Algunos Teoremas y sus Demostraciones

Transcripción

1 Algunos Teoemas y sus Demostaciones Juan Calos Salaza Intoducción En este tabajo se incluyen cuato inteesantes teoemas con sus demostaciones: Teoema de Fuss, Teoema de Gegonne-Anne, Teoema Japonés y también un teoema sobe las áeas de tiángulos tangenciales, con el enunciado del Teoema de Eule paa áeas. Espeo que gacias a esta opotunidad que me binda el Pof. Fancisco Bellot, de pesentales este pequeño tabajo, el mismo siva de aliciente paa que nuestos estudiantes tomen inteés en cultiva esta maavillosa ama de las matemáticas: la geometía. Teoema de Fuss: Sea ABCD un cuadiláteo bicéntico de inadio, cicunadio R y distancia d ente incento (I) y cicuncento (O). Demosta que: = + (Ve Fig.) (R + d) (R d) Las demostaciones de los teoemas que aquí les pesentamos, posiblemente sean inéditas paa ustedes, aunque fueon desaolladas duante el peíodo en el cual impatía clases en la Academia Pe-Univesitaia Césa Vallejo de Lima, Peú.

2 Demostación: Ve Fig.. Sabemos que A+ C = 80 luego α +β = 90. Si J y K son puntos de tangencia del incículo con los lados AB y BC espectivamente. Luego los tiángulos ectángulos AJI y KIC son semejantes con cateto común (IJ = IK), uniendo los dos tiángulos, fomamos la siguiente figua: En el nuevo tiángulo ectángulo AIC po popiedad geomética: = +... () AI CI Polongando AI y CI que cotan en F y E al cicuncículo espectivamente, entonces EF es diámeto debido a que, en sentido contaio a las agujas del eloj, tenemos: aco FE = aco FD + aco DE = α +β = (α +β)= 80.. En el tiángulo EIF aplicamos el teoema de Apolonio (teoema de la Mediana): EF IE + IF =.OI + = (R + d )...() La potencia del punto I especto al cículo de cento O: AI.IF = CI.IE = R IO = R d (IE + IF Luego: + = AI CI (R d ) )... (3) Finalmente, combinando (), () y (3): = + (R + d) (R d) QED.

3 Comentaio: Son conocidos otos métodos de demostación paa este teoema, tales como po ejemplo, el que utiliza el concepto de luga geomético [], oto que usa el concepto del poisma de Poncelet [] y también el que usa el método de invesión [3], además de otos métodos analíticos [4]. Esta demostación que les he mostado, me tomó casi tes meses obtenela, con las heamientas popias de la época: un buen compás, una egla y un tanspotado, en nada paecido a cualquiea de los pogamas (softwae dinámico) que se usan hoy en día paa el estudio de la geometía: Cabi II, Sketchpad, Wingeom, Cindeella, Euclidaw, etc., po menciona algunos. Aquí tenemos: un método simple, elegante, mético y nuevo, que solo utiliza las heamientas de la geometía clásica euclidiana, así me lo han señalado ecientemente vaias pesonas vesadas sobe este tema [5, 6, 7, 8], a quienes agadezco sus comentaios. Teoema de Gegonne-Anne: Sean ABC y A B C dos tiángulos con lados paalelos, uno dento del oto, donde DEF es un tiangulo inscito y cicunscito a cada uno de ellos. Demosta que: [DEF] = [ABC]. [A B C ], donde: [XYZ] = Aea de XYZ. Nota: También es equivalente enuncia que [DEF] es la media geomética ente [ABC] y [A B C ]. Demostación: Ve Fig. 4 Si los lados del tiángulo ABC y A B B son paalelos, entonces AA, BB y CC concuen en un punto O, debido a que los tiángulos son homotéticos. 3

4 Po la homotecia de cento O paa ABC y A B B : OA OB OC AB BC AC k OA OB OC AB BC AC Tazamos OJ otogonal a BC, entonces: [ OBDC] = BC.OJ Luego: [ OBC] BC.OJ BC = [ OBDC] BC k BC.OJ También: [ OAB] [ OBC] [ OAC] = OA FB OB DC OC EA k Po la popiedad de popociones: [ OAB] + [ OBC] + [ OAC] [ ABC] OA FB + OB DC + OC EA DEF k Po lo tanto: [ DEF] ABC = k. (I) Po la homotecia: [ ABC ] = k (II) ABC De (I) y (II): [ DEF] [ Coolaio : = ABC. A B C ] QED. El áea de un tiángulo es la media geomética ente las áeas de su tiángulo tangencial inteno y su tiángulo excental. (Teoema de Weill). Coolaio : El áea de un cuadiláteo bicéntico es la media geomética ente las áeas de su cuadiláteo tangencial inteno y su cuadiláteo excental. Comentaio: Son conocidas otas maneas de demosta este teoema [3], pp , además es inteesante señala que con el método aquí descito, nosotos podemos fácilmente enconta una genealización de este teoema paa el polígono de n lados. 4

5 Teoema Japonés: Sea el cuadiláteo ABCD inscito en un cículo de cento O, con a, b, c y d como adios de los cículos inscitos en los tiángulos ABD, ABC, BCD y ADC espectivamente. Demosta que: a + c = b + d. Demostación: Ve Fig. 5 Utilizaemos dos popiedades geométicas que se cumplen paa todo cuadiláteo inscito y que se mencionan a continuación: Si denominamos a I a, I b, I c e I d incentos de los tiángulos ABD, ABC, BCD y ADC espectivamente y además los puntos de tangencia S y T de los inciculos con centos I b e I d en la diagonal AC espectivamente y de manea simila los puntos de tangencia P y Q de los cículos con centos I a e I c en la diagonal BD, se cumple: a) I a I b I c I d es un ectángulo, b) los segmentos PQ y ST son conguentes. Tenemos un ectángulo I a I b I c I d cuyas diagonales son conguentes y también los segmentos fomados po los puntos de tangencia PQ = ST. Constuimos los tiángulos ectángulos I a EI c e I b FI d con: I c E = PQ = ST = I b F. Ambos tiángulos ectángulos tienen hipotenusas conguentes: I a I c = I b I d (diagonales del ectángulo I a I b I c I d ), También tienen como catetos: I c E = I b F, I a E = a + c e I d F = b + d. Como dichos tiángulos ectángulos tienen una hipotenusa y un cateto conguentes, entonces ambos tiángulos son conguentes. Po lo tanto: I a E = I d F, luego: a + c = b + d QED. 5

6 Comentaio: También se conocen otas fomas de demostación, po ejemplo podemos indica una eciente en la que se ecue al teoema de Thebault [9], ota en la que se utiliza el teoema de Canot [0]. Obviando los métodos que usan tigonometía y los métodos analíticos. Teoema: Sobe las Aeas de Tiángulos Tangenciales de un Tiángulo. Si tenemos un tiángulo ABC, con incículo I, y excículos I, I, I 3, y denominamos al tiangulo tangencial inteno que tiene como vétices a los puntos de tangencia del incículo con sus lados cuya áea es S 0, cada tiángulo tangencial exteno tiene como vétices a los puntos de tangencia del excículo espectivo con un lado y las polongaciones de los lados adyacentes, cuyas áeas son S, S y S 3, coespondientes a los excículos I, I e I 3 espectivamente. Demosta que: = + + Ve Fig. 6. S S S S 0 3 6

7 Demostación: Ve Fig. 6 Consideando que las áeas de dos tiángulos con ángulos suplementaios son popocionales a los poductos de los lados que confoman dichos ángulos, como < A 0 IB 0 + < C = 80º, tenemos: [ IA0B0] IA 0.IB0 ABC BC.AC a.b De foma simila: [ IB0C0] IB 0.IC 0 ABC AC.AB b.c IA0C0 IA 0.IC 0 ABC BC.AB a.c Entonces: [ IA0B0] + [ IB0C0] + [ IA0C0] = + + = (a + b + c) ABC a.b b.c a.c abc Tomando en cuenta que: [ BC] S 0 = [A 0 B 0 C 0 ] = [IA 0 B 0 ] + [IB 0 C 0 ] + [IA 0 C 0 ] abc (a + b + c) S= A donde R = cicunadio, = inadio y 4R Entonces: S0 =...() S R Tomando el excículo I, < A I C + < B = 80º, tenemos: [ IAC ] IA.IC ABC BC.AC a.b Similamente: [ IAB ] IA.IB ABC BC.AB a.c IBC IB.IC ABC AC.AB b.c También: [ IAC ] + [ IAB ] [ IBC ] = + = (a + b c) ABC a.b a.c b.c abc Tomando en cuenta que: abc (a+ b c) S= A BC donde: = adio del excículo I y 4R S = [A B C ] = [I A C ] + [I A B ] - [I B C ] Entonces: S =...() S R 7

8 De foma simila, paa los tiángulos tangenciales de los otos excículos: S =... (3) S R S3 = 3... (4) S R A pati de (), (), (3) y (4): S S S R R R R S + + = + + = R( + + ) S S S S Finalmente: = + + S S S S 0 3 QED. Comentaio: Este teoema también se puede demosta con otos métodos [], he conocido una demostación con el uso del teoema de Gegonne-Anne [8]. También se cumple: S 0 = [A 0 B 0 C 0 ] = [A B C 3 ]. Las elaciones obtenidas mediante este método se pueden obtene también aplicando el teoema de Eule [] que establece una elación ente las áeas de un tiángulo pedal coespondiente a un punto en un tiángulo, que a continuación enunciamos, su demostación la dejamos como ejecicio paa el estudiante. Teoema de Eule: Sea el tiángulo ABC, con P un punto inteio desde el cual tazamos las pependiculaes PA, PB, PC sobe los lados BC, CA, AB. (R OP ) Demosta que: [ ABC ] = [ ABC] 4R Donde: O es cicuncento de ABC y R = cicunadio de ABC. Nota: Si el punto P es exteio el facto (R - OP ) cambia a (OP - R ). Refeencias: [] 00 Geat Poblems of Elementay Mathematics,, pp , H. Döie, Dove, [] Vielecke, die einen Umkeis un einen Inkeis besitzen, pp , Anulf Reuschel, Paxis de Mathematik, 979. [3] Execises de Géométie, F.G.-M., pp , 6th Edition 90, J. Gabay epint, Pais, 99. [4] [5] Ricado Baoso C., Univesidad de Sevilla, España, mensaje pesonal. [6] Fancisco Bellot Rosado, entenado IMO España, mensaje pesonal. [7] Nikolaos Degiades, miembo de Hyacinthos, mensaje pesonal. [8] Daij Ginbeg, miembo de Hyacinthos, mensaje pesonal. [9] An Application of Thebault s theoem, FG00, Wilfed Reyes, [0]Geomety Step by Step, Website de Antonio Gutieez, []On the Aeas of the Intouch and Extouch Tiangles, FG004, J.C. Salaza, []Poblemas de Geometía-Planimetía, I. Shaiguin, pp., Editoial MIR, 989. Juan Calos Salaza caisesal@yahoo.com 8

9 Revista Escola de la Olimpíada Ibeoameicana de Matemática Edita: