ESTADÍSTICA FACULTAT D INFORMÀTICA

Transcripción

1 ETADÍTICA FACULTAT D INFORMÀTICA APUNT DE CLAE PROF. LÍDIA MONTERO: TEMA 5: ETIMACIÓ I INFERÈNCIA AUTORA: Lída Motero Mercadé Departamet d Estadístca Ivestgacó Operatva Versó. etembre del.4

2 TABLA DE CONTENIDO 5-. INTRODUCCIÓ A LA INFERÈNCIA ETADÍTICA APECTE A TRACTAR EN AQUET TEMA INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ DE PARÀMETRE POBLACIONAL INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL METODOLOGIA GENERAL DEL CÀLCUL D ETIMACION PER INTERVAL MITJANA D UNA POBLACIÓ INFINITA DE CARACTERÍTICA DITRIBUÏDA N ( µ, ) MITJANA D UNA POBLACIÓ INFINITA DE CARACTERÍTICA - N ( µ, ). VARIANÇA DECONEGUDA LLEI TÈCNIQUE DE LA INFERÈNCIA: T D TUDENT, χ ν, F DE FIHER VARIANÇA D UNA POBLACIÓ INFINITA DE CARACTERÍTICA - N ( µ, ) I PARÀMETRE DECONEGUT INFERÈNCIA ETADÍTICA: MOTREIG D UNA POBLACIÓ BERNOULLI PROPORCIÓ D UNA POBLACIÓ INFINITA DE CARACTERÍTICA - Beroull ( π ) 5-4. PROPORCIÓ D UNA POBLACIÓ INFINITA DE CARACTERÍTICA - Beroull ( π ). 35. APRO. NORMAL INFERÈNCIA ETADÍTICA: MOTREIG D UNA POBLACIÓ EPONENCIAL PARÀMETRE D UNA POBLACIÓ INFINITA DE CARACTERÍTICA - Exp ( λ) 5-5. PARÀMETRE D UNA POBLACIÓ INFINITA DE CARACTERÍTICA - ( λ) INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI TIPOLOGIA DEL ERROR: I I II METODOLOGIA GENERAL DEL CONTRAT D HIPÒTEI CONTRAT DE LA MITJANA D UNA CARACTERÍTICA - N ( µ, ) CONTRAT DE LA MITJANA D UNA CARACTERÍTICA - N ( µ, ) PROPORCIÓ D UNA POBLACIÓ INFINITA DE CARACTERÍTICA - Beroull ( π ). VARIANÇA CONEGUDA 48. VARIANÇA DECONEGUDA CONTRATO RELATIU A MITJANE DE POBLACION NORMAL, INDEPENDENT I VARIANCE CONEGUDE CONTRATO RELATIU A MITJANE POBLACIONAL NORMAL I VARIANCE DECONEGUDE CONTRATO RELATIU A LA VARIANÇA D UNA POBLACIÓ NORMAL AMB MITJANA DECONEGUDA CONTRATO RELATIU A VARIANCE DE POBLACION NORMAL I INDEPENDENT GOODNE OF FIT: CONTRATO INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI: MÉ PROBLEME 7 Prof. Lída Motero Pàg. 5- Curs.4-.5

3 5-. INTRODUCCIÓ A LA INFERÈNCIA ETADÍTICA El temes aterors de VAD VAC es permete calcular probabltats d evets, doat el coexemet de la seva dstrbucó de referèca. Ivestgar a partr de característques d u subcojut (o arbtrar) com ferr característques del cojut. La poblacó és tot el cojut. Ua mostra és u subcojut de la poblacó. Aspectes rellevats: a mesura que la mostra s cremeta de tamay, les ferèces de valors poblacoals só més propers a la realtat (cosstèca). E la tra d ua mostra, sgu qu sgu el tamay, la mostra ha de ser represetatva de la poblacó (coduex a estmador o baxats)(o sesgados). Termologa: s es du que ua poblacó té dstrbucó F(x), vol dr que la característca dels elemets de la poblacó és ua v.a. amb fucó de dstrbucó F(x). ovt, teressa u paràmetre relatu a la v.a. s aproxma a partr de la mostra mtjaçat u estmador. U estmador es calcula a partr d ua fucó de les dades mostrals que s aomea estadístc. Exemple: Eleccos Geerals :. Poblacó: espayols majors de 8 ays amb dret a vot. uposem tamay N.. Mostra: u subcojut << N. Com es pot trar? Idea de cosstèca represetatvtat. Ex. Casos o represetatus (telèfos partculars de 9 a h). Ex. Tots els jublats del país. 3. Objectu d estud: cdèca de vots dels dferets a partts. Llavors preguto: a qu partt votarà? (No cofodre amb l assgacó d escos al Cogrés de Dputats). és ua varable qualtatva poltòmca. 4. Estadístc d terès: fucó de probabltat. Estmador: freqüèca relatva. Prof. Lída Motero Pàg. 5-3 Curs.4-.5

4 INTRODUCCIÓ A LA INFERÈNCIA ETADÍTICA 5-. Aspectes a tractar e aquest tema Dferets mostres de la matexa poblacó doe lloc a dferets estmadors. Els estmadors só v.a. tee el seu prop model probablsta, relacoat òbvamet amb la dstrbucó de amb l estratèga de seleccó de les mostres (mostreg). ota determats esquemes de mostreg coeguda la dstrbucó de, llavors paràmetres de la poblacó pode determar-se amb u cert vell d certesa. Parlarem d estmadors per terval o tervals de cofaça. ota determats esquemes de mostreg coeguda la dstrbucó de, llavors es pot cotrastar ua hpòtes relacoada amb estadístcs llgats a s aomea cotrast d hpòtess. estudara dferets errors que aparexe e el procés. la dstrbucó de és descoeguda, aleshores es presetara tests de goodess of ft (bodat de l ajust) per doar resposta a la preguta de s u cert model probablsta pot ser la dstrbucó de. Restrgrem la ocó de mostreg al mostreg aleator smple, és a dr, a la seleccó totalmet aleatòra d u subcojut d dvdus d ua poblacó (seleccó de mostra aleatòra). la poblacó és fta, és assmlable a u procedmet de seleccó aleator amb reposcó. Idea: els dvdus de la poblacó tee tots la matexa probabltat de ser trats per la mostra (/N). Idea: qualsevol mostra de tamay té la matexa probabltat cojuta: (N-)!/N!. Prof. Lída Motero Pàg. 5-4 Curs.4-.5

5 INTRODUCCIÓ A LA INFERÈNCIA ETADÍTICA Més exemples:. Algorsme A d ordeacó: teressa el paràmetre medaa del temps d execucó per stàces de vectors de tamay r. Costruccó aleatòra de vectors de tamay r (mostra, e aquest cas la poblacó és fta). executa sobre les stàces, s estma la medaa poblacoal del temps d execucó a partr de l estadístc medaa mostral.. Avaluacó d u servdor de veda d etrades. Les proves dque les petcos que pode ser ateses per mut λ (hora, 6 λ ). NO tee dades sobre el ombre de petcos per hora. Es pot suposar dstrbucó expoecal dels temps etre arrbades amb paràmetre α descoegut. Mostra de temps etre arrbades de petcos. U ús de la mostra sera per estmar α amb u cert terval de cofaça. U altre ús per determar s el sstema es sobrecarregarà o o, és a dr per cotrastar la hpòtes ula α λ, cotra la α > λ hpòtes alteratva de sobrecàrrega. U altre ús: potser volem cotrastar s realmet els temps etre petcos seguexe u model probablsta expoecal. Objectu: usar apropadamet e stuacos d estud semblats a les aterors la termologa de poblacó, mostra, tamay mostral, paràmetre, estmador estadístc. o Per exemple fora de cotext teteu usar la termologa presetada per ferr qua és la despesa dàra promg e el bar de la FIB, amb u rsc d equvocar-se del %, etre els estudats d ET-FIB. Prof. Lída Motero Pàg. 5-5 Curs.4-.5

6 5-. INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ DE PARÀMETRE POBLACIONAL Es dsposa d ua mostra aleatòra de tamay d ua poblacó gra (N>>). Iteressa estudar la característca que té ua dstrbucó poblacoal coeguda amb excepcó d u paràmetre θ. Exemple : La durada d ua bombeta halògea. es sap que la v.a. durada té ua dstrbucó ormal de mtjaa hores, però o es coex la seva varaça, per tat, el paràmetre descoegut és θ V [ ]. Exemple : La durada d ua bombeta halògea. es sap que la v.a. durada té ua dstrbucó ormal de mtjaa θ E. DECONEGUDA, però I es coex la seva varaça, per tat, el paràmetre descoegut és [ ] gu els resultats de la mostra aleatòra, K,. x,, x K, és a dr la mostra aleatòra só v.a...d La formacó obtguda e la mostra cal resumr-la e geeral e dcadors umèrcs. Defcó d estadístc: Qualsevol fucó matemàtca de la mostra aleatòra T (,, ) Per exemple, el màxm T ( K, ) max{,, }., K K. Per exemple, la mtjaa geomètrca ( ),K, o la mtjaa artmètca T (,K, ) T Prof. Lída Motero Pàg. 5-6 Curs.4-.5

7 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ DE PARÀMETRE POBLACIONAL Defcó d estmador: U estmador és qualsevol estadístc usat per determar el paràmetre θ. El valor d u estmador de θ, prové de substtur les observacos cocretes de la mostra e la fucó estadístc, és a dr ( x,, ) θˆ T K, es sol otar com el paràmetre amb u barret θˆ. x Els estadístcs o tee perquè doar boes estmacos del paràmetre θ per qualsevol mostra, e geeral, es propose estadístcs que a la llarga o e promg doe bos resultats. D aquí que calgu mposar-los codcos. Defcó d estmador o baxat: És u estadístc que E [ T (,, )] θ ecerta el valor del paràmetre. K, és a dr que e promg Exemple : la mtjaa artmètca és u estmador o baxat del paràmetre mtjaa poblacoal d ua característca v.a. d esperaça µ varaça matemàtca de. Veem-ho: T, és a dr el paràmetre descoegut d terès és θ E [ ] µ, esperaça (, K, ) E[ T (, K, )] E E[ ] E[ ] µ µ Val a dr que l estadístc mtjaa artmètca té ua otacó que ja coexem ( ) T,K, Prof. Lída Motero Pàg. 5-7 Curs.4-.5

8 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ DE PARÀMETRE POBLACIONAL U estadístc és ua fucó de varables aleatòres..d. per tat, és ua ova v.a., per tat té sett parlar de la seva esperaça, varaça, dstrbucó, momets, etc. L estadístc mtjaa artmètca, és u estmador o baxat de la mtjaa poblacoal, doat que l esperaça matemàtca de l estadístc cocdex amb l esperaça matemàtca de (mtjaa poblacoal). A la pràctca, abusem del lleguatge molt sovt cofoem estadístc amb estmador: l estadístc defex ua v.a., e cav l estmador és u valor cocret de la v.a. defda per l estadístc. I per tat, també té sett de parlar de la varaça de la v.a. mtjaa artmètca. És a dr, la varaça de l estadístc mtjaa artmètca. V [ T (, K, )] V [ ] V V [ ] V [ ] El que mplca, que la precsó de la mtjaa artmètca per estmar la mtjaa poblacoal crex a mesura que la mostra aleatòra crex (doat que la varaça de l estadístc decrex). Prof. Lída Motero Pàg. 5-8 Curs.4-.5

9 Prof. Lída Motero Pàg. 5-9 Curs.4-.5 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ DE PARÀMETRE POBLACIONAL la mostra aleatòra prové d ua poblacó fta es fa sese reemplaçamet, aleshores la varaça de la mtjaa artmètca de la mostra o té l ateror fòrmula [ ] N N N V. E cav l esperaça matemàtca de l estadístc cocdex amb la mtjaa poblacoal, és a dr, és o baxat. ( ) [ ] [ ] [ ]??,, fta mostra V V V T V K La varaça de la suma de v.a. NO INDEPENDENT o es pot posar com la suma de varaces!!!!! (tervee les covaraces a ). ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] µ fta mostra E E E E E T,K, Estudem ara u estadístc per estmar el paràmetre varaça d ua característca, com sempre v.a. suposem a més a més que el paràmetre mtjaa poblacoal É DECONEGUT la poblacó fta. ( ) ( ) ( ) [ ] ( ),,,, E E T T K K K

10 Prof. Lída Motero Pàg. 5- Curs.4-.5 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ DE PARÀMETRE POBLACIONAL Demostre-m ho: ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) µ µ µ µ V E V E V E E E E E E E E E E E E E E E E Per tat, u estadístc que resultarà u estmador o baxat del paràmetre varaça poblacoal és: ( ) ( ) [ ],, E T K Només vàld per poblacos ftes (o molt gras)

11 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ DE PARÀMETRE POBLACIONAL la poblacó és fta, aleshores les mostres aleatòres sese reposcó resulte e v.a. estadístcamet depedets a la pràctca l estadístc sobreestma la varaça poblacoal: ' T ( ) ( ) [ ], K, E haurà d emprar u altre estadístc, que sol otar-se e algus textes : T (, K, ) N ( ) E N [ ] ' Estadístc per l estmacó de la varaça e poblacos ftes (també val per ftes) L efcèca d u estadístc per l estmacó d u paràmetre θ (poblacoal) està llgada a la seva varaça, recordem que u estmador és ua v.a. per tat té els seus momets. El o bax dca que l estmador aputa bé cap el paràmetre θ e terme mg, l efcèca està llgada a ua varaça el més baxa possble. Dos estadístcs per l estmacó d u paràmetre θ es pode comparar e termes d efcèca: T T T T (, K, ) (, K, ) [ ] [ ] E T E T θ V θ [ T ] V [ T ] T més efcet que T Prof. Lída Motero Pàg. 5- Curs.4-.5

12 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ DE PARÀMETRE POBLACIONAL E Estadístca Matemàtca, es demostra que h ha ua cota feror a la varaça dels estadístcs per estmar u paràmetre θ u estmador és efcet s és o bax té míma varaça (la cota de Cramer-Rao). Nosaltres omés volem valorar la precsó dels valors de l estmador res més. Ua altra característca destjable dels estadístcs per estmar u paràmetre θ és que a mesura que la mostra es fa gra, aleshores les estmacos sgu més precses, és a dr que la varaça de l estadístc per l estmacó d u paràmetre θ decrex a mesura que augmeta el tamay de la mostra. Aquesta característca es pot formular matemàtcamet, cosa que o farem rep el om de cosstèca. E el cas límt, s la mostra tgués el tamay de la poblacó, aleshores la varaça de l estmador (abús de lleguatge per dr, l estadístc que s usa per l estmacó d u paràmetre θ ) sera. T ( ) [ ] [ ], K, E T θ V T T cosstet T H ha mètodes geerals per l estmacó de paràmetres, que s estude e Estadístca Matemàtca, el mètode dels momets, el mètode de la maxmtzacó de la versemblaça, etc. U mètode mportat e temes de regressó aàls de la varaça és el mètode dels míms quadrats, que sota certa dstrbucó de probabltat de la varable d terès, els seus estmadors só equvalets als estmadors màxm versemblats per tat, esdevé u cas partcular. Prof. Lída Motero Pàg. 5- Curs.4-.5

13 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ DE PARÀMETRE POBLACIONAL Els estadístcs mtjaa artmètca mostral T (, ) U (, ) ( ),K varaça mostral,k só respectvamet, estmadors o baxats dels paràmetres mtjaa varaça poblacoals, s la poblacó és fta o molt gra. A més, a partr d ara, relaxat ua mca la otacó, es pot demostrar que la mtjaa varaça ( ) mostrals, sota codcos teòrques febles, só els estmadors de míma varaça, és a dr, que só efcets per tat, a la pràctca só els estmadors que usarem per Fxat la ostra atecó e l estadístc mtjaa mostral, ja sabem que E[ ] µ gras o ftes, V [ ] µ. la que e poblacos molt, és a dr la varaça de la dstrbucó de probabltat de l estmador mtjaa mostral decrex a mesura que el tamay de la mostra,, crex. Podríem veure-ho gràfcamet mtjaçat algu applet docet que es troba per teret. Per exemple, u que ja us és famlar: de la pàga de udar Dora-Raj. Prof. Lída Motero Pàg. 5-3 Curs.4-.5

14 Prof. Lída Motero Pàg. 5-4 Curs.4-.5

15 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ DE PARÀMETRE POBLACIONAL Prof. Lída Motero Pàg. 5-5 Curs.4-.5

16 5-3. INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL Fs ara s ha estudat l ús d u estadístc per l estmacó putual a partr d ua mostra cocreta d u paràmetre poblacoal θ. Els valors dels estmadors o sole cocdr de lluy amb els vertables ( descoeguts) valors dels paràmetres, però doat que els estadístcs usats per estmacó (estmadors) só v.a. a les que se ls pot calcular els seus momets, aleshores té sett de costrur tervals d estmacó, que s aomee tervals de cofaça, doat que tem ua certa cofaça de que cotdrà el vertable valor del paràmetre θ : P ( ˆ θ ε < θ < ˆ θ + ε ) α ( ˆ ) ( ) ( ) θ ε < θ < ˆ θ + ε α P ε < θ ˆ θ < + ε θ ˆ θ < ε α ε ε ε P P ( ) o bé θ θ > ε α P. ˆ El coefcet de cofaça o vell de cofaça habtual és. 5 ε ε ε respecte el vertable valor del paràmetre θ, és a dr, paràmetre θ al ( α )% θ ˆ θ ε, ˆ θ + ε α quas sempre l terval es doa smètrc o ( θ ) ( ˆ θ ε, ˆ θ + ε ) ( ) ( ) IC al 95%. es sól llegr terval de cofaça pel IC al ( α )%.. 5 α llavors Prof. Lída Motero Pàg. 5-6 Curs.4-.5

17 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL Iterpretacó freqüetsta: u terval de cofaça al ( α )% mplca que s procés de mostreg es IC θ sera repetís ftes vegades, la fraccó de les vegades e que el paràmetre θ estara cotgut a ( ) ( α ). Usarem u applet de Itervals, de la pàga de udar Dora-Raj, per fer més eteedora la qüestó:. uposem l experèca aleatòra de lleçar 5 vegades ua moeda equlbrada, per tat la probabltat de classe A (cara) és θ.5, determem el ombre de cares la freqüèca relatva de la classe A (θˆ b.cares/5). Veem els resultats de la smulacó MoteCarlo m5 vegades al requadre esquerra amut. Per cada smulacó es calcula θˆ ( θ ) ( ˆ θ ε, ˆ θ + ε ) IC al 95%.. uposem l experèca aleatòra de lleçar 5 vegades ua moeda equlbrada, determem el ombre de cares la freqüèca relatva de la classe A (b.cares/5). Veem els resultats de la smulacó MoteCarlo m5 vegades al requadre dreta amut. Es calcule θˆ IC ( θ ) ( ˆ θ ε, ˆ θ + ε ) al 95%. 3. IDEM QUE, però per cada smulacó es calcula θˆ ( θ ) ( ˆ θ ε, ˆ θ + ε ) 4. IDEM QUE, però per cada smulacó es calcula θˆ ( θ ) ( ˆ θ ε, ˆ θ + ε ) IC al 8%. IC al 99%. Prof. Lída Motero Pàg. 5-7 Curs.4-.5

18 Prof. Lída Motero Pàg. 5-8 Curs.4-.5

19 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL 5-3. Metodologa Geeral del Càlcul d Estmacos per Iterval gu ua poblacó o la característca té el paràmetre θ descoegut es vol doar ua estmacó per terval del seu valor a partr d ua mostra aleatòra. Abús de lleguatge: doar u terval de cofaça per θ.,, x,, x,,. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les K só v.a...d. de paràmetre θ ).. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc per estmar θ, és a dr, ua v.a. que es fucó de la mostra T T (,, ) varaça). o baxat [ T ] θ K 3. Fxar u vell de cofaça α. 4. Determar els ombres a b tals que ( a < T < b) α 5. Per la mostra cocreta calcular T ( x,, x ) θˆ matet la codcó paràmetre θ. a < θˆ < E cosstet [ T ] P. V efcet (míma T K determar el rag de valors que θ pot predre b. Aquest rag de valors és l terval de cofaça al ( α )% Clau: cal dsposar de la dstrbucó de probabltat de T T (,, ) K pel axò omés es pot fer s es coex la dstrbucó de probabltat de o bé es pot aplcar d algua maera el TCL. Prof. Lída Motero Pàg. 5-9 Curs.4-.5

20 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL 5-3. Mtjaa d ua poblacó fta de característca dstrbuïda N ( µ, ) uposem que la varaça de és coeguda l esperaça és descoeguda. Aplquem els passos aterors:,, x,, x,,. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les K só v.a. ormals de mtjaa µ, ( µ, ) N ).. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc per estmar µ, és a dr, ua v.a. que es fucó de la mostra T ( ),K,, la mtjaa mostral sabem que és o baxada cosstet, també efcet com que só..d. té dstrbucó ormal amb E [ ] µ V [ ], és a dr, N µ, 3. Fxar u vell de cofaça α. El clàssc, α Determar els ombres a b tals que P ( a < < b) α aleshores busco c a l etor de l esperaça (descoeguda) t.q.. Com que la dstrbucó és smètrca P µ c µ µ + c µ c ( µ c < < µ + c). 95 P < Z < P < Z < c Prof. Lída Motero Pàg. 5- Curs.4-.5

21 Prof. Lída Motero Pàg. 5- Curs.4-.5 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL < < < < < c Z P c Z P c Z P c Z P c Z P ( ) c c c Z P c Z P N Z taules , < < b a µ µ Per la mostra cocreta calcular ( ) x x x T,, K determar el rag de valors que µ pot predre matet la codcó b x a < <. Aquest rag de valors és l terval de cofaça al ( )% α pel paràmetre µ. ( ) ( ) x x IC µ 96.,.96 + al 95%

22 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL E el cas de la ormal, smètrca de voler costrur u IC smètrc etor de µ, aleshores cal buscar a les taules de la ormal estàdard el valor t.q. doa ua probabltat acumulada de c c P α Z < α α α P Z < z tq P taules Z N (,) ( Z < z ) α z α és el valor de la ormal estàdard que dexa ua cua de probabltat per la dreta de magtut α. I l terval de cofaça al ( α )% pel paràmetre µ és e geeral, IC ( ) ( x z x + z ) µ α α, al ( α )% Els valors habtuals usats com vells de cofaça z α respectus e tervals smètrcs só: ( α ) z α Prof. Lída Motero Pàg. 5- Curs.4-.5

23 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL Exercc : abeu calcular qu és el tamay mostral ecessar per doar ua estmacó per terval al 99% de cofaça pel paràmetre µ amb ua precsó (amplada de l terval o superor) a E? IC ( µ ) ( x z, x + z ) α α z E Exercc : U programa té u workg-set promg de pagacó dstrbuït ormalmet amb varaça 8 (pàges al quadrat). El programa s executa 36 vegades e stuacos depedets. Es recull el workgset promg per cada execucó. La mtjaa mostral resulta ser pàges. Doeu u terval de cofaça al 95% pel workg-set promg requert pel programa. IC α ( ) ( x.96, x +.96 ) ( , x ) ( 97.6,.94) µ al 95% IC Exercc 3: Es vol coèxer el temps de CPU requert per u programa e u etor multusuar amb u vell de cofaça del 99% amb ua precssó de mg sego amut o avall del vertable temps d execucó. L experèca ateror valda ua varaça del temps d execucó de.5 segos quadrat. Qu és el ombre d execucos que s ha d efectuar per poder determar l terval de cofaça amb els aterors requermets? ( ) ( x z, x + z ) z ( ) (.5 ).5 6 µ α α.5 Prof. Lída Motero Pàg. 5-3 Curs.4-.5

24 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL INCONVENIENT DEL MÈTODE PREENTAT: ha suposat que la dstrbucó de probabltat de la poblacó (de la característca d terès e la poblacó, s haura de dr) és NORMAL. ha suposat que la varaça poblacoal de era coeguda. E la majora dels casos o és cert. olucos: el paràmetre d terès és la mtjaa poblacoal de, malgrat o ser ormal la dstrbucó de la característca de la poblacó, e vrtud del teorema cetral del límt, e poblacos ftes (o molt gras) e mostres aleatòres de gra tamay, l estadístc mtjaa mostral tdrà ua dstrbucó ormal sgu qua sgu la dstrbucó de referèca de. E termologa estadístca, la mtjaa mostral és assmptòtcamet ormal. la varaça poblacoal de és descoeguda teressa estmar la mtjaa poblacoal (també descoeguda), aleshores es pot usar ua estmacó de la varaça. la mostra és gra reemplaçar la varaça poblacoal descoeguda per l estadístc varaça mostral arà bé: IC ( µ ) ( x z x + z ) IC( ) ( x z s x + z s ) α, α µ α, α descoeguda la mostra és petta, aleshores haurem de desevolupar ua dstrbucó de referèca per l estadístc per l estmacó de la varaça. Axò s, sese sortr-os del supòst de dstrbucó de referèca ormal de. Prof. Lída Motero Pàg. 5-4 Curs.4-.5

25 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL Mtjaa d ua poblacó fta de característca - N ( µ, ). Varaça descoeguda uposem que la varaça de és descoeguda l esperaça és descoeguda. Aplquem els passos geerals:,, x,, x,,. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les K só v.a. ormals ( µ, ) N ).. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc per estmar µ, és a dr, ua v.a. que es fucó de la mostra T ( ),K,, la mtjaa mostral sabem que és o baxada cosstet, µ també efcet com que só..d., t té dstrbucó t d tudet amb - graus de llbertat amb E µ µ V. Assmptòtcamet, ua t d tudet amb r g.ll. covergex a ua ormal 3 estadard qua r es fa gra (superor a 3 ja és boa l aproxmacó). 3. Fxar u vell de cofaça α. El clàssc, α Determar els ombres a b tals que P ( a < < b) α. Com que cal tpfcar (cetrar redur) descoec µ la dstrbucó de la t d tudet smètrca aleshores busco c a l etor de l esperaça per les taules de la t d tudet: Prof. Lída Motero Pàg. 5-5 Curs.4-.5

26 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL P c < µ < c ( c < t < c) P( t < c).95 P( t < c) P P ( t < c).975 c t P t < < t. 95 taules, α, α, α t µ a µ t, α s b µ + t, α 5. Per la mostra cocreta calcular T ( x,, x ) x predre matet la codcó ( α )% pel paràmetre µ., α IC s K determar el rag de valors que µ pot a x < b <. Aquest rag de valors és l terval de cofaça al ( ) ( x t s x t s ) µ, α, +, α al ( α )% % t es defex de maera que l àrea a la dreta de t, α e la dstrbucó d tudet amb - g.ll. es gual a α. Prof. Lída Motero Pàg. 5-6 Curs.4-.5

27 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL Prof. Lída Motero Pàg. 5-7 Curs.4-.5

28 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL Exemples: Es vol estmar el temps mg d execucó d u programa e etor multusuar. executa 6 vegades amb jocs de dades hores trades aleatòramet. El temps mg d execucó resultat la desvacó estàdard és de x 3 ms 3s. Determeu u terval de cofaça al 98% pel temps mg d execucó. α IC. taules t, α t, 5, d o ( µ ) ( x t s x + t s ) ( , ) (.767,49.33), α,, α Prof. Lída Motero Pàg. 5-8 Curs.4-.5

29 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL Lles Tècques de la Iferèca: t d tudet, χ ν, F de Fsher Per ara hem estat treballat l estmacó de la mtjaa per put per terval qua la característca d terès té ua dstrbucó ormal (relaxable va TCL). egum e el cotexte ormal, ara estudat l estmacó per terval de la varaça poblacoal.,, gu ua mostra aleatòra de tamay, K..d, procedet d ua poblacó ormal N µ ( µ, ) Z N( µ, ) amb - graus de llbertat.. gu Z χ, seguex ua sh-quadrat La lle de sh-quadrat gaudex de la propetat de la reproductvtat, és a dr, la suma de v.a. depedets de lle sh-quadrat és ua shquadrat amb paràmetre graus de llbertat, addcó dels g.ll. de les lles que la defexe. Val a dr que és ua lle tècca amb E χ ν ν V χ. [ ] [ ] ν Prof. Lída Motero Pàg. 5-9 Curs.4-.5

30 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL La darrera lle de probabltat tècca a presetar és la lle de Fsher. Aquesta lle té dos paràmetres que só els graus de llbertat del umerador del deomador, la raó és que es defex a partr d u quocet de shquadrats depedets: gu v.a. d. Tq.,, ν ν ν ν ν ν χ χ F W seguex ua lle de Fsher-edecor de u u graus de llbertat. Val a dr que els momets bàscs só [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 4 4, > + Ε ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν W V W F W. Ara es pot doar ua defcó formal de la lle T d tudet. Z só depedets tals que, ( ),, > ν ν χ ν ν t Z T N Z. Es pot demostrar que l estadístc ( ) està relacoat amb ua lle de sh-quadrat, ( ) ( ) ( ) χ

31 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL Varaça d ua poblacó fta de característca - ( µ, ) descoeguts N paràmetres uposem que la varaça la mtjaa de és descoeguda. Aplquem els passos geerals:,, x,, x,,. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les K só v.a...d. ( µ, ) N ).. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc per estmar, és a dr, ua v.a. que es fucó de la mostra ( ) sabem que és o baxat, Ε[ ], cosstet, també ( ) χ. És molt susceptble a la dstrbucó ormal de les observacos. 3. Fxar u vell de cofaça α. El clàssc, α Determar els ombres a b tals que Pa ( ) < < b α χ b α. La lle és o smètrca, per P > b χ, α tat cal trobar a les taules els valors a b tals que ( ) l drem P ( χ < a) α a χ l drem, α. Les taules de sh-quadrat habtuals als llbres, tabule P( > x) χ, o la fucó dstrbucó!!!! Prof. Lída Motero Pàg. 5-3 Curs.4-.5

32 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL Exemple: 5. Per la mostra cocreta calcular ( ) predre matet la codcó ( α )% pel paràmetre Pa < s. T x, K, x s determar el rag de valors que a s < b pot <. Aquest rag de valors és l terval de cofaça al ( ) ( ) ( ) s ( ) s < b α χ, α < s < χ, α < < χ, α χ, α IC ( ) ( ) s ( ), χ, α χ s, α al ( α )% Ua quexa habtual e usuars teractus d etor compartt és la gra varabltat del temps de resposta. Es mesure 3 temps de resposta aleatòramet la varaça mostral calculada és de 5 ms. uposem que els temps de resposta esta ormalmet dstrbuïts. Calculeu u terval de cofaça al 95% pel vertable valor de la varaça del temps de resposta. IC ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) 5 ( 3 ) 5 s s ( 3 ) 5 ( 3 ), IC,, χ, α χ, α χ 3,.5 al 95% χ 3, ( 5.86, 45.8) Prof. Lída Motero Pàg. 5-3 Curs.4-.5

33 INFERÈNCIA ETADÍTICA: ETIMACIÓ PER INTERVAL Exemple: E u expermet exhaustu de o reemplaçamet de compoets electròques, la vda observada per cadascua de les compoets és.,.5,.65,.75,.75,.785,.8,.865, Assumu que els temps de vda esta ormalmet dstrbuïts. Calculeu les estmacos per put per terval del temps mg la varaça de la vda de les compoets, a u vell de cofaça del 9%. Noteu l ús d algua aproxmacó e els càlculs? Exemple: U programa s ha valdat usat ua col.leccó aleatòra de 3 jocs de dades. ha mesurat el temps d execucó. La mtjaa varaça mostrals só 65ms 36 ms, respectvamet. Calculeu u terval de cofaça al 95% pel temps d execucó suposat ua dstrbucó ormal dels temps d execucó. Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

34 5-4. INFERÈNCIA ETADÍTICA: MOTREIG D UNA POBLACIÓ BERNOULLI tuacos e les que teressa estmar el percetatge de compoets electròques que fucoe bé després d u cert temps o la proporcó de vegades e que el temps de resposta a u query teractu e ua base de dades o ha superat u determat lldar. E ua mostra aleatòra de,, x,, x K, sgu,, K, les L estadístc + K + B( ) P T (,, ). L estadístc,π o baxat Ε[ P] Ε Ε [ ] π π. π K só v.a...d. ( π ) Beroull. K és u estmador cosstet(axò o ho demostrem) del paràmetre poblacoal L aplcacó del procedmet geeral de càlcul d estmadors per terval preseta dfcultats e aquest:. La dstrbucó de és dscreta per tat, pot ser mpossble assolr exactamet tervals de cofaça del vell de cofaça requert.. Les taules de les bomals só molt pesades de llegr, omés esta tabulats valors de proporcos ferors a.5 per valors de tamay mostral gra ja o es tabula habtualmet. E temes aterors vam emprar ua aproxmacó ormal pel càlcul de probabltats acumulades de lles bomals, ara ho retrobarem per 5 q 5 p. Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

35 INFERÈNCIA ETADÍTICA: MOTREIG D UNA POBLACIÓ BERNOULLI 5-4. Proporcó d ua poblacó fta de característca - ( ) π Beroull. uposem que l esperaça és descoeguda. Aplquem els passos geerals:,, x,, x,,. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les K só v.a...d. ( π ) Beroull ).. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc per estmar π, és a dr, ua v.a. que es fucó P T (,, ) de la mostra K, és o baxat cosstet, com que só..d., ( ) + K + B,π. 3. Fxar u vell de cofaça α. El clàssc, α Determar els ombres a b tals que ( a < < b) α P. P ( a < < b) α P( k < < k ) α a b, el que equval a trobar a les taules P ( < k ) α B( k,, π, α ) P( < k ) α B( k,, π, α ) b b a a. Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

36 INFERÈNCIA ETADÍTICA: MOTREIG D UNA POBLACIÓ BERNOULLI pˆ T ( x,, x ) 5. Per la mostra cocreta calcular K predre matet la codcó a < s < b B s,, π, α s B kb,, π, α < < determar el rag de valors que π pot ( k ) ( ) a Aquest rag de valors és l terval de cofaça al ( α )% pel paràmetre π. Però axò o és ua fòrmula tacada!!!!! Proporcó d ua poblacó fta de característca - Beroull ( π ). Aprox. Normal Aplquem els passos geerals:,, x,, x,,. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les K só v.a...d. ( π ) Beroull ).. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc relacoat amb l estmacó de π, s ( ) p 5 q 5, és a dr + + N π, π ( π ) P T (, K, ) estmara π. K, v.a. que és fucó de la mostra Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

37 Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5 INFERÈNCIA ETADÍTICA: MOTREIG D UNA POBLACIÓ BERNOULLI 3. Fxar u vell de cofaça α. El clàssc, 5. α. 4. Determar els ombres a b tals que ( ) α < < b P a P. ( ) < < < < α π π π α α α z z P b a P ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z π π α π π α α α π π π π π π π π + < < + < <. 5. Per la mostra cocreta calcular ( ) x s x x T p,, ˆ K determar el rag de valors que π pot predre matet la codcó < < b x a ( ) ( ) s s z s s s z s z s z + < < + < < α α π π α π π α π π π. Aquest rag de valors és l terval de cofaça al ( )% α pel paràmetre π.

38 INFERÈNCIA ETADÍTICA: MOTREIG D UNA POBLACIÓ BERNOULLI Exemple: extrau ua mostra de xps d ua tramesa de gra tamay es vol determar la proporcó de xps que fucoa correctamet, els altres esta fora d especfcacos. Només 7 dels mostrejats fucoe correctamet. Determeu u terval de cofaça al 95% per la vertable proporcó de xps satsfactors. L estmador per put és p7/.35. Nvell de cofaça 95 ( )% α. 5 Estmador por terval sese aproxmacó ormal. α. ( k ) P( k ) B( k,,.35,.975 ).975 k, P α b MTB > IvCDF,975; UBC> Bomal,35. Iverse Cumulatve Dstrbuto Fucto Bomal wth ad p,35 x P( < x ) x P( < x ),9468,984 MTB > IvCDF,5; UBC> Bomal,35. b b taules MINITAB Iverse Cumulatve Dstrbuto Fucto Bomal wth ad p,35 MTB > b x P( < x ) x P( < x ), 3,444 ( k ) P( < k ).5 P( < k ) B( k,,.35,.5 ).5 k, P α < a a a a taules a MINITAB ka s kb π tq <.35 < k a tqb ( k +,, π,.5 ) k tqb( k,, π,.975 ) a b b Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

39 INFERÈNCIA ETADÍTICA: MOTREIG D UNA POBLACIÓ BERNOULLI F_x p_- p_- p_-3 p_-4 p_-5 p_-6 p_-7 p_-8, , L aproxmacó grollera es aputa cap a valors de p. fs a p.6, però caldra refar més. De fet, terpolat surt (.33,.6). Podeu comprovar que o és pràctc de lluy. Estmador per terval amb aproxmacó ormal. IC ( π ) s s s s s + s z z α, α al ( α )% (.35) < π < (.35).4 < π < % al Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

40 5-5. INFERÈNCIA ETADÍTICA: MOTREIG D UNA POBLACIÓ EPONENCIAL 5-5. Paràmetre d ua poblacó fta de característca - Exp ( λ). uposem que l esperaça és descoeguda: Ε[ ] λ,,.aplquem els passos geerals: x,, x,,. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les K só v.a...d. ( λ) Exp ).. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc per estmar λ, és a dr, ua v.a. que es fucó K, és o baxat cosstet de λ + + Erlag(, λ) Ε λ Ε Ε λ T (,, ) de la mostra K λ Erlag(, ) χ Erlag( r, ) χ r 3. Fxar u vell de cofaça α. El clàssc, α Determar els ombres a b tals que ( a < λ < b) α, com que só..d., [ ] [ ] [ ] Erlag. Les lles d Erlag ( les gamma) esta relacoades amb la sh-quadrat P.. ( a λ < b) α a χ b χ P <, a les taules de la sh-quadrat., α, α Prof. Lída Motero Pàg. 5-4 Curs.4-.5

41 INFERÈNCIA ETADÍTICA: MOTREIG D UNA POBLACIÓ EPONENCIAL x T ( x,, x ) 5. Per la mostra cocreta calcular K predre matet la codcó s determar el rag de valors que λ pot a < λx < b χ λx < χ χ x < λ < χ x, α <, α,α, α. Aquest rag de valors és l terval de cofaça al ( α )% pel paràmetre λ. IC ( λ) ( χ x, χ x) al ( α )%,α, α 5-5. Paràmetre d ua poblacó fta de característca - ( λ). usa la relacó etre les lles expoecal Posso. uposem que s observe u procés de Posso fs que u ombre fx d evets s ha realtzat. Es defexe com el temps etre l evet - l evet. Les só..d. dstrbuïdes amb ( ) λ λ > 5 ( α )% Exp. I per tat, l terval de cofaça al ( α )% pel paràmetre λ. IC ( λ) ( χ x, χ x) al ( α )%,α, α es pot usar l aproxmacó ormal de la lle de Posso per aaloga l terval de cofaça al pel paràmetre λ : ( λ) ˆ λ z λ ˆ λ + ˆ λ α ˆ, zα IC. Prof. Lída Motero Pàg. 5-4 Curs.4-.5

42 5-6. INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI ovt, a la pràctca cal predre decsos sobre característques poblacoals e base a la formacó lmtada que aporta ua mostra aleatòra de la poblacó. Per exemple, decdr s cal amplar la memòra RAM dels PCs de les aules de laborator de la FIB o o: la tra és I o NO. Però per arrbar a la decsó emprar l Estadístca per treure coclusos sobre la formacó aportada per les dades empírques e el recolzamet d ua certa assercó, aomeada hpòtes estadístca, que és ua afrmacó relatva a u paràmetre o lle de probabltat assocada a la característca d terès de la poblacó, sobre la que es basa la decsó. El procedmet per decdr s s accepta o es rebutja ua hpòtes estadístca, a partr de la dades d ua mostra, s aomea cotrast d hpòtes/s o test d hpòtes/s (per ara pesem e hpòtess smples). gu H, la hpòtes ul.la que és ua afrmacó sobre la lle de probabltat de (e algu dels seus paràmetres): és la hpòtes estadístca que cal acceptar o rebutjar. La egacó de la hpòtes ul.la, s aomea hpòtes alteratva es ota per H. assgarà ua probabltat a hpòtes ul.la s aquesta probabltat és feror al vell de sgfcacó del cotrast α (ell clàssc, α. 5 altramet es rebutja. ), aleshores la hpòtes ul.la s accepta, Per exemple: Els resposables del laborator de càlcul pree ua mostra aleatòra sobre els programes requermets de memòra d aquestos e dferets classes de laborator. A partr de les dades treue ua mtjaa varaça mostral de la RAM ecessàra doada la cofguracó de RAM de la stal.lacó aleshores pode determar qua és la probabltat que es requerex superar la cofguracó partr d aquí avaluar el trade-off etre versó rsc de pejades de PCs (e detrmet de la qualtat docet). H: E meys del 5% dels laborators es supera la RAM stal.lada, cotra la H: E u 5% o més dels laborators es requerex més RAM que la stal.lada. Prof. Lída Motero Pàg. 5-4 Curs.4-.5

43 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI 5-6. Tpologa dels Errors: I II L error de tpus I fa al lusó a la possbltat de formular ua hpòtes ul la certa, però que la mostra dspoble per fer el cotrast es aput a rebutjar H acceptar H. L error de tpus II fa al.lusó a a la possbltat de formular ua hpòtes ul la falsa, però que la mostra dspoble per fer el cotrast es aput a acceptar H rebutjar H. La probabltat de cometre u error tpus I s aomea α és el vell de sgfcacó del cotrast. la probabltat d acceptar ua H certa. La probabltat de cometre u error tpus II s aomea β. La potèca del test és rebutjar ua H falsa). α és β (la probabltat de Trade-off : Per u tamay mostral fxat, redur la probabltat d error tpus I, mplca augmetar la probabltat d error tpus II. Equvaletmet, redur la probabltat d error tpus II, mplca augmetar la probabltat d error tpus I. L úca maera de dsmur els errors de tpus I II smultàamet és augmetat el tamay mostral. Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

44 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI Exemple: gu la característca de temps de vda e hores d ua poblacó de reactus l objecte d estud. uposem que seguex ua lle ormal de varaça coeguda gual a hores-quadrat. Es formula l hpòtes ul.la que la vda mtjaa és gual a h. Estudeu mtjaçat l applet l efecte del tamay mostral sobre els errors tpus I II, per dferets hpòtess alteratves µ µ.5,.,. 5. El vell descrptu d u cotrast per H ) H és el meor vell de sgfcacó α pel qu la dferèca serà declarada sgfcatva (es rebutja H H : µ > : µ T T Prmer mrem amb 5 després amb. Aputeu cometars: (, K, ) N( µ, ) (, K, ) N( µ +, ) > Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

45 Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

46 Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

47 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI 5-6. Metodologa geeral del cotrast d hpòtess Es vol cotrastar ua hpòtes blateral H : θ θ, efrot H : θ θ relatva u paràmetre de la dstrbucó de probabltat de la v.a. de la poblacó (fta).,, x,, x. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les, K, só v.a...d. de paràmetre θ ).. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc per estmar θ, és a dr, ua v.a. que es fucó de la mostra T T (,, ) sota la hpòtes ul.la certa, axò pot otar-se T T (, K, θ ). K 3. Fxar u vell de sgfcacó α. 4. Determar els ombres a b tals que ( < ) α 5. Per la mostra cocreta calcular t T ( x, K, θ ). a t < b Aquest és el cotrast de P. < x ; H : θ θ a u vell de sgfcacó al ( α )% ; < llavors acceptar H : θ θ.. Clau: cal dsposar de la dstrbucó de probabltat de T T (, K, ; θ ) axò omés es pot fer s es coex la dstrbucó de probabltat de o bé es pot aplcar d algua maera el TCL. Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

48 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI Cotrast de la Mtjaa d ua característca - N ( µ, ). Varaça Coeguda Es vol cotrastar ua hpòtes blateral H : µ µ, efrot H : µ µ relatva al paràmetre de la mtjaa de la dstrbucó de probabltat de la v.a. de la poblacó (fta).,, x,, x. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les, K, só v.a...d. de paràmetre µ ).. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc per estmar µ, és a dr, ua v.a. que es fucó de la T T,, sota la hpòtes ul.la certa, axò pot otar-se mostra ( ) T K (, K, ; µ ) N( µ, ) Z N(,) 3. Fxar u vell de sgfcacó α. L habtual és α. 5 µ 4. Determar els ombres a b tals que P( a < T < b H certa) 5. Per la mostra cocreta calcular x T ( x, K, θ ) x ;. acceptar H : θ θ. Aquest és el cotrast de : θ θ. α a µ z b µ + z α, α a x < b µ zα < x < µ + zα <, H a u vell de sgfcacó al ( α )%.. Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

49 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI Cosderacos ràpdes: E el cas de la mtjaa d ua poblacó ormal, la dstrbucó de l estadístc mtjaa mostral surt molt freqüetmet, aleshores surt més a compta obvar el pas 4 e el pas 5: 5. Per la mostra cocreta calcular x µ x x z. z ( z, α ) α z llavors acceptar H : θ θ. Aquest és el cotrast blateral de H : θ θ a u vell de sgfcacó al ( α )%. el cotrast és ulateral, l esquema cavara mímamet: H : µ µ, efrot H : µ > µ relatva al paràmetre de la mtjaa de la dstrbucó de probabltat de la v.a. de la poblacó (fta). Per la mostra cocreta calcular acceptar x µ x x z. z < zα x < µ + zα H : θ θ a u vell de sgfcacó al ( α )%. llavors el cotrast és ulateral: H : µ µ, efrot H : µ < µ relatva al paràmetre de la mtjaa de la dstrbucó de probabltat de la v.a. de la poblacó (fta). Per la mostra cocreta calcular x z x µ sgfcacó al ( α )%. z > zα x > µ zα llavors acceptar H : θ θ a u vell de. Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

50 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI Exemple: El cotrast és ulateral, l esquema cavara mímamet: H : µ µ, efrot H : µ > µ relatva al paràmetre de la mtjaa de la dstrbucó de probabltat de la v.a. de la poblacó (fta). Per la µ, calcular mostra cocreta,, de.,.5,.5. x µ x x z. Varar el vell de sgfcacó z < zα x < µ + zα llavors acceptar.. α. z < z x < + z µ α H : µ µ a u vell de sgfcacó al ( α )%. α llavors s accepta H : µ µ. α llavors s accepta H : µ µ. α. z < z x < + z µ α α llavors s accepta H : µ µ. α. z < z x < + z. 674 µ α E cada cas, la potèca del cotrast és: α. La potèca és P( Rebutjar H H falsa).... α. 5 β α. 5 β.5. β. Prof. Lída Motero Pàg. 5-5 Curs.4-.5

51 Prof. Lída Motero Pàg. 5-5 Curs.4-.5

52 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI Cotrast de la Mtjaa d ua característca - N ( µ, ). Varaça Descoeguda Es vol cotrastar ua hpòtes blateral H : µ µ, efrot H : µ µ relatva al paràmetre de la mtjaa de la dstrbucó de probabltat de la v.a. de la poblacó (fta).,, x,, x. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les, K, só v.a...d. de paràmetre µ ).. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc per estmar µ, és a dr, ua v.a. que es fucó de la T T,, sota la hpòtes ul.la certa, axò pot otar-se mostra ( ) K µ (, K, ; µ ) N( µ, ) Z t T 3. Fxar u vell de sgfcacó α. L habtual és α Determar els ombres a b tals que P( a T < b H ) 5. Per la mostra cocreta calcular x s. α a µ t. és la desv. Tpus mostral estmada. b <, α, µ +, α. a x < b t s x < µ, α < < µ +, α, acceptar H : θ θ. Aquest és el cotrast de H : θ θ a u vell de sgfcacó al ( α )% t. s t Prof. Lída Motero Pàg. 5-5 Curs.4-.5

53 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI Cosderacos ràpdes: E el cas de la mtjaa d ua poblacó ormal, la dstrbucó de l estadístc mtjaa mostral surt molt freqüetmet, aleshores surt més a compta obvar el pas 4 e el pas 5: 6. Per la mostra cocreta calcular x µ x x t. ( t, α,, α ) s t t llavors acceptar H : θ θ. Aquest és el cotrast blateral de H : θ θ a u vell de sgfcacó al ( α )%. el cotrast és ulateral, l esquema cavara mímamet: H : µ µ, efrot H : µ > µ relatva al paràmetre de la mtjaa de la dstrbucó de probabltat de la v.a. de la poblacó (fta). Per la mostra cocreta calcular llavors acceptar x µ x x t. t < t, α x < µ + t, α s s H : θ θ a u vell de sgfcacó al ( α )%. el cotrast és ulateral: H : µ µ, efrot H : µ < µ relatva al paràmetre de la mtjaa de la dstrbucó de probabltat de la v.a. de la poblacó (fta). Per la mostra cocreta calcular x µ x t z t s sgfcacó al ( α )%.. >, α x > µ t, α llavors acceptar H : θ θ a u vell de Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

54 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI Exemple: El workg set promg d u programa és de blateral H µ µ 5 pàges amb ua varaça de 3 : pàges. Es creu que ua reorgatzacó de l espa d adreces del programa mllorara la localtat, tot redut el tamay del workg set. Per tal d avaluar l ateror afrmacó es recull ua mostra de execucos, tot trobat u tamay mostral mg del workg set de 45 pàges. Qua és la decssó que predreu? Cotrast d hpòtes ulateral de H : µ µ 5 efrot H : µ < µ. uposem dstrbucó bastat ormal de la v.a. tamay del workg set. Per, o caldra la suposcó de ormaltat. x z x µ 45 5 Per la mostra cocreta 3 3?? 3 45 α α. 5 5 z > z x > 5 z 3 x 45 < rebutjar 5. α llavors H : θ θ a u vell de sgfcacó al ( α )%. Coclusó: semblar que mllora. fos descoeguda, però s 3 pàges. Per la mostra cocreta calcular 5?? t > t, t99,.5 x 45> µ t, α x 45 < µ z >> 3 α 3 rebutjar 5 3 x t. α llavors H : θ θ a u vell de sgfcacó al ( α )%. Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

55 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI Exemple: El temps de resposta a u query sezll e ua BD és acceptablemet ormal amb 5. 8 seg. Es vol cotrastar la hpòtes ulateral que el temps de resposta és de segos efrot l alteratva de temps de resposta superor. Es fxe els errors de tpus I II a.5. respectvamet. Qu és el tamay de la mostra aleatòra de temps de resposta per satsfer els requermets aterors? Cotrast Ulateral H µ µ amb varaça coeguda 5. 8 Error de tpus I: : 5. 8 (, K, ; ) N(, ) (,) T µ, efrot H : µ > µ. a fxar µ µ 5.8 N ( ) ( ) ( ) C Re C butjar H H P > C H P Z < z. 5.5 α P α Dada error de tpus II: C + zα ( ) ( ) ( ) Cµ Cµ Acceptar H H P < C H P Z < z. 33. β P β C µ zβ. µ Igualat: C.33 ( µ ) ( ) 5.8 µ ( ) ( µ ) ( µ ) Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

56 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI Proporcó d ua poblacó fta de característca - ( ) π Beroull. Es vol cotrastar ua hpòtes blateral H : π π, efrot H : π π relatva al paràmetre de la dstrbucó de probabltat de la v.a. de la poblacó (fta). Vàld qua π o està aprop de de.,, x,, x,,. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les K só v.a...d. ( π ) Beroull ).. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc relacoat amb l estmacó de π, s p 5 q 5, T, K, ; π + K+ N π, π π és a dr ( ) ( ( )) π π ( π ) N (,). 3. Fxar u vell de sgfcacó α. L habtual és α Determar a b tals que P ( a < < b H ) α a π z π ( π ), b π + z π ( π ) α α Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5, v.a. que és fucó de la mostra s. a < s < b π z π ( π ) < s < π + z π ( π ) 5. Per la mostra cocreta calcular acceptar H : π π. Aquest és el cotrast blateral de H : π π a u vell de sgfcacó al ( α )%. 6. Es podra extedre a la maera habtual a cotrastos ulaterals. α α,.

57 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI Exemple: Es vol cotrastar s u crcut fucoa de maera correcte. Per etrades, s observe a la sortda 37 us 63 zeros. el crcut fucoa bé s haure d observar tat us com zeros a la sortda. Està fucoat correctamet a u vell de cofaça habtual? Calculeu el vell descrptu del cotrast. Es vol cotrastar ua hpòtes blateral : π π. 5 H, efrot H : π π.,, x,, x,,. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les K só v.a...d. ( π ) Beroull ).. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc relacoat amb l estmacó de π, s p 5 q 5, és a dr T (, K, ; π ) + K+ N( π, π ( π )). 3. Fxar u vell de sgfcacó α. L habtual és α Determar a b tals que P ( a < < b H ).95 a , b Per la mostra cocreta calcular 37 sgfcacó del 95%. s. ( 4,6) s, es rebutja H : π π a u vell de? tq. P a < s 37 < b H 5 z 5 37 z 5.6 P Z α ( ) α α α ( ) α El vell descrptu és el u vell de sgfcacó α mím que fa acceptar la hpòtes ula.. taules Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

58 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI Exemple: Per tal de dstgr etre 8 B, s usa u mètode estadístc per patter recogto, basat e el quocet d estramet, deft com el quocet etre l alçada del símbol la logtud de l arc esquer. La dstrbucó codcoal de doat que el símbol és u 8, és N(.8,.), membre que e el cas de B és N(.96,.). El problema del recoexemet és u problema de cotrast d hpòtess: H µ µ. 8 efrot H µ µ. 96 : :. Després de predre mesura a u símbol cocret, es rebutja H s x>.9. Calculeu les probabltats dels errors de tpus I II. Cotrast Ulateral µ µ. 8 Error de tpus I: H amb varaça coeguda. :. ( K, ; ) N(.8, ) (,), efrot H : µ µ. 96 > µ..8. T, µ N.9.8 ( butjar H H ) P( >.9 H ) P( Z < ) P( < ) α P Re. Z Dada error de tpus II:.9.96 ( Acceptar H H ) P( <.9 H ) P( Z < ) P( Z <.6) P( Z >.6) P( <.6). 743 β P Z. El procedmet o és cap meravella!!! Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

59 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI Cotrastos relatus a mtjaes de poblacos ormals, depedets varaces coegudes ó problemes clàsscs de decsó. Per exemple, dos veedors d equps formàtcs oferexe materal per u cost semblat. Es sotmete els equps a proves de bechmark e base als resultats es vol trar el mllor. El cotrast estadístc blateral platejara les hpòtess: H : µ µ versus H : µ µ o bé H : µ µ vs. H : µ µ. Els cotrastos estadístcs ulaterals platege redmet dètc efrot redmet superor a redmet : H : µ µ versus H : µ > µ o bé H : µ µ vs. H : µ µ >. O bé redmet dètc efrot redmet feror a redmet : H : µ µ versus H : µ < µ o bé H : µ µ vs. H : µ µ <. Pode extredre s al cas més geeral de cotrast de dferèca fxada ( postva, és meys egorròs a la pràctca doada la tabulacó habtual de la lle ormal), e el cas blateral: H : µ µ > vs. H : µ µ. E el cas ulateral: H : µ µ vs. H : µ µ >. Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5

60 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI: MOTRE gu, v.a. ormals depedets tals que - N( µ ) - N( ), µ,. Els paràmetres µ µ só descoeguts, però l terès rau e la formulacó d hpòtess relatves a la dferèca etre les mtjaes poblacoals µ, o als valors cocrets d aquestes. µ abem que els estadístcs mtjaes mostrals tee dstrbucos N( µ ) N ( µ ) Ε [ ] Ε[ ] Ε[ ] µ µ V [ ] V [ ] + V [ ] + Però a més,. té dstrbucó ormal per tat es pot tpfcar arrbar a l estadístc Z N(,): ( ) ( µ µ ) Ara ja pot aplcar-se l esquema clàssc, ho farem drectamet sobre u exemple. Z +,,. Aleshores: Exemple: Es vol comparar dos etors de gestó de BDs e relacó al temps de resposta davat u query smple. eve 5 queres al gestor es mesura u temps de resposta promg de 683 mseg amb desvacó tpus coeguda (versemblat) de 5 mseg. eve les 5 queres al gestor doa ua resposta mostral promg de 675 mseg amb desvacó tpus coeguda de 8 mseg. Qu gestor és mllor atee al crter temps de resposta a query smple? Prof. Lída Motero Pàg. 5-6 Curs.4-.5

61 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI: MOTRE La preguta aputa al plateg d u cotrast ulateral les dades mostrals suggerexe: H : µ µ vs. H : µ µ >,, x,, x,,. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les gestor amb 5.,, y,, y. Obter ua mostra aleatòra de K, sgu K (les gestor amb 5. K só v.a...d. N( ),, µ ) del, K só v.a...d. N( ) 3. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc relacoat amb l estmacó de µ µ, Z ( ) ( µ µ ) 4. Fxar u vell de sgfcacó α. L habtual és α N (,) µ ) del, 5. Per la mostra cocreta calcular z, llavors s accepta H : µ µ a u vell de sgfcacó del 95%. z ( x y) ( µ µ ) ( ) 7.3 < z Jo preferexo calcular la probabltat de rebutjar H : µ µ que supera el vell de sgfcacó: ( H H certa) P( Z > z ) P( Z >.3) P( Z <.3) > α. 5 P Rebutjar Prof. Lída Motero Pàg. 5-6 Curs.4-.5

62 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI: MOTRE Cotrastos relatus a mtjaes poblacoals ormals varaces descoegudes gu, v.a. ormals depedets tals que - N( µ ) - N( ) Els paràmetres poblacoals, µ., µ µ só descoeguts, tatmatex com les varaces que es supose dètques, però l terès rau e la formulacó d hpòtess relatves a la dferèca etre les mtjaes µ µ, o als valors cocrets d aquestes. abem que els estadístcs mtjaes mostrals tee ( ) ( ) dstrbucos N µ N µ, [ ] Ε[ ] Ε[ ] µ µ Ε V o, [ ] V [ ] + V [ ] + Vˆ [ ],. Aleshores: P ( ) + ( ) ( + ) Prof. Lída Motero Pàg. 5-6 Curs só els estadístcs varaça mostral per. o P ( ) Ara es pot costrur u estadístc t de tudet amb ( + ) gr. llbertat: T hpòtes T té u efecte determat e els g.ll. de l estadístc T, s de fet ( ) ( µ µ ) P + t amb ν < + ν. ( ) ( µ µ ) t + P +. La, aleshores

63 INFERÈNCIA ETADÍTICA: CONTRAT D HIPÒTEI EN MOTRE Ara ja pot aplcar-se l esquema clàssc, ho farem drectamet sobre l exemple ateror. Exemple: Es vol comparar dos etors de gestó de BDs e relacó al temps de resposta davat u query smple. eve 5 queres al gestor es mesura u temps de resposta promg de 683 mseg amb desvacó tpus mostral de 5 mseg. eve les 5 queres al gestor doa ua resposta mostral promg de 675 mseg amb desvacó tpus mostral de 8 mseg. Qu gestor és mllor atee al crter temps de resposta a query smple? Cotrast ulateral: H : µ µ vs. H : µ µ >. Hpòtes: dferèces sgfcatves.. Determar la dstrbucó de probabltat d u estadístc relacoat amb l estmacó de µ µ, T ( ) ( µ µ ) P ( + ) 5 5 t 98 o P ( ) + ( ) ( + ) ( 49) + ( 49) ( ). Resultat: No es detecte ( 49) 5 + ( 49) ( ) Per la mostra cocreta calcular t, llavors s accepta H : µ µ a u vell de sgfcacó del 95%. ( x y) ( ) ( + ) ( ) µ 7 t µ.38 < t98,.5 z P Jo preferexo calcular la probabltat de rebutjar H : µ µ que supera el vell de sgfcacó: ( H H certa) P( t > t ) P( Z >.38) P( Z <.38) > α. 5 >> P Rebutjar 3 Prof. Lída Motero Pàg Curs.4-.5