4. CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO

Transcripción

1 7 4. INEÁTI DEL UERP RÍGID 4. oimiento reltio de prtícul. Un ferrocrril e muee con elocidd contnte de 5 km/h hci el ete. Uno de u pjero, que originlmente etá entdo en un entnill que mir l norte, e lent y cmin hci l entnill del ldo opueto con un elocidd, relti l ferrocrril, de 8 km/h. uál e l elocidd bolut del pjero? 5 km/h Reolución P Velocidd bolut del pjero T Velocidd bolut del tren Velocidd relti del pjero repecto l tren. P T P P T T T = 5 Dibujremo un digrm de ectore que repreente l ecución nterior. P Ѳ P/T = 8 L mgnitud de l elocidd del pjero e: 5 8 P Y u dirección 8 tn 5 P 6. km 7. 7 h

2 8 inemátic del cuerpo rígido. Un ión uel con rpidez contnte de 800 ft/ decribiendo un rco de circunferenci de 8000 ft de rdio. tro ión,, ij en líne rect con un elocidd de 500 ft/, que ument rzón de 0 ft/. Determine l elocidd y celerción relti del ión repecto l. 500 ft/ Reolución = 800 = 500 L elocidd bolut de e igul l elocidd relti de repecto má l elocidd bolut de. / on el digrm de ectore que repreent l ecución nterior e muetr que: 00 ft L celerción de e norml l elocidd y u mgnitud e: 800 ; y l de e: = 80 = 0 ϴ 0 Entonce: De l figur que repreent l ecución: / tn ft 69. 4

3 inemátic del cuerpo rígido 9. Un motociclit perigue un utomóil en un pit circulr de 00 m de rdio. En el intnte motrdo en l figur, el primero corre 40 m/ y el egundo, 0. uál e l elocidd relti del utomóil repecto l motociclit? m 0 m/ 40 m/ Reolución Velocidd bolut del utomóil Velocidd bolut del motociclit motociclit Velocidd relti del utomóil repecto l / α 60 = 40 omo e trt de ólo tre ectore, dibujmo un digrm que repreente l ecución nterior. Por l ley de coeno = (0)40co 60 Por l ley de eno en en ; m 44

4 0 inemátic del cuerpo rígido 4. Un motociclit perigue un utomóil en un pit circulr de 00 m de rdio. En el intnte motrdo en l figur, el primero corre 40 m/ y el egundo, 0; el motociclit ument u rpidez rzón de 8 ft/, mientr que el utomóil l reduce 5 m/ cd. lcule l celerción relti del utomóil repecto l motociclit. y Reolución x 0 t = 5 Pr determinr l celerción relti del utomóil repecto l motociclit, elegiremo un item de referenci como el de l figur; entonce: 4.5i 4.5 ( ) 0 00 n ( ) ien0 j co 0 5i co 0 jen0 j i 0.9 j t i.5 j t = 8 ( ) ( 40 i 8 j 00 6i 8 j n ) t celerción relti: i 0.9 j 5.8i 8.9 j 6i 8 j / 4. m 49.

5 inemátic del cuerpo rígido 4. Rotción pur 5. El diámetro del olnte de l figur e muee egún l expreión = t, donde i t etá en, reult en rd. uál e l celerción ngulr del olnte cundo t = 5? uánt reolucione gir el olnte ht lcnzr un rpidez de 400 rpm? θ Reolución t 6t E l elocidd ngulr del diámetro. t que e l celerción ngulr del olnte. Pr t 5 60 rd 400 rpm en rd on El tiempo que trd en lcnzr e rpidez e: 80 6t t 80 6

6 inemátic del cuerpo rígido y l deición ngulr correpondiente e: 80 6 rd que en reolucione on: re

7 inemátic del cuerpo rígido 6. El diámetro del olnte de l figur e deí egún l expreión = t, donde i t etá en, reult en rd. El olnte tiene un rdio de 0 cm en el intnte motrdo, = 60º, determine: ) el lor de t. b) l elocidd y celerción linele del punto. θ Reolución: 5.6 ) 60 t t 6 rd α β 0.9 t b) 60 6t 6(0.806).898 omo r.898(0) 78.0 cm 0 L celerción norml del punto e: n r (0.898) 0 0.9

8 4 inemátic del cuerpo rígido Y l tngencil t r En donde t (0.806) t 9.67(0) 9.44 L mgnitud de l celerción de e: Y el ángulo 9.44 tn ; Por tnto, como cm 7. 5

9 inemátic del cuerpo rígido 5 7. L bnd de l figur e flexible, inextenible y no e deliz obre ningun de l pole. L pole, de in de rdio, gir 0 rpm. lcule l rpidez de un prtícul culquier de l bnd y l elocidd ngulr de l pole, de 5 in de rdio. Reolución r Donde 0 rd 4 rd 60 4 () 7.7 in omo l expreión r puede emplere con culquier de l pole: r r r r 0() 5 7 rpm

10 6 inemátic del cuerpo rígido 4. Trlción pur 8. L brr del mecnimo motrdo tiene un rpidez ngulr de 8 rd/ en entido ntihorrio. Determine l elocidd y celerción linele de l rticulcione y í como del extremo D de l brr D. Reolución omo l brr e muee con rotción pur. 8 rd/ α α m 8(0.4). m 0 Pueto que l brr e muee con trlción pur, tod u prtícul tienen l mim elocidd. 0 0.m 0 D D L elocidd ngulr de l brr D e: D r rd 8 rd/ m Igul l de l brr. Por tnto, l elocidd linel del extremo D e: D r 8(0.8) D 6.4 m 0 D omo l elocidd ngulr e contnte, l celerción de D no tiene componente tngencil. 8 rd/ m r 8 n (0.8) 5.m 60

11 inemátic del cuerpo rígido oimiento plno generl 4.4. Velocidde 9. L rued de l figur pertenece un locomotor que ij hci l derech 7 km/h. Sbiendo que l rued no ptin obre lo riele, determine u elocidd ngulr y l elocidde linele de lo punto,, y. Reolución onertimo l elocidd 7. m 7 km m 0 m h.6 omo el punto e muee junto con l locomotor. 0 m Y l elocidd ngulr de l rued e: 0 r i rd 50 Utilizmo l ecución de l elocidd relti pr determinr l elocidde de, y, tomndo como punto be. Empleremo el item de referenci de l figur: y r 50k 0.4 j 0i x 0i 0i 40i 40 m

12 8 inemátic del cuerpo rígido r 50k 0.4i 0i 0 j 0i 0 β 0 () tn 45 0 /0 8. m 45 r 50k ( 0.4 j) 0i 0i 0i 0 Lo cul e eidente porque tiene l mim elocidd del punto del riel con el que etá en contcto y dicho punto no e muee.

13 inemátic del cuerpo rígido 9 0. El collrín e deliz hci bjo con un rpidez de 0 in/ en el intnte motrdo en l figur. Dig cuále on, en ee mimo intnte, l elocidd ngulr de l brr y l elocidd linel del collrín. Reolución omo: r i k i 6 j 0 j i 6i j 0 j 6 ω = 0 in/ Reduciendo término emejnte i 6 i ( 0) j Que e un iguldd de ectore. Igulndo l componente erticle tenemo: rd E igulndo l componente horizontle: 6(.5) 40 in

14 0 inemátic del cuerpo rígido. El dico de l figur gir con rpidez ngulr contnte de rd/ en entido horrio. lcule, pr l poición motrd en l figur, l elocidd ngulr de l brr y l elocidd linel del collrín. Reolución 40 cm omo el dico e muee con rotción pur: r (40) 480 cm rd/ L brr tiene moimiento plno generl y u geometrí e muetr en l figur. r k 0.9i 60 j 480 j i 60 i 0.9 j 480 j ω Reduciendo término emejnte i 60 i j 60 cm 0 Que e un iguldd de do ectore. Igulndo l componente erticle e tiene: 0.9 cm rd Igulndo l componente horizontle: 60(4.66) 77 cm

15 inemátic del cuerpo rígido. En l poición motrd, l mniel tiene un rpidez ngulr de 0 rd/ en entido ntihorrio. lcule l rpidez ngulr de l biel y l elocidd linel del émbolo Reolución omenzmo inetigndo l geometrí del mecnimo medinte l reolución de lo triángulo rectángulo de l figur L mniel gir con rotción pur. r 0k.5i 4. j 4.i 5 j L biel tiene moimiento plno generl. 0 rd/ 5 60 y r k 5.40i 4. j 4.i 5 j i 4. i 5.40 j 4.i 5 j ocindo l componente repecti:. 4.i 5.40 j i 5 4 x Igulndo l componente erticle: ;. 6 Y l horizontle: 4.(.6) Por tnto:.6rd y 50. in x

16 inemátic del cuerpo rígido. L brr del mecnimo de cutro rticulcione de l figur gir con un elocidd ngulr de 9 rd/ en entido ntihorrio. Determine l elocidde ngulre y de l brr y D D y Reolución omenzremo determinndo l geometrí del mecnimo en el intnte de interé. Tnto l brr como l brr D e mueen con rotción pur. bermo que e muee l izquierd y que: r 9k 0.4i 0. j.7i.6 j 9 rd/ c x L brr tiene moimiento plno generl. r i k.i 0. j.7i.6 j i 0. i. j.7i.6 j ocindo término..7i.. j i 6 0 ω y Igulndo l componente en dirección de y: 0..6 ; rd c =.6 m/ 0.6 x Hciendo lo mimo en dirección de x: 0.().7 ;. 6 De l brr D obtenemo: r ;.6 D 0.6 ω D 6 rd

17 inemátic del cuerpo rígido 4.4. entro intntáneo de rotción 4. L rued de l figur pertenece un locomotor que ij hci l derech 7 km/h. Sbiendo que l rued no ptin obre lo riele, determine u elocidd ngulr y l elocidde linele de lo punto 0,, y. Reolución El centro intntáneo de rotción de l rued e el punto de contcto con el riel, el punto, pueto que u elocidd e nul. o El punto, que une el eje de l rued con l locomotor, tiene un elocidd de 7 km/h. 0.4 m 7 km h 7 m.6 0m (IR) L elocidd ngulr de l rued e por tnto: 0 o r rd r = 0.8 m onociendo l poición del centro de intntáneo de rotción (IR) y l elocidd ngulr de l rued, e puede clculr fácilmente l elocidd de culquier punto de l rued. r m r m r m m

18 4 inemátic del cuerpo rígido 5. El collrín e deliz hci bjo con un rpidez de 0 in/ en el intnte motrdo en l figur. Dig cuále on, en ee mimo intnte, l elocidd ngulr de l brr y l elocidd linel del collrín. Reolución Pr encontrr l poición del centro intntáneo de rotción, hcemo tnto en como en rect perpendiculre l elocidde de eo punto; u interección e el centro bucdo. L elocidd ngulr de l brr e: 0 r.5 rd Y l elocidd de r.5(6) 40 in

19 inemátic del cuerpo rígido 5 6. El dico de l figur gir con rpidez ngulr contnte de rd/ en entido horrio. lcule, pr l poición motrd en l figur, l elocidd ngulr de l brr y l elocidd linel del collrín. Reolución L elocidd de e erticl y e dirige hci bjo, l de, horizontl y hci l derech. El centro intntáneo de rotción e encuentr en l interección de l perpendiculre lentd en y. lculmo l mgnitud de l elocidd de. r (60) 70 Por tnto, l elocidd ngulr de l brr e: 70 r rd Y l elocidd de erá: r cm

20 6 inemátic del cuerpo rígido 7. En l poición motrd, l mniel tiene un rpidez ngulr de 0 rd/ en entido ntihorrio. lcule l rpidez ngulr de l biel y l elocidd linel del émbolo. 0 0 rd/ 5 60 IR Reolución L elocidd de l rticulción e perpendiculr l mniel y u mgnitud e: r 0(5) 50 L elocidd de e horizontl y e dirige hci l izquierd. r 0 L poición del centro intntáneo de rotción (IR) de l biel e l interección de l perpendiculre l elocidde de y trzd dede dicho punto. r En l figur reolemo l geometrí del mecnimo. De hí: r IR.6 rd r = r = Por tnto: r in.5 5.4

21 inemátic del cuerpo rígido 7 8. L brr del mecnimo de cutro rticulcione de l figur gir con un elocidd ngulr de 9 rd/ en entido ntihorrio. Determine l elocidde ngulre y de l brr y D, en l poición motrd. 9 rd/ D 0.6 m 0.4 m 0.8 m Reolución c D r c =. m 0.6 L rticulcione y tienen elocidde perpendiculre l brr y D, repectimente, que e mueen con rotción pur. demá, l elocidd de e: r 9(0.5) 4.5 Pr hllr el centro intntáneo de rotción de l brr prolongmo l brr y D y encontrmo u interección. IR Pueto que l ditnci de dicho centro l punto e de.5 m, entonce: r rd uyo entido e deduce de l oberción de l figur c r c (.).6 m Por tnto: r rd

22 8 inemátic del cuerpo rígido 4.4. celercione 9. L rued de l figur pertenece un locomotor que ij hci l derech 7 km/h, umentndo u rpidez rzón de 4 m/. Sbiendo que l rued no ptin obre lo riele, determine u celerción ngulr y l celercione linele de lo punto,, y. Reolución ω 0.4 m y o =0 m/ Pr obtener l celercione linele de lo punto de l rued, e neceit conocer u elocidd ngulr. Sbiendo que l elocidd de e de: 7 km h r 0 m : (IR) x omo u entido e horrio, el ector elocidd ngulr en el item de referenci motrdo e: 0.4 m α x r / 4 m/ 50k L celerción linel del punto e igul l de l locomotor. 4 m 4i ω r / y x L celerción ngulr de l rued e: 4 r 0.4 α 0 rd α = 4 m/ El ector celerción ngulr e 0k 0.4 m Pr clculr l celercione linele de lo punto, empleremo l ecucione de moimiento reltio.

23 inemátic del cuerpo rígido 9 E decir: β r 0k 0.4 j 4i 000 j 4i 8i 000 j r j 4i 000 α 8 tn m r / De modo emejnte, determinremo l celercione de lo punto y. α ϴ 4 r r 0k 0.4i 4 j 000i 4i 996i 4 j i 4i α tn m 0. r / r 0k r 4i 000 j 4i 000 j 0.4 j j 4i m 000

24 40 inemátic del cuerpo rígido 0. El collrín e deliz, en el intnte motrdo en l figur, hci bjo con un rpidez de 0 in/, que ument rzón de 40 in/. Dig cuále on, en ee mimo intnte, l celerción ngulr de l brr y l celerción linel del collrín. Reolución Pr obtener l celercione, tnto de l brr como del collrín, empleremo l ecución de moimiento reltio. ω (IR) 0.4 m y x r r En el item de referenci motrdo y biendo que l elocidd ngulr de l brr e.5 rd (er problem 0 y 5) i k i i 6 j.5 i 6 j i 6i j 75i 00 j 40 j 6 75i 40 j 40 j 6 = 40 m/ ω =.5 rd/ Igulndo l componente erticle: rd Igulndo l componente horizontle y 6(.) 75.7 x in.7 El igno negtio quiere decir que u entido e contrrio l que e upuo.

25 inemátic del cuerpo rígido 4. El dico de l figur gir con rpidez ngulr contnte de rd/ en entido horrio. lcule, pr l poición motrd en l figur, l celerción ngulr de l brr y l celerción linel del collrín. Reolución ω = rd/ omo l rpidez del dico e contnte, l prtícul tiene un celerción igul u componente norml. 0.4 m 40 cm r 5760 cm 40 Pr clculr l celerción ngulr de l brr, que tiene moimiento plno generl, y l celerción linel del collrín, utilizmo l ecución del moimiento reltio. ω r r 60 cm Sbiendo que ω, l elocidd ngulr de l brr, e de 4.6 rd y refiriéndono l item crteino motrdo. 0.9 cm y i k 0.9i 60 j i 60 j i 60 i 0.9 j 8i 8j 5760i Reduciendo término emejnte 5760i x i 0.9 j i 8 Igulndo l componente en dirección del eje de l ye.

26 4 inemátic del cuerpo rígido rd E igulndo l componente en dirección x x 60(.) cm 870 Lo igno negtio indicn que lo entido on opueto lo que e upuieron.

27 inemátic del cuerpo rígido 4. En l poición motrd, l mniel tiene un rpidez ngulr de 0 rd/ en entido ntihorrio y un celerción ngulr de 50 rd/ en entido horrio. lcule l celerción ngulr de l biel y l celerción linel del émbolo. Reolución 4. cm.5 in/ ω 0 = 0 rd/ 558 in/ m 60 ω =.97 rd/ α 0 = 50 rd/ y n x 4. cm Pr clculr l celerción ngulr de l biel, que tiene moimiento plno generl, y l celerción linel del émbolo, uremo l ecución del moimiento reltio. e: r r Por tnto, neceitmo conocer preimente l elocidd ngulr de l biel, l cul e de.6 rd en entido horrio. (. Prob. y 7) prtir del etudio de l mniel, que gir con rotción pur, determinremo l celerción linel del punto, utilizndo el item de referenci motrdo. 50k t r r.5i 558 j n.5i 4. j0.5i 4. j 6.5i 5 j 50i 4 j 5.4 cm

28 44 inemátic del cuerpo rígido Y l ecución del moimiento reltio qued í i k i Igulndo l componente erticle: r r (.5i 558 j) 5.4i 4. j.6 5.4i 4. j.5i 558 j i 4. i 5.4 j 40.5i 8.45 j.406i.5i 558 j i j 5.5 rd e igulndo l componente horizontle 4.(5.5) El igno negtio indic que el entido de l celerción e contrrio l upueto. in 79.6

29 inemátic del cuerpo rígido 45. L brr del mecnimo de cutro rticulcione de l figur gir con un elocidd ngulr de 9 rd/ en entido ntihorrio y un celerción ngulr de 0 rd/ tmbién en entido ntihorrio. Determine l celercione ngulre y de l brr y D. y Reolución 0. in t x ω = 9 rd/ α = 0 rd/ n 0.4 in L brr y D tienen rotción pur y l, moimiento plno generl. Pr poder determinr l celercione ngulre de l brr e necerio conocer primero u elocidde ngulre. L elocidd ngulr de l brr e y de l brr D, 6 (er problem y 8) rd rd Emplemo l ecución del moimiento reltio pr el etudio de l brr, tomndo como punto be; pue podemo conocer l celerción de dicho punto. e: α ω = rd/ r r 0. m L celerción de l obtendremo etudindo l brr y utilizndo el item de referenci motrdo.. m y x

30 46 inemátic del cuerpo rígido r 0k 0.4i 0. j 9 0.4i 0. j 6i 8 j.4i 4. j 6.4i. j r Sutituyendo en l ecución que ecribimo rrib:. i 0. j. i 0. j 6.4i. j k t ω = 6 rd/ n D 0.6 m omo puede ere, en l ecución nterior hy tre incógnit: l do componente de y. omo en e ecución ectoril puede hber ht un máximo de do incógnit, e imprecindible inetigr lgun componente de. Pr ello nlizremo l brr D. r r k 0.6 j i.6 j 0.6 j y x onocid l componente erticl, olemo l ecución que dejmo pendiente, en l que ólo quedn do incógnit: y. 0.6 i.6 j k. i 0. j. i 0. j 6.4i. j Derrollndo y reduciendo término

31 inemátic del cuerpo rígido i.6 j 0. i. j 0.8i.7 j 0.6 i.6 j 6.4i. j 0. i 5.6i. 5 j Igulndo l componente erticle rd hor, igulndo l componente horizontle rd L celerción de l brr D tiene entido horrio, pue el igno negtio indic que e contrrio l que e upuo.