Estructuras algebraicas aplicadas a la descripción y estudio de eventos genéticos

Transcripción

1 Estructurs lgbrics plicds l dscripción y studio d vntos gnéticos por Stfny Morno Gámz Ls mtmátics son l lfbto con l cul Dios h scrito l Univrso Glilo Glilli ( L flt d rlción ntr l Mtmátic y l Biologí s o un trgdi o un scándlo o un rto, s difícil dcidir cuál d ls trs Gin Crlo Rot ( ABSTRACT En st documnto s rliz un dscripción y rcopilción d los principls modlos mtmáticos istnts pr los procsos d síntsis d protíns y hrnci gnétic. En síntsis d protíns s pon un oprción ntr los codons dl ARN qu sign cd codón un númro dntro d un structur mtmátic d 64 lmntos. En hrnci gnétic s prsnt l dsrrollo d un structur mtmátic gnrl pr dscribir ls probbilidds d prsión d conjuntos d llos n un cruc dtrmindo. S indicn ls principls pliccions istnts d los modlos prsntdos n cunto mutcions n l VIH y por último s disñn pliccions hci l Mtmátic l rlizr un clsificción d ls álgbrs bárics d dimnsión sobr Z/(. Plbrs Clv: ADN, isomorfismo, Z/(4, Z/(64, frcuncis lélics, álgbrs con rlizción gnétic, álgbrs bárics.. Introducción: Históricmnt, l rlción ntr l Mtmátic y l Biologí no h sido tn strch como dbrí. Con trbjos d muchos invstigdors s h ido vislumbrndo l ncsidd d tndr un punt ntr sts dos importnts rms dl conociminto, y n spcil durnt l último siglo s hn hcho grnds vncs n cunto st propósito. Pr mntnr st tndnci s ncsrio conocr cd vz más l utilidd y ls posibilidds

2 qu s gnrn l construir stos vínculos. El objtivo gnrl d st trbjo s prsntr un introducción ls rlcions qu s hn vnido studindo ntr l Álgbr y l Gnétic y, plntr hrrmints pr l rsolución d lgunos problms propustos. Es dcir, st monogrfí s propon brindr concptos ids qu prmitn l continución d studios n cunto l rlción ntr l Mtmátic y l Biologí, spcilmnt n l ámbito d l Gnétic. Los objtivos spcíficos son: En primr instnci, rlizr un rcopilción d los principls modlos mtmáticos n síntsis d protíns y hrnci gnétic, lo cuál s un grn port n cunto intgrr st conociminto n un solo documnto. Y como un sgundo objtivo, construir contribucions n l studio d l intrrlción ntr l Álgbr y l Gnétic, hci l Mtmátic. Ést último s l único port l conociminto qu s rliz n l monogrfí y qu l principl objtivo d ést s rlizr un introducción muy complt qu sinttic y trig ls principls ids d modlos n vris tmátics biológics, qu prmitn qu l lctor tng hrrmints prciss con ls cuáls studir nuvos problms. Por lo ntrior, s trt d ntndr mucho mjor l pígrf d Rot, l prsntr rsultdos intrsnts y novdosos qu mustrn tods ls vntjs d un tm como ést.. Antcdnts: Pr comnzr, s prsntn lgunos ntcdnts d los nálisis mtmáticos qu s hn hcho rfrnts los procsos ntriormnt mnciondos. En cunto l prsión d l informción gnétic, lgunos utors hn rlizdo trbjos tnsos ntr los culs s ncuntrn Sánchz, Morgdo y Gru. Sus ports consistn n construir un hrrmint qu prmit studir ls rlcions y propidds d los codons, como rlcions y propidds d númros. En st nsyo s buscrá ponr ls ntriors ids pr disñr postriormnt un plicción n l mtmátic, más spcíficmnt n l Torí d Grupos Isomorfismos. Rspcto los modlos n síntsis d protíns, l conjunto d ntcdnts s pud ubicr n un lín dl timpo dsd 856 hst nustros dís, n l cul s hcn plícits lguns contribucions hchs por cd invstigción l tm. En spcil, s pud dstcr l trbjo rlizdo por Ethrington, quin hizo uno d los ports más importnts l plntr l crctrizción d l hrnci como un álgbr.

3 El studio mtmático d l hrnci comnzó n 856, cundo n un monstrio Grgor Mndl hizo un studio sobr l hrnci n un tipo d guisnts. Sus rsultdos vidnciron l importnci d introducir ls probbilidds pr comprndr ls difrncis prsnts ntr gnotipos y fnotipos. Invstigdors postriors Mndl, como Jnnings (97, Srbrovskij (934 y Glivnko (936 portron su trbjo, l drl un cráctr más mtmático incluyndo csos difrnts los trbjdos por l monj ustrico. L formulción lgbric d l hrnci s prsntó n 939, cundo Ethrington plntó un structur más complj qu n los ntriors csos, conocid como l structur d álgbr. Est invstigdor psó d l búsqud y nálisis d lgunos lmntos mtmáticos n l hrnci crctrizrl n su totlidd como un álgbr. Dspués dl trbjo hcho por st utor, considrdo como l pdr d ls pliccions dl álgbr l gnétic, difrnts utors mpzron studir ls crctrístics d l hrnci dsd ls propidds mtmátics d un álgbr. Entr stos s dstcron Schfr, Gonshor, Hldn, Holgt, Huch y Wörz Buskros.. Un grupo d codons. A continución s plntn ls formulcions qu prmitn construir un structur d grupo pr los codons, dntro dl primr procso rfrncido n l introducción: l síntsis d protíns. Pr sto s rlizrá l construcción d un grupo d bss nitrognds qu prmit disñr l grupo d codons. Postriormnt, s buscrá gnrlizr l oprción dl grupo d codons qu como s vrá más dlnt s isomorfo Z/(64... Construcción d un grupo d bss nitrognds Dbido qu l conjunto d bss nitrognds n l ARN tin 4 lmntos (A, C, G, U, s buscrá, n primr instnci, un structur mtmátic d 4 lmntos qu prmit dotrlo d un oprción. Más spcíficmnt, un grupo blino d 4 lmntos. Aunqu istn dos grupos blinos d 4 lmntos, n st nsyo s S trbjrá con ARN porqu l objtivo s nlizr los codons los culs s prsntn dntro d l síntsis d protíns cundo y h sido trscrito l ADN. 3

4 trbjrá con Z/(4. Así surg un primr problm pr l lctor crc d los rsultdos qu s obtinn l trbjr con l grupo d Klin (V 4. Sgún lo ntrior y l dfinir un biycción n l cul s rmplz por A, por C, por G y 3 por U, s consigu l structur d sum pr l conjunto d bss nitrognds pust n l Tbl. Notndo l grupo dfinido por l structur d l Tbl como B 4 y su oprción como, s tin qu (B 4, s un grupo blino, y qu l procdiminto pr construir st grupo consistió n copir Z/(4. Eist otr posibl biycción n l cul s rmplz por U, por G, por C y 3 por A y s pud vr qu ést v gnrr otro grupo d codons. Tbl. Grupo d bss nitrognds copido d Z/(4. B 4 A C G U A A C G U C C G U A G G U A C U U A C G.. Construcción d un grupo d codons Todos los posibls codons dl ARN son 64. Tnindo n cunt qu ntriormnt s copió l structur pr ls 4 bss nitrognds, continución s procurrá hcr lo mismo pr l conjunto d codons notdo como C g. D st form, si s usó l grupo d rsiduos módulo 4 pr construir un grupo d bss nitrognds, s buscrá construir un biycción ntr l grupo d rsiduos módulo 64 y C g, pr sí llgr l structur d grupo qu s ds n l cso d los codons. S prsnt un biycción muy intrsnt qu tin rsultdos muy útils y qu cumpl con ls condicions ntriormnt mncionds. Est biycción stá dscrit n l Tbl. Como s v más dlnt, st biycción proporcion rsultdos muy intrsnts. D quí qu s inmdito l intrrognt crc dl sntido d sts socicions, s dcir, l rzón por l cul cd codón stá socido un númro dtrmindo. 4

5 Pr profundizr crc d st socición, s buscrá construir un oprción ntr codons qu s dnomin sum d codons y qu stá notd por, d tl mnr qu (C g, s isomorfo (Z/(64,+. Si s logr construir dich oprción, l isomorfismo ncontrdo dtrminrá un biycción ntr lmntos d los dos conjuntos qu prmit comprndr mjor l Tbl. Tbl. Biycción ntr los lmntos d C g y Z/(64. * corrspond l minoácido codificdo por s codón. A C G U A C G U No Codón * No Codón No Codón No Codón AAA K 6 ACA T 3 AGA R 48 AUA I A AAC N 7 ACC T 33 AGC S 49 AUC I C AAG K 8 ACG T 34 AGG R 5 AUG M G 3 AAU N 9 ACU T 35 AGU S 5 AUU I U 4 CAA Q CCA P 36 CGA R 5 CUA L A 5 CAC H CCC P 37 CGC R 53 CUC L C 6 CAG Q CCG P 38 CGG R 54 CUG L G 7 CAU H 3 CCU P 39 CGU R 55 CUU L U 8 GAA E 4 GCA A 4 GGA G 56 GUA V A 9 GAC D 5 GCC A 4 GGC G 57 GUC V C GAG E 6 GCG A 4 GGG G 58 GUG V G GAU D 7 GCU A 43 GGU G 59 GUU V U UAA Y 8 UCA S 44 UGA - 6 UUA L A 3 UAC - 9 UCC S 45 UGC C 6 UUC F C 4 UAG Y 3 UCG S 46 UGG W 6 UUG L G 5 UAU - 3 UCU S 47 UGU C 63 UUU F U Un primr opción, un poco intuitiv, pr dfinir l sum d codons s componnt componnt. Est oprción srá notd como. Es dcir, pr XYZ y ABC codons dntro d C g, XYZ ABC = (X A(Y B(Z C dond ls sums ntr bss stán dds por (B 4,. Tnindo n cunt qu (B 4, s isomorfo (Z/(4,+, s tin qu l grupo d codons dfinido con st lgoritmo d sum s pud prsr como Z /( 4 Z /(4 Z /(4 {(, b, c Z /(4, b Z /(4, c Z /(4} con l sum hbitul componnt componnt. (Tomd d Sánchz t l, 4. 5

6 Dntro dl álgbr, s bin conocido un torm qu dic qu Z /( m Z /( n s isomorfo Z /( mn sii ( m, n, n dond Z /(mn s un grupo con l oprción hbitul pr grupos d rsiduos y Z /( m Z /( n s un grupo con l oprción componnt componnt. S pud plicr st torm l oprción dfinid ntriormnt pr l conjunto d los codons como sigu: tnindo n cunt qu 4 no s primo rltivo con 4 s tin qu Z /( 4 Z /(4 Z /(4 con l sum componnt componnt no s isomorfo Z/(64 y por tnto, con st procdiminto d sum no s llg l isomorfismo rqurido. Lo ntrior implic qu s ncsrio plntr un nuv oprción d sum d codons pr C g. Est oprción strá notd por y s dfin mdint l siguint lgoritmo (plntdo por Sánchz t l, 4:. Ls bss corrspondints l trcr posición s sumn d curdo l tbl d sum.. Si l bs rsultnt stá nts (un bs si stá nts qu sí mism qu ls bss sumds (sgún l ordn A, C, G, U d B 4, s llv C pr l sum d ls primrs componnts. 3. Lugo s sumn ls primrs componnts (d curdo l tbl y si s cumpl ( s llv C pr l sum d ls sgunds componnts. Por jmplo ACG + UUG. G + G = A.. Como A stá nts qu G s llv C pr l sum d ls primrs componnts. Por tnto A + U + C = U + C = A. 3. Como A stá nts qu A y qu U s llv C pr l sum d ls sgunds componnts. Por tnto C + U + C = A + C = C. Entoncs ACG + UUG = ACA. Es importnt rsltr qu (C g, no s isomorfo (Z/(64,+ ntr otrs rzons porqu C g con l oprción componnt componnt no form un grupo cíclico. Esto s pud vr fácilmnt si s hcn los nálisis pr cd bs l sumrl consigo mism, s dcir, l suponr qu ist un gnrdor y nlizr ls bss d ls cuáls strí compusto. 6

7 Sgún lo ntrior, l propósito s vr qu (C g, s un grupo y qu dmás s cíclico. Entoncs, si s logr corrspondr l gnrdor d st nuvo grupo con l d (Z/(64,+ y s tndrí l isomorfismo. Pr probr qu s un grupo s ncsitn mostrr trs propidds, continución s mostrrán sólo dos y s djrá como jrcicio l socitividd. Modultiv. S tom XYZ C g con X, Y, Z bss nitrognds. AAA XYZ = XYZ. Como A s l módulo n B 4, l sum d ls trcrs componnts s Z. Admás, como Z no stá nts qu A, no s llv C. Lo mismo sucd pr l sum d ls otrs componnts. Invrtiv. S tom XYZ C g. S ncsit qu pr XYZ ist MNO tl qu XYZ MNO = AAA L bs O ist y qu Z tin invrso porqu prtnc B 4. Como l bs A stá nts qu culquir otr s llv C pr l sum d ls primrs componnts. X C y por tnto tin invrso, lo qu implic qu M ist. Como l rsultdo n l B 4 sum d ls primrs componnts s A s llv C pr l sum d ls sgunds. Pusto qu Y C B4 su invrso ist, s dcir N ist. Entoncs l codón MNO ist. S pud vr qu l propidd conmuttiv s cumpl, y qu B 4 s un grupo blino. Acrc dl cráctr cíclico d (C g,, s dirá qu AAC s l gnrdor dl grupo: S pud vr qu l sumr AAC consigo mismo n l trcr componnt s rpit l ciclo G, U, A, C. Como ls dos bss qu s ncuntrn nts d C son A y C l primr posición s mntin constnt hst qu s llgu un codón cuy trcr posición s U, dond s llv C y cmbi l primr posición. Como s prci mdid qu s dn stos ciclos y vn cmbindo ls bss d tods ls posicions, s logr gnrr todos los codons. 7

8 Al corrspondr AAC con, l gnrdor d Z/(64, s clro qu cd codón v str socido un númro difrnt n Z/(64. Est socición fu plntd n l tbl. Admás, l rsultdo no sólo s un biycción, tmbién s un homomorfismo. L condición dl homomorfismo s importnt y qu ést r otr form d dscrtr l oprción componnt componnt. Al nlizr l sntido biológico d sts socicions, s pudn ncontrr lguns rgulridds. Entr ls más importnts s prsntn ls siguints: El Codón d inicio (AUG, mtionin s invrso uno d los codons d prd. Concrtmnt pr l primr biycción l cul s pon n l tbl, AUG s invrso d UAG. Pr l sgund biycción posibl AUG s invrso d UAA. Cundo sólo dos codons codificn pr l mismo minoácido tinn l mism pridd. Esto srá muy importnt pr ntndr l stbilidd y los mcnismos pr disminuir los rrors prsnts n l código gnético: si cundo un codón mut cmbi otro qu codific pr l mismo minoácido, l mutción no tndrá ningun incidnci. Por lo tnto, si n l código gnético l myorí d los rrors prsrvn l pridd dl codón, s umnt l probbilidd, trs un mutción, d llgr un codón qu codific pr l mismo minoácido. Rspcto l oprción disñd pr construir l isomorfismo dl grupo d codons con (Z/(64,+, tmbién s pud vr qu s obtuvo un lgoritmo mtmático qu prtió d l ncsidd d construir un grupo cíclico pr los codons. Est lgoritmo d sum s pud gnrlizr pr logrr qu Z /( m Z /( m... Z /( mn con m, m,..., mn númros qu no son primos rltivos s isomorfo n m i i Z /( W con W. Es clro qu l sum originl d Z /( m Z /( m... Z /( mn s componnt componnt. Con st procdiminto s tom l mismo conjunto, pro pr trbjrlo con un oprción distint y por lo tnto l rsultdo s un grupo difrnt Z /( m Z /( m... Z /( mn con l sum crtsin..3. Apliccions: rsistnci inhibidors dl VIH 8

9 Un mutción dntro dl mtril gnético d un orgnismo s pud prcir como un cmbio d codons. Tnindo n cunt qu s construyó un biycción n l cul cd codón s ncuntr socido un númro, ls mutcions s pudn nlizr como cmbios d númros. Pr l cso dl VIH, s sb qu hy dos nzims qu n prticulr contribuyn qu st virus infct un célul: l rtrotrnscripts, cuy función s psr l informción d ARN ADN, y l prots, cuy función s cortr l mtril gnético d l célul huéspd pr podr introducir l mtril vírico. Hst l momnto s h buscdo disñr inhibidors d sts nzims pr vitr l rplicción dl virus, unqu l lt ts d mutcions qu prsnt l VIH hc qu s slccionn virus con mutcions qu ls confirn rsistnci dichos inhibidors. Al ntndr l mutción mtmáticmnt s prsntn ls siguints rgulridds qu surgn d nlizr l cp HBX n l cul pr l 9% d los csos sucd qu (Sánchz t l., 4: si l codón rsultnt d l mutción disminuy o mntin l ordn dl codón inicil o si l codón rsultnt d l mutción mntin l pridd (mbos prs o mbos imprs rspcto l codón inicil, l mutción gnr rsistnci l inhibidor. 3. Un álgbr pr l hrnci gnétic A continución s hc un nálisis d ls álgbrs qu s pudn trbjr pr l cso d l hrnci. Como s plntó n los ntcdnts, l objtivo s construir sts structurs con bs n ls probbilidds qu tin cd llo d prsrs. 3.. Construcción d ls álgbrs con rlizción gnétic Álgbrs gmétics S tomn dos llos,. Prtindo d qu éstos tinn l mism probbilidd d prsrs, s tinn los siguints rsultdos frnt los fnotipos: 9

10 . ( ( Est s un cso prticulr n l cul l probbilidd d prsión s l mism, pro n gnrl s pudn dtrminr structurs más gnrls con coficints d probbilidd distintos pr cd llo. Ests structurs srán dnominds como álgbrs con rlizción gnétic Álgbrs con rlizción gnétic Supongmos qu A s un álgbr sobr R d dimnsión n. S tom,..., n un bs d A qu s idntific con l conjunto d llos d un gn spcífico y s dfin un oprción n A dd por l siguint prsión: Con c n k c ijk ijk i, j, k,..., n i j n k c ijk k L ntrior structur mustr qu pr l cruc d dos llos, todos los llos rstnts tinn cirt probbilidd d prsrs, l cul s ncuntr ntr y. Nóts qu st structur s válid pr prsr l distribución lélic n un poblción dtrmind. Pr postriors studios, s utilizrá st crctrístic pr dscribir poblcions. Concrtmnt, n problms plntdos n cunto Autofrtilizción. Es vidnt qu si hy un hrnci simpl, sin mutcions ni rcombinción d l informción, l tnr llos i y j l probbilidd d prsión d culquir otro llo

11 difrnt éstos srá, y qu n l gnotipo dl orgnismo sólo s ncuntr i y j.pr prsr mtmáticmnt st cso, s introducirá un coficint conocido como l dlt d Kronckr, qu stá ddo por l siguint fórmul: d b si si b b Entoncs n un álgbr con rlizción gnétic, los productos ntr llos stán ddos por: dond cijk k ( dik d jk. i j n k c ijk k D quí qu cijk sólo tndrá vlor cundo k = i o k = j. Es dcir pr i y j. Por lo tnto i j i, j,.,..., n i i j j dond los coficints d i y j son sus rspctivs probbilidds d prsión. El siguint cso considrr s hrnci mndlin simpl con mutción. En st cso s dfinirá un probbilidd s tin qu ik como l probbilidd d qu i mut n l llo n ik y dmás qu k. ik k. Por sr Pr nlizr l cmbio qu s fctú n l dfinición dl álgbr, s db clculr l probbilidd d obtnr un llo k dl cruc d dos llos i y j, l cul stá dd por:

12 n s n s ( d s ( s c ijs ik sk is d jk js sk Pr llgr st rsultdo s plic l mismo rzonminto qu s hbí trbjdo ntriormnt, con l cul, usndo l dfinición d l dlt d Kronckr, s rduc l sumtori un prsión más sncill. Entoncs, pr l hrnci mndlin simpl con mutción s tin qu los productos stán ddos por dond cijk k ( ik jk. i j n k c ijk k Estos rsultdos son muy útils y qu sólo s ncsrio stblcr ls probbilidds d mutción d un llo n otro, pr orgnizr y comprndr mucho mjor l informción crc d ls probbilidds fnotípics d un orgnismo dtrmindo. Mdint l dfinición d coficints, sí como d structurs lgbrics, s pud nlizr culquir cso d hrnci gnétic con crctrístics spcífics, unqu crc d lo ntrior hy qu tnr cuiddo n l mnr d convrtir informción o fnómnos spcils dntro d l gnétic coficints o términos con sntido mtmático. Ls álgbrs con rlizción gnétic dn lugr structurs muy intrsnts dntro d l mtmátic dnominds álgbrs bárics: S dic qu un álgbr A sobr un cmpo K s báric si s pud construir un homomorfismo no trivil : A K. Est homomorfismo s conocido como función d pso u homomorfismo d pso. Pr mostrr qu un álgbr con rlizción gnétic s báric hy qu considrr l homomorfismo dfinido por ( i con i,,..., n.

13 3 A continución, como un port originl d st trbjo, s prsnt un procso d clsificción d ls Álgbrs bárics d dimnsión sobr Z/(. Como s podrá obsrvr continución, tods ls álgbrs qu surgn d l clsificción son álgbrs con rlizción gnétic. Pr mpzr s plntrn todos ls posibls álgbrs bárics d dimnsión sobr Z/( con sus rspctivos homomorfismos d pso. Si s tomn los lmntos y con l oprción s tin qu tods ls posibls combincions qu s pudn rlizr son:,, y. Por tnto, l hcr l producto d ls posibilidds qu s tinn pr dfinir cd oprción, s tin qu l totl d posibls álgbrs bárics d dimnsión sobr Z/( s 6 ( 4. Ests son pusts n l Tbl 3. Nóts qu ls ntriors son álgbrs con rlizción gnétic y qu los coficints d y n los rsultdos d ls oprcions stán ntr y (d hcho son o y su sum s. Tbl 3. Álgbrs Bárics d dimnsión sobr Z/( Dbido qu l crctrístic principl d ls álgbrs bárics s l istnci d un homomorfismo no trivil n l cmpo, ls posibls funcions d pso qu pudn tnr ls ntriors álgbrs n Z/( son:. ( (. ( (

14 3. ( ( Srá muy importnt pr próims prubs tnr prsnt qu tnto como son funcions n ls culs l imgn d lmntos difrnts s distint. Al studir st tipo d álgbrs bárics s concluy qu l función s comport como homomorfismo d pso pr culquir álgbr 3 : ( ( z y ( ( y con z, y S pud obsrvr qu st rsultdo s válido n culquir d ls 6 álgbrs pusts ntriormnt y qu sin importr l oprción simpr s mntndrá l iguldd ncsri pr qu s tng un homomorfismo. Rspcto los otros homomorfismos posibls s ncsrio stblcr cirts condicions dntro d l structur d álgbr nlizr. L primr condición s qu los dos lmntos dl álgbr dbn sr idmpotnts. Es dcir, pr n un álgbr A s ncsrio qu. Esto s mustr continución: A un á lg br., y A ( y Supongmos qu no s idmpotnt ntoncs si fur un función d pso d A ( ( ( ( y ( ( En Z s tin st iguldd si y solo si ( y ( Por dfinición d s tin qu ( y ( Entoncs ( ( ( Est prub s pud construir nálogmnt pr y y pr l función. 3 L oprción s l producto usul d Z/(. 4

15 Otr condición qu s tin pr qu un d ls 6 structurs prsntds ntriormnt tng ntr sus homomorfismos d pso o s qu s conmuttiv. L prub s prsnt continución: Si no s conmuttiv ntoncs qu ( ( Supongmos qu A no s conmuttiv y qu s un función d pso d A ntoncs ( ( ( Como s conmuttiv n ( ( ( s tin qu Como s un función d pso d A ( ( Z d dond s dduc Lo qu s contrdic con qu A no s conmuttiv Est prub s pud construir nálogmnt pr l función. Por tnto pr qu un álgbr báric d dimnsión sobr Z/( tng ntr sus homomorfismos d pso o s ncsrio qu n ést sus dos lmntos sn idmpotnts y dmás s conmuttiv. Ls únics álgbrs qu stisfcn sts condicions son y 8. Al hcr ls oprcions s clro qu los homomorfismos d pso d son y y qu los homomorfismos d pso d 8 son y. S h construido un crctrizción d ls 6 álgbrs ntriors con rspcto su cráctr bárico. D lo ntrior s h concluido qu cpción d y 8 tods ls álgbrs bárics d dimnsión sobr Z/( tinn como su únic función d pso. Pr continur con l clsificción s ncsrio dtrminr cuáls álgbrs son isomorfs pr tnr un númro cto d álgbrs bárics d dimnsión sobr Z/(. Los dos isomorfismos posibls son (, ( y (, (. El primr isomorfismo s trivil y qu implicrí qu l dfinición d l oprción s l mism pr ls dos álgbrs, s dcir, qu sn l mism structur. Por tnto l únic función considrr srá. 5

16 Es ncsrio rcordr qu si dos álgbrs son isomorfs, tinn ls misms propidds. Ls crctrístics qu s tndrán n cunt son l conmuttividd y l númro d lmntos idmpotnts. Por tnto, s pudn construir conjuntos d álgbrs con ls misms propidds qu prmitn nlizr mjor culs srán isomorfs ntr sí: Álgbrs conmuttivs con idmpotnts: y 8. Álgbrs conmuttivs con idmpotnt:, 5, 9 y 3. Álgbrs conmuttivs sin idmpotnts: y 6. Álgbrs no conmuttivs con idmpotnts: 6 y 7 Álgbrs no conmuttivs con idmpotnt: 3, 4, y. Álgbrs no conmuttivs sin idmpotnts: 4 y 5. Dbido qu n cd conjunto ls álgbrs tinn ls misms propidds s más fácil dtrminr los isomorfismos y qu por l propidd rcordd ntriormnt sólo s pudn prsntr ntr álgbrs dl mismo conjunto. Rlizndo los nálisis con n cd uno d los conjuntos s obtin qu ls siguints álgbrs son isomorfs: Y qu ls siguints no lo son: En gnrl s pudn studir álgbrs con myor dimnsión y sobr cmpos más compljos qu Z/( pro s ncsrio dfinir métodos más ficints pr ncontrr los isomorfismos ntr álgbrs. Por jmplo pr álgbrs bárics d dimnsión 3 sobr Z/( ls posibilidds scindn d

17 Conclusions y Rcomndcions S mostró lo lrgo d st trbjo qu ist un grn intrrlción y comunicción tmátic ntr l Biologí y l Mtmátic, l cuál l prmit l primr contr con hrrmints riguross y robusts pr nfrntr su studio. Así mismo, l sgund s nutr d structurs mtmátics novdoss qu mplín su ár d plicción y conociminto, l vz qu posibilit l cráctr d prdicción cintífic d l primr. En cunto los modlos construidos pr l síntsis d protíns s concluy qu l studio d ls mutcions pud rlizrs mdint l búsqud d rgulridds y propidds numérics. Así mismo, rspcto l trbjo rlizdo n hrnci gnétic, s obtin qu s posibl l construcción lgbric d structurs stocástics qu dscribn y orgnicn l informción rltiv ls frcuncis lélics d un poblción dtrmind. Ests structurs prmitn concluir qu l hrnci gnétic no s socitiv, lo cuál pud sr prcido n l siguint construcción: ( ( ( 4 ( En gnrl, pr un conjunto d poblcions dtrmindo s concluy qu l ordn d cruc ntr ésts incid n l componnt gnético d l poblción rsultnt. Por último, prtir dl procso d clsificción d álgbrs bárics s concluy qu ls álgbrs d dimnsión sobr Z/( son y corrspondn ls siguints:,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,, 4 y 5. Cb clrr qu s incluy 8 y qu psr d qu s isomorf con no comprt los mismos homomorfismos d pso y por tnto no corrspond l mism álgbr báric. 7

18 El trbjo dsrrolldo n st monogrfí sugir qu s bsolutmnt indispnsbl l continución d studios como ést n los cuáls s nlic fondo l rlción ntr l Biologí y l Mtmátic. Con l ánimo d orintr st procso s prsntn continución lgunos posibls linmintos y problms pr futurs invstigcions: En primr instnci, dntro d l Torí mtmátic d los Códigos s ncuntr un tm muy intrsnt qu bord l problmátic d los mcnismos d corrcción qu pos l código gnético pr disminuir l incidnci d rrors n l informción gnétic. El objtivo srí ncontrr ls plbrs y los mcnismos d trnsmisión prsnts n l código gnético qu prmitn l prsión dl ADN. Un sgund posibilidd s l continución d studios n mutcions d virus, bctris o protíns, prtir dl método numérico disñdo n l scción d síntsis d protíns. Es dcir, mdint l socición plntd ntr un codón y un númro buscr rgulridds n mutcions d distint nturlz y con distintos fctos. D otro ldo, como un trcr problm, s tin qu n l cmpo d l hrnci, hy un conjtur crc d l utofrtilizción y su posibl intrprtción mtmátic. L conjtur dic qu si s rliz l procso d utofrtilizción continumnt con un poblción P, los htrocigotos tndrán dsprcr. Con ls álgbrs dfinids ntriormnt, s tin un vnc n l sntido qu un poblción s pud dfinir como coficints d distribución d todos los gnotipos posibls pr un gn dtrmindo. Por jmplo pr un gn con llos A y s pud prtir d qu P AA A. El objtivo srí mostrr qu tind mdid qu l númro d gnrcions umnt. Un curto problm pr futuros studios, consist n plntr nuvs biyccions ntr l conjunto d bss y Z/(4. Es dcir, plntr socicions difrnts ntr ls bss y los númros pr sí disñr nuvs structurs d sum pr los codons. Nóts qu no s prsnto un rzón biológic concrt qu dtrminr s tipo d socicions. Por último, s tin qu otro problm posibl s gnrlizr l clsificción d ls álgbrs bárics. Es dcir, nlizr structurs más compljs y con myor dimnsión qu prmitn obtnr un rgulridd gnrl pr l clsificción. Ls ntriors structurs, conjturs y conclusions son un pquñ introducción l univrso d posibilidds qu tinn ls rlcions ntr l mtmátic y l biologí, qu llm cd vz más l simpr útil intrdisciplinridd d ls cincis. 8

19 REFERENCIAS:. AUBRY, G. (. Algbric Approch to Popultion Gntics. Ècol Polytchniqu Fèdèrl d Lusnn.. BRITTON, N. (3. Essntil Mthmticl Biology. Springr Vrlg. Cntr for Mthmticl Biology, Londrs. 3. CAICEDO, F. (4. Torí d Grupos. Univrsidd Ncionl d Colombi. Pro- Offst Editoril Ltd. Bogotá. 4. CUMMINGS, M., KLUG, W. (999. Concptos d Gnétic. Prntic Hll. Quint dición. Mdrid. 5. ETHERINGTON I. M. H. (939. Gntic Algbrs. Proc. Roy. Soc. Edinburg GONSHOR H. (965. Spcil Trin Algbrs rising in Gntics. Proc. Edinburg Mth. Soc. ( HOLGATE, P. (978. Slfing in Gntic lgbrs. Journl of Mthmticl Biology. Págs LAM, T.Y. (99 A first cours in Nonconmuttiv Rings. Springr Vrlg. Nuv York. 9. LANG, S. (965 Algbr. Addison Wsly Publishing Compny. Columbi Univrsity. Nuv York.. LYUBICH, Y.I. (99 Mthmticl structurs in Popultion Gntics. Springr Vrlg. Nuv York. 9

20 . PAUL TIAN, J. Algbric Structur of non-mndlin inhritnc. Mthmticl Bioscincs Institut. Th Ohio Stt Univrsity, Colombus OH 43.., LI, B. (4 Colgbric structur of gntic inhritnc. Mthmticl bioscincs nd nginring. Volumn, Númro REED, M. (997 Algbric structurs in gntic inhritnc. Amricn Mthmticl Socity. Volumn 34, Númro. Pág SÁNCHEZ, R.; MORGADO, E.; GRAU, R. (4 Gn Algbr from Gntic Cod Algbric Structur. Rsrch Institut of Tropicl Roots, Tubr Crops nd Bnn (INIVIT. Biotchnology Group. Snto Domingo. Vill Clr. Cub. 5. SCHAFER, R. D. (947 Structur of gntic lgbrs. Th Institut of Advncd study. 6. WÔRZ BUSEKROS, A (974. Th zygotic lgbr for s linkg. Journl of Mthmticl Biology. Pág (98. Algbrs in Gntics. Springr Vrlg. Lctur Nots in Biomthmtics, 36. Brlin. Est rtículo s dsprnd dl trbjo d grdo rlizdo por l utor, bjo l orintción y ssorí dl profsor Jsús Hrnndo Pérz d l Univrsidd Srgio Arbold, como rquisito cdémico pr obtnr l título d bchillr n l Instituto Albrto Mrni, l cuál l fu otorgdo n dicimbr d 6.