Estabilidad Interna de los Sistemas No Lineales

Transcripción

1 UNR - Igeiería Departameto de Electróica Cátedra D.S.F. Estabilidad Itera de los Sistemas No Lieales Código: A_EstSNL A-7 Cotrol I E-54 Diámica de los Sistemas Físicos Aálisis de la Estabilidad Itera de los Sistemas No Lieales La estabilidad es ua de las características más importates de los sistemas diámicos. Al aalizar la estabilidad de dichos sistemas, surge diferetes problemas segú la maera e que se la caracterice y los sistemas e cosideració. Por ejemplo, cosiderado sistemas lieales y estacioarios, existe métodos para poder determiar su BIBO-estabilidad, como el criterio de la respuesta al impulso, el criterio de Routh y el de Nyquist. Si embargo cuado se trata sistemas o lieales, estos métodos o tiee validez. La riqueza diámica de los sistemas o lieales preseta ciertos feómeos que o se evidecia al estudiar los sistemas lieales (ver Khalil, H., 996). Uo de estos feómeos es la existecia de múltiples putos de equilibrio aislados. U sistema lieal puede teer u solo puto de equilibrio aislado, y por lo tato u solo estado de régime estacioario que si el puto es asitóticamete estable atrae al estado del sistema idepedietemete del estado iicial. E cambio, los sistemas o lieales puede teer varios putos de equilibrio, y la covergecia a uo estable depede del estado iicial. Debido a esto, resulta importate estudiar la estabilidad de los diferetes putos de equilibrio de los sistemas o lieales para poder eteder mejor el comportamieto del mismo. Aquí se aaliza la estabilidad de los putos de equilibrio de los sistemas o lieales mediate el estudio del comportamieto del estado e u etoro de los mismos. Para ello se preseta el cocepto de estabilidad e el setido de Lyapuov como así tambié ua itroducció los métodos de Lyapuov para el aálisis de estabilidad. - Estabilidad de los Putos de Equilibrio U puto de equilibrio de u sistema diámico es estable e el setido de Lyapuov si todas las solucioes que ace e las cercaías del puto de equilibrio permaece e dichas cercaías; de otra forma resulta iestable. El puto de equilibrio además es asitóticamete estable si las solucioes además de permaecer e las cercaías del mismo, tiede hacia el puto de equilibrio a medida que trascurre el tiempo. A cotiuació se formaliza estos coceptos. Cosidérese el siguiete sistema autóomo : x = f () x () dode las compoetes del vector -dimesioal f(x) so cotiuas y además so fucioes Lipschitziaas 3 e forma local de x, defiidas para todo x e el domiio D R. La codició de Lipschitz garatiza la existecia y uicidad de la solució de () que satisface la codició iicial x () = x. Alexader Mikhailovich Lyapuov (857-98) fue u matemático ruso cuyo trabajos, que apareciero publicados a mediados de 89, diero orige al estudio de estabilidad mediate u efoque teórico que hoy lleva su ombre. U modelo se deomia autóomo cuado f o depede de t. A_EstSNL.doc 8/4/3 DSF Código: A_EstSNL Págia de 8

2 Supoiedo que x D es u puto de equilibrio de (); o sea f () x =, se pretede caracterizar y aalizar la estabilidad de x. Por coveiecia se cosidera x = lo cual o represeta ua perdida de geeralizació ya que cualquier puto de equilibrio x puede ser trasladado al orige mediate el cambio de variable y : = x x co lo que se tiee: y = x = f x = f y + x : = g y, co g () = E esta ueva variable y, el sistema y = g( y) () ( ) ( ) tiee como puto de equilibrio al orige del espacio de estados. E cosecuecia, de ahora e más se cosiderará que f () x satisface f () = y se estudiará la estabilidad del orige del espacio de estados x = como puto de equilibrio. φ, represeta la solució de () dada a partir de la codició iicial ( t ) x partir del istate iicial t = t, etoces el puto de equilibrio x = de () es: Defiició : Si ( t; t x ) Lyapuov estable si para cada > Iestable si o es estable δ tal que = δ ε ε, hay u () > () δ φ( t; t x ) < ε x <,, t Asitóticamete estable si es estable y δ se puede elegir de modo que x () < δ límφ( t; t, x ) = t x = a E la figura se muestra ua represetació gráfica de la defiició para los tres casos de estabilidad defiidos. (a) (b) (c) Fig. Putos de equilibrio e x = co trayectorias solució represetativas para u caso: (a) estable, (b) iestable y (c) asitóticamete estable. Ua vez defiidos los diferetes tipos de estabilidad de los putos de equilibrio, es ecesario ecotrar métodos para determiar la misma. 3 Ua fució f () x se deomia Lipschitziaa e forma local e u puto x si satisface la codició de Lipschitz: f () x f () y L x y para x, y e u etoro de x, dode L es ua costate positiva y deota la orma Euclídea e R,i.e., x = x + x + x. A_EstSNL.doc DSF Código: A_EstSNL Págia de 8

3 - Aálisis de Estabilidad de los Putos de Equilibrio de los Sistemas No Lieales Mediate sus Aproximacioes Lieales Usualmete, el primer paso e el aálisis de sistemas o lieales es realizar ua liealizació e toro a u puto de equilibrio y aalizar el comportamieto del modelo lieal. Etoces el siguiete teorema establece codicioes bajo las cuales es posible extraer coclusioes sobre la estabilidad del orige como puto de equilibrio del sistema o lieal a través del aálisis de estabilidad del modelo liealizado e toro a dicho puto de equilibrio (Khalil, H., 996). El Teorema se cooce como Método Idirecto de Lyapuov. Teorema (Método Idirecto de Lyapuov) 4 : Sea x = u puto de equilibrio del sistema o lieal dado por x = f () x dode f : D R, co D R, es cotiuamete difereciable y D es u etoro del orige. Sea la matriz Jacobiaa f A = () x x= Etoces, otado co λ i a los autovalores de A (i =,...,). El orige es asitóticamete estable si R { i} < El orige es iestable si R { } > i e λ, para todo λ i e λ para uo o más autovalores de A. Este teorema brida u simple procedimieto para determiar la estabilidad del orige como puto de equilibrio de u sistema o lieal a través de su modelo icremetal lieal (MiLi). Si embargo, todavía es posible extraer más iformació del sistema liealizado como lo muestra el siguiete teorema: Teorema (Hartma-Grobma) 5 : Sea x = u puto de equilibrio del sistema o lieal dado por x = f () x dode f : D R, co D R, es cotiuamete difereciable y D es u etoro del orige. Sea la matriz Jacobiaa f A = () x cotiua sobre D x= Etoces, si A o tiee autovalores ulos o imagiarios co parte real ula, existe u homeomorfismo h, es decir ua fució que tiee iversa y ambas cotiuas defiida e u etoro abierto U del orige, tal que para cada x U, hay u itervalo abierto I R que cotiee al cero de modo que para todo x U t I : dode ( t; t, x ) () x h y A( t t ) ( φ ( t; t, x )) = e h( x ) φ represeta la solució de x = f () x dada a partir de la codició iicial x = a partir del istate iicial t = t. Es decir, que h trasforma las trayectorias del sistema o lieal e las del sistema liealizado, preservado la parametrizació, o sea el setido e el que se recorre. 4 Para la prueba de este teorema ver Khalil, H., Para la prueba de este teorema ver Perko, L. 99. A_EstSNL.doc DSF Código: A_EstSNL Págia 3 de 8

4 E la figura se muestra u esquema de los retratos de fase del sistema o lieal y del liealizado bajo la operació del homeomorfismo h. Fig. Represetació gráfica de la operació del homeomorfismo h. Este teorema o solo brida iformació sobre la estabilidad del puto de equilibrio sio que tambié permite coocer cualitativamete el comportamieto de las trayectorias e u etoro del mismo. Niguo de ambos teoremas establece codició algua cuado R { i } Re{ λ } = i e λ para todo i, y para algú i. E este caso, la liealizació o es suficiete para determiar la estabilidad del orige como puto de equilibrio del sistema o lieal, como así tampoco para establecer la forma del retrato de fase etoro al orige, y se debe recurrir a algua otra herramieta para el aálisis. 3- Estabilidad e el setido de Lyapuov De la teoría clásica de la Mecáica, es sabido que u sistema es estable si su eergía, ua fució positiva, es cotiuamete decreciete, o sea tiee derivada egativa, hasta que el sistema alcaza su estado de equilibrio (Ogata, K., 99). El segudo método de Lyapuov es ua geeralizació de este hecho. Lyapuov demostró que ciertas otras fucioes aparte de la fució eergía puede ser usadas para la determiació de la estabilidad del puto de equilibrio de u sistema. Ates de presetar el teorema de Lyapuov se ecesario revisar alguos coceptos. Sea V : D R u campo escalar cotiuamete difereciable defiido e u domiio cotiee al orige, etoces: D R que V () x se dice que es ua fució defiida positiva si V () = y () x > V e { } D. V () x se dice que es ua fució semidefiida positiva si V () = y V () x e D. V () x se dice que es ua fució defiida egativa si V () x es defiida positiva. V () x se dice que es ua fució semidefiida egativa si V () x es semidefiida positiva. La derivada temporal de V sobre las trayectorias de () se deomia derivada orbital, se deota V x, y esta dada por: () A_EstSNL.doc DSF Código: A_EstSNL Págia 4 de 8

5 V V () x = x = f () x = V () x f () x V =, V V,, V () x () x f f f () x () La derivada de V sobre las trayectorias del sistema depede de la ecuació vectorial de estado del sistema. De este modo, V () x será diferete para diferetes sistemas. Si φ( t; t, x ) represeta la solució de () dada a partir de la codició iicial x () = x a partir del istate iicial t = t, etoces V d dt () x = V ( φ( t; t x ) Cosecuetemete, si V () x es egativa, V será decreciete sobre las trayectorias solució de (). Ahora se está e codicioes de presetar el segudo método o método directo de Lyapuov: Teorema 3 (Método directo de Lyapuov): Sea x = u puto de equilibrio del sistema x = f () x y sea V : D R u campo escalar cotiuamete difereciable defiido e u domiio D R que cotiee al orige, etoces Si V () x es defiida positiva y V () x es semidefiida egativa, el orige es u puto de equilibrio estable. Si V () x es defiida positiva y V () x es defiida egativa, el orige es u puto de equilibrio asitóticamete estable. Ua fució V () x que cumple co las codicioes impuestas e el teorema aterior se deomia fució de Lyapuov. Este método es ua herramieta de aálisis muy poderosa. Si embargo, preseta dos desvetajas. La primera es que o hay u método sistemático para hallar ua fució de Lyapuov por lo tato hay que propoer ua fució cadidata a fució de Lyapuov y probar si la misma cumple co los requisitos de estabilidad. La seguda es que el teorema solo brida codicioes suficietes por lo tato el hecho de o ecotrar ua fució cadidata a Lyapuov que satisfaga las codicioes de estabilidad o de estabilidad asitótica o sigifica que el orige es iestable o o asitóticamete estable. Se puede demostrar que si V () x es ua fució de Lyapuov, el cojuto de los x tal que V () x = c, para algua cotate c > es ua hypersuperficie cerrada (deomiada superficie de Lyapuov o superficie de ivel ) e el espacio de estados que ecierra al orige. El uso de las superficies de Lyapuov hace que el teorema sea fácilmete iterpretable. Las superficies que correspode a costates decrecietes < c < c, se ecuetra ítegramete coteidas como lo muestra la figura 3 para el caso de R. La codició V () x se puede iterpretar geométricamete a través de () ya que la misma sigifica que el producto escalar etre el gradiete de V y el campo vectorial f es egativo: V () x f () x A_EstSNL.doc DSF Código: A_EstSNL Págia 5 de 8,

6 Fig. 3 Iterpretació geométrica de las superficies de Lyapuov para el caso de R. Teiedo e cueta que f es u vector tagete a la trayectoria solució, la codició V () x = V () x f () x sigifica que cuado ua trayectoria cruza ua superficie de Lyapuov, esta trayectoria lo haca hacia adetro y uca vuelve a salir. Además cuado V () x < las trayectorias se mueve desde ua superficie hacia otra iterior correspodiete a u c meor. Cuado c decrece, las superficies de Lyapuov correspodietes se achica hacia el orige mostrado que las trayectorias se aproxima al orige a medida que trascurre el tiempo. E cambio, si V () x o se puede asegurar que las trayectorias coverja al orige, pero se puede cocluir que el orige es estable ya que las trayectorias quedará coteidas e algú etoro ε del orige si la codició iicial x está detro de algua superficie de Lyapuov coteida e dicho etoroε (Khalil, H., 996). Pricipio de Ivariacia Cuado V () x semidefiida egativa, todavía es posible determiar la estabilidad asitótica del orige como lo muestra el siguiete corolario del Pricipio de Ivariacia de LaSalle 6 : Corolario: Sea x = u puto de equilibrio de (). Sea V : D R ua fució defiida positiva cotiuamete difereciable sobre el domiio D R que cotiee al orige x =,y además V () x e D. Sea S = { x R V () x = }. Si igua trayectoria solució de () que etra e la regió S permaece allí idefiidamete salvo la solució trivial, etoces el orige es u puto de equilibrio asitóticamete estable. Este corolario establece que si para u sistema de la forma de () se ecuetra ua fució de Lyapuov que es semidefiida positiva, para cocluir que el orige es asitóticamete estable se debe demostrar que cuado las trayectorias etra e la zoa del espacio de estado dode se aula V o permaece allí para siempre a meos que se este e el puto de equilibrio. A cotiuació se preseta u ejemplo que ilustra todos lis coceptos presetados hasta ahora. 6 Tato el teorema de LaSalle como su demostració se puede cosultar e Khalil, H.,996. A_EstSNL.doc DSF Código: A_EstSNL Págia 6 de 8

7 Ejemplo de Aplicació U pédulo simple moviédose e u plao vertical se puede modelar segú: mlθ = mg si ( θ ) blθ Dode m es la masa cocetrada e el extremo de la barra, l es la logitud de la barra y b es el coeficiete de fricció traslacioal. Si se defie las variables de estado como x := θ y x := θ se obtiee el siguiete modelo e EE: co α = g l y β = b m. x x = x ( x ) x = α si β (3) π El sistema dado por (3) tiee putos de equilibrio e x = para =, ±, ±, Observado el sistema físico es evidete que hay dos putos de equilibrio característicos uo para x = y π otro para x = y los demás so repeticioes de estos a medida que el pédulo da distita catidad de vueltas. Dado que se está tratado u modelo de u sistema físico y se cooce el sigificado de las variables, resulta atural tomar como fució cadidata de Lyapuov a la eergía 7 del mismo, que para este caso es la suma de la eergía potecial y ciética de la masa: x V () x = α si() y dy + x ( ( ) = α cos x + x dode se eligió la referecia de eergía potecial de modo que V () =. La fució V () x es defiida positiva e el domiio π < x < π y la derivada de la misma sobre las trayectorias de (3) resulta: V () x = α x si( x ) + xx = β x La misma resulta semidefiida egativa ya que si x = etoces V () x = idepedietemete del valor de x. Por lo tato sobre el eje x se aula la derivada de la fució de Lyapuov y por lo tato o es posible cocluir sobre la estabilidad asitótica del orige. Aquí es dode juega su papel el Pricipio de Ivariacia de LaSalle: 7 E realidad la fució elegida es la eergía dividida por la costate (ml ) A_EstSNL.doc DSF Código: A_EstSNL Págia 7 de 8

8 Pricipio de Ivariacia de LaSalle: Cosidérese el cojuto { V () x = } = { x = }. Que ua trayectoria etra e esta regió y permaezca allí para siempre sigifica: ( x ) x x si = Esto se puede cumplir sólo para x = dada la restricció del domiio de V () x. Por lo tato se puede cocluir que el orige es u puto de equilibrio asitóticamete estable. Queda plateado como ejercicio el aálisis por medio del MiLi para cada puto de equilibrio. Bibliografía Khalil, H., Noliear Systems, Secod Editio, Pretice-Hall (996) Khalil, H., Chapter 56: Stability, i The Cotrol Hadbook, pp , IEEE Press Edited by W. Levie (997) Ogata, K., Moder Cotrol Egieerig, Secod Editio, Pretice-Hall (99) Perko, L., Differetial Equatios ad Dyamical Systems, Spriger-Verlag (99) A_EstSNL.doc DSF Código: A_EstSNL Págia 8 de 8