Dinero en la Función de Utilidad

Transcripción

1 Dinero en la Función de Uilidad Marín Guzmán Noa de Clase Faculad de Ciencias Económicas, Universidad Nacional de La Plaa Moneda, Crédio y Bancos Mayo de 2004 La inroducción del dinero en modelos que suponen la exisencia de un agene represenaivo con expecaivas racionales, y más aún, en un conexo deerminísico, genera cieras dificulades. En rigor, el rol del dinero no puede ser plenamene comprendido bajo el supueso de un mundo con oal ceridumbre. No obsane, en la presena noa inenaremos esbozar un modelo simple de Dinero en la Función de Uilidad para aacar ese problema. El dinero es un acivo paricular porque es una promesa de nada. Si el dinero sirviera meramene como una reserva de valor, en una economía en la que exisiera un acivo alernaivo que rindiera inereses (por ejemplo, los bonos), nadie demandaría dinero. Sin embargo, puede suponerse que ése brinda algún servicio a los agenes, (al como faciliar las ransacciones, permiir un ahorro de iempo en la realización de las mismas), y de esa manera, puede inroducirse al dinero en la función de uilidad de aquellos. Esa propiedad asociada al moivo ransacción es llamada liquidez. No obsane, para que exisa una demanda de dinero deben cumplirse cieros requisios. En primer lugar, una condición necesaria para que un individuo demande una canidad posiiva de dinero consise en que el mismo sea universalmene acepado. Cada agene acepa dinero porque espera que el reso de los agenes lo acepen en el fuuro 1. Además, para que se pueda inroducir al dinero en Versión preliminar. 1 Obsérvese que la necesidad de que el dinero sea un acivo universalmene acepado 1

2 la función de uilidad considerando finios períodos, se necesia que el dinero pueda ser uilizado en la compra de bienes en el mismo período en que es demandado. Si ese acivo sólo pudiera uilizarse en el período siguiene al que se demanda, se requeriría que los agenes ineracuaran durane una canidad infinia de períodos. Si aquellos ineracuaran durane una canidad finia de períodos, digamos n, en el período n el dinero no sería acepado, dado que al no haber un período siguiene, odos decidirían racionalmene no demandar nada de dinero en ese período, ya que aquel no le oorgaría al agene ninguna uilidad (pues no habría un período siguiene en el cual gasarlo). Pero dado que en n-1 odos saben con plena ceridumbre que en n nadie acepará dinero, ampoco habrá una demanda posiiva de al acivo en n-1. Por inducción hacia arás, en el período corriene nadie demandaría dinero. En la presene noa rabajaremos con una economía en la que exisen cuaro secores: el secor privado, el gobierno, el Banco Cenral y el secor exerno, a los cuales denoaremos con las leras P, G, C y E, respecivamene. Se supondrá que el Banco Cenral es la única insiución auorizada para emiir dinero, y que la emisión de dinero puede hacerse sin ningún coso. También se supondrá que esa insiución no puede emiir bonos. El reso de los secores puede emiir bonos, y suponemos que aquellos ienen un período de vencimieno. Se supondrá ambién a lo largo de la noa que el ingreso viene deerminado exógenamene, por lo que en esa economía no hay inversión (ese supueso, poco realisa por ciero, es para simplificar el análisis, y se lo dejará de lado cuando se lo considere necesario). En cuano a la meodología uilizada, en primer lugar se presenarán las resricciones de los secores que componen la economía, uilizando iempo discreo. Luego se planeará el problema de maximización de la uilidad del agene represenaivo, a parir de lo que se deducirá la demanda de dinero ópima que realiza el agene, y las conclusiones correspondienes. Resricciones presupuesarias Cuando un individuo o cualquier agene en general oma decisiones, siempre ésas esán condicionadas por las resricciones a las que el decisor se enfrena. En el modelo económico que aquí se presena (como en los modelos muesra que es problemáico raar a la demanda de dinero como un experimeno individual. 2

3 económicos en general), las decisiones esán precisamene vinculadas a cuesiones económicas. Por ejemplo, un agene maximizador de la uilidad, que es una de las microfundamenaciones de las que pare el modelo de Dinero en la Función de Uilidad, iene en cuena al realizar al maximización las resricciones presupuesarias a las que se enfrena. La resricción dice jusamene que el individuo esá resringido en sus recursos cuando oma decisiones. Si al escasez no exisiera, el problema sería rivial, dado que en un planeo ineremporal ninguna decisión endría un coso de oporunidad posiivo. Eso jusifica el exenso desarrollo que se hace en lo que sigue de las resricciones presupuesarias de los secores que componen la economía domésica. Las resricciones presupuesarias de cada secor muesran que las fuenes de las que aquellos disponen deben igualarse a los usos que se les dan; es decir, ales resricciones muesran simplemene idenidades conables básicas. Sean B i,j los bonos emiidos por el secor i que adquiere el secor j en el período (si j es acreedor, B es posiivo, mienras que si j es deudor B oma un valor negaivo), R i,j 1, la asa de inerés nominal sobre los bonos que emie i y recibe j en -1 (esa asa muesra el rendimieno de esos acivos enre -1 y ), Y el ingreso que reciben los agenes en forma exógena en, C el consumo que realizan los agenes en, T los impuesos recaudados por el gobierno en, y M la canidad de dinero demandada por los agenes en, esando odas las variables expresadas en érminos nominales. Suponemos que la asa de inerés nominal que rinde el dinero es nula. Luego, la resricción presupuesaria del secor privado en el período es la que muesra la ecuación (1) (dada la exisencia de un agene represenaivo, podemos inerprear a al resricción como la de un único agene, sin ninguna pérdida de generalidad). Y T + (1 + R G,P 1,)B G,P 1 + (1 + R E,P 1,)B E,P 1 (1 + R P,C 1,)B P,C 1 + M 1 = C + B G,P + B E,P B P,C + M (1) La anerior resricción muesra que la riqueza disponible de un individuo en, que viene dado por la doación que recibe en más el ahorro acumulado en -1 (incluyendo inereses), menos los impuesos y la deuda que el agene debe pagar (recuérdese que se supuso que los bonos vencen luego de un período), puede ser uilizado ya sea para consumir, para ahorrar en bonos inernos o exernos, para rescaar deuda (que es lo que indica la presencia de B P,C en el lado derecho de la resricción), o bien para demandar dinero. Una simple manipulación algebraica de la anerior resricción nos permie expresarla de 3

4 la siguiene manera: Y T + R G,P 1,B G,P 1 + R E,P 1,B E,P 1 R P,C 1,B P,C 1 C = B G,P B G,P 1 + B E,P B E,P 1 (B P,C B P,C 1 ) + M M 1 (2) La ecuación (2) muesra que el ahorro que el individuo realiza en el período lo uiliza en acumular bonos, en desacumular deuda propia y en acumular dinero. El gobierno es oro de los secores que forma la economía, el cual se inroduce suponiendo que el mismo cobra impuesos con los que financia el gaso público que el mismo realiza, al que denoaremos con G (nuevamene esa variable esá expresada en érminos nominales). La ecuación (3) muesra la resricción presupuesaria del gobierno en el período. G + (1 + R G,P 1,)B G,P 1 + (1 + R G,E 1,)B G,E 1 + (1 + R G,C 1,)B G,C 1 = T + B G,P + B G,E + B G,C (3) La anerior resricción muesra que lo que gasa el gobierno en más la deuda que debe pagar debe igualarse a las fuenes de recursos a las que mismo accede, eso es, a la recaudación imposiiva que logra obener en más el mono de los bonos que emie y demanda alguno de los oros res secores de la economía. Operando algebraicamene como en la resricción del secor privado, se obiene en ese caso la expresión (4), que enre oras cosas muesra que si el gobierno esá imposibiliado de financiar su gaso mediane acumulación de deuda (es decir, si el lado izquierdo de la ecuación (4) es igual a cero), enonces el superávi primario que el gobierno debe obener (eso es, T G ) debe ser igual a los inereses que el mismo debe pagar en el período corriene. G T + R G,P 1,B G,P 1 + R G,E 1,B G,E 1 + R G,C 1,B G,C 1 = +B G,P B G,P 1 + B G,E B G,E 1 + B G,C B G,C 1 (4) Finalmene, es de relevancia para el análisis exponer la resricción que enfrena el Banco Cenral. El cuadro 1 muesra el balance de esa insiución en el período. Enre los acivos que posee enconramos a los bonos que hayan sido adquiridos por la enidad en -1, ya sea que los mismos hayan sido emiidos por el gobierno, lo que consiuye enencia de íulos públicos, por el secor exerno, los que se conocen como reservas, o bien por el secor 4

5 privado, a los cuales podemos llamar íulos del secor privado. La canidad de dinero emiida consiuye el pasivo del Banco Cenral. Se denomina con P N al parimonio neo de la enidad. Cuadro 1 Acivo B E,C 1 B G,C 1 B P,C 1 Pasivo + Parimonio Neo M 1 P N 1 En un sisema de caja de conversión, el acivo del Banco Cenral sólo esá formado por reservas exernas. En un sisema como ése, la ganancia del Banco Cenral viene dada por los inereses sobre los acivos exernos. Por su pare, en un sisema de floación perfeca del ipo de cambio, el acivo del Banco Cenral sólo coniene íulos públicos y íulos del secor privado. De acuerdo a lo expueso en el cuadro 1, la expresión para el parimonio neo en el período viene dada por la ecuación (5), que simplemene muesra que el parimonio neo del Banco Cenral consise en la diferencia enre su acivo y su pasivo. P N = B E,C + B G,C + B P,C M (5) Arasando (5) un período y uilizando al ecuación puede obenerse la ecuación (6), que es una expresión para la variación de la emisión monearia. M M 1 = B E,C +B G,C (1 + R E,C 1,)B E,C 1 + (1 + R 1,)B G,C G,C 1 + B P,C (1 + R 1,)B P,C P,C 1 (6) La anerior ecuación muesra que oda aumeno de la canidad de dinero emiida debe ener una conraparida en el balance del Banco Cenral. Puede noarse que se emie moneda cuando el Banco Cenral aumena sus reservas más allá de la capialización de inereses. Hemos enunciado las resricciones presupuesarias del secor privado, el gobierno y el Banco Cenral en forma separada. Sin embargo, nuesro problema esá enfocado en las decisiones que oma cada agene en forma individual, por lo que ahora inroduciremos un concepo clave que permiirá vincular las res resricciones, para considerar el problema que resuelve el individuo, dado el comporamieno que siguen los disinos secores de la economía. Ése es el concepo de ulrarracionalidad. La ulrarracionalidad es una hipóesis de 5

6 comporamieno, que básicamene indica que el agene que se compora de al manera incorpora las resricciones presupuesarias del gobierno y del Banco Cenral en su propia resricción. Por ejemplo, de acuerdo a esa hipóesis los individuos ienen previsión susancial respeco a que el endeudamieno acual del gobierno implíciamene señala la exisencia de impuesos fuuros para que esa deuda pueda ser repagada. De acuerdo a la nueva hipóesis de comporamieno que acabamos de suponer, inroduciremos las resricciones presupuesarias del gobierno y el Banco Cenral en la del secor privado. De (3) puede despejarse T e inroducirse esre resulado en (1), obeniéndose Y + (1 + R E,P 1,)B E,P 1 (1 + R P,C 1,)B P,C 1 (1 + R G,E 1,)B G,E 1 + M 1 = C + G + (1 + R 1,)B G,C G,C 1 B G,E B G,C + B E,P B P,C + M (7) Luego, inroduciendo (6) en (7) (eso es, la resricción presupuesaria del Banco Cenral en la resricción presupuesaria del secor privado), se obiene Y + (1 + R E,P 1,)B E,P 1 + (1 + R E,C 1,)B E,C 1 (1 + R G,E 1,)B G,E 1 = C + G + B E,P + B E,C B G,E (8) La anerior expresión muesra que la riqueza del secor privado puede ser uilizada para consumir bienes privados o públicos, o bien para demandar bonos. Puede observarse que los únicos ipos de bonos que aparecen en la resricción son aquellos en los que el secor exerno paricipa ya sea como emisor o como recepor. Eso es una consecuencia direca de la ulrarracionalidad, ya que de acuerdo a esa hipóesis los bonos emiidos por cualquiera de los secores domésicos de la economía y que hayan sido adquiridos por el secor privado no son considerados riqueza por pare de ése, dado que prevee perfecamene que esa deuda deberá ser pagada en el fuuro, para lo cual se le cobrarán impuesos. Ora manera de inerprear esa ecuación indica que el produco inerno más el conjuno de recursos a los cuales accede la economía es igual a la demanda agregada 2 más la demanda de acivos conra el reso del mundo. Tras una simple operación algebraica, la ecuación (8) se ransforma en la siguiene expresión: Y (C + G ) + R E,P 1,B E,P 1 + R E,C 1,B E,C 1 R G,E 1, = B E,P B E,P 1 + B E,C B E,C 1 (B G,E B G,E 1 ) (9) 2 Recordemos que en esa economía no hay inversión, por lo que la demanda agregada viene dada por el consumo privado más el gaso público. 6

7 Esa ecuación muesra que el superávi de la cuena corriene se uliza para acumular acivos exernos. Eso es, el superávi de la cuena corriene en es igual al défici en la cuena capial. La resricción presupuesaria del secor privado expuesa en (1) puede ser reescria de la siguiene manera: Y T + j=e,g,c (1 + R j,p 1,)B j,p 1 + M 1 = C + j=e,g,c B j,p + M (10) Para simplificar el análisis, supondremos que R j,p = R, eso es, la asa de inerés que rinden los disinos ipos de bonos que puede adquirir el secor privado es equivalene, y además noamos que j B j,p = B P 3. Por lo ano, la ecuación anerior puede reescribirse como Y T + (1 + R 1, )B P 1 + M 1 = C + B P + M (11) Lo único que se ha hecho es reexpresar la resricción presupuesaria del secor privado de disina manera, por lo que su inerpreación es análoga a la realizada oporunamene. El lecor debe ener presene que el objeivo que persigue el modelo es explicar las consecuencias que iene la inroducción del dinero en una economía, una vez que esa inroducción puede ser jusificada. Dado que esamos suponinedo la exisencia de un agene represenaivo, la resricción de cada agene (que por definición es la misma para cada uno de ellos) es análoga a la resricción conjuna del secor privado. Por lo ano, cada vez que hacemos referencia a los usos que el secor privado hace de sus fuenes, al inerpreación puede ser leída como los usos que cada agene hace de sus fuenes, sin ninguna pérdida de generalidad. La esrucura que persigue la noa en lo que sigue del análisis es la siguiene: en primer lugar, converiremos la resricción que hemos expresado en érminos nominales a érminos reales. Eso permiirá mosrar cieros efecos que provoca el dinero en una economía de ese ipo. Luego, volveremos a la represenación en érminos nominales, y exenderemos la resricción ineremporal a infinios períodos. Eso permiirá planear el problema de maximización que nuesro agene represenaivo debe resolver, a parir del cual mosraremos cuál es ineremporalmene su comporamieno ópimo. Podremos obener enonces la función de demanda 3 Téngase en cuena que B P,C = B C,P. 7

8 de dinero del agene, logrando comprender el comporamieno de ésa 4. Finalmene, levanaremos el supueso poco plausible que indica que el ingreso que reciben los individuos viene deerminado exógenamene, considerando enonces que la inversión es la variable que deermina el nivel de producción de la economía. Para ello, desarrollaremos muy sinéicamene un modelo de Ramsey con dinero. La resricción del secor privado en érminos reales Definimos al nivel de precios de la economía en el período por P. Denoaremos con leras minúsculas a las variables expresadas en érminos reales. Para hallar la resricción presupuesaria en érminos reales para el período, debemos dividir la ecuación (11) por el nivel de precios de al período, obeniéndose: y + (1 + R 1, ) BP 1 + M 1 = c + b P + m (12) P P Una simple manipulación algebraica nos permie expresar (12) como (13), y + (1 + R 1, ) BP 1 P 1 + M 1 P 1 = c + b P + m (13) P 1 P P 1 P o bien, lo que es equivalene, y + (1 + R 1, )b P P 1 P m 1 = c + b P + m (14) P P Para coninuar con nuesro desarrollo el siguiene cuadro nos será de uilidad: Cuadro 2 Acivos vs Período -1 P Bienes 1 1 P (1 + R 1, ) Pesos P 1 P 1 (1 + R 1, ) El cuadro 2 indica que un peso en -1 vale en el período siguiene el valor nominal que enía en -1 más el rendimieno que oorga esa unidad monearia, que esá asociado a la asa de inerés nominal. Por su pare, una unidad de 4 Podríamos inroducirmos en oras discusiones clásicas en la lieraura, ales como aquellas sobre la neuralidad y superneuralidad del dinero, pero en la presene noa se dejarán de lado. 8

9 un bien en -1 vale en el equivalene al precio que enía ese bien en -1 más el rendimieno nominal de ese bien, aunque odo eso desconado por el precio que el mismo iene en. Pero ambién se sabe que una unidad de un acivo real (al como un bien) que un individuo iene en -1, vale en esa unidad más la asa de inerés real que rinde ese bien. Por ende, al relación puede expresarse como lo hace la ecuación (15): P 1 P (1 + R 1, ) = 1 + r 1, (15) siendo r la asa de inerés real. Definimos ˆP como la asa de inflación en con respeco al período anerior, es decir, De (16) surge que lo que puede reemplazrse en (15) para obener (18). P P 1 P 1 = ˆP (16) P P 1 = 1 + ˆP (17) 1 + r 1, = 1 + R 1, 1 + ˆP (18) De (18), puede despejarse en forma inmediaa la expresión para la asa de inerés real de la economía: r 1, = R 1, ˆP 1 + ˆP (19) Maneniendo el supueso de que el dinero es un acivo que no rinde inereses nominales, se iene r 1, M = ˆP 1 + ˆP (20) donde r M 1, es la asa de inerés real que rinde el dinero enre el período -1 y el. La ecuación (20) indica que el rendimieno real del dinero decrece a medida que crece la asa de inflación: es posiivo en períodos deflacionarios y negaivo en períodos inflacionarios. Eso significa que manener dinero en 9

10 carera provoca una pérdida real en períodos inflacionarios, y una ganancia real en períodos deflacionarios. La ecuación (14) mosraba la resricción presupuesaria del secor privado. Susiuyendo (15) y (17) en dicha expresión y resando a cada lado de aquella m 1, puede obenerse (21), que muesra que el ingreso real del secor privado, o de un agene, que para el caso es lo mismo, es igual al consumo real más el ahorro real, viniendo ese úlimo dado por la acumulación real de bonos y la acumulación real de dinero. y + r 1, b P 1 + m ˆP m 1 }{{} ingreso real = c }{{} consumo real + acumulacion real de bonos {}}{ b P b P 1 + Operando algebraicamene, la ecuación (21) puede expresarse como acumulacion real de dinero {}}{ m m 1 } {{ } ahorro real (21) y + r 1, b P 1 ˆP m 1 ( 1 + ˆP ) }{{ } = c + b P b P 1 + m m 1 (22) impueso inflacionario La ecuación (22) se inerprea de la misma manera que (21) (de hecho, consiuyen la misma ecuación). Lo ineresane de reexpresarla de al manera es que muesra con mayor claridad que el ingreso real del agene no sólo viene dado por la doación de bienes que recibe y por los inereses que cobra por sus crédios, sino que ambién el hecho de manener dinero en carera provoca un efeco real, el cual viene dado por el impueso inflacionario. Suponiendo que la asa de inflación es posiiva, puede definirse al impueso inflacionario como la pérdida real que enfrenan los individuos por manener dinero en carera, dado que en ese caso ese acivo rinde una asa de inerés real negaiva 5. Como odo impueso, el impueso inflacionario, aunque no legislado, ambién posee una base y una asa. La base del impueso es la canidad de saldos reales que posee el agene. Cuando la inflación es ala, una manera que ienen los individuos para eviar el impueso es reducir la base, lo que en ese conexo significa reducir la demanda de saldos reales 6. La asa de ese impueso esá asociada a la asa de inflación, la cual es endógena. En forma inuiiva, puede noarse que un aumeno de la asa podría provocar 5 Eso puede verse más claramene en la ecuación (20). 6 Eso se desarrolla en forma más exensa luego, cuando se analiza la función de demanda de dinero de los agenes. 10

11 una disminución de la base, para poder eludir al impueso. Esa lógica consiuye enonces una aproximación a la jusificación de la curva de Laffer de recaudación del impueso inflacionario 7. La ecuación (22) puede reescribirse de la siguiene manera: ˆP y + r 1, b 1 = c + b b 1 + m m 1 + m 1 ( 1 + ˆP ) (23) La acción que realiza la auoridad monearia al emiir dinero recibe el nombre de señoreaje. En oras palabras, puede decirse que el señoreaje indica el valor real de la acumulación de saldos reales, lo que viene dado por el érmino M M 1 P. El lecor puede comprobar que la expresión para el señoreaje viene dada por M M 1 ˆP = m m 1 + m 1 ( P 1 + ˆP ) (24) Por lo ano, inroduciendo (24) en (23), ésa puede expresarse como y + r 1, b 1 = c + b b 1 + M M 1 P (25) Nuevamene, la lecura de esa úlima ecuación es la misma que la de (21), aunque esa úlima desaca cómo el señoreaje de la auoridad monearia, que es una acción dirigida a una apropiación de recursos por pare de ése, forma pare de la resricción presupuesaria del secor privado de la economía. Debe noarse que el impueso inflacionario no implica necesariamene una apropiación de recursos por pare del Banco Cenral. Puede enerse una asa de inflación posiiva, pero a la vez ser M = M 1. Eso indica que el señoreaje es nulo, para lo cual el individuo debe demandar una canidad de saldos reales en que es menor a la demandada en La resricción nominal para infinios períodos Anes de resolver el problema del agene represenaivo de nuesra economía, planearemos su resricción ineremporal en érminos nominales, considerando 7 Recuérdese que la curva de Laffer es aquella según la cual la función de recaudación de un impueso es esricamene cóncava, creciene en un primer ramo hasa alcanzar un nivel de asa ópimo, a parir del cual es decreciene. 8 Obsérvese que dado que la asa de inflación es posiiva (eso es, P > P 1 ), para M = M 1 se iene m = M P < m 1 = M 1 P 1. 11

12 que el individuo iene un horizone emporal infinio. Para ello, lo primero que hacemos es adelanar la ecuación (11) un período, obeniendo la siguiene expresión: Y +1 T +1 + (1 + R,+1 )B P + M = C +1 + B P +1 + M +1 (26) La ecuación (26) esá expresada en valores correspondienes al período +1, mienras que la (11) esá expresada en valores de. Tales ecuaciones no pueden ser sumadas direcamene, dado que no esán expresadas en la misma unidad de medida. Para poder realizar al adición, reexpresaremos a (26) en valores correspondienes a. Para ello, desconamos (26) a valor presene, dividiéndola por (1 + R,+1 ). Y +1 T +1 + B P M + = C +1 + BP +1 + M +1 (27) 1 + R, R, R, R, R,+1 Luego, sumando (11) y (27), obenemos (28), que es la resricción presupuesaria ineremporal del secor privado para dos períodos. Y T + Y +1 T +1 + (1 + R 1, )B P M 1 + M 1 + = 1 + R, R,+1 C + C R,+1 + BP R,+1 + M + M R,+1 (28) Trasponiendo érminos y sacando facor común M, la ecuación (28) es equivalene a (29). Y T + Y +1 T R,+1 + (1 + R 1, )B P 1 + M 1 = R,+1 C + C +1 + BP +1 + M ( ) + M +1 (29) 1 + R, R, R, R,+1 La ecuación (29), enre oras cosas, muesra que si un individuo guarda una unidad de dinero en, se pierde de ganar en + 1 por no ener un bono la asa de inerés; es decir, la enencia de dinero en carera provoca que que el individuo sacrifique inereses. Como los bonos pagan inereses en + 1, para calcular el valor acual de los inereses sacrificados hay que desconarlos. Se verá luego que la demanda de dinero balancea la uilidad marginal del dinero conra el coso de oporunidad, consiuido por la asa de inerés. 12

13 Cuano mayor sea la asa de inerés, mayor será el coso de oporunidad de ener dinero, y por lo ano su canidad demandada será menor. La ecuación (11) podría adelanarse para +j, siendo j el período que puede ir desde hasa infinio. Nuevamene, para poder sumar cada una de esas resricciones y consiuir así la resricción ineremporal del secor privado para infinios períodos, habría que desconar cada una de las resricciones a valor presene. Finalmene, sumando cada una de ellas, y eniendo en cuena que (1 + R,+j+1 ) j+1 = (1 + R,+j ) j (1 + R +j,+j+1 ) (30) se obendría la ecuación (30), que no es más que la resricción ineremporal que enfrena el secor privado, considerando su horizone emporal de decisiones como infinio. j=0 j=0 Y +j T +j (1 + R,+j ) j + (1 + R 1,)B 1 + M 1 = C +j (1 + R,+j ) j + j=0 M +j (1 + R,+j ) j R +j,+j+1 (1 + R +j,+j+1 ) B +j+1 + lim j (1 + R,+j ) j }{{} B M +j+1 j (1 + R,+j ) j }{{} C + lim (31) Los érminos B y C merecen un análisis más deallado. Si B+C fuera posiivo, eso esaría indicando que el agene esaría guardando recursos sin ningún senido económico. En una inerpreación muy poco rigurosa, podría decirse que el individuo se esaría yendo del mundo sin consumir oda su riqueza (la fala de rigor reside en que se esán considerando infinios períodos, por lo que en rigor el individuo nunca se va del mundo). Pero al comporamieno no sería racional desde el puno del individuo, por lo cual es descarado. Que B+C omara un valor negaivo aumenaría la riqueza de la que dispone el agene para consumir a lo largo del iempo. Nuevamene dejando el rigor lógico a un lado, podría decirse que en al caso el individuo se esaría yendo del mundo sin pagar su deuda. Claramene, ningún individuo racional le permiiría a oro al comporamieno, por lo que ambién se descara un valor negaivo para B+C. En consecuencia, B+C debe ser igual a cero (en realidad, ano B como C deben ser cero), y esa lógica se conoce con el 13

14 nombre de condición de ransversalidad 9. Finalmene, la resricción ineremporal de presupueso para infinios períodos es: j=0 j=0 Y +j T +j (1 + R,+j ) j + (1 + R 1,)B 1 + M 1 = C +j (1 + R,+j ) j + j=0 M +j (1 + R,+j ) j R +j,+j+1 (1 + R +j,+j+1 ) (32) El problema del agene Esamos en condiciones de planear el problema que resolverá el agene represenaivo de nuesra economía. Para ello, suponemos que la función objeivo de nuesro agene será maximizar su función de uilidad, la cual viene dada por U(c +j, m +j ), siendo ésa una función compuesa por dos funciones separables, a saber 10 : U c = δu δc = U c(c +j ) U m = δu δm = U m(m +j ) El problema de maximización de la uilidad del agene represenaivo consise ahora en Max β +j U(c +j, m +j ) s.a. (32) (33) j=0 9 En éminos económicos, al condición recibe el nombre de condición de solvencia. Obsérvese de odas maneras que esa condición no indica que no pueda haber deuda en el infinio. Un consol (que es un bono que nunca se amoriza) podría cumplir al condición sin ningún problema, siempre que el valor presene de aquél cuando j iende a infinio sea igual a cero. Analíicamene, puede noarse en (31) que para una asa de inerés nominal posiiva y para un valor dado del bono, se cumple la condición de que al límie sea igual a cero (ya que ano el denominador de B como el de C ienden a infinio cuando j iende a infinio, y en ambos casos el numerador es una consane). 10 El lecor que encuenre más simple el análisis sin la presencia del érmino j puede hacerlo pero considerando al período base como cero en lugar de. 14

15 Dado que los individuos se suponen ulrarracionales y que consideran su horizone emporal como infinio, se sobreeniende que en la resolución de ese problema no van a exisir problemas de inconsisencia emporal. En oras palabras, el individuo no va a omar una decisión en algún período que provoque un perjuicio en la uilidad ineremporal que ése maximiza. Es decir, hay una ausencia oal de miopía por pare de los agenes, por lo que en se omarán decisiones que sean ópimas para la maximización ineremporal que cada uno de ellos resuelve 11. Para el problema planeado, el agene resuelve las condiciones de primer orden (C.P.O) para omar las decisiones ópimas, y ales condiciones vienen dadas por (34) y (35), eniendo en cuena que c = P C, y siendo L la función lagrangiana. δl = β j P +j U c (c +j ) λ δc +j (1 + R,+j ) = 0 (34) j δl = β j+1 P +j+1 U c (c +j+1 ) λ = 0 (35) δc +j+1 (1 + R,+j+1 ) j+1 Las C.P.O (34) y (35) pueden reescribirse de la siguiene manera: Dividiendo a (37) por (36), enemos: P +j β j U c (c +j ) = λ (36) (1 + R,+j ) j P +j+1 β j+1 U c (c +j+1 ) = λ (37) (1 + R,+j+1 ) j+1 β j+1 U c (c +j+1 ) β j U c (c +j ) = P +j+1 P +j Luego, haciendo uso de (15) y (30), se obiene βu c (c +j+1 ) U c (c +j ) = (1 + R,+j ) j (1 + R,+j+1 ) j+1 (38) 1 (1 + r +j,+j+1 ) (39) A parir de (39), se obiene en forma inmediaa la ecuación de Euler, que viene dada por (40) y es una condición de opimalidad de noable imporancia para la elección que lleva a cabo el individuo. U c (c +j ) = β(1 + r +j,+j+1 )U c (c +j+1 ) (40) 11 Las decisiones se oman una sóla vez, en, y son ópimas para los infinios períodos. En ese senido, la previsión perfeca juega un rol clave. 15

16 La ecuación de Euler resume la condición que debe cumplir la decisión del individuo para que sea ópima. Teniendo en cuena que β = 1, y dado que 1+ρ ha supueso que la uilidad marginal del consumo es decreciene, enonces al ecuación muesra que si la asa de inerés real de la economía es mayor que la asa de impaciencia que iene el individuo, enonces ése elegirá un sendero de consumo creciene. Puede verse que en ese caso c +j será menor que c +j+1 para odo j. Esa conclusión puede comprenderse de manera inuiiva eniendo en cuena que la asa de impaciencia es el coso que iene para el individuo dejar de consumir en el presene para aumenar su consumo en el fuuro, mienras que la asa de inerés real es la ganancia de esa espera. Por lo ano, si r supera a ρ, al individuo le compensa esperar para consumir, y así obener una mayor nivel de uilidad. La variable que acúa como un mecanismo de ransmisión de consumo en el iempo son los bonos 12. Conclusiones opuesas podrían obenerse para el caso en que r sea menor a ρ, en cuyo caso el individuo elegiría un sendero de consumo decreciene. Hallaremos ahora la asa marginal de susiución enre la enencia de saldos reales y el consumo de bienes, que viene dada por el cociene de las respecivas uilidades marginales. Para ello buscamos la condición de primer orden respeco a los saldos reales, recordando que m = P M : δl = β j P +j R +j,+j+1 U m (m +j ) λ δm +j (1 + R,+j ) j (1 + R +j,+j+1 ) = 0 (41) Reescribiendo (41), se iene P +j β j R +j,+j+1 U m (m +j ) = λ (1 + R,+j ) j (1 + R +j,+j+1 ) (42) Finalmene, dividiendo a (42) por (36), se obiene la asa marginal de susiución buscada: T MS m,c = U m(m +j ) U c (c +j ) = R +j,+j+1 (43) (1 + R +j,+j+1 ) Vemos enonces que la asa marginal de susiución enre m y c es equivalene al coso de oporunidad de manener dinero en carera. Ese coso de oporunidad puede ser inerpreado de la siguene manera: demandar una unidad 12 Por lo ano, la ecuación de Euler podría obenerse a parir de la condición de primer orden respeco a b +j, haciendo uso de (34) y (35). Eso es así dado que los bonos consiuyen el acivo que vincula las uilidades marginales del consumo en los disinos períodos. 16

17 de dinero en +j permie incremenar el consumo en +j+1; sin embargo, eso rae un sacrificio de consumo presene, que puede ser inerpreado como el consumo en +j+1 implício en la asa de inerés a la cual se renunció, que es igual al precio del bien en +j muliplicado por la asa de inerés nominal enre +j y +j+1, dividido por el precio del bien en +j+1 (que era el momeno en el que el bien podía ser consumido), desconado por la asa de R +j,+j+1 (1+R +j,+j+1 ) inerés real, de lo que surge el valor 13. Si la uilidad marginal del dinero es cero, la única forma de manener dinero en carera consise en que el coso de oporunidad de manenerlo en ella sea nulo, es decir, R +j,+j+1 = 0. De la misma manera, cuando la asa de inerés nominal es posiiva, el dinero iene que brindar algún servicio adicional al de rasladar consumo en el iempo para que exisa una demanda posiiva de al acivo, dado que para aquella función hay oros acivos que lo denominan, que son los bonos. Demanda de dinero A parir de la expresión para la asa marginal de susiución enre saldos reales y consumo puede hallarse la función de demanda de dinero del agene represenaivo, la cual endrá validez para un modelo con las especificaciones dadas aneriormene. De (43), rasponiendo érminos (y omiiendo el subíndice j) se iene R,+1 U m (m ) = U c (c ) (1 + R,+1 ) (44) Luego, de (44), podemos pasar al miembro de la derecha la función de uilidad como su inversa, obeniéndose m D R,+1 = Um 1 [U c (c ) (1 + R,+1 ) ] (45) 13 Obsérvese que T MS m,c = P +j 1 R +j,+j+1 P +j r +j,+j+1 = P +j P +j+1 R +j,+j+1 P +j+1 P +j R +j,+j+1 = R +j,+j+1 (1 + R +j,+j+1 ) 17

18 lo que consiuye la función de demanda de dinero del agene represenaivo. Podemos ver que un aumeno en el consumo provoca un descenso en la ulidad marginal del consumo, lo que implica un aumeno en la canidad demandada de dinero (por la función inversa especificada). Esa conclsión es inuiiva, dado que para consumir una mayor canidad de bienes se necesia de una mayor liquidez, por lo que la enencia de saldos reales endería a ser mayor. Asimismo, un aumeno de la asa de inerés nominal implica una disminución en la canidad demandada de dinero. Esa conclusión ambién es inuiivamene obvia, ya que un aumeno de la asa de inerés hace más aracivo a los bonos, que son el acivo alernaivo al dinero, por lo que la demanda de ése endería a reducirse. En general, la función de demanda de dinero del agene viene dada por m D = m(c, R,+1 ) (46) siendo δm D δc > 0 δm D δr < 0 Modelo de Ramsey con dinero Hasa ese momeno, hemos supueso que la producción de bienes en la economía venía dada de manera exógena. Ese es un supueso que de ninguna manera se ajusa a la realidad. De hecho, la inversión en bienes de capial iene un rol fundamenal en la explicación del crecimieno de las economías. Por lo ano, en esa sección levanaremos el supueso de que la producción se deermina de manera exógena, y supondremos que ésa depende del sock de capial real, k, acumulado en el período anerior. Para simplificar, supondremos que los individuos no pueden demandar bonos, por lo que la única manera que ienen de rasladar consumo en el iempo es mediane acumulación de capial o de dinero. El capial se deprecia a una asa δ. El reso de los supuesos se manienen iguales, por lo que la esrucura de decisión será similar. En ese nuevo caso, el problema de maximización del agene consise en Max β U(c, m ) s.a. P f(k 1 ) = P c +P [k (1 δ)k 1 ]+M M 1 18

19 La función lagrangiana del problema es L = β U(c, m )+λ [P f(k 1 ) P c P k +P k 1 P δk 1 M +M 1 ] Para el problema de maximización dado, las condiciones de primer orden vienen dadas por (47) y (48): δl δc = β U c (c ) λ P = 0 β U c (c ) = λ P (47) δl δk = λ +1 P +1 [f (k ) + 1 δ] λ P = 0 (48) δl δc +1 = β +1 U c (c +1 ) λ +1 P +1 = 0 (49) De (48) puede deducirse el valor de λ P, e inroduciendo ese resulado en (47), se iene β U c (c ) = λ +1 P +1 [1 δ + f (k )] (50) Análogamene, de (49) puede deducirse el valor de λ +1 P +1, y susiuyendo en (50), se iene β U c (c ) = β +1 U c (c +1 )[1 δ + f (k )] (51) La ecuación (51) es la Ecuación de Euler para el modelo de Ramsey con dinero. Acumular una unidad más de capial iene un coso y un beneficio. El coso viene dado por el sacrificio de consumo presene que al acción provoca. El beneficio viene dado por el hecho de que una unidad más de capial permie consumir en el período siguiene esa unidad más la producividad marginal nea que aquella rinde (que viene dada por la producividad marginal brua, f (k), menos la asa de depreciación, δ). Ese beneficio se descuena por β (el facor de descueno), dado que al exisir una ciera impaciencia consumir una unidad en el presene no iene esricamene el mismo valor que consumir una unidad en el fuuro. La ecuación de Euler muesra que la acumulación de capial ópima viene dada por el puno en el los cosos marginales de acumular capial se igualan a los beneficios marginales. Dado que en ese modelo el dinero sigue dando uilidad a los agenes, puede buscarse una condición para que la enencia de saldos reales sea ópima. La C.P.O respeco a la demanda de saldos reales viene dada por (52), eniendo en cuena que m = M P. δl δm = β U m (m ) λ P + λ +1 P = 0 (52) 19

20 Para coninuar con nuesro desarrollo analíico nos resulará úil la siguiene expresión: λ +1 P = λ +1 P +1 P P +1 Luego, eniendo en cuana la anerior ecuación, y susiuyendo en (52) por (47) y por el valor de λ +1 P +1 que surge de (49), se iene la cual puede reexpresarse como U m (m ) = U c (c ) βu c (c +1 ) P P +1 (53) U c (c ) = U m (m ) + βu c (c +1 ) P P +1 (54) La ecuación (54) es una nueva ecuación de Euler, que en ese caso relaciona la demanda de saldos reales con el consumo presene y el consumo fuuro. Al acumularse una unidad más de saldos monearios, se sacrifica la uilidad marginal que hubiera dado consumir esa unidad en el presene, lo que consiuye un coso marginal. Sin embargo, esa decisión ambién produce un beneficio marginal, dado que la enencia de saldos reales ocasiona una uilidad posiiva, y además ese dinero puede ser uilizado en el fuuro para consumir bienes. En ese caso, esa úlima uilidad marginal no sólo se descuena por la asa de impaciencia, sino ambién por la asa de inflación, dado que el dinero es un acivo que esá expueso a esa asa. Nuevamene, la ecuación de Euler indica que se acumularán saldos reales hasa el puno en que el beneficio marginal de acumular ales saldos se iguale al coso marginal. Pueden obenerse conclusiones congruenes con el análisis de la demanda de dinero realizado en el aparado anerior. Cuano mayor sea la asa de inflación, menor será la uilidad marginal de acumular saldos reales, dado que la canidad que podrá ser consumida en el fuuro será menor. Por lo ano, la demanda de dinero enderá a ser baja en períodos con ala inflación En la presene noa se deja de lado el esudio de la dinámica de ese modelo en una siuación de esado esacionario. Podría demosrarse que en el esado esacionario los niveles de consumo y acumulación de capial son independienes de la ofera monearia decidida por el Banco Cenral, lo que da la idea de un modelo con una dinámica superneural. 20