Un modelo integrado de depredación y colusión

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1 Un modelo ntegrado de depredacón y colusón Germán Coloma Profesor Ttular Unversdad del CE Córdoba 374 Pso 7 uenos res, C1054P rgentna Tel: (54-11) Fax: (54-11) E-mal: gcoloma@cema.edu.ar

2 Un modelo ntegrado de depredacón y colusón Germán Coloma (Unversdad del CE, uenos res, rgentna) Resumen Este trabajo presenta un modelo de depredacón bajo condcones de nformacón completa y lo ntegra con un modelo de colusón. La competenca, la colusón y la depredacón son estrategas alternatvas de las dos empresas que se ncluyen en el modelo. Las conclusones báscas son que hay depredacón cuando una empresa tene un factor de descuento alto y la otra tene un factor de descuento bajo, que hay competenca cuando ambas empresas tenen factores de descuento bajos, y que, cuando ambas empresas tenen factores de descuento altos, los equlbros son múltples y el juego puede transformarse en una guerra de desgaste. La colusón tambén puede sostenerse como un equlbro de Nash en certos casos, pero los factores de descuento requerdos tenen un límte nferor y un límte superor. Clasfcacón del JEL: C72, D43, L13. Descrptores: Depredacón, Colusón, Competenca, Guerra de desgaste, Equlbro de Nash, Factores de descuento. n Integrated odel of Predaton and Colluson Germán Coloma (Unversdad del CE, uenos res, rgentna) bstract We present a two-frm model of predaton under complete nformaton, based on dfferent dscount factors, and ntegrate t wth a model of colluson. Competton, colluson and predaton are seen as alternatve strateges. The basc conclusons are that there s predaton when one frm has a hgh dscount factor and the other one has a low dscount factor, there s competton when both frms have low dscount factors, and, when both frms have hgh dscount factors, equlbra are multple and the game may become a war of attrton. Colluson can be sustaned as a Nash equlbrum n some cases, but the requred dscount factors have a lower bound and an upper bound. JEL Classfcaton: C72, D43, L13. Keywords: Predaton, Colluson, Competton, War of attrton, Nash equlbrum, Dscount factors.

3 1. Introduccón El propósto de este trabajo es presentar un modelo de depredacón bajo condcones de nformacón completa, basado en dferencas en los factores de descuento de las empresas que operan en un mercado, e ntegrarlo con un modelo de colusón (en el cual los factores de descuento tambén juegan un papel mportante). La competenca, la colusón y la depredacón aparecen como estrategas alternatvas que las empresas tenen para actuar en el mercado, y usar una u otra depende de las característcas de cada empresa y del comportamento de sus competdores. El modelo es ncalmente smétrco (en el sentdo de que no exsten empresas que sean a pror depredadores y presas, o líderes y segudores ) y tene lugar en el contexto de un juego smultáneo repetdo. La teoría básca de la depredacón (por ejemplo, Kreps y Wlson, 1982, o lgrom y Roberts, 1982) enfatza el papel de la nformacón ncompleta y de los mecansmos de señalzacón como los elementos que raconalzan el comportamento de las empresas. Exste sn embargo otra lteratura (por ejemplo, Fudenberg y Trole, 1985, o olton y Scharfsten, 1990) que ntroduce la dea de que las restrccones fnanceras o las dferencas en el costo de captal de las empresas son tambén elementos que pueden explcar la depredacón como un fenómeno de equlbro, aun en contextos de nformacón completa. La ntroduccón del costo del captal es asmsmo esencal en la teoría más aceptada que ntenta explcar el fenómeno de la colusón (por ejemplo, Fredman, 1971, o Green y Porter, 1984), que se basa en la dea de que las empresas pueden tener dstntos factores de descuento cuando valúan flujos de fondos ntertemporales. Usando la lógca de los juegos repetdos, esta lteratura muestra que la colusón puede sostenerse como un equlbro de Nash cuando los factores de descuento de las empresas están por encma de un certo límte nferor y no en otras crcunstancas. pesar de estas semejanzas entre los modelos de depredacón y colusón, exsten pocos ejemplos de artículos teórcos que hayan ntentado ntegrar dchos modelos entre sí. Harrngton (1989) es uno de esos ejemplos, pero en su modelo la depredacón es báscamente un artlugo del grupo de empresas que coluden entre sí para castgar a quenes se desvían de lo pactado en el acuerdo colusvo. ás cercano al espírtu de este artículo es el trabajo de Kawakam y Yoshhro (1997), cuyo modelo consdera a la colusón y a la 1

4 depredacón como estrategas alternatvas, y encuentra un límte superor para los factores de descuento de las empresas que tratan de sostener a la colusón como un equlbro. La organzacón de este trabajo es la sguente. Prmero desarrollamos separadamente sendos modelos de depredacón (seccón 2) y colusón (seccón 3). Luego los ntegramos en un únco modelo (seccón 4), que a contnuacón lustramos a través de un ejemplo numérco (seccón 5). Por últmo (seccón 6), completamos el artículo con una sere de comentaros fnales. 2. Depredacón Supongamos un mercado con dos empresas ( y ). Cada una de ellas tene dos posbles estrategas: depredar (Dep) y competr (Comp). Cuando ambas empresas depredan, las dos sufren una pérdda gual a sus costos fjos (F). Cuando compten, ambas obtenen un benefco compettvo no negatvo ( C 0). Cuando una de ellas depreda y la otra no, esto mplca que la segunda empresa (la presa) deja el mercado y obtene por lo tanto un benefco nulo. El depredador, por su parte, sufre una pérdda gual a F en el prmer período pero después obtene un benefco monopólco ( 2 C ). Su benefco ntertemporal promedo ( ) es por lo tanto gual a: = (1- ) (-F) + (1) ; donde es su factor de descuento (que es un número entre cero y uno). El juego descrto puede representarse a través de la matrz de benefcos ntertemporales promedo que aparece en el gráfco 1. Gráfco 1 Dep Comp Dep -F, -F (1- ) (-F)+, 0 Comp 0, (1- ) (-F)+ C, C 2

5 Los equlbros de Nash de este juego dependen de los valores relatvos de F, C,, y. Comp/Comp es el únco equlbro de Nash s se da lo sguente: C (1- ) (-F) +.e. (para =, ) (2) ; en tanto que Dep/Comp es el únco equlbro de Nash cuando: y (3) ; y Comp/Dep es el únco equlbro de Nash s: y (4). Por últmo, tanto Dep/Comp como Comp/Dep son equlbros de Nash (junto con un tercer equlbro, en estrategas mxtas) s se cumple la sguente condcón: (para =, ) (5). Las conclusones de este modelo son smples e ntutvas en los tres casos en los que el equlbro de Nash es únco. Cuando ambas empresas tenen un factor de descuento bajo, la competenca prevalece, en tanto que la depredacón surge cuando una empresa tene un factor de descuento relatvamente alto y la otra tene un factor de descuento relatvamente bajo. En cambo, s las dos empresas tenen factores de descuento relatvamente altos, las predccones del modelo se vuelven ncertas, en el sentdo de que la depredacón puede provenr de cualquera de los dos jugadores y aparecen tres equlbros posbles. Este últmo caso mplca que el juego se transforma en una guerra de desgaste (war of attrton), smlar a la que aparece en Roth (1996). 3. Colusón Supongamos ahora que las empresas y tenen la opcón de coludr (Col), lo cual mplca repartrse el benefco monopólco en mtades ( /2). S su estratega alternatva es competr, entonces podemos defnr una stuacón en la cual la empresa compte y la 3

6 empresa trata de coludr como un caso en el cual la empresa se desvía de un acuerdo colusvo y obtene un benefco monopólco en el prmer período, hacendo que la empresa sufra una pérdda gual a su costo fjo. Sguendo la lteratura sobre juegos repetdos (por ejemplo, Fredman, 1971), podemos tambén suponer que la empresa puede castgar este desvío pasando ella msma a tener un comportamento compettvo. Dado esto, después del prmer período, ambas empresas termnan en una stuacón en la cual obtenen un benefco gual a C. En ese caso los benefcos ntertemporales promedo de las empresas y pueden escrbrse del sguente modo: = (1- ) + C ; = (1- ) (-F) + C (6) ; en tanto que los benefcos correspondentes a una stuacón en la cual la empresa trata de coludr y la empresa es la que se desvía son: = (1- ) (-F) + C ; = (1- ) + C (7). El juego descrto puede representarse a través del gráfco 2. Gráfco 2 Comp Col Comp c, c (1- ) + C, (1- ) (-F)+ C Col (1- ) (-F)+ C, (1- ) + C /2, /2 l gual que en el juego analzado en la seccón anteror, los equlbros de Nash de este juego dependen de los valores relatvos de F, C,, y. Por ejemplo, Comp/Comp es el únco equlbro s: /2 (1- ) + C.e. (para = o = ) (8) ; en tanto que Col/Col tambén es un equlbro (junto con Comp/Comp y con un tercer equlbro, en estrategas mxtas) s se cumple la sguente condcón: 4

7 /2 (1- ) + C.e. (para =, ) (9). Las conclusones de este modelo pueden relaconarse con la dea de que la colusón es mposble s alguna de las empresas tene un factor de descuento relatvamente bajo, pero sí es sostenble como un equlbro de Nash (no únco) s ambas empresas tenen factores de descuento relatvamente altos. 4. Depredacón y colusón Los modelos presentados en las seccones 2 y 3 pueden ntegrarse en uno solo s magnamos que cada empresa tene tres estrategas alternatvas: depredar, competr y coludr. La matrz de benefcos ntertemporales promedo del nuevo juego que se plantea pasa a ser la que aparece en el gráfco 3, y es una superposcón de las matrces de los gráfcos 1 y 2. Para llenar las celdas correspondentes a Dep/Col y Col/Dep necestamos sn embargo hacer un supuesto adconal, que es el sguente: cuando una empresa depreda y la otra ntenta coludr, el depredador obtene el benefco de una depredacón extosa (o sea, = (1- ) (-F)+ ), en tanto que la presa perde F en el prmer período y después abandona el mercado. Gráfco 3 Dep Comp Col Dep -F, -F (1- ) (-F)+, 0 (1- ) (-F)+, (1- ) (-F) Comp 0, (1- ) (-F)+ c, c (1- ) + C, Col (1- ) (-F)+ C (1- ) (-F), (1- ) (-F)+ C, /2, /2 (1- ) (-F)+ (1- ) + C Los equlbros de este juego presentan certas relacones con los que hemos vsto en las seccones anterores. Por ejemplo, Comp/Comp es el únco equlbro de Nash s: 5

8 y (para =, ) (10). Otro posble equlbro de Nash que tambén es únco en certos casos es Dep/Comp. Esto sucede cuando: ; y (11). smsmo, Comp/Dep es el únco equlbro de Nash s se da lo sguente: ; y (12). Los casos expuestos resultan claros, ya que o ben mplcan que solo puede haber competenca (s ambas empresas tenen factores de descuento lo sufcentemente bajos) o ben mplcan que habrá depredacón (cuando una empresa tene un factor de descuento relatvamente alto y la otra tene un factor de descuento relatvamente bajo). Sn embargo, s ambas empresas tenen factores de descuento relatvamente altos, aparecen múltples equlbros posbles. Un caso de nterés es aquel en el cual la colusón (o sea, Col/Col ) es un equlbro. Para que esto suceda, los factores de descuento no tenen que ser n muy altos n muy bajos. En partcular, debe darse lo sguente: ( ) (para =, ) (13). Cuando alguno de los factores de descuento cae por debajo del límte nferor que aparece en la ecuacón 13, entonces al menos una empresa preferrá competr cuando la otra ntente coludr. Inversamente, cuando alguno de los factores de descuento está por encma del límte superor, entonces al menos una empresa preferrá depredar cuando la otra trate de coludr. Nótese que el conjunto de nveles posbles de descrto por la ecuacón tambén puede estar vacío. Esto sucede s: ( ) C (14). Por últmo, s se da que: 6

9 ( ) y j (para = y j =, o vceversa) (15) ; las posbles solucones de equlbro mplcan depredacón por parte de alguna de las empresas ( Dep/Comp y Comp/Dep ) o ben estrategas mxtas, pero n Comp/Comp n Col/Col resultan ser equlbros de Nash. Los resultados que se obtenen en este caso, por lo tanto, son los esperables en una stuacón de guerra de desgaste. 5. Ejemplo numérco Supongamos que los benefcos compettvos ( C ) son guales a cero, y que los benefcos monopólcos ( ) son guales a los costos fjos de las empresas (F). Sn pérdda de generaldad, supongamos que tales benefcos monopólcos y costos fjos son guales a uno. plcando estos supuestos al modelo de la seccón 4, podemos construr la sguente matrz de benefcos ntertemporales promedo (gráfco 4): Gráfco 4 Dep Comp Col Dep -1, , 0 2-1, -1 Comp 0, 2-1 0, 0 1-, -1 Col -1, , 1-1/2, 1/2 Dados estos números, Comp/Comp es el únco equlbro de Nash del juego entre las empresas y s y son ambos menores que 1/2. S es mayor que 1/2 y es menor que 1/2, entonces el únco equlbro de Nash es Dep/Comp. En cambo, s es mayor que 1/2 y es menor que 1/2, entonces el únco equlbro de Nash es Comp/Dep. S tanto como son mayores que 1/2, entonces exsten equlbros múltples. Uno de ellos es Col/Col, sempre que tanto como estén entre 1/2 y 7

10 3/4. Dep/Comp y Comp/Dep, por su parte, son tambén equlbros posbles s y son ambos mayores que 1/2, junto con un tercer equlbro en estrategas mxtas. El gráfco 5 es una representacón de todos los resultados descrtos, en el espaco de los factores de descuento de las dos empresas de nuestro ejemplo. El área 1 es estrctamente compettva, en el sentdo de que Comp/Comp es el únco equlbro de Nash posble del juego. El área 2, en cambo, corresponde a una regón donde el únco equlbro posble es que la empresa deprede, en tanto que el área 3 corresponde al caso en el cual el únco equlbro posble es que la empresa deprede. En las áreas 4 y 5 puede haber equlbros de Nash en los cuales cualquera de las dos empresas depreda, pero la colusón sólo es posble en el área 4 y no en el área 5. Gráfco 5 1 3/ / /2 3/ Comentaros fnales Nuestro modelo de depredacón srve para mostrar que dcho fenómeno es probable cuando una empresa (el depredador) tene un factor de descuento relatvamente alto y la otra (la presa) tene un factor de descuento relatvamente bajo. S esto ocurre, no es necesaro hacer nngún supuesto respecto de la exstenca de asmetrías nformatvas o mecansmos de señalzacón para obtener un únco equlbro de Nash en el cual el 8

11 depredador depreda y la presa se retra del mercado. Cuando ambas empresas tenen factores de descuento relatvamente bajos, tambén exste un únco equlbro de Nash: nade depreda y hay competenca. Como puede verse, este modelo de depredacón tene certas característcas smlares a las que aparecen en los modelos utlzados para explcar stuacones en las cuales las empresas tenen la opcón entre competr y coludr. Luego de desarrollar un modelo smple de ese tpo, vemos que la competenca es el únco equlbro de Nash cuando alguna de las empresas tene un factor de descuento relatvamente bajo y que la colusón se converte en un nuevo equlbro (pero no el únco) cuando ambas empresas tenen factores de descuento relatvamente altos. l ntegrar nuestros dos modelos de depredacón y colusón, surge que las conclusones báscas del prmero de ellos se mantenen: hay depredacón cuando una empresa tene un factor de descuento alto y la otra tene un factor de descuento bajo (y este equlbro es únco) y hay competenca cuando ambas empresas tenen factores de descuento bajos (y este equlbro tambén es únco). Cuando ambas empresas tenen factores de descuento relatvamente altos, aparecen equlbros múltples y la competenca (entendda como una stuacón estable en la cual las empresas sempre obtenen benefcos compettvos no negatvos) no es nunca uno de ellos. Lo que se confgura es en cambo una guerra de desgaste, en la cual cualquera de las dos empresas depreda y exste tambén un equlbro posble en estrategas mxtas. En el modelo ntegrado, la colusón tambén puede sostenerse como un equlbro en certos casos, pero nos aparece la conclusón adconal de que los factores de descuento requerdos tenen un límte superor y uno nferor. Cuando dchos factores están por debajo del límte nferor, la colusón fracasa porque las empresas encuentran más rentable desvarse del acuerdo colusvo a fn de obtener benefcos monopólcos presentes. Cuando están por encma del límte superor, en cambo, la colusón se rompe por la razón opuesta: las empresas preferen ncurrr en pérddas presentes a cambo de convertrse en monopolstas futuros, después de haber depredado a sus competdores. 9

12 Referencas bblográfcas olton, Patrck y Scharfsten, Davd Theory of Predaton ased on gency Problems n Fnancal Contractng. mercan Economc Revew 80, Fredman, James Non-cooperatve Equlbrum for Supergames. Revew of Economc Studes 38, Fudenberg, Drew y Trole, Jean Predaton wthout Reputaton. IT Workng Paper No 377. Green, Edward y Porter, Robert Noncooperatve Colluson under Imperfect Prce Informaton. Econometrca 52, Harrngton, Joseph Colluson and Predaton under (lmost) Free Entry. Internatonal Journal of Industral Organzaton 7, Kawakam, Toshkazu y Yoshhro, Yoshda Colluson under Fnancal Constrants: Colluson or Predaton when the Dscount Factor s near One?. Economc Letters 54, Kreps, Davd y Wlson, Robert Reputaton and Imperfect Informaton. Journal of Economc Theory 27, lgrom, Paul y Roberts, John Predaton, Reputaton and Entry Deterrence. Journal of Economc Theory 27, Roth, Davd Ratonalzable Predatory Prcng. Journal of Economc Theory 68,