Diseños de Investigación y análisis de datos

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1 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Tema : ETIMACIÓN DE PARÁMETRO CONTRATE DE HIPÓTEI... Itroducció.. Objetivos.3. Distribucioes muestrales.3.. Distribució muestral de la media.3.. Distribució muestral de la proporció.3.3. Distribució muestral de la variaza.4. La estadística iferecial.4.. Estimació de parámetros.4... Itervalo de cofiaza de la media.4... Itervalo de cofiaza para la proporció Itervalo de cofiaza para la variaza.4.. Amplitud del itervalo de cofiaza y su relació co el tamaño muestral.4.3. Cotraste de hipótesis Metodología clásica del cotraste de hipótesis Errores al tomar ua decisió e u cotraste de hipótesis.5. Ejercicios de autoevaluació P á g i a

2 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos..- Itroducció E la asigatura de primer curso Itroducció al aálisis de datos se ha estudiado procedimietos para orgaizar, represetar y describir u cojuto de datos -bie mediate la creació de tablas, gráficos o calculado medidas que os iforma de su tedecia cetral, variabilidad, forma, relació, etc.- de tal forma que, de forma resumida, os proporcioa u coocimieto eficaz y co setido de las características de la muestra. E esta asigatura de segudo vamos a dar u paso adelate co el objetivo de utilizar esta iformació para que, mediate la iferecia y el cotraste de hipótesis, podamos hacer geeralizacioes referidas a la població a partir del aálisis descriptivo de ua, dos, o más muestras. Este coocimieto siempre será aproximado o, dicho co otras palabras, esta iferecia siempre será probabilística. E este primer capítulo abordamos los fudametos de la iferecia estadística, rama de la Estadística que permite realizar afirmacioes sobre ua població a partir de los datos obteidos e algua de las muestras que se puede extraer de la misma. E el proceso de iferecia hay que seguir uas pautas para que las afirmacioes que hagamos fialmete referidas a la població, y las correspodietes decisioes que tomemos respecto a ella, sea lo más racioales posibles. E este proceso iferecial se puede distiguir básicamete los siguietes pasos: extracció de la muestra, medició de la(s) característica(s) objeto de uestro iterés, cálculo del estadístico e la muestra para iferir el parámetro de la població, y evaluació probabilística del error que podemos cometer al realizar dicha iferecia. De maera resumida, explicaremos los fudametos teóricos y los aspectos prácticos del proceso de iferecia, repasado u cocepto fudametal, si el cual o es posible compreder cómo se produce la iferecia, y que se cooce como distribució muestral, que ya fue tratado e el tema 8 de la asigatura de Itroducció al aálisis de datos y al cual remitimos al estudiate que por algú motivo o ahodó lo suficiete e este cocepto. Posteriormete abordamos los procedimietos de estimació de parámetros, así como las propiedades que debe teer u estimador para que cumpla bie su fució de estimar el parámetro que se desea coocer e la població. Fialmete, explicamos co cierta amplitud la metodología del cotraste de hipótesis sobre parámetros de ua població, proceso ítimamete relacioado co el proceso de estimació. E los epígrafes dedicados a los cotrastes de hipótesis, además de la metodología, se trata aspectos sustativos de los cotrastes tales como los posibles errores que se puede cometer al hacer ua iferecia, y u cocepto que está e boga desde los años ocheta del pasado siglo, como es el de la magitud o tamaño del efecto, y que ya es preceptivo referir e cualquier iforme de ivestigació empírica. E cualquier caso, el estudiate debe saber que la temática que se trata e este texto asume coocimietos previos tratados e la asigatura de primer curso de tal forma que se supoe adquiridos los coceptos básicos de aálisis descriptivo de los datos, probabilidad, el cálculo de las probabilidades e las distribucioes discretas y cotiuas e, ítimamete relacioadas co éstas últimas, el cocepto de distribució muestral. Adquiridos estos coceptos a los que os hemos referido, e este primer tema marcamos los siguietes objetivos. El cocepto de parámetro se explica deteidamete e el tema 9 sobre cotrastes o paramétricos. P á g i a

3 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos..- Objetivos: Coocer cómo es la distribució muestral de los estadísticos media, variaza y proporció. Calcular itervalos de cofiaza de los parámetros poblacioales media, variaza y proporció. Calcular el tamaño de la muestra e fució de la precisió de la estimació deseada. Compreder e iterpretar la lógica de la metodología del cotraste de hipótesis. Recoocer e idetificar los errores y riesgos de todo cotraste de hipótesis..3.- Distribucioes muestrales La iferecia estadística es ua forma de razoamieto que va de lo cocreto a lo geeral. El ivestigador, para cofirmar o refutar las hipótesis teóricas que maeja, extrae ua muestra represetativa de la població objeto de estudio y sobre ella realiza las medicioes de las características relevates para su ivestigació. Para cada característica evaluada se obtiee uo, o más, valores uméricos que se cooce como estadísticos, los cuales puede ser cualquiera de los estudiados e la asigatura de primer curso (medidas de tedecia cetral, de posició, de variabilidad, de asimetría, de relació, de regresió, etc.). es a partir de los diversos estadísticos obteidos e la muestra (lo cocreto) que tiee que realizar afirmacioes sobre los valores de los parámetros de la població (lo geeral). Pero cómo se realiza ese salto de lo cocreto a lo geeral? Para eteder este proceso es preciso, previamete, recordar lo que se cooce como distribució muestral, y para ello hay que situarse e u plao hipotético e el que pudiéramos tratar co todas las posibles muestras del mismo tamaño,, que se puede extraer de ua població de tamaño N (siedo, obviamete, N > ). Razoado e este esceario hipotético e el que pudiéramos extraer todas las muestras de la població, e cada ua de estas muestras se realizaría la medició de la o las variables de iterés y se obtedría u estadístico (media, proporció, variaza, correlació, etc.) cuyo valor será diferete (o igual) al obteido e cualquiera de las otras posibles muestras ya que, obviamete, depede de los datos que la compoe. Es decir, el estadístico obteido e cada ua de las distitas muestras se comporta como ua variable aleatoria, y sus diferetes valores forma ua distribució de probabilidad que recibe el ombre de distribució muestral. Como e toda distribució, tambié de la distribució muestral de uo de estos estadísticos obteido para todas las muestras posibles, podemos obteer su media y su desviació típica. Esta última, al estar referida a la distribució muestral de u estadístico, recibe el ombre de error típico del estadístico. De modo que el cocepto de distribució muestral hay que distiguirlo de otros tipos de distribucioes, como so, la distribució poblacioal, que se refiere a la distribució de los datos idividuales e la població, y la distribució e la muestra que es la distribució de ua parte de estos datos idividuales que costituye la muestra. Ua vez que hemos repasado el cocepto de distribució muestral, vamos a abordar de maera muy resumida cómo so las distribucioes muestrales de tres estadísticos ampliamete utilizados e la ivestigació social: la media, la proporció y la variaza y recordado que las dos primeras ya fuero tratadas e el curso aterior, y veremos cómo la forma que adopta la distribució muestral depede, etre otras cosas, de la forma que adopte la distribució poblacioal..3.. Distribució muestral de la media Cosideremos ua població formada por todos los estudiates uiversitarios de ua determiada comuidad de los que podemos coocer, a partir de sus datos de la matrícula, su edad. A partir de estos datos podemos calcular su edad media y la variaza de esta misma variable (edad), valores que represetamos por, respectivamete (si dispusiéramos de más de ua variable, sería recomedable 3 P á g i a

4 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos idicar, mediate subídices, a qué variable se correspode cada media y variaza, de tal forma que e este caso podríamos idicarlo como ). De esta població podemos extraer ua muestra de, por ejemplo, 00 estudiates y calcular su media y desviació típica que represetamos por si represetamos la variable por o por si la represetamos co la letra X. Pero esta muestra o es la úica posible. e puede extraer muchas otras muestras diferetes, todas ellas del mismo tamaño (=00), y e cada ua de ellas calcular su media y desviació típica que variará de ua muestra a otra, de tal maera que co las putuacioes de todas las medias obteidas e estas distitas muestras (véase Figura.) se origia otra distribució que se llama distribució muestral de la media. Co el mismo procedimieto se obtedría la distribució muestral de la desviació típica o de cualquier otro estadístico, como la proporció, la correlació de Pearso, etc. y correspode a la distribució de probabilidad de u estadístico que se obtiee al calcularlo e todas las posibles muestras del mismo tipo y tamaño,, extraídas de ua població de tamaño N. Figura.: Proceso de costrucció de la distribució muestral para el estadístico media. A la izquierda aparece la represetació de ua variable e ua població de tamaño N. Esta variable es ormal co media 00 y desviació típica 5. A la derecha se muestra la distribució muestral teórica del estadístico Media calculado e todas las muestras posibles de tamaño. Obsérvese que ambas distribucioes (la poblacioal y la muestral) tiee la misma media pero la distribució muestral tiee ua variabilidad muy iferior a la variabilidad de la distribució poblacioal. Como se estudió e el tema 8 de la asigatura Itroducció al aálisis de datos, podemos supoer que la distribució muestral de la media es ormal, o se aproxima suficietemete a la ormalidad, cuado se cumple al meos ua de las siguietes codicioes: - La variable e la població se distribuye ormalmete. - La variable e la població NO se distribuye ormalmete, pero el tamaño de la muestra es igual o superior a 30 observacioes (Teorema Cetral del Límite). 4 P á g i a

5 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos E la asigatura Itroducció al Aálisis de Datos, estudiamos que si se descooce la forma de la distribució poblacioal de la variable, la forma de la distribució muestral de la media depede del tamaño de la muestra. El Teorema Cetral del Límite (TCL) establece que si importar la forma de la distribució poblacioal, la distribució muestral de la media se aproximará a la ormal a medida que aumeta el tamaño de la muestra. el tamaño que debe teer la muestra para que la distribució muestral se cosidere ormal depede de la forma que tega la distribució poblacioal, de tal forma que cuato más se aleje ésta de la distribució ormal mayor tedrá que ser el tamaño de la muestra. Por otro lado, si asumimos que la mayoría de las variables que se utiliza e las ciecias sociales o se aleja e exceso de la distribució ormal, vamos a cosiderar que ua muestra es grade a partir de. Cuado realizamos iferecia estadística sobre la media aritmética, siempre ha de cumplirse al meos ua de las dos codicioes descritas, pero procederemos de forma diferete e fució de si la variaza poblacioal es coocida o descoocida..- Así pues, si coocemos la desviació típica poblacioal σ, y podemos asumir que la variable e la població se distribuye ormalmete, o bie, que, etoces cosideramos que la distribució muestral del estadístico media es tambié ormal, cuya media y desviació típica (o error típico de la media) so, respectivamete: Obsérvese que para difereciar los parámetros poblacioales ( ) de los parámetros de la distribució muestral de la media ( y ) hemos icluido e esta última u subídice que señala el estadístico sobre el que se ha calculado la distribució muestral. Obviamete, si tipificamos el valor del estadístico media que se distribuye ormalmete, obteemos la variable Z: Z cuya distribució será ormal, ( ), lo cual permite coocer mediate las tablas de la curva ormal la probabilidad asociada a cada valor del estadístico e la distribució muestral, o la distacia, e térmios probabilísticos, desde la media de ua muestra cocreta,, a la media de la població (que coicide co la media de la distribució muestral, )..- No obstate, si, como suele ser habitual e la práctica ivestigadora, se descooce la variaza de la variable e la població, pero podemos asumir que la distribució poblacioal es ormal o bie que, los estudios realizados por W.. Gosset al fial del siglo XIX demostraro que e estas circustacias la distribució muestral de la media es ua distribució diferete de la ormal, que se cooce co el ombre de distribució t de tudet ( ). Bajo estas codicioes Gosset demostró que la variable: Este fue el pseudóimo que tuvo que utilizar Gosset para poder publicar sus ivestigacioes sobre la distribució t ya que su cotrato laboral co la cervecera Guiess le impedía publicar co su ombre verdadero. 5 P á g i a

6 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos T sigue el modelo t de tudet co - grados de libertad, dode - y so, respectivamete, la cuasidesviació típica y la desviació típica de la muestra, ambas vistas el curso aterior. Recuerde el lector que, e la asigatura de Itroducció al Aálisis de Datos, se describía las características de las distribucioes Z y t, idicado que la distribució ormal estádar es simétrica co media 0 y variaza mietras que la distribució t de tudet es tambié simétrica co media cero pero variaza igual a /-. Es fácil deducir, por tato, que a medida que aumeta el valor de, la variaza de la distribució t se va aproximado a, y por tato su distribució de t se irá aproximado a la ormal de putuacioes Z. E las tablas que maejamos e este curso, podemos cosultar valores para distribucioes t de tudet hasta 00 grados de libertad. Podemos comprobar que para dichos grados de libertad los valores que os ofrece la tabla so muy parecidos a los de la curva ormal tipificados, por lo que, cuado los grados de libertad sea superiores a 00, podemos utilizar los valores de la tabla de curva ormal. Veamos u ejemplo: Ejemplo.: upogamos que e u determiado Estado la població de escolares es evaluada sobre coocimietos matemáticos básicos. Las putuacioes e la població se distribuye ormalmete co media y desviació típica. i de esta població se extrae ua muestra aleatoria de sujetos: cuál es la probabilidad de obteer ua media de 5 putos o superior?; cuál es la probabilidad de obteer ua media que esté compredida etre 48 y 5 putos? Partimos de ua distribució poblacioal ormalmete distribuida co media 50 y desviació típica por lo que la distribució muestral de la media es tambié ormal (co media igual a 50 y desviació típica igual a ). Bajo estas codicioes, calculamos la putuació típica correspodiete al valor 5, de esta distribució muestral de medias: 5 50 z,83 y de acuerdo a la distribució ormal tipificada la probabilidad de obteer putuacioes típicas de,83 o superior, o lo que es igual, de obteer ua media de 5 putos o superior es igual a 0,0336. Es decir, es poco probable ecotrar de esa població ua muestra de elemetos y que tega 5 putos de media o superior. E la Figura.(a) se represeta el área correspodiete a esta probabilidad. 6 P á g i a

7 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Figura. (a). Probabilidad de ecotrar valores iguales o mayores de 5 e la distribució muestral de media 50 y desviació típica Figura. (b). Probabilidad de ecotrar valores compredidos etre 48 y 5 e la distribució muestral de media 50 y desviació típica Para la seguda cuestió hay que calcular las putuacioes típicas correspodietes a 48 y 5, y determiar la probabilidad asociada a sus correspodietes valores z z,83 ; z 0,9 De acuerdo a la distribució ormal tipificada la probabilidad, compredida etre estas dos putuacioes que se represeta e la Figura. (b), so: ( ) ( ) ( ) Como hemos cometado previamete, este ejemplo podríamos resolverlo de la misma forma si se descoociera la forma de la distribució poblacioal. Bajo estas uevas codicioes la distribució muestral de la media sería la distribució t co - g.l. (cocretamete 0 g.l.). Al ser los grados de libertad superiores a 00 (que es el valor más alto que podemos cosultar e las tablas), el resultado sería prácticamete igual al obteido utilizado putuacioes Z..3.. Distribució muestral de la proporció E el ámbito de las Ciecias ociales es habitual dirigir uestra ateció a situacioes e las que o estamos iteresados e la media de la muestra sio que queremos ivestigar la proporció de persoas que votará a u determiado partido político, que preseta u determiado sítoma, o que, e defiitiva, cumple ua determiada codició a la que geéricamete llamaremos éxito. E estas situacioes teemos que apoyaros e la distribució muestral de la proporció, la cual se geera co la misma lógica que la distribució muestral de la media, co la úica diferecia de que al extraer todas las posibles muestras de tamaño de la població, el estadístico que se calcula e cada ua de ellas es la proporció p=x/ dode x es el úmero de datos de la muestra que cumple la codició desigada como éxito y es el tamaño de la muestra. 7 P á g i a

8 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Etoces, si llamamos a la proporció de casos que cumple ua determiada codició e ua població de tamaño N y extraemos todas las posibles muestras aleatorias de tamaño, e la que defiimos la variable P = Proporció de aciertos, la distribució muestral de la proporció es la distribució de probabilidad del cojuto de todas las proporcioes, P, obteidas e todas las muestras posibles de tamaño, extraídas de ua població de tamaño N. La variable aleatoria P, sigue el modelo de probabilidad biomial, cuya media y desviació típica so, respectivamete: p p ( ) Como sabemos por los temas ya estudiados e el primer curso, las probabilidades asociadas a cada valor de P se puede buscar e las tablas de distribució biomial co parámetros y. Por otra parte, la distribució biomial -igual que la, la t de tudet o la F de edecor-fischer- se aproxima a la ormal a medida que aumeta el tamaño de la muestra, y por tato se puede geerar ua ueva variable: Z P P cuya distribució es la ormal tipificada. Ejemplo.: Ua escuela de educació primaria está compuesta por u 40% de iños y u 60% de iñas. i se elige ua muestra aleatoria de 0 alumos, cuál será la probabilidad de que haya más de 9 iños? La probabilidad de que e ua muestra de 0 alumos haya más de 9 iños, siedo la proporció de éstos e la població, se obtiee recurriedo a la distribució biomial co parámetros =0 y la probabilidad pedida es, utilizado la expresió de su fució de distribució, la siguiete 3 : P ( y 9) P( y 9) 9 y0 0 0,40 y y 0,60 0 y 0,7553 0,447 utilizado la distribució ormal, tipificamos la proporció de iños obteida e la muestra P=9/0=0,45 Z P P 0,45 0,40 0,40 0,60 0 0,05 0,095 0,46 3 Valor que tambié podríamos obteer recurriedo a la tabla de la distribució biomial como se estudió e el Tema 6 de la asigatura de Itroducció al Aálisis de Datos. 8 P á g i a

9 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos P( Z P( Z 0,46) 0,677 0,46) P( Z 0,46) 0,677 0,38 Los resultados obteidos por los dos procedimietos o coicide pero la diferecia ecotrada va desapareciedo a medida que aumeta el tamaño de la muestra, ya que el ajuste de la distribució biomial a la ormal es más exacto. Esta diferecia etre la probabilidad calculada mediate la distribució biomial (discreta) y la calculada mediate la curva ormal (de parámetros media igual a π y variaza igual a π (- π)) se debe a que esta última es cotiua. i e vez de utilizar el puto P = 0.45 correspodiete a 9 éxitos utilizamos el puto medio etre 9 y 0 éxitos (P = 9.5 / 0 = 0.475) y repetimos los pasos ateriores obtedríamos u valor de 0.483, bastate cercao al iicial (0.447). E la Figura.3 se muestra la diferecia etre ambas perspectivas. Parece obvio que la seguda es más aproximada, auque depeda de itroducir como aproximació u valor (y = 9.5) que o puede producirse jamás e la distribució biomial ya que esta exige valores eteros. Figura.3: efecto de utilizar y = 9 o y = 9.5 sobre las probabilidades para calcular la aproximació de la ormal a la biomial. La curva cotiua es la curva ormal co la misma media y desviació típica que la biomial. Las líeas verticales represeta la fució de probabilidad de la biomial. 9 P á g i a

10 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos.3.3. Distribució muestral de la variaza La variaza es ua medida de dispersió que permite determiar la variabilidad que preseta los datos recogidos e ua variable objeto de estudio. Recuerde que e la muestra podemos utilizar dos expresioes para el cálculo de la variaza, que recibe los ombres de: Variaza muestral: Cuasivariaza muestral o variaza isesgada: ( ) ( ) Obsérvese, si embargo que etre variaza y cuasi-variaza de la muestra existe la siguiete relació: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por lo que la cuasi-variaza de la muestra se puede calcular a partir de la variaza de la muestra de acuerdo co la siguiete expresió: No obstate, el proceso de costrucció de ua distribució muestral de variazas o es ta imediato como el de la media o el de la proporció, de modo que aquí os limitaremos a describir cuál es la variable aleatoria, su distribució de probabilidad, sus medias -o valor esperado- así como su variaza y desviació típica. La variable aleatoria que permite realizar afirmacioes sobre la variaza poblacioal se puede geerar a partir de cualquiera de las siguietes dos expresioes que parte de la cuasi-variaza o de la variaza de la muestra respectivamete: X X ( ) que se distribuye segú (ji-cuadrado co grados de libertad). Es decir, mietras que e el primer caso de este capítulo calculábamos como estadístico de cada muestra, su media ( ), e este caso para cada muestra calculamos el valor de, para el cual ecesitamos calcular la variaza (o cuasi-variaza) muestral así como el valor de e la població. La distribució de los valores de X e todas las muestras posibles se distribuirá segú Teiedo e cueta este modelo de probabilidad de la variable aleatoria así defiida, su media y desviació típica so, respectivamete: 0 P á g i a

11 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos X X ( ) Igual que sucedía ates, la distribució se aproxima a la distribució ormal a medida que aumeta sus grados de libertad, por lo que se puede costruir, de uevo, ua variable aleatoria tipificada Z que siga ua distribució ormal tipificada, y cuya expresió es: Z X X X Z Z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo.3: upogamos que la altura (e cetímetros) de los recié acidos e Méjico se distribuye ormalmete co media 48 cm y desviació típica 6 cm, N(48;6). i se seleccioa ua muestra de 5 recié acidos, cuál es la probabilidad de que la desviació típica de la muestra tome u valor iferior a 4,75 cetímetros? Utilizado la desviació típica de la muestra, el valor de la variable aleatoria es: X 54,75 6 5,66 que es u valor de ua distribució co 4 grados de libertad. i buscamos e la tabla de probabilidades de la distribució, se observa que el valor 5,6587 que aparece e la tabla (el más aproximado a uestro resultado) deja por debajo ua probabilidad de 0,0. Por tato, la probabilidad de que ua muestra de 5 recié acidos tega ua desviació típica iferior a 4,75 cetímetros (o ua variaza iferior a 4,75 ) es aproximadamete de 0,0. P á g i a

12 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos.4. La estadística iferecial Como se ha cometado e la itroducció de este tema, la iferecia estadística os va permitir iferir los parámetros de ua, dos o más poblacioes a partir de la iformació recogida e las muestras. Esta iferecia o geeralizació de lo particular a lo geeral, la vamos a realizar mediate dos procedimietos ítimamete relacioados: la estimació de parámetros y el cotraste de hipótesis. E ambos casos se trata de geeralizar la iformació obteida e ua muestra a ua població. Co la estimació tratamos de coocer el valor de uo o más parámetros correspodietes a ua variable aleatoria poblacioal,, a partir de los datos recogidos e ua muestra. De forma alterativa, los procedimietos para el cotraste de hipótesis (que so los más utilizados e la experimetació cietífica e el campo de las ciecias sociales y de la salud), os permite tomar ua decisió sobre u valor hipotético que se formula como parámetro poblacioal. El procedimieto se lleva a cabo aalizado si determiadas características que hipotéticamete formulamos para defiir la població puede ser ciertas a partir de la iformació proporcioada por ua muestra represetativa de la misma. Los procedimietos de cotraste de hipótesis e los diseños de ua, dos o más muestras que se verá e este curso se apoya e el supuesto de que la muestra se ha seleccioado mediate muestreo aleatorio. Para ello, se tiee que cumplir dos codicioes: la muestra tiee que seleccioarse por algú procedimieto aleatorio y, e segudo lugar, todos los elemetos de la població tiee la misma probabilidad de formar parte de la muestra. De esta forma, ua muestra represetativa es ua reproducció a escala de la població a la que perteece respecto a la o las variables que tratamos de estudiar. Por ejemplo si e la població de estudiates de la UNED, el 60% so mujeres y de éstas el 40% tiee cargas laborales frete al 75% e los estudiates varoes y queremos estudiar cómo las variables sexo y cargas laborales ifluye e el redimieto académico es ecesario que la muestra recoja este mismo reparto de proporcioes respecto al sexo y cargas laborales. De o cumplirse esta codició, de los resultados observados e la muestra o se podría hacer extrapolacioes válidas a la població geeral. Auque la estimació por itervalos y el cotraste de hipótesis se trata a cotiuació e epígrafes separados, veremos que so procedimietos complemetarios de forma que los itervalos puede aplicarse para el cotraste de hipótesis y el cotraste de hipótesis es ua toma de decisió respecto al parámetro poblacioal formulado Estimació de parámetros U estimador es u estadístico calculado e ua muestra que se utiliza para estimar u parámetro poblacioal. Para cada parámetro (v.g la media poblacioal) puede existir diferetes estimadores (v.g. la media aritmética, la media cuadrática, la mediaa, la moda). Para que u estimador realice bueas estimacioes del parámetro poblacioal es preciso que tega las cuatro propiedades que de forma muy resumida expodremos e las siguietes líeas. Para desvicular las propiedades de los estimadores de u parámetro cocreto, desigaremos de forma geérica co U al parámetro poblacioal, co a su valor estimado y co u a cualquier estadístico de la muestra que puede utilizarse como estimador. Por ejemplo, es el parámetro media poblacioal y su valor estimado. E este caso cocreto, el estimador que se utiliza para estimar la media poblacioal es el estadístico media aritmética de la muestra,. Es importate observar que, como hemos señalado al comiezo, podríamos haber elegido otros estadísticos muestrales como estimadores del parámetro media poblacioal (v.g., la mediaa, por citar algú otro de tedecia cetral). La cuestió es cuál de los posibles estimadores deberíamos utilizar? Esto depederá de la bodad de los mismos. Por lo tato, es preciso saber qué hace que u estadístico, u, sea u bue estimador del parámetro 4. 4 Obsérvese que para deotar que u estadístico cocreto es estimador de u parámetro, lo deotamos poiedo el aceto circuflejo sobre el parámetro a estimar. De esta forma, coceptualmete o es lo mismo la media como estadístico de ua muestra ( ) que la P á g i a

13 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Isesgado. U bue estimador tiee que ser isesgado, lo cual supoe que su valor esperado, ( ), o media de su distribució muestral,, debe coicidir co el parámetro que estima. La media muestral, tal como hemos visto, es u estimador isesgado de la media poblacioal, y lo mismo ocurre co la proporció, la cuasi-variaza muestral y otros estadísticos que veremos a lo largo del curso. i embargo la variaza muestral es u estimador sesgado de la variaza poblacioal ya que su valor esperado o media o coicide co la variaza poblacioal, es decir: ( ) (si embargo, como veremos más adelate, ( ), por lo que la cuasivariaza muestral es u estimador isesgado de la variaza poblacioal). Expresado, pues, de maera formal diremos que u es u estimador isesgado de U, si su valor esperado o media coicide co el parámetro: Eficiete o precisió. Además de que u estimador coicida, e promedio, co su parámetro, es bueo que la distribució del estimador tega poca variabilidad para que, de esta forma, se aleje poco del parámetro y e cosecuecia sea más preciso. Por tato, etre dos estimadores de u mismo parámetro, es más preciso el que tega variaza más pequeña. Cosistete. Como hemos visto al tratar la distribució muestral, raramete coicidirá los valores que el estimador adopta e muestras cocretas co el parámetro debido a las fluctuacioes del muestreo. i pesamos e la distribució muestral de la media es fácil observar que al aumetar más y más el tamaño de la muestra el estimador se va aproximado al parámetro a la vez que su variaza tiede a cero. Co esta idea, decimos que u estimador cosistete es aquel que se cocetra e u rago cada vez más estrecho alrededor de su parámetro a medida que aumeta el tamaño de la muestra. Tomado como referecia las dos propiedades ateriores, se puede afirmar que ua de las codicioes que hace cosistete u estimador es que tato su sesgo como su variaza tieda a cero a medida que aumeta. uficiecia. U estimador es suficiete si al estimar el parámetro utiliza toda la iformació de la muestra relacioada co el parámetro. La media, la variaza y la proporció so estimadores suficietes de sus respectivos parámetros, porque e todos ellos se utiliza la iformació de todos los elemetos de la muestra. No así la mediaa que solo idica cuál es el valor cetral de la distribució. Los estadísticos que hemos estudiado e cursos ateriores, cuado se aplica a los valores de las muestras que extraemos de la població -y que habitualmete se represeta co letras del alfabeto latioso los estimadores que podemos utilizar para estimar los parámetros poblacioales represetados co letras del alfabeto griego- y los que mejor cumple co estas codicioes se muestra e la Tabla, de tal forma que e cada líea aparece el mejor estimador muestral de cada parámetro: Estadísticos de la muestra Parámetros e la població Media: Media: Cuasi-variaza: Variaza: Proporció: P Proporció: Correlació: r X Correlació: X Ecuació de regresió: b0 b X Ecuació de regresió: 0 X Tabla media muestral como estimador de la media poblacioal, es decir, ˆ. Auque uméricamete valga lo mismo, e el primer caso se la cosidera u simple ídice descriptivo mietras que e el segudo se la cosidera u represetate de la media poblacioal y, además, u bue represetate ya que os sirve para iferir el valor descoocido. 3 P á g i a

14 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Cosiderado estas propiedades que debe teer los (bueos) estimadores, la estimació de parámetros se realiza siguiedo dos procedimietos: la estimació putual y la estimació por itervalos. La estimació putual cosiste e utilizar el valor del estadístico calculado e la muestra como valor del parámetro que se desea estimar. Mediate este método se utiliza el estadístico obteido e la muestra y se atribuye tal cual como parámetro de la població. i embargo es poco probable que el valor del estadístico calculado e la muestra cocreta coicida exactamete co el verdadero valor del parámetro y por ello es más iteresate costruir alrededor del estadístico de la muestra u itervalo, defiido por su límite iferior y superior, que tega e cueta la precisió del estimador (su error típico) de forma que os asegure, co ua cierta probabilidad que el verdadero valor del parámetro se ecuetra e esa fraja de valores. A este método se le cooce como el cálculo de los itervalos de cofiaza e el ámbito de la estadística iferecial. Por ejemplo, supoga que deseamos coocer el tiempo medio semaal que los estudiates de psicología de la UNED dedica al estudio de ua determiada asigatura. Mediate ua ecuesta realizada a ua muestra represetativa se obtiee ua media de 6h/semaales. Este valor sería la estimació putual para la media de todos los estudiates. E otro caso, y mediate procedimietos que veremos más adelate podremos determiar que el tiempo medio que dedica los estudiates al estudio es u valor compredido etre 4,7h/semaales y 7,3 h/semaales co ua probabilidad del 95%. Para llegar a estos resultados habremos utilizado los datos obteidos e la muestra que ha sido ecuestada y del coocimieto de las distribucioes muestrales de los estadísticos, co el doble objetivo tato de asigar u valor del estadístico e la muestra que extraemos de la població, como estimació putual de su parámetro, como para la estimació por itervalos Itervalo de cofiaza para la media Para el cálculo del itervalo de cofiaza de la media hay que cosiderar las circustacias bajo la cuales la distribució muestral de la media es ua distribució ormal o ua distribució t de tudet co - grados de libertad. Para calcular el itervalo de cofiaza de la media aritmética (recordamos que siempre tiee que cumplirse ua de las siguietes codicioes: distribució ormal e la població, o bie, ). Para ilustrar el procedimieto os apoyaremos e siguietes tres situacioes:.- Variaza poblacioal coocida. E estas circustacias sabemos que la distribució muestral de la media es ormal co media, y error típico igual a la desviació típica poblacioal dividida por la raíz de : N, e trata, por tato, de determiar dos valores que defie u itervalo detro del cual estimamos que se ecotrará la media poblacioal,, co ua determiada probabilidad, que represetamos por, y se deomia ivel de cofiaza. Teiedo e cueta las propiedades de la distribució ormal, si fijamos u ivel de cofiaza del o del 95%, sabemos que a,96 desviacioes típicas a izquierda y derecha de la media de la distribució muestral,, se ecuetra el 95% de las medias de cualquier muestra, como se muestra e la Figura.4. 4 P á g i a

15 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Figura.4. Distribució muestral de medias co itervalo del 95% alrededor del valor esperado Es decir, e 95 de cada 00 muestras su media se ecotrará detro del itervalo (.96,.96 ) cofiaza del 95% (0,95) es:. Expresado formalmete el itervalo alrededor del parámetro, co u ivel de P Resolviedo esta desigualdad se llega a la siguiete expresió que afirma que la probabilidad de que e u itervalo costruido alrededor de la media de ua muestra se ecuetra el parámetro de la població co ua probabilidad del 0,95 se calcula segú: P E geeral, el itervalo de cofiaza para la media poblacioal, estimado a partir de la media de la muestra y co u ivel de cofiaza de, es: P( Z Z ) y y iedo el error típico de la media: Efectivamete, la Figura.4 es la represetació de las medias de todas las muestras de tamaño que se puede extraer de ua població. De todas estas muestras, e el 95% de ellas su media se ecotrará 5 P á g i a

16 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos detro de la zoa cetral delimitada por los valores:. 96 y. 96 y sólo u 5% estará fuera de ese zoa. Por lo tato, partiedo de la media de ua muestra que se ecuetre detro de la zoa cetral -auque o ecesariamete coicidiedo co la media poblacioal,, ya que varía de ua muestra a otra- costruimos u itervalo co la misma amplitud que tedrá ua probabilidad del 95% de coteer la media poblacioal. i partimos de la media de ua muestra que se ecuetra fuera de la zoa cetral del 95%, el itervalo de cofiaza que costruyamos sobre ella o podrá icluir etre sus valores a la media de la població. Esto último sucederá, e promedio, e 5 de cada 00 muestras que extraigamos de la població. La represetació gráfica de lo que acabamos de explicar se puede ver e la Figura.5. Figura.5. Itervalo de cofiaza de la media co u NC del 95%.- Variaza poblacioal descoocida e muestras pequeñas (<30). E la práctica estadística o es frecuete que se coozca la variaza poblacioal. Lo habitual es descoocer tal dato que tedremos que estimar a partir de la variaza o cuasi-variaza de la muestra como u estimador de la variaza poblacioal. E estas circustacias la distribució muestral de la media es la distribució t de tudet y, por tato, el itervalo de cofiaza para la media poblacioal, estimado a partir de la media de la muestra,, y co u ivel de cofiaza de es: P( t t ) dode los valores de t so los que deja u itervalo cetral correspodiete a ua probabilidad de 0,95. E estas circustacias, es decir, cuado la variaza poblacioal es descoocida, hay que estimarla a partir de su estimador (sesgado o isesgado) por lo que el error típico de la media, es: egú se utilice la cuasi-desviació típica de la muestra (su estimador isesgado), e el primer caso, o la desviació típica de la muestra (estimador sesgado) e el segudo caso. 6 P á g i a

17 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Ejemplo.4. E u experimeto sobre ateció, u psicólogo preseta durate 300 mseg u grupo de 6 letras del alfabeto (co ua disposició de 4 filas y 4 columas). Cada uo de los sujetos que participa e el experimeto debe verbalizar tatas letras como recuerde de cada presetació estimular. El promedio de letras bie recordadas es de 7 y la desviació típica isesgada (cuasi-desviació típica) es de,3. Asumiedo que la distribució e la població es ormal (ecesitamos este supuesto, porque la muestra es pequeña). Etre qué límites se ecotrará el verdadero promedio de palabras bie recordadas, co ua probabilidad de 0,95? e descooce la forma de la distribució poblacioal y su variaza y, además, la muestra es pequeña, por lo que la distribució muestral de la media es la t de tudet. E la distribució t de tudet co gl, (Figura.6a) buscamos los valores que deja e la zoa cetral ua probabilidad de 0,95. Estos valores so -,0 y +,0 que se icluye e la expresió geeral: P( t t ),3,3 P( 7,0 7,0 ) 0,95 P ( 6,74 7,86) 0,95 Figura.6a. Itervalo de cofiaza de la media e la distribució t 3.- Variaza poblacioal descoocida e muestras grades (>00). E este caso, e teoría seguimos trabajado co ua distribució t de tudet co grados de libertad, pero coociedo las propiedades de esta distribució, sabemos que cuato mayor sea el valor de los grados de libertad, más se aproxima la distribució t a la distribució ormal. E las tablas que maejamos, podemos cosultar valores e distribucioes t hasta cie grados de libertad. Para valores superiores a dichos grados de libertad podemos cosiderar que las diferecias etre los valores Z y t so prácticamete despreciables, por lo que utilizaremos las tablas de curva ormal co muestras dode:. Ejemplo.5. E u experimeto sobre ateció, u psicólogo preseta durate 300 mseg u grupo de 6 letras del alfabeto (co ua disposició de 4 filas y 4 columas). Cada uo de los sujetos que participa e el experimeto debe verbalizar tatas letras como recuerde de cada presetació estimular. El promedio de letras bie recordadas es de 7 y la desviació típica es de,3. Etre qué límites se ecotrará el verdadero promedio de palabras bie recordadas, co ua probabilidad de 0,95? Auque se trata de ua distribució t, (Figura.6 b) buscamos los valores que deja e la zoa cetral ua probabilidad de 0,95 e la tabla Z, porque. Estos valores so -,96 y +,96 que se icluye e la expresió geeral: 7 P á g i a

18 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos P( t t ) P( t t ),3,3 P( 7,96 7,96 ) 0,95 P ( 6,768 7,3) 0,95 Figura.6b. Itervalo de cofiaza de la media e la distribució t La iterpretació correcta del itervalo de cofiaza es que detro de él se ecotrará, o o, el verdadero valor del parámetro, pero os permite afirmar que si repitiésemos el proceso co muchas muestras del mismo tipo y tamaño, e ua proporció igual a ( ) los itervalos así costruidos cotedrá al verdadero valor del parámetro (promedio de palabras recordadas e la població). esta iterpretació es la que hay que mateer para todo itervalo de cofiaza de cualquier otro parámetro poblacioal que vayamos a estimar, o cayedo e el error de iterpretarlo e el setido de que ua proporció de persoas igual a ( ) e este ejemplo, el 95% de las persoas- tiee u promedio de palabras recordadas compredido etre 6,7 y 7, Itervalo de cofiaza para la proporció abemos que la distribució muestral de la proporció es ua distribució biomial que se aproxima a la ormal cuado se utiliza muestras grades. Bajo estas codicioes, la distribució muestral de la proporció es ormal co media y error típico iguales a: p p ( ) Como la proporció poblacioal,, es u valor descoocido hay que estimarlo a partir de su estimador isesgado, la proporció muestral, p, y el error típico de la distribució muestral de la proporció queda de la siguiete forma: p ˆ ( ˆ) p ( p) Teiedo e cueta las propiedades de la distribució ormal, si fijamos u ivel de cofiaza del y siguiedo el mismo razoamieto utilizado para el caso de la media, partimos de la siguiete expresió: P ( Z P p Z ) P 8 P á g i a

19 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Resolviedo esta desigualdad se llega a la siguiete expresió que afirma que la probabilidad de que e u itervalo de cofiaza costruido alrededor de la proporció de ua muestra se ecuetra el parámetro de la població es de. P ( p Z P p Z ) P O de forma más desarrollada: P p Z p ( p) p Z p ( p) Ejemplo.6: Para dejar costacia real de las preferecias de los padres sobre la legua vehicular e la que prefiere que se eduque a sus hijos, ua determiada asociació de padres realiza ua ecuesta sobre ua muestra de 800 familias residetes e ua determiada autoomía biligüe, ecotrado que 80 familias so partidarios de que todas de las asigaturas se eseñe e Castellao. Co u ivel de cofiaza del 95% etre que valores se ecotrará la proporció de padres que e esa Comuidad so partidarios de que todas las asigaturas se imparta e Castellao? La proporció de familias partidarias de la eseñaza e Castellao obteida e la muestra es p=80/800 = 0,35. Al tratarse de ua muestra grade, la distribució biomial se aproxima a la ormal. Buscamos e la tabla de la distribució ormal los valores Z que deja ua probabilidad cetral del 95% y so -,96 y +,96 (Figura.7) y aplicamos la siguiete expresió: ( ) ( ) Figura.7. Itervalo de cofiaza de la proporció sobre ua distribució ormal. 9 P á g i a

20 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos E cosecuecia, podemos decir que la proporció poblacioal,, es u valor compredido etre 0,37 (3,7%) y 0,383 (38,3%) co ua probabilidad, o ivel de cofiaza, del 95% (Figura.7) Itervalo de cofiaza para la variaza Cuado tratamos la distribució muestral de la variaza vimos que la variable aleatoria se distribuía segú χ co g.l. La Figura.8 es ua represetació geérica de esta distribució e la que se idica la probabilidad de que u valor de esa variable aleatoria, tomado al azar, se ecuetre etre los dos valores que delimita la zoa mas clara, que vale -. Figura.8. Distribució χ co - grados de libertad Etoces, si fijamos dos valores: y de la distribució de probabilidad de de tal forma que la probabilidad, p, de que u valor tomado al azar de la variable aleatoria,,, se ecuetre e la zoa delimitada etre estos dos valores (zoa clara de la figura) sea igual a u valor que represetamos por y que represeta el ivel de cofiaza. Escrito de otra forma: P Para obteer el itervalo de cofiaza de la variaza hay que despejar de la expresió aterior el valor de la variaza poblacioal. Veámoslo paso a paso. Primeramete al pasar a los lados de la desigualdad el valor de. tedríamos: 0 P á g i a

21 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos P á g i a P y a cotiuació co el fi de aislar la variaza poblacioal,, teemos que ivertir los miembros de la desigualdad lo que colleva que varíe el setido de la misma y teemos: P y ordeado esta desigualdad de meor a mayor, llegamos a la expresió del itervalo de cofiaza de la variaza poblacioal: P Es decir que los límites del itervalo de cofiaza para la variaza poblacioal so: if l up l Co las pertietes modificacioes, se puede usar tambié la variaza isesgada (cuasi-variaza) siedo e este caso los límites iferior y superior los siguietes: if ) ( l ) ( up l Cuado el tamaño de la muestra está por ecima de 00 sujetos, la distribució muestral de la variaza se puede aproximar a la ormal, y los límites del itervalo de cofiaza se obtiee, sumado y restado al estimador, el error máximo de estimació (e este caso, se refiere idistitamete a o ): Z l if Z l up

22 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Ejemplo.7: U grupo de 30 alumos de eseñaza secudaria seleccioados al azar e ua determiada Comuidad realiza u test de compresió verbal de su legua autóoma. Las putuacioes obteidas se distribuye ormalmete co media 0 y variaza 36. Co ua probabilidad de 0 90, etre que valores se ecotrará la variaza e compresió verbal de todos los alumos de secudaria de esa Comuidad? Buscamos e la tabla de la distribució chi-cuadrado y co -=9 grados de libertad, los dos valores de la variable chi-cuadrado que deja ua probabilidad de 0,90 cetral. Estos valores so 7,708 y 4,557 tal y como se represeta e la Figura.9. Figura.9. Distribució chi-cuadrado co 9 g.l y valores que delimita ua probabilidad de 0,90 cetral l if ,37 4,56 l up ,98 7,7 Al mismo resultado llegaríamos utilizado la cuasi-variaza de la muestra. E este ejemplo, la variaza es 36 por lo que la cuasi-variaza vale: ,4 los límites so: l if ( ) 9 37,4 5,37 4,56 l up ( ) 9 37,4 7,7 60, Amplitud del itervalo de cofiaza y su relació co el tamaño muestral. La amplitud de u itervalo de cofiaza depede de dos factores: el ivel de cofiaza y el error típico de la distribució muestral del estadístico. Este segudo factor está e proporció iversa al tamaño de la muestra, de tal forma que cuato mayor es el tamaño de la muestra, meor es el error típico del estadístico. Esta relació es fudametal, pues permite dar al itervalo de cofiaza el grado de precisió que se desee. P á g i a

23 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Para que el lector vea el proceso, vamos a ejemplificarlo co la media. El error típico de este estimador, - cuado se descooce la variaza poblacioal, es, y para obteer el error máximo de estimació se multiplica por el valor de la distribució t de tudet (o la Z de la distribució ormal, segú correspoda) correspodiete al ivel de cofiaza que se haya estipulado. Es decir, la distacia desde la media muestral a cualquiera de los límites, que vamos a llamar error máximo de estimació y lo desigamos co E es: E = t α - -, i despejamos el tamaño de la muestra,, y lo poemos e fució del resto de elemetos el resultado es: = α t- - iguiedo u razoamieto similar, e el Cuadro. se resume el cálculo del tamaño de la muestra para los tres estadísticos básicos: media, variaza y proporció e fució del ivel de cofiaza y del error máximo de estimació, E, que se quiera fijar. E Cuadro.. Calculo del tamaño de la muestra e fució de la precisió de la estimació Media Variaza poblacioal coocida Variaza poblacioal descoocida z = E = α t- - E Variaza Tamaños muestrales grades Proporció Tamaños muestrales grades Z p ( p) E / E defiitiva, las fórmulas del Cuadro. permite al ivestigador calcular el tamaño de la muestra e fució del error máximo, E, que esté dispuesto a admitir y del ivel de cofiaza ( ) adoptado. Veamos la aplicació co u secillo ejemplo: 3 P á g i a

24 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Ejemplo.8.e desea calcular el tamaño de la muestra que se requiere utilizar e ua ecuesta electoral de maera que la precisió e la proporció de voto estimada, o error máximo de estimació, co u ivel de cofiaza del 95%, sea de 0,0. ituádoos e la situació más desfavorable respecto del error típico de la proporció 5, se tiee que:. De acuerdo co esto, tedremos:,96 = 0,50,5 40 0,0 Co este úmero de sujetos, el ivestigador se asegura de que la amplitud del itervalo de cofiaza será 0,04 (cuatro putos porcetuales) co u ivel de cofiaza del 95%. Podemos comprobar, que si el ivestigador quisiera trabajar co ua precisió e la estimació igual a:, etoces el tamaño de la muestra pasaría a ser de 9604 sujetos Cotraste de hipótesis. Ua hipótesis estadística es ua cojetura que se formula sobre ua població y que puede someterse a prueba, o cotrastació empírica, a partir de la iformació proporcioada por ua muestra represetativa de esa població. Ua vez que la hipótesis se ha cotrastado co los datos de la muestra es el mometo de tomar algua decisió respecto a su resultado. El cotraste de hipótesis es, pues, ua parte esecial del método cietífico. E geeral, siempre se parte de algú iterrogate que se platea e el ámbito de ua ivestigació, a la luz de u determiado marco teórico, y debería formularse de ua maera secilla y clara: vota las mujeres e mayor proporció a partidos de cetro izquierda que a los de cetro derecha?; e el proceso de trabajo maual es más eficaz verbalizar las accioes durate la tarea que hacerlas e silecio?; es más eficaz ua terapia A que otra B para el tratamieto de la fobia de los iños a motar e ascesores?; los salarios de hombres y mujeres so iguales por u mismo trabajo? Ua vez plateada la cuestió, hay que buscar ua solució que adopte la forma de afirmació empíricamete verificable, es decir, debemos ser capaces de operativizar uestras pregutas para que tega etidad de hipótesis cietíficas. La mejor maera de hacerlo es platearla e térmios estadísticos; esto sigifica que las afirmacioes que se realice esté relacioadas de algua maera co ua o más distribucioes de probabilidad. Por ejemplo, el salto etre ua hipótesis cietífica como los salarios de hombres y mujeres so iguales por u mismo trabajo?, se puede sustaciar como hipótesis estadística pregutado: Es igual la media de salario de hombres y mujeres para u mismo trabajo? ; o tambié se podría pregutar e térmios de otro estadístico tal como la Mediaa, o e térmios de ua fució de distribució. Es decir, ua hipótesis cietífica se puede platear co diferetes hipótesis estadísticas, las cuales, al cotrastarse da respuesta a dicha hipótesis cietífica. Las hipótesis estadísticas plateadas para dar respuesta a la hipótesis cietífica so: la hipótesis ula y la hipótesis alterativa. La hipótesis ula se represeta por, y puede coteer afirmacioes como las siguietes: 5 i observa la fórmula del error típico de la distribució muestral de la proporció deducirá que alcazará su valor máximo cuado p=q=0,5 4 P á g i a

25 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Hipótesis La media de salario de hombres y mujeres para u mismo trabajo so iguales La proporció de mujeres que vota a partidos de cetro-izquierda es del 60%. La variaza, respecto a u valor previo establecido, es al meos de putos? Las putuacioes de u test de razoamieto umérico tiee distribució ormal co media 50 y desviació típica 5. Hipótesis estadística. Hipótesis Nula H 0 : HOMBRE H 0 : 0,6 H 0 : MUJERE H 0 : la variable tiee distribució ormal N(50,5). E geeral, la hipótesis ula afirma que o existe diferecia etre el valor del estadístico obteido e la muestra y el que formulamos como parámetro poblacioal o, e otras palabras, que la diferecia observada etre estos dos valores es ula. Como la realidad es que estos valores casi uca va a coicidir, lo que estamos afirmado es que la diferecia observada puede explicarse como resultado del azar. De otra forma, si se repitiese la ivestigació u úmero suficiete de veces co diferetes muestras del mismo tipo y tamaño extraídas aleatoriamete de la misma població, las diferecias observadas etre el estadístico calculado co los datos muestrales y el valor formulado e la hipótesis ula como parámetro poblacioal, sería uas veces grades, otras pequeñas, uas positivas, otras egativas, pero e cojuto tedería a eutralizarse para fialmete ser cero. Para cada hipótesis ula plateada, es preciso platear otra, deomiada hipótesis alterativa, represetada por H, y que es la egació de la hipótesis ula, de tal forma que si la hipótesis ula es falsa la hipótesis alterativa tiee que ser verdadera o viceversa. Por tato, estas dos hipótesis tiee que ser exhaustivas y mutuamete excluyetes. Para el cojuto de hipótesis ulas ateriores, las alterativas sería: Hipótesis cietífica La media de salario de hombres y mujeres para u mismo trabajo NO so iguales La proporció de mujeres que vota a partidos de cetro-izquierda NO es del 60%. La variaza respecto al valor aterior establecido es meor de putos? Las putuacioes de u test de razoamieto umérico NO tiee distribució ormal co media 50 y desviació típica 5. Hipótesis estadística. Hipótesis Alterativa H : HOMBRE H : 0,6 H : MUJERE H : la variable NO tiee distribució ormal N(50,5). Depediedo de cómo esté formulada la hipótesis ula se marca la direcció del cotraste. i, por ejemplo, la H 0 está plateada como igualdad de las medias de hombres y mujeres, mietras que la alterativa es simplemete su egació (las medias o so iguales) se dice que es u cotraste bilateral porque H admite que la diferecia pueda ser favorable a los hombres (u extremo de las posibles putuacioes co respecto a la igualdad) o a las mujeres (el extremo cotrario) i, por el cotrario, coocemos la direcció e que H 0 puede ser falsa, como por ejemplo e la hipótesis H :, o, e geeral, cuado e la 0 ivestigació se platea que u método de apredizaje, u fármaco, u determiado proceso idustrial, etc. tiee efecto positivo (o egativo) sobre lo que estamos estudiado, etoces teemos u cotraste 5 P á g i a

26 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos uilateral e la medida e que idicamos la direcció esperada segú H de ese efecto. Igualmete e estos casos, para ua hipótesis alterativa El método A, favorece el apredizaje, la hipótesis ula, su egació, sería: El método A o favorece el apredizaje. E cualquier caso las hipótesis ula y alterativa so exhaustivas y mutuamete excluyetes, de tal forma que la egació de ua colleva la cofirmació de la otra. Ua vez que se ha plateado la hipótesis, es preciso defiir lo que se cooce como medida de la discrepacia y que, e geeral, cuado se trata de hacer cotrastes sobre parámetros poblacioales, es ua medida estadarizada detro de algua distribució de probabilidad, a semejaza de las vistas e los epígrafes de distribucioes muestrales. La medida de discrepacia o depede de las uidades e que esté medida la variable y su formulació habitual es: Además de defiir la discrepacia es preciso cosiderar qué catidad de ésta cosideramos admisible para o ser atribuible al azar. Es decir, debemos determiar, a priori, cuál será la diferecia máxima etre el estimador y el parámetro que estamos dispuestos a cosiderar compatible co la H 0, y esta decisió depederá tato de la distribució de probabilidad de la medida de discrepacia como de la direcció del cotraste, como del riesgo que estamos dispuestos a asumir. Como veremos e próximos apartados, este valor de la discrepacia se establece, tambié, e térmios de probabilidad de obteer ua diferecia etre el estadístico obteido e la muestra y el parámetro formulado e la hipótesis igual o mayor que la observada. Esta probabilidad es la que se cooce como ivel crítico p, y e la mayor parte de las ivestigacioes se rechazará H 0 si este valor es meor de 0,05 o 0, Metodología clásica del cotraste de hipótesis La metodología del cotraste es fruto de los trabajos de Fisher, Neyma y Pearso y su lógica recuerda a la de u juicio e u estado de derecho, e el cual el acusado siempre es iocete (la hipótesis ula) hasta que las pruebas o demuestre lo cotrario (la hipótesis alterativa). E los cotrastes de hipótesis las pruebas so las evidecias recogidas e los datos muestrales proveietes de ua ivestigació bie diseñada 6 y se parte de que la hipótesis ula es verdadera (presució de iocecia). i los datos aporta resultados sigificativamete diferetes de los plateados e la hipótesis ula, ésta es rechazada, y e caso cotrario, o podremos hacerlo por o teer evidecias cotra ella, de modo que la matedremos como provisioalmete verdadera hasta que se ecuetre uevas evidecias. Los procedimietos para el cálculo de itervalos de cofiaza -y buea parte de los cotrastes de hipótesis que veremos e los siguietes temas- se basa e ua serie de supuestos (v.gr., que la muestra procede de ua població de putuacioes que se distribuye segú ua fució de distribució poblacioal coocida, como la curva ormal, o sobre el ivel de medida de la variable, etc). Estos procedimietos y otros que o se ha presetado todavía (ANOVA, regresió múltiple, etc.), se egloba e lo que se cooce como 6 Tratado e la asigatura de Fudametos de Ivestigació 6 P á g i a

27 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos métodos paramétricos cuya deomiació procede de la búsqueda de los parámetros subyacetes a uos datos asumiedo que éstos se distribuye segú ua fució de distribució poblacioal cocreta. Todos las pruebas paramétricos asume ua determiada forma (ormal, biomial, F, etc.) para la distribució poblacioal de los datos observados e la muestra. Pero a veces os ecotramos co situacioes e las que o podemos asumir los supuestos subyacetes a las pruebas paramétricas y ecesitamos procedimietos cuya validez o depeda de esos supuestos. E este caso se os hace ecesario acudir a otro cojuto de técicas que o exija estos supuestos ta restrictivos. Por cotraposició a los ateriores métodos, se los cooce como métodos o paramétricos. Los cotrastes de hipótesis o paramétricos se utiliza cuado o se cumple los supuestos ecesarios para realizar u cotraste paramétrico, por ejemplo, cuado la variable depediete o alcaza u ivel de medida de itervalo o razó, cuado la muestra es pequeña y o coocemos la forma de la distribució poblacioal, etc. Teiedo e cosideració esta primera distició etre las pruebas paramétricas y o paramétricas que se aplicará e todo cotraste, las etapas de u cotraste de hipótesis las vamos a resumir e los siguietes putos:.- Codicioes de la ivestigació y supuestos que cumple los datos observados. A lo largo de este curso veremos que al diseñar cualquier ivestigació se puede trabajar co ua, dos, tres o más muestras, las cuales puede ser idepedietes o relacioadas, e las que se recoge iformació sobre ua o más variables medidas co la misma o co diferetes escalas de medida (omial, ordial, de itervalo o de razó). Por otra parte, estos datos puede proveir de poblacioes e las que la variable de estudio tiee ua distribució de probabilidad coocida o descoocida. Todas estas características tato del diseño como de los datos codicioa tato la hipótesis que se puede someter a cotrastació empírica como el procedimieto de aálisis de datos más adecuado para someter a cotrastació empírica la hipótesis..- Formulació de la hipótesis ula y de la alterativa. Coforme al cotexto de la ivestigació se formula las hipótesis ula y alterativa, de las cuales se deriva u cotraste bilateral o uilateral e fució de sus objetivos. Por lo geeral la hipótesis cietífica, dirigida a ecotrar resultados sigificativos, es la hipótesis alterativa que se aceptará como verdadera si la ivestigació aporta evidecias cotra la hipótesis ula que es la que se somete a cotrastació empírica. 3.- Estadístico de cotraste. Represeta ua medida de la discrepacia etre la iformació proporcioada por los datos empíricos recogidos e la muestra y la proposició teórica plateada e la hipótesis ula. Esta medida es ua variable aleatoria co ua determiada distribució de probabilidad (ormal, t, chi-cuadrado, etc.) que va a aportar iformació empírica sobre la afirmació formulada e H Regla de decisió. Ua vez calculado el estadístico de cotraste o discrepacia etre los datos empíricos observados e la muestra y los datos teóricos que plateamos e la hipótesis ula queda tomar ua decisió respecto al rechazo o o de la hipótesis ula. Para ello, el ivestigador establece previamete el ivel de sigificació,. egú Fisher, el ivel de sigificació,, represeta el máximo riesgo que el ivestigador está dispuesto a cometer de tomar la decisió erróea de rechazar ua hipótesis ula verdadera. Por tato, a la luz de sus resultados y del estadístico de cotraste, el ivestigador calcula la probabilidad de obteer uos resultados como los observados e la muestra o más extremos. Esta probabilidad recibe el ombre de ivel crítico p. i el ivel crítico p es muy pequeño e comparació co el ivel de sigificació,, rechazamos la H 0 y e caso cotrario la mateemos. El ivel de sigificació que suele utilizarse e la mayoría de las ivestigacioes es del 0.05, auque e ivestigacioes más rigurosas se trabaja co u ivel de sigificació de 0.0. E cualquiera de los casos, se rechazaría la hipótesis ula siempre que la probabilidad de explicar los resultados obteidos e relació a la hipótesis ula sea meor que el ivel de sigificació. Otra alterativa a la hora de tomar la decisió de rechazar o o la hipótesis ula cosiste e fijar el ivel de sigificació, por lo que automáticamete se fija el valor o valores críticos de la distribució 7 P á g i a

28 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos muestral que marcará la máxima diferecia que podemos admitir, por simple azar, etre el valor teórico plateado e H 0 y el valor obteido e la muestra. Este valor, o valores críticos, defie -e la distribució muestral del estadístico de cotraste- los límites etre la zoa de rechazo o o de la H 0. La zoa de rechazo depede del ivel de sigificació,, y es el área de la distribució muestral que correspode a u valor de la discrepacia ta alejado de H 0 que la probabilidad de que se produzca es muy baja, si efectivamete H 0 es verdadera. E otras palabras, es aquella zoa de la distribució muestral costituida por el cojuto de muestras para las cuales se rechaza la hipótesis ula. La regió de o rechazo, complemetaria a la aterior, depede del ivel de cofiaza,, y es el área de la distribució muestral que correspode a valores pequeños de la discrepacia ta poco alejados del valor formulado e la H 0 que la probabilidad de que se produzca es alta si efectivamete la H 0 es verdadera, por lo que o represeta evidecia suficiete para rechazarla. E otras palabras, es aquella zoa de la distribució muestral costituida por el cojuto de muestras para las cuales se matiee la hipótesis ula. H 0 H 0 Por tato, el valor o valores críticos correspode a la máxima diferecia que cabe esperar por simple azar etre los datos empíricos obteidos e la muestra y los datos teóricos que formulamos para la població, de tal forma que si el estadístico de cotraste se sitúa e la zoa de NO rechazo, podemos cocluir que la diferecia observada o es sigificativa y se debe a los errores aleatorios por lo que o podemos rechazar la hipótesis ula co u determiado ivel de cofiaza. De forma similar si el estadístico de cotraste alcaza la zoa de rechazo idicaría que la diferecia observada etre los datos empíricos y los datos teóricos es muy poco probable que pueda atribuirse a errores aleatorios y cocluimos que la diferecia observada es sigificativa, lo que os lleva a rechazar la hipótesis ula co u determiado ivel de cofiaza. Auque existe cotrastes de hipótesis, que veremos posteriormete, e los que siempre se deja todo el ivel de sigificació e ua parte de la distribució, e geeral y co idepedecia de la forma de la fució de distribució del estadístico de cotraste, si el cotraste es bilateral tedremos tres zoas delimitadas por los dos valores críticos que se sitúa e el eje horizotal de la distribució muestral como las esquematizadas e el siguiete gráfico: i el cotraste es uilateral izquierdo solo tedremos dos zoas, siedo la regió de rechazo la situada e la parte izquierda de la distribució, como se represeta e el siguiete gráfico esquemático: 8 P á g i a

29 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos De forma similar, si el cotraste es uilateral derecho, la regió de rechazo se situará e la parte derecha de la distribució muestral como se represeta e el siguiete gráfico esquemático: E cualquier caso, ya sea comparado el estadístico de cotraste co el valor crítico o comparado el ivel crítico p co el ivel de sigificació, la decisió que se toma respecto a la H 0 es la misma. Puesto que o hay verdades absolutas y siempre existe u riesgo de error, formalmete la hipótesis ula NUNCA se acepta, sio que la estrategia de la ivestigació es buscar evidecias para rechazarla. 5.- Coclusió. Formulada la hipótesis ula, que es la que sometemos a cotrastació empírica asumiedo que es provisioalmete verdadera y ua vez calculado el estadístico de cotraste, se cocluye rechazado o o la hipótesis ula (o hay u puto itermedio 7 ). i o teemos evidecia suficiete para rechazarla, se está señalado que la hipótesis se matiee porque es compatible co la evidecia muestral (el acusado e el juicio es iocete), y si se rechaza se quiere sigificar que la evidecia muestral o avala la hipótesis (las pruebas está e cotra del acusado) y por tato se rechaza. 6.- Iterpretació. La coclusió simple y llaa e térmios de rechazo o o de la hipótesis ula tiee su correspodiete iterpretació detro del cotexto de la ivestigació y de la hipótesis y objetivos que el ivestigador formula e su trabajo. Ilustremos este razoamieto co u secillo ejemplo, similar al que platea R.A. Fisher e su libro El Diseño de Experimetos, e el cual refería la afirmació de ua dama segú la cual, cuado tomaba el té, podía detectar si se había vertido ates la leche o la ifusió e la taza. Para refutar esta facultad de la dama podríamos realizar u cotraste co los siguietes datos ficticios. Ejemplo.9. Para cotrastar la presuta habilidad detectora de la dama se prepara 6 tazas de té, siguiedo ambos procedimietos: e ocho se vierte primero la leche, y e otros ocho se vierte primero la ifusió. La presetació se realiza al azar y la dama sólo tiee que decir cuál ha sido el procedimieto. upogamos, por ejemplo, que la dama acierta e ocasioes. Es compatible este resultado muestral co la afirmació de la dama?. Como ivel de sigificació, tomaremos = 0,05. 7 Cuado la medida de discrepacia cae justo e la regió crítica de la zoa de aceptació o rechazo, es difícil tomar ua decisió sobre H 0. E estas circustacias se suele coger ueva evidecia y proceder a u uevo cotraste. 9 P á g i a

30 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos eguiremos los 6 pasos del proceso pero utilizado sólo el ivel crítico p como regla de decisió, dejado el cálculo del estadístico de cotraste para los siguietes temas..- Codicioes y supuestos. 6 esayos idepedietes co dos resultados posibles e cada uo: acierto o error, y la probabilidad del resultado permaece costate e todos esayos..- Formulació de las hipótesis ula y alterativa: Plateamos u cotraste uilateral e el que la hipótesis ula presupoe que la dama, e pricipio, o tiee dicha habilidad, y por tato la proporció de veces que acertaría sería u valor igual a 0,5 o iferior (es decir, tedría la misma habilidad que el resto de lo mortales). La hipótesis alterativa platea que la dama si tiee esa habilidad y por tato es capaz de acertar e más del 50% de los esayos. H : 0,5 H : 0, Estadístico de cotraste. Como estamos cotrastado ua proporció cuya distribució de probabilidad es la distribució biomial que estudiamos el curso pasado, vamos a calcular la probabilidad de que, bajo el supuesto de que la dama o tiee esa extraña facultad (y por tato su proporció de aciertos es la de cualquier persoa ormal del 50% que se formula e la H 0 ) la dama haya sido capaz de detectar la diferecia e más de la mitad de la veces, cocretamete e o más ocasioes de los 6 esayos realizados (formulado e la H ): P( X ) 6 x 6 0,5 x x 0,5 x P( X ) x0 6 0,5 x x 0,5 x 0,966 0,0384 x p 0,000 0, , , , , 7 0, , , , 0,0667 0, , , , ,0000 Figura.0. Represetació gráfica del ejemplo.6 Cuadro.. Tabla de la distribució biomial para N=6 y p=0,5 4.- Regla de decisió. Este resultado quiere decir que, bajo el supuesto de que la hipótesis ula es cierta y la probabilidad de acierto de la dama es de 0,5, la probabilidad de que e 6 esayos la dama acierte e 30 P á g i a

31 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos ocasioes o más es de 0,0384, o que hay u 3,84% de probabilidades de que la dama, si teer esa extraña habilidad, acierte por puro azar e ocasioes o más. Como regla de decisió para rechazar o o la hipótesis ula comparamos esta probabilidad co el ivel de sigificació (0,05) y puesto que la probabilidad ecotrada es meor que 0,05, rechazamos la H 0, E la Figura.0 se represeta la distribució biomial del cuadro. del ejemplo co el ivel crítico p represetado por valores escritos y represetados por barras rojas cuya suma es meor de 0,05. Por tato, la regla de decisió bajo la iterpretació de Fisher cosiste e calcular la probabilidad de obteer uos resultados como los observados e la muestra (ivel crítico p). i esta probabilidad es muy pequeña e comparació co, puede ocurrir dos cosas: o bie la hipótesis ula es cierta (la dama o goza de tal habilidad) y se ha producido ua situació muy poco probable (pero o imposible) o bie la hipótesis ula es falsa. Parece más lógico (o probable) icliarse por esta seguda opció que descarta el azar como explicació del resultado obteido y ate la evidecia que proporcioa este resultado, el ivestigador opta por rechazar la hipótesis ula, asumiedo que esta afirmació tiee u cierto riesgo o probabilidad de error, que ha establecido e el 5%. i, por el cotrario, la probabilidad hubiese sido mayor que el ivel de sigificació, etoces o se podría descartar el azar, como explicació de la diferecia y se opta por o rechazar la hipótesis ula. 5.- Coclusió: Rechazamos la hipótesis ula, ya que el ivel crítico p es meor que 0,05. El ivel crítico p= 0,0384, os idica la probabilidad de acertar por simple azar e o más de las 6 ocasioes. Es u valor lo suficietemete pequeño que os coduce a descartar el azar como explicació de este úmero de aciertos ta alto. E cosecuecia, si descartamos el azar como explicació de que la dama acierte e o más de los 6 esayos es porque la dama si tiee realmete esa capacidad. 6.- Iterpretació: Rechazar la hipótesis ula quiere decir que la dama tiee esa habilidad para distiguir si e ua taza de té se ha puesto primero la leche o la ifusió co u ivel de cofiaza del 95%. Observe el lector que si se establece el ivel de sigificació e 0,0 la coclusió sería otra y sería ecesario obteer evidecias más fuertes o ua probabilidad mucho meor para descartar el azar como explicació de esta extraña habilidad de la señora. E los siguietes temas seguiremos esta metodología pero utilizado, o solo el ivel crítico p, sio tambié y fudametalmete el estadístico de cotraste como medida de la discrepacia etre los valores teóricos que formulamos e la població y la iformació empírica que os proporcioa los datos recogidos e la muestra, para los diseños de ivestigació que utiliza ua, dos o más muestras. partir de estos estadísticos de cotraste podremos calcular tambié el ivel crítico p Errores al tomar ua decisió e u cotraste clásico de hipótesis Hemos visto que el cotraste de hipótesis es u proceso por el cual se toma ua decisió acerca de lo que se afirma e la hipótesis ula. No obstate, ua cosa es la decisió que se adopta sobre H 0 y otra es la propia aturaleza de H 0. Teemos dos opcioes posibles acerca de la decisió sobre H 0 : o se Acepta o se Rechaza, y dos opcioes sobre la aturaleza de H 0 : o es verdadera o es falsa. El error que supoe rechazar ua hipótesis ula cuado e realidad es verdadera se deomia Error Tipo I, y su probabilidad asociada es. El error que supoe aceptar ua hipótesis ula cuado e realidad es falsa, siedo verdadera la hipótesis alterativa, se cooce como Error Tipo II, y su probabilidad asociada es u complemetario es y correspode a la potecia del cotraste que es la decisió correcta de rechazar la hipótesis ula cuado es falsa. 3 P á g i a

32 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Puede observarse que los errores y las decisioes correctas está probabilísticamete relacioados (cuato meor es mayor es, por ejemplo). Estas ideas puede verse reflejadas e el siguiete cuadro o tabla de doble etrada co dos alterativas e cada etrada como puede verse e el cuadro.3. Verdadera Naturaleza de H 0 Falsa Decisió sobre H 0 No rechazar Rechazar Decisió correcta. Nivel de cofiaza Decisió erróea Error tipo I Decisió erróea Error tipo II Decisió correcta Potecia del cotraste Cuadro.3. Decisioes sobre la hipótesis ula E todo cotraste de hipótesis el ivestigador fija a priori el ivel de sigificació (error tipo I) y su complemetario, el ivel de cofiaza, o decisió correcta de o rechazar ua hipótesis ula que puede ser verdadera. E el tema siguiete veremos cómo se calcula el error tipo II y la potecia del cotraste (pero exclusivamete para el cotraste sobre la media y la proporció e los diseños de ua muestra) y veremos tambié cómo este valor depede del ivel de sigificació, del tamaño de la muestra,, y del tamaño del efecto. Cuál de estos errores es más grave? Vamos a ilustrarlo co dos ejemplos. upoga que comparamos u tratamieto uevo, A, co otro atiguo, B, ya existete. La hipótesis ula dirá que los dos tratamietos so, al meos, igual de eficaces frete a la hipótesis alterativa segú la cual el tratamieto A es mejor que el B: H : A B 0 H : A B Imagie que rechazamos la hipótesis ula cuado e realidad es cierta, es decir, que cocluimos que el tratamieto uevo, A, es más eficaz cuado e realidad so iguales. E esta situació estaríamos cometiedo el error tipo I co ua probabilidad. i por el cotrario, y como resultado del cotraste de hipótesis, cocluimos que los dos tratamietos so iguales (es decir, o rechazamos la hipótesis ula que es falsa) cuado e realidad el uevo tratamieto es mejor que el aterior, estaríamos cometiedo u error tipo II co ua probabilidad. Es evidete que el error tipo II resulta más grave por cuato impide beeficiarse de u tratamieto que es más eficaz. Mietras que el error tipo I, (si etrar a cosiderar las cosecuecias ecoómicas de la decisió de cambiar a algo que es igual de eficaz) tiee cosecuecias meos grave, al meos e el campo del progreso del coocimieto. 3 P á g i a

33 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Decisió sobre H 0 No rechazar Rechazar Verdadera Correcto El tratamieto o tiee efecto y así se decide. Probabilidad La realidad de la H 0 Error de tipo I El tratamieto o tiee efecto pero se decide que sí. Falsa Error de tipo II El tratamieto si tiee efecto pero o lo percibimos. Probabilidad β Correcto El tratamieto tiee efecto y el experimeto lo cofirma. Probabilidad α Probabilidad Esta valoració puede cambiar depediedo del cotexto e el que os situemos. Por ejemplo, aplicado el mismo razoamieto sobre la iocecia o culpabilidad de u imputado, las hipótesis ula y alterativa so: Partimos del supuesto de que la hipótesis ula es verdadera (el imputado es iocete) mietras o se tega evidecia suficiete para codearle (rechazar la H o y aceptar la H ). E este cotexto se itroduce otras razoes de ídole moral para valorar qué es más grave: si teer u iocete e la cárcel o u culpable e la calle. Decisió sobre H 0 No rechazar Ho Iocete Rechazar Ho Culpable La realidad de la H 0 Iocete Correcto Es iocete. Probabilidad Error de tipo I Es iocete y se le codea. Probabilidad α Culpable Error de tipo II Es culpable y o se le codea. Probabilidad β Correcto Es culpable. Probabilidad E cualquier caso, el hecho de o rechazar la H 0 puede deberse o bie a que sea realmete verdadera o sea falsa pero el experimeto o teía suficiete potecia para detectarlo. Debido a esto, auque el aálisis de los datos de uestro diseño de ivestigació o produzca resultados sigificativos, uca podremos aceptar la H 0 como verdadera. Como siempre, existe la posibilidad de que la H 0 sea falsa, pero el diseño de uestra ivestigació o tiee la suficiete sesibilidad para detectarlo, ta solo podremos cocluir que uestros resultados o ha aportado evidecia suficiete para rechazar la hipótesis ula. El aálisis de la potecia del cotraste os proporcioa iformació sobre el grado de cofiaza e los resultados o sigificativos que o ha permitido rechazar la hipótesis ula formulada e el diseño de uestra ivestigació. Por otra parte, y como veremos e temas posteriores, tato e la ivestigació aplicada e el ámbito de la psicología, como e otras ciecias, u resultado estadísticamete sigificativo sobre la eficacia de u uevo tratamieto puede o teer ua sigificació práctica e el setido de o represetar u valor terapéutico real o importate. De aquí la recomedació, casi ieludible, de coocer adicioalmete el tamaño del efecto que expresa la magitud de la diferecia observada etre la hipótesis ula (el valor teórico) y la hipótesis alterativa (el valor observado) expresado e ua métrica comú y que, por su importacia metodológica de cara la validez de coclusió estadística de la ivestigació que hemos diseñado, expodremos co algo más de detalle e temas posteriores. 33 P á g i a

34 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos.5. EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN.. Cuál de las siguietes afirmacioes referidas a la distribució muestral de la media es FALA: a) Es ormal cuado la població se distribuye ormalmete y coocemos su variaza; b) Tiede a la ormal cuado descoocemos la variaza poblacioal pero trabajamos co muestras grades; c) iempre es ormal co media igual a la media poblacioal.. El ivel crítico p represeta la probabilidad de: a) que la hipótesis ula sea verdadera; b) que siedo verdadera la hipótesis ula obtegamos uos datos como los observados o más extremos e la muestra; c) rechazar la hipótesis ula siedo verdadera. 3. A ua muestra de estudiates uiversitarios, de los cuales 74 so mujeres se les pasa ua prueba de memoria de palabras si setido, obteiedo ua media de 5 palabras recordadas, co ua variaza de 9. Trabajado co u ivel de cofiaza del 95%, etre que valores se ecotrará la media poblacioal? 4. A ua muestra de estudiates uiversitarios, de los cuales 74 so mujeres se les pasa ua prueba de memoria de palabras si setido, obteiedo ua media de 5 palabras recordadas, co ua variaza de 9. Etre que valores se ecotrará la variaza poblacioal co u ivel de cofiaza del 95%? 5. A ua muestra de estudiates uiversitarios, de los cuales 74 so mujeres se les pasa ua prueba de memoria de palabras si setido, obteiedo ua media de 5 palabras recordadas, co ua variaza de 9. i queremos estimar la variaza poblacioal co u error máximo de estimació que o supere los dos putos, Cuál debería ser el tamaño de la muestra que debemos utilizar fijado el ivel de cofiaza e el 95%?. 6. A ua muestra de estudiates uiversitarios, de los cuales 74 so mujeres se les pasa ua prueba de memoria de palabras si setido, obteiedo ua media de 5 palabras recordadas, co ua variaza de 9. Trabajado co u ivel de cofiaza del 95%, etre que valores se ecotrará la proporció poblacioal de mujeres uiversitarias?. 7. E u cotraste de hipótesis es habitual que el ivestigador fije a priori el valor de que represeta la probabilidad de: a) coservar la hipótesis ula cuado o se ecuetra e los datos de la muestra suficiete evidecia para rechazarla; b) rechazar la hipótesis ula siedo cierta; c) aceptar la hipótesis alterativa siedo cierta. 8. La probabilidad de rechazar la hipótesis ula siedo falsa, es: a) u valor coocido y fijado a priori por el ivestigador; b) u valor descoocido que represeta el error tipo II; c) la potecia del cotraste que es u valor descoocido a priori. 9. La amplitud del itervalo es más estrecho a medida que; a) aumeta el tamaño de la muestra; b) aumeta el ivel de cofiaza; c) aumeta el error típico del estadístico. 0. e llama error típico de u estadístico a la desviació típica de: a) El parámetro poblacioal; b) La distribució muestral de este estadístico; c) Los datos recogidos e la muestra.. E ua muestra aleatoria de 00 persoas se mide el pulso obteiedo ua media de 65 ppm co desviació típica 5 ppm. Cuáto vale el error máximo de estimació de la media poblacioal co u ivel de cofiaza del 95%?:a) 0.505;b) 0,997; c) 5.5 OLUCIONE:.- De las tres afirmacioes la c) es FALA. La distribució muestral de la media es ormal cuado la distribució e la població es ormal o bie la muestra es superior a 30 observacioes y además coocemos la variaza poblacioal. i la variaza poblacioal es descoocida etoces la distribució muestral de la media es la t de tudet, que tiede a la ormal cuado la muestra es grade. 34 P á g i a

35 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos.- El ivel p-crítico es la probabilidad asociada al estadístico de la muestra e idica la probabilidad de que, siedo cierta la hipótesis ula, ecotrar valores ta extremos como los obteidos e la muestra. 3.- E este caso, dado que descoocemos la variaza poblacioal, la distribució muestral de la media se distribuye segú t de tudet, co - grados de libertad, pero dado que la muestra es grade ( ) utilizamos valores Z de la curva ormal tipificada, que para u ivel de cofiaza del 95% so: ±,96. Por lo tato, los límites iferior y superior del itervalo so: 4.- Al tratarse de ua muestra grade, la distribució muestral de la variaza se aproxima a la ormal y los límites iferior y superior del itervalo de cofiaza para la variaza poblacioal, so: Obsérvese que e este caso el error máximo de estimació que cometemos al estimar la variaza poblacioal es de ±,58 putos. De ahí que si queremos mejorar la precisió de uestra estimació, uo de los procedimietos puede ser aumetar el tamaño de la muestra, como veremos e el siguiete ejemplo. 5.-El tamaño de la muestra para u error máximo de estimació de ± putos, es 4 Z E Coocemos la variaza de la muestra que e este ejemplo es 9, es decir; por tato, ( ) : Z 4 E, ,6 U valor muy similar si utilizamos la cuasivariaza de la muestra:. 9 9,07 3,0 Z 4 4,96 3,0 E 58,08 35 P á g i a

36 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos 6.- El géero es ua variable dicotómica co distribució biomial siedo la proporció de mujeres obteida e la muestra: p=74/= 0,6065. Al tratarse de ua muestra grade, esta distribució se aproxima a la ormal y los límites del itervalo de cofiaza para, so: ( ) ( ) 7.- El ivel de sigificació se represeta por y es u valor fijado a priori por el ivestigador como criterio de decisió. Los valores habituales so 0,05 y 0,0 y represeta la probabilidad que desde u iicio asume el ivestigador de cometer el error tipo I, es decir, de rechazar ua hipótesis ula que es verdadera. u complemetario, es el ivel de cofiaza o probabilidad de tomar la decisió correcta de o rechazar ua hipótesis ula cuado o hay evidecia suficiete para hacerlo. 8.- La probabilidad de rechazar ua hipótesis ula que es falsa es la potecia del cotraste, cuyo valor es descoocido a priori pero se puede calcular, ya que depede del ivel de sigificació,, del tamaño de la muestra y la magitud del efecto. 9.- La amplitud del itervalo de cofiaza depede del tamaño de la muestra y del ivel de cofiaza, de forma que al aumetar el ivel de cofiaza el itervalo es más amplio y al aumetar el tamaño de la muestra dismiuye el error típico del estadístico y co ello el itervalo de cofiaza, como puede deducirse al ver sus expresioes de cálculo. 0.- La opció A es icorrecta por varias razoes: se refiere a la distribució poblacioal, o a la distribució muestral; puede ser cualquier parámetro, o solo la desviació típica. La opció B es correcta. La opció C es icorrecta porque el error típico se refiere a la variabilidad de la distribució muestral del estadístico mietas que la desviació típica se refiere a la variabilidad de los valores recogidos e la muestra..- Descoocemos la variaza (o la desviació típica) de la població y la forma de la distribució poblacioal, por lo que os apoyaremos e la distribució t co - gl como distribució muestral. El valor de es Nos pide el Error Máximo de estimació. De forma geeral, el itervalo de cofiaza de la media se obtiee sumado y restado a la media de la muestra (estimació putual del parámetro) el error máximo de estimació que correspode a t veces el error típico de la media (o Z si se tratase de ua població co distribució ormal y variaza coocida) : Estimador putual [(Z o t) * (Error típico)] Luego el valor que os está pidiedo es el valor que está etre corchetes y que represeta el error máximo de estimació: i o coocemos la variaza poblacioal, la distribució muestral de la media es la distribució t de tudet co - grados de libertad y la variaza poblacioal hay que estimarla a partir de la variaza o cuasi-variaza de la muestra. Por otro lado, los valores críticos de la distribució t co -=00-=99 grados de libertad so t 0.05 t P á g i a

37 Diseños de Ivestigació y aálisis de datos Hemos buscado co 00 grados de libertad (el más cercao a 99, ya que este o existe e la tabla y hemos elegido ua probabilidad de que es la suma de 0, 05y el Nivel de Cofiaza = 0.95 ( = 0.975). El error típico de la media, es: i utilizamos la cuasi-desviació típica de la muestra, primero debemos calcularla: Luego: si utilizamos la desviació típica de la muestra: Obteiedo el mismo resultado co las dos expresioes del error típico de la media. el error máximo solicitado es: E max P á g i a