TEMA 62. Series estadísticas bidimensionales. Regresión y correlación lineal. Coeficiente correlación. Significado y Aplicaciones

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1 Tem 6. Seres estdístcs dmesoles. TEMA 6. Seres estdístcs dmesoles. Regresó correlcó lel. Coecete correlcó. Sgcdo Aplccoes. Itroduccó Geerlmete cudo se hce estudos estdístcos de u polcó estos o se lmt l estudo de u úc vrle, so que se estud más vrles. E este tem os cetrremos e el estudo estdístco couto de dos vrles de u msm polcó que deotremos co ls letrs X e Y. No sólo os cetrremos e ls estdístcs dvdules de ms, so que tmé l relcó etre ells. Ls vrles que cosderremos e este tem so sólo cutttvs, pues ls culttvs o os permte estlecer relcoes etre ls vrles. Cudo estudmos l relcó etre ls vrles X e Y puede ocurrr tres coss: - Vrles depedetes: o se puede estlecer relcó í etre ls dos vrles, por lo que se puede cosderr depedetes. Por eemplo s estudmos l ltur de l polcó el úmero de hors de sueño. - Vrles depedetes: cudo l hcer el estudo de ls dos vrles, X e Y, este u cert relcó etre mos. U eemplo puede ser el estudo de l ltur el peso de ls persos de u polcó geerlmete más ltur mplc más peso - Vrles co depedec ucol: este u relcó ucol etre ls dos vrles,. Eemplos so l relcó etre vrles íscs. De est orm medte u epermeto podemos determr dstts pres X,Y prtr de ls msms oteemos u ucó promd dedo error de ls medds etre e. E este tem trremos co los sguetes dtos estdístcos, de ots de mtemátcs vrle X ísc vrle Y, de los lumos de u clse. Ls clccoes de cd lumos vedrá deds como ls pres, : 3,4, 4,5,,, 4,5, 9,6, 6,7,,,,3, 3,4, 3,3, 4,5, 3,4, 4,6, 4,3,,, 3,4, 3,3,,, 5,6,,.. Dstrucó de recuecs dmesol.. Dstrucó cout. Tls de dole etrd. Dstrucó mrgl. Los dtos estdístcos dmesoles se escre medte epresoes de l orm, dode es vlor de X e es el vlor de Y del dvduo -ésmo de l polcó supodremos co dvduos. Pr orgzr los vlores los epresmos e u tl de dole etrd, dode e cd celd podremos el úmero de dvduos co estos vlores de X e Y, lo que se deom recuec de dch pre,. E l tl poemos X e ls colums e Y e ls ls: X/Y p Totl p - p - p - Totl - - -p Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr

2 Tem 6. Seres estdístcs dmesoles. Notcó: - Frecuec solut,, es el vlor correspodete l úmero de veces que prece l pre de, e l estdístc. Se cumple lógcmete p - Frecuec reltv, r, se clcul como el cocete etre l recuec solut etre el úmero de dtos: r. Es el tto por uo de los vlores de l pre,. Lógcmete se cumple p - Frecuec de l dstrucó mrgl de X, -, que preset el úmero de dvduos co vlor de X gul, depedetemete del vlor de Y. Este vlor os permte clculr el estudo de l estdístc de l vrle X de orm depedete. Se cumple lógcmete que p - Frecuec de l dstrucó mrgl de Y, -, que preset el úmero de dvduos co vlor de Y gul, depedetemete del vlor de X. Este vlor os permte clculr el estudo de l estdístc de l vrle Y de orm depedete. Se cumple lógcmete que - Frecuecs reltvs mrgles de X e Y: reltv de Y. r reltv de X; r Eemplo: ots de mtemátcs ísc dode grupremos los dtos e mrcs de clse: X/Y Totl Totl Estudo mrgl de X o de Y: se hce prtr de tls mrgles dode tommos los vlores de X l últm l mrgl de X o los de Y l últm colum mrgl de Y. E el eemplo teror: X Totl Y Totl -J 8 4 Totl Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr

3 Tem 6. Seres estdístcs dmesoles.. Dstrucó codcod. Depedec e depedec de vrles. Decó: llmmos dstrucó de recuecs codcod de l estdístc X,Y, por l estdístc ded como,. Es decr los vlores de Y que tom l polcó co vlor de do. Pr trr co est dstrucó vmos poer u eemplo de estdístc dmesol, dode Xresultdo de u vlorcó de l ecuest A{,,3} e Y resultdo de u vlorcó de l ecuest B{,,3}. L tl de dole etrd es: X/Y 3 Totl Totl U dstrucó mrgl puede ser el estudo de l vrle Y cudo por eemplo. L recuec reltv codcod vedrá ded como h h sempre que p. L tl codcod pr será Pr Pr 3 X/Y 3 Totl h X/Y 3 Totl - 4 h X/Y 3 Totl h L recuec reltv os permte relcor u vrle co respecto los vlores de l otr, esto os permte elmr terpretcoes lss. Por eemplo, el porcete de persos que tee cácer de pulmó es mor e persos que o tr e l m que los que tr e l m pues l morí de persos o so meros. Pero e cuto estudmos el porcete codcodo veremos que el porcete de meros co cácer de pulmó reltvo l úmero de meros es stte mor que el porcete de persos o meros que tee este cácer. Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr 3

4 Tem 6. Seres estdístcs dmesoles. Podemos ver l depedec e depedec de ls dos vrles, X e Y, prtr de ls dstrucoes codcoles. Vemos cómo se hce esto:. Dos vrles X,Y so depedetes s ls dstrucoes codcoles cocde o so próms ls recuecs reltvs mrgles: Es decr: h gules Esto mplc que l dstrucó de ls recuecs reltvs es depedete de l otr vrle muestrl.. Dos vrles X,Y so depedetes s o so depedetes. E el eemplo teror vemos que clrmete so depedetes pues ls recuecs pr 3 so mu dstts pr o. Proposcó: s dos vrles X e Y so depedetes se cumple l sguete guldd: r r r Demostrcó: por ser depedetes se cumple h r r depedetes 3. Prámetros estdístcos. 3.. Dstrucó codcod Decó: se llm mometo de orde r, s respecto l orge l epresó r s r s sedo, crcterístcdvduo r, s, r Csos prtculres: r r r r mometo orde rdex,, r,, r r r r mometo orde rdey r,, E los csos terores s r tedremos ls meds de ls dos vrles:, Decó: se llm mometo de orde r, s respecto l med o cetrl l epresó m r s r s, crcterístcdvduo r, s, Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr 4

5 Tem 6. Seres estdístcs dmesoles. Csos prtculres: m ; m m m, dspersó de m, dspersó de,,, cov, m, covrz Proposcó: los mometos cetrles de u dstrucó dmesol puede epresrse e ucó de los mometos respecto el orge. Demostrcó: sólo h que ver como ls potecs r s desrrollr por tto poer e ucó de mometos respecto el orge. Eemplo: m,,,,,, se puede 3.. Covrz Uo de los prámetros co más mportc sgcdo es el mometo cetrl de orde,, coocdo como covrz, dedo de l sguete orm: m,, Notr que cudo los vlores de de se sepr de los vlores de e, los dos sedo mores o los dos meores producto postvo etoces l cotrucó l prámetros es postv; s es mor que e es meor que o l revés l cotrucó es egtv. Es por esto que l covrz os orm de l relcó etre ls dos vrles, X e Y:. S ls vrles o tee relcó etre sí hrá tts cotrucoes egtvs como postvs e por tto se cumple. Por eemplo s relcomos l vrle X ltur de l perso, Y hors de sueño. S los dtos studos l morí grácmete e l ue de putos e l dgol de pedete postv los dos postvos o egtvos etoces >>. Ls mgtudes se relco de orm drectmete proporcol. Eemplo: e ls ots de mtemátcs ísc se cumple.6 pues como suele ocurrr el que sc ue ot e Mtemátcs lo suele hcer e ísc o l revés. Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr 5

6 Tem 6. Seres estdístcs dmesoles. c. S por lo cotrro los dtos studos mormete e l dgol de pedete egtv cotrucoes egtvs l covrz etoces <<. E este cso ls mgtudes se relco de orm versmete proporcol. U eemplo puede ser X l ot e u eme, Y tempo que el lumo h estuddo el eme. Decó: l mtrz covrz os orm de l dspersó o vrz de ls dos mgtudes depedetes sí como de l covrz etre ms: S So mporttes ls sguetes mgtudes reltvs l mtrz covrz: - Vrz geerlzd: S - Vrz totl: trzs Propeddes covrz: - P: L covrz es vrte co el cmo de loclzcó pero o co el cmo de escl. L relcó es l sguete: cov,cd c cov, - P: cov, - - P3: s ls vrles so depedetes se cumple cov, Demostrcoes: - P: cov, c d,, m c d m c d c d cd c, c cov. - P: demostrdo prtdo teror - P3: cov,, 3.3. Coecete de correlcó. L covrz como hemos vsto e el prtdo teror o es vrte l cmo de escl, por lo que o podemos comprr l covrz de dos estdístcs deretes. Pr solucor este prolem se utlz e coecete de correlcó, r, dedo como: r vr vr, Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr 6

7 Tem 6. Seres estdístcs dmesoles. Al gul que e l covrz se dee tmé l mtrz de correlcó ded como: R r r Propeddes: - P: Ivrtes l cmo de loclzcó escl: corrmcdcorr, - P: A prtr de mometos e el orge: r, - P3: L correlcó es sempre e vlor soluto meor que l udd: - r - P4: S ls vrles depedetes se cumple r Demostrcó:, c d c - P: corr, c d r vr vr c d vr c vr - P: vr,,, - P3: S llmmos E l vlor esperdo se cumple, Eλ. Operdo qued l epresó λ E λe E Y. Pr que est ecucó de segudo grdo sempre postv se cumple que su dscrmíte será egtvo: 4 E -4 E E E E E E, E E - P4: es lógco pues s so depedetes como vmos e teror prtdo. 4. Aálss gráco. Regresó. Muchs veces e el álss estdístco, por tto eómeos crcterzdos por el zr, tervee dos vrles cu luec mutu es desele coocerse. Vmos ver e este puto como oteer l relcó etre u vrle respuest otr vrle cotrol cudo se cooce lgus pres de vlores de mos, ests sometdos posles errores de medcó. Est depedec ucol etre ls dos vrles se clcul prtr de l regresó. A l hor de clculr l regresó podemos dstgur etre dos tpos de depedecs: -Relcó ucol perect: los eemplos más mporttes so ls que relco dos mgtudes íscs, como por eemplo l poscó el tempo e u movmeto uorme: sv ts. Auque ls vrles tee que cumplr l epresó de orm ect, dedo l error epermetr l hor de relzr l medcó. - Depedec estdístc: h u relcó etre ms vrles pero o se pude der u relcó ucol ect pues los resultdos sometdos ls lees del zr. Eemplo típco puede ser l relcó etre el peso l ltur de ls persos., Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr 7

8 Tem 6. Seres estdístcs dmesoles. Grác de dspersó dmesol ue de putos: represetmos ls pres de putos de ls dos vrles,, e los ees coordeds. A prtr de est represetcó veremos áclmete l depedec, o o de ls dos vrles. Vemos tres eemplos: Tedec lel. Tedec letor vrles depedetes Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr 8

9 Tem 6. Seres estdístcs dmesoles. Es mportte remrcr l derec etre l terpolcó, dode l epresó lgerc que relco ls dos vrles ps por todos los putos de l ue, por tto tee ttos prámetros gul uo más que el grdo s es terpolcó polómc l regresó, dode los putos o tee porque perteecer l epresó lgerc clculd, so que promrse lo mámo ell es por esto que l regresó tee meos prámetros lres que el úmero de putos. Pr clculr l regresó es ecesro r el tpo de epresó l que vmos ustr l ue de putos. Ls más mporttes so l regresó lel, polómc, epoecl logrítmc. E tods ells l regresó usc los prámetros de l epresó que mmz el error de l vrle respuest geerlmete detcd por respecto l vrle de cotrol geerlmete detcd por. El método más mportte es el deomdo mímo cudrdo: este método sdo e mmzr ls dstcs l cudrdo de los putos l ucó oted por regresó: Mímos cudrdo : m g solucó es g, ucó regresó. g 5. Regresó lel. Es l regresó más secll udmetl, que este multtud de relcoes etre dos vrles que se comport de est orm. Buscmos por tto u epresó g dos prámetros clculr. Pr su cálculo utlzremos el método de mímos cudrdos. Proposcó: Dd u dstrucó estdístc dmesol, l rect de regresó que se otee por mímos cudrdos es co Demostrcó: Vemos que l epresó teror es l que mmz ls dstcs l cudrdo. Teemos que mmzr Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr 9

10 Tem 6. Seres estdístcs dmesoles. Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr pues el tercer memro se ul l ser l med el cetro de grvedd de los dtos Luego teemos que mmzr:. Como so dos sumdos depedetes, pr mmzr el prmero st co hcer pr se. Tedremos que mmzr el º memro e ucó de :. Es u práol e cócv luego el mímo está e el vértce:. Despedo. Oservcoes: - Oservcó : l rect se puede poer o r - Oservcó : cudo queremos poer l epresó de e ucó de, mmzdo por tto ls dstcs e el ee horzotl es - Oservcó 3: Ls rects vs, vs, se cort e el cetro de grvedd :,. - Oservcó 4: El vlor de r mrc el crecmeto el decrecmeto de ms rects, s r> ls rects crecerá s r< ls rects decrecerá. 6. Sgcdo del coecete de correlcó e l rect de regresó. Como veremos l ormcó del coecete de correlcó es mu mportte e l relcó lel etre ls dos vrles de estudo. Dd l dstrucó estdístc, su rect de regresó, llmmos resduos ls derecs etre los vlores de sus correspodetes vlores de l rect coocdo el vlor de :, es decr R L rect de regresó, como hemos vsto, hce mímos l sum de los resduos l cudrdo. Est sum de resduos l cudrdo se llm vrz resdul, Se.Su vlor es:

11 Tem 6. Seres estdístcs dmesoles. Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr r R Se Como r, se cumple que l vrz resdul oscl etre su vlor mámo Se s r sucesos depedetes Se s r{-,} sucesos ucoles 7. Otros tpos de regresoes. No sempre l rect de regresó reproduce los meores resultdos pr relcor ls dos vrles, e. L orm más ácl de ver s l regresó lel puede ser o o ue epresó pr relcor ls dos vrles es prtr de oservr l ue de putos. 7.. regresoes lelzles. E este prtdo veremos relcoes o leles co dos prámetros lres, pero que prtr de u cmo de vrle podemos trsormrls e ucoes leles. De est orm podemos clculr los prámetros de ls epresoes de gul orm que l regresó lel hcedo prevmete u cmo de vrle. Vemos lgu de ests epresoes: - Potecl: co ulog vlog se trsorm e u v - Cudrátc: co u v se trsorm e u v - Ivers: /, co el cmo de vrle, v u/ se trsorm e u v Regresó polómc. U geerlzcó secll e mportte de l regresó lel es l regresó polómc de grdo :. E est regresó tedremos que determr los coecetes del polomo. Pr su cálculo hcemos el método del mímo cudrdo:... m Pr determr los prámetros demos G,,,..., que teemos que mmzr e ucó de elegr correctmete los prámetros. Pr clculr est epresó teemos que dervr respecto los prámetros e guldo cero: - G... - G... - G... -

12 Tem 6. Seres estdístcs dmesoles. - G... Que es u sstem de ecucoes leles e gul úmero de cógts, que se pude resolver áclmete por Crmer o por Guss. 8. Aplccoes. 8.. Usos usos de l regresó. L plccó de los métodos epuestos de regresó correlcó ege u álss teórco prevo de ls posles relcoes etre ls vrles. Puede ocurrr que se seleccoe dos vrles culesquer l zr que dé l csuldd de que, estdístcmete, l correlcó se perect cudo o este relcó posle etre ells. Se dee seleccor vrles etre ls que l udmetcó teórc vle lgú tpo de relcó, evtdo, e lo posle, relcoes trvés de otr vrle prcpl Predccó. El oetvo últmo de l regresó es l predccó o proóstco sore el comportmeto de u vrle pr u vlor determdo de l otr. Así, dd l rect de regresó de sore, pr u vlor de l vrle, oteemos Es clro que l ldd de est predccó será tto mor, e prcpo, cuto meor se l correlcó etre ls vrles. Por tto, u medd promd de l odd de l predccó podrí ver dd por r. 9. Coclusoes. Ls seres estdístcs dmesoles l correlcó lel es u udd ddáctc que se mprte e l sgtur de Mtemátcs I de º de Bchllerto de Cecs, e Mtemátcs pr ls CCSS tmé de º de Bchllerto. Es tereste es est udd eseñr l potec de ls herrmets ormátcs pr el cálculo de los prámetros estdístcos de l correlcó lel como ls hos de cálculo Ecel de Mcrosot, o Clc de OpeOcce. Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr