ESTADSTICA II GUA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL SUR ACADEMIA DE MATEM TICAS ESTADSTICA II GUA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO Javier Guill Aguiao Ma. de Lourdes Romero Mirada Fausto Gómez Lorece Carlos Cadaosa Arada 009

2 1 EXPLICACIÓN SOBRE EL MANEJO DE ESTA GUÍA Esta guía comprede todos los temas del programa, de ahí que su estudio deba de ser de la primera a la última págia, si se desea u máximo de posibilidades de éxito e el exame extraordiario. Para resolverla o basta co leerla como se hace co textos de otro tipo, es ecesario participar resolviedo todos los ejercicios y problemas. SUGERENCIAS DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE TEÓRICO PRÁCTICAS Cómo estudiar esta guía?! Hazlo relajado siempre, o bajo presió o urgecia, i co distractores.! Matete e alerta para seguir al pie de la letra las istruccioes, compreder los coceptos y o equivocarte al cotestar.! Cuado iicies el estudio de u tema, coclúyelo.! Al estudiar aprovecha al máximo el tiempo, co cero iterrupcioes.! Usa lápiz, sacaputas, goma y calculadora. Te dispoibles escuadras, trasportador, compás y ua computadora co impresora. El repaso es u hábito clave para el apredizaje y esta guía o es la excepció. Al realizar u estudio sosteido, co repasos diarios, estarás e el camio del apredizaje perdurable y sigificativo. Cómo repasar? 1º Comieza co ua lectura de todo lo visto ates. º Cuado aparezca problemas y ejercicios ya estudiados, e u cuadero aparte resuélvelos uevamete y sólo al termiar cosulta la solució. De hacer lo aterior, al fial adquirirás las competecias matemáticas previstas, obteer buea calificació y estar satisfecho del apredizaje logrado. E ocasioes se sugiere actividades de campo: por ejemplo ivestigar e qué cosiste el Teorema de Chebishev (Distribució ormal, ejercicios), obteer ua muestra aleatoria (El teorema cetral del límite, tabla V.3), etc. Esas actividades propicia el reforzamieto del apredizaje, por lo cual es ecesario realizarlas. FORMAS DE VERIFICAR EL APRENDIZAJE LOGRADO E cada tema, los ejercicios (alguos desarrollados y co sus respectivas respuestas) tiee el propósito de reforzar tu apredizaje. Su resolució es idispesable para comprobar tu ivel de compresió. No dejes de resolverlos y preseta esta Guía resuelta cuado presetes el exame. BIBLIOGRAFÍA Daiel W. W. Bioestadística. Ed. Limusa Wiley. México 007. Medehall W., Beaver R. J. y Beaver B. M. Itroducció a la probabilidad y Estadística. Ed. Thomso. México 00. Pagao R. R. Estadística para las ciecias del comportamieto. Ed. Thomso. México 006. Weimer R. C. Estadística. Ed. CECSA. México 1999.

3 ÍNDICE I. VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE PROBABILIDAD EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS I II. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PROBABILIDAD EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS II III. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS III IV. EL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS IV V-A ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE LA MEDIA ARITMÉTICA DE UNA POBLACIÓN EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS V.I V-B ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE PROPORCIONES POBLACIONALES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS V.II VI. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA POBLACIONAL EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS VI SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS APÉNDICES

4 3 UNIDAD I VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE PROBABILIDAD COMPETENCIAS POR ADQUIRIR E u problema dado: Idetificar la variable aleatoria y calcular sus valores Calcular la variaza y la desviació estádar de la variable aleatoria Calcular los valores solicitados de la fució de probabilidad Calcular el valor esperado de la variable y su esperaza matemática Al estudiar u feómeo probabilístico se puede asociar los evetos del espacio muestral co u tipo especial de fució, coocida como variable aleatoria, la cual puede ser discreta o cotiua. E térmios de esa variable queda defiida otra fució muy importate: la fució de probabilidad o fució de desidad. Ambos coceptos, variable aleatoria y fució de probabilidad, además de la esperaza matemática y la desviació estádar, so el objeto de esta Uidad. TE ACUERDAS DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN?... Nombre Pedro Sergio Laura Edgar Domiio Apellidos patero Bautista Yáñez Pérez Cotradomiio Para los cietíficos ua fució es ua relació que se da etre los elemetos de u cojuto (llamado Domiio) y los de otro (llamado Cotradomiio), co la codició: de que a u elemeto determiado del Domiio le correspoda sólo uo del Cotradomiio (al cual se le llama image). La vida cotidiaa está plagada de fucioes. Por ejemplo, a cada trabajador e ua fábrica le correspode sólo u salario; legalmete a cada ombre de persoa le correspode sólo u apellido patero; al cotar los árboles de u huerto, a cada árbol le hacemos correspoder sólo u úmero atural... y así puedes hallar muchos casos más. E el diagrama, cuál es la image de Sergio?. APRÉNDETE ESTAS DOS FORMULAS Media poblacioal o esperaza matemática: µ = E(X) = i = X i P(X = X i) i = i (I.1) Variaza poblacioal: σ = i= i=1 i - µ) P(xi ) (x (I.)

5 4 Problema. Al realizar ua ivestigació acerca del uso del automóvil e carretera, se cotó el úmero de ocupates e cada uo de 1000 automóviles y se orgaizaro los datos e la tabla de la derecha. Cuátos ocupates e promedio iba e los automóviles? Cuáta dispersió tuvo la variable aleatoria X: ocupates e u automóvil? Utilizado la fórmula I.1 se tiee que: µ = E(X) = i = i = i X i P(X = X i) Ocupates e u automóvil (X) f i x i f i f i Total Tabla I.1 µ = 1(0.08) + (0.318) + 3(0.169) + 4(0.188) + 5(0.09) + 6(0.05) =.713 ocupates/automóvil La medida cuatitativa de la dispersió puede ser la desviació estádar o la variaza. Empleado la fórmula I.: Por lo tato: σ = i= i=1 (x i - µ) P(xi ) = ( ) ( 0. 08) + ( ) ( ) + ( 0. 87) ( ) + + ( 1. 87) ( ) + (. 87) ( 0. 09) + ( 3. 87) ( 0. 05) = (ocupates/automóvil) σ = = ocupates/automóvil. P(X) µ X Al elaborar la gráfica de la distribució de probabilidad de la variable aleatoria X, se puede apreciar la ubicació del valor esperado E(X) o media µ (izquierda). Cuátos valores de X queda compredidos e el itervalo que va de µ + σ a µ - σ?. Qué porcetaje so del total? %. Problema. Calcula el valor esperado del juego. U jugador laza u dado legal (que o está cargado). Si sale u úmero primo, gaa el mismo úmero de pesos pero si o sale u úmero primo, etoces pierde ese úmero de pesos. Los resultados posibles x i del juego co sus respectivas probabilidades P(x i ) so (completa la tabla co las fraccioes que falta, los úmeros egativos ocurre cuado o sale u úmero primo): x i P(x i ) 1 6

6 Problema. Rodolfo Moreo es veteriario y tiee cuatro gatos birmaos (b 1, b, b 3, b 4 ), dos siameses (s 1, s ) y dos de agora (a 1, a ). Para llevar a cabo u experimeto debe seleccioar dos gatos al azar, cómo puede determiar la variable aleatoria X: úmero de gatos siameses? (Nota: determiar la variable aleatoria sigifica defiir su domiio y su cotradomiio). Ates que ada, debe calcular cuátos evetos elemetales forma el domiio Ω de la variable aleatoria X. Puesto que de ocho gatos será seleccioados dos (completa): = Los valores posibles de X so 0, 1 y. Esto es así porque de los dos gatos seleccioados pudiera ser que iguo fuera siamés, o sólo uo, o ambos. C 8 X = 0 cuado: los gatos so birmaos (de 4): C 4 = 6 ó 1 gato es birmao (de 4) y 1 de agora (de ): C 4 1 C 1 = 8 ó dos gatos so de agora (de ): C = 1 Al sumar, resulta que 15 de los resultados posibles o icluye u gato siamés. X = 1, o u gato es siamés, cuado (escribe lo que falta): Uo de los gatos es birmao (de 4) y otro es siamés (de ): = C C = ó uo de los gatos es de agora (de ) y otro es siamés (de ): C C = Etoces, de los resultados posibles, cuátos icluye u gato siamés?. Fialmete, X =, o dos gatos so siameses, cuado: Los gatos so siameses (de ): C = Los resultados ateriores se orgaizaro e esta tabla: 5 EVENTOS ELEMENTALES DE Ω VALOR DE X (NÚM. DE GATOS SIAMESES) MANERA DE CALCULARLOS b 1 b, b 1 b 3, b 1 b 4, b b 3, b b 4, b 3 b 4 b 1 a 1, b 1 a, b a 1, b a, b 3 a 1, b 3 a, 0 b 4 a 1, b 4 a a 1 a b 1 s 1, b 1 s, b s 1,b s b 3 s 1, b 3 s, b 4 s 1, b 4 s 1 a 1 s 1, a 1 s, a s 1, a s s 1 s Si tomas como domiio a los evetos elemetales de Ω (primera columa de la tabla) y como imágees a los valores de X (seguda columa de la tabla), la relació etre ambos es la fució: variable aleatoria X. Cómo es X, discreta o cotiua?. A su vez, si las imágees de X, que so 0, 1, y, se toma como domiio de la fució de desidad P, ésta se defie así: P(X) 15 µ P: {0, 1, } 8 Dode (escribe lo que falta): 4 C + 4 C 1 C 4 C 1 C + 1 P(X) [ 0,1 ] C + 1 C 1 C 1 C

7 P(0) =, P(1) =, P() = Gráfica I. X Las fucioes X y P está relacioadas de esta maera: Ω X (x) {0, 1, } P(X) [ 0,1 ] La esperaza matemática del úmero de gatos siameses 15 se calcula empleado la igualdad I.1. E(X) = = = 0.5 E la gráfica I., por qué el valor de E(X) o se ecuetra e medio de la distribució, dode X = 1?. O sea, Rodolfo debe esperar que cuado seleccioe al azar dos gatos, uo o iguo sea siamés (puesto que el resultado o puede ser 0.5). Imagia: se seleccioa ua pareja de gatos u milló de veces (por supuesto reemplazado los gatos cada vez), cuátos gatos siameses tedría la mayoría de las parejas seleccioadas? (marca co! ): Dos ( ) Uo ( ) Niguo ( ) Uo o iguo ( ) Calcula el valor de la variaza y de la desviació estádar de X: σ = i = = = = = σ = i = 1 (X i - µ) P(Xi ) Sobre el eje X de la gráfica I. toma como puto de referecia a µ y marca σ uidades tato a la derecha como a la izquierda. Así se formó u itervalo (o ua fraja) de σ uidades de acho, cetrada e µ. Cuátos valores de X está e el itervalo?. Es decir, el %.

8 7 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS I 1. Completa la tabla: Feómeo o Experimeto Lazar la pelota 5 veces a la caasta e u juego de básquetbol. Comprar tres computadoras. Las mariposas moarca llegará a Michoacá el próximo año. Se mide la estatura de u adulto. Ecuestar a 100 persoas sobre su preferecia por u cadidato a la presidecia. Deportació a ilegales mexicaos e Estados Uidos de Norteamérica. Vacuar a 67 persoas cotra la Hepatitis B. Sorteo co 1 premios mayores de la Lotería Nacioal si se vediero todos los boletos. Variable Aleatoria X La pelota etra a la caasta. Computadora defectuosa. Número de mariposas moarca que morirá e Michoacá el próximo año. Proporció de la preferecia por u cadidato. Número de idocumetados mexicaos que deportará Estados Uidos el próximo mes. Número de casos de hepatitis B. Premios que otorgará la Lotería Nacioal. Tipo de Variable Aleatoria Discreta Cotiua Valores que puede tomar la Variable Aleatoria X X = 0, 1,, 3,... (1) Cualquier valor etre 50 y 300 cms. X = 0, 1,, 3,... (1) Los putos suspesivos idica que la umeració cotiúa hasta u úmero idetermiedo.. U cosorcio habitacioal decide emplear a tres de los seis arquitectos (A 1, A, A 3, A 4, A 5, A 6 ) que tiee cotratados. Cada uo tiee diseñadas la catidad de casas modelo que se idica e la siguiete tabla: ARQUITECTOS CASAS MODELO DISEÑADAS A, A 3, A 5 A 1, A 6 3 A 4 4 Se seleccioa los tres arquitectos al azar y se defie la variable aleatoria X: suma de casas modelo diseñadas por los tres arquitectos. a. Elabora ua tabla para idicar los valores posibles de X (1ª columa) y los respectivos valores elemetales del espacio muestral (ª columa).

9 8 b. Determia el valor de la probabilidad para cada valor de X. c. Calcula el valor de la esperaza de X. Catidad de efermos de hepatitis C Probabilidad A u hospital de Veezuela acude de 0 a 4 efermos de hepatitis C e u mes cualquiera. Empleado u registro histórico se obtuviero las probabilidades de que acudiera ua catidad de efermos determiada al mes (ver la tabla). a. Cuál es la catidad esperada de efermos de hepatitis C? b. Cuál es la desviació estádar? 4. U juego cosiste e lazar dos dados de distito color, de tal maera que: a. Si la suma de los úmeros es múltiplo de 3, gao $00.00 b. Si la suma es 7, gao $ c. Si la suma o es 7 i múltiplo de 3, pierdo $50.00 Debo esperar gaacia o pérdida?, cuáto?

10 5. Sea X: úmero de águilas obteidas al tirar tres moedas ideales. Obté el valor esperado de X Ua tieda de artículos electróicos vede cierto modelo de computadora portátil, del cual se tiee cuatro e existecia. El gerete se preguta cuál será la demada hoy para dicho modelo. El Departameto de Vetas le iforma que la distribució de probabilidad para X: demada diaria para la computadora portátil, es la siguiete: Determia la media, la variaza y la desviació estádar de X. X P(X) Cuál es la respuesta a la preguta que se hace el gerete? 7. Para u sorteo e beeficio del cuerpo de bomberos se vederá boletos, a $50.00 cada uo. Si el premio es u automóvil de $ y ua persoa compra dos boletos, a. cuál es su gaacia esperada? b. cuál es su gaacia esperada si compra tres boletos? 8. E la ciudad de Los Ageles, e Estados Uidos de Norteamérica, la probabilidad de que ua casa de cierto tipo quede destruida por u icedio e u año es Ua compañía de seguros le ofrece al propietario ua póliza de seguro cotra icedio por USD y a u año por ua prima de USD. a. Qué es ua póliza de seguro?

11 10 b. Qué es ua prima de seguro? Calcula la gaacia esperada de la compañía 9. Ua variable aleatoria X puede tomar cico valores: 0, 1,, 3, 4. Eseguida se muestra ua parte de la distribució de probabilidad, a) completa la tabla. X P(X) Calcula: b) La media, variaza y desviació estádar. c) La probabilidad de que X sea mayor que. d) La probabilidad de que X sea 3 o meor

12 11 UNIDAD II DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PROBABILIDAD COMPETENCIAS POR ADQUIRIR Idetificar u experimeto de Beroulli. Para u problema dado, a. Costruir la distribució de probabilidad de la variable aleatoria discreta ivolucrada. b. Calcular la probabilidad de ua variable aleatoria. c. Calcular la esperaza matemática de ua variable aleatoria biomial. Existe ua diversidad de distribucioes de variable discreta, etre las más importates está la distribució biomial, que es ua distribució de probabilidad del úmero de éxitos e ua secuecia de experimetos idepedietes. La fució de probabilidad P de ua variable aleatoria biomial es tal que: i = P(X = X i) = 1 i= 1 y P(x) = Cx p x q -x Recuerda siempre esta fórmula, co ella se calcula la probabilidad de obteer x éxitos e u úmero, fijo, de itetos, si se cooce la probabilidad de u éxito aislado. Lo aterior se cumple siempre y cuado se trate de u experimeto de Beroulli, como e el caso estudiado por Martí López. So cuatro las características de u experimeto de Beroulli: Sólo tiee dos resultados posibles: éxito y fracaso. Se puede repetir veces. Las repeticioes so idepedietes etre sí. La probabilidad de éxito es la misma e cada repetició. La vetaja de la fórmula 3.1 es que permite calcular las demás probabilidades (para = 4, = 5, etc.), si ecesidad de obteer los valores de Ω. Completa la tabla 3.6 empleado dicha fórmula. X

13 Tabla 3.6 Hay simetría e cada regló de la tabla 3.6?. Ua pareja de recié casados plaea teer 4 hijos ( = 4). Qué probabilidad tiee de que 3 sea varoes (X = 3)?. Si plaea teer 5 hijos, cuál es la probabilidad de que iguo sea varó?. Cuál es la probabilidad de que o 3 sea varoes?. La represetació gráfica de P(X) para cada valor de queda así (e cada ua se idica el área bajo la curva: 1 P(X) = 1 A = 0.5 X P(X) = A = X = 3 A = P(X) X P(X) = 4 A = X P(X) = 5 A = X La escala e el eje P de las probabilidades se formó co úmeros decimales porque so valores que o tiee más cifras e su parte decimal. Cuado el úmero de cifras e la parte decimal es ifiito, o es elevado, coviee trabajar co fraccioes para o perder exactitud. A partir de las gráficas ateriores, si aumeta, etoces el área bajo la curva, aumeta o dismiuye?. Si se hace cada vez más grade, a qué valor tiede el área bajo la curva?. Si se traza ua líea vertical por el cetro de cada ua de las gráficas, se hace más evidete su propiedad de ; lo cual sucede porque p = q. Cuado p q e el experimeto de Beroulli, se puede costruir la distribució de probabilidad como lo hizo Martí López. Por ejemplo, supó que q = 0.3 y p = 0.7 so las probabilidades de fracaso y éxito respectivamete. Escribe los valores de la probabilidad e la tabla que sigue, para calcularlos aplica la fórmula 3.1 de la distribució biomial, P(x) = C x p x q -x, dádole u valor a y a sus respectivos valores de x. X

14 Tabla 3.7 Hay simetría e cada regló de la tabla 3.7?.Cuado p y q so iguales, sí hay simetría, ahora e cada valor de (regloes e la tabla) se advierte que las probabilidades de la variable aleatoria o forma u arreglo simétrico. A cada valor de le correspode ua distribució de probabilidad y sus gráficas os permite visualizar de ua maera rápida el comportamieto de la fució de probabilidad. Termia las gráficas de abajo y calcula el área bajo la curva; para hacerlo es recomedable hacer divisioes e forma de triágulos y rectágulos. Ρ(X) = 1 A = 0.5 Ρ(Χ) = 4 A = Ρ(Χ) = 6 A = 0 1 X Χ Χ A qué valor tiede el área A cuado se hace más grade?. So simétricas las gráficas?. Esto sucede porque p q. TABLAS BINOMIALES DE PROBABILIDAD Observa la tabla 3.6. Esa tabla se costruyó para = 0, 1,, 3, 4, 5, 6 supoiedo p = q. E caso de que p q, depediedo de los valores de de p y de q, se puede hacer los cálculos y costruir la tabla correspodiete (es el caso de la tabla 3.7). Existe tablas más amplias que cotiee las probabilidades biomiales para diferetes valores de y de x (ver Apédice II-A y II-B), las cuales ahorra alguos cálculos. Las tablas biomiales de probabilidad se preseta e diferetes formas. Por ejemplo, localiza la tabla del Apédice II-A. Ésta idica que si se realiza 7 itetos, cada uo co ua probabilidad de éxito de 0.5, etoces la probabilidad de obteer 3 éxitos es P(x=3) = Cuál es la probabilidad de obteer éxitos e 10 itetos si la probabilidad p de éxito e cada iteto es de 0.7? (utiliza el último regló de la tabla). Para calcular, por ejemplo, la probabilidad de obteer 0, 1 ó éxitos e 10 itetos, co probabilidad de éxito 0.5, ormalmete se suma las probabilidades respectivas (completa cosultado el Apédice II-A) P(x =0, 1 ó ) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = )

15 = + + = Si embargo, existe tablas, como la del Apédice II-B, que de maera directa proporcioa el resultado acumulado de P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = ). Localiza el valor de la probabilidad e dicha tabla, tomado = 10, p = 0.5, k = ; cuáto es?. Coicide este valor co el resultado que obtuviste ates?. Ua probabilidad biomial se puede calcular por tres métodos: b) Por medio de la fórmula P(x) = Cx p x q -x. c) Utilizado las tablas biomiales. a) Empleado u programa de cómputo, por ejemplo, Miitab. Problema. U medicameto causa efectos secudarios e cico de cada cie pacietes. Si se elige al azar ocho pacietes que tomaro el medicameto, ecuetra: a. La probabilidad de que igú paciete muestre efectos secudarios (ecuetra la respuesta utilizado la tabla del Apédice II-A o la del Apédice II-B). P(X=0) = b. La probabilidad de que muestre efectos secudarios a lo más tres pacietes (ecuetra la respuesta de maera directa utilizado la tabla del Apédice II-B). P(x = 0, 1, ó 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = ) + P(x = 3) =. 14 Problema. El médico Jua Mauel Lozao es acuputurista y ha descubierto que u tratamieto para curar la obesidad ha dado resultado favorable e dos de cada tres de sus pacietes, quiees dismiuyero su peso hasta u valor adecuado a su estatura. Próximamete cuatro pacietes se someterá a su tratamieto y se iteresa por coocer la probabilidad de que: a. Se cure uo. b. Se cure dos. c. Se cure al meos tres. d. No se cure iguo. e. Tambié quiere saber el úmero más probable de pacietes que se curará. El Dr. Lozao advierte lo siguiete: = 4 (se somete al tratamieto 4 pacietes). X = 0, 1,, 3, 4 (úmero de pacietes que se cura). p = 3, q = 3 1 Se trata de u experimeto de Beroulli. Por lo tato, decide aplicar la fórmula de la distribució biomial: P(x) = Cx p x q - x a. La probabilidad de que se cure al meos tres pacietes sigifica que sucede x = 3 ó x = 4; por lo tato se suma las probabilidades: P(3) + P(4) = 3 16 = C C

16 15 48 = 81 b. La probabilidad de que se cure dos pacietes sigifica que sucede x = : P() = 4 C 4 = c. La probabilidad de que se cure u paciete sigifica que sucede x = : P(1) = = d. Para calcular la probabilidad de que o se cure paciete alguo se toma x = 0. Recordado que la suma de probabilidades de los evetos elemetales es : P(0) + P(1) + P() + P(3) + P(4) = Al despejar: P(0) = - [P(1) + P() + P(3) + P(4)] Los valores de las probabilidades que está detro de los corchetes ya se calcularo ates, por lo tato: P(0) = - [ ] P(0) = - = e. Cuado la variable aleatoria tiee ua distribució biomial de probabilidad, las ecuacioes geerales para calcular el valor esperado y la variaza se puede simplificar de tal maera que: E(x) = µ = p (dode µ es la media aritmética de la distribució biomial) Var (x) = σ = pq E el problema del Dr. Lozao, = 4, p =, q =, e cosecuecia: Co la fórmula geeral, cuál es el µ = =.66 3 resultado? j = X ip(x i ) = σ = 9 8 = 0.88 σ = j=0 = = Esto sigifica que, e promedio, el Dr. Lozao debiera esperar que co mayor probabilidad se cure pacietes. Problema. Ua distribuidora automotriz dispoe de 8 autos para demostració, 5 so rojos y 3 azules. A diferetes horas de cierto día se preseta 4 clietes y cada uo seleccioa al azar u auto de los 8 para maejarlo a prueba. Cuál es la probabilidad de que los clietes seleccioe meos de autos rojos?

17 Se trata de u experimeto aleatorio co reemplazo, puesto que todos y cada uo de los clietes tedrá a su disposició ocho autos para seleccioar uo. Siedo así, tiee las características de u experimeto de Beroulli, o sea: 1. Hay ua situació idética de ua acció a otra.. E cada experimeto so posibles dos resultados: el cliete seleccioa u auto rojo (éxito) y el cliete o seleccioa u auto rojo ( ). 3. La probabilidad de éxito y de fracaso o varía de u cliete a otro. 4. La decisió de elegir de u cliete es idepediete de la decisió del aterior. El éxito e este caso se daría cuado se seleccioara uo de los 5 autos rojos. Si X es el úmero de autos rojos que puede seleccioar los 4 clietes: X = 0, 1,, 3, y 4. Además, = 4, p = 8 5 La probabilidad que buscamos es P(X < ): P(X < ) = P(X = 0) + P(X = 1) = 4 C = = C Si los cuatro clietes llegara al mismo tiempo, el primero podría escoger el auto de etre 8 dispoibles, el segudo lo escogería de etre 7, el tercero de etre 6 y el cuarto de etre 5. E ese caso, dejaría de cumplirse las características de u experimeto de Beroulli?. Cuáles? Calcula la media aritmética (o esperaza matemática) de la distribució biomial: E(X) = Calcula la desviació estádar. σ = = = = 16 Problema. E u lote co 1,000 relojes de pulsera hay 10% defectuosos. Si se escoge al azar 7, cuál es la probabilidad de que haya más de 1 defectuoso? El úmero de experimetos es = 7 y la probabilidad de éxito es la probabilidad de que al tomar u reloj éste salga defectuoso: p = 0.1 Auque el muestreo se hace si reemplazo, puesto que la catidad de artículos que hay e el lote es mucho mayor comparada co los que se escoge, se puede supoer, si perder mucha exactitud, que so válidos los supuestos del experimeto de Beroulli. Si X es el úmero de artículos defectuosos, etoces: X = La probabilidad solicitada es:

18 17 P(X > 1) = P(X = 7) El cálculo de las 6 probabilidades de la igualdad resulta laborioso, pero otemos que: P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)+ P(X = 6)+ P(X = 7) = Lo aterior es lo mismo que: Al despejar: P(X 1) + P(X > 1) = P(X > 1) = Al cosultar el Apédice II-B para = 7 y p = 0.10, se obtiee: P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = La media o valor esperado µ y la variaza sería: µ = p = = σ = pq = = EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS II 1. La erupció del volcá de Colima es u feómeo equivalete a u experimeto de Beroulli? Por qué?. De acuerdo a ua ecuesta del Istituto Mexicao de la Juvetud, alrededor del 40% de los jóvees mexicaos co edades etre 1 y 9 años se declara católico practicate. Se realiza ua selecció al azar de 7 jóvees co edades e ese rago: a. Por qué la selecció de u jove es u experimeto de Beroulli? b. Calcula la distribució de probabilidad (los valores de la probabilidad para cada valor de la variable aleatoria co = 7) y costruye su gráfica. c. Calcula la probabilidad de que sea católicos practicates: a. Todos b. Niguo c. Al meos 5 d. Más de pero meos de 6

19 18 d. Costruye las gráficas y calcula las áreas bajo las curvas que correspode a = y = 7. Cuál de las áreas es mayor? e. Cuál es el valor de la esperaza matemática? 3. Si e ua població de habitates, 55 de cada 100 persoas so mujeres y 45 so varoes. E ua familia de tres hijos: a. Cuál es la probabilidad de que a lo más sea mujeres? b. Cuátas mujeres debiera esperar u matrimoio que plaea teer tres hijos? 4. Se extrae 4 caicas co reemplazo de ua ura que tiee 5 blacas y 3 egras. Cuál es la probabilidad de que salga meos de blacas? 5. El 10% de cierta població es daltóica. Si al azar se seleccioa ua muestra de 15 persoas, calcula la probabilidad de que sea daltóicos: a. Cuatro o meos. b. Cico o más. c. Etre tres y seis, iclusive. 6. De los botoes producidos por ua máquia, 95% o tiee defectos. Al tomar ua muestra al azar de 1 piezas, cuál es la probabilidad de que ueve o tega defectos? 7. Durate u largo tiempo se ha observado que u soldado da e el blaco, co u solo disparo, co probabilidad igual a Supó que dispara cuatro veces al blaco, calcula la probabilidad de que dé e el blaco: a. Dos veces b. Al meos ua vez

20 19 8. Se sabe que siete de cada 10 pacietes que toma cierta medicia se cura. De 30 que ha tomado la medicia, cuál es la probabilidad de que se cure 0? 9. E cierta ciudad la ecesidad de diero para comprar alimetos se establece como el motivo del 75% de los robos. Ecuetra la probabilidad de que etre los siguietes cico casos de robo: a) Dos resulte de la ecesidad de diero para comprar alimetos. b) Al meos tres resulte de la ecesidad de diero para comprar alimetos. c) Represeta esta distribució biomial por medio de ua gráfica. d) Calcula la media y la desviació estádar de esta distribució biomial.

21 0 UNIDAD III FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL COMPETENCIAS POR ADQUIRIR Expresar las propiedades de la curva ormal. Resolver problemas aplicado la teoría de la distribució ormal de probabilidad. Ua variable umérica puede ser discreta o cotiua. Cuado es cotiua, el modelo probabilístico más utilizado es la fució de distribució ormal, la cual provee ua descripció adecuada para la distribució de ua gama muy amplia de ese tipo de variables. Se dice que ua variable aleatoria cotiua X sigue ua distribució ormal (o gaussiaa), de parámetros µ y σ, si su fució de desidad es: 1 1 x µ ( ) f ( x ) = e σ x R σ π Campaa de Gauss Esto sigifica que, co valores dados de µ y σ, al darle valores a x, se obtiee que f(x) es ua campaa de Gauss cetrada e µ. Alguas propiedades de la distribució ormal Es simétrica co respecto a u eje que pasa por µ, su media aritmética. Se extiede desde hasta +. Es asitótica al eje x: uca lo toca por mucho que se extieda tato a la derecha como a la izquierda. La esperaza matemática de la variable aleatoria X coicide co el valor del parámetro µ, la media aritmética poblacioal, y la variaza de X es σ : E (X) = µ Var (X) = σ Figura 3.3 Distribucioes gaussiaas co distitas medias pero igual dispersió. Figura 3.4 Distribucioes gaussiaas co distitas dispersioes pero igual media.

22 La posició de la curva depede del valor de la media aritmética µ. Si se modifica µ, se desplaza pero matiee su forma (figura 3.3). Su forma depede de la desviació σ (parámetro de dispersió). Cuato meor sea σ, mayor probabilidad se cocetrará alrededor de la media (gráfica de f muy aputada cerca de µ), y cuato mayor sea σ más aplastada estará (figura 3.4). El valor de la media µ coicide co los valores de la mediaa y la moda. E u itervalo (a, b) sobre el eje x, el área bajo la curva represeta u valor de la probabilidad P(a < X < b). El área total equivale a ua probabilidad de 1. E ua distribució ormal, el valor z se defie así: z = x µ (Recuerda siempre esta defiició) σ o bie, zσ = x µ (z veces σ es igual a la separació etre x y µ, lo cual quiere decir que z es el úmero de desviacioes estádar que hay de diferecia etre x y µ). Si e f(x) se substituye z, se produce ua trasformació. Observa: 1 f(x) = σ 1 e π 1 x µ σ e z 1 - f( z) = dode µ =0, σ =1 π Al hacer el cambio de variable (e vez de x utilizar z) se dice que se estadariza la variable aleatoria X. La fució f(z) se cooce como fució de desidad estadarizada y su gráfica es la curva ormal estadarizada, para la cual la media aritmética es 0 y la desviació estádar es uo. Abajo, dibuja la curva ormal para f(x) y la ormal estadarizada para f(z), ambas tiee forma de campaa y está cetradas alrededor de la media. f(x) f(z) µ = 34.1 µ = 0 Volvamos al asuto de los lobos, Jua se platea la preguta Cuál es la probabilidad de que al seleccioar u lobo al azar, de etre los 90, pese meos de 35 kilos? Hallar esa probabilidad equivale a calcular u área bajo la curva ormal estadarizada. Para ello coviee seguir estos tres pasos (recuérdalos siempre): µ Paso I. Estadarizar los valores x de iterés, lo cual se hace aplicado z = x. σ Jua sabe que x = 35 es el valor de iterés, σ = y µ = , por lo tato:

23 z = = Paso II. Dibujar u esbozo de las curvas ormales, tato de la gaussiaa f(x) como de la estadarizada f(z), y ubicar a x a la derecha o a la izquierda de µ, lo mismo que a z, (sombrea el área de iterés bajo la ormal estadarizada): µ = x = 35 µ = 0 z = Gaussiaa Estadarizada Paso III. Ecotrar el valor del área de iterés a partir de los valores z obteidos. Esto se hace utilizado tablas como la del Apédice III. E esa tabla, Jua determia que el área etre - y es Puesto que u área bajo la curva f(z) es ua probabilidad, el resultado es: P(X < 35) = (sigifica que al seleccioar u lobo mexicao al azar, la probabilidad de que pese meos de 35 kg es de ). Dicho de otra maera, % de los lobos que sea seleccioados al azar pesará meos de 35 Kg. La preguta: Cuál es la probabilidad de que u lobo seleccioado al azar tega u peso compredido etre 8 y 37 Kg? Jua la respode siguiedo los pasos vistos arriba (llea lo que hace falta e cada paso). µ Paso I. Estadariza los valores x de iterés por medio de z = x. σ Los valores de la desviació y de la media so σ = 3.85 y µ = Si x 1 = 8, etoces z 1 = ; si x = 37, etoces z = Paso II. Dibuja dos esbozos de las curvas ormales: uo de la gaussiaa f(x) dode marca los valores de x, y otro de la estadarizada f(z), dode marca los valores z, además sombrea las áreas de iterés (dibuja el otro esbozo): f(x) f(z) x=8 x=37 Paso III. Mediate la tabla del Apédice III se ecuetra el valor del área de iterés: Para z 1 = , el área e la cola izquierda os da P(X < 8) = Para z = , el área e la cola izquierda os da P(X < 37) =

24 3 Puesto que iteresa el área etre y , se debe hacer ua resta de sus respectivas áreas (esto es más claro si observas el esbozo que hiciste): P(X < 37) P(X < 8) = - = Por lo tato, si se seleccioa u lobo al azar, la probabilidad de que pese etre 8 y 37 kilos es de. De qué otra maera se puede expresar el resultado?. 1. Escribe las catidades correctas e la figura. EJERCICIOS III Área = Área = Área total sombreada = z = a. Ecuetra el porcetaje de putuacioes dode z es meor que 1.15 b. Ecuetra el porcetaje de putuacioes dode z es mayor que 0.85 c. Ecuetra el porcetaje de putuacioes dode z es mayor que 1.15 d. Cuál es el porcetaje de putuacioes dode z es meor que -0.5? e. Cuál es el porcetaje de putuacioes z meores que -1.5 pero mayores que.0? e. Cuál es el porcetaje de putuacioes dode z está etre y 1.5? 3. U médico registró el tiempo de vida de 000 efermos a partir del mometo e que se les detectó cierta efermedad. Para poder predecir el tiempo de vida de u efermo determiado, hace u estudio e el que: a.- Toma muestras. Qué debe hacer para que sea represetativas? De qué tamaño le coviee tomar cada muestra?.

25 b.- Obtiee la media de cada muestra. Cuál de las medias será el mejor estimador de la media poblacioal?. c.- Costruye la gráfica de la distribució de las medias muestrales. Qué forma tedrá la distribució?. d.- Calcula la media de las medias muestrales x. El resultado será u bue estimador de la media poblacioal?. e.- Calcula la desviació estádar s x de las medias muestrales. El resultado será u bue estimador de la desviació estádar poblacioal?. A partir del valor de s x, cómo se puede obteer el valor de la desviació estádar poblacioal?. 4. El salario mesual de los directores de 500 empresas se distribuye ormalmete y su media aritmética es µ = $ , co desviació estádar σ = $ Si se obtiee ua muestra aleatoria de tamaño 30, cuál es la probabilidad de que la media aritmética de la muestra difiera cuado mucho por $ de la media de la població? 5. La tabla de abajo cotiee datos obteidos por u criadero de perros. Ahí se muestra la distribució de las temperaturas, e grados cetígrados, de 194 hembras pastor alemá al mometo del parto. a. Dibuja el histograma y traza su polígoo de frecuecias suavizado (si lo deseas, utiliza computadora). Temperatura Frecuecia b. Calcula la probabilidad de que al seleccioar ua pastor al azar su temperatura sea: i. Meor de 38.5 C ii. Etre 37.5 C y 38.7 C iii. Mayor que 38.5 C (aprovecha el resultado del p rimer iciso y el hecho de que el área total bajo la curva es 1).

26 6. E la figura de la izquierda se muestra la curva de riesgo idividual progresivo, por el ivel de colesterol, y la curva del ivel de colesterol e ua població. La distribució de los idividuos e riesgo, es gaussiaa?. Cómo es la proporció de idividuos e alto riesgo co respecto a los de bajo riesgo? Ua empresa costruye 47 puertas de madera que se istalará e u edificio Al medirlas, pasado u mes, cuado la madera ya sufre poca deformació, y ates de colocarlas, resulta que la media aritmética de su acho es de cm., co ua desviació típica de 0.4 cm. El hueco dispuesto para las puertas permite que mida 85 cm. como míimo y 86 cm. como máximo. Además, la altura media de las puertas es de 1.91 m., co desviació típica de 0.5 cm., y el espacio dode se colocará admite alturas de 1.9 ± 0.03 m. Los achos y las alturas de las puertas se distribuye de maera ormal. a) Determia el porcetaje de puertas que habrá de repararse de lo acho para poderse colocar.. b) Determia el porcetaje de puertas que habrá de repararse de lo alto para poderse colocar.. c) Cuál sería el gasto extra de la empresa, si reparar cada puerta de lo acho sigifica 60 pesos de gasto y 40 pesos repararla de lo alto?. 8. Se cosidera que las calificacioes de cierta prueba de apredizaje se distribuye ormalmete, co ua media de 500 putos y desviació típica de 100 putos. Cuál es la probabilidad de que ua calificació seleccioada al azar sea mayor de 700 putos? 9. Los estudios muestra que el uso de gasolia para automóviles compactos vedidos e Estados Uidos tiee ua distribució ormal, co ua media de 5.50 millas por galó (mpg) y ua desviació estádar de 4.50 mpg. a. Qué porcetaje de automóviles compactos ride 30 mpg o más? b. U fabricate desea costruir u automóvil compacto que supere e ecoomía de combustible al 95% de los automóviles compactos actuales, cuál debe ser el cosumo de gasolia para el uevo automóvil? 10. El departameto de cares e u supermercado prepara específicamete sus paquetes de u kilo de care molida. Se sabe que los pesos de los paquetes varía, alguos

27 co u poco más y otros co u poco meos de u kilogramo. Los pesos de estos paquetes tiee ua distribució ormal co ua media de 1.00 kg. y desviació estádar de 0.15 kg. a. Qué proporció de los paquetes pesará más de u kilogramo? b. Qué proporció de los paquetes pesará etre 0.95 y 1.05 kilogramos? c. Cuál es la probabilidad de que u paquete de care molida seleccioado al azar pese meos de 0.80 kg.? E el siguiete resume falta alguas expresioes, procede a escribirlas. RESUMEN E ua muestra, a la media aritmética y a la desviació estádar se les deomia. E ua població, la media se represeta por µ y la desviació estádar por σ y se deomia. Ua variable aleatoria cotiua X sigue ua distribució ormal, de parámetros µ y σ, si su fució de desidad es: 1 1 x µ ( ) f ( x ) = e σ x R σ π µ Al cambiar la variable x por z = x la fució aterior se trasforma e: σ f(z) = dode µ =, σ =. La distribució ormal N(µ, σ) tiee las siguietes propiedades: Es simétrica co respecto a su. Se extiede desde hasta. Es asitótica al eje, uca lo toca por mucho que se extieda. La media aritmética de la població coicide co la esperaza matemática de la variable aleatoria X y σ es la. Su posició depede del valor de la.. Su forma depede de la.. El valor de la media coicide co el valor de la y co el valor de la. El área bajo la campaa represeta u valor de la P(a< X <b). Hallar ua probabilidad implica calcular u área bajo la curva ormal. Para ello se utiliza tablas y coviee seguir estos 3 pasos: Paso I. Estadarizar los valores x de iterés, mediate la fórmula z = Paso II. Hacer u esbozo de las curvas ormales, tato de la gaussiaa como de la, marcar ahí los valores de x y de z; además, sombrear el área de iterés e la ormal estadarizada. Paso III. Ecotrar el área de iterés mediate ua tabla a partir de los valores z obteidos. 1. U automóvil viaja e u área residecial a 30 millas por hora (mph), la distacia ecesaria para deteerse al frear sigue ua distribució ormal, co media de 50 pies y desviació estádar de 8 pies. Si otro automóvil se para de proto e su carril a 60 pies de distacia, al aplicar el coductor los freos, calcula la probabilidad de: a. Deteerse e 40 pies o meos; b. Deteerte e 50 pies o meos; c. Evitar la colisió si sólo puede frear hasta deteerse.

28 7 INVESTIGA: La deomiada regla empírica tiee relació co diagramas como el de la derecha. Ivestiga el coteido del Teorema de Chebishev y da ua explicació del diagrama. Teorema de Chebishev: Explicació del diagrama:

29 8 UNIDAD IV EL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Competecias por adquirir Explicarás bajo qué codicioes se cumple y e qué cosiste el Teorema Cetral del Límite. Verificarás el cumplimieto del Teorema Cetral del Límite. E geeral, para cualquier cojuto de datos está demostrado lo siguiete: Si el tamaño de la muestra se hace cada vez más grade, la distribució de la variable X, media muestral, se aproxima más a ua ormal.i Ua muestra se cosidera grade si tiee 30 o más elemetos. Está demostrado que la media de todas las medias de las muestras posibles, µ x, tiee u valor igual a la media poblacioal µ de los datos: µ x = µ II E la medida e que el tamaño de la muestra sea mayor, se sabe que la desviació estádar σ de las medias muestrales, s x, se acerca cada vez más al valor de. Si la població es muy grade, la desviació σ x de las medias de todas las muestras posibles y la desviació de la població, σ, se relacioa así: σ x = σ III De acuerdo a la igualdad (III), cuado el tamaño de la muestra es = o más, cómo es σ comparada co σ x, mayor o meor?. El valor de σ x es ua medida de que ta alejados está los valores x i co respecto a la media poblacioal µ. A partir de la igualdad III, al aumetar el tamaño de la muestra, el valor de σ x, aumeta o dismiuye?. Es decir, a mayor tamaño de la muestra, meos dispersió de las medias x i co respecto a µ (más pequeños los errores muestrales, que se defie como la distacia etre la media de ua muestra y la media poblacioal, x i - µ ). El cociete σ se deomia error estádar de la media. Al aumetar el tamaño de la muestra, el error estádar de la media aumeta o dismiuye?. Uidas, las igualdades I, II y III costituye el

30 9 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Cuado X es ua variable cotiua co parámetros µ y σ (media y desviació estádar poblacioales) y X es la variable cuyos valores so las medias aritméticas de muestras aleatorias de tamaño (tomadas de la població de valores de X), co parámetros µ x y σ x, etoces: I. Mietras mayor sea el tamaño de la muestra, más cerca de ser ormal estará la distribució de la variable x II. µ x = µ III. σ x = σ Recooce las otacioes empleadas. VARIABLE VALORES DE LA VARIABLE MEDIA MUESTRAL MEDIA POBLACIONAL DESVIACIÓN ESTÁNDAR MUESTRAL DESVIACIÓN ESTÁNDAR POBLACIONAL X x i x µ s σ X x i x µ x s x σ x EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS IV 1. Ua ura cotiee cico bolas umeradas del 1 al 5. Cada úmero idica su valor e pesos. a. Cuál es la media poblacioal µ de los valores e pesos? b. Cuál es el valor de la desviació estádar poblacioal σ? c. Ua persoa extrae dos bolas. Escribe todas las muestras posibles, co reemplazo, juto a cada muestra escribe el valor x i de su correspodiete media. Muestra x i Muestra x i Muestra x i Cuátas muestras so?. d. Costruye la tabla de frecuecias de la media muestral x.

31 30 e. La distribució de la població tiee forma rectagular (derecha). Qué forma tedrá la distribució de las medias muestrales?. f. Compruébalo costruyedo su distribució e forma semejate a la de la derecha (hazlo debajo de ésta). g. La tabla de frecuecias para la media muestral (iciso d) costituye la distribució muestral de la media, calcula su media aritmética y desviació estádar. h. Coicide la desviació estádar σ de la població de datos (calculada e el iciso b) co la desviació estádar de la distribució muestral (calculada e el iciso g)? i. Calcula el error estádar de la media. j. Coicide la desviació estádar de la distribució muestral (calculada e el iciso g) co el error estádar de la media (calculada e el iciso i)? Frec x. El médico Jua Barradas registra el tiempo que duraro co vida 000 efermos a partir del mometo e que se les detectó cierta efermedad. Para poder predecir el tiempo que durará co vida u efermo determiado hace u estudio e el que: a. Toma muestras. Qué debe hacer para que sea represetativas? De qué tamaño le coviee tomar cada muestra? b. Obtiee la media de cada muestra. Cuál de las medias será el mejor estimador de la media poblacioal? c. Grafica la distribució de las medias muestrales. Qué forma tedrá la distribució? d. Calcula la media de las medias muestrales. El resultado será u bue estimador de la media poblacioal? e. Calcula la desviació estádar de las medias muestrales. El resultado será u bue estimador de la desviació estádar poblacioal? 3. E el cuadro siguiete redacta u resume del tema Teorema Cetral del Límite.

32 31 UNIDAD V-A ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE LA MEDIA ARITMÉTICA DE UNA POBLACIÓN COMPETENCIAS POR ADQUIRIR Para resolver u problema dado, determiarás u itervalo de cofiaza para la media aritmética de la població. Iterpretarás el sigificado del tamaño del itervalo de cofiaza, relacioádolo co la precisió. Idetificarás las propiedades de la distribució t de Studet. Itervalo de cofiaza para la media poblacioal µ cuado σ es coocida Cuado se pretede calcular la media aritmética poblacioal de ua variable cotiua, pero o se puede abarcar todos los datos de la població, lo más práctico es tomar ua muestra aleatoria y calcular su media muestral x, cuyo valor es ua aproximació, o estimació, del valor del parámetro poblacioal µ. A partir de ua muestra, o se puede saber co total seguridad si el valor del estimador x es igual al valor del parámetro µ, pero se puede averiguar e térmios probabilísticos qué tato se aproxima x a µ: El itervalo Si X es ua variable poblacioal cotiua, que se distribuye ormalmete co desviació estádar σ coocida, al tomar ua muestra de tamaño cuya media es x, u itervalo de (1 - α)100% de cofiaza para µ es: σ ( σ x - z, x + z ) (z es el valor de la distribució ormal estádar que correspode a 1 - α e área cetral o a α e dos colas ). σ σ ( x - z, x + z ), permite hacer ua iferecia o predicció- sobre µ a partir del valor x, siempre y cuado se coozca la desviació estádar σ de la població. Las iferecias implica siempre u riesgo de cometer error, o sea, α uca podrá ser cero. Por lo mismo la cofiabilidad 1 - α uca podrá ser. Lo aterior tiee u icoveiete: e casos prácticos es difícil saber de atemao la desviació estádar poblacioal σ. Itervalo de cofiaza para la media poblacioal µ cuado σ o se cooce Si la variable cotiua de iterés X se distribuye ormalmete, etoces las medias muestrales se distribuye. Esto se puede asegurar por el Teorema del xi. Como la distribució de X es ormal, se puede utilizar la tabla de la distribució ormal estádar para el valor z de la variable Z, calculado así:

33 3 z = x µ x σ Como s es u estimador de σ, e vez de la expresió aterior podría utilizarse La diferecia etre su estimador s. x µ x σ y x µ x s z = x µ x s? se debe a la diferecia que hay etre el parámetro σ y Pero e la medida e que el tamaño de la muestra sea más grade, s estima mejor a σ, es decir, tiee u valor más cercao etre sí. E la fórmula para calcular la desviació típica s de la muestra: s = i = i = 1 ( i x x al aumetar, por estar e el deomiador de la fórmula, provoca ua dismiució de s y al mismo tiempo que tega u valor cada vez más cercao a σ. O sea, si e la fórmula para s el deomiador - 1 aumeta, etoces s estimará mejor a σ. - 1 Qué represeta?. Al valor de -1 se le cooce como los grados de libertad (g. l.) de s. Por lo tato, etre más g. l. haya, más se aproximará s a σ; a la vez, más próximo estará x σ µ x de x s µ x. La distribució de x µ x s o es ormal estádar porque cotiee s e vez de σ, pero debe parecerse más a la ormal estádar mietras más próxima esté s de σ, o sea, mietras más sea los g. l. Cuado la variable X se distribuye ormalmete, los valores de x s sigue la distribució t de Studet, la cual permite hacer estimacioes por itervalo de la media aritmética poblacioal. µ x ), La distribució t de Studet (o simplemete t) se caracteriza por lo siguiete: 1. Existe ua distribució t para cada valor 1 de los grados de libertad.

34 . Es simétrica co respecto a u eje vertical e t = 0, lo mismo que la distribució ormal estádar co respecto al eje z = Su media aritmética es t = 0, para la distribució ormal estádar es z = Su desviació típica es mayor que la uidad (σ > 1), lo cual sigifica ua mayor dispersió comparada co la distribució ormal estádar, para la cual σ = A medida que es mayor el tamaño de la muestra, los g. l. aumeta y la distribució t de Studet se parece más a la ormal: Teóricamete, e el límite = las distribucioes ormal estádar y t de Studet coicide. 6. Mietras la distribució ormal se puede trasformar e ua distribució ormal estádar, esto o es posible e el caso de ua distribució t de Studet. Asocia las columas mediate flechas Permite estimar µ cuado se cooce σ Su desviació típica es mayor que 1 Grados de libertad Se decide arbitrariamete Permite estimar µ cuado o se cooce σ Logitud del itervalo de cofiaza Media aritmética cero Forma familias de acuerdo a los valores de -1 ormal t de Studet Distribució t de Studet Distribució ormal Distribució ormal estadarizada Itervalo de cofiaza Media muestral Precisió Tamaño de la muestra ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE LA MEDIA ARITMÉTICA DE UNA POBLACIÓN Co los diferetes valores de - 1 se puede costruir ua tabla de valores t, (Apédice V). E esa tabla, cómo so los valores del último regló comparados co los del último regló de la tabla de valores z?. Por cuál de las propiedades de la distribució t se explica esta coicidecia?. Puesto que cada regló de la tabla del Apédice V correspode a ua distribució distita, os referiremos a los valores de t idicado los grados de libertad co u subídice. Por ejemplo, t (16) se refiere a u valor de t co 16 grados de libertad y por ede a ua muestra de 17 datos. E la tabla del Apédice V, e el regló 1- α e área cetral, hay distitos valores de 1- α. Si por ejemplo 1- α = 0.95 y g. l. = 60, etoces t (60) =.000; esto sigifica que la probabilidad de que u valor t esté compredido etre y.000 es 0.95, es decir: t Área cetral = P (-.000 < t <.000) = 1- α = 0.95 Qué se represeta e el eje de las ordeadas de la distribució t?. El área que correspode a 1- α es la cetral y es el 95% del área total.

35 34 El valor 1- α idica la cofiabilidad co la cual, al tomar ua muestra de tamaño 61 y calcular x µ x s, este valor se localizará etre y.000. Dicho de otra maera: si se pudiera tomar todas las muestras posibles de tamaño 61 (o u úmero muy grade de ellas) y para x µ cada ua calcular x s, además de distribuirse ormalmete, el 95% de los valores calculados estaría etre.000 y.000. E cosecuecia, 5% sería meores que o mayores que.000, o sea: P (-.000 > t >.000) = α = % 5% t Ärea Cetral = El área de ambas colas es el 5% del área total y se reparte equitativamete, etoces el área de cada ua es.5%. α Es decir, α = 0.05; = 0.05, por lo cual t (60) =.000 tambié correspode a α = 0.05 e el regló α e dos colas y a α = 0.05 e el regló α e ua cola. Etoces P (t >.000) = α = 0.05 α y por simetría: P (t < -.000) =.5%.5% Escribe los valores de: = 0.05 t (0) co 1- α =.80 e área cetral t (40) co α =.0 e dos colas t (30) co α = e ua cola Los límites del itervalo de cofiaza para µ, cuado se cooce σ, se calcula por medio de: x - z σ (límite iferior), x + z σ (límite superior) E casos más apegados a la realidad, cuado la variable bajo estudio X se distribuye e forma parecida a ua ormal, co σ descoocida, los límites del itervalo (abierto) de cofiaza para µ se puede calcular por medio de: s s x - t (-1) (límite iferior), x + t (-1) (límite superior) t Área cetral = Problema. E La Paz, Baja Califoria Sur, la Dra. Bertha Leyva está iteresada por saber la estatura promedio de las estudiates que asiste a las uiversidades del Estado. Co ese

36 propósito toma ua muestra aleatoria de 11 jóvees y resulta que su estatura promedio es x = 1.6 m. y que s = 0.16 m. De iicio supoe que las estaturas de la població bajo estudio (variable cotiua) se distribuye ormalmete y procede a costruir u itervalo de cofiaza para µ. Co ese fi elige ua cofiabilidad de 60%. Para ecotrar el itervalo de cofiaza ( x - t (-1) los datos coocidos so: s, x + t (-1) s ), x = 1.6 s = 0.16 = 11 El valor de t lo ecuetra e la Tabla de la distribució t de Studet co 1 - α e área cetral = 0.60 y 11 1 = 10 g. l.; ahí observa que t (10) = Al sustituir los datos coocidos obtiee: s 0.16 x - t (-1) = x + t (-1) = s = = 1.63 Por lo aterior, la doctora Leyva iterpreta que: co ua cofiabilidad del 60%, la estatura promedio de las jóvees que asiste a las uiversidades del Estado de Baja Califoria tiee u valor compredido etre m. y 1.63 m. Al reflexioar e el resultado aterior, la doctora prefiere teer ua estimació de µ co mayor cofiabilidad y decide que ésta sea de 90% (las cofiabilidades preferidas e las ivestigacioes so de 90 y de 95 por cieto). La tabla de la distribució t de Studet, para 1 - α e área cetral, idica t (10) = E cosecuecia: s x - t (-1) = = s x + t (-1) = = Es decir, co ua cofiabilidad del 90%, la estatura promedio de las jóvees que asiste a las uiversidades del Estado de Baja Califoria tiee u valor compredido etre m. y m. Co la fialidad de obteer todavía mayor cofiabilidad, la doctora Leyva decide fijarla e 99%. Siedo así, qué valor de t (10) se obtiee de la tabla para la distribució t de Studet?. Por lo tato: s 0.16 x - t (-1) = = 35

37 x + t (-1) s 0.16 = = Etoces, co ua cofiabilidad del 99%, la estatura promedio de las jóvees que asiste a las uiversidades del Estado de Baja Califoria tiee u valor compredido etre 1.58 m. y m. De acuerdo? E esta tabla se reúe los resultados: 36 CONFIABILIDAD INTERVALO TAMAÑO DEL INTERVALO 60% (1.607, 1.63) % (1.596, 1.644) % (1.58, 1.658) Observa los itervalos obteidos. Cuado la cofiabilidad se icremeta, qué pasa co el tamaño del itervalo, aumeta o dismiuye?. Por lo tato, si se quiere mayor cofiabilidad se debe estar dispuesto a sacrificar la exactitud. E el límite, ua cofiabilidad del 100% implica u itervalo de tamaño ifiitamete grade. Por lo tato, e u problema real, es posible teer ua cofiabilidad del 100%?. Problema. La bióloga Silvia Lozao realiza u estudio del tiempo de gestació de los gorilas hembra e Nigeria, El Cogo y Camerú, África. De los 30 ejemplares que observó, obtuvo ua media aritmética de 70 días y ua desviació típica de 47 días. Después calculó, co ua cofiabilidad de 95%, el tiempo de gestació de la població de gorilas de la regió, de lo cual obtuvo el itervalo, e días, de (5.45, 87.54) Es correcto su resultado?, compruébalo eseguida. Los datos so: x = días s = días = El valor de t e la tabla de la distribució t de Studet, co 1 - α e área cetral = 0.95 y co 30 1 = 9 g. l., es t (9) = Al sustituir los datos coocidos se obtiee los límites del itervalo: x - = = = x + = = =

38 37 So correctos los resultados obteidos por la Dra. Silvia?. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS V.1 1. El físico Roberto Ortega ivestiga la peetració e la roca de las partículas β (emitidas por el uraio radiactivo 38). Después de hacer ua gra catidad de medicioes, Roberto quiere calcular u itervalo de cofiaza para la media poblacioal; para ello toma ua muestra y calcula su media aritmética. Marca co! si la afirmació es correcta, co si es icorrecta: - Si Roberto cooce la desviació estádar poblacioal, debe aplicar x ± z σ ( ) - Si descooce la desviació estádar poblacioal puede aplicar x ± t s (-1) ( ) - Para aplicar cualquiera de los criterios ateriores la distribució de las medicioes debe ser ormal y la variable debe ser cotiua ( ) σ - Si el úmero de medicioes es ta grade que puede cosiderarse ifiita, e vez de σ N deberá utilizar ( ) N 1 - La cofiabilidad la debe decidir segú sea el tamaño de la població ( ). E las codicioes de desidad del aire y presió atmosférica que priva a ua altura de m., se ivestiga el tiempo de resistecia de 35 cadidatos a piloto. Para lo cual se toma ua muestra de 49, quiees portado mascarilla de oxígeo sube a u avió que se eleva a la altura mecioada. E ese puto se quita las mascarillas de oxígeo y se la vuelve a poer sólo cuado la situació les resulta isoportable. El tiempo promedio que tarda e poérsela de uevo es de 3.6 miutos. Si se sabe que σ = 0.7, co 95% de cofiaza, estima por itervalo u valor para la media poblacioal. 3. E el Muicipio de Tatalpa, al suroeste del Estado de Jalisco, se mide las alturas de ua muestra aleatoria de 11 saucos, sambucus mexicaa, ua de las especies de árbol que crece e la regió. De las medicioes resulta ua media aritmética de 7.3 m. co desviació típica igual a 3.0 m. Co ua cofiabilidad de 95%, etre qué valores está la media aritmética de los saucos de la regió?

39 4. E la empresa RAPIDITO de camioes foráeos se iteresa por saber la velocidad promedio co que viaja sus uidades al ir del Distrito Federal a Acapulco. Co ese propósito seleccioaro al azar 31 viajes y ecotraro que la media aritmética de sus velocidades promedio fue de 74.8 Km./h. y su desviació típica de 1.3 Km./h. Co ua cofiabilidad de 90%, qué velocidad promedio debe esperar Esther Oseguera de u camió que aborda e el Distrito Federal para ir a Acapulco? Determia u itervalo de cofiaza de 95% para los casos siguietes: a. x = b. x = σ =. 0 σ =. 0 x = 100 = 16 N = 1000 N = 00 x Idea: primero determia si la muestra, de tamaño, es mayor del 5% de la població. Depediedo del resultado decide si se σ σ N utiliza x ± z, o bie x ±z. N 1

40 39 UNIDAD V-B ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE PROPORCIONES POBLACIONALES COMPETENCIAS POR ADQUIRIR Resolver problemas que requiera determiar u itervalo de cofiaza para la proporció poblacioal, el error de estimació o el tamaño de la muestra. Iterpretar el sigificado del tamaño y coceptos iheretes al itervalo de cofiaza Relacioar el itervalo de cofiaza co la precisió, cofiabilidad, tamaño de la muestra y error de estimació. Cuado la variable es categórica y el parámetro es la proporció p co la que ocurre cierta categoría de la variable, el procedimieto a seguir es semejate al estudiado cuado se obtuvo u itervalo de cofiaza para la media aritmética de ua població. Es decir, a partir del valor pˆ co que ocurre la proporció e ua muestra, se estima del valor de p. La estimació podrá ser putual o por itervalo. ESTIMACIÓN PUNTUAL DE PROPORCIONES POBLACIONALES La estimació putual de la proporció p poblacioal se obtiee así: Al azar, se toma ua muestra de la població. De la muestra tomada se calcula el porcetaje (proporció) de datos que tiee cierta característica deseada. Se ifiere: La proporció obteida para la muestra se acepta como válida para toda la població. Por ejemplo, de los miles de migrates cetroamericaos que llega por la frotera sur de México cada año, iteresa saber cuátos so mujeres. Ua estimació putual sería tomar ua muestra aleatoria de 100 migrates, calcular el porcetaje de mujeres que la compoe y supoer que el resultado es válido para toda la població. Si dos persoas, de maera idepediete, hace ua estimació putual de ua proporció, obtedrá el mismo resultado?. Cómo se podría decidir cuál de las dos hizo la mejor estimació?. ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE PROPORCIONES POBLACIONALES Ua proporció os idica la parte del todo que posee determiada característica, e particular cuado se trata de ua variable categórica. Se habla de ua proporció cuado se dice que e u cie 56% de los espectadores so meores de edad, o cuado se afirma que de cada 10 habitates de ua comuidad vive del comercio...

41 Problema. E la impreta Nuevo Mudo se hace u tiraje de ejemplares de u libro y al editor Ferado del Río le iteresa saber la proporció p (de ese tiraje) que se imprimió co algú defecto. Primero efectúa ua estimació putual calculado la proporció p para ua muestra de libros que seleccioa al azar. Resulta que de los ejemplares, 45 está defectuosos, es decir, pˆ 45 = = 0.015, pero sabe que su resultado puede variar si toma otra muestra; 3000 además, al calcular dos o más proporcioes para distitas muestras, tedría dificultad para decidir cuál de ellas sería el mejor estimador, pues o sabría cuál estaría más cerca de la media poblacioal. Qué le coviee hacer a Ferado? E adelate, la proporció co la que ocurre ua categoría de la variable e ua població, se deotará por p; la proporció co la que ocurre la categoría e diferetes muestras de tamaño por p ˆ, pˆ, ˆ,..., o e ua muestra cualquiera por pˆ. 1 p3 Damos por válido este Teorema. Si de ua població se extrae muestras de tamaño : A. Los valores p ˆ 1, pˆ, pˆ 3,... de las proporcioes co que se preseta e cada muestra la categoría de iterés, se distribuye e forma ormal, si es grade. B. La media aritmética poblacioal del cojuto p ˆ 1, pˆ, pˆ 3,..., la cual deotaremos por µ pˆ, es igual a la proporció poblacioal p: µ pˆ = p C. La desviació estádar de los valores p ˆ 1, pˆ, pˆ 3,..., cuya otació será σ pˆ, se obtiee mediate: p ( 1 p ) σ pˆ = (La raíz se deomia error estádar de la proporció estimada pˆ ) 40 CONTINÚA SÓLO SI PUEDES EXPRESAR, SIN LEERLO, EL TEOREMA ANTERIOR. Ates, se cosideró grade cuado era mayor o igual que 30; ahora se cosiderará grade cuado se cumpla estas dos codicioes: p > 5, (1 - p) > 5 La proporció p co la que ocurre e la població ua de las categorías de ua variable categórica, se puede estimar costruyedo u itervalo de cofiaza para p co ua cofiabilidad predetermiada de 1 - α. FALTA E ua població e la que ocurre ua categoría de cierta variable categórica, si se extrae ua muestra aleatoria de tamaño para la cual la cual la categoría se preseta e ua proporció pˆ y si además pˆ > 5 y (1 - pˆ ) > 5, etoces u itervalo de (1 - α) 100% de cofiaza para la proporció poblacioal p es: (I) ( pˆ - z p ˆ ( 1 pˆ ), pˆ + z p ˆ ( 1 pˆ ) ) z e la distribució ormal estádar correspode a (1 - α) e área cetral o a α e dos colas. Este resultado es muy útil para estimar la proporció e que ua de las categorías de ua variable categórica se preseta e la població, basta co extraer ua muestra grade, calcular

42 la proporció e la que ahí se maifiesta la categoría y calcular los límites del itervalo de cofiaza utilizado la distribució ormal estádar. Calcular pˆ ± z p ˆ ( 1 pˆ ) equivale a costruir u itervalo de cofiaza predetermiada, cetrado e pˆ y de logitud igual a dos veces el error de estimació z p ˆ ( 1 pˆ ). Regresemos al problema del editor Ferado del Río. Él quiere coocer la proporció poblacioal, p, de libros que se imprimiero co algú defecto, e u tiraje de ejemplares. E este caso la variable categórica pudiera ser calidad de las impresioes y sus categorías: co defectos y si defectos. Al revisar ua muestra aleatoria de ejemplares obtiee que 45 tiee defectos de 45 impresió = 0.015; por lo cual sus datos coocidos so: 3000 = 3 000, pˆ = Ya idetificados sus datos, verifica que se cumpla las dos codicioes para aceptar que el tamaño de la muestra es grade (escribe los sigos de desigualdad): pˆ 5: 3 000( 15 ) Se cumple la desigualdad?. (1 - pˆ ) (1 15 ) ( ) Se cumple la desigualdad?. Después, Ferado fija ua cofiabilidad de 95%. Para ese porcetaje la tabla idica el valor crítico z = 1.96; co lo cual procede a calcular los límites del itervalo de cofiaza: pˆ - z pˆ + z p ˆ ( 1 pˆ ) = p ˆ ( 1 pˆ ) = (0.985) = = (0.985) = = Esto le idica que, co ua cofiabilidad de 95%, e los ejemplares impresos, la proporció de libros defectuosos está etre y ; o sea: co ua cofiaza de 95%, por cada 100 libros impresos, etre 1 y casi saliero defectuosos. E el supuesto de que Ferado repitiera el procedimieto veces, tomado muestra del mismo tamaño, y calculara e cada ocasió u itervalo de cofiaza, obtedría el mismo itervalo siempre?. Cuál sería la razó?. De los itervalos, cuátos podría asegurar que cotiee el valor real de la proporció poblacioal p?. Problema. E Altamira, Tamaulipas, se realizó la vacuació cotra la hepatitis B. Se cosideraro persoas mayores de 17 años que se vacuaro; a 130 de ellas se les preguta al respecto, resultado que sólo 44 se vacuaro. Co 90% de cofiabilidad, etre cuáles valores se ecuetra la proporció de persoas vacuadas e Altamira? 41

43 4 44 Solució: = 130, pˆ = = 0.34 y (1 - α) 100% = 90% 130 Puesto que: pˆ = 130(0.34) = 44. > 5 (1 - pˆ ) = 130(0.66) = 85.8 > 5 la muestra es grade Etoces: pˆ - z pˆ + z p ˆ ( 1 pˆ ) p ˆ ( 1 pˆ ) = = (1 0.34) = (1 0.34) = Por lo tato, la proporció de persoas mayores de 17 años que se vacuaro e Altamira está etre % y % co ua cofiabilidad de 90%. Problema. Mediate ua muestra aleatoria de tamaño 500, se calcula la proporció de varoes adultos, residetes e ua població, co obesidad severa (Ídice de Masa Corporal, IMC, meor que 40 pero mayor que 30). Se obtiee ua estimació de varoes co obesidad severa del 18%. Utilizado u ivel de cofiaza del 98%, los médicos afirma que el error máximo que se comete al estimar esa proporció, por medio de u itervalo de cofiaza, es de 0.04, tiee razó? Datos: Cofiabilidad requerida, =, pˆ = E tabla se ecuetra que el valor crítico z es. La expresió que idica el error de estimació es: Al sustituir los valores se ecuetra la solució: Calcula tu IMC dividiedo tu peso e Kg. Etre el cuadrado de tu estatura e m. Mi IMC =. Si resultó mayor que 5, es mala señal, si resultó mayor que 30, recomedable acudir de imediato al médico. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS V- 1. U vededor de libros se iteresa e saber a qué proporció p de las persoas de la Delegació Coyoacá, dode trabaja, le gusta leer ovelas. Para ello, elige al azar a 50 persoas y ecuetra que a 37 les gusta leer ovelas. Calcula u itervalo de 95% de cofiaza para p. Coviee veder ovelas e Coyoacá?.. E u aucio publicitario se afirma que 8 de cada 10 médicos utiliza o recomieda cierto producto. U estudiate descofiado elige al azar a 100 médicos y ecuetra que 30 de ellos utiliza o recomieda el citado producto. Co ua cofiaza de 99%, realmete, a. cuátos

44 médicos de cada cie utiliza o recomieda el producto?, b. crees que lo que se afirma e el aucio publicitario sea correcto? E ua muestra aleatoria de 40 padres de familia, se ecotró que 7% o le dedicaba por lo meos 15 miutos diarios a coversar co sus hijos. Estima co ua cofiaza de 95% el porcetaje de padres que o coversa co sus hijos ese tiempo. 4. E ua ecuesta aplicada a 16 iños seleccioados aleatoriamete e ua ciudad, se ecotró que 5% de los iños o teía ua alimetació adecuada. a. Calcula u itervalo de 95% de cofiaza para la proporció de iños de toda la ciudad que o recibe alimetació adecuada. b. Haz el cálculo co el 90% de cofiaza. 5. E Miahuatlá, Oax., de 100 votates seleccioados al azar y etrevistados acerca de su preferecia sobre los cadidatos a presidete muicipal, 59 se maifestaro a favor de Ceferio Gil. a. Co ua cofiaza del 99.9%, le recomedarías a Ceferio comezar a prepararse para la toma de posesió del cargo? b. Se lo recomedarías co ua cofiaza del 50%?

45 44 UNIDAD VI PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA POBLACIONAL COMPETENCIAS POR ADQUIRIR Idetificar los coceptos básicos de la prueba de hipótesis: tipos de hipótesis, estimador y regla de decisió. Resolver problemas aplicado el procedimieto de prueba de hipótesis para cojeturas sobre ua media poblacioal, tato si la desviació estádar poblacioal es coocida como si es descoocida. QUÉ ES UNA HIPÓTESIS?... Es ua cojetura o proposició tetativa acerca de la relació etre dos o más variables o feómeos. La hipótesis estadística es ua proposició, o supuesto, acerca del valor de u parámetro poblacioal. EN QUÉ FORMA SE ESCRIBE?... La hipótesis puede aparecer e forma de oració afirmativa, egativa o iterrogativa, y relacioa geeral, o específicamete, variables co variables. QUÉ EXPRESAN?... Expresa ua solució o explicació tetativa, racioal y verificable de u problema cietífico. Escribe ua hipótesis acerca de u tema mudial que cosideres de iterés. I. PRUEBA DE HIPÓTESIS A PARTIR DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON DESVIACIÓN ESTÁNDAR DESCONOCIDA La prueba de hipótesis es u procedimieto que termia e ua decisió acerca de ua hipótesis plateada iicialmete. Problema 1. La QFB Cosuelo Ortiz trabaja e ua empresa dedicada al mateimieto de albercas, e Acapulco, Guerrero. Ella realiza u estudio e la zoa dorada co el fi de comparar el ph de dos poblacioes: por u lado las albercas particulares y por otro las destiadas al uso turístico. U mes ates su empresa había dejado a todas las albercas co el mismo ivel de ph; ahora, debido a las diferetes codicioes de uso y coservació, ese ivel sería diferete de ua alberca a otra. Ella supoe que la variable X: ivel de ph se distribuye ormalmete. (El termio ph expresa el grado de acidez o alcaliidad del agua. U bajo ph causa corrosió a las piscias; u alto ph puede traer cosigo geeració de bacterias y algas e las tuberías).

46 Cosuelo tiee esta hipótesis: El ivel promedio de ph de las albercas particulares, después de u mes, es diferete del ivel promedio de ph de las albercas turísticas. Después de examiar todas las albercas de uso turístico que recibiero servicio de su empresa, ecotró que su media aritmética del ivel de ph era: µ = 7.5 (població de albercas turísticas) Si embargo, por diferetes motivos o podía efectuar el estudio e todas las albercas particulares de la població, por lo que decidió hacerlo e ua muestra aleatoria de 30 albercas. Para la muestra de 30 albercas particulares, la media aritmética muestral del ivel de ph fue: co desviació estádar muestral: x = 7.1 (muestra de albercas particulares) s = 0.64 Difiere la media poblacioal de las albercas turísticas de la media muestral obteida para la muestra de albercas particulares?. Los resultados permite cocluir, como lo supuso Cosuelo al pricipio, que el ivel de ph de las albercas turísticas difiere del ivel de ph de las albercas particulares?. Si decidiéramos aceptar ua estimació putual, tomaríamos el valor de la media muestral x, de las albercas particulares, como su media poblacioal. Etoces podríamos comparar dos medias poblacioales (7.5 y 7.1), y la respuesta a la preguta aterior sería sí, que los iveles de ph difiere, pero esto sería muy icierto, porque al tomar otra muestra su media podría ser igual o mayor que 7.5, llevádoos a ua coclusió diferete. La hipótesis de Cosuelo se puede platear, e leguaje más preciso, así: La media aritmética del ivel de ph de las albercas turísticas difiere de la media aritmética del ivel de ph de las albercas particulares, al pasar u mes desde que teía los mismos iveles. La hipótesis de Cosuelo será llamada e adelate hipótesis de ivestigació (H iv ). 45 Albercas Particulares µ =? x = 7.1 Diagrama VI.1 Turísticas µ 0 = 7.5 Si µ deota la media aritmética del ivel de ph de las albercas particulares, y µ 0 = 7.5 es la media para las albercas turísticas, etoces la hipótesis de ivestigació queda expresada así: H iv : µ µ 0, es decir: µ 7.5 E Estadística, la hipótesis de ivestigació se deomia hipótesis alterativa; aquí la represetaremos por H 1 : H 1 : µ µ 0, es decir: µ 7.5 La hipótesis que cotradice a la de ivestigació se deota por H 0 y se deomia hipótesis ula (porque cosidera que la diferecia etre µ y µ 0 es ula): H 0 : µ = µ 0, es decir: µ Cuado se resuelve u problema, las referecias se hace e térmios de la hipótesis ula.

47 46 Verifica si etediste. Supó que Cosuelo hubiera plateado como hipótesis de ivestigació: H iv : µ > µ 0, es decir: µ > 7.5 E ese caso la hipótesis alterativa hubiera sido (escribe los símbolos de relació): H 1 : µ µ 0, es decir: µ 7.5 Y como lo cotrario de > es, la hipótesis ula hubiera sido: H 0 : µ µ 0, es decir: µ 7.5 Otra posibilidad de hipótesis de ivestigació hubiera sido: H iv : µ < µ 0, es decir: µ < 7.5 Etoces, la hipótesis alterativa se hubiera escrito así: H 1 : µ µ 0, es decir: µ 7.5 Y como lo cotrario de < es, la hipótesis ula hubiera sido: H 0 : µ µ 0, es decir: µ 7.5 Completa la tabla: H iv : H 1 : H 0 : µ µ 0 µ < µ 0 µ > µ 0 Riesgos de cometer error A Cosuelo le fue posible obteer la media del ivel de ph para la població de albercas turísticas de la zoa dorada de Acapulco, (obtuvo µ 0 = 7.5), pero le fue imposible medir el ph de todas las albercas particulares, sólo pudo calcular ua media muestral ( x = 7.1). Para poder comparar las medias de sus dos poblacioes ecesita el valor de µ (la media aritmética del ivel de ph de las albercas particulares) Cómo lo puede calcular? Lo más secillo es hacer ua estimació putual: aceptar que a partir del valor de la media muestral, x = 7.1, se ifiere que la media poblacioal de las albercas particulares es µ = 7.1, pero ya se mecioaro los icoveietes de hacerlo. De maera ituitiva, si el estimador x = 7.1 difiere mucho de µ 0 = 7.5, la hipótesis ula (H 0 : µ = 7.5) se cotradice. Si por el cotrario, x = 7.1 difiere poco de µ 0 = 7.5, pareciera que la hipótesis ula es válida. Esta es la diferecia etre las medias muestral y poblacioal coocidas por Cosuelo: Difiere mucho? x - µ 0 = = -0.4 Es difícil cotestar, para uas persoas puede ser mucho y para otras puede ser poco, por ello se requiere aplicar u criterio lo más objetivo posible.

48 47 Ahora bie, la hipótesis ula puede ser verdadera o falsa, y la coclusió a la que se llegue, coocida como coclusió estadística, tiee dos posibilidades:! Se rechaza la hipótesis ula.! No se rechaza la hipótesis ula. Nótese que se dice rechazar y o rechazar, o se dice rechazar y aceptar. Por lo aterior, e la coclusió estadística se puede cometer dos tipos de error: Error de tipo I: Se comete al rechazar la hipótesis ula cuado e realidad es verdadera. Error de tipo II: Se comete al o rechazar la hipótesis ula cuado e realidad es falsa. E cambio, o hay error e la coclusió estadística si: Se rechaza la hipótesis ula cuado e realidad es falsa. No se rechaza la hipótesis ula cuado e realidad es verdadera. Cosuelo cometería el error de tipo I si rechazara la hipótesis ula: cuado e realidad fuera verdadera. H 0 : µ = 7.5 Cometería el error de tipo II si o rechazara la hipótesis ula: cuado e realidad fuera falsa. H 0 : µ = 7.5 La iferecia del parámetro µ a partir del valor de la media muestral x estará sujeta, como pasa co todas las estimacioes, a cierto marge de error. Por supuesto, siempre se pretederá que la probabilidad de cometer u error, ya sea de tipo I o de tipo II, sea míima. REGLA DE DECISIÓN Eseguida se dará los pasos hacia lo que se deomia la regla de decisió ; para ello es ecesario que la variable bajo estudio (e este caso X: ivel de ph) se distribuya ormalmete. De cumplirse este requisito,! Se decide la probabilidad α co la que se está dispuesto a cometer error e la estimació por itervalo de µ. Si se decide que la probabilidad de cometer error sea α = 0.05, etoces el itervalo de cofiaza para µ será de: (1 - α)100% = 95%. Si la decisió de que la probabilidad de cometer error sea α = 0.10, etoces el itervalo de cofiaza para µ será de: (1 - α) = %.! Se costruye el itervalo de cofiaza para el deomiado estadístico de prueba x µ s Si Cosuelo se decide por α = 0.05, y sabiedo que: 1 = 9 g. l., puede hallar e la tabla de valores t (Apédice V): t (-1) = t (9) =.045

49 Por lo tato: x µ < <.045 ) s Para o cargar co toda la expresió del estadístico de prueba, coviee deotarlo co t p : t p = x 0 µ s El valor del estadístico de prueba t p se puede calcular cuado se cooce los valores de x, s, y µ (éste se sustituye por µ 0 si se acepta como verdadera la hipótesis ula).! Se supoe que la hipótesis ula (H 0 : µ = µ 0 ) es verdadera y se aplica la regla de decisió. Al supoer H 0 verdadera, el valor del estadístico de prueba t p, puede, o o, caer e el itervalo (-.045,.045); co este motivo se aplica esta regla de decisió : - Si t p cae detro del itervalo -lo cual es posible co ua probabilidad muy alta (1 - α = 0.95)-, etoces el supuesto de que H 0 es verdadera o se cotradice. Decisió: o se rechaza H 0. - Si t p cae fuera del itervalo -lo cual es posible co ua probabilidad muy baja (α = 0.05)-, etoces se cotradice el supuesto de que H 0 es verdadera. Decisió: se rechaza H 0. La regla de decisió tambié es el criterio para determiar co mayor objetividad si el estimador x difiere mucho de 0 µ, o difiere poco. Para etederlo, aalicemos la expresió para el estadístico de prueba t p = O bie t p s x 0 µ s = x µ 0 Los valores de s y está fijos (lado izquierdo de la igualdad), etoces, si t p es pequeño, provoca que la diferecia x µ 0 sea pequeña (lado derecho), lo cual quiere decir que x casi es igual a µ 0. Si el valor de t p cae detro del itervalo de cofiaza, sigifica que difiere poco de cero, o sea, x difiere poco de µ 0. E este caso o se debe rechazar la hipótesis ula. Si el valor de t p cae fuera del itervalo de cofiaza, sigifica que difiere mucho de cero, o sea, x difiere mucho de µ 0. E este caso se debe rechazar la hipótesis ula. Abajo aparece la curva ormal co sus regioes de rechazo y o rechazo: H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ µ 0 48 Regió de rechazo α 1 - α Regió de o rechazo µ 0 Regió de rechazo α

50 Si el estadístico de prueba o se localiza detro del itervalo de cofiaza, α se puede iterpretar como la probabilidad de que se rechace H 0, siedo verdadera E otras palabras, es la probabilidad de cometer el error de tipo I al probar la hipótesis; y si β deota la probabilidad de cometer el error de tipo II E sítesis: α = P (E I ), β = P (E II ) VALOR DE VERDAD DE LA HIPÓTESIS NULA CONCLUSIÓN ESTADÍSTICA H 0 VERDADERA H 0 FALSA SE RECHAZA H 0 NO SE RECHAZA H 0 Se comete el error de tipo I co ua probabilidad α. Co ua probabilidad de 1 - α o se comete error. Co ua probabilidad de 1 - β o se comete error. Se comete el error de tipo II co ua probabilidad β. 49 Si la QFB Cosuelo Ortiz aplica la regla de decisió: Los datos so x = 7.1, µ 0 = 7.5, s = 0.64, = 30. t p = x 0 µ s t p = = 3.43 Cae t p = 3.43 detro del itervalo de o rechazo (-.045,.045)?. Debe Cosuelo rechazar la hipótesis ula?. Difiere mucho o poco x de µ?. Al rechazar la hipótesis ula, implícitamete se acepta como verdadera la hipótesis de ivestigació, co ua cofiaza de 95%. Etoces, la coclusió de Cosuelo es: Co ua cofiaza de 95%, después de trascurrido u mes, la media poblacioal del ivel de ph de las albercas particulares es diferete a la media poblacioal de ph de las albercas públicas. PRUEBA DE HIPÓTESIS A PARTIR DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON DESVIACIÓN ESTÁNDAR DESCONOCIDA Resolució por pasos Problema. Ua fábrica de llatas produce las marcas Faires y Gudrich empleado procesos diferetes. Por estudios previos, se sabe que la duració de ambas marcas se distribuye de maera ormal y que la duració media de la marca Faires es de millas, descoociédose la de la marca Gudrich. De ésta se seleccioa ua muestra aleatoria de 11 llatas producidas y se calcula su media y desviació estádar, obteiédose y respectivamete, etoces, la duració promedio de las llatas marca Gudrich es igual a la duració promedio de las llatas Faires? Llea los huecos. Paso 1. Se idica los datos del problema: µ = 5 000, = 11, x = 5 477, s = Paso. Se platea la hipótesis ula. H 0 : µ 0 = (es lo que se debe probar)

51 50 La hipótesis alterativa se puede euciar así: La media aritmética de la duració de las llatas marca Gudrich es diferete de la media aritmética de la duració de las llatas Faires. Hipótesis alterativa. H 1 : µ (es la hipótesis de ivestigació) Paso 3. Se idetifica la fórmula del estadístico de prueba t p. E este caso se está probado ua hipótesis acerca de la media de ua població, cuyos valores sigue ua distribució ormal y se descooce su desviació estádar: t p = x 0 µ s (el estadístico de prueba sigue ua distribució t de Studet co 1 = 10 grados de libertad, si H 0 es verdadera) Paso 4. Se determia el ivel de sigificació, es decir, la probabilidad α de cometer el error de tipo I (rechazar la hipótesis ula siedo verdadera ). Supoemos α = 0.5 Paso 5. Partiedo de que α = 0.5, se cotesta la preguta Cuál es el valor de t a la derecha del cual está el.5% del área bajo la curva t de Studet?.5 % t = 95%.5 % t = La respuesta está e el cuerpo de la tabla de valores t (Apédice V). Para ello se cosidera que el valor de t a la derecha del cual está el.5% del área bajo la curva t de Studet, es igual al valor t que tiee u área de etre este valor y - : t = Asimismo, Cuál es el valor de t a la izquierda del cual está el.5% del área bajo la curva t de Studet?, la respuesta es: t = La parte sombreada de la figura es la regió de rechazo o regió crítica, la parte o sombreada es la regió de o rechazo. A los valores que separa las regioes de rechazo y o rechazo ( y 1.980) se les llama valores críticos. Regla de decisió: Rechazar H 0 si el valor del estadístico de prueba está e la regió de rechazo determiada por el itervalo: t (Se lee a partir del cetro: t es meor o igual que , y mayor o igual que ) Paso 6. Se calcula el estadístico de prueba t p y se determia la decisió estadística.

52 51 t p = = = El valor del estadístico de prueba está e la regió de o rechazo, por lo tato, co u ivel de sigificació de 5%, o se rechaza la hipótesis ula: H 0 : µ = Viédolo de otra maera, el itervalo de cofiaza para µ es x ± t s 3300 = ± = ± Es decir: (4 83.6, ) Dado que el itervalo de cofiaza icluye a x = 5 477, o se rechaza H 0, es decir, se llega a la misma coclusió. Problema 3. Al estudiar el efecto del estrés sobre la presió arterial, e u libro, el doctor Othó Cortés lee: La presió sistólica media e varoes jóvees (etre 15 y 0 años) estresados, es de 19 cm de Hg. De sus pacietes, tomó ua muestra aleatoria de 36 jóvees e ese rago de edad y obtuvo x = 19.7, lo cual lo llevó a platear que e realidad la presió sistólica media es mayor que 19 cm de Hg. Supoiedo que las medicioes se distribuye ormalmete, está e lo cierto el Dr. Othó? Procede por pasos para averiguarlo. 1. Datos del problema:. Hipótesis ula: (es la hipótesis que se debe probar) La hipótesis alterativa se puede euciar así:. H 1 : (es la hipótesis de ivestigació) 3. La fórmula del estadístico de prueba. E este problema, los valores sigue ua distribució ormal? se cooce su desviació estádar?. El estadístico de prueba tiee esta forma matemática: t p = Qué tipo de distribució tiee el estadístico de prueba?. Cuátos so los verdadera?. grados de libertad, si H 0 es

53 4. Se determia el ivel de sigificació, es decir, la probabilidad α de cometer el error de tipo, que cosiste e rechazar la hipótesis siedo. Supó α = Partiedo del valor de α seleccioado, se cotesta la preguta Cuál es el valor de t a la derecha del cual está el % del área bajo la curva? Cuál curva?. 5 El valor de t (a la derecha del cual está el.5% del área bajo la curva t de Studet), etre - y él, tiee u área de Su % t = 95% t = % valor es: t = El valor de t, a la izquierda del cual está el.5% del área bajo la curva t de Studet es: t = La parte sombreada de la figura es la de o regió, la parte o sombreada es la de. A los valores que separa las regioes de rechazo y o rechazo, es decir, a y se les llama. La regla de decisió cosiste e: 6. Cálculo del estadístico de prueba t p : t p = El valor del estadístico de prueba está e la regió de rechazo?. Por lo tato, co u ivel de sigificació de 5% (marca co!), Se rechaza la hipótesis ula ( ) No se rechaza la hipótesis ula ( ) Viédolo de otra maera, el itervalo de cofiaza para µ es Es decir: (, )

54 53 El itervalo de cofiaza icluye al valor de x? E cosecuecia, Se rechaza H 0?. Se llegó a la misma coclusió?. Problema 4. E el año 005, el Cosejo Nacioal de Població (Coapo) iformó que el promedio de vida de los mexicaos era de 73 años e los hombres, pero mayor e el caso de las mujeres. Al leer esta oticia, la liceciada Norma Alicia Reyes, ecargada de registrar los decesos e el Istituto Mexicao del Seguro Social, quiso saber la vida media de las mujeres. Co ese propósito, de sus registros tomó 31 casos al azar y calculo la media de su edad al fallecer, obteiedo x = 74 años co s = 1.7. Supoiedo que la població de dode se tomó la muestra es ormal, cuál es el promedio de vida de las mujeres? Llea dode haga falta. 1. Se idica los datos del problema: µ 0 = 73, = 31, = 74, s = 1.7. Se platea la hipótesis ula. H 0 : µ > 73 (es la hipótesis que se debe probar) Eucia la hipótesis alterativa: La media aritmética del promedio de vida de los hombres es meor o igual que la media aritmética del promedio de vida de las mujeres. Hipótesis alterativa. H 1 : µ 73 (es la hipótesis de ivestigació) 3. Se idetifica la fórmula del estadístico de prueba. E este caso se está probado ua hipótesis acerca de la media de ua població, cuyos valores sigue ua distribució ormal y se descooce su desviació estádar: t p = (el estadístico de prueba sigue ua distribució t de Studet co 1 = 30 grados de libertad, si H 0 es verdadera) 4. Se determia el ivel de sigificació, es decir, la probabilidad α de cometer el error de tipo I (rechazar la hipótesis ula siedo verdadera). Supoemos α = Partiedo de que α = 0.5, se cotesta la preguta: Cuál es el valor de t a la derecha del cual está el.5% del área bajo la curva t de Studet? 95% La respuesta está e el cuerpo de la tabla de valores t (Apédice V). Para ello se cosidera que el valor de t a la derecha del cual está el.5 % del área bajo la curva t de Studet, es igual al valor t que tiee u área de etre este valor y - :.5 % t =.5 % t = t =.04 Asimismo, Cuál es el valor de t a la izquierda del cual está el.5% del área bajo la curva t de Studet?, la respuesta es: t = -.04

55 La parte sombreada de la figura es la regió de rechazo o regió crítica, la parte o sombreada es la regió de o rechazo. A los valores que separa las regioes de rechazo y o rechazo ( -.04 y.04) se les llama valores críticos. Eucia la regla de decisió: Rechazar H 0 si el valor del estadístico de prueba está e la regió de rechazo determiada por el itervalo: -.04 t.04 (Se lee a partir del cetro: t es meor o igual que -.04, y mayor o igual que.04 ) 6. Se calcula el estadístico de prueba y se determia la decisió estadística. 54 = = El valor del estadístico de prueba está e la regió de o rechazo, por lo tato, co u ivel de sigificació de 5%, o se rechaza la hipótesis ula: H 0 : µ 0 > 73 Viédolo de otra maera, el itervalo de cofiaza para µ es ± t = 74 ± Es decir: (73, 75 ) = 74 ± 1 El itervalo de cofiaza icluye al valor de x = 74. E cosecuecia, o se rechaza H 0. PRUEBA DE HIPÓTESIS A PARTIR DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON DESVIACIÓN ESTÁNDAR CONOCIDA Resolució por pasos Problema 5. E ua empresa de cobertura acioal se adquiriero computadoras. Los fabricates garatizaro que, e promedio, gasta 150 w. de eergía eléctrica por hora, co desviació σ = 1.4 w. El gerete de compras de la empresa se resiste a creerlo y procede a realizar ua prueba estadística para salir de dudas; para ello toma al azar ua muestra de 5 computadoras y obtiee que su media del gasto de eergía, por hora, es x = 156 w. Mitiero los fabricates? Averígualo mediate ua prueba de hipótesis. La solució siguiete supoe que la muestra tomada por el gerete proviee de ua població de datos co distribució ormal, completa los pasos. 1. Datos del problema: µ = 150, = 5, x = 156, σ = 1.4. Hipótesis ula. H 0 : µ 0 = 150 (es la hipótesis que se debe probar) Hipótesis alterativa. H 1 : µ 150 (es la hipótesis del gerete)

56 3. Fórmula del estadístico de prueba, puesto que se está probado ua hipótesis acerca de la media de ua població, cuyos valores sigue ua distribució ormal y se cooce su desviació estádar: 55 x µ 0 σ (el estadístico de prueba sigue ua distribució ormal co desviació igual a 1 y media cero) 4. Se determia el ivel de sigificació, es decir, la probabilidad α de cometer el error de tipo I (rechazar la hipótesis ula siedo verdadera). Supoemos α = Partiedo de que α = 0.5, se cotesta la preguta Cuál es el valor de z a la derecha del cual está el.5% del área bajo la curva ormal?.5 % z = 95%.5 % z = La respuesta está e el cuerpo de la tabla de valores z (Apédice IV). Para ello se cosidera que el valor de z a la derecha del cual está el.5% del área bajo la curva ormal, es igual al valor z que tiee u área de etre este valor y - : z = 1.96 Asimismo, Cuál es el valor de z a la izquierda del cual está el.5% del área bajo la curva ormal?, la respuesta cosigada e la tabla es: z = La parte sombreada de la figura se cooce como regió de rechazo o regió crítica, la parte o sombreada como regió de o rechazo. A los valores que separa las regioes de rechazo y o rechazo (-1.96 y 1.96) se les llama valores críticos. Regla de decisió: Rechazar H 0 si el valor del estadístico de prueba está e la regió de rechazo que es: z 1.96 (Se lee a partir del cetro: z es meor o igual que -1.96, y mayor o igual que 1.96 ) 6. Cálculo del estadístico de prueba y decisió estadística. x µ 0 σ = =.4 El valor del estadístico de prueba está e la regió de rechazo, por lo tato, co u ivel de sigificació de 5%, se rechaza la hipótesis ula y o se rechaza la del gerete de compras: El itervalo de cofiaza para µ es H 1 : µ 150

57 56 x ± z σ 1.4 = 156 ± = 156 ± 4.86 (151.14, ) Dado que el itervalo o icluye a µ = 150 (la cifra dada por el fabricate), se rechaza H 0, es decir, se llega a la misma coclusió. Problema 6. Escitalopram es u agete atidepresivo que se llega a prescribir para pacietes co asiedad y ataques de agustia (páico). Los fabricates afirma que la vida media de elimiació, tras dosis múltiples, es de 30 h por vía hepática (metabólica) y real, co σ = 4 h. E u laboratorio de aálisis clíicos, al estudiar a 0 pacietes tomados al azar, ecotraro que la vida media de elimiació del escitalopram fue de 34 h. Este resultado cofirma lo que sostiee el fabricate? La solució siguiete supoe que la muestra tomada por el laboratorio proviee de ua població de datos co distribució ormal. Completa los pasos. 1. Datos del problema: µ = 30 h, = 0, x = 34, σ = 1 h.. Hipótesis ula. H 0 : µ = 30 h (es la hipótesis que se debe probar) Hipótesis alterativa. H 1 : µ 30 (es la hipótesis del laboratorio) 3. Fórmula del estadístico de prueba, puesto que se está probado ua hipótesis acerca de la media de ua població, cuyos valores sigue ua distribució ormal y se cooce su desviació estádar: x µ 0 σ (el estadístico de prueba sigue ua distribució ormal co desviació igual a 1 y media cero) 4. Se determia el ivel de sigificació, es decir, la probabilidad α de cometer el error de tipo I (rechazar la hipótesis ula siedo verdadera). Supoemos α = Partiedo de que α = 0.5, se cotesta la preguta Cuál es el valor de z a la derecha del cual está el.5% del área bajo la curva? Cuál curva?. El valor de z (a la derecha del cual está el.5% del área bajo la curva ormal), etre - y él, tiee u área de Su valor es:.5 % z = 95%.5 % z = z = El valor de z, a la izquierda del cual está el.5% del área bajo la curva ormal es: z =

58 La parte sombreada de la figura es la de o regió, la parte o sombreada es la de. A los valores que separa las regioes de rechazo y o rechazo, es decir, a y se les llama. La regla de decisió cosiste e: 6. Cálculo del estadístico de prueba t p : t p = 57 El valor del estadístico de prueba está e la regió de rechazo?. Por lo tato, co u ivel de sigificació de 5% (marca co!), Se rechaza la hipótesis ula ( ) No se rechaza la hipótesis ula ( ) Viédolo de otra maera, el itervalo de cofiaza para µ es Es decir: (, ) El itervalo de cofiaza icluye al valor de µ? E cosecuecia, Se rechaza H 0?. Se llegó a la misma coclusió?. Problema 7. El peso de las maletas de los pasajeros de u avió tiee ua distribució ormal co desviació estádar de 30 lb. Al tomar ua muestra de las maletas de 36 pasajeros, se obtuvo que x = 160 lbs. Co u ivel de sigificacia de 0.05, se puede cocluir que el peso promedio de todos los pasajeros es meor que 170 lbs? 1. Datos del problema:.. Hipótesis ula. (es la hipótesis que se debe ) Hipótesis alterativa. (es la hipótesis dada) 3. Se idetifica la fórmula del estadístico de prueba. Los valores sigue ua distribució ormal? se cooce su desviació estádar?. Forma matemática del estadístico de prueba: Qué tipo de distribució tiee el estadístico de prueba?. 4. Se determia el ivel de sigificació, es decir, la probabilidad (o rechazar la hipótesis ula siedo ). Supó α = Partiedo de que α = 0.5, se cotesta la preguta

59 58 Ecuetra los valores críticos: 95%.5 % z =.5 % z = Cómo se deomia las partes debajo de la curva? Regla de decisió: 6. Calcula el estadístico de prueba: Eucia la decisió estadística El valor del estadístico de prueba está e la regió de rechazo?, por lo tato, co u ivel de sigificació de 5%, se rechaza la hipótesis ula?. Calcula el itervalo de cofiaza para µ: El itervalo ecotrado icluye icluye a µ 0?. Se rechaza H 0?. Se llega a la misma coclusió?. Tabla resume Sistema recreado para rechara la hipótesis ula o iicial H 0 Nombre H 0 Prueba H 1 : H 1 :> H 1 :< Media co variaza descoocida Media para variaza descoocida µ µ 0 µ µ 0 x µ 0 z = σ x µ t = 0 s z z z z t t t t α / 1 α / α /, 1 1 α /, 1 z z 1 α t t 1 α, 1 z z α t t α, 1 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS VI E el parétesis de la derecha escribe la letra del iciso que correspoda: 1. Cuál es la hipótesis de ivestigació de Ho: µ < 3.45, dode Ho represeta la hipótesis ula y µ es la media aritmética de la població? A. µ 3.45 B. µ > 3.45 C. µ < 3.45 D. µ 3.45 E. Nigua de las ateriores ( )

60 59. El error de tipo II cosiste e: A. Rechazar Ho cuado e realidad es falsa. B. No rechazar Ho cuado e realidad es falsa. C. No rechazar Ho cuado e realidad es verdadera. D. No rechazar H iv cuado e realidad es falsa. E. Rechazar H iv cuado e realidad es verdadera. ( ) 3. U error de tipo I cosiste e castigar a u acusado que es iocete, por lo tato, el error de tipo II cosiste e: A. Perdoar a u culpable B. No castigar a u culpable C. No castigar a u iocete D. Castigar a u iocete E. Castigar a u culpable ( ) 4. La expresió para el estadístico de prueba es: A. x - µ o s B. s C. x - µ o s 5. Ua buea decisió es cosiderar: D. t s 1 E. s ± t 1 ( ) x A. H iv verdadera sólo si la iformació coteida e la muestra da suficiete evidecia para aceptar H 0. B. H 1 verdadera sólo si la iformació coteida e la muestra da suficiete evidecia para o rechazar Ho. C. H iv verdadera sólo si la iformació coteida e la muestra da suficiete evidecia para rechazar Ho. D. Ho verdadera sólo si la iformació coteida e la muestra da suficiete evidecia para rechazar Hiv. E. Ho verdadera sólo si la iformació coteida e la muestra da suficiete evidecia para o rechazar H 1.. ( ) 6. E qué cosiste la regla de decisió? (t p = estadístico de prueba; i c = itervalo de cofiaza, = queda coteido e ; = o queda coteido e; = etoces). A. t p i c o rechazamos Ho t p i c rechazamos Ho C. t p i c rechazamos H 1 t p i c o rechazamos H 1 B. t p i c rechazamos Ho t p i c o rechazamos Ho D. t p i c o rechazamos H 1 t p i c rechazamos H 1 E. Nigua de las ateriores. ( ) 7. Qué falta e la ª, 3ª y 4ª columa respectivamete? (s = 0.71, µ 0 = 7.5, x = 7.86, α =.05 ). t c Regió de o rechazo de Ho <t (-1), t (-1) > Coclusió estadística: se rechaza Ho y se acepta H 1? <-.6,.6> o 15 <-.145,.145> o 0.68 <-.093,.093> sí <-.045,.045> sí

61 60 A..68, <-.064,.064>, o B , <-.064,.064>, sí C , <-.6,.6>, sí D..68, <-.064,.064>, sí E , <-.064,.064>, o ( ) 8. Qué coclusió verdadera se obtiee de la tabla aterior? A. Mietras mayor es el tamaño de la muestra, meor es t c. B. Si la muestra es grade, se acepta la hipótesis ula. C. Si la muestra es pequeña se rechaza la hipótesis ula. D. A mayor tamaño de la muestra, meor tamaño de la regió de o rechazo de Ho. E. Al aumetar el estadístico de prueba, se acepta H 0. ( ) 9. Qué falta e la ª, 3ª y 4ª columa respectivamete? (µ = 7.5, x = 7.86, = 30 y α =.05). s t c Regió de o rechazo de Ho <t (-1), t (-1) > Coclusió estadística: se rechaza Ho y o se rechaza H 1? <-.045,.045> sí sí 1.10 <-.045,.045> <-.045,.045> o A , <-.045,.045>, sí B , <0,.045>, o C , <-.045,.045>, o D , <-.045,.045>, sí E , <-.045,.045>, o ( ) 10. E ua escuela de idiomas, los estudiates había obteido, e u curso, ua calificació promedio de 7.4. Para validar el proyecto alfa (u uevo método de apredizaje), fuero elegidos al azar 5 estudiates, quiees obtuviero al fial del curso u promedio mesual de 7.6, co desviació estádar de 0.6. Co ua cofiaza del 90%, es válido afirmar que el promedio de calificacioes es mayor cuado se usa el proyecto alfa? 11. Por ua ecuesta aplicada a 64 empleados de ua fábrica, se cocluyó que el tiempo medio de la duració de u empleo e la misma es de 6.5 años co desviació típica de 4 años. Co u ivel de sigificació de 5%, se puede aceptar que el tiempo medio de empleo e esa fábrica es meor o igual que 6 años?

62 61 PÁGINA 7 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS I Feómeo o Experimeto SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS Variable Aleatoria X Tipo de Variable Aleatoria Valores que puede tomar la Variable Aleatoria X Lazar la pelota 5 veces a la caasta La pelota etra a la Discreta X = 0, 1,, 3, 4, 5 e u juego de básquetbol. caasta. Comprar tres computadoras. Computadora defectuosa. Discreta X = 0, 1,, 3 Número de mariposas Las mariposas moarca llegará a moarca que muere e Discreta X = 0, 1,, 3,... (1) Michoacá el próximo año. Michoacá. Cualquier valor etre Se mide la estatura de u adulto. Altura e cetímetros. Cotiua. 50 y 300 cm. Ecuestar a 100 persoas sobre su preferecia por u cadidato a la presidecia. Deportació a ilegales mexicaos e Estados Uidos de Norteamérica. Vacuar a 67 persoas cotra la Hepatitis B. Sorteo co 1 premios mayores de la Lotería Nacioal si se vediero todos los boletos. (1) Los putos sucesivos al fial idica ua idetermiació. Proporció de la preferecia por u cadidato. Número de idocumetados mexicaos que deportará Estados Uidos el próximo mes. Número de casos de hepatitis B. Premios que otorgará la Lotería Nacioal. Cotiua Cualquier valor etre 0 y 100%. Discreta X = 0, 1,, 3,... Discreta X = 0, 1,, 3, Discreta. X = 0, 1,, 3, a. X Ω 6 A, A 3, A 5 7 (A 1, A, A 3 ), (A 1, A, A 5 ), (A 1, A 3, A 5 ), (A, A 3, A 6 ), (A, A 5, A 6 ), (A 3, A 5, A 6 ) 8 (A 1, A, A 6 ), (A 1, A 3, A 6 ), (A 1, A 5, A 6 ), (A, A 3, A 4 ), (A, A 4, A 5 ), (A 3, A 4, A 5 ) 9 (A 1, A, A 4 ), (A 1, A 3, A 4 ), (A 1, A 4, A 5 ), (A, A 4, A 6 ), (A 3, A 4, A 6 ), (A 4, A 5, A 6 ) 10 (A 1, A 4, A 6 ) b. P(X = 6) = 1 P(X = 7) = 6 P(X = 8) = 6 P(X = 9) = 6 P(X = 10) = 1 ; c. E(X) = µ = 1.91, σ = Dado que P(X:múltiplo de 3)= ; 3 1 P(X:suma es 7)= y 6 1 P(X:suma o es 7 i múltiplo de 3)=, etoces: µ = E(X) = = Por lo tato, debo esperar gaacia. 5. Ω: (aaa), (aas), (ass) y (sss). P(X=0) = 4 1, P(X=1) = 4 1, P(X=) = 4 1, P(X=3) = 4 1 µ = E(X) = 0( 4 1 ) + 1( 4 1 ) + ( 4 1 ) + 3( 4 1 ) = µ = E(X) = 0(0.10) + 1(0.40) + (0.0) + 3(0.15) + 4(0.10) + 5(0.05) = 1.75

63 6 σ = (-1.75) ( 4 1 ) + (-0.75) ( 4 1 ) + (0.5) ( 4 1 ) + (1.5) ( 4 1 ) + (.5) ( 4 1 ) + (3.5) ( 4 1 ) = σ = La gaacia puede ser pérdida de $100.00, co ua probabilidad de 7998/8000, o bie gaar $ co ua probabilidad de /8 000: X P(X) /8000 $ / µ = 0.005( ) (0 000) = USD 9. a) µ = X P(X) b) µ = E(X) = 0(0.10) + 1(0.30) + (0.30) + 3(0.0) + 4(0.10) = 1.9 σ = (-1.90) (0.10) + (-0.90) (0.30) + (0.10) (0.30) + (1.10) (0.0)+ (.10) (0.10) = = 1.9 σ = c) P(X>) = 0.30 d) P(X 3) = 0.90 PÁGINA 17 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS II 1. Sí, co reserva, porque sólo tiee dos resultados posibles: éxito y fracaso, se pudo repetir veces, pero las repeticioes o ecesariamete so idepedietes etre sí.. a. Porque sólo tiee dos resultados posibles: éxito y fracaso (es católico practicate o o lo es); se puede repetir veces (la selecció) y las repeticioes so idepedietes etre sí. b. P(0) = P(1) = P() = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = c. i. P(x = 7) = ii. P(x = 0) = iii. P (al meos 5 sea católicos practicates) = iv d. IV II I III Área ( = ) = área I + área II + área III + área IV = Área ( = 7) = = (0.007) + 1 (1)( ) + (1)( ) + 1 (0.131)

64 63 e. µ =.8 3. = 3 y p = 0.55, q = a. P(x ) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = ) = = b. Dos 4. Como la elecció se hace co reemplazo, se cumple los requisitos de u experimeto biomial. X es el úmero de caicas blacas, = 4 y p = 8 5 = La probabilidad que ecesitamos es P(X < ): P(X < ) = P(X=0) + P(X=1) = (4)(0.65)(0.375) 3 = = 15, p = 0.10, q = 1 p = 0.90 a. P(X 4) = P(0) + P(1) + P() + P(3) + P(4) = = b. P(X 5) = 1 - P(X 4) = = c. P(3 X 6) = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = = = 1, p = 0.95, q = 1 p = 0.05, X = 9 P(X = 9) = a. = 4, p = 0.80, q = 1 p = 0.0, P(X = ) = b. P(X 1) = = = 30, p = 0.70, q = 1 p = 0.30, X = 0 P(X = ) = 30 C 0 (0.70) 0 (0.30) 10 = a. p = 0.75, q = 0.5 = 5, k =, P(X = ) = b. P(X 3) = = d) µ = 5(0.75) = 3.75 σ = 5(0.75)(0.5) = σ = µ = (0.00) = 0 σ = (0.00)(0.998) = 199 σ = PÁGINA 3 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS III 1..a %; b %; c. 1.51%; d %; e. 8.96%; f. 6.47% 3. a.- Para que las muestras sea represetativas, debe seleccioarlas al azar. La muestra debe ser lo más grade posible o al meos mayor que 30. b. - No se puede saber cuál de las muestras es el mejor estimador. c. - La distribució de las medias muestrales tedrá ua forma ormal. d. - La media de las medias muestrales sí es u bue estimador de la media poblacioal. e. - La desviació estádar muestral o es bue estimador de la desviació estádar poblacioal. 4. Se preguta sobre la probabilidad de que la media de la muestra esté etre