ESTADÍSTICA TEÓRICA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Transcripción

1 Gestó Aeroáutca: Estadístca Teórca Facultad Cecas Ecoómcas y Empresarales Departameto de Ecoomía Aplcada Profesor: Satago de la Fuete Ferádez ESTADÍSTICA TEÓRICA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

2 Dstrbucoes de Probabldad

3 DISTRIBUCIONES VARIABLE ALEATORIA DISCRETA DISTRIBUCIÓN UNIFORME La varable aleatora dscreta X se dce que tee ua dstrbucó uforme s puede tomar los valores,,, co probabldad P(X = ) = + μ X = σ X = σ X = DISTRIBUCIÓN de BERNOUILLI Epermeto aleatoro que sólo admte dos resultados ecluyetes (éto y fracaso). La varable aleatora dscreta X asocada a este epermeto toma el valor cuado ocurre el suceso éto co probabldad P(A) = p y el valor cuado ocurre el suceso fracaso co probabldad P(A) = q X P(X = ) q p μ = p σ = p.q σ = p.q X X X DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Cuado se realza pruebas de Beroull sucesvas e depedetes. La varable aleatora dscreta X se deoma varable bomal cuado: X = "úmero de veces que ocurre el suceso éto e pruebas" X B(,p) La fucó de probabldad o cuatía: k P(X = k) =. p. q k k μ =. p σ =. p.q σ =. p.q A = X X X s q p. p.q (coefcete asmetría) La moda de ua dstrbucó bomal vee dada por el valor (úmero etero) que verfca (p q Md p + p). Geeralmete será u valor (la parte etera de la meda) y podrá ser dos valores modales cuado (p q) y (p + p) sea u úmero etero. S el epermeto cosste e etraccoes de ua ura, éstas ha de ser co reemplazameto para mateer la probabldad de éto a lo largo de todas las pruebas. Dstrbucoes de Probabldad 3

4 S X B(,p) cuado es grade y p q so prómos a cero, se puede cosderar que X N (.p,.p.q) ( ) k k.p 5 P(X = k) =. p. q N. p ;. p.q k y, por tato, la varable X.p z = N(,).p.q (Teorema de Movre) La dstrbucó de Posso es ua buea apromacó de la dstrbucó bomal cuado el tamaño es grade y la probabldad p es pequeña. E geeral, cuado 3 y p, k k k.p< 5 λ B(, p) = p q P( λ ) = e k k! λ co λ =.p Las dstrbucoes bomales so reproductvas de parámetro p, es decr, dadas dos varables aleatoras depedetes X B(,p) e Y B(m,p) se verfca que X+ Y B(+ m,p). A partr de este resultado es medato que ua varable aleatora X B(,p) puede descompoerse e suma de varables aleatoras depedetes de Beroull de parámetro p. DISTRIBUCIÓN de POISSON Ua varable X se dce que sgue ua dstrbucó de probabldad de Posso s puede tomar todos los valores eteros (,,,, ) co las sguetes probabldades: k λ λ P(X = k) = e sedo λ> k! μ X =λ σ X =λ σ X = λ X = "úmero de ocurrecas de u suceso durate u gra úmero de pruebas" Este u gra úmero de modelos epermetales que se ajusta a ua dstrbucó de Posso: Número de pezas defectuosas e ua muestra grade, dode la proporcó de defectuosas es pequeña. Número de llamadas telefócas recbdas e ua cetralta durate certo tempo. Número de cletes que llega a ua vetalla de pagos de u baco durate certo tempo. Dstrbucoes de Probabldad 4

5 La suma de varables aleatoras de Posso depedetes es otra varable aleatora de Posso cuyo parámetro es la suma de los parámetros orgales. Sí X P( λ) dode =,,, varables aleatoras depedetes de Posso Y = X P λ = = S para cada valor t >, que represeta el tempo, el úmero de sucesos de u feómeo aleatoro sgue ua dstrbucó de Posso de parámetro λ t, los tempos trascurrdos etre dos sucesos sucesvos sgue ua dstrbucó epoecal. Cuado λ la dstrbucó de Posso se aproma a ua dstrbucó ormal N ( λ, λ) DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA o de PASCAL La dstrbucó geométrca o de Pascal cosste e la realzacó sucesva de pruebas de Beroull, dode la varable aleatora dscreta: X = "úmero de la prueba e que aparece por prmera vez el suceso A", dode X G(p) Para hallar la fucó de probabldad o cuatía P(X = k) hay que otar que la k- probabldad del suceso es: A.A.A..A. A E cosecueca, = = k P(X k) q. p q q p p p μ= σ = σ= La dstrbucó geométrca es u modelo adecuado para aquellos procesos e los que se repte pruebas hasta la cosecucó del resultado deseado. S el epermeto cosste e etraccoes de ua ura, éstas ha de ser co remplazameto. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA La dstrbucó bomal egatva B(, p) es u modelo adecuado para tratar procesos e los que se repte veces ua prueba determada o esayo hasta cosegur u úmero determado k de resultados favorables (por vez prmera). Dstrbucoes de Probabldad 5

6 S el úmero de resultados favorables buscados fuera sería el caso de ua dstrbucó geométrca, esto es, la dstrbucó bomal egatva puede cosderarse ua etesó o amplacó de la dstrbucó geométrca. X = "úmero de pruebas ecesaras para lograr k étos " X B(, p) = = k k k P(X ) p.q k.q k.q k.q p p p μ= σ = σ= S el epermeto cosste e etraccoes de ua ura, éstas ha de ser co remplazameto. Advértase que s el úmero de resultados favorables fuera (k = ) la dstrbucó bomal egatva sería ua dstrbucó geométrca: P(X = ) = p.q = p.q DISTRIBUCIÓN POLINOMIAL o MULTINOMIAL Es ua geeralzacó de la dstrbucó bomal cuado e cada prueba se cosdera k sucesos ecluyetes (A, A,, A k) co probabldades respectvas (p, p,, p k), sedo p+ p+ + pk = Supoedo que se realza pruebas depedetes de este tpo y cosderado las varables X = "úmero de veces que ocurre el suceso A e las pruebas"! P(X = ;X = ; ;X = ) = p p p k k k!!! k k DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Es ua varate de la dstrbucó bomal (eperecas depedetes o etraccoes co reemplazameto). La dstrbucó hpergeométrca correspode a etraccoes s reemplazameto. E las demás cuestoes preseta el msmo marco de cosderacoes, es decr, dos stuacoes ecluyetes (éto y fracaso) que se realza e pruebas. Sea N elemetos, co la probabldad de éto p e la prmera etraccó. Los N elemetos se dstrbuye e (N.p) étos y (N.q) fracasos. La varable aleatora X = "úmero de étos k e etraccoes" dode X H,N,N A Dstrbucoes de Probabldad 6

7 N.p N.q k k P(X = k) = N N N μ =.p σ X =.p.q. σ X =.p.q. N N Cuado N es grade respecto a, es decr,, N <, se puede decr que la varable hpergeométrca sgue apromadamete ua dstrbucó bomal. Esto es, N.p N.q = = N k k k, N k k P(X k) < p.q E geeral, de forma aáloga a la dstrbucó polomal, e ua poblacó co N elemetos repartdos e k clases ecluyetes (A, A,, A k) co elemetos respectvos de cada clase (N, N,, N k), N+ N+ + Nk = N, al tomar cosecutvamete elemetos s reemplazameto y deotado por: X = "úmero de elemetos que hay de la clase de tamaño " A e la muestra P(X = ; X = ; ; X = ) = k k N+ N+ + Nk = N sedo k = N N Nk... k N Dstrbucoes de Probabldad 7

8 DISTRIBUCIONES VARIABLE ALEATORIA CONTINUA La ley de probabldad de ua varable aleatora cotua X está defda, be s se cooce su fucó de desdad f(), be s se cooce su fucó de dstrbucó F(), verfcado: F() = P(X ) P(a < X < b) = f() d f() d = La fucó de desdad f() y la fucó de dstrbucó F() se ecuetra relacoadas por la epresó: b a F() = f() d f() = df() d DISTRIBUCIÓN UNIFORME Ua varable aleatora cotua X sgue ua dstrbucó uforme e el tervalo [a, b], y se deota como X U(a,b), cuado su fucó de desdad es: < a f() = a b b a > b Fucó de dstrbucó: < a a F() = a b b a > b a+ b (b a) b a X X X μ = σ = σ = Dstrbucoes de Probabldad 8

9 DISTRIBUCIÓN NORMAL o de LAPLACE GAUSS Ua varable aleatora cotua X se dce que tee ua dstrbucó ormal o de Laplace Gauss de meda μ y desvacó típca σ s su fucó de desdad es: ( μ) = < μ < σ > σ. π σ f(). e Fucó de dstrbucó: = σ. π σ F(). e d ( μ) S ua varable X es N( μ, σ ) y otra X es N( μ, σ ) depedetes etre sí, etoces la ueva varable X = X± X sgue també ua dstrbucó ormal N μ ±μ, σ +σ. Propedad que se puede geeralzar a varables aleatoras ( ) depedetes. S ua varable X sgue ua dstrbucó ormal N( μ, σ ), la ueva varable X μ z = sgue també ua dstrbucó ormal N(,). σ La varable z se le deoma varable tpfcada de X y a la curva de su fucó de desdad curva ormal tpfcada. La fucó de desdad será, z f(z) =. e < z < π Fucó de dstrbucó: F(z) =. e dt π S X es ua varable bomal B(, p) co grade y p q so prómos a cero, podemos cosderar que X sgue apromadamete ua dstrbucó N.p,.p.q y, e cosecueca, la varable X.p z = N(,) (Teorema de Movre). p. q E geeral, la trasformacó es aceptable cuado p,5 y.p> 5 Para utlzar correctamete la trasformacó de ua varable dscreta X (co z t Dstrbucoes de Probabldad 9

10 dstrbucó bomal) e ua varable cotua z (co dstrbucó ormal) es ecesaro realzar ua correccó de cotudad. P(X < a) = P(X a,5) P(X a) = P(X a +,5) P(X = a) = P(a,5 X a +,5) P(a < X < b) = P(a +,5 X b,5) P(a X b) = P(a,5 X b +,5) DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO ( χ ) de PEARSON Sea varables aleatoras ( X,X,,X) depedetes etre sí, co ley N(,) La varable χ = X + X+ + X recbe el ombre de χ (ch cuadrado) de Pearso co grados de lbertad. () e. < < La fucó de desdad es f () =. ( ) χ Γ La fucó gamma se defe p (p) e d Γ = Alguas fórmulas de terés para el cálculo de Γ (p): π Γ = π Γ (p) = (p )! = (p ) Γ(p ) Γ(p). Γ(p ) = sepπ Dstrbucoes de Probabldad

11 Meda, varaza y desvacó típca: μ = σ = σ = χ χ χ S χ y χ so dos χ de Pearso, respectvamete co y grados de lbertad, depedetes etre sí, etoces la suma de las dos χ + =χ +χ es també ua χ de Pearso co + grados de lbertad. Esta propedad se puede geeralzar a varables aleatoras depedetes. Al aumetar el úmero de grados de lbertad, la dstrbucó astótcamete a la dstrbucó ormal. > 3 ( ) χ N, χ se aproma E el muestreo, al tomar muestras de meda y desvacó típca σ de ua ( ).s poblacó N( μ, σ ), la varable χ = es ua χ de Pearso co ( ) σ grados de lbertad, dode s es la cuasvaraza muestral, σ = ( )s Esta propedad es muy utlzada e la estmacó y e el cotraste de hpótess sobre la varaza poblacoal σ. ( α,) ( α,) P χ χ = P χ χ = α DISTRIBUCIÓN t de STUDENT Sea ( ) + varables aleatoras ( X,X,,X,X) depedetes etre sí, co ley N(,), se deoma t de Studet co grados de lbertad a la varable X t = X = ( ) Dvdedo la epresó por σ, se tee: Dstrbucoes de Probabldad

12 La fucó de desdad: t X X σ z = = = X χ ( X ) σ = = + f t () = +., β Alguas fórmulas de terés para el cálculo de β (p, q), p> y q>, so: p q co el cambo p β (p, q) = ( ) d β (p, q) = t (+ t) p+ q dt t = se tee + t π p q β (p, q) = se t cos t dt otra forma de represetar la fucó, ( ) ( ) Γ(p). Γ(q) β (p, q) = β (p, q) = β (q, p) smetría Γ (p + q) Al aumetar el tamaño se va hacedo cada vez más aputada su fucó de desdad, sedo el límte cuado la curva ormal tpfcada E el muestreo, al tomar muestras de meda y desvacó típca μ μ poblacó N( μ, σ ), la varable t = =. s s σ de ua Propedad muy utlzada e la estmacó y e el cotraste de hpótess sobre la meda de la poblacó μ. Ua varable aleatora t de Studet tee de meda μ = y varaza σ = Dstrbucoes de Probabldad

13 DISTRIBUCIÓN F de FISHER SNEDECOR Sea χ y χ dos varables χ de Pearso, respectvamete co y grados de lbertad, depedetes etre sí, se deoma F de Fsher Sedecor co χ y grados de lbertad a la varable: F, = χ Tee por fucó de desdad: + Γ. ( ) (+ )/ f, () = > Γ. Γ + P(F F ) = α, α ;, P(F < F ) = P(F F ) = α, α ;,, α ;, Para valores α=,95 y α=,99 se cosdera la relacó F α ;, = F α ;, E el muestreo es u estadístco utlzado para la razó de varazas de dos poblacoes ormales y e el cotraste de hpótess sobre la gualdad de varazas poblacoales. DISTRIBUCIÓN de PARETO Dstrbucoes de Probabldad 3

14 Ua varable aleatora cotua X se dce que sgue ua dstrbucó de Pareto de parámetros ( αθ, ) s puede tomar valores guales o superores a θ y tee como fucó de desdad: f() α. θ α α+ = <θ θ> α> Fucó de dstrbucó α θ θ F() = < θ Meda, varaza y desvacó típca para α > α. θ α. θ α. θ μ = σ = σ = α ( α ).( α ) ( α ).( α ) Es muy utlzada e ecoomía, ya que la dstrbucó de las retas persoales superores a ua certa reta θ sgue ua dstrbucó de Pareto de parámetros ( αθ, ) El parámetro θ puede terpretarse como u greso mímo de la poblacó, tratádose de u dcador de poscó. S la poblacó fuera el cojuto de salaros ua acó que trabaja ocho horas al día, el parámetro θ sería el salaro mímo acoal. El parámetro α se determa geeralmete a partr de la meda muestral. Normalmete, toma valores prómos a. A mayores valores de α se obtee desdades de Pareto más cocetradas e las promdades del mímo, esto es, meos dspersas. El Coefcete de Varacó CV α. θ ( α ).( α ) = α. θ = α θ α ( α ) ( α ) α. θ α = α.( α ) Reflejado que la dspersó depede sólo del parámetro α, se ecestaría u valor de α> para obteer u coefcete de dspersó meor del %. Dstrbucoes de Probabldad 4

15 θ Atededo a su fucó de dstrbucó: P( ξ> ) = P( ξ ) = F() = que permta determar el úmero de persoas que supera la reta θ Al determar la Curva de Lorez para ua dstrbucó de Pareto, se trata de ecotrar la relacó etre la fucó de dstrbucó F() y la fucó T() que acumula los gresos de todos los dvduos que o supera ua catdad α Curva de Lorez: = [ ] T() F() α Recta equdstrbucó: T() = F() Sea ua poblacó de N dvduos, co ua proporcó de dvduos f()d Igreso total de N dvduos será: α α. θ α α N. μ= N.E(X) = N..f()d = N.. d = N. αθ.. d = α+ θ θ θ α α N.. α N.. α N.. = αθ. θ = αθ.( θ ) = αθ α α α Igreso total de N dvduos co gresos etre (, + d) será: αθ. α N. μ= N.E(Y) = N. t. f(t) dt = N. t. dt = N. αθ.. t dt = α α α+ θ θ t θ α α α N. αθ. α N. αθ. α α N. αθ. θ =. t θ ==.( θ ) = α α α Dstrbucoes de Probabldad 5

16 E la curva de Lorez, co la dstrbucó de Pareto, la ordeada T() será: α N. αθ. θ N.E(Y) θ T() = = = N.E(X) N. αθ. α α α La relacó etre dstrbucó F() y la fucó T() que acumula los gresos de todos los dvduos que o supera ua catdad α α θ θ θ F() = = F() = F() [ ] / α θ T() = = F() = F() = F() La relacó T() [ F() ] / α α α α ( ) [ ] α [ ] α = sólo depede del parámetro α, verfcado F( θ ) = y F( ) =, T( θ ) = y T( ) = De otra parte, la fucó T() es crecete y cócava: α T'() = F( > para F, α / α [ ] [ ] crecete T''() =.. F( > para F, α α ( α)/ α [ ] [ ] cócava El Ídce de G es el doble del área compredda etre la curva de Lorez y la recta de equdstrbucó T = F, co lo que: I F [ F] α df F [ F] α G = = + df= F ( F) α α = F == + = + = α α α α+ + α = = ( α ) α El Ídce de G I = G α sólo depede del parámetro α, es depedete del greso mímo θ. Tede a cuado α Dstrbucoes de Probabldad 6

17 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL Ua varable X se dce que tee ua dstrbucó logormal s los logartmos eperaos de sus valores está ormalmete dstrbudos, es decr, s la varable η= log X es N( μ, σ) e La fucó de desdad: La meda y varaza so: > f() = π.. σ (log e μ) σ e σ ( ) μ = e σ = e e μ+ μ+σ μ +σ La dstrbucó logormal tee, etre otras, las sguetes aplcacoes: Permte fjar tempos de reparacó de compoetes, sedo el tempo la varable depedete de la dstrbucó. Descrbe la dspersó de las tasas de fallo de compoetes, ocasoada por bacos de datos dferetes, etoro, orge dferete de los datos, dsttas codcoes de operacó, etc. E este caso la varable depedete de la dstrbucó es la tasa de fallos. Represeta la evolucó co el tempo de la tasa de fallos, l(t), e la prmera fase de vda de u compoete, la correspodete a los fallos fatles e la 'curva de la bañera', etededo como tasa de fallos la probabldad de que u compoete que ha fucoado hasta el state t, falle etre t y t + dt. E este caso la varable depedete de la dstrbucó es el tempo. DISTRIBUCIÓN LOGÍSTICA La curva logístca es ua curva adecuada para descrbr el crecmeto de las poblacoes, estudo de la mortaldad, y e geeral, los procesos de crecmeto que epermeta estados de saturacó. Ua varable aleatora logístca X de parámetros α y β, abrevadamete L( α, β ), tee como fucó de desdad y dstrbucó, respectvamete: α β e f() = F() = < < α α β β β + e + e Co el cambo Y = X α β se obtee la dstrbucó logístca estádar L(, ), Dstrbucoes de Probabldad 7

18 que tee: μ = M = M = α σ = Y e d Y ( πβ) 3 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL (Lambda) Se dce que ua varable aleatora absolutamete cotua X sgue ua dstrbucó Epoecal de parámetro λ, s la v.a. X descrbe el tempo trascurrdo etre dos sucesos cosecutvos de Posso o el tempo de espera hasta que ocurre u suceso de Posso. Ua v.a. co dstrbucó Epoecal se deota como X Ep( λ), dode λ es el úmero de sucesos de Posso por udad de tempo. Fucó de desdad: λ λe f() = < Fucó de dstrbucó λ e F() = P(X ) = < La esperaza matemátca, varaza, desvacó típca y tasa statáea de ocurreca: μ X = E(X) = σ X = σ X = λ λ λ Tasa statáea ocurreca: f() λ () = F() Fucó característca: ρ (t) = E e = t t λ tx La dstrbucó epoecal Ep( λ ) es u caso partcular de la dstrbucó gamma, descrbe el tempo hasta la prmera ocurreca de u eveto, tee ua aplcacó mportate e stuacoes dode se aplca el proceso de Posso. Tee u lugar mportate tato e teoría de colas como e problemas de cofabldad. El tempo etre las llegadas e las stalacoes de servcos y el tempo de fallos e los compoetes eléctrcos y electrócos frecuetemete está relacoados co la dstrbucó epoecal. Co aplcacó mportate e bometría (estudo de las leyes probablístcas que gobera la mortaldad humaa) y cuestoes actuarales. Ua característca de la dstrbucó epoecal es su FALTA DE MEMORIA: La probabldad de que u dvduo de edad t sobrevva años más, hasta la edad Dstrbucoes de Probabldad 8

19 (t + ), es la msma que tee u recé acdo de sobrevvr hasta la edad. Geeralmete, el tempo trascurrdo desde cualquer state t hasta que ocurre el eveto, o depede de lo que haya ocurrdo ates del state t. La perdda de memora se refleja medate la epresó: [ + ] [ ] λ ( + h) PX h e λh P X + h X = = = e = P X h λ PX e [ ] DISTRIBUCIÓN GAMMA Se dce que ua varable aleatora absolutamete cotua X sgue ua dstrbucó Gamma de parámetros α y λ, s la v.a. X descrbe el tempo trascurrdo hasta el α -ésmosuceso de Posso. Ua varable aleatora Gamma de parámetros α y λ, se deota por γ( α, λ ) co α> y λ>, dode el parámetro λ es el úmero medo de sucesos de Posso por udad de tempo. Fucó de desdad: α λ α λ e f() = Γ( α) X γ( α, λ) < La fucó Γα ( ) se deoma fucó gamma de Euler y se defe como la tegral mpropa para todo α>, dada por α ( ) e d Γα = sedo Γα ( ) = ( α )! α N La esperaza matemátca, varaza y desvacó típca de la varable aleatora X γ( α, λ) es: α α α μ X = E(X) = σ X = σ X = λ λ λ La varable aleatora gamma γ( α, λ ) descrbe el tempo hasta que ocurre el suceso α e u proceso de Posso de tesdad λ Esto es, la suma de α varables aleatoras depedetes de dstrbucó epoecal co parámetro λ La dstrbucó epoecal es u caso partcular de la dstrbucó gamma co parámetro α= : Dstrbucoes de Probabldad 9

20 X γαλ (, ) X Ep( λ) α λ α λ α= λ f() = e f() = λe Γα ( ) X Ep( λ ) = γ(, λ) S X,X,,X so varables aleatoras depedetes dstrbudas segú N(,). La ueva varable aleatora Y = X,X,,X sgue ua dstrbucó γ,. E cosecueca, la dstrbucó Ch cuadrado es ua dstrbucó Gamma cuado α= y λ=, tal que X χ = γ, Cuado el parámetro α es etero, la dstrbucó γ( α, λ ) se cooce como dstrbucó de Erlag. La dstrbucó gamma se suele utlzar e tervalos de tempo etre dos fallos de u motor. Itervalos de tempo etre dos llegadas de automóvles a ua gasolera. Tempos de vda de sstemas electrócos. Aálss de la dstrbucó de la reta. DISTRIBUCIÓN BETA Se dce ua varable aleatora absolutamete cotua X sgue ua dstrbucó Beta de parámetros α y β, co α > y β >, y se deota como X β( α, β ), s la fucó de desdad de la v.a. X vee defda por Γα+β ( ) f() =.. ( ) Γα ( ). Γβ ( ) α β (,) Esperaza matemátca de la v.a. X βαβ: (, ) E[ X] α = α +β Varaza v.a. X β( α, β ): Var(X) α. β ( ).( ) σ = = α +β α+β+ Como casos partculares de la dstrbucó Beta se tee: Sí α= y β= f() = sí < < X U[,] Sea X βαβ (, ) X ββα (, ) La fucó βαβ (, ) se deoma fucó Beta de Euler y se defe como la tegral mpropa para todo α> y β>, dada por α β sedo βαβ (, ) =.( ) d Γ( α). Γ( β) βαβ (, ) = Γ ( α+β ) Dstrbucoes de Probabldad

21 Alguas característcas de terés para el cálculo de β( αβ, ) so: Smetría: βαβ (, ) =ββα (, ) Sedo Sedo α β = se t se tee: βαβ (, ) = (set).(cost) dt π α t t = se tee: βαβ (, ) = dt + α+β t (+ t) DISTRIBUCIÓN de CAUCHY Se dce que ua varable aleatora absolutamete cotua X sgue ua dstrbucó de Cauchy co parámetro de escala μ > y parámetro de localzacó θ, y se deota como X C( μ, θ ), s su fucó de μ desdad vee dada tal que f() = π μ + ( θ) La esperaza y la varaza de la v.a. X co dstrbucó de Cauchy o este. La fucó característca de la v.a. X C( μθ, ) de parámetros μ y θ vee dada por μ t (t) E tx θ e t ρ = = e e t Como casos partculares de la dstrbucó de Cauchy, se tee: Sí μ= y θ= X C(,) co f() = π (+ ) X θ X C( μ, θ) C(,) μ Dstrbucoes de Probabldad

22 Sea A y B dos sucesos compatbles co P(A B) >. P(B) Demostrar que P(B/ A B) = P(A) + P(B) A y B compatbles A B = P(A B) = P(A) + P(B) [ ] PB (A B) P(B) P(B / A B) = = P(A B) P(A) + P(B) Sea A y B dos sucesos tales que P(A) =,6. Calcular P(A B) e cada caso: a) A y B mutuamete ecluyetes b) A está cotedo e B c) B está cotedo e A y P(B) =,3 d) P(A B) =, a) A y B mutuamete ecluyetes A B =φ P(A B) = P(A B) = P(A) P(A B) = P(A) =,6 b) A B P(A B) = P(A) P(A B) = P(A) P(A B) = P(A) P(A) = c) B A P(A B) = P(B) P(A B) = P(A) P(A B) = P(A) P(B) =,6,3 =,3 d) P(A B) = P(A) P(A B) =,6, =,5 Se sabe que P(B / A) =,9, P(A / B) =, y P(A) =, a) Calcular P(A B) y P(B) b) So depedetes los sucesos A y B? c) Calcular P(A B) P(B A) P(B / A) = =,9 P(B A) =,9 P(A) =,9, =,9 P(A) a) X X P(A B),9 P(B), P(A / B) = =, P(A B) =, X P(B) =,9 P(B) = =,45 Dstrbucoes de Probabldad

23 P(B) = P(B) =,45 =,55 b) Los sucesos o so depedetes, dado que: P(A B) =,9 P(A) XP(B) =, X,45 o be, o so depedetes porque P(A / B) =, P(A) =, c) P(B) = P(B) =,45 =,55 =,+,54 =,64 P(A B) = = P(A) + P(B) P(A B) =, +,55, =,64 S la probabldad de que ocurra u suceso A es /5 a) Cuál es el mímo úmero de veces que hay que repetr el epermeto para que la probabldad de que ocurra al meos ua vez sea mayor que /?. b) Cuál es la probabldad de que ocurra al meos dos veces A al realzar 5 veces el epermeto? a) X = "úmero de étos e pruebas", X B(,,), p=,, q=,8 P(X ) > P(X < ) P(X = ) P(X ).,.,8,8 4,84 =,496 = = = = Para que el suceso A tega al meos ua probabldad mayo que / hay que realzar el proceso u mímo de 4 veces. b) Se trata de ua dstrbucó bomal B(5;,) P(X ) = [ P(X = ) + P(X = ) ] =.,.,8 +.,.,8 = = (,377 +,496) =,67 Dstrbucoes de Probabldad 3

24 U estudate busca formacó del sector aeroáutco e tres mauales, las probabldades de que esa formacó se ecuetre e el prmero, segudo o tercer maual, respectvamete, so guales a,6,,7 y,8. Cuál es la probabldad de que la formacó fgure sólo e dos mauales?. Sea A, B y C los tres sucesos e cuestó tales que P(A) =,6, P(B) =,7 y P(C) =,8. Cada uo de los sucesos A, B y C es depedete co los otros dos, además los sucesos (A B C), (A B C) y (A B C) so compatbles. [ ] = P(A [ B C) ] P(A [ B C) ] P(A [ B C) ] P (A B C) (A B C) (A B C) = + + = = P(A) P(B) P(C) + P(A) P(B) P(C) + P(A) P(B) P(C) = =,6.,7.,+,6.,3.,8 +,4.,7.,8 =,45 Se laza tres moedas al are. Sea la varable aleatora X = "úmero de caras que se obtee". Se pde: a) Dstrbucó de probabldad de X b) Fucó de dstrbucó de X y su represetacó gráfca. c) Meda, varaza y desvacó típca de X d) Probabldad de que salga a lo sumo dos caras e) Probabldad de que salga al meos dos caras a) Espaco muestral: Ω= {(c,c,c),(c,c,e),(c,e,c),(e,c,c),(c,e,e),(e,c,e),(e,e,c),(e,e,e)} sedo X = "úmero de caras que se obtee", se tee: X(c,c,c) = 3 P(X = 3) = 8 X(c,c,e) = X(c,e,c) = X(e,c,c) = P(X = ) = 3 8 X(c,e,e) = X(e,c,e) = X(e,e,c) = P(X = ) = 3 8 X(e,e,e) = P (X = ) = 8 La dstrbucó de probabldad es, e cosecueca, Dstrbucoes de Probabldad 4

25 X P(X ).P(X ) = = =.P(X= ) b) La fucó de dstrbucó F() = P(X ) = P(X = ) < F() = P(X ) = P( φ ) = < F() = P(X ) = P(X = ) = 8 < F() = P(X ) = P(X = ) + P(X = ) = 4 8 < 3 F() = P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) = F() = P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3) = Gráfcamete: < 8 < F() = 48 < 78 < 3 3 c) Meda Varaza 4 μ = E(X) =.P(X = ) = =,5 8 = = σ = E(X μ ) = E(X ) ( μ ) =.P(X = ) ( μ ) = (,5) =,75 Desvacó típca σ =,75 =, d) P(X ) = P(X= ) + P(X= ) + P(X= ) = + + = També P(X ) = F() = e) P(X ) = P(X = ) + P(X = 3) = + = = També P(X ) = P(X < ) = F() = = 8 Dstrbucoes de Probabldad 5

26 La varable dscreta X tee como dstrbucó de probabldad X 3 4 P(X = ),3,5,,35 Se realza u cambo de orge haca la zquerda de dos udades y u cambo de escala de 3 udades. Se pde: a) Meda y varaza de la X b) Meda, varaza y coefcete de varacó de la varable trasformada por el cambo de orge c) Meda, varaza y coefcete de varacó de la varable trasformada por el cambo de escala d) Meda, varaza y coefcete de varacó de la varable trasformada por el cambo de orge y escala a) Meda: X= P(X = ) = p.p.p =,3,3,3 =,5,5 4, 3 = 3,,3 9,9 4 = 4,35,4 6 5,6,5 7,8 4 4 α =μ = E(X) =. P(X = ) =. p =,5 X = = 4 4 E(X ). P(X ). p 7,8 = = α = = = = = Varaza: σ =α α = 7,8,5 =,55 Desvacó típca: σ X =,55 =,45 Coefcete de varacó: σ,45 = = = X CVX,498 μx,5 b) Sea Y la varable trasformada, al realzar u cambo de orge haca la zquerda de dos udades hay que restar, quedado: Y X rge X ( ) X = = = +. μ = E(Y) = E X+ = E(X+ ) = E(X) + μ = E(Y) =,5+ = 4,5 Meda: [ ] Y Y Dstrbucoes de Probabldad 6

27 σ = Var X + = Var(X) + Var() = σ + =σ σ =,55 Varaza: [ ] Y X X Y Desvacó típca: σ Y =,55 =,45 σy σx,45 Coefcete de varacó: CVY = = = =,8 CV μ μ + 4,5 Y E cosecueca, el cambo de orge afecta a la meda y, e cosecueca, al coefcete de varacó. c) Al realzar u cambo de escala de 3 udades, la varable trasformada es X,5 Meda: μ Y = E(Y) = E. E(X) Y. X 3 = μ = μ = X Y = X 3 Varaza: X,55 σ Y = Var.Var(X). X Y.,55 3 = = σ σ = = Desvacó típca: σ,55 Y = =.,55 =. σx σ. σx Y X Coefcete de varacó: 3 σ CVY = = = = CVX =,498 μ Y. μ μx X 3 El cambo de escala afecta a la meda y a la desvacó típca de la msma forma, e cosecueca deja varate al coefcete de varacó. Resultados que se observa e la tabla, dode Y = X 3 = P(Y y j) p j Y y j = = y.p j j y j y.p y = 3,3, 9,3 9 y = 3,5, y3 =,,, y = 4 3,35, ,6 9 4 Meda:,5 3 7, ,5 α =μ = E(Y) = y.p(y = y ) = y. p = =. μ 3 3 Y j j j j X j= j= 4 4 7,8 j j j j 9 9 j= j= α = E(Y ) = y.p(y= y) = y.p = =.E(Y ) j j Dstrbucoes de Probabldad 7

28 Varaza: Y. X 7,8,5,55 σ =α α = = σ = Desvacó típca: σ,55 Y = =.,55 =. σx σ. σx Y X Coefcete de varacó: 3 σ CVY = = = = CVX =,498 μ Y. μ μx X 3 d) Al realzar smultáeamete u cambo de orge de udades a la zquerda y X+ u cambo de escala de 3 udades, la varable trasformada es Y = 3 Meda: X+ 4,5 μ Y = E(Y) = E =. E(X + ) =. E(X) + =.,5 + = =, Varaza: X+ σ = Var(Y) = Var =.Var(X + ) =.Var(X) =. σ Y X Desvacó típca: σ,55 Y = =.,55 =. σx σ. σx Y X Coefcete de varacó: 3 σ,45 CVY = = = = =,8 CV μ Y. μ X 4,5 X + μ El cambo de orge y de escala afecta a la meda y desvacó típca de dstta forma, e cosecueca també queda afectado el coefcete de varacó. Dstrbucoes de Probabldad 8

29 Ua empresa de trasportes está aalzado el úmero de veces que falla la máqua epededora de blletes. Dcha varable tee como fucó de cuatía: = = = P(X ),7,3,,, a) Cuál es la probabldad de que u día la máqua o falle? b) Cuál es la probabldad de que u día falle meos de 4 veces? c) Cuál es la probabldad de que falle 5 veces? a) P(X = ) =,7,3 =,7 b) P(X < 4) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3) = 3 =,7,3 +,7,3 +,7,3 +,7,3 = 3 ( ) =,7,3 +,3 +,3 +,3 =,999 a a.r Cosderado la suma de ua progresó geométrca S = r 3 ( ),3.,3 P(X ) =,7,3 +,3 +,3 +,3 + +,3 =,7. =,3,3 =,7. =,3,7 4 P(X < 4) =,3 =,999 c) 5 P(X = 5) =,7,3 =,7 Dstrbucoes de Probabldad 9

30 E ua regó se cobra a los vstates de los parques aturales, estmado que la varable aleatora úmero de persoas que vsta el parque e coche sgue la sguete dstrbucó: P(X = ),5,,35,, a) Hallar el úmero medo de vstates por vehículos b) Hallar cuáto debe pagar cada vstate para que la gaaca por coche sea euros. c) S cada persoa paga p euros, cuál es la gaaca esperada e u día e que etra ml vehículos? a) X = "Número de persoas que vsta el parque e coche" 5 = = = = = E(X) P(X ),5, 3,35 4, 5, =,9 vstate/vehículo b) Sea la varable aleatora Y = "Gaaca por coche" E(Y) = E(pX) = pe(x) = p,9 = p = =,689,9 c) Sea la varable aleatora U = "Gaaca de u día" Preco Número de Número persoas vsta vehículos por vehículo te U = p c X Gaaca esperada día: E(U) = E(pc X) = pc E(X) = p,9 = = 9 p Sí p =,689 la gaaca esperada e u día será: 9,689 = 998, euros. Dstrbucoes de Probabldad 3

31 Ua empresa de mesajería sabe que e codcoes ormales u paquete es etregado e plazo el 9% de las veces, auque s hay sobrecarga de trabajo (que ocurre u 5% de las veces) el porcetaje de retrasos se eleva al 3%. a) Cuál es la probabldad de que u paquete llegue e plazo a su desto. b) Sabedo que se ha recbdo ua queja por retraso e el evío, el mesajero afectado aduce que ese día hubo sobrecarga de trabajo, auque realmete o recuerda be que sucedó. Qué probabldad hay de qué efectvamete esté e lo certo?. Sea los sucesos: E = "Etrega a tempo del paquete" S = "Hay sobrecarga de trabajo" a) P(E) = P(S) X P(E / S) + P(S) X P(E/ S) =,5 X,7 +,95 X,9 =,89 b),5 X,3 P(S E) P(S/ E) = = =,36 P(E),89 Se desea coocer el úmero de automóvles que se debe poer a la veta durate u perodo determado para que se satsfaga ua demada meda de 3 udades co ua desvacó típca de udades, co ua probabldad o feror al 75%. Sea la varable aleatora X = "úmero de automóvles a la veta", co μ= 3 y σ= Por la desgualdad de Chebychev: σ σ P X μ k P μ k X μ + k k k,75 P 3 k X 3 + k k Dstrbucoes de Probabldad 3

32 ,75 = k = = 3 + k = 3 + = 5 automóvles k,5 E u ce de verao hay staladas 8 sllas, sabedo que el úmero de asstetes es ua varable aleatora de meda 6 y desvacó típca. Qué probabldad este de que el úmero de persoas que vaya al ce u día cualquera sea superor al úmero de sllas staladas? Sea la varable aleatora X = "úmero de sllas del ce", dode μ= 6, σ= Por la desgualdad de Chebychev: σ PX [ > 8] < P X μ > k k μ + k = 8 k = 8 6 = [ ] PX> 8 = =,5 4 La demada meda de u producto es de udades co ua desvacó típca de 4 udades. Calcular la catdad del producto que se debe teer a la veta para satsfacer la demada de forma que pueda ser ateddos al meos el 8% de los cletes. Sea la varable aleatora X = "demada de u producto", co μ = y σ= 4 Por la desgualdad de Chebychev: σ σ P X μ k P μ k X μ + k k k,8 4 P k X + k k k, 4 4,8 = k = = 89,44. Se debe poer a la veta 9 udades. Dstrbucoes de Probabldad 3

33 La fucó de desdad de ua varable aleatora es: a + b < < f() = sabedo que P,666 e el resto < < =. Determar a y b. Hay que calcular dos parámetros (a y b), por lo que se ecesta dos ecuacoes: Por ser fucó de desdad: 3 8a 3 3 = f() d = (a + b) d = a + b = + b 8a + 6b = 3 3, P = f() d = (a + b) d = a + b =,666 3 co lo que: / / / 3 a a b 7a b a + b = b,666 7a b = + = / e cosecueca, a = =, 8a+ 6b= 3 6a+ b= 6 9 7a + b = 4 7a + b = 4 6 6b = 3 = b = =, Dstrbucoes de Probabldad 33

34 La varable X ="úmero de cetímetros a que u dardo queda del cetro de la daa" al ser trado por ua persoa tee como fucó de desdad: Se pde: k < < f() = eotroscasos a) Hallar k para que f() sea fucó de desdad. Represetarla b) Hallar la fucó de dstrbucó. Represetarla c) Meda, varaza y desvacó típca d) P(X ) e) Probabldad de acertar e la daa a) Para que f() sea fucó de desdad debe verfcar: = f()d = f()d+ f()d+ f()d = f()d La prmera y tercera tegral so cero al ser f() = e esos tervalos. = kd= k d [ ] k k = = = E cosecueca, < < f() = eotroscasos b) La fucó de dstrbucó se defe < > E cosecueca, F() = f(t)dt = F() = f(t)dt F() = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt = dt = F() = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt + f(t)dt = dt = Dstrbucoes de Probabldad 34

35 < F() = > c) Meda α =μ X = E(X) = f()d =.. d = d = = 5cm Varaza: σ X =α α 3 α = E(X ) = f()d =.. d = d = 3 = = = σ X =α α = 5 = cm Desvacó típca: σ X = =,9 cm 3 d) P(X ) = F() = = = = = O també, P(X ) d d [ ] e) Probabldad de acertar e la daa: P(X = ) = por ser ua varable cotua P( X ) = f()d = d = d = Dstrbucoes de Probabldad 35

36 Se ha verfcado que la varable X ="peso e klos de los ños al acer" es ua varable aleatora cotua co fucó de desdad Se pde: k 4 f() = eotroscasos a) Hallar k para que f() sea fucó de desdad. Represetarla b) Hallar la fucó de dstrbucó. Represetarla c) Meda, varaza y desvacó típca d) Probabldad de que u ño elegdo al azar pese más de 3 klos e) Probabldad de que pese etre y 3,5 klos f) Qué debe pesar u ño para teer u peso gual o feror al 9% de los ños a) Para que f() sea fucó de desdad debe verfcar: 4 f()d 4 = f()d= f()d+ + f()d = 4 f()d = f()d = kd = k d = k = k = 6k k = 6 4 f() = 6 eotroscasos b) La fucó de dstrbucó se defe < 4 > 4 F() = f(t)dt = F() = f(t)dt t t 4 4 F() = f(t)dt = f(t)dt = dt = 6 6 = = t t 6 4 F() = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt = dt = = = 6 4 Dstrbucoes de Probabldad 36

37 < 4 F() = < 4 4 c) Meda α =μ X = E(X) = f()d =.. d = d = = = 3, klos 6 = = Varaza: σ X =α α α = E(X ) = f()d =.. d = d = klos = = σ X =α α = 3, =,39 klos Desvacó típca: σ X =,39 =,6 klos d) P(X > 3) = P(X 3) = F(3) = = = =,58 O també, e) P(X > 3) = f() d = d = 8, = = = 6 3,5 4 P( X 3,5) = F(3,5) F() = =,6875 3,5 3,5,5 4 8,5 P( X 3,5) = f() d = d =, = = = 6 f) Sea k el peso del ño, se tee: k 4 F(k) = P(X k) =,9 =,9 k 4 =,8 k = 4,8 k= 4,8 = 3,85, es decr, el ño debe pesar 3,85 klos para teer para teer al 9% de los ños co u peso gual o feror. 3, Dstrbucoes de Probabldad 37

38 Sea X ua varable aleatora cotua co fucó de desdad tal que 8 8 f() = 7 otrocaso a) Calcular el prmer y tercer cuartl, el decl 7 y el percetl 85 b) Calcular la medaa y moda a) Fucó de dstrbucó: 8 8 8( ) F() = P[ X ] = f(t)dt = dt = = 8 7t 7 t 7 susttuyedo, queda: 8(Q ) 3 F(Q ) = = 7Q = 3(Q ) Q = =,8 Q = P =, 5 4 7Q 5 3 8(Q ) 3 F(Q ) = = Q = 3(Q ) Q = =,9 Q = D = P =, Q3 7 8(D ) 8 F(D ) = = 49D = 8(D ) D = =,58 7D (P ) 8 F(P ) = = 595P = 8(P ) P = = 3,9 7P b) Me = Q = D5 = P5 8(M ) 6 F(M ) = = 7M = 6(M ) M = =,78 7M 9 e e e e e e La Moda M d se obtee calculado el mámo de la fucó de desdad: 8 6 f() = f'() 3 7 = 7 < La fucó es decrecete De forma que f() f() f(8), co lo que Md = Dstrbucoes de Probabldad 38

39 Dada la fucó f() = e a) Comprobar s puede ser fucó de desdad de ua varable aleatora X cuado su campo de varacó es el tervalo b) E caso de que o lo pueda ser, qué modfcacoes habría que troducr para que lo fuera. a) Para que sea fucó de desdad, debe cumplr dos codcoes e el campo de varacó de la varable aleatora: f() o puede ser egatva La tegral de f()e el campo de varacó es = > < es postva f() e L e L. e d= e = + = No se cumple, luego la fucó dada o es de desdad e el tervalo. b) Para que sea fucó de desdad, se defe f() = k e Ua varable aleatora cotua X tee por fucó de desdad Se pde: < f() = otroscasos a) Represeta la fucó de desdad b) Hallar la fucó de dstrbucó y su gráfca c) P( X ) P( X ) P X < Dstrbucoes de Probabldad 39

40 a) Se observa que el área ecerrada es gual a la udad b) La fucó de dstrbucó se defe F() = f(t)dt < < < F() = f(t)dt = dt = t F() = f(t)dt + f(t)dt = ( t)dt = t = F() = f(t)dt + f(t)dt + f(t)dt = ( t)dt + (t )dt = t t = t + t = + = + t t F() = ( t)dt + (t )dt = t + t = F() < < = + > c) P( X ) = F() F() = + = 4 P( X ) = F() F( ) = + = 4 5 P X< = F( ) F = = 8 Dstrbucoes de Probabldad 4

41 Ua varable aleatora cotua X tee por fucó de dstrbucó: Se pde: F() < = < > a) Hallar la fucó de dstrbucó y represetarla b) Meda, varaza, desvacó típca y coefcete de varacó c) 3 P < X a) La fucó de desdad es la dervada de la fucó de dstrbucó e los putos dode esta la dervada, etoces: < df() f() = = d < > f() = < otrosvalores b) Meda α =μ = E(X) = f()d =.. d +.( ). d = d + ( ).d = X = + = + 4 = Dstrbucoes de Probabldad 4

42 Varaza: σ =α α 3 3 α = E(X ) = f()d =.. d +.( ). d = d + ( ).d = o = + = + = = σ =α α = = 6 6 Desvacó típca: σ = =,4 6 Coefcete varacó: σ,4 CV = = =,4 μ c) (3 ) ( ) P < X = F F =. = 9 3 = 3 = =, Ua varable aleatora cotua X tee por fucó de dstrbucó: < F() = < a) Calcular la fucó de desdad o fucó de cuatía b) Calcular la meda, medaa y coefcete de varacó a) La fucó de desdad o fucó de cuatía es la dervada de la fucó de dstrbucó e los putos dode esta la dervada, etoces: < df() < f() = = < f() = d eotrocaso b) Meda: 3 α =μ = E(X) = f()d = d = = = =,5 Dstrbucoes de Probabldad 4

43 La Medaa de ua dstrbucó es el valor que deja el 5% de la dstrbucó a la derecha y el otro 5% a la zquerda, por lo que: F(M ) =,5 M =,5 M =,5 M e e e M [ ] e e Me f(),5 d,5,5 M,5 M,5 = = = = = Coefcete de varacó: α = E(X ) = f()d = d = = = σ =α α = = = σ = =, σ,8 = = = CV,5 μ,5 e e Ua varable aleatora cotua X tee por fucó de desdad Se pde: k( ) < < f() = otroscasos a) P(a< < b) s < a< b< b) P(a< < b) s a< < < b a) La fucó de desdad o fucó de cuatía debe verfcar: 3 = k( )d= k ( )d= k ( )d= k ( ) < < k4 k f() 4 3= = = 4 otroscasos b S < a< b< P(a< < b) = ( )d= = a b a 3 3 3(b a ) (b a ) Dstrbucoes de Probabldad 43

44 b) b 3 S a< < < b P(a< < b) = d + ( ) d + d = 4 a La fucó de dstrbucó asocada a la produccó de ua máqua, e mles de udades, es del tpo: < F() = ( ) k > k a) Determar k para que sea fucó de dstrbucó b) Hallar la fucó de desdad c) Calcular la meda, medaa, moda y varaza de la produccó d) Hallar P(X <,5) y P(X >,5) e) Fucó de desdad y de dstrbucó de la varable aleatora cotua Y= 6X 3 a) Para que sea fucó de dstrbucó se debe verfcar: = lm F() = lm F() lm ( ) = k(k ) = k k + = k = + k k k E cosecueca, la fucó de dstrbucó es: < F() = ( ) > b) La fucó de desdad o fucó de cuatía es la dervada de la fucó de dstrbucó e los putos dode esta la dervada. < df() f() = = f() = d eotrocaso > c) Meda: X E(X) f()d ( )d ( )d 3 = = = α =μ = = = = = Para calcular la Moda hay que ver el valor que hace míma la fucó de desdad o de cuatía, es decr: Dstrbucoes de Probabldad 44

45 f() = f'() = eotrocaso eotrocaso La dervada de la fucó de cuatía es f'() = <, por lo que se trata de ua fucó decrecete y toma el valor mámo e el etremo superor del tervalo,, por tato la moda Md = La Medaa de ua dstrbucó es el valor que deja el 5% de la dstrbucó a la derecha y el otro 5% a la zquerda, por lo que: ( ) F(M ) =,5 M M =,5 M M +,5 = M 4M + = e e e e e e e 4± 6 8 4± Me 4Me + = Me = = = ± 4 4 De las dos solucoes se rechaza aquella que es mayor que, por lo que la Medaa es Me = Varaza de la produccó: σ X =α α 3 4 α = E(X ) = f()d = ( )d = 3 = = 3 6 σ X =α α = = < d) Fucó de dstrbucó F() = ( ) > P(X <,5) = P(X,5) = F(,5) =,5(,5) =,75 P(X >,5) = P(X,5) = F(,5) =,5(,5) =,565 Medate la fucó de cuatía f() = eotrocaso,5,5 P(X,5 <,5) = f()d = ( )d = =,5 =,75 P(X >,5) = f()d = ( )d = = (,5,65) =,565,5,5,5 Dstrbucoes de Probabldad 45

46 e) Fucó de desdad de Y= 6X 3 Cambo de varable e la fucó de desdad: d g(y) = f(). dy y+ 3 d d y+ 3 = = = 6 dy dy 6 6 = y= 3 Domo de defcó de la varable Y= 6X 3 = y= 3 resultado: y+ 3 3 y d. 3 y 3 3 y 3 g(y) = f(). = 6 6 g(y) = 8 dy eotrocaso eotrocaso Fucó de dstrbucó: y< 3 y< 3 y + + y 6y 7 F(y) = (3 t)dt 3 y < 3 F(y) = 3 y < y 3 y 3 Sea las varables aleatoras depedetes X e Y, dode X se dstrbuye como ua bomal B(5,,4) e Y como ua bomal B(85,,4) a) Cómo se dstrbuye la varable aleatora X+ Y? b) Se puede apromar la varable aleatora X+ Y a ua dstrbucó ormal?, Co qué parámetros? c) Cuado la suma de dos dstrbucoes bomales depedetes o se puede apromar a ua dstrbucó ormal?. Poer u ejemplo. a) Las dstrbucoes bomales depedetes so reproductvas cuado tee el msmo parámetro p. E cosecueca, X B(5,,4) e Y B(85,,4) se tee que X + Y B(,,4) b) X + Y B(,,4) dode p=,4<,5 y p =,4 = 4 > 5, por el teorema de Movre o el Teorema Cetral del Lmte (TCL) la dstrbucó bomal de X+ Y se puede apromar a ua dstrbucó ormal N(4, 4,89) sedo μ= p = 4 y σ=,4,6 = 4,89 c) Cuado el tamaño fuera pequeño ( pequeña). Ejemplo: X + Y B(8,,4) Dstrbucoes de Probabldad 46

47 Dada ua varable aleatora X co dstrbucó epoecal de parámetro λ, calcular geeratrz de los mometos (f.g.m.), fucó característca, esperaza y varaza. Sea X Ep( λ), su fucó de desdad λ λ e > f() = otro caso t t t λ ( λ t) M(t) E e e.f().d e. e.d e d λ ( λ t) λ ( λ t ) λ ( t)e d e t λ t λ t λ t = = = λ =λ = = λ = = <λ t t t λ ( λ t) (t) E e e. f(). d e..e. d e d λ ( λ t) λ ( λ t ) λ ( t)e d e t λ t λ t λ t ϕ = = = λ =λ = = λ = = <λ La fucó geeratrz M(t) cocde co la fucó característca ϕ (t) para t= t. Co la fucó geeradora de los mometos M(t) o fucó característca puede calcular los mometos respecto al orge medate la epresó: ϑ E(X ) = M(t) = ϕ(t) ϑt ϑt t= t= ϑ ϕ (t) se Mometos respecto al orge co la fucó geeratrz: ϑm(t) ϑ λ λ α = E(X) = M () = = = = ϑ ϑ λ λ λ () t t t = t t = ( t) t = () ϑ M(t) ϑ ϑ λ ϑ λ E(X ) M () ϑt ϑt t t t ( t) t= ϑ λ ϑ λ t= α = = = = = λλ ( t) = = ( t) λ 4 t= Var(X) =α α = = λ λ λ Mometos respecto al orge co la fucó característca: t= Dstrbucoes de Probabldad 47

48 ϑϕ(t) ϑ λ () α = E(X) = ϕ () = = = ϑt ϑt λ t t= t= λ λ = = = ( λ t) ( λ t) λ t= t= ϑϕ ϑ ϑ λ α = = ϕ = = = () (t) E(X ) () ϑt ϑt ϑt λ t t= t= ϑ λ λ λ = = = ϑt ( λ t) ( λ t) λ ( t) 3 t= t= Ecotrar la fucó geeradora de los mometos de ua varable aleatora dscsreta que sgue ua bomal B(, p) La fucó de probabldad = = + = k k k p(x k) p q dode pq M(t) = E(e ) = e p q (e p) q (e p q) k = k = + k = k = t tk k k t k k t ϑm(t) ϑ α = = = = + = + = () t t t E(X) M () (e p q) (e p q) e p p ϑt t t t t = = = ϑ ϑ M(t) ϑ dϑ ϑ α = = = = + = + = () t t t E(X) M () (ep q) ((ep q) ep) ϑt ϑt t t t t t = = ϑ = ϑ = ( )(ep+ q) (ep) + (ep+ q) ep = ( )p + p t t t t t= Var(X) =α α = ( )p + p (p) = p + p= p( p) = pq La fucó geeradora de mometos de ua varable aleatora X se defe como: = = t M(t) E(e ) t e p() X es dscreta t e. f().d X es cotua Dstrbucoes de Probabldad 48

49 Hallar la fucó característca y la fucó geeradora de mometos de ua varable aleatora cotua X co dstrbucó uforme e a, b Fucó de desdad a b f() = b a otrocaso b b t t t t a b a b aa t b tb ta ϕ (t) = E e = e. f(). d = e.. d = e d = e e e = = s t b a t t(b a) a b b t t t t a b a b aa t b tb ta M(t) = E e = e. f(). d = e.. d = e d = e e e = = s t b a t t(b a) a Sea X ua varable aleatora cotua co fucó de desdad e > f() = otrocaso a) Fucó geeratrz de los mometos (f.g.m.) b) Esperaza y varaza a partr de la f.g.m. c) Fucó característca a) t t t (t ) M(t) E e e.f().d e.e.d e d = = = = = = = < t t (t ) e s t b) A partr de la fucó geertrz, dervado y hacedo t=, se puede obteer los dsttos mometos respecto al orge: ϑm(t) ϑ α = E(X) = M () = = = = () ϑt t= ϑt t t= ( t) t= Dstrbucoes de Probabldad 49

50 () ϑ M(t) ϑ dϑ ϑ 3 ϑt ϑt t t t ( t) ( t) t= ϑ ϑ t= t= t= α = E(X ) = M () = = = = = Var(X) =α α = = c) La fucó característca se puede calcular utlzado la relacó etre fucó característca y los mometos: 3 k h (t) (t) (t) (t) ϕ (t) = + (t) α + α + α + + α + = α s t <! 3! k! h! 3 k h h= Sea X ua varable aleatora cotua, cuya fucó de desdad es Sea 3 < < f() X = eotrocaso Y= X ua trasformacó de la v.a. X a) Calcular la fucó de desdad de la v.a. Y b) Calcular la fucó de dstrbucó de la v.a. Y a) La trasformacó asocada a la v.a. Y es dervable y estrctamete moótoa cuado X toma valores e el tervalo (, ). E cosecueca, se puede aplcar la trasformacó, quedado la fucó de desdad: d Y= X = y g (y) = y = dy y La fucó de desdad de la varable cotua Y se obtee: ( ) dy y d 3 f(y) Y = f X g (y). = 3 y = y Fucó de desdad de la v.a. Y: 3 y < y < f(y) Y = eotrocaso b) Fucó de dstrbucó: Dstrbucoes de Probabldad 5

51 y F (y) = f(t)dt= Y Y < y < F (y) = f(y)dy Y y y F (y) = f(y)dy y y3 + f(t)dt t dt ( t) = ( y) = = y + f(t)dt + f(t)dt y = f(t)dt = t dt = Fucó de dstrbucó de la v.a. Y será: y = < < y 3 F(y) Y ( y) y Sea X ua varable aleatora cotua, cuya fucó de desdad es < < f() X = eotrocaso Sea Y = X ua trasformacó de la v.a. X a) Calcular la fucó de desdad de la v.a. Y b) Calcular la fucó de dstrbucó de la v.a. Y La trasformacó Y= X es dervable, pero o es estrctamete moótoa, puesto que e el tervalo (, ] la trasformacó es decrecete y e el tervalo [, ) es crecete. E este caso, hay que determar la fucó de dstrbucó de la varable aleatora Y para el caso geeral de las trasformacoes de ua varable aleatora, ya que o se puede aplcar el método descrto e el ejercco ateror. Hay que comezar ecotrado la fucó de dstrbucó. b) Cálculo de la fucó de dstrbucó y F(y) Y P[ Y y] P X y P X y P y X y f()d y = = = = = = y = y d [ ] y y = = y y< La fucó de dstrbucó de la v.a. Y es: F(y) Y = y y< y³ Dstrbucoes de Probabldad 5

52 df Y(y) y< a) Fucó de desdad f(y) y Y = = dy eotrocaso Utlzado la aplcacó del teorema cetral del límte a la dstrbucó de la suma de varables aleatoras de Posso de meda λ = demostrar que lm e k = k! k = Sea X,X,,X varables de Posso de parámetro λ =. Sea η = = Por ser reproductva respecto a λ la dstrbucó de Posso, η es ua varable de Posso de parámetro λ= ; y se tee E( η ) = σ = η X Co lo cual, η = k= P( ) e k k! Por el teorema cetral del límte (TCL), teorema de Lévy Ldeberg, cuado, η es ormal N(, ), y así resulta: η η = = = P( ) P P(z ) Sea las varables X e Y depedetes. La varable X se dstrbuye como ua Posso co varaza gual a 5. La varable Z= X+ Y se dstrbuye també como ua Posso co esperaza gual a 5. Cuáto vale la esperaza de la varable Y? Aalce bajo qué codcoes se puede afrmar que la dstrbucó de Posso es adtva o reproductva y determe co qué parámetros. La suma de varables aleatoras de Posso depedetes es otra varable aleatora de Posso co parámetros la suma de los parámetros. X P( λ= 5) σ X =λ= 5 Z P( λ= 5) E(Z) =λ= 5 Y P( λ = ) E(Y) = Dstrbucoes de Probabldad 5

53 Las varables aleatoras e estudo so depedetes. Aalza s las afrmacoes so verdaderas o falsas: a) X sgue ua dstrbucó bomal B(,,3) e Y ua dstrbucó bomal B(,,) etoces (X + Y) sgue ua bomal B(,,5). Bajo qué codcoes se dce que la dstrbucó bomal es adtva o reproductva? b) X sgue ua dstrbucó de Posso P( λ = ) e Y ua dstrbucó de Posso P( λ= 3) etoces (X + Y) P( λ= 5) c) S X N(, ) y F X es su fucó de dstrbucó etoces F( X ) = F() X a) Las dstrbucoes bomales so reproductvas de parámetro p, es decr, dadas dos varables aleatoras X B(,p) e Y B(m,p) sedo depedetes se verfca que (X + Y) B( + m, p). E cosecueca, ua varable aleatora X B(,p) se puede descompoer e suma de varables aleatoras depedetes de Beroull de parámetro p. Para poder aplcar la propedad reproductva, ha de ser depedetes y co la msma probabldad. b) Es certo, la dstrbucó de Posso es reproductva. c) Por la smetría de la dstrbucó ormal se verfca U ascesor lmta el peso de sus cuatro ocupates a 3 klogramos. S el peso de ua persoa sgue ua dstrbucó ormal N7,7 ( ), calcular la probabldad de que el peso 4 persoas supere los 3 klogramos. Método I: S el peso de ua persoa sgue ua dstrbucó ormal N7,7 ( ), la 7 4 muestra de 4 persoas sgue ua dstrbucó ormal N 7, N( 7,3,5) X + X + X + X > = > = > = P (X X X3 X 4) 3 P P = P > 75 = P > = P z >,43 =,65 3,5 3,5 Iterpolado:,7,5,5,,5 = =,4,5,43,5,,7,.,7 =,5 + =,65, Dstrbucoes de Probabldad 53

54 Método II: Sí 4. μ σ. N 7; 7 N4. 7 ; 7. 4 = N 84 ; 4 = = = [ ] P 3 = P = P z,43 =,65 La probabldad de que u baco recba u cheque s fodos es. a) S e ua hora recbe cheques, cuál es la probabldad de que tega algú cheque s fodos? b) El baco dspoe de sucursales e la cudad, cuál es la probabldad de que al meos cuatro sucursales recba algú cheque s fodos? c) La meda del valor de los cheques s fodos es de 6 euros. Sabedo que el baco trabaja 6 horas daras, qué catdad o se espera pagar? d) S se computase los 5 prmeros cheques, cuál es la probabldad de recbr etre 3 y 6 (clusve) cheques s fodos? a) X = "Número de cheques s fodos" co X B(,,) PX [ ] = PX [ < ] = PX [ = ] =.,.,99 =,98=,8 b) Y = "Número de sucursales que recbe al meos cheque s fodos" Y B(,,8) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] P Y 4 = P Y< 4 = P X= + P X= + P X= + P X= 3 =.,8.,88.,8.,88.,8.,88 = ,8 3.,88 9,897,396,93,74,6 + = [ ] = 3 c) hora 6horas = = cheques cheques cheques Los cheques s fodos esperados: μ = E(X) =. p =., =, cheques E cosecueca, se espera o pagar,. 6 = 7 euros Dstrbucoes de Probabldad 54

55 d) U = "Número de cheques s fodos computados" dode U B(5,,), que al ser.p= 5.,= 5 se aproma a ua dstrbucó de Posso de parámetro P[ λ= 5] P3 [ U 6] = PU [ = 3] + PU [ = 4] + PU [ = 5] + PU [ = 6] = = = [ ] = 3! 4! 5! 6! 5 5.e,833 6,4 6,4,7.e,6375 El departameto comercal de ua dustra almetca cooce que de cada cosumdores recooce su producto e ua prueba a cegas. Cuátas pruebas cegas de sabor debería hacerse para que la proporcó de que los que cooce la marca oscle etre el 6% y el 4% co ua probabldad míma de,8? Recooce el producto el % p=, P(,6 pˆ,4),8 pq,,8,4 pˆ N p, pˆ N,, = N,, ( ),6,,4, P < z < = P, < z <, =,8,4 /,4 / ( ) ( ) ( ) P, < z<, = P z>, =,8 P z, =,, =,8 = 65 Para ua probabldad como mímo de,8 haría falta 65 pruebas. Dstrbucoes de Probabldad 55

56 Las putuacoes e la Escala de Itelgeca para Adultos de Wechsler (WAIS) sgue e ua poblacó ua dstrbucó ormal de meda y desvacó típca 6. Al etraer ua muestra aleatora smple de 5 dvduos, calcular: a) Probabldad de que la meda de esos 5 dvduos sea feror a 95 b) Probabldad de que la meda esté compredda etre 98 y. Segú el teorema de Fsher σ 6 N μ, N, N(, 3,) 5 95 a) P( 95) = P = P(z,56) = P(z,56) =,594 3, 3, 98 b) P(98 ) = P = P(,6 z,6) = 3, 3, 3, = P(z,65) P(z,6) = P(z,6) P(z,6) = P(z,6) P(z,6) = = P(z,6) =, 4648 Las putuacoes obtedas e la escala de Locus de Cotrol de James por los sujetos depresvos, sgue ua dstrbucó ormal de meda 9 y desvacó típca. S se etrae muestras aleatoras smples de 3 sujetos depresvos. Por debajo de que catdad se ecotrará el 9% de las veces el valor de la varaza de la muestra?. E vrtud del teorema de Fsher: E el muestreo, s se toma muestras aleatoras de meda y desvacó típca σ de ua poblacó N( μ, σ ), la varable ( )s χ = σ, dode s es la cuasvaraza muestral, Las putuacoes obtedas sgue ua dstrbucó N(9,) ( )s σ 3 σ χ = = χ 9= σ σ 44 De las tablas de la Ch cuadrado: 9 9 σ = ( )s P( χ k) =,9 P( χ k) =, k = 39,87 co lo cual, 3σ 39,87 44 P 39,87 =,9 P σ = P( σ 87,6) =, El valor peddo será 87,6 Dstrbucoes de Probabldad 56

57 Calcular la meda y la varaza de ua varable aleatora t 5 de Studet Ua varable aleatora t de Studet tee de meda μ = y varaza La meda y la varaza de ua t 5 de Studet, respectvamete, so μ= y σ = 5 σ = 3 E ua poblacó de mujeres, las putuacoes de u test de asedad resgo sgue ua dstrbucó ormal N(5,). Al clasfcar la poblacó e cuatro grupos de gual tamaño, cuales será las putuacoes que delmte estos grupos?. Sedo la varable aleatora X = "Putuacoes e u test de asedad resgo" Las putuacoes que delmta estos cuatro grupos será el prmer Q, segudo Q y tercer cuartl Q 3 de la dstrbucó. X 5 Q 5 Q 5 = = = P(X Q ),5 P P z,5 P( z,67) =,5 ( ) P z,67 =,5 Q 5 =,67 Q = 5,67 = 8,3 E la dstrbucó ormal la meda y la medaa so guales: μ = Me = Q = 5 X 5 Q 5 Q 5 = = = Q3 5 P z =,5 Q3 5 =,67 Q3 = 5+,67 = 3,7 3 3 P(X Q 3),75 P P z,75 Por cosguete, el prmer grupo sería las mujeres co putuacoes ferores o guales a 8,3. El segudo grupos so aquellas mujeres co putuacoes etre 8,3 y 5. El tercer grupo so las mujeres co putuacoes etre 5 y 3,7. El cuarto grupo so mujeres que tega putuacoes superores a 3,7. Dstrbucoes de Probabldad 57

58 El úmero de mlloes de metros cúbcos que tee u embalse sgue ua dstrbucó ormal N(98,5). El cosumo daro de las poblacoes que srve es ua ormal N(85, 3). S se sabe que durate ua tormeta la catdad de agua que se embolsa es ua ormal N(5, 5). U día ha caído dos tormetas, calcular la probabldad de que al fal del día el agua embalsada sea meor o gual que 98 metros cúbcos. Agua del embalse: X N( μ, σ) N(98,5) Cosumo daro: X N( μ, σ) N(85,3) Agua ua tormeta: X3 N( μ3, σ3) N(5,5) Agua dos tormetas: [ ] = = = E(X 3) E X3 5 Var(X 3) = 4Var[ X3] = 4 5 X3 N λμ, λ σ N(X,X5) = = Agua embalse u día co dos tormetas: Y= X X + X sedo Y N λ μ, λ σ = = ( ) Y N , N(995, 76,8) Y P(Y 98) = P = P(z,9) = P(z,9) = P(z,9) =, ,8 76,8 Dstrbucoes de Probabldad 58

59 Ua maca de frutas ha observado que el peso medo de los meloes e gramos sgue ua dstrbucó ormal N(7, ). Hallar: a) Probabldad de que los meloes pese meos de 5 gramos y más de gramos. b) Sabedo que so rechazados para la eplotacó aquellos meloes que dfere más de 3 gramos del promedo. Determar la proporcó de meloes rechazados. a) Sea la varable aleatora X ="Peso de los meloes e gramos", X N(7,) P [(X < 5) (X > ) ] = P(X < 5) + P(X > ) = X X 7 7 = P < + P > = P(z< ) + P(z> 3) = = P(z > ) + P(z > 3) =,8 +,35 =,45 b) 4 7 X 7 7 P(4 X ) = P = P( 3 z 3) = = P(z 3) =,35 =,9973 meloes aceptados Meloes rechazados: P(z 3) =,35 =,7 El error cometdo e epedr tques por ua maqua e el aeropuerto sgue ua ormal N(, σ ). a) Cuál es la probabldad de que el error cometdo e valor absoluto de ua medda cualquera sea al meos σ? b) Cuáto valdría la probabldad s se toma como medda la meda artmétca de meddas depedetes? a) Sea la varable aleatora X = "Epedr tques por la maqua", X N(, σ) X σ P[ X σ ] = P = P[ z ] = P [(z ) (z ) ] = P(z ) + P(z ) = σ σ = P(z ) + P(z ) = P(z ) =,587 =,374 b) Sea la varable aleatora Y= X + X + + X y= X = Dstrbucoes de Probabldad 59

60 E(y) = E X= E X = μ=μ= = = σ = = = = σ σ = y Var(y) Var X Var X = = y N, σ y σ P y σ = P = P z = σ/ σ/ = P (z ) (z ) = P(z ) + P(z ) = = P(z ) + P(z ) = P(z 3,6) =,6 Las varables aleatoras e estudo so depedetes. Sea: X N(,), X N(5,) y X3 N(,) dode Y= 5X+ 4X 3X3 y X X 5 X3. U = + + Calcular: a) P [ Y 3] b) PU [ ] a) Y = 5X + 4 X 3X sedo Y N λ μ, λ σ = = Y N , ( 3) Y N 5, 5 5 Y P[ Y 3] = P = P(, z, 4) = = P(, 4 z,) = P(z, 4) P(z,) =,793,7 =,63 X X 5 X N(,) N(,) N(,) b) 3 X X 5 X3 U = + + = [ N(, ) ] + [ N(, ) ] + [ N(, ) ] =χ3 P[ U ] = P χ3 = P χ3 =,5 =,95 Dstrbucoes de Probabldad 6

61 U dspostvo está formado por muchos elemetos que trabajaba depedetemete, sedo la probabldad de fallo durate la prmera hora de trabajo muy pequeña e guales e todos los elemetos. S la probabldad de que e ese tempo falle por lo meos u elemeto es,98. a) Hallar la meda y desvacó típca del úmero de elemetos que falle e la prmera hora. b) Calcular la probabldad de que falle a lo sumo dos elemetos e ese tempo. a) Habedo muchos elemetos depedetes, el tamaño () es muy grade, co ua probabldad de fallo muy pequeña, codcoes para que el dspostvo sga ua dstrbucó de Posso. Sea la varable aleatora X = "Fallo e la prmera hora de u elemeto", X P( λ) k λ λ dode P(X = k) = e k! λ λ λ P(X ) =,98 P(X < ) = P(X = ) = e =, e =,! λ= l, λ= 3,9 μ=λ= 3,9 σ= λ= 3,9 =,98 b) 3,9 3,9 3,9 3,9 3,9 3,9 P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) = e + e + e =!!! 3,9 = + + = = 3,9 3,9 3,9 e,55 e,53 Ecotrar la moda de ua varable aleatora X B(4,,) La moda de ua dstrbucó bomal vee dada por el valor (úmero etero) que verfca (p q Md p + p). Geeralmete será u valor (la parte etera de la meda) y podrá ser dos valores modales cuado (p q) y (p + p) sea u úmero etero. E este caso, p q= 4.,,8 = p+ p = 4.,+, = 3 p q Md p + p Md 3 La dstrbucó es bmodal y las modas so y 3 Dstrbucoes de Probabldad 6

62 Ua compañía de seguros garatza pólzas de seguros dvduales cotra retrasos aéreos de más de doce horas. Ua ecuesta ha permtdo estmar a lo largo de u año que cada persoa tee ua probabldad de ua de cada de ml de ser víctma de u retraso aéreo que esté cuberto por este tpo de pólza y que la compañía aseguradora podrá veder ua meda de cuatro ml pólzas al año. Se pde hallar las sguetes probabldades: a) Que el úmero de retrasos cubertos por la pólza o pase de cuatro por año b) Número de retrasos esperados por año c) Que el úmero de retrasos sea superor a dos por año d) Que ocurra doce retrasos por año Sea X = "Número de retrasos por año", la varable sgue ua dstrbucó bomal = 4, p = =,, b(4,,) co lo que, 4 = = = k k 4 k P(X k).,.,999 k,,,4 Es ecesaro buscar ua dstrbucó que sea ua buea apromacó de ésta. La dstrbucó de Posso es ua buea apromacó de la bomal b(4,,), ya que p =, es muy pequeña y.p = 4., = 4 < 5. k 4 4 Por tato, X b(4,,) X P( λ=.p = 4) P(X = 4) =.e k! a) P(X 4) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3) + P(X = 4) = = = [ ] =!!! 3! 4! 4 4.e 4 8,667,667.e,689 b) El úmero de retrasos esperado por año es la meda μ =λ= 4 c) P(X > ) = P(X ) = [ P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) ] = = + + = [ + + ] = =!!! 4 4.e 4 8.e,38,769 d) 4 = = = =! 4 4 P(X ).e,35.e,64 Dstrbucoes de Probabldad 6

63 El 7% de los pataloes de ua determada marca sale co algú defecto. Se empaqueta e caja de 8 pataloes para dferetes tedas. Cuál es la probabldad de que e ua caja haya etre 8 y pataloes defectuosos? Sea X = "Número de pataloes defectuosos e ua caja" Se trata de ua dstrbucó bomal (los pataloes so o o so defectuosos), es decr, ua bomal co = 8, p=,7: B(8,,7), dode: μ=.p = 8.,7 = 5,6 σ=.p.q = 8.,7.,93 =,8 Advértase que se da las codcoes para apromar la dstrbucó dscreta bomal a ua dstrbucó cotua ormal: p=,7,5 y.p= 8.,7= 5,6> 5 co lo que, B(, p) N.p,.p.q μ= σ= B(8,,7) N 5,6,,8 Para utlzar correctamete la trasformacó de ua varable aleatora dscreta X (dstrbucó bomal) e ua varable aleatora cotua z (co dstrbucó ormal) es ecesaro hacer ua correccó de cotudad: [ ] Trasformacó Tpfcado N(5,6 ;,8) P8 X = P7,5 X,5 = 7,5 5,6 X 5,6,5 5,6 = P = P[,83 z,5] =,8,8,8 = P[ z >,83] P[ z >,5] =,33,58 =,875 Dstrbucoes de Probabldad 63

64 U servco dedcado a la reparacó de electrodoméstcos recbe por térmo medo 5 llamadas daras. Determar la probabldad de que recba u día más de llamadas. Sea X = " Número de llamadas recbdas al día" k 5 X P λ= 5 P X= k =.e k! La varable aleatora: [ ] [ ] [ ] λ= 5 > P λ= 5 N 5, 5 X 5 (,5) 5 P[ X > ] = P > = P[ z>,6] =, E ua fábrca se sabe que la probabldad de que r artículos sea defectuosos k 4 4.e es PX [ = k] =. Determar la probabldad de que e días el úmero de k! artículos defectuosos esté compreddo etre (4, 6) Es ua dstrbucó de Posso: [ ] k λ λ PX= k =.e λ= 4, σ= 4= k! E días: X,X,,X P. ( λ,. λ ) = P.4, (.4) = P4, ( ) ( ). λ= 4 > P. λ N 4, 4 N 4, 4 4 X P[ 4 X 6] = P = P[ z ] = = Pz [ ] Pz [ ] =,5 Dstrbucoes de Probabldad 64

65 Se ha realzado ua muestra aleatora smple (m.a.s.) de tamaño de ua poblacó cosderada ormal, llegado a que la varaza muestral es 4. Calcular la probabldad P μ,5 μ,5 P μ,5 = P = P t9,65 = P[,65 t9,65] = /3 /3 [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ ] = P t,65 P t,65 = P t,65 P t,65 = = P t,65 =,95 9 Se realza ua ecuesta para coocer la proporcó de españoles a los que o le gusta el fútbol, tomado ua muestra aleatora smple (m.a.s.) de tamaño. Por aálss aterores se cooce que dcha proporcó es del 45%. Calcular la probabldad de que la proporcó muestral sea superor al 5%. Tamaño muestral = p=,45 q=,55,45,55 = ( ) ˆp N,45, N,45,,5 ˆp,45,5,45 [ ˆ P p >,5] = P > = P(z >, 4) =,88,5,5 Dstrbucoes de Probabldad 65

66 El departameto comercal de ua dustra almetca sabe que de cada cosumdores recooce su producto e ua prueba a cegas. Cuátas pruebas a cegas de sabor debería hacerse para que la proporcó de que los que cooce la marca oscle etre el 6% y el 4% co ua probabldad míma de,8? Recooce el producto el % p=, pq,,8,4 pˆ N p, pˆ N,, = N,,,6, pˆ,,4, P(,6 pˆ,4) = P =,4 /,4 /,4 / = P, z, = P z, P z, = ( ) ( ) = P z >, =,8 P z, =,, =,8 = 65 Para ua probabldad como mímo de,8 haría falta 65 pruebas. Para aalzar el peso promedo de ños y ñas, sguedo ambos pesos ua dstrbucó ormal, se utlza ua muestra aleatora de ños y 5 ñas. El promedo de los pesos de los ños es 45 kg. co ua desvacó típca de 6,4 kg., metras que el promedo del peso de las ñas es 38 kg. y ua desvacó típca de 5,6 kg. Cuál es la probabldad de que e la muestra el peso promedo de los ños sea al meos kg. mayor que el de las ñas?. Sea las varables aleatoras X = "Peso de los ños" e Y= "Peso de las ñas", X N, Y N μ, σ, depedetes etre sí. ( μ σ ) e ( y y) E las muestras respectvas: σ 6,4 N μ, N 45, e σ 5,6 μ m 5. y y N y, N 38, σ σy σ σ y ξ= y N μ μ y, + N μ μ y, + m m Dstrbucoes de Probabldad 66

67 La varable 6,4 5,6 ξ= y N 45 38, + = N(7,,8) 5 ξ 7 7 P( ξ ) = P = P(z,648) =,5,8,8 U fabrcate vede u artículo a u preco fjo de euros. S el peso del artículo es feror a 8 gramops o lo puede veder y represeta ua pérdda total. La dstrbucó de los pesos es ua ormal N( μ,) y el coste de produccó de cada artículo es C = 3 5μ. Determar el peso medo μ que haga mámo el beefco esperado. La probabldad de que el peso de u artículo sea feror a 8 gramos, efectuado la tpfcacó co N(,) μ es: ( μ) z N(,) f() = e f(z) = e σ π π σ 8 μ z P( μ ) = P( < 8) = P( μ< 8 μ ) = P(z < 8 μ ) = e dz π B= P( μ+ ) P( μ) (3 5 μ) Beefco esperado (B) para cada artículo: [ ] Para hacer el beefco mámo se guala a cero la dervada prmera: db (8 μ) 5 π = + = = μ = dμ π (8 μ) e 5 l (8 ) 4,54 8 μ=± 4,54 μ= 5,96 μ=,4 Para comprobar la raíz correspodete al mámo se hace la dervada seguda, y el peso medo que hace mámo el beefco esperado es,4 μ = Dstrbucoes de Probabldad 67

68 Sea las varables aleatoras depedetes: X N(8,),X N(5,5) X 8 X 5 X3 yx3 N(,3) dode Y= X X + X3 y U = Calcular 'a' y las probabldades: b) P a Y 9 =,4695 a) P5,4 [ Y 9,5] PX X X < 6 d) PU [ 9,83] c) [ ] 3 a) Y= X X + X sedo Y N λ μ, λ σ = = Y N 8 5, 5 3 Y N 7, 65 5, 4 7 Y 7 9,5 7 P[ 5, 4 Y 9,5] = P = P(,4 z,5) = b) [ ] P a 9, 4695 = = P(z,4) P(z,5) =,49,643 =,849 a 7 Y a 7 Pa [ Y 9] = P = P z,5 = a 7 a 7 = P z P[ z,5] =, 4695 P z =, , 43 =, a 7 a 7 a 7 P z,878 P z P z,9 65 = = = = = = = 65 a 7,3 a 7,3 65 7,89 a 7,89 PX X X 6 Sea W X X X dode W N, < = 3 λμ λ σ = = c) [ ] + + W N 5 8, 5 3 W N 5, 38 [ ] [ ] W PX X X3 < 6= PW< 6= P < = P(z<,78) = P(z,78) = =,375=,965 Dstrbucoes de Probabldad 68

69 X 8 X 5 X N(,) N(,) N(,) 5 3 d) 3 X 8 X 5 X3 U = + + U = [ N(, ) ] + [ N(, ) ] + [ N(, ) ] =χ3 5 3 [ ] P U 9,83 = P χ 9,83 = P χ 9,83 =, =, Se llama dstrbucó uforme e u tervalo aquélla caracterzada por teer gual probabldad todos los posbles valores de la varable e el tervalo de defcó. Sea el tervalo a, b, se pde: a) Cuál es la fucó de desdad y la fucó de dstrbucó de esta varable? b) Cuál es la probabldad de que al tomar u valor de la varable al azar, dcho valor esté compreddo etre m y, sedo a m b? a) S e todos los putos del tervalo a, b la fucó de probabldad ha de ser détca, la fucó de desdad ha de ser costate, esto es: b b a a f() d = k d = k(b a) = k= b a Así, pues, la fucó de desdad será: < a f() = a b b a > b La fucó de dstrbucó < a < a d a F() = f()d = a b = a b a b a b a > b > b m b) P(m X ) = d = b a b a m La probabldad resulta proporcoal a la logtud del subtervalo. Dstrbucoes de Probabldad 69

70 El cosumo famlar de certo artículo se dstrbuye uformemete co esperaza y varaza udad. Determar la probabldad de que el cosumo de dcho artículo se ecuetre compreddo etre 8 y udades. Sea X = "Número de udades cosumdas del artículo", dode X U(,) e el tervalo a,b a+ b (b a) Se tee: μ= E(X) = = σ = = a+ b= b 3,73 [ ] = + = b ( b) = (b ) = (b a) = a= 3 = 8,7 La dstrbucó es uforme etre 8,7 y,73, e cosecueca la probabldad de que el cosumo del artículo se ecuetre compreddo etre 8 y es la udad. La reta meda mesual de los habtates de u país se dstrbuye uformemete etre.7 y 3.5 euros. Calcular la probabldad de que al seleccoar al azar a persoas la suma de sus retas mesuales supere los 6. euros. Meda y varaza de ua dstrbucó uforme e el tervalo [.7, 3.5 ]: (3.5.7) μ= =.6 euros σ = = 7. euros Sea v.a. X= "Reta mesual de u habtate", dode X U(6,7) La suma de las varables Y= X se dstrbuye como ua ormal, sedo: = μ σ = = =.6 = 6. euros euros Y σ Y = 7.. = 596,5 euros Y Y = X N(6., 596,5) Y P(Y > 3) = P > = P(z >,9) =, ,5 5.96,5 Es decr, la probabldad de que la suma de las retas de persoas seleccoadas al azar supere los 6. euros es ta sólo del,74%. = Dstrbucoes de Probabldad 7

71 U corredor de bolsa adquere 5 accoes dferetes, cocertado co sus cletes ua gaaca de euros por accó. Por eperecas aterores, se sabe que los beefcos de cada accó so depedetes y se dstrbuye uformemete e el tervalo,. Qué probabldad tee el corredor de o perder dero?. Deotado por X = "Gaaca por accó" y G ="Gaaca total del corredor de bolsa" G = 5.(X ) = 5.X 6 X U(, ) f() = = F() = [ ] [ ] P G = P 5.X 6 = P 5.X 6 = P X = 8 = f()d = d = [ ] = =,8 o també, P[ X ] = P[ X ] = F() = = =,8 La demada de u producto oscla daramete etre y 4 udades. Supoedo la depedeca de la demada de cada día, determar la probabldad de que el úmero de udades demadadas supere 637 udades e 8 días. Sea v.a. X = "Demada del producto cada día", dode + 4 (4 ) 4 μ= = 3 y varaza σ = = = 3 X U(,4), co meda Cosderado la depedeca de la demada cada día, por el Teorema Cetral del Límte 8 X= X se ajusta a ua dstrbucó ormal de meda = μ= 8. μ = 8.3 = 546 y desvacó típca ,89, 3 = σ= σ = = Dstrbucoes de Probabldad 7

72 8 = X = X N 546, 77,89 X P[ X > 637] = P > = P[ z >,68] = 77,89 77,89 La demada dara de u determado artículo () es ua varable aleatora co la fucó de desdad adjuta. Los beefcos daros depede de la demada segú la fucó B < s < 5 s 4 < f() = 4 < B = 64 s 4 < 8 otro caso 5 s 8< Calcular: a) Probabldad de que e u día cualquera la demada sea superor a b) Probabldad de que la demada sea feror a 3 c) La esperaza y la varaza de la demada d) Fucó de dstrbucó de la demada e) Fucó de cuatía y fucó de dstrbucó de la varable aleatora beefcos daros. f) Esperaza y varaza de la varable beefcos a) ( ) P X > = f() d = d =, = = PX< 3 = f()d= d= = =, b) ( ) [ ] c) d. d d ( ) d μ = E(X) =.f() d =.f() d +.f() d = = + = + = = + 6 = = = 4, Dstrbucoes de Probabldad 7

73 d ( )d E(X) =.f()d=.f()d+.f()d=. d+. d= = + = + = = + ( ) = = = 6, σ = V(X) = E(X ) ( μ ) = = = 7, d) La fucó de dstrbucó de la demada: F() f(t) dt = sí < f() d = d = sí < 4 f() d = d+ d = 8 8 F() = 4 sí 4 < f() d = d + d = sí f() d = d + d + d + d = E deftva, s < s < 4 8 F() = s 4 < 64 s e) Fucó de cuatía y la fucó de dstrbucó de la varable aleatora beefcos daros: < s < 5 s 4 < f() = 4 < B = 64 s 4 < 8 otro caso 5 s 8< Dstrbucoes de Probabldad 73

74 B P(B = B ) f() d = d = =, f() d = d = =, f() d = d = =, f() d = d = =, La fucó de dstrbucó F(B) = P(B B) = P(B = B) B B B P(B = B ) F(B ) = P(B B ) B.P(B = B) (B ). P(B = B ) 5,5,5,5 6,5 5,5,5,5 6,5,375,875 3,75 37,5 5,5,875 8,5 5,65 78,5 4 B = 4 = f) μ = E(B ) = B.P(B = B ) = 5,65 E (B ) = (B ).P(B = B ) = 78,5 ( ) V(B ) E(B ) ( ) 78,5 5,65 46,48 B B σ = = μ = = 8 Desvacó típca de los beefcos σ = 46,48 = 6,87 B Dstrbucoes de Probabldad 74

75 Ua empresa produce u artículo que sgue ua dstrbucó uforme etre 5 y 3 udades. Sabedo que vede cada udad a euros y la fucó de costes vee dada por C =. + X, cuál será el beefco esperado? X U(5., 3.) Fucó de desdad = f() = otrosvalores Los beefcos B= Vetas Costes = = + = = = = =. euros E(B) E(V C) E X (. X) E(8 X.) 8 E(X). sedo, μ= E(X) = = 7.5 Ua varable aleatora X se dstrbuye uformemete e el tervalo (, 4). Se pde: a) P(X <,5) b) P(X > 3,) c) P(, < X < 3,5) d) Esperaza y varaza Fucó desdad: = 4 f() = 4 otrosvalores Fucó dstrbucó: < F() = P(X ) = 4 4 > 4 a),5 P(X <,5) = F(,5) = =,5,5,5,5,5 P(X <,5) = f()d = d = = =,5 o també, [ ] b) 3, 4 3, P(X > 3,) = P(X 3,) = F(3,) = = =, , P(X > 3,) = f()d = d = = =,4 3, o també, [ ] 3, 3, c) 3,5, 3,5, P(, < X < 3,5) = F(3,5) F(,) = = =,65 Dstrbucoes de Probabldad 75

76 3,5 3,5 3,5 3,5,,,, P(, < X < 3,5) = f()d = d = = =,65 o també, [ ] d) + E(X) = = 3 σ = = = 3 4 (4 ) 4 El tempo de revsó del motor de u avó sgue apromadamete ua dstrbucó epoecal, co meda mutos. a) Hallar la probabldad de que el tempo de la revsó sea meor de mutos b) El costo de la revsó es de euros por cada meda hora o fraccó. Cuál es la probabldad de que ua revsó cueste 4 euros? c) Para efectuar ua programacó sobre las revsoes del motor, cuáto tempo se debe asgar a cada revsó para que la probabldad de que cualquer tempo de revsó mayor que el tempo asgado sea solo de,? a) Sea X = "Tempo de revsó del motor de u avó e mutos" μ = E(X) = = mutos λ= X Ep λ Fucó de desdad: e f() = < 5 [ ] Fucó dstrbucó: P X < = F() = e = e =,365 o be, e F() = P(X ) = < 5 P[ X < ] = f()d = e d = e = e + = e =,365 b) Como el costo de la revsó del motor es de euros por cada meda hora o fraccó, para que la revsó cueste 4 euros la duracó de la revsó debe de P3< X 6 ser feror o gual a 6 mutos. Es decr, se tedrá que calcular [ ] 6 3 [ ] P 3 < X 6 = F(6) F(3) = e e = = e e = e e =,9 o be, P [ 3< X 6] = f()d= e d= e = e + e = = e e =,9 Dstrbucoes de Probabldad 76

77 c) Sea t = "Tempo que se debe asgar a la revsó", verfcado PX [ > t] =, t PX [ > t] = f()d= e d= e = + e =, t t t = = = = mutos t e, t L(,) t,3 t 5,6 5 La duracó de vda de ua peza de u motor sgue ua dstrbucó epoecal, sabedo que la probabldad de que sobrepase las horas de uso es de,9. Se pde: a) Probabldad de que sobrepase las horas de uso b) Cuátas horas se matee fucoado co probabldad,95? a) Sea v.a. X = "Tempo de vda de la peza del motor" dode X Ep( λ) Fucó de desdad y la fucó de dstrbucó: =λ = > λ λ f().e F() e λ λ P X > = P X = F() = e = e =,9 Sedo [ ] [ ] λ = λ= λ= λ= e,9 L,9,5,5 Por tato, = = >,5.,5. X Ep(,5) f(),5.e F() e,5. [ ] [ ] PX> = PX = F() = e =,8 P X > = f()d =,5.e d = e =,8,5.,5. o be, [ ] P X> t =,95 P X> t = P X t = F(t) = e =,95,5.t b) [ ] [ ] [ ] = = = =,5.t e,95,5 t L,95,5 t,59 t 48,85 Dstrbucoes de Probabldad 77

78 El tempo de vda meda de u marcapasos sgue ua dstrbucó epoecal co meda 6 años. Se pde: a) Probabldad de que a ua persoa a la que se ha mplatado u marcapasos se le deba de mplatar otro ates de años b) S el marcapasos lleva fucoado correctamete 5 años e u pacete, cuál es la probabldad de que haya de cambarlo ates de 5 años? a) La varable aleatora X = "Duracó del marcapasos" co fucó de desdad: e 6 f() = 6 < X Epλ= = μ 6 Fucó de dstrbucó: 6 e F() = P(X ) = < = = = 6 P(X ) F() e, o be, P(X ) = f()d = e d = e e,735 6 = + = b) 5/6 5/6 [ ] P5 X 5 F(5) F(5) ( e ) ( e ) PX 5X 5 = = = = 5/6 P(X 5) F(5) ( e ) 5/6 5/6 e e,5 5/6 e,736 = = =,735 També, medate la fucó de desdad: P(5 X 5) = f()d = e d = e = e + e =,5 P(X 5) = f()d = e d = e = + e =,735 P X 5 X 5 = P X =,735, crcustaca que era de esperar e u modelo epoecal. Advértase que [ ] Es decr, la duracó que se espera tega el marcapasos, o fluye e ada el tempo que lleva fucoado. Esta partculardad lleva a decr que 'la dstrbucó epoecal o tee memora'. Dstrbucoes de Probabldad 78

79 Sea X la varable aleatora que descrbe el úmero de cletes que llega a u supermercado durate u día (4 horas). Sabedo que la probabldad de que llegue u clete e u día es equvalete a veces la que o llegue gú clete e u día, se pde: a) Probabldad de que llegue al meos 3 cletes al día b) S acaba de llegar u clete, calcular la probabldad que pase más de 5 mutos hasta que llegue el sguete clete (o hasta que llegue el prmer clete) c) E dos semaas, cuál es la probabldad apromada de que llegue como mucho 3 cletes al supermercado? k λ λ a) Se trata de ua dstrbucó de Posso: P(X = k) = e k! λ λ λ λ λ λ P(X = ) =.P(X = ) e =. e λ. e =. e λ=!! 3 P(X 3) = P z = P(z 9,7) = P(z 9,7) b) Es ua fucó epoecal, es decr, el tempo de espera hasta que ocurre u suceso (que llegue el sguete clete), dode λ 'Número de sucesos de Posso por udad de tempo', sedo X Ep( λ) Para calcular el parámetro λ se establece ua proporcó: λ = λ= = =, = = = = = λ,736. P(X ) F() e P(X ) F() e,838 c) 3 4 P(X 3) = Pz = P(z,67) = P(z,67) =,379 4 Dstrbucoes de Probabldad 79

80 El úmero promedo de recepcó de solctudes e ua vetalla de atecó al clete es de tres al día. a) Cuál es la probabldad de que el tempo ates de recbr ua solctud eceda cco días? b) Cuál es la probabldad de que el tempo ates de recbr ua solctud sea meor de dez días? c) Cuál es la probabldad de que el tempo ates de recbr ua solctud sea meor de dez días, s ya ha pasado cco días s recbr solctudes? a) X = "Días ates de recbr ua solctud", es ua dstrbucó epoecal co parámetro 3 λ= = = = 3 3 f() 3e F() P(X ) e P(X > 5) = P(X 5) = F(5) = ( e ) = e b) P(X < ) = F() = e = e P(5 X ) F() F(5) e ( e ) e e P < < < = = = = = e X> P(X > 5) F(5) e e c) ( X ) 5 Advértase que P(X < / X > 5) = P(X 5) lo que sgfca que la varable aleatora epoecal o tee memora. Para aprobar la asgatura de estadístca teórca se realza u test co vete ítems. Sabedo que ua persoa determada tee ua probabldad de,8 de cotestar be cada ítem. Se pde: a) Probabldad de que la prmera preguta que cotesta be sea la tercera que hace. b) Para aprobar el test es ecesaro cotestar dez ítems be. Cuál es la probabldad de que apruebe al cotestar el doceavo ítem?. a) La varable X = "Número de ítems que tee que hacer hasta que respoda uo be" sgue ua dstrbucó de Pascal o geométrca. X G(,8) p=,8 q=, P(X = 3) = q. p =,.,8 =,3 b) La varable X = "Número de ítems que tee que realzar hasta cotestar be" sgue ua dstrbucó bomal egatva. X B,,8 k= p=,8 q=, ( ) Dstrbucoes de Probabldad 8

81 ! P(X ),8.,,8.,,8., 9!9! = = = = =.,8.,,4 = = E ua caja hay 5 trágulos, 3 círculos y rectágulos. Realzado etraccoes co reemplazameto, se pde las sguetes probabldades: a) Al realzar 8 etraccoes, se obtega e 4 ocasoes u círculo. b) Se eceste 8 etraccoes para obteer 4 círculos. c) Que aparezca el prmer círculo e la 8 etraccó. d) Al realzar 8 etraccoes aparezca 3 trágulos, 3 círculos y rectágulos. e) Al realzar 6 etraccoes s reemplazameto aparezca e ocasoes u círculo. a) Hay dos stuacoes (círculo, o círculo), se trata de ua dstrbucó bomal, B(8,,3) 8 p 3,3 = = = ! P(X = 4) =,3,7 =, = 4, = 7., =,36 4!4! b) La varable aleatora X = "Número de etraccoes hasta que aparece la cuarta etraccó de círculo" sgue ua dstrbucó bomal egatva. X B(8,,3) = 8 k= 4 p=,3 q=, ! = = 4 = = = = 3 4!3! P(X 8),3.,7,,,,68 c) La varable aleatora X = "Aparece el prmer círculo e la octava etraccó" sgue ua dstrbucó geométrca o de Pascal X G(,3) = = = = 8 7 P(X 8) q. p,7.,3,47 d) La varable aleatora X = "Número de veces que se etrae trágulo, círculo o rectágulo e ocho etraccoes". Se trata de ua dstrbucó polomal, es decr, e cada prueba se cosdera k sucesos depedetes ! P(T = 3 ; C = 3 ; R = ) = = 56.,5.,3., =,756 3! 3!! e) Hay dos stuacoes ecluyetes (círculo, o círculo). X = "Número de veces que se etrae círculo e ua muestra de tamaño ocho" sgue ua dstrbucó hpergeométrca. N= = 6 k = p =,3 q=,7 Np = 3 Nq= 7 Dstrbucoes de Probabldad 8

82 N.p N.q 3 7 k k P(X = k) = P(X = ) = = =,5 N 6 Por prescrpcó médca, u efermo debe hacer ua toma de tres píldoras de u determado medcameto. De las doce píldoras que cotee el evase hay cuatro e malas codcoes. Se pde: a) Probabldad de que tome sólo ua buea b) Probabldad de que de las tres píldoras de la toma al meos ua esté e malas codcoes c) Cuál es el úmero de píldoras que se espera tome el efermo e bueas codcoes e cada toma? d) S este otro evase que cotega cuareta píldoras, de las que dez se ecuetra e malas codcoes. Qué evase sería más beefcoso para el efermo? a) Hay dos stuacoes ecluyetes (buea, o buea). La varable X = "Número de píldoras bueas al tomar tres" sgue ua dstrbucó hpergeométrca X H(3,,8), e dode 8 bueas p = 8 = 3 N= píldoras 4 malas q = 4 = 3 q N.p=. = 8 N.q=. = 4 = N.p N.q 8 4 4! 8. k k!! 4 P(X = k) = P(X = ) = = = =, N! 3 3!9! b) La probabldad de que al meos ua esté e malas codcoes equvale a la probabldad de que a lo sumo dos píldoras sea bueas. Por tato: P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) = + + = =,75 Dstrbucoes de Probabldad 8

83 !9! 4 P(X ).3. = = = = =,!!.. = = 3 3! 9! 8 4 8!.4 8.7!6!.4.3!9! 56 P(X = ) = = = = =,5!! 3 3!9! c) El úmero de píldoras que se espera que tome es la meda de la dstrbucó: μ X =. p = 3. = píldoras 3 d) Para tomar ua decsó, hay que calcular el úmero de píldoras esperado e bueas codcoes al tomar tres del segudo evase. N= 4 píldoras 3 bueas p = 3 4 = 3 4 =,75 malas q = 4 = 4 =,5 μ Y =.p= 3.,75=,5 píldoras El segudo evase es más beefcoso para el efermo. Dstrbucoes de Probabldad 83

84 Sea ua varable aleatora bdmesoal co dstrbucó de probabldad X Y Se pde: a) So X e Y depedetes? b) Hallar las medas y desvacoes típcas de X e Y c) Hallar las probabldades: > PX d) Hallar el coefcete de correlacó PX ;Y [ ] PY [ < ] a) Para aalzar s X e Y so depedetes hay que hallar las dstrbucoes margales de X e Y, y ver s verfca que pj = p.p j (,y j) X Y p p j 3 3 p = = p.p =. 6 3 p = p.p =. = p3 = p 3.p =. = p = = p.p =. 3 3 p = p.p =. = p3 = p 3.p =. = Luego las varables X e Y o so depedetes. b) Para hallar las medas y desvacoes típcas de X e Y hay que cosderar las dstrbucoes margales: Dstrbucoes de Probabldad 84

85 Dstrbucó margal de la de la varable aleatora X Meda: X= p.p.p X = 3 E(X ). p 6 = 6 6 α =μ = E(X) =. p = 6 α = = = 3 5 Varaza: μ =σ = Var(X) = E(X ) [ E(X) ] = = = Desvacó típca: σ = =,745 9 Dstrbucó margal de la varable aleatora Y Meda: Y= y j p j y.p j j y j y.p j j Y j j j= E(Y ) y j. p j j= 3 α =μ = E(Y) = y. p = 3 α = = = 8 Varaza: μ =σ y = Var(Y) = E(Y ) [ E(Y) ] = = Desvacó típca: σ y = =,943 9 c) Probabldades: Dstrbucoes de Probabldad 85

86 X PX ;Y > PX [ ] Y Y X PY [ < ] X Y PX ;Y> = PX = ;Y= + PX = ;Y= = + = 3 4 [ ] PX = PX = ;Y= + PX = ;Y= + PX = 3;Y= + PX = 3;Y= = 6 = = = 4 P[ Y < ] = PX = ;Y = + PX = ;Y = + PX = 3;Y = = = 3 d) Coefcete de correlacó X Y.y.p j j α = E(XY) =.y. p = = j j = j= Covaraza: σ XY = Cov(X,Y) =α α. α =. = =, Coefcete de correlacó: σ,555 XY ρ XY = = = σ. σy,745.,943,79 Sedo ρ XY =,79, valor cercao a, este ua fuerte relacó leal etre las varables X e Y. Dstrbucoes de Probabldad 86

87 Sea (X, Y) los paquetes daros que vede dos operadores de vajes, cuya dstrbucó de probabldad cojuta se refleja e la tabla: X Y,5,5,,5,,5,,5,5 Hallar la meda, varaza y desvacó típca de las varables: X, Y, X+ Y, X Y X Y p.p.p,5,5,,4,5,,5,3,3,3,,5,5,3,6, p,3,4,3,9,5 j y.p,4,6 j j j y.p,4,,6 j Dstrbucó margal de la varable X: Meda: α =μ = E(X) =. p =,9 X = 3 E(X ). p,5 = α = = = Varaza: 3 μ =σ = Var(X) =α α =,5,9 =,69 X Desvacó típca: σ X =,69 =,83 Dstrbucó margal de la varable Y: Meda: α =μ = E(Y) = y. p = Y j j j= 3 E(Y ) y j. p j,6 j= α = = = Varaza: 3 μ =σ = Var(Y) =α α =,6 =,6 Y Desvacó típca: σ Y =,6 =,77 Dstrbucoes de Probabldad 87

88 Dstrbucó de la varable (X + Y) : Meda: μ X+ Y= E(X+ Y) = E(X) + E(Y) =,9+ =,9 Se tee: 3 3 μ = E(X + Y) = ( + y ).p X+ Y j j = j= X Y,5,5,,5,,5,,5,5 μ X+ Y =,5 +,5 +, +,5 +, + 3,5 +, + 3,5 + 4,5 =,9 La varaza σ X+ Y= Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + Cov(X,Y) X e Y o depedetes X Y.y.p j j,5,5,,5,,5,,,,5,5,,6,3,7 3 3 α = E(XY) =.y. p = j j = j= Covaraza: σ XY = Cov(X,Y) =α α. α =,9. =, σ X+ Y = Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + Cov(X,Y) =,69+,6+.,=,49 σ X+ Y = E (X+ Y) E(X+ Y) Se tee: [ ] X Y,5,5,,5,,5,,5,5 + = + + +,5 + 4, + 9,5 E (X Y),5,5 4, + 4, + 9,5 + 6,5 = 5, [ ] σ X+ Y= E (X + Y) E(X + Y) = 5,,9 =,49 σ X+ Y =,49 =, Dstrbucoes de Probabldad 88

89 Dstrbucó de la varable (X Y) : Meda: μ X Y = E(X Y) = E(X) E(Y) =,9 =, σ X Y = Var(X Y) = Var(X) + Var(Y) Cov(X, Y) =,69 +,6., =,9 Sea (X, Y) ua varable aleatora bdmesoal co fucó de desdad: k < y< < f(,y) = restates valores a) Hallar k para que sea fucó de desdad b) Hallar las fucoes de desdad margales. So X e Y depedetes? c) Hallar las fucoes de dstrbucó margales d) Hallar las fucoes de desdad codcoadas a) Para que f(,y) sea fucó de desdad tee que verfcarse: f(,y) d dy = k [ ] k d dy = k dy d = k y d = k d = k = = k = < y< < f(,y) = restates valores b) Fucoes de desdad margales: [ ] f () = f(,y)dy= dy= y = < < [ ] y y f (y) = f(,y)d = d = = y < y < X e Y so depedetes cuado f(,y) = f ().f (y) f().f(y) =.( y) = 4 4y = f(,y) luego o so depedetes Dstrbucoes de Probabldad 89

90 c) Fucoes de dstrbucó margales: F () = f (t)dt = f (t)dt = tdt = t = < < y y y y F(y) = f(t)dt = f(t)dt = ( t)dt = t t = y y < y < d) Fucoes de desdad codcoadas: f(,y) f( / y) = = < y < < < f(y) y f(,y) f(y / ) = y f() = < < < < Sea (X, Y) ua varable aleatora bdmesoal co fucó de desdad: y < ; < < f(,y) = restates valores a) Comprobar que f(,y) es fucó de desdad b) Hallar las medas de X e Y c) Hallar las probabldades: P X < ; Y< y P X > ; < Y< a) f(,y) es fucó de desdad s se verfca: f(,y) d dy = [ ] f(,y) d dy = d dy = dy d = y d = d = = E cosecueca, f(,y) es fucó de desdad. b) Para hallar las medas de X e Y hay que calcular prmero las fucoes de desdad margales: Dstrbucoes de Probabldad 9

91 [ ] f () = f(, y)dy = dy = y = < < [ ] y y f(y) = f(,y)d= = [ ] = < < y y d = = + y < y < d y y 3 α =μ = E(X) = f ()d =.d = = 3 3 y α =μ = E(Y) = yf (y)dy= yf (y)dy+ yf (y)dy= = y( + y)dy + y( y)dy = (y + y )dy + (y y )dy = 3 3 y y y y = = + + = 3 3 c) Probabldades: P X < ; Y< = f(,y)ddy= dy d= [ y] d= = d= = 8 P X > ; < Y < = f(, y)d dy = dy d = [ y] d = = d = [ ] = Dstrbucoes de Probabldad 9

92 La fucó de desdad asocada a la emsó de blletes de ua compañía área es: + y < < < y< f(,y) = eelresto a) Hallar la fucó de dstrbucó b) Hallar las fucoes de desdad margales de X e Y c) So X e Y depedetes? a) y y y F(, y) = f(u, v) dv du = (u + v)dudv = (u + v)dv du = y y v y y u y = u[ v] + du = uy + du = uy + du = y + [ u] = y y (y y = + = + ) < y < E cosecueca, < ó y< + < < = = + < F(y) = (y+ y ) y<,, y (y y ) y F(, y) F () ( ), y b) Fucoes de desdad margales de X e Y y f () = f(, y)dy = ( + y)dy = [ y] + = + < < f (y) = f(,y)d = ( + y)d = + y = + y < y < [ ] Advértase que: ϑf() ϑ ϑf(y) ϑ f () = = ( + ) = + f (y) = = (y + y ) = + y ϑ ϑ ϑy ϑy c) X e Y so depedetes cuado se verfca f(,y) = f ().f (y) Dstrbucoes de Probabldad 9

93 f().f(y) = +. + y + y= f(,y) No so depedetes Sea (X,Y) ua varable aleatora bdmesoal co fucó de probabldad p j c + yj =,,,,, yj =,,,, = eotrocaso a) Calcular el valor de la costate c b) PX =,Y= PX [ = ] P X Y a) Para determar el valor de la costate c se elabora la tabla, sedo pj = c + yj X Y p 4c 3c c c c 3c c c c 7c c c c c 6c c c c 3c 7c c c 3c 4c c p c 7c 6c 7c c 4c j 5 5 =,,,, + y j p y j = 4c= c= pj = 4 j,,,, 4 = = j= eotrocaso PX =,Y= = + = 4 [ ] PX= = 7c= 7 4 zoa sombreada 8 7 P X Y = 8c = 4 = Dstrbucoes de Probabldad 93

94 P X Y = PX =,Y= + PX =,Y= + PX =,Y= + PX =,Y= + PX =,Y= + PX =,Y= + PX =,Y= + PX =,Y= + PX =,Y = + P X =,Y = + P X =,Y = [ ] + PX =,Y= + PX=,Y= 8 7 = 8c = = 4 La fucó de dstrbucó asocada a u feómeo de la aturaleza es: > > F(, y) = eelresto y ( e ).( e ), y a) Hallar la fucó de desdad b) Hallar las fucoes de desdad margales de X e Y c) Hallar las fucoes de desdad codcoadas d) Calcular el coefcete de correlacó a) y ( ) ϑ F(, y) θ ϑf(, y) θ ϑ ( e ).( e ) f(,y) = = = = ϑ ϑy ϑy ϑ ϑy ϑ y θ y ϑ( e ) θ y ϑ( e ) = ( e ) = ( e ).e = e. = ϑy y ϑ ϑ ϑy y (+ y) = e e = e = >, y> + y e Fucó de desdad > > f(,y) = eelresto ( + y) e y b) Fucoes de desdad margales (+ y) y y y e ( ) e f () = f(, y)dy = e dy = e.e dy = e e dy = e e = = = (+ y) y y y y y e ( ) e f (y) = f(,y)d = e d = e.e d = e e d = e e = = = Dstrbucoes de Probabldad 94

95 Idepedeca de X e Y f(,y) = e = f ().f (y) = e e (+ y) y X e Y so depedetes La covaraza μ =σ y = ρ= c) Fucoes de desdad codcoadas f(,y) e = = = = al ser X e Y depedetes (+ y) f( / y) e y f(y) e f () f(,y) e = = = = al ser X e Y depedetes (+ y) f(y / ) y e f() e f (y) μ d) El coefcete de correlacó ρ=σ y = σ σ E(X).f ()d.e d.e e d α =μ = = = + = =.e e = y y y y α =μ = E(Y) = y.f (y)dy= y.e dy y.e + e dy= Nota: y y y.e e = =.e d=.e + e d=.e e u = du = d Cambo dv= e d v= e d= e (+ y) E(X.Y). y. f(,y) d dy. y. e d dy α = = = = y =.e d y.e dy = α = E(X) =.f()d=.e d.e +..e d=.e.e e.e..e.e = + = = y Aálogamete, α = E(Y ) = σ =α α = = σ = = σ =α α = = σ = = y y Dstrbucoes de Probabldad 95

96 covaraza: μ =σ y =α α. α = = μ Coefcete de correlacó ρ=σ y = = = σ σy correladas Las varables so Sea X, X dos varables aleatoras co la msma dstrbucó. Probar que las varables η= X + X y ξ= X X está correladas. Sedo μ la meda de la dstrbucó de X, X E( η= ) E(X + X ) = μ E( ξ= ) E(X X ) = E( ηξ ) = E (X + X )(X X ) = E(X X X + X X X) = μ μ = E( ηξ) E( η) E( ξ ) = μ = ρ= = σ σ η ξ Dada la varable aleatora bdmesoal ( ξ, ξ ) co fucó de desdad y ( + y ) f(,y) = e e todo el plao. Probar que las varables ξ y ξ π + y está correladas, pero o so depedetes. La fucó de desdad margal de ξ es: y y y ( + y ) ( + y ) f (y) = f(,y)d = e d = e e d = π + y π + y = e e d= π + y π + y ( + y ) y y e π + y e = π ( + y ) ( + y ) / t / t e d ( y ) t e dt t e dt = + = = ( + y ) ( + y ) π + y = Γ ( / ) = π = / ( y ) / Cambo: t= = (+ y )t d= t dt ( + y ) + Dstrbucoes de Probabldad 96

97 La fucó de desdad codcoada de ξ por ξ es: y y ( + y ) ( + y ) f(y) y ( y ) f(,y) g(/y) = = e π e = e π + π + De aquí se obtee que E( ξ / ξ ) = ( + y ) ( + y ) ( + y ) ( + y ) E( ξ / ξ ) = e d = e d = π (+ y ) π (+ y ) ( + y ) ( + y ) = e = π (+ y ) Al ser la líea de regresó costate, las varables tee covaraza μ = y coefcetes de correlacó ulos. De otra parte, las varables ξ y ξ o so depedetes puesto que la dstrbucó de ξ, codcoada por ξ, depede claramete de ξ La veta e u mercado de abastos lleva asocada la fucó: y k + < < < y< f(,y) = eelresto a) Hallar k para que sea fucó de desdad b) Hallar la fucó de dstrbucó c) Fucoes de desdad margales y codcoadas d) Se cosdera la trasformacó Z= X Y y T= X+ Y, hallar la fucó de desdad de la varable (Z,T) a) f(,y) k f(,y) es fucó de desdad sí se verfca f(,y) d dy = y y y k + ddy = k + = + [ ] dy d k y d = 4 = kd = k[ ] = k = k = Dstrbucoes de Probabldad 97

98 La fucó de desdad y+ < < < y< f(,y) = 4 eelresto y F(,y) = P(X, Y y) = f(u,v) dv du y y y uv+ uv+ ( ) b) Fucó de dstrbucó F(, y) = dv du = dv du = uv + dv du = y v y uy [ ] u = u + v du= + y+ du= 4 4 y u u (y ) (y+ ) = + y( u) + ( u) = E cosecueca, (y ) (y+ ) F(, y) = + < y < 6 Las fucoes de dstrbucó margales, resulta: y uv+ uv+ F () = P(X ) = f(u,v)dvdu= dvdu= dv du 4 = 4 v = u + [ v] du = du = [ u] = < 8 4 o y y y uv+ uv+ F (y) = P(Y y) = f(u,v)dvdu= dvdu= dv du 4 = 4 y v y y = u + [ v] du= u ( y ) du + + = y u y y+ y + 8y+ 7 = + ( y+ )[ u] = + = y< Se podría haber realzado a través de las fucoes de desdad margales: y y f () = f(, y)dy = + dy [ y] 4 = + = 4 [ ] F() = P(X ) = f(u)du= du= u = < Dstrbucoes de Probabldad 98

99 y y y+ 4 f (y) = f(, y)d = + d [ ] 4 = 4 + = 8 y y y v+ 4 v y + 8y+ 7 F(y) = P(Y y) = f(v)dv= dv 4v y 8 = + = < 8 6 Fucó de dstrbucó cojuta < ó y< (y ) (y+ ) + < y< 6 F(, y) = <, y y + 8y+ 7 y<, 6, y c) Las fucoes de desdad margales se puede hallar a partr de la fucó de dstrbucó cojuta: f() () f(y) ϑ ϑ ϑy ϑy 6 8 ϑf() ϑ ϑf(y) ϑ y + 8y+ 7 y+ 4 = = = = = = O be, a partr de la fucó de desdad: y y f () = f(, y)dy = + dy [ y] 4 = + = 4 y y y+ 4 f (y) = f(, y)d = + d [ ] 4 = 4 + = 8 Fucoes de desdad codcoadas: f(,y) (y + ) 4 y + f(y / ) = = = f (y) f() 4 f(,y) ( y + ) 4 y + 4 f( / y) = = = f () f(y) (y+ 4)8 y+ 4 Las varables X e Y o so depedetes al ser f(,y) f ().f (y) Dstrbucoes de Probabldad 99

100 ϑz ϑz Z= X Y ϑ(z,t) ϑ ϑy d) E la trasformacó J= == = = 3 T = X + Y ϑ(,y) ϑt ϑt ϑ ϑy por lo que este la fucó de desdad g(z,t) Despejado (X,Y) e la fucó de (Z,T) se calcula el Jacobao J ϑ ϑ ϑ(,y) ϑz ϑt = = ϑ (z,t) ϑ y ϑ y ϑz ϑt Z+ T X = Z= X Y Z= X Y 3 ϑ(,y) 3 3 J = = = T= X+ Y T= X + Y Z+ T ϑ(z, t) Y = 3 La fucó de desdad g(z,t) = f h (z,t), h (z,t) J z+ t z+ t < < < z+ t< 3 h (z,t) = h (z,t) =, 3 3 < y < 3 < z + t < 3 z + t z + t 3 3 (z + t)( z + t) g(z,t) =. = y + < < (z + t)( z + t) < z+ t< 3 f(,y) = 4 < y< g(z,t) = 8 3< z+ t< 3 eelresto eelresto Dstrbucoes de Probabldad

101 Sea (X,Y) ua varable aleatora bdmesoal absolutamete cotua co,,. desdad uforme e el cuadrate utaro [ ] [ ] Calcular la fucó de desdad cojuta U= X+ Y y V= X Y U+ V ϑ ϑ U X Y X = = + ϑ(,y) ϑu ϑv El Jacobao J V= X Y U V = = = = ϑ(u, v) ϑy ϑy Y = ϑu ϑv Fucó de desdad de la trasformacó: u+ v u v u+ v u v f U,V(u,v) fx,y h (u,v), h (u,v) J f X,Y, J f X,Y, u+ v u v = f X,Y, = = = = = = Domo para las varables X e Y: u+ v X = [,] u+ v u v u v Y = [,] u ; v f U,V(u,v) = eotrocaso Sea X e Y varables aleatoras depedetes e gualmete dstrbudas co dstrbucó epoecal de parámetro k. Demostrar que (X + Y) y (X / Y) so depedetes. La fucó de desdad cojuta > > f(,y) = e el resto k(+ y) k e y t z z y zt ϑ ϑ = + = t+ ϑ(,y) ϑz ϑt t+ (t+ ) z J = = abs = abs = t = z (z,t) y y z (t ) y ϑ ϑ ϑ + y = t+ ϑz ϑ t t+ (t+ ) Dstrbucoes de Probabldad

102 La fucó de desdad f(z,t) = z > > (t + ) e el resto kz k e z t Fucoes de desdad margales: kz z kz dt kz kz = = = = (t + ) (t + ) t + f (z) k e dt k z e k z e k z e z k f (t) k e dz z e dz kz kz = = = (t + ) (t + ) (t + ) p w (p) w e dw (p) (p )! Γ = Γ = kz w z e dz = we dw = Γ () = k k k w w = kz z = dz = dw k k kz kz z f(z) f(t) = k ze = k e = f(z,t) (t + ) (t + ) E cosecueca, las varables (X + Y) y (X / Y) so depedetes. Sea (X,Y) dos varables aleatoras depedetes, cada ua co la fucó de desdad: y e > e y> f() X = f(y) Y = otro caso otro caso Calcular la fucó de desdad de la varable aleatora X+ Y Por ser varables aleatoras depedetes, la fucó de desdad cojuta de la varable aleatora bdmesoal X+ Y es: f X,Y > > (,y) = otro caso y e,y La trasformacó a aplcar es U= X+ Y V = X dode X> e Y> U> V> U> V Dstrbucoes de Probabldad

103 Despejado (X,Y) e la fucó de (U,V) se calcula el Jacobao ϑ ϑ U= X+ Y X= V ϑ(,y) ϑu ϑv J = = = = V= X Y= U V ϑ(u, v) ϑy ϑy ϑu ϑv Fucó de desdad de la trasformacó h (u,v) = v ; h (u,v) = u v : f (u,v) = f h (u,v),h (u,v) J = f v,u v J = U,V X,Y X,Y = fx,y v,u v = fx,y v,u v U,V v (u v) u e e u,v, u v = X,Y = otrocaso f (u,v) f (v,u v) = > > > Como se quere obteer la fucó de desdad de la varable aleatora U= X+ Y, se calcula la fucó de desdad margal de U: u u.e u u u u u u u f(u) = > U fu,vdv = e dv e [ v] u.e f(u) U = = = otrocaso Dada la varable aleatora bdmesoal (X,Y) absolutamete cotua co fucó de desdad cojuta Calcular: c y y f(,y) = eotrocaso a) El valor de la costate c PX Y b) [ ] c) Fucó de dstrbucó cojuta a) Para el cálculo de la costate c se procede: y= c y = f(,y) dy d = c y dy d = d = y= Dstrbucoes de Probabldad 3

104 6 3 7 = c c c c c c c c 4c = d c = 6 4 = + = = = co lo cual, y y f(,y) = 4 e otro caso y= 4 6 y PX Y = ydy d= d= d= b) [ ] c) F(,y) y= 5 7 = 4 = 4 56 = = = y = <, y< = f(u,v)dvdu = = v= y u v y 6 u v u y u F(,y) = u v dv du = du du u= v= u 4 8 = = v u 8 8 = 3 7 u= 3 7 u= 3 7 u y u 7 u y 3 u 7 y 3 7 y 3 = 4 56 = 8 8 = = 8 8 u= u= = y + y <,y u= v= F(,y) = u v dv du = y + y = + u= v= u y= 8 8, y< u= v= y F(,y) = u v dv du = y + y = y u= v= u = 4 4,y u= v= F(,y) = u v dv du = y + y = u= v= u =,y= Dstrbucoes de Probabldad 4

105 E cosecueca, < y< < < F(,y) = <,y y, y< 4 4,y 3 7 y y, y El cosumo daro de agua e metros cúbcos de u hogar es ua varable 4 aleatora co fucó de desdad de probabldad f() = 4 otros valores a) Calcular la dstrbucó del cosumo daro medo muestral y la probabldad de que el mecoado cosumo sea feror a u metro cúbco, para ua muestra aleatora smple de dos días. Cocde la esperaza de la meda muestral co la poblacoal? b) Probabldad de que el cosumo meor de la muestra sea feror a metros cúbcos y la probabldad de que el mámo cosumo de la muestra sea superor a metros cúbcos. a) El cosumo daro medo muestral esperado de la poblacó es de metros a+ b + 4 cúbcos: E(X) = = = Sea las varables aleatoras depedetes X y X los cosumos de agua del hogar e dos días elegdos al azar, co la fucó de desdad dada, dode (X, X ) es ua muestra aleatora smple de tamaño dos. La fucó de desdad cojuta de la muestra será: f(, ) = f ( ). f ( ) =. = 4, El cosumo daro medo muestral = es otra varable aleatora. Para calcular su fucó de desdad se utlza ua varable aular t=, sedo etoces: Dstrbucoes de Probabldad 5

106 t= + trasformacó versa = = t = t El jacobao de la trasformacó es: ϑ ϑ ϑt ϑ = = = ϑ ϑ t ϑ fucó de desdad: g(t, ) = f (t, ), (t, ) ϑjla = = 6 8 JEl recto para las uevas varables es: 4 t 4 = ( + )/ t t 4 t 4 + t t g(t, ) = t La varable para aalzar es la meda muestral : : g () = g(t,)dt= dt= t = < 4: g () = g(t,)dt= dt= t 4 = La fucó de desdad del cosumo daro medo muestral del hogar vee dado por la fucó de desdad de probabldad: Dstrbucoes de Probabldad 6

107 g() = 4 < 4 4 La probabldad de que el cosumo daro medo de la muestra sea feror a u metro cúbco es: P( < ) = g()d = d = = Falta por verfcar que la esperaza de la meda muestral, esto es, el cosumo daro medo muestral esperado cocde co el poblcoal de metros cúbcos. 4 4 E() = g()d = d + d = d + d = = + = + + = b) Para calcular la probabldad del meor cosumo de la muestra hay que calcular la fucó de desdad del meor valor de la muestra t t t t g(t ) = f(t ) f() d = d = d = = t 4 t t t 3 P(t < ) = dt = 4t = (8 ) = Para calcular la probabldad del mámo cosumo de la muestra hay que calcular la fucó de desdad del mámo valor de la muestra. t t t t t g(t ) = f(t ) f() d = d = d = = t t 3 P(t > ) = dt = t = (6 4) = Dstrbucoes de Probabldad 7

108 U agrcultor sabe que las peras sgue ua dstrbucó N( θ,). E ua muestra de peras, co peso medo de 3 gramos, se realzó u cotraste co u vel de sgfcacó del 5% y ua poteca de,6443, e dode la hpótess ula era de H: θ=,4 kg. frete a la hpótess alteratva de H: θ =,3 kg. Se desea saber: a) Tamaño de la muestra utlzada por el agrcultor. b) Idcar qué hpótess fue aceptada. a) E ua dstrbucó N( θ,), e ua muestra de tamaño, la fucó de verosmltud vedrá dada por la epresó: ( θ) ( θ) ( θ) L(,,,, ) e e e π π π θ= = = π ( θ) e = Co las hpótess del cotraste, H: θ =,4 y H: θ =,3. La regó crítca óptma se obtee aplcado el teorema de Neyma Pearso: (, 4) = e (, 4) (,3) L(,,,, θ=,4) π = = = = e = L(,,,, θ=,3) (,3) = e π +,6,8,9+,6,7, = = = = = = e = e k Tomado logartmos eperaos, resulta,,7, = e k,7, lk =,7 + lk,7, lk = =, = La forma de la mejor regó crítca es: k Dstrbucoes de Probabldad 8

109 Ahora be, la hpótess ula H: θ =,4 es certa sí Co u vel de sgfcacó del 5%, se tee: N,4,.,4 k,4 k,4 P k N,4, = P = Pz =,5 / / / k,4,645 =,645 k,4 = / De otra parte, la poteca del cotraste es,6443. Pot = β= P(Rechazar H H falsa) P(Rechazar H H certa). S se verfca la hpótess alteratva H: θ =,3 se tee que N,3,,3 k,3 k,3 P k N,3, = P = Pz =,6443 / / / k,3,37 =,37 k,3 = / Resolvedo el sstema:,645 k,4 = = 46,5, =,37 k =,384 k,3 = El tamaño de la muestra es de 46 peras. b) La mejor regó crítca será k =,384, rechazádose la hpótess ula cuado el peso medo de la muestra de peras sea feror a 38,4 gramos. Como e la muestra se obtuvo u peso medo de 3 gramos (3 38,4 ), se rechaza la hpótess ula de que el peso medo de las peras es de,4 kg. Dstrbucoes de Probabldad 9

110 E ua dstrbucó de Posso se establece sobre el parámetro la hpótess ula, H: λ=,, y la alteratva, H: λ =,4. E muestras aleatoras smples de tamaño, sedo el vel de sgfcacó,, se desea coocer: a) La mejor regó crítca. b) La poteca del cotraste. a) Ua varable aleatora X sgue ua dstrbucó de Posso de parámetro λ k λ λ cuado: P(X = k) = e k! Aplcado el Lema de Neyma Pearso se determa la regó crítca, el cocete de las fucoes de verosmltud:,,,,,, e e e L(,,, ; λ=,)!!! = = L(,,, ; λ=,4),4,4,4,4,4,4 e e e!!! = = = =,4, = 4, e,, e e 4 e k = = = =,4 e = = l (e k ) k = = 4 e k l4 l(e k ) l 4 La mejor regó crítca es = k Bajo la hpótess ula, es ua varable aleatora, suma de ce varables = aleatoras depedetes, que sgue ua dstrbucó de Posso de parámetro P( λ=,) = P(). Por otra parte, como el tamaño muestral es lo sufcetemete grade se puede utlzar la apromacó ormal (teorema cetral del límte): N(, ) = El valor crítco k se determa medate el vel de sgfcacó α=, Dstrbucoes de Probabldad

111 = k k = P k/n(, ) = P = P z =, k =,87 k = 4,5 Como los valores que toma ua varable de Posso so eteros, la mejor regó crítca es 5. Es decr, cuado la suma de los valores muestrales sea mayor = que 5, rechazaremos la hpótess ula. b) Pot = P(Rechazar H H falsa) P(Rechazar H H certa) Bajo la hpótess alteratva H: λ=,4 el sgue ua dstrbucó de Posso de parámetro = λ=, 4 = 4 : P( λ= 4) = Teedo e cueta su apromacó a la dstrbucó ormal N(4, 4), resulta: 4 = 5 4 Pot = P 5/N(4, 4) = P = P z 3,95 =,99996 = 4 4 La poteca del cotraste es práctcamete la udad. U eperto cree que el úmero medo de errores por pága que comete es dos. Por otra parte, el edtor defede que el úmero medo es de cuatro. Para ua muestra aleatora smple de págas, co u vel de sgfcacó del 5%, se pde: a) Obteer la regó crítca. b) Hallar la poteca del cotraste. c) S e la muestra aleatora de págas se ecotraro 5 errores, qué hpótess se acepta? Nota. Se supoe que el úmero de errores por pága sgue ua dstrbucó de Posso. a) La varable aleatora X = 'úmero de errores por pága' sgue ua dstrbucó de Posso de parámetro λ (úmero medo de errores por pága). H: λ= Sobre el parámetro λ se establece las hpótess ula y alteratva: H: λ= 4 Dstrbucoes de Probabldad

112 La fucó de verosmltud para ua muestra aleatora smple de tamaño : = λ λ λ λ λ λ λ λ λ = =!!!! = L(,,,, ) e e e e Para obteer la mejor regó crítca se aplca el teorema de Neyma Pearso: = = = = = e k L(,,,, λ= 4) e = = e! L(,,,, λ= ) k 4 = e! 4 l l (l) l = = = k k k e e e = l k / e l La mejor regó crítca es de la forma = k El valor de k se obtee cosderado que el vel de sgfcacó es del 5%, y teedo e cueta que Posso de parámetro Por otra parte, N(, = = ). E cosecueca:, bajo la hpótess ula, sgue ua dstrbucó de λ= =, es decr, P( λ= ). = se puede apromar medate la dstrbucó ormal = k k P k = P =,5 =,645 k = 3,3 = La mejor regó crítca es = 3,3. E otras palabras, s la suma de observacoes muestrales es mayor que 3,3 se rechaza la hpótess ula. Dstrbucoes de Probabldad

113 b) Pot = β= P(Rechazar H H falsa) P(Rechazar H H certa) Cosderado, de ua parte, que bajo la hpótess alteratva H: λ= 4, el sgue ua dstrbucó de Posso de parámetro = N(4, λ = 4 = 4, es decr, P( λ= 4). Teedo e cueta su apromacó a la dstrbucó ormal 4), resulta: 4 = 3 4 P 3 = P = P z 8,85 = 4 4 La poteca del cotraste es práctcamete la udad. c) E la muestra aleatora smple de págas se ecotraro 5 errores, como la regó crítca es = = 3,3, co u vel de sgfcacó del 5% se rechaza la hpótess ula del eperto que aseguraba que el úmero medo de errores por pága era de dos. Las patatas cultvadas e la parcela A sgue ua dstrbucó N( α, 44) ; metras que las cultvadas e la parcela B sgue ua dstrbucó N( α, 5). U agrcultor quere cotrastar que el peso medo de las patatas cultvadas e ambas parcelas es el msmo, H: α α =, frete a la hpótess alteratva de que el peso medo de las patatas cultvadas e la parcela A es de 8 gramos mayor que el de las cultvadas e la parcela B, H: α α = 8. Para ello, seleccoa ua muestra aleatora de patatas de la prmera parcela co u peso medo de 4 gramos; y otra de 8 patatas de la seguda parcela co u peso medo de 364 gramos. Se pde: a) Hallar la mejor regó crítca. b) Calcular la poteca del cotraste. c) Se acepta la hpótess de que las patatas cultvadas e ambas parcelas tee el msmo peso medo? a) Sea la varable aleatora X = peso medo de las patatas e la parcela A, que sgue ua dstrbucó N( α, 44). Aálogamete, sea la varable aleatora Y = peso medo de las patatas e la parcela B, co ua dstrbucó N( α, 5). Dstrbucoes de Probabldad 3

114 Sea, respectvamete, e y, las dos medas muestrales de las dos muestras aleatoras smples de patatas correspodetes a las dos parcelas. 44 N, N( ; 4,4) 5 y N, N( ; 5) 8 α α, α α La dfereca de las medas muestrales ( y) se dstrbuye segú ua ormal: ( y) N α α ; 4,4 + 5 ( y) N α α; 8,85 Para hallar la mejor regó crítca se aplca el teorema de Neyma Pearso: L(, α α = ) L(, α α = 8) ( μ) f() = e σ σ π 8,85 π = 8,85 π e e [ ( y) ] 8,85 [ ( y) 8 ] 8,85 = ( y) ( y) 8 6 ( y) 64 8,85 8,85 [ ] [ ] = e = e k 6( y) 64 lk 8,85 6( y) 664,64 lk + 64 ( y) k Regó crítca ( y) k Para hallar el valor de k se cosdera que el vel de sgfcacó es,5, bajo la hpótess ula H: α α = se tee ( y) N(; 8,85) ( y) k k P ( y) k / N(; 8,85) = P = P z =,5 8,85 8,85 8,85 k =,645 k = 47,46 8,85 S la dfereca etre las medas de las dos muestras es superor a 47,46 gramos [( y) 47,96 gramos] se rechaza la hpótess ula de gualdad de medas poblacoales. b) Bajo la hpótess alteratva H: α α = 8 se tee ( y) N(8; 8,85) Pot = P(Rechazar H H falsa) P(Rechazar H H certa) Dstrbucoes de Probabldad 4

115 ( y) 8 47,46 8 Pot = P ( y) k / N(8; 8,85) = P = 8,85 8,85 = P z,3 =,878 c) La dfereca etre el peso medo de las muestras tomadas e ambas parcelas es: ( y) = = 36 < 47,96 Se acepta H, cocluyedo que ambas parcelas produce patatas co gual peso medo. El preco de los productos veddos por ua empresa es ua varable aleatora co fucó de desdad f() =θ θ, dode < <, θ>, que depede del parámetro descoocdo θ. Se quere cotrastar sobre el valor de dcho parámetro la hpótess ula H: θ = frete a la alteratva H: θ =. Para ello, se toma ua muestra aleatora smple de tamaño dos. Determar el vel de sgfcacó y la poteca del cotraste, s se toma como regó crítca,6 α= P(Rechazar H H certa). E la regó crítca,6, bajo la hpótess ula θ=, se tee f() =, co lo cual: =,6 = = =,6 α= P,6 H : θ= = d d + d d =,6,6,6,6,6 = = =,6 = = d + d = d + (,6 ) d =,6,6 = l + =,6 +,6(l l,6) =,6+,6( +,5) =,96 La probabldad de rechazar la hpótess ula sedo certa es alta, lo que dca que el cotraste es malo. Pot = β= P(Rechazar H H falsa) P(Rechazar H H certa) E la regó crítca,6,,6, bajo la hpótess alteratva θ= se tee f() =, la poteca será: Dstrbucoes de Probabldad 5

116 Pot = P,6 H : θ= = =,6 = = =,6 = d d + d d = = = =,6 =,6,6/ 4 d 4 d,6,6,6 d (,36/ )d,7 l,6,6 = + = = + = + = =,36 +,7 (l l,6) =,36 +,7 ( +,5) =,77 La poteca del cotraste o resulta ecesvamete alta, el cotraste o es bueo. Las vetas daras de ua multacoal (e mlloes de euros) es ua varable aleatoras X e cuya fucó de desdad de probabldad se establece la hpótess ula H: f() = < < frete a la hpótess alteratva H: f() = < < Para realzar el cotraste se toma ua muestra aleatora smple de dos días, dode los volúmees de vetas fuero de.. y.. euros. Co u vel de sgfcacó del 5%, se desea saber: a) Co qué catdad se rechaza la hpótess ula. b) Poteca del cotraste c) Qué hpótess resulta aceptable. a) La regó crítca se ecuetra por el teorema de Neyma Pearso para ua muestra aleatora smple de tamaño dos: L(,, f() = / ) = = k L(,, f() = / ).. Se calcula k cosderado el vel de sgfcacó α =,5 α= P(Error Tpo I) = P{ Rechazar H /H es certa} = P k / f() = = k/ k/ d d d d 4 k/ 4 = + = Dstrbucoes de Probabldad 6

117 k/ k/ k/ k d d d d 4 k/ 4 k/ 8 k/ k/ = + = + = k k k k = l (l lk l) l lk + 8 = + + = + = k =,886 lk =,5 k (,886 lk) =,4 k, La regó crítca es de la forma,3733, es decr, s el producto de las vetas de los dos días es feror a se rechaza la hpótess ula. Pot = Aceptar H / H es certa = P,3733 / f() = =,3733/,3733/ = d d+ d d = 4,3733/ 4,3733/,3733/ = [ ] d+ [ ] d = 4 4 b) { },3733/,3733/ d,3733,3733/,3733 = + d = [ ] + l,3733/=,3733/ 4 4,3733,3733,3733 = + (l l, l) = + l l,3733 =, c) Los volúmees de vetas de la muestra aleatora smple de tamaño dos fuero de.. y.. euros, co lo que = y =, =, >,3733 Se acepta la hpótess ula. Dstrbucoes de Probabldad 7

118 El gasto daro, e mles de euros, e electrcdad de ua empresa es ua varable aleatora co dstrbucó N( α,). Se desea cotrastar co u vel de sgfcacó del 5%, la hpótess ula de que el gasto medo daro es de 3 euros frete a la hpótess alteratva de que dcho gasto es meor que la ctada cfra. Para ello se toma ua muestra aleatora smple de dez días e los que el gasto e electrcdad e euros fue: 9,5 9,3 3,5 3,5 9, 9,9 3, 3 3,5 3 Se pde: a) Cuál es la hpótess aceptada? b) Cuál habría sdo la probabldad de aceptar que el gasto daro medo es de 3 euros, s el gasto medo daro fuese u % superor a la cfra supuesta e la hpótess ula? a) La varable aleatora X = 'Gasto daro e facturas de electrcdad X N( α,). Hpótess ula H: α= 3 frete a la hpótess alteratva H: α < 3 Para ua muestra aleatora smple de tamaño, de ua poblacó N( α,), la fucó de verosmltud es: ( α) ( ) ( ) α α L(,,,, α= ) e e e = π π π = π ( α) e = Para obteer la regó crítca se aplca el teorema de Neyma Pearso: ( 3) = e ( 3) + ( α) L(,,,, α= 3) π = = = = e = L(,,,, α< 3) ( α) = e π ( + 9 6) ( α ) + α (9 α ) + (α 6) = = = = = = e = e k Dstrbucoes de Probabldad 8

119 (9 ) ( 6) α + α = α + α = e k (9 ) ( 6) lk (9 ) ( 6) lk ( 6) lk (9 ) α + α α α = = = α lk (9 ) (α 6) dvdedo por, resulta co lo que la forma de la regó crítca es k. Sedo α=,5, se tee: P k H : α= 3 =,5 = = k S la hpótess ula es certa, cosderado que la muestra es de tamaño, la meda muestral se dstrbuye segú ua ormal N 3,, por tato, 3 k 3 k 3 P k H : α= 3 = P = Pz =,5 Observado las tablas de la N(,) k 3 =,645 k = 9,48 La regó crítca es: 9,48 Por otra parte, la meda muestral es: = = = 3,4 Sedo = 3,4> 9,48 se acepta la hpótess ula, co lo que el gasto medo daro e electrcdad de 3 euros co ua fabldad del 95%. b) S el gasto medo daro fuera u % superor a 3 euros, sería de 3,6 euros, es decr α= 3,6. E este caso, la meda muestral se dstrbuye segú ua ormal N 3,6,, por tato, la probabldad pedda sería: 3,6 9,48 3,6 P Aceptar H 3,6 α= = P > = P z > 3,54 =,9998 Dstrbucoes de Probabldad 9

120 Las especfcacoes de u tpo de báscula asegura que los errores e las pesadas sgue ua dstrbucó ormal co esperaza ula y varaza udad. Se desea cotrastar la afrmacó sobre la varaza frete a la hpótess alteratva de que la varaza es 4. E este setdo, se realza cco pesadas e las que el error cometdo resultó ser,9,,4,7 Para u vel de sgfcacó del 5%, se pde: a) Obteer la mejor regó crítca. b) Obteer la poteca del cotraste. c) Idcar qué hpótess resultada aceptada. a) Sea la varable aleatora X = 'Error cometdo e la báscula', X N(, σ). La hpótess ula H: σ = frete a la hpótess alteratva H: σ = 4 La fucó de verosmltud para ua muestra aleatora smple de tamaño 5 es: 5 σ σ σ L(,,, 5, σ ) = e e e = σ π σ π σ π = σ π 5 5 σ e = La regó crítca óptma se obtee aplcado el teorema de Neyma Pearso: 5 5 = 5 5 e + L(,,, 5, σ = ) π 5 = 8 = = = e = 5 L( 5,,, 5, σ = 4).4 = e π 5 5 = = = = e k e k 3 l(k 3) l(k 3) l(k 3) = 38 = 38 = k La forma de la mejor regó crítca es 5 = k Dstrbucoes de Probabldad

121 El valor de k se obtee cosderado que, 5 α= P k H : σ = =,5 = S la hpótess ula es certa, la varable aleatora se dstrbuye segú ua ormal N(, ), sedo 5 = ua varable aleatora suma de cco varables aleatoras depedetes co dstrbucó N(, ). E cosecueca, como ua χ 5 Observado e las tablas: La regó crítca es: 5 = 5 = se dstrbuye 5 P k= P χ5 k =,5 k =,7 =,7 E otras palabras, se aceptará la hpótess ula cuado la suma de los cuadrados de las observacoes muestrales sea meor que,7 b) 5 Pot = P Rechazar H /sedo H falsa = P, 7 H : σ = 4 = Sí la hpótess alteratva es certa, la varable aleatora X se dstrbuye segú ua ormal N(, ), co lo que dvdedo cada por la desvacó típca σ=, se tee que 5 = ( ) se dstrbuye segú ua χ 5, e cosecueca: 5 5 Pot = P, 7 H : σ = 4= P ( ), 7675= P χ5, 7675,75 = = c) El cotraste se realza hallado el 5 = 5 = = +,9 + (,) +,4 + (,7) = 4,3<,7 por lo que se acepta la hpótess ula. de la muestra aleatora smple, sedo: Dstrbucoes de Probabldad

122 Gestó Aeroáutca: Estadístca Teórca Facultad Cecas Ecoómcas y Empresarales Departameto de Ecoomía Aplcada Profesor: Satago de la Fuete Ferádez Dstrbucoes de Probabldad