CRITERIOS DE FALLA PARA TENSIONES COMBINADAS

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1 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 Capítulo CRITERIOS DE FALLA PARA TENSIONES COMBINADAS INTRODUCCIÓN En los asos de estados de tensión estátia uniaxial resulta muy senillo predeir la ondiión de alla o dimensionar la pieza de modo de evitar la alla. Para ello se utilizan los resultados que se obtienen en un ensayo de traión a partir de la urva de tensión-deormaión. Cuando el estado tensional es bidimensional o tridimensional la prediión de la alla ya no resulta tan simple. Se requeriría una variedad de ensayos donde ada una de las omponentes de tensión se debería haer variar en todo su rango de posibles valores y además tener en uenta todas las ombinaiones posibles entre las distintas omponentes. Estos omplejos ensayos resultan prohibitivos desde el punto de vista eonómio y aún imposibles desde el punto de vista ísio para muhas de las posibles ombinaiones de tensiones. Ante un problema tan omplejo resulta justiiado que se propongan teorías aproximadas que relaionan el omportamiento de una ierta variable en el aso omplejo on el omportamiento de esa misma variable en un aso simple y veriiable experimentalmente. El ensayo simple que se utiliza habitualmente es el ensayo de traión. La araterístia omún de los dierentes riterios de alla para tensiones ombinadas es predeir la alla uando el valor de ierta variable ísia predeterminada, alanza en el estado multiaxial un valor igual al que diha variable alanza en el momento de la alla en un ensayo de traión on el mismo material. Se han desarrollado doenas de riterios, algunos más exitosos que otros, que podemos agrupar de la siguiente manera: ) Criterios basados en las tensiones. ) Criterios basados en las deormaiones espeíias. ) Criterios basados en la energía de deormaión. 4) Criterios empírios. 5) Criterios que se basan en la estrutura de la materia. No existe ningún riterio que pueda apliarse on éxito a todos los materiales. En realidad ada material daría origen a su propia teoría de alla. Los materiales isótropos pueden lasiiarse en dútiles y rágiles: Los materiales dútiles se adaptan muy bien a iertos riterios, mientras que los materiales rágiles se adaptan a riterios dierentes. En este apítulo sólo se presentan los uatro riterios que se utilizan on mayor reuenia: de la máxima tensión normal, de la máxima tensión de orte, de la energía de distorsión y de Mohr. CRITERIO DE LA MÁXIMA TENSIÓN NORMAL (CRITERIO DE RANKINE ) Se predie la alla en el estado tensional ombinado uando la tensión prinipal máxima alanza un valor igual a la tensión normal máxima en el momento de la alla en un ensayo uniaxial (traión o ompresión ) usando una probeta del mismo material. Considerando tensiones prinipales este riterio predie la alla uando: o uando () t donde t es la tensión de alla en traión mientras que es la tensión de alla en ompresión.

2 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 Las tensiones de alla que se adoptan ( t y ) dependen del modo de alla elegido ( luenia, rotura, límite de proporionalidad, et.) y del omportamiento del material. Este riterio sólo onsidera la máxima tensión prinipal sin tener en uenta para nada a las restantes tensiones prinipales. Es un riterio muy pobre a los eetos de predeir el iniio de la luenia. Para el aso de presión hidrostátia ( = = ), este riterio predie la alla uando =, pero esta airmaión no se veriia experimentalmente para ningún material. Por el ontrario, aún para altísimas tensiones hidrostátias no se veriia ninguna plastiiaión. El riterio de Rankine no debe ser utilizada para materiales dútiles. En ambio es tal vez el mejor riterio para materiales rágiles. Este riterio se adapta muy bien en el aso de undiión, existiendo muhos resultados experimentales que lo onirman. CRITERIO DE LA MÁXIMA TENSIÓN DE CORTE (CRITERIO DE TRESCA) Se predie la alla en el estado tensional ombinado uando la tensión de orte máxima alanza un valor igual a la tensión de orte máxima en el momento de alla en el ensayo de traión usando una probeta del mismo material. Considerando las tensiones prinipales se puede obtener la máxima tensión ortante según la euaión (45) del Capítulo : ( ) τ = () max Para el aso de traión simple = 0 y = 0 y en el momento de alla se veriia que τ = () De las dos últimas expresiones se dedue que el riterio de la máxima tensión ortante predie la alla uando τ (4) max El riterio de Tresa es satisatorio para materiales dútiles. En realidad existe sólo un riterio, el de la energía de distorsión, que onuerda mejor on los resultados experimentales que el riterio de orte máximo en el aso de tensiones ombinadas. Al apliar el riterio de Tresa al aso de ompresión/traión hidrostátia ( = = ) a tensiones superiores a, este riterio no predie alla lo que se ve orroborado por los experimentos. A modo de ejemplo se puede veriiar que (4) no predie alla para el estado: = 9, = 8,5, = 8,0. Notar que si y son de igual signo existen asos que no produen alla donde > ; por ejemplo, uando =,, = 0,9 y = 0,, el riterio (4) no predie alla. Notar también que si y son de distinto signo pueden darse asos de alla aun uando las tres tensiones prinipales sean bastante ineriores a ; por ejemplo, uando = 0,6, = 0,, = 0,5 el riterio (4) predie alla (lo ual es orreto). 4 CRITERIO DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN (CRITERIO DE VON MISES) Se predie la alla en el estado tensional ombinado uando la energía de distorsión por unidad de volumen alanza el valor de la energía de distorsión por unidad de volumen en el momento de alla en el ensayo de traión usando una probeta del mismo material. El riterio de Von Mises se desarrolló omo una mejora respeto a otro riterio, debido a Beltrami, que predie la alla basada en la energía total de deormaión y que no es satisatoria. Expresando la energía interna de deormaión (ver euaión () del apítulo ) para un sólido linealmente elástio e isótropo en unión de las tensiones prinipales y restando la energía asoiada al ambio de volumen ( la deduión está en el Anexo al inal del apítulo) se tiene:

3 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 W d + ν = E ( ) ( ) ( ) donde W d es la energía (densidad) de distorsión y,, son tensiones prinipales. Para el ensayo de traión se tiene ( = ) y ( = = 0) y la energía de distorsión resulta W d + ν = ( ) (6) 6 E Por lo tanto el riterio de la energía de distorsión predie la alla si: ( ) ( ) ( ) + + (7) De todos los riterios reeridos a materiales dútiles, es éste el que mejor se aproxima a los resultados experimentales. Más aún, a pesar de haberse deduido en el rango elástio mantiene validez en el ampo plástio. Notar que si el riterio (7) de Von Mises predie que un estado (,, ) está en la zona segura, todo otro estado ( +Δ, +Δ, +Δ), obtenido inrementando en el mismo valor Δ a las tres tensiones prinipales, resultará seguro no importando uán grande sea el valor de Δ ni uál sea su signo! Hay que destaar que el mismo enómeno ourre al apliar la euaión (4) del riterio de Tresa. 5 COMPARACIÓN DE LOS CRITERIOS DE FALLA Adoptando un sistema de reerenia tridimensional artesiano se pueden graiar las tensiones adimensionales i / ( i =,, ) y enontrar una superiie de alla tal que todos los estados de tensión ombinada que orresponden a los puntos de la superiie no produirán alla. Para el riterio de Rankine resulta un ubo, para el riterio de Tresa un prisma hexagonal y para el riterio de Von Mises un ilindro. El eje del ilindro pasa por los puntos donde = = y las seiones para / = te son elipses a 45 grados omo la que se muestra en la Figura - para el aso = 0. El eje del prisma hexagonal de Tresa oinide on el eje del ilindro de Von Mises. A modo de ejemplo el letor puede veriiar que el riterio (7) no predie alla al ser apliado al siguiente estado: = 9, = 8,5, = 8,0. Notar que el riterio (4) tampoo predie alla. 5. Caso de Tensión plana Todo esto es más áil de visualizar en el aso de tensión plana donde una de las tensiones prinipales es nula, En esta subseión se denota on y a las tensiones prinipales no nulas: a) Criterio de la máxima tensión normal: Sin distinguir ual es la mayor entre y, la zona segura y las líneas de alla según () orresponden a: / y / (8) uya representaión gráia es un uadrado (ver Figura ). b) Criterio de la máxima tensión de orte: Hay que distinguir dos asos según el signo de y (ver Figura ): b-) y de igual signo, entones el máximo orte se obtiene relaionando la mayor entre y on = 0. Según (4) la zona segura y las líneas de alla resultan: > / 0 / = ± retas vertiales. > / 0 / = ± retas horizontales. b-) y de distinto signo, según (4) la zona segura y las líneas de alla resultan: / / / / = ± (0) y se obtienen dos retas asendentes a 45 on ordenada al origen igual a ±. (5) (9)

4 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 ) Criterio de la energía de distorsión: Haiendo = 0 en (7) y desarrollando se tiene: + + = () esto deine la zona segura ontenida por la línea de alla que es una elipse on ejes a 45 o omo se observa en la Figura -. Los resultados a), b) y ) para tensiones prinipales y (siendo = 0 ) pueden graiarse omo sigue: Máxima tensión normal Máxima tensión de orte Energía de distorsión Rankine Tresa Von Mises Figura : Zona segura y líneas de alla en el aso de tensión plana según distintos riterios de alla 5. Resultados experimentales que avalan a los distintos riterios A ontinuaión en la Figura se muestran los resultados de uidadosos ensayos realizados por varios investigadores on distintos materiales para estados planos. Los puntos están situados en el o y 4 o uadrante. Notar que por la simple vía de interambiar la denominaión y todos los puntos experimentales pueden simetrizarse respeto a la diagonal del o uadrante. Notar que no se presentan ensayos en el o uadrante porque el aso de ambas tensiones ( y ) de ompresión es un aso de poa importania en ingeniería meánia. Materiales dútiles Materiales rágiles Figura : Resultados de ensayos para estados planos realizados on distintos tipos de materiales a) Falla de materiales dútiles. b) Falla de materiales rágiles 4

5 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii CRITERIO DE FALLA DE MOHR El riterio propuesto por Otto Mohr en 900 es una extensión del riterio de la máxima tensión de orte y se basa en una interpretaión de los írulos de Mohr para estados tridimensionales. El mayor éxito de este riterio es predeir la alla de materiales que tienen tensiones de alla distintas según se trate de traión o ompresión. Antes de presentar el riterio de alla de Mohr onviene reordar la propiedad de los írulos de Mohr. Se puede demostrar que si > > son tensiones prinipales, y se graian los tres írulos de Mohr omo se muestra en la Figura, sólo son posibles estados uya tensión de orte es tal que ae en la zona sombreada ( ver Anexo al inal de este apítulo). Figura : Construión de tres írulos de Mohr a partir de las tensiones prinipales > > Para una línea vertial NC que orresponde a planos que tienen igual tensión normal ON la tensión de orte resultará siempre τ NC. Por ello Mohr airmó que el írulo mayor es suiiente para determinar la ondiión de alla (sin importar el valor de ). Considerando un material que presente dierente omportamiento según se trate de traión o ompresión, se realiza un ensayo de traión, uno de ompresión y otro de orte puro por torsión. Después se trazan tres írulos y una urva envolvente omo se muestra en la Figura 4. Figura 4: Curva envolvente de los írulos de Mohr para traión, ompresión y orte Al haerlo estamos deiniendo una zona de alla uera de la envolvente. Se predie la alla en el estado tensional ombinado uando el mayor írulo de Mohr asoiado a un punto rítio desde el punto de vista tensional es tangente o exede los límites de la envolvente de alla orrespondiente a los tres ensayos; traión, ompresión y torsión, usando probetas del mismo material. Como la envolvente de alla no está deinida en orma preisa, por simpliidad, se trazan sólo los írulos de Mohr orrespondientes a los ensayos de traión y ompresión y se utiliza una reta tangente a los dos írulos. 5

6 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 Caso de tensión plana = 0 ) Material dútil. -a) Caso t = : el gráio de la zona segura del riterio de Mohr oinide on el riterio del orte máximo, notar la similitud entre la Figura -b y la Figura 5-a. -b) Caso t : la zona segura orresponde a la Figura 5-b y sobre ella se determinarse el C S. ( ) er uadrante Cs = mayor (, ) / t er uadrante Cs = mayor, / () En el 4to uadrante la zona segura y el oeiiente de seguridad, C están dados en (). Zona segura: + < Coeiiente de seguridad: C s = + t t La deduión de la euaión () se puede onsultar en el Anexo 4 al inal del apítulo. La órmula para el do uadrante se obtiene simetrizando () respeto a la bisetriz del er uadrante. s do uadrante: < 0 y > 0 C s = + t () (4) Figura 5: Zona segura en el aso de tensión plana para distintos materiales ) Material rágil. La Figura 5- orresponde a una modiiaión empíria para el aso de materiales rágiles on t, que se onoe omo Criterio de Mohr Modiiado (ver punto del Anexo 4 al inal del apítulo). Notar que si t el riterio de Mohr modiiado oinide on el riterio de Rankine. 7 EVALUACIÓN DE LAS DISTINTOS CRITERIOS DE FALLA Conrontando los distintos resultados experimentales produidos a lo largo del tiempo para distintos materiales on las prediiones de los distintos riterios, (onsiderando aún otros no presentadas aquí por ser menos exitosos ) se pueden extraer las siguientes onlusiones: ) Para materiales isótropos que allan por ratura rágil, el mejor riterio es el de la máxima tensión normal (Rankine). ) Para materiales rágiles uya resistenia en ompresión diiere signiiativamente de su resistenia en traión, el mejor riterio es el de Mohr modiiado. ) Para materiales isótropos dútiles el mejor riterio es el de la máxima energía de distorsión, siendo el riterio de orte máximo asi tan bueno omo el anterior. 4) Para materiales dútiles donde t, el mejor riterio es el de Mohr. Nota: Se pueden onsiderar omo materiales dútiles a aquellos uyo alargamiento es superior al 5% (medido sobre pulgadas de longitud de probeta que ontiene la zona de rotura ). 6

7 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii COEFICIENTE DE SEGURIDAD Deinimos al oeiiente de seguridad C s omo el valor por el ual hay que multipliar a las argas para que la variable araterístia del riterio de alla adoptado alane el valor de alla en el punto más rítio de la pieza. En la mayoría de los asos tratamos problemas lineales donde las tensiones son proporionales a las argas. En tales asos el Cs se puede alular dividiendo la tensión de alla por la tensión de trabajo. En el aso de tensión plana se puede interpretar el C s de una manera gráia senilla omo se india en la Figura 6. Figura 6: Interpretaión gráia del C s en el aso de tensión plana para distintos riterios de alla Una vez determinadas las tensiones prinipales y se ubia el punto P. El oeiiente de seguridad es tal que Cs OP = OP, por lo tanto Cs = OP OP (5) 8. Criterio de la máxima tensión normal De () se tiene: Cs =. Hay que distinguir asos: a) Tensiones prinipales positivas > > C s = t / b) Tensiones prinipales negativas > > C s = / (6) ) Tensiones de distinto signo > > Cs = menor ( t/ ; / ) 8. Criterio de la máxima tensión ortante Según (4) en el punto más rítio de la pieza debe veriiarse: Csτ máx = Cs = donde se ha tenido en uenta que las tensiones prinipales son > >. (7) Tensión plana En el aso de tensión plana pueden alularse dos tensiones prinipales mediante el írulo de Mohr. Tener presente que la restante tensión prinipal es nula. No debe onundirse la tensión de orte máxima τ max de la Figura 8 on el radio R del írulo de Mohr de la Figura 7. x τxy 0 = y 0 0 Figura 7: Círulo de Mohr en el aso de tensión plana 7

8 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 se pueden onstruir tres írulos de Mohr. Esto se demuestra ormalmente en el punto reerido al írulo de Mohr, en el Anexo al inal de éste apítulo. Una vez aluladas las tensiones prinipales ( x, y,0) Reordando la euaión (48) del Capítulo esribimos: x + y A ; R x y = = + = A+ R = A R = = 0 No olvidar (9) x y z Pueden darse uatro situaiones según el signo de A y la relaión de tamaños entre A y R. z τ xy (8) Figura 8: Cuatro asos posibles para los írulos de Mohr Resumiendo los resultados mostrados en la Figura 8 se tienen sólo dos resultados distintos. C s A + R uando A > R = donde τ max τ max R uando A R (0) 8. Criterio de la energía de distorsión de donde: Según (7) en el punto rítio se veriia que: ( C C ) ( C C ) ( C C ) + + = () s s s s s s C s = ( ) + ( ) + ( ) El álulo de las tensiones prinipales puede evitarse usando diretamente las omponentes del tensor de tensiones. C s = () ( ) τ + τ + τ ( x y z ) x y y z z x ( xy yz zx ) que es una expresión sumamente útil porque no requiere ningún álulo previo. () Tensión plana Partiularizando () al aso de tensión plana ( = τ = τ = 0) se tiene: C = s 8 z zx zy + + τ x y x y xy (4)

9 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii TENSIÓN EFECTIVA Observando (7), (0), (), () y (4) se onluye que para los riterios de Tresa y Von Mises puede esribirse C s = (5) donde es una tensión itiia que se denomina tensión eetiva (o tensión de omparaión). Esta tensión itiia resulta muy útil y puede además utilizarse de la siguiente manera: 9. Caso tridimensional ( Tensor lleno) Deben alularse las tensiones prinipales > > Corte máximo: de (7): = (7) Energía de distorsión = ( ) + ( ) + ( ) adm (6) : de (): (8) Según (), se pueden usar diretamente las omponentes del tensor de tensiones = τ + τ + τ z ( x y z ) ( x y y z z x ) ( xy yz x ) (9) 9. Caso plano (una ila nula en el tensor de tensión) x τxy 0 τyx y Es un aso partiular de gran importania que se da en la mayoría de los asos prátios. Corte máximo: de (8) y (0): (0) A x + y x y = R = + τ xy A + R uando A > R = R uando A R () Energía de distorsión: de (4): = + + τ () que es una órmula muy útil porque no requiere ningún álulo previo. x y x y xy 9. Caso intermedio (dos tensiones de orte nulas en el tensor de tensiones) x τ xy 0 τ xy y z Corte máximo: Caso muy simple de resolver: se alulan las tensiones prinipales según (8). A x + y x y = R = + τ xy x = A+ R y = A R z = z Energía de distorsión: Partiularizando (9) se tiene: { ; } { ; } = mayor A + R menor A R ( ) = + + ( + + ) + τ z x y z x y y z z x xy z () (4) (5) 9

10 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii COEFICIENTE DE SEGURIDAD EN CASOS NO LINEALES Figura 9: Relaión lineal entre argas y tensiones 40 En los asos lineales la gráia arga vs. tensión es una línea reta ( Figura 9 ) y el C s puede deinirse en orma indistinta omo: Coeiiente de seguridad en tensiones alla C s = (6) Coeiiente de seguridad en argas Carga última C s = (7) Carga apliada Cuando la relaión entre la tensión y la arga no es lineal omo en las Figuras 0 y los oeiientes (6) y (7) dan resultados dierentes, lo que indue a onusión. 0. Caso donde la tensión eetiva ree más rápido que la arga En el aso de la Figura 0 se tiene: ( C ) ( C ) s argas Notar que en este aso < (8) ( C s ) argas =,8 ( C s ) tensión =,4 s tensión y en la aproximaión lineal es ( C s ) lineal =,69 Carga Figura 0: Caso donde la tensión ree más rápido que la arga 0. Caso en que la tensión eetiva ree más lento que la arga En el aso de la Figura se tiene: ( C ) ( C ) s argas Notar que en este aso > (9) ( C s ) argas =,64 ( C s ) tensión =,08 s tensión y en la aproximaión lineal es ( C s ) lineal =,7 Figura : Caso donde la tensión ree más lentamente que la arga Comentarios ) En el aso de la Figura 0, el álulo lineal aproximado da resultados inseguros. Eso debe evitarse. ) En el aso de la Figura, el álulo lineal da resultados del lado de la seguridad. Conlusiones: Carga Carga Carga Carga última Carga última Carga lineal Carga Carga lineal Carga última Carga a) En los asos lineales usaremos indistintamente (6) o (7), ya que ( C ) = ( C ) b) En los asos no lineales se aonseja usar (7) o sea ( C s ) argas. s argas s tensión

11 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 ANEXOS DEL CAPÍTULO Anexo : Deormaiones volumétrias y distorsivas El tensor lineal de deormaiones ε ij en el sistema de ejes prinipales resulta diagonal: ε ε ε ε ij = Teniendo en uenta el sentido ísio del tensor de deormaiones resulta áil alular el ambio de volumen de un ubo ininitesimal de lados dx, dx y dx orientados según ejes prinipales: i ( ε ) ( ε ) ( ε ) ( ) V = V V = + dx + dx + dx dx dx dx (40) (4) Notar que la ibra que medía dx antes de la deormaión, mide ( dx + εdx) después de la deormaión. Eetuando el produto y despreiando los términos uadrátios en ε, rente a los términos lineales, ya que ε << resulta: ( ε ε ε ) ( ε ε ε ) V = dv dv = + + dv (4) lo que demuestra que la traza del tensor de deormaiones (que es un invariante rente a los ambios de oordenadas) mide el ambio de volumen. El tensor de deormaiones se puede desomponer de la siguiente orma: ε 0 0 εm 0 0 ε εm ε 0 0 ε 0 0 = m + ε εm ε 0 0 ε 0 0 ε ε m m donde ε ( ε ε ε ) m (4) = + + (44) En notaión abreviada (4) se reesribe omo: ε = εv + εd (45) Notar que el ambio de volumen asoiado a ε d ( igual a la traza de ε d ) es nulo por la deiniión de ε m. Por la misma razón el ambio de volumen asoiado a ε v resulta igual al ambio de volumen asoiado a ε. Esto justiia la siguiente denominaión: ε v = tensor de deormaiones volumétrias. ε d = tensor de deormaiones distorsivas (sin ambio de volumen). En el aso de materiales isótropos las direiones prinipales de tensión oiniden on las direiones prinipales de deormaión lo que permite desomponer al tensor de tensiones de una manera similar a (4) en un tensor de tensiones hidrostátias y un tensor de tensiones distorsivas. Anexo : Energía de distorsión La energía interna de deormaión por unidad de volumen W, ver euaión () del Capítulo, puede expresarse en el sistema de ejes prinipales omo: ( ) W = ε + ε+ ε (46) donde se ha supuesto material lineal, isótropo. Reordar que,, son tensiones prinipales y que las tensiones de orte son nulas uando el tensor de tensiones está reerido a las tensiones prinipales. 4

12 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 Las euaiones onstitutivas () del Capítulo partiularizadas para el aso de tensiones prinipales resultan ε = ν( ) ε ν( ) ε ν( ) E + = + = + E E (47) Sustituyendo las (47) en la (46) resulta: W = ( ) E + + ν + + (48) que puede partiularizarse para el aso de tensión hidrostátia h : si ahora haemos: = E ( ν) W h h + + (49) h = (50) y reemplazamos en (49) obtenemos la energía asoiada al ambio de volumen omo: W h ν = ( ) + + (5) E Finalmente obtenemos la energía de distorsión W d, restando la energía asoiada al ambio de volumen W dada por (5) de la energía total dada por (48) h W = W W (5) d Reemplazando (5) y (48) en (5), desarrollando el uadrado del trinomio y reagrupando términos se llega a (5), que justiia a (5) h W d + ν = E ( ) ( ) ( ) (5) Anexo : Círulos de Mohr Empleando un sistema de direiones prinipales, podemos expresar la tensión normal asoiada a un plano arbitrario deinido por el versor v= ( v, v, v) apliando (4) del Capítulo : vv = v + v + v (54) Para ese mismo plano arbitrario podemos esribir el uadrado del módulo de la tensión, empleando (5) del Capítulo : v = vv + vs pero, según () del Capítulo, para el sistema de ejes prinipales: v (55) v = vt + vt + vt ( ) ( ) ( ) = + + v v v v sustituyendo (57) en (55) se tiene: (56) (57) vv + vs = v + v + v (58) 4

13 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 Además por ser v un versor v + v + v = (59) Dadas un par de tensiones vv y vs arbitrarias puede enontrarse la direión v para la ual ourren dihas tensiones resolviendo el sistema ormado por las euaiones (54), (58) y (59) donde las inógnitas son v v v. Hallando la soluión en orma genéria se tiene:,, ( )( ) ( )( ) + = vs vv vv vs vv vv v v v + ( vv ) ( vv ) ( )( ) + ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) = vs vs vv vv ( ) ( ) = vs vv vv vs vv vv ( ) ( ) (60) Notando que v i es siempre positivo y además > >. Estas desigualdades pueden esribirse omo: + vs + vv + vs + vv + vs + vv (6) donde el primer miembro es el uadrado de la distania al entro del írulo y el segundo miembro es el uadrado del radio del írulo. Para que un par de omponentes vv, vs representen el estado de tensión para un ierto plano deinido por v, deberán umplir on (6) y por lo tanto enontrarse en la zona sombreada del gráio de los írulos de Mohr de la Figura. Figura : Zona de los posibles estados tensionales en un punto 4

14 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 Anexo 4: Coeiiente de seguridad en el riterio de Mohr a) Material dútil donde = t En este aso el riterio de Mohr oinide on el riterio de orte máximo y se utiliza (7). Tensión plana C s = Es muy reuente que una de las tensiones prinipales sea nula. En estos asos de tensión plana, al emplear (7) onsiderando solamente y es omún ometer el error de olvidarse, que una de las tensiones prinipales es nula. Pueden darse tres asos que se indian en la Figura donde se utilizan tensiones prinipales: (6) Figura : Tres asos posibles de tensión plana Es obvio que si se utiliza un sólo írulo de Mohr basado en las tensiones no nulas y se ometerá un error en los asos y de la Figura. b) Material dútil donde t Según se propone en la Figura 4 deben trazarse los írulos de Mohr para los ensayos de traión y ompresión. A partir de las direiones prinipales () > () > () debe trazarse el mayor írulo de Mohr usando () y (). Luego partiendo del entro del írulo se traza una perpendiular a la envolvente de alla determinando los puntos P y P ( Figura 4 ). : 44 AP Cs = (6) AP donde: AP = () () A = () + () ( ) R + AP = R R R A R + R ( )/ ( )/ R = / R = / t siendo > > tensiones prinipales Figura 4: Coeiiente de seguridad para material dútil donde t Hay que notar que (6) se redue a (6) uando = t. Tensión plana Cuando una tensión prinipal es nula, se alulan las otras tensiones prinipales I > II y se alula el oeiiente de seguridad C s onsiderando tres zonas. Reordar que es negativa. t ambas positivas I > 0 y II > 0 C s = (64) I

15 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 I II distinto signo I > 0 y II < 0 C s = + t ambas negativas I < 0 y II < 0 C s = (66) donde hay que tener presente que es negativa y que I > II. El oeiiente de seguridad dado en (65) se dedue a ontinuaión utilizando la Figura 5 que orresponde al 4º uadrante de la Figura 5-b. II (65) Figura 5: Deduión del oeiiente de seguridad del riterio de Mohr en el 4º uadrante Por semejanza de triángulos: OP P PR R OR = C s Cs = = = OP OR = Cs y también por semejanza de triángulos: (67) PR t OR = (68) t Reemplazando (67) en (68) y despejando se obtiene (65) que oinide on (). El oeiiente en el o uadrante se obtiene simetrizando respeto a la diagonal del o uadrante. ) Material rágil donde t En el aso de un material rágil donde la resistenia en ompresión es mayor que la resistenia a traión t se utiliza el riterio de Mohr modiiado. Se utiliza la Figura 5- y se onsideran sólo las tensiones () y () y se ignora el valor de (). Por tratarse de un material rágil sólo interesan las tensiones máximas. t () > 0 y () () C s = (69) () { } () > 0 y () > () C s = menor Φ, Φ (70) 0 y < 0 C s = (7) () () () donde: Φ = y Φ = + t () () () ( / t ) (7) 45

16 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 Tensión plana: Cuando una tensión prinipal es nula, se alulan las otras dos tensiones prinipales I > II y se alula el oeiiente de seguridad observando la Figura 5- que orresponde al riterio de Mohr modiiado, también relaionado on el riterio de Rankine. Para determinar el oeiiente de seguridad hay que distinguir tres zonas. I > 0 y II < I C s = t / I (7) ( ) I > 0 y II > I C s = / II + I + / t (74) I < 0 y II < 0 C s = / II (75) donde hay que tener presente que es negativa y que I > II. Anexo 5: Tensión de omparaión (Resumen) Resumen de los valores de la tensión de omparaión que depende del material y de las tensiones. t En todos los asos C s = (76) Material en el aso general en tensión plana Criterio de alla N o D Ú C T I L = t > t ( () ()) + ( () ()) + ( () ()) () () () () [ ] ( + α) ( α) [ + ] / t () () Deduida de la euaión (6) + + τ x x x y xy R+ A A > R R A R R+ A A> R ( R+ A) + α ( R A) A < R α ( R+ A ) A R Energía de distorsión Corte máximo Mohr F R Á G I L = t el mayor de { () ; () } R+ A > 0 mayor { ; Φ} > 0 > > t α() () 0 () < 0 donde Φ= α + ( α) () () () () () () () () () () R+ A A> 0 R+ A( α ) R< A< 0 ( R+ A ) α A R Máxima tensión normal 4 Mohr modiiado 5 α = t ij tensor lleno tensiones prinipales > > A = R = + ( τ ) () () (),, τ = τ = τ = 0 x x xy z xz yz x + y x y xy t = tensión de alla en traión. = tensión de alla en ompresión. 46

17 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 PRÁCTICO Nota: Todos las longitudes se dan en unidades [m] y las uerzas en [kg]. En una seión retangular de m x m de una estrutura tridimensional se han alulado los esuerzos indiados en el roquis. Se pide alular el oeiiente de seguridad a luenia en los siguientes asos: a) Material aero 00: = 800 kg/m. b) Material undiión maleable: t = 500 kg/m = 00 kg/m. En una seión de un tubo se han alulado los esuerzos indiados en el roquis adjunto. Diámetro exterior 8 m y espesor 0,4 m. Calular el oeiiente de seguridad para los dos materiales del problema. Dimensionar el eje horizontal de aero del roquis alulando el diámetro externo on un oeiiente de seguridad a luenia dato: P H = 00 kg = 600 kg/m P V = 600 kg CS,8 a) eje maizo. b) eje hueo de espesor 0,5 m. 4 Una añería que lleva agua a presión p = 8 kg/m está apoyada ada 600 m. Se pide: a) Hallar el oeiiente de seguridad a luenia sabiendo que el material es aero: = 400 kg/m peso = 0,00785 kg/m b) Determinar el valor de la presión que produe alla por luenia. Criterios de Falla Nota: Debido a la ontinuidad de los tramos podemos suponer tramos biempotrados. 5 Calular la tensión de eetiva en el aso de un eje irular maizo sometido a lexión y torsión. Comparar los resultados de los distintos riterios ( Rankine, Tresa y Von Mises ). 6 Para los 4 materiales dados, alular el C S para ada uno de los estados tensionales que se listan a ontinuaión. Usar la Tabla resumen del anexo 5 de la página 46 y omparar on otras órmulas para el C S. En todos los asos las unidades son [m] y [kg]. Materiales t Dútil Frágil Tensiones x y τ xy x = τ xz = τ yz

18 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 SOLUCIÓN del PRÁCTICO Criterios de Falla Se pide alular el oeiiente de seguridad de la seión. Fuerzas en [kg] y longitudes en [m]. N N = 600 / 6 = 00 Las tensiones de orte de Jourasky tienen variaión parabólia y τ máx en el entro de los lados: Q τ máx =,5 xq/ A=,5 x0/ 6 = 80 Q τ =,5 x 40/ 6 = 60 máx Tensiones por lexión bh x x W = = = W = = M = M/ W = 600/ = 800 M = M / W = 500/ = 500 Para las tensiones por torsión se usan las órmulas del aso 6 del Anexo del Capítulo 0, pág. 9: x= ab / = / C = / x+ x = τ 0,5 0, 0,78 T τ = τ = = = 400 máx Cτ ba 0, 78 x x τ = (0,74 + x 0,74 x ) τ = 0,89 x 400 = 56 4 Para enontrar el punto rítio se alulan las tensiones en 8 puntos (puntos A hasta H ) Tensiones Material y riterio ACERO euaión (4) Criterio de Von Mises FUNDICIÓN MALEABLE Criterio de Mohr A = = 00 C = = 400 E = = 400 = = 00 G B = = 600 τ B = = 46 D = = 900 τ D = = 40 F = = 400 τ F = = 76 H = = 700 τ H = = 460 Coeiiente de seguridad Punto rítio C = 800/ 400 = S C 800 C S D = =, x C S H = =, x 460 C S = punto C 48 C = 00 / ( 400) =, 9 S C C = 500/ 00 =,08 S G D = 450 ± = 4 = 04 D D C S D 4 04 = + =, H = 50 ± = 98 = 8 H H C S H 98 8 = + =, C S =,08 punto G

19 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 Se pide alular el oeiiente de seguridad de la seión. Unidades [kg] y [m] ( ) π( ) A = π D d / 4 = 8 7, / 4 = 9,55 W ( D d ) π ( 8 7, ) π = = = 64 D / 64 x 4 7,9 Para la torsión se usa W M = = 778 = 00 / 9,55 = 0,9 N = 778 / 7, 9 = 999, M τ = 060 ( 7, 9) = 9,8 T / x Punto A Punto B = 999, 0,9 = 978, 4 τ = 9,8 = 999, 0,9 = 00, τ = 9,8 a) Aero: Criterio de la energía de deormaión. Punto rítio: Punto B... C s B =,4 E. (4) 800 C s A = =,49 978, 4 + x9,8 800 C s B = =,4 00, + x9,8 b) Fundiión maleable: Criterio del orte máximo. Punto rítio: Punto A... C s A =,8 Punto A: Punto B: A= / = = + = = = 489, R 489, 9,8 584,5 I 07,7 I 95, A= / = = + = = = 50, R 50, 9,8 60, I 9, 0 II, E. (65) C sa 07,7 95, = + = ,8 C sb 9,0, = + = ,60 Se pide dimensionar el eje soliitado a lexión y torsión (alular el diámetro). Unidades [kg] y [m] Esuerzos en el punto rítio ( punto B) Momento letor máximo:..... M = = 0949 Momento torsor:... T = 600 x5 = 00 x 0 = 9000 Hay que satisaer el requisito CS,8 :,8 600 E. (4) W W Wreq 9,0 m 49

20 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii - 05 a) Seión llena π D W = = Wreq 9,0... D 4,56 m b) Seión huea de espesor 0,5 m b-) Cálulo aproximado omo seión de pared delgada usando para el módulo resistente la órmula del Anexo del Capítulo 8 (pág. 48) o del aso del Anexo del Capítulo 0 (pág. 9): W = tπ r = W 9,0 r, 4 D r + t... D 5,7 m aprox m req m m No se obtiene una buena aproximaión porque el espesor no es muy pequeño, para ese diámetro, se puede veriiar que el oeiiente de seguridad es,65 y no,8. b-) Cálulo exato: 4 4 π D ( D x 0,5) por tanteos Wexato = = Wreq 9,0 D 5, D 5,58 m 64 x D / Se puede veriiar que la seión huea redue el peso del eje a la mitad. 4 Se pide alular el oeiiente de seguridad y la presión máxima que puede soportar una añería. Unidades en [kg] y [m] Tubo Área = π = 46,4 Peso = 46,4 0,0078 = 0,64 ( ) / x / x Agua Área = π 9 4 = 660,5 Peso = 660,5 0,00 = 0, ( 0 9 ) Carga q = 0,64 + 0,6605 =,0 Módulo W = π = 6,5 64 x5 Tensión longitudinal debida a la lexión del tubo q,0 x 600 M 0660 M = = = 0660 = = = 9, W 6,5 Tensión irunerenial ausada por la presión interior e = pd = 8 x0 = = 40 x 0,5 El punto rítio está en la parte inerior de los apoyos donde la tensión longitudinal ( = 9, ) tiene distinto signo que la tensión irunerenial ( = + 40 ). a) Cálulo del oeiiente de seguridad C S : E. (4) C S = 400 ( 9, ) 40 ( 9, ) 40 + x pd e... C S =,5 b) Cálulo de presión p m que produe la alla (C S = ): = p ( 9,) (0 m) ( 9,)(0 m) p p m +,04 p 85 = 0 m pm =,8 kg / m Notar que pm CS p (,8,5 x 8 = 9) ya que se inrementó la presión mientras el peso propio (tubo más agua) permaneió sin ambio. 50

21 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii Se pide alular la tensión eetiva usando distintos riterios y omparar los resultados E. (8) A = E. (8) R A A = + τ = + τ > Por lo tanto R > A A < R 4 4 πd πd I = JR = 64 W = π d M Tensión normal por lexión... = Tensión ortante por torsión... τ = W T W M T R = + τ = + = M + T W W W a. Criterio de la máxima tensión normal: * * = () = A+ R... = ( M + M ) + T b. Criterio de la máxima tensión de orte: E. () * * W A < R = R... = M + T W. Criterio de la energía de distorsión: E.() * M T = + τ = + W W *... = M + 0,75 T W Criterio Valores de * según el riterio utilizado y el tipo de soliitaión Soliitaión 5 T = 0 Flexión pura M = 0 Torsión pura Rankine (máxima tensión normal) M/W 0,500 M/W Tresa-Guest ( máxima tensión de orte) M/W,000 M/W Von Mises (energía de distorsión) M/W 0,866 M/W Comentarios: ) En el aso de lexión pura los tres riterios son onordantes. ) En el aso de torsión pura los tres riterios dan resultados dierentes. Aeptando que los ejes se abrian on materiales dútiles para los uales se adeúa mejor el riterio de la energía de distorsión, podemos onluir que el riterio del orte máximo dará resultados onservativos mientras que el riterio de la máxima tensión normal dará resultados inadeuados y lo que es peor, inseguros.

22 Compendio de Cálulo Estrutural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudii Para haer omparaiones se pide alular de varias maneras el oeiiente de seguridad, para tres estados tensionales y para 4 materiales distintos. Dimensiones en [kg] y [m]. Primero se alulan los valores de A y R que deinen el írulo de Mohr y on ellos se alulan las dos tensiones prinipales no nulas. Los resultados se resumen en la siguiente tabla donde iguran las tensiones no nulas dato ( x, y, τ xy ), los valores araterístios para trazar el írulo de Mohr (A y R), las tres tensiones prinipales ( (), (), () ) y las dos tensiones prinipales no nulas para ser usadas en las euaiones (64), (65), (66), (7), (74) y (75) que se dan en las dos últimas olumnas. Estado tensional x Datos y xy Círulo de Mohr τ A R () 5 Tensiones prinipales () () I Otras tensiones (64)-(66), (7)-(75) Para ada uno de los 5 asos onsiderados ( estados tensionales y 5 riterios de alla) se aluló el C S de tres maneras distintas. En la olumna (4) se onsideraron las órmulas para la tensión eetiva en el aso general de un tensor lleno dadas en el Anexo 5 y on esa tensión eetiva se aluló el C S indiado en la olumna (5). De manera similar pero onsiderando el aso partiular de tensión plana se obtuvieron los resultados reportados en las olumnas (6) y (7). Existe total onordania entre los resultados de las olumnas (5) y (7) exepto en el aso del material. Para ese material las dierenias en promedio son menores al 0 % y se deben a que en el aso de tensor lleno se adopta el riterio de la Figura 4 que no onuerda on lo propuesto en la Figura 5-b para el aso de tensión plana. En la olumna (9) se muestra el C S alulado on: i) las euaiones (6), (7) y (4) dadas en el punto 8 del Capítulo para materiales on igual resistenia en traión y ompresión y ii ) las órmulas dadas en el Anexo 4 del Capítulo para materiales donde t. Notar que hay total onordania entre los resultados mostrados en las olumnas (7) y (9). Eso se debe a que las órmulas utilizadas tienen un origen omún. En un aso se alula diretamente el C S y en otro a partir de la tensión eetiva. Material Criterio de alla Estado tensional II Fórmulas del Anexo 5 del Capítulo Otras órmulas para Caso general Tensión plana el oe. de seguridad * C * S C S Euaión C S () () () (4) (5) (6) (7) (8) (9) 4 Von Mises Tresa Mohr 4 Rankine 5 Mohr modiiado 054,7 054,7 (4),7 87,87 87,87 (4),87 054,7 054,7 (4),7 00,7 00,7 (7),7 000,50 000,50 (7),50 00,7 00,7 (7),7 00,50 00,7 (64),7 840,98 80,05 (65),05 877,85 770,5 (66),5 00,7 00,7 (6), , ,7 (6) 4,7 00,7 00,7 (6),7 00,7 00,7 (7), , ,00 (74) 5, , ,54 (75) 4,54