce que rroll el cble rzón conne de, m/. L m de l cj e de 15 kg y el coeficiene de fricción cinéic enre l cj y el pio e k =,5. () en el inne mordo, uál e l enión en el cble? y (b) obeng un olución cuieáic pr l enión en el cble ignorndo l celerción de l cj y compárel con u reuldo obenido en l pre (). 39. Sbiendo que lo coeficiene de rozmieno enre od l uperficie en conco on =,4 y k =,5. Deermine: () L celerción de l plc de 1 kg, (b) l enión en el cble que une lo cuerpo. (c) l celerción reli del bloque de 5 kg con repeco l plc y (c) el iempo necerio pr que delice,5 m obre, i inicilmene el iem eb en repoo y el moimieno e debe l fuerz P = Se plic un fuerz horizonl de 4 k obre un cuerpo cuy m e de 15 kg como e muer en l figur. Sbiendo que el cuerpo ringulr de epeor uniforme iene un m de 8 kg y el coeficiene de rozmieno enre el cuerpo y el cuerpo e =,5 y enre el cuerpo y el pio e =,. Deermine l elocidd del cuerpo depué que ee hy recorrido,15 m 4. Tre cuerpo cd uno de m m eán colocdo como e muer en l figur. El coeficiene de fricción enre y e,3 y enre y el pio e,1. Si el iem e bndon dede el repoo. Deermine: () l celerción de cd uno de lo cuerpo, (b) l enión en el cble que une lo cuerpo y y (c) l dinci que e muee el cuerpo cundo el cuerpo e h moido,15 m repeco l cuerpo. 37. El bloque inclindo e moiéndoe con un celerción conne. Deermine el rngo de lore de θ pr lo cule el bloque no delizrá repeco, no eng en cuen de cuán grnde e l celerción 41. Un bloque de 5 kg decn obre un uperficie inclind y un conrpeo de 15 kg e une l cble en l form indicd. Si e depreci 57

58 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 l fricción y el peo de l pole y el cble. Deermine l celerción de y l enión en el cble inmedimene depué de que el iem empiez moere dede el repoo 44. El cuerpo iene un m de 5 kg y l m del cuerpo e de 75 kg y lo coeficiene de rozmieno enre y e 1/3 y enre y el pio e 1/5. Hbrá un conjuno de lore de l fuerz pr el que no eie moimieno relio enre el cuerpo y el cuerpo. uál e el límie uperior de?. uál e l rección de obre pr ee límie uperior de?. 4. En l figur mord en coeficiene de fricción enre el bloque y e de,3 y enre y el pio e de,1. Si el iem pre del repoo y deprecindo el peo de l pole y cuerd. Deermine: () l celerción de cd uno de lo bloque, (b) l enión en lo cble que une lo bloque, (c) l elocidd de depué de 3 egundo de inicido el moimieno. Lo bloque, y on de 3kg, kg y 15 kg, repecimene 45. El iem de l figur, compueo de un collrín de 18 kg y un conrpeo de 9 kg, eá en repoo cundo e plic un fuerz conne P = 45 l collrín. Deermine: () l celerción del collrín y del conrpeo, (b) L enión en el cble, (c) l elocidd del collrín juo ne de chocr el pio en 43. El iem mordo e libre dede el repoo. Deprecindo l m de l pole y cuerd y coniderndo que el coeficiene de rozmieno enre el cuerpo de 15 kg y el pio e,15. Deermine: () l celerción del cilindro de 1 kg de m, (b) l dinci que recorre el cuerpo depué de 4 de inicido el moimieno. 46. El bloque de 5 kg de m y el bloque de 4 kg de m eán conecdo medine cble fleible pole que ienen diámero de 3 mm y 15 mm, repecimene. L do pole e encuenrn rígidmene unid un l or y u peo on deprecible, í como l fricción. Si el iem e liber dede el repoo. Deermine: () l celercione de cd uno de lo bloque, (b) l enione en lo cble que conecn lo bloque. 58

59 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí En l figur mord, l m de lo bloque, y on 5 kg, kg y 3 kg, repecimene. lcule l celercione de cd uno de lo bloque i de repene e qui l me. uál bloque llegrá primero l pio?. uáno rdrá?. 5. El cuerpo de 5 kg de m decn obre el cuerpo de 3 kg de m. El coeficiene de rozmieno cinéico enre l uperficie de conco e k =,4. En l pred ericl hy uno rodillo que permien deprecir el rozmieno. Deermine l celerción del cuerpo cundo e plique un fuerz P = 5 k 48. Un brr de 5 kg decn obre un bloque de 5 kg de m. Un fuerz de 1 k e plic de repene obre el bloque en l poición mord. Si el coeficiene de rozmieno cinéico pr od l uperficie en conco e k =,4. Deermine l elocidd de cundo ee e hy moido 3 m hci el eremo de l brr. 51. Se ejerce un fuerz = k obre un cuerpo de 5 kg que inicilmene eá en repoo en l poición mord en l figur. Si pr od l uperficie en conco el coeficiene de rozmieno cinéico e k =,. Deermine l elocidd del cuerpo depué de recorrer 1 m. L m de l brr y el bloque on 1 kg y 8 kg, repecimene. 49. El boque pe 9 y lo bloque y pen 45 cd uno. Sbiendo que inicilmene eán repoo y que e deplz,4 m en. Deermine: () l mgniud de l fuerz, (b) l enión en l cuerd D. Deprecie l m de l pole y el rozmieno en lo eje. 5. Deprecindo el rozmieno, l inerci y el peo de l do pole. Deermine: () l celerción de lo bloque y, (b) l enione en cd uno de lo cble y (c) l elocidd reli de con repeco. Supong que l m eán relciond por, donde η e un conne poii 59

60 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí Deprecindo el rozmieno, l inerci y el peo de l re pole. Deermine: () l celerción de lo bloque y, (b) l enione en cd uno de lo cble y (c) l celerción reli de con repeco. Supong que l m eán relciond por, donde η e un conne poii k = /m, el cul en l poición mord en l figur e encuenr eirdo prir de u configurción in deformr de m h 5 m. uál erá l elocidd del cuerpo depué de recorrer 1 m?. L m de l brr e 4 kg y el coeficiene de rozmieno enre y l brr e k =, 54. Se plic un fuerz conne obre el cuerpo de 48 de peo cundo ée eb en repoo y unido un reore in deformr cuy conne e k = 5 k/m, como e muer en l figur. Si el coeficiene de rozmieno enre od l uperficie en conco e k =,36 y el peo de l brr e 775. Deermine l mgniud de l fuerz i el cuerpo debe lcnzr un elocidd de m/ depué de recorrer 1 m. 57. Lo cuerpo y que ienen un peo de 3 y 133, repecimene e encuenrn unido por un brr rígid y liger (de peo deprecible) como e muer en l figur. Suponiendo que el coeficiene de fricción enre od l uperficie en conco e k =,3. Deermine l celercione de cd uno de lo cuerpo y, inmedimene depué de corr l cuerd y plicr l fuerz horizonl de Un bloque de 1 kg de m decn obre un egundo bloque de 8 kg de m. L fuerz cuyo módulo e 1 empuj l bloque. Si el coeficiene de rozmieno enre y e,5, y enre el bloque y el pio e,1. Deermine l elocidd del bloque reli l bloque depué de,1 i el iem pre del repoo i el iem pre del repoo. 58. Si el coeficiene de rozmieno cinéico enre el collrín de 8 kg de m y l brr e k =,1. Deermine l celerción del collrín repeco l brr. 56. El cuerpo de kg de m inicilmene en repoo e poy obre uno pequeño rodillo y bj por un plno inclindo. El cuerpo eá conecdo un reore linel cuy conne e 59. Do bloque y de 1 kg y 5 kg, repecimene e encuenrn poydo obre do plno, como e muer en l figur. Deermine l mgniud de l fuerz horizonl neceri pr 6

61 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 drle l bloque un celerción hci l derech de mgniud 1,96 m/. 63. Un uomóil ij por l cim de un colin con un rpidez de 7 km/h. El coeficiene de fricción cinéic enre lo neumáico y l crreer e =,75 y el rdio de curur innáneo e de ρ = 5 m. Si el conducor plic lo freno y e rbn l rued del ehículo. Deermine l decelerción reulne en l dirección ngene l ryecori 6. Lo do crrio y pen 1, k y 1,5 k, repecimene, y eán unido medine un cble egún e indic en l figur. Deermine l celerción de lo crrio y l enión del cble i = 5 y: () = m/ en el inne repreendo y (b) = 3 m/ en el inne repreendo. 64. Do lmbre y eán ujeo en un efer de 7 kg que decribe l circunferenci que e indic celeridd conne. Sbiendo que θ 1 = 5 y θ = 3 y que d = 1,4 m. Deermine pr que inerlo de lore de mbo lmbre eán eno. 61. Un bloque de 5,5 kg decn como e muer en l uperficie uperior de l cuñ de 13,5 kg. Deprecindo el rozmieno, deermine inmedimene depué de que el iem e uel dede el repoo: () l celerción de y (b) l celerción de reli. 6. Un rmo de crreer comprende un uceión de cre y lle epcido y cuyo conorno e upone repreendo por. Qué celeridd máim puede ller l uomóil de m m en un cre in perder conco con l clzd?. Si el ehículo coner e elocidd críic. uál e l rección norml obre l rued en el fondo del lle?. 65. Un cmión de plform bier e deplz elocidd conne de 8 km/h lrededor de un cur de 5 m de rdio de curur y perld hci denro con un ángulo de 15. Deermine el mínimo coeficiene de rozmieno eáico enre l cj y l plform del cmión que impid que l cj de kg de m reble repeco l plform 61

62 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí Un eferi de m m = 3g e encuenr mond en el ro mordo en l figur y puede delizre libremene in fricción obre él cundo ée gire: Si el ro gir lrededor de un eje ericl con rpidez ngulr conne = 15 rpm. Deermine: () El ángulo φ correpondiene, (b) l fuerz que el ro ejerce obre l eferi. 69. Un crrio pequeño de 1,5 kg de m enr en el puno má lo de un ryecori circulr de rdio R =,75 m, con un elocidd horizonl =,5 m/ y umen u elocidd conforme deciende por ell. Deprecindo l fricción y coniderndo l crrio como prícul. Deermine: () el ángulo β l cul empiez dejr l uperficie, (b) l correpondiene elocidd en ee inne. 67. Un bloque de m m =,5 kg decn obre un uperficie cónic li que gir lrededor de un eje ericl con elocidd ngulr conne,. El bloque e encuenr unido l eje de giro medine un cble, como e muer en l figur. Deermine: () l enión en el cble cundo el iem gire rzón de 15 rpm, (b) l rpidez ngul en reolucione por minuo cundo l fuerz que ejerce l uperficie cónic obre el bloque e nul. 7. Un efer de m m = kg e upendid en equilibrio medine do cble fleible e ineenible de m deprecible como e muer en l figur. Deermine l enión en l cuerd inclind 37 con l ericl cundo: () l efer e encuenr en l poición repreend en l figur, (b) inmedimene depué de corr el cble inclindo 16 con l horizonl y (c) cundo l efer p por l poición má bj de u ryecori. 68. El dico mordo en l figur comienz girr dede el repoo en un plno horizonl con un celerción ngulr conne de,75 rd/. Sobre el dico decn un bloque de kg iudo 5 cm del eje de roción. Si el coeficiene de rozmieno eáico enre el bloque y el dico e de =,75. Deermine el iempo que demor el bloque en inicir u deplzmieno. 6

63 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí Un bloque pequeño de m =,5 kg e colocdo obre un uperficie cónic girori un dinci rdil R =,5 m medid dede el eje de roción. Si el coeficiene de fricción eáic enre el pequeño bloque y l uperficie cónic e =,75. Deermine l máim elocidd ngulr lrededor del eje ericl l cul debe girr el cono de l mner que el bloque no delice obre l uperficie. Deprecie lo cmbio de elocidd ngulr. 74. Inicindo dede el repoo cundo θ =, un niñ deliz con fricción deprecible hci bjo del obogán el cul iene l form de rco circulr de,5 m de rdio. Deermine l celerción ngencil, l elocidd de l niñ y l fuerz ejercid por el obogán de ell: () cundo θ = 3 y (b) cundo θ = 9 7. Un uomóil de 15 kg de m eá ijndo 1 km/h obre l porción rec de un crreer, y enonce u elocidd comienz diminuir uniformemene dede h, puno en el cul lleg l repo. Deermine l mgniud de l fuerz de fricción ol ejercid por l crreer obre lo neumáico del uomóil: () juo depué de pr por el puno, y (b) juo ne de llegr l repoo en el puno 75. Durne lo oleo de enrenmieno de un lnzdor de mrillo, el cbezl de 7,1 kg del mrillo gir en un círculo l celeridd conne como e muer en l figur. Si ρ =,93 m y θ = 6. Deermine: () l enión en el lmbre, (b) l celeridd del cbezl del mrillo 73. Un efer de 1,5 kg eá en repo repeco un plo prbólico que gir rzón conne lrededor de un eje ericl. Si e depreci l frición y biendo que r = 1 m. deermine: () l rpidez de l efer Y (b) l mgniud de rección norml ejercid por l uperficie prbólic obre l efer. 76. Un erie de pequeño pquee e rldn por medio de un bnd rnpordor delgd que p obre l pole loc de 3 mm de rdio. L bnd inici u moimieno dede el repoo en el iempo = y u elocidd e incremen un conne de 15 mm/. Si el coeficiene de fricción eáic enre lo pquee y l bnd e de =,75. Deermine el iempo necerio pr que el primer pquee reble. 77. Un pequeño ehículo de propulión por cohee, cuy m e m, ij hci bjo por l ryecori circulr de rdio efecio r bjo l cción de u 63

64 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí 1 propio peo y del empuje conne T que le proporcion el moor. Si el ehículo pre del repoo en. Deermine: () l elocidd del ehículo cundo lleg y (b) l fuerz de rección ejercid por l guí obre l rued juo ne de llegr. deprecie el rozmieno y l pérdid de m del cohee. 8. En el inne en que θ = 6, el cenro de m G del niño e encuenr momenánemene en repoo. Sbiendo que l niño iene 3 kg de m y deprecindo el mño y l m del iene y de l cuerd. Deermine cundo θ = 9 : () l rpidez del niño, y (b) l enión en cd un de l do cuerd de opore del columpio. 78. on un recor de enrenmieno, un piloo de 54 kg ejecu un rizo ericl de 1 m de rdio de l mner que l elocidd del ión diminuy un rimo conne. Sbiendo que lo peo prene del piloo en y on 168 y 35, repecimene. Deermine l fuerz que obre él ejerce el ieno del ión cundo ée pe por 81. Un bol de demolición de 6 kg eá upendid de un grú por un cble de cero de m deprecible y de 1 m de longiud y decribe un rco ericl como e muer en l figur. Deermine: () l rpidez de l bol cundo e encuenr en el puno má bjo (θ = ) i e ober que el cble ocil decribiendo un ángulo θ = 3, (b) l enión en el cble en l pre uperior de l ocilción, donde θ = 3, y (c) l enión en el cble en l pre inferior D de l ocilción. 79. un pequeñ efer de, kg e le imprime un elocidd hci bjo y ocil en un plno ericl, primero lrededor de O y luego en orno l chuel depué de que el cordón hce conco con e úlim. Deermine l elocidd máim permiible i l enión en l cuerd no e myor que Un pequeño bloque de,5 kg de m decn obre un plform circulr unido un reore cuy conne e k = 1 /m cuy longiud in deformr e l =,6 m. oniderndo que l plform e encuenr girndo lrededor de u eje ericl con un elocidd ngulr de = 6 rpm y deprecindo el rozmieno enre el bloque y l plform. Deermine el lrgmieno del reore. 64

65 íic Generl I inéic de un prícul Opcino Váquez Grcí El collr de,8 kg mondo enre reore ocil lo lrgo de l brr horizonl que, u ez, gir con un elocidd ngulr conne = 6 rd/. en ciero inne, l dinci r umen rzón de,8 m/. Si enre el collr y l brr el coeficiene de rozmieno cinéico e k =,4. Deermine l fuerz de rozmieno que en ee inne ejerce l brr obre el collr. 84. Un dico girorio horizonl que iene un rnur rdil li e dieñ pr deerminr eperimenlmene l conne de un muelle. Denro de l rnur e coloc un pequeño bloque de m m = 73 g un dinci r = 8 cm, del cenro del dico, ocupndo el reore el reo de l rnur. omo e indic en l figur. Depué e hce girr l dico h que lcnce un elocidd ngulr re/, cundo el bloque eá un dinci r = 3,5 cm. Deducir un epreión pr l conne k del reore. 86. El rmo de obogán eá conenido en un plno ericl. L pre y D ienen lo rdio de curur que e muern, mienr que el rmo e reco e inclindo con repeco l horizonl biendo que el coeficiene de fricción cinéico enre l moo de niee y l pi e k =,1 y que l elocidd de l moo e 7,5 m/ en. Deermine l celerción ngencil de l moo: 8ª) inmedimene ne de llegr y (b) inmedimene depué de pr por. 85. L moo de niee de kg e muee obre un uperficie de niee cuy ryecori puede proimre l ecución, como e muer en l figur. Si cundo p por iene un rpidez de 4 m/ l mim que e eá incremenndo rzón de m/. Deermine: () l fuerz norml reulne y (b) l fuerz de fricción ol ejercid obre l be de l moo de niee en el puno. 87. El bloque de m m = 5 kg e muee por un guí circulr li conenid en un plno ericl, egún e muer en l figur. undo el bloque e hll en l poición repreend, u celeridd e m/ hci rrib y l izquierd. Sbiendo que el reore iene un conne k = 5 /m y u longiud in deformr e de 3 mm. Deermine: () l celerción del bloque y (b) l fuerz que obre el ejerce l uperficie de l guí. 65