Vector fijo Al nlizr ls mgnitudes físics, podemos observr l existenci de dos tipos bien diferencidos: Mgnitudes esclres Mgnitudes vectoriles Son quells que pueden quedr determinds por el número que expres su medid, como el tiempo, el volumen de un cuerpo o l tempertur. Son quells que pr su determinción, demás del número que expres su medid, necesitn de otros elementos, como l dirección y el sentido. Ls representmos medinte vectores geométricos, y un ejemplo de ells son ls fuerzs, ls velociddes, etc. Dos puntos distintos A y B determinn un rect que llmremos l rect r. Tmbién determinn el segmento AB o BA. Si el segmento AB se consider recorrido de A hci B, se dice que es el vector fijo de origen el punto A y extremo el punto B, y se design por l letr de su origen seguid de l de su extremo y con un flech encim de ls misms, es decir, AB. Un vector fijo es un segmento cuyos extremos se dn en un cierto orden. Dos puntos A y B determinn un sólo segmento, AB BA, y dos vectores fijos AB y BA. Un vector fijo se dice que es un vector fijo nulo cundo su origen y su extremo coinciden: AA, BB y CC son vectores fijos nulos. Dos puntos A y B determinn un rect. L rect r Dos puntos A y B determinn el segmento AB BA Dos puntos A y B determinn dos vectores fijos AB y BA Además del punto origen y extremo, en un vector fijo se observn ls siguientes crcterístics: Módulo de un vector fijo AB Es l longitud del segmento AB, y se represent por AB. Pr expresr que el vector AB tiene de módulo 3 cm, se escribe AB 3 cm. I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez
Un vector nulo AA tiene de módulo cero. AA 0 Dirección de un vector fijo AB Es l determind por l rect que ps por los puntos A y B. Tods ls rects prlels tienen l mism dirección. Dos vectores fijos no nulos tienen l mism dirección si, y sólo si, están situdos sobre l mism rect o sobre rects prlels. Pr expresr que los vectores AB CD AB y CD tienen l mism dirección se escribe Sentido de un vector fijo AB Es el del origen A l extremo B. Un dirección tiene dos sentidos. Los vectores PQ, TV y RS tienen l mism dirección: l dirección Norte-Sur. De ellos, los vectores PQ y TV tienen el mismo sentido, lo que se expres como PQ TV. En cmbio, los vectores PQ y RS tienen sentido contrrio, que se expres como PQ RS Ejemplo: Si tirmos con un ciert fuerz de un pquete situdo en el suelo, qué dtos deberán conocerse de l fuerz? bstrá sólo con uno? Necesitmos sber: Si se tir con más o menos fuerz, es decir, con qué intensidd. Hci dónde se tir, es decir, qué dirección llev l fuerz y si es hci un ldo o hci el contrrio. No d lo mismo tirr hci rrib que hci bjo, hci l derech que hci l izquierd, es decir, el sentido de l fuerz. I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez
Por ello, no bstrá dr un sólo número, sino que convendrá representr l fuerz por un vector, dndo su módulo (intensidd de l fuerz), dirección (dirección de l fuerz) y sentido (sentido de l fuerz). Vectores opuestos Dos puntos A y B determinn dos vectores fijos AB y BA que se llmn vectores fijos opuestos. Es evidente que dos vectores fijos opuestos tienen el mismo módulo, l mism dirección y sentidos contrrios. AB BA AB BA AB BA Equipolenci de vectores Dos vectores fijos AB y CD se dicen equipolentes si los dos son nulos o si los dos tienen l mism dirección, el mismo módulo y el mismo sentido. Si los vectores AB y CD son equipolentes, se escribe: AB CD o AB CD AB CD AB CD AB CD Si dos vectores fijos no nulos AB y CD son equipolentes, entonces o bien el cudrilátero ABDC que se obtiene l unir los orígenes por un ldo y los extremos por el otro es un prlelogrmo, o bien los cutro puntos ABDC están linedos. Propieddes de los vectores equipolentes De l definición de equipolenci se deducen ls siguientes propieddes: Reflexiv Simétric Trnsitiv Todo vector es equipolente sí mismo. Si AB Si AB CD CD, entonces CD y CD EF AB., entonces AB EF. I.E.S. Historidor Chbás -3- Jun Brgdo Rodríguez
En consecuenci, l equipolenci de vectores es un relción de equivlenci y todos los vectores fijos del plno se pueden clsificr en clses de equivlenci. Cd clse está formd por todos los vectores fijos equipolentes uno ddo que se llm representnte de l clse. Vector libre Si elegimos un vector fijo culquier, por ejemplo el AB, y considermos todos los vectores fijos que son equipolentes l AB y los grupmos, hemos formdo l clse de equivlenci de- termind por el vector AB. Se llm vector libre del plno cd un de ls clses de vectores fijos del plno que sen equipolentes entre sí. El vector libre definido por AB lo designmos por un letr minúscul o tmbién por AB (clse de representnte AB ): AB vector fijo AB y todos sus equipolentes A veces por simplificción escribiremos AB Al conjunto de los vectores libres del plno lo designremos por V. Se llm módulo, dirección y sentido de un vector libre no nulo, l módulo, dirección y sentido de uno culquier de sus representntes. El vector libre formdo por todos los vectores nulos se llm vector libre nulo. Se design por 0 y crece de dirección y sentido. Propiedd fundmentl de los vectores libres Al contrrio que los vectores fijos del espcio, en los que su origen y su extremo son siempre puntos fijos del espcio, los vectores libres del espcio (como su nombre indic) se pueden plicr libremente en culquier punto del espcio que se desee, con l únic condición de no lterr su módulo, dirección y sentido. Est es l propiedd más importnte de los vectores libre que enunciremos sí: I.E.S. Historidor Chbás -4- Jun Brgdo Rodríguez
Si AB es un vector libre del espcio y O un punto culquier del espcio, existe un único representnte de este vector que tiene su origen en el punto O. Sum de vectores libres Pr sumr dos vectores libres y b se represent uno de ellos, y con origen en el extremo de, se represent el otro vector b. El vector sum de mbos b es el que tiene el origen de y el extremos de b. Otr form de sumr dos vectores libres y b consiste en representr mbos vectores con el mismo origen. El vector sum se obtiene como l digonl del prlelogrmo que tiene por ldos los vectores y b. Ejemplo: Pr llevr l brc l orill del lgo, los hombres ejercen sobre l brc dos fuerzs F y F. L brc se desplz como si sobre ell ctur solmente l fuerz F, que es l resultnte o sum de ls fuerzs F y F, es decir: F F F F F F F L fuerz resultnte F es l digonl del prlelogrmo construido sobre F y F. Ejemplo: Un nddor quiere cruzr ndo un río en dirección perpendiculr l orill. Si l velocidd del nddor se represent por el vector v y l velocidd del río por el vector u, l dirección que llevrá el nddor viene dd por el vector sum v u v v u u I.E.S. Historidor Chbás -5- Jun Brgdo Rodríguez
Ejemplo: Un nddor quiere trvesr un río. Nd un velocidd de 6 km / h, en dirección perpendiculr l orill pero l corriente lo desplz con un velocidd de 4 km / h. Cuál es l velocidd resultnte del nddor y en qué dirección result rrstrdo. L dirección del vector v es l dirección rel en que se mueve el nddor. Este vector represent l velocidd del nddor, indicándonos su módulo, dirección y sentido. El módulo se clcul trvés del Tª de Pitágors. v 6 4 7 ' km/ h L dirección se clcul trvés del ángulo que form el vector con l orill. 6 6 tg rctg 56' 3099º 56º 836 4 4 Ejemplo: Dos pequeñs lnchs yudn que un grn brco slg de su embrcdero. Un de ls lnchs está tirndo de él con un fuerz de 00 N, mientrs que l otr lo hce con un fuerz de 50 N. L primer lnch tom un dirección que form un ángulo de 5º. Qué dirección debe tomr l otr lnch pr que el brco slg prlelo l espigón? Se F 00N y F 50N Ls componentes de ls fuerzs perpendiculres l embrcdero hn de compensrse pr que el brco slg horizontl. Es decir: F F F y y sen 5º F sen F F y 00 0' 46 50sen rcsen 0' 5634 34º 7' 5 ' ' F F y Ejemplo: Un cuerpo que pes kg. ce por un plno inclindo 30º. Descompón el peso p como sum de dos fuerzs N y T, un perpendiculr l plno y otr en l dirección de cíd del cuerpo. I.E.S. Historidor Chbás -6- Jun Brgdo Rodríguez
El peso p es l digonl del prlelogrmo que tiene por ldos ls fuerzs N y T, llmds norml l plno y tngencil l plno respectivmente, es decir, el peso es l resultnte de sumr los vectores N y T. p N T Utilizndo ls relciones trigonométrics, y teniendo en cuent que los ángulos comprendidos entre rects perpendiculres son igules tenemos: T sen 30º T p sen 30º T p sen 30º 05 ' kg p N 3 cos 30º N p cos 30º N p cos 30º 086 ' kg p Propieddes de l sum de vectores libres Conmuttiv b b En l figur se observ cómo se lleg l mismo resultdo culquier que se el orden en que se sumen mbos vectores. Asocitiv (b) c (b c) En l figur se observ cómo l sum de y b sumd su vez con c, d el mismo vector finl que el obtenido sumndo con el resultdo de hber sumdo b con c. Elemento neutro El elemento neutro es el vector 0, y que 0 L sum de un vector libre culquier con el vector nulo es el mismo vector. I.E.S. Historidor Chbás -7- Jun Brgdo Rodríguez
Elemento opuesto Todo vector posee un vector opuesto, que representmos por, que sumdo con él d el vector nulo. ( ) 0 Por cumplirse ests cutro propieddes, result que el conjunto V de los vectores libres del espcio, con l operción intern sum, tiene estructur de grupo conmuttivo. Ejemplo: Dos fuerzs F y F de intensidd 0 y 30 N, respectivmente, ctún sobre el mismo cuerpo y formn entre ells un ángulo de 90º. Cuántos N tiene un fuerz F 3 de mner que sirv pr estblecer su equilibrio? Hemos de hllr el módulo del vector F 3. Por el Tª de Pitágors se tiene: R F F R Por tnto 0 30 36' 05N F3 R 36' 05N Diferenci de vectores Se llm diferenci de los vectores libres y b l vector que result de sumr l primero el opuesto del segundo. b ( b) Producto de un número rel por un vector libre Al multiplicr un vector libre, no nulo, por un número rel no nulo k, obtenemos un nuevo vector k que verific ests tres condiciones: ) L dirección del vector k es l mism que l del vector. es el mismo que el sentido de si k 0, y es contrrio l sen- ) El sentido del vector k tido de si k 0. I.E.S. Historidor Chbás -8- Jun Brgdo Rodríguez
3) El módulo del vector k vector. es igul l producto del vlor bsoluto de k por el módulo del k k k 0 k 0 Propieddes del producto de un número rel por un vector libre Distributiv respecto de l sum de vectores. Distributiv respecto de l sum de esclres Pseudosocitiv (socitiv mixt) h ( b) h hb (h k) h k (hk) h (k) Se observ que hy dos multiplicciones distints: un multiplic dos números ( h k) y d un número, siendo l operción intern; otr multiplic un número por un vector ( k ) y d un vector, siendo por tnto l operción extern. Producto por el elemento neutro de los esclres En ls siguientes figurs se reflejn ls propieddes nteriores. En ells se h tomdo h y k 3. Propiedd Propiedd Propiedd ( u v ) u v u v u v u v u 3u 5u u u 3 u ( 3 u) 6u u 3 u 3 u I.E.S. Historidor Chbás -9- Jun Brgdo Rodríguez
Espcio vectoril de los vectores libres del plno Se V el conjunto de los vectores libres del plno, en el que se hn definido dos operciones: ) Un ley de composición intern, llmd Adición, con sus cutro propieddes. ) Un ley de composición extern, llmd multiplicción por números reles, con sus cutro propieddes. Por cumplir ests ocho propieddes, se dice que V ( V,, R) tiene estructur de espcio vectoril. es un espcio vectoril o que l tern I.E.S. Historidor Chbás -0- Jun Brgdo Rodríguez
Combinción linel de vectores Consideremos los vectores libres v v y v, 3 de l figur. Con ellos se h operdo de l siguiente mner: ) Se hn sumdo los vectores 3 v y v ) Al vector resultnte se le h sumdo el vector v 3. Así, h resultdo otro vector libre del plno, x que es: x3v v v 3 El vector x sí obtenido se dice que es un combinción linel de los vectores v v y v, 3 y tmbién que el vector x depende linelmente de los vectores v v y v, 3. Los números 3, y se llmn coeficientes de l combinción linel nterior. Consideremos hor n vectores libres del plno v v v v,, 3,... n y sen,, 3,..., n n números reles culesquier. Se llm combinción linel de los vectores v,v,v,...v 3 n cd uno de los vectores de l form v v v v v 3 3 n n Se dice tmbién que el vector v depende linelmente de v v v v,, 3,... n. Es fácil comprobr que el vector nulo es combinción linel de culquier conjunto de vectores; bst que sen ceros todos los coeficientes de l combinción linel 00v 0v 0v3 0v n Ahor bien, puede un combinción linel de vectores ser igul l vector 0 sin que sen cero todos los coeficientes? Ejemplo: Un combinción linel de los vectores, b y c es el vector obtenido sí: v b 3 c I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez
Ejemplo: Un combinción linel de los vectores y b es el vector v b Ejemplo: El vector nulo result ser un combinción linel de los vectores x, y, z, t y v de l figur. x y z 0 x y z t v v t Sistem ligdo. Dependenci linel Los vectores, b, c y d son tles que se verific: c b d 3b c0d 0 es decir, hy un combinción linel de ellos que es igul l vector cero sin ser cero todos los coeficientes. Por cumplir est propiedd, se dice que los vectores libres del plno, b c y d son linelmente dependientes. b c 3 b Vrios vectores libres del plno se dice que son un sistem ligdo o que los vectores son linelmente dependientes si hy un combinción linel de ellos que es igul l vector cero, sin que sen cero todos los coeficientes de l combinción linel. Es decir, v,v,v,...v 3 n son linelmente dependientes si, y sólo si, existen ciertos números reles,, 3,...,n tles que v v v v 0 3 3 n n siendo lguno de los,,,..., 3 n distinto de cero. Propieddes ) Si vrios vectores libres son linelmente dependientes, entonces uno l menos de los vectores depende linelmente de los demás y recíprocmente. I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez
Demostrción Supongmos que v, v y v son linelmente dependientes. Entonces en l relción 3 Si 0, se puede despejr v : v v v debe hber lgún i 0 3 3 0 v v 3 v Est iguldd expres que el vector v depende linelmente de v y v 3. Recíprocmente, si v depende linelmente de v y de v 3, v s v s v, entonces v s v s v 0 3 3 3 3 3 con el coeficiente - de v distinto de cero y, por tnto, v v y v, 3 son linelmente dependientes. b) Dos vectores del plno son linelmente dependientes si, y sólo si, son prlelos. En efecto, si y b son prlelos h de ocurrir uno de estos dos csos: que tengn el mismo sentido o que tengn distinto sentido. b Llmndo m se tiene: Si y b tienen el mismo sentido, b m Si y b tienen distinto sentido b m mismo sentido b distinto sentido b Y en culquier de los dos csos b depende linelmente de, y, en consecuenci, son linelmente dependientes. Pr el recíproco, si y b son linelmente dependientes, uno de ellos depende linelmente del otro, b k, pr lgún número rel k. Pero, teniendo en cuent l definición de producto de un vector por un esclr, l relción nterior indic que y b son prlelos. I.E.S. Historidor Chbás -3- Jun Brgdo Rodríguez
Sistem libre. Independenci linel Vrios vectores libres del plno se dice que son un sistem libre o que los vectores son linelmente independientes si hy un combinción linel de ellos que es igul l vector cero, siendo cero todos los coeficientes de l combinción linel. Es decir, v,v,v,...v 3 n son linelmente independientes si, y sólo si, existen ciertos números reles,, 3,...,n tles que v v v v 0 3 3 n n siendo todos los,,,..., 3 n igules cero. Pr dos vectores libres v y v el ser linelmente independientes signific que l relción v v sólo es posible si 0, 0. 0 Dos vectores no nulos del plno de distint dirección son linelmente independientes Demostrción Pr demostrrlo hy que ver que en l relción s pb 0 los números s y p tienen que ser 0. En efecto, si fuer s 0, entonces serí p s b y en ese cso, y b serín prlelos, en contr de lo que hemos supuesto. Bse y dimensión de un espcio vectoril Dos vectores de distint dirección son siempre linelmente independientes y se crcterizn porque culquier otro vector del plno se puede expresr como combinción linel de ellos. Est prej de vectores se dice que constituyen un bse y los representmos con l notción i, j. Se llm dimensión de un espcio vectoril l número de vectores que tienen sus bses. Un bse del plno está formd por dos vectores linelmente independientes, por eso se dice que el plno tiene dimensión dos. En el cso del espcio, un bse está formd por tres vectores linelmente independientes, por eso se dice que el espcio tiene dimensión tres. I.E.S. Historidor Chbás -4- Jun Brgdo Rodríguez
Sistem de referenci en el plno Pr situr los puntos en el plno necesitmos un sistem de referenci. Un sistem de referenci en el plno está formdo por un punto O y un bse i, j, donde O es el origen de los vectores de l bse. Se represent con l notción O, i, j Componentes de un vector libre en un bse dd Se i,j un bse del plno y un vector culquier de V. Se llmn componentes del vector l pr de números reles (, ) tles que permiten expresr el vector como combinción linel de los vectores de l bse del siguiente modo: i j L siguiente figur explic cómo hllr el pr de números reles (, ) Dibujmos i, j y con origen común O.. Se trzn ls rects que psn por O y siguen ls direcciones de i y j sí como ls prlels ésts por el extremo del vector. Ls prlels cortn ls rects que contiene los vectores de l bse en dos puntos, de tl mner que se verific: i j O Dependenci linel de tres vectores del plno Tres vectores culesquier del plno,b y c son linelmente dependientes. En el cso de que los tres vectores sen prlelos son, evidentemente, linelmente dependientes (cso ). En culquier otro cso hbrá dos vectores l menos de distint dirección (csos y 3). cso cso cso 3 b c b b c c I.E.S. Historidor Chbás -5- Jun Brgdo Rodríguez
Supongmos que y b tienen distint dirección. Entonces, por lo dicho nteriormente los vectores y b formn un bse del plno y, en consecuenci, el vector c se puede expresr como combinción linel de y b, es decir c x x b. Por tnto los vectores, b y c son linelmente dependientes. Es fácil probr que tmbién son linelmente dependientes más de tres vectores libres del plno. Coordends crtesins de los puntos del plno Se A un punto culquier del plno. El vector OA, que une el origen O con el punto A se llm vector de posición del punto A y lo representmos por. Ls coordends crtesins del punto A coinciden con ls componentes de su vector de posición OA. Se O, i, j un sistem de referenci en el plno y A un punto culquier. Se verific: i j A cd punto A del plno le hcemos corresponder de modo único su vector de posición OA y éste un pr de números reles (, ) que llmmos coordends crtesins del punto A. Bse ortogonl. Bse ortonorml. Bse cnónic Un bse se dice ortogonl, si sus vectores son perpendiculres entre sí. Bse ortogonl i j Un bse se dice ortonorml, si sus vectores son perpendiculres entre sí y de módulo l unidd (unitrios). Bse ortonorml i j i j I.E.S. Historidor Chbás -6- Jun Brgdo Rodríguez
Un bse se dice cnónic, si es ortonorml y los vectores de l bse tienen como componentes (,) 0 y ( 0,). Bse cnónic i (,0) j (0,) L ortonormlidd exige l ortogonlidd; no l revés. Bse no ortogonl Bse ortogonl Bse ortonorml Componentes de un vector libre determindo por puntos Se O, i, j un sistem de referenci ortonorml del plno, respecto del cul los puntos A y B tienen de coordends A(, ) y B( b, b ) respectivmente. De l figur se obtiene l siguiente relción vectoril: AB b Expresndo los vectores de l relción nterior, en función de sus componentes tenemos: i j b b i b j AB v b b i b j i j ( b ) i ( b ) j Por tnto ls componentes de v son: v AB (b,b ) (, ) (b,b ) I.E.S. Historidor Chbás -7- Jun Brgdo Rodríguez
Ejemplo: Ddos los puntos del plno A(, 5) y B(, 3), clculr ls componentes de los. vectores AB y BA AB (, 3) (, 5) ( 3, ) BA ( 5, ) (, 3) ( 3, ) Ejemplo: Representmos el vector v de componentes (5, 3) con origen en A(, ). Cuál es su extremo B? Cuánto vle su módulo? Se B( b, b ). Se verific: v AB ( b, b ) (, ) ( b, b ) ( 53, ) ( b, b ) 5 b 3 b b b 6 4 El punto B tiene de coordends B( 64, ) Si ls componentes del vector v son ( 5, 3 ), pr clculr su módulo debemos plicr el Tª de Pitágors, siendo: v 5 3 5 9 34 Componentes del vector sum Vmos sumr los vectores libres (, 4) y b (6, ). Puesto que l sum de dos vectores no depende del origen elegido, tomremos como tl el origen de coordends. En l figur se observ que el vector libre b tiene por componentes ( 86,, ) es decir: b (, 4) ( 6, ) b ( 6, 4 ) ( 8, 6 ) I.E.S. Historidor Chbás -8- Jun Brgdo Rodríguez
En generl, si (, ) y bb (, b ) se tiene: b (, ) (b,b ) ( b, b ) Pr sumr dos vectores se sumn sus respectivs componentes. Componentes de l diferenci de vectores Vmos restr los vectores libres ( 3, ) y b ( 4, ). En l figur se observ que el vector libre b tiene por componentes (, 3 ), es decir: b ( 3, ) ( 4, ) b ( 3 4, ) (, 3 ) En generl, si (, ) y bb (, b ), entonces b ( b, b ) y, por tnto: b (, ) (b,b ) ( b, b ) Pr restr dos vectores se restn sus respectivs componentes. I.E.S. Historidor Chbás -9- Jun Brgdo Rodríguez
Componentes del producto de un vector por un número Si conocemos ls componentes de un vector, por ejemplo, ( 4, ) y queremos multiplicrlo por el número 3, lo multiplicmos gráficmente. Ls componentes de 3 son (, 3 ). En l figur se observ que 34 y que 3 3, luego 3 34 (, ) ( 343, ) ( 3, ) 3 En generl, si (, ) y k Rse tiene: k k (, ) (k,k ) Pr multiplicr un vector por un número se multiplicn ls componentes del vector por el número. Ejemplo: Ddos los vectores libres (,), b (, 4) y c (5, 6), probr que y b son linelmente independientes y expresr el vector c como combinción linel de y b. Formn y b un bse? Cuáles son ls coordends de b en est bse? Si son linelmente independientes b0 0 y 0 (, ) ( 4, ) ( 00, ) (, 4) ( 00, ) se deduce el sistem: 0 0 4 0 0 Luego y b son linelmente independientes. Pr expresr c como combinción linel de y b ponemos: x xb c x(, ) x ( 4, ) ( 56, ) ( x x, x 4x ) ( 56, ) De l últim iguldd se tiene el sistem: I.E.S. Historidor Chbás -0- Jun Brgdo Rodríguez
x x 5 x 4x 6 x x c b El pr de vectores (, b ) formn un bse, y ls coordends del vector c respecto de est bse son y. Ejemplo: Averigur si los siguientes vectores son linelmente independientes o linelmente dependientes: (, 5), b (3, ) y c (4, 0). Vemos si los vectores dmiten un combinción linel que de el vector cero, donde no sen nulos todos los esclres, y. (, 5) ( 3, ) ( 4, 0) ( 0, 0) 3 4 0 5 0 3 4 0 5 5 9 0 Si dmos un vlor distinto de cero, obtendremos un tern de esclres, no todos nulos, que proporcionrán el vector nulo. Tomemos por ejemplo, 0, pr evitr vlores frccionrios. Entonces; 9 0 0 0 9 8 0 5 8( 5, ) 0( 3, ) 9 ( 40, ) ( 640, ) ( 60, 40) ( 760, ) ( 00, ) Luego los vectores ddos son linelmente dependientes. Cmbio de bse El problem del cmbio de bse se enunci sí: Conociendo ls coordends ( x, x ) del vector x en l bse B ( u, v ), hllr ls coordends x, x de x en l bse B ( u, v). Pr resolverlo se precis conocer l expresión de los vectores de l primer bse en función de los de l segund (o vicevers). Sen: I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez
u u v v u v Se procede del siguiente modo: x x u x v x ( u v) x ( u v) ( x x ) u ( x x ) v Y como tmbién es x xu x v result, identificndo coordends: x x x x x x que son ls fórmuls del cmbio de bse. Ejemplo: Se sbe que el vector x en l bse B (u,v) tiene por coordends (3,), es decir x 3u v. Hllr ls coordends de x respecto de l bse B (u,v ), sbiendo que: u u v v u 4v x 3u v en l bse B y x x u x v en l bse B Procediendo como se hizo nteriormente se tiene: x 3 ( u v) ( u 4v) x u xv y operndo x 7u v x u x v, de donde ls coordends de x en l bse B son x 7, x, es decir, x 7u v I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez
Producto esclr de dos vectores libres Llmmos producto esclr de dos vectores libres del plno y b, y lo representmos por b, l número: b b cos(,b) Como rel., b y cos(, b) son números reles, el resultdo de multiplicrlos es un número Un mgnitud en Físic, se llm esclr cundo no tiene dirección, como l tempertur el volumen, el trbjo de un fuerz, etc., en oposición un mgnitud vectoril que tiene dirección y sentido, como l velocidd, l fuerz, etc. En el nuevo producto definido, se multiplicn dos vectores, pero el resultdo obtenido es un número, de hí el pellido esclr. Aprentemente existe mbigüedd en l definición de producto esclr b b cos(, b) y que ddos dos vectores podemos considerr dos ángulos: uno menor que 80º y otro myor que 80º. Como cos( 360º ) cos es indiferente el ángulo elegido. Adoptmos el criterio de referirnos siempre l más pequeño. Si los dos vectores y b tienen l mism dirección y sentido se verific: b b cos 0 º b Si los dos vectores tienen l mism dirección pero sentidos opuestos se verific: b b cos 80 º b Si los dos vectores son perpendiculres entre sí se verific: b b cos 90º 0 es decir, su producto esclr es cero. I.E.S. Historidor Chbás -3- Jun Brgdo Rodríguez
Ejemplo: En el triángulo equilátero de ldo 6m, representdo en l figur djunt, se considern los siguientes vectores: u AB v BC y w AC Hll uv, vw y w u Los ángulos interiores del triángulo equilátero miden 60º, por tnto: uv u v cos( u, v) 6 6 cos 0º 8 vw v w cos( v, w) 6 6 cos 60º 8 wu w u cos( w, u) 6 6 cos 60º 8 Interpretción geométric del producto esclr El producto esclr de dos vectores es igul l módulo de uno de ellos por l proyección del otro sobre el primero. Ángulo gudo OH cos OH b cos b b b cos OH ( proyección de b sobre ) OH cos OH cos b b cos b OH b ( proyección de sobre b ) I.E.S. Historidor Chbás -4- Jun Brgdo Rodríguez
Ángulo obtuso Aquí hy que tener en cuent que cos( 80º ) cos b b cos b (cos( 80º ) b (cos( 80 º ) b OH ( proyección de b sobre ) Expresión nlític del producto esclr Se i, j un bse del espcio vectoril y (, ) y ( b, b ) ls componentes de los vectores y b en dich bse. Como culquier vector se expres de form únic en función de los vectores de l bse tenemos: i j b b i b j El producto esclr de los vectores y b, en función de ls componentes en dich bse es: b ( i j)( b i b j) b i i b i j b j i b j j,, estrá determindo el producto esclr en culquier Conocidos i i i j j i y j j bse i, j. En un bse ortonorml, los vectores de l bse son perpendiculres entre sí y de módulo l unidd, por tnto: i i i i cos 0º i j j i i j cos 90º 0 0 j j j j cos 0º L expresión nlític del producto esclr en un bse ortonorml es: I.E.S. Historidor Chbás -5- Jun Brgdo Rodríguez
b b b El producto esclr de dos vectores ddos por sus componentes (, ) y ( b, b ) es igul l sum de los productos de sus componentes respectivs. L expresión nlític del producto esclr se reduce un expresión muy simple si l bse es ortonorml, por este motivo, se utilizn ests bses, pr que los cálculos se simplifiquen l máximo. Ejemplo: Hllr el vlor de pr que el producto esclr de u(, 3) por v(5, 4) se 7. uv(, 3) ( 5, 4) 5 7 3 Ejemplo: Clcul el vlor de m pr que los vectores u i mj y v i j sen ortogonles. Los vectores serán ortogonles si su producto esclr es nulo. uv m m m m,, 0 4 4 Ejemplo: Qué trbjo reliz l fuerz F 3kg, 3kg en l dirección d (m,0m). W Fd ( 33, ) ( 0, ) 3 30 3 kgm Ejemplo: Hllr l proyección del vector u3i 5j sobre el vector v7i j. Sbemos que: uv v proyección de u sobre v proyección de u sobre v u v v ( 35, ) ( 7, ) ( 7) ( ) 5 50 6 50 I.E.S. Historidor Chbás -6- Jun Brgdo Rodríguez
Propieddes lgebrics del producto esclr En ls propieddes y demostrciones que siguen, se mnejn tres productos: el esclr, el producto de un número por un vector y el producto de números reles. Es preciso poner tención, y diferencir en cd cso qué tipo de producto se utiliz.. El producto de un vector por sí mismo es un número positivo o nulo En función de sus componentes tenemos: cos 0º 0 (, ) (, ) 0 0 0. El producto esclr es conmuttivo b b b b cos(, b) b cos( b, ) b En función de sus componentes tenemos: b (, ) ( b, b ) b b b b ( b, b ) (, ) b 3. Distributiv del producto esclr respecto de l sum de vectores Proyectndo los vectores b, c y b c sobre el vector tenemos: s b c b c b c teniendo en cuent el significdo geométrico del producto esclr, result: (b c) b c Si lo hcemos en función de sus componentes tenemos: I.E.S. Historidor Chbás -7- Jun Brgdo Rodríguez ( b c ) b c cos,( b c ) b c b c b c b c
( b c) (, ) ( b c, b c ) ( b c ) ( b c ) b c b c bc 4. Producto por un esclr (o, número rel) ( b) ( ) b ( b) Como los vectores y tienen l mism dirección y el mismo sentido, los ángulos (, b ) y (, b ) son igules, luego: ( ) b b cos(, b ) b cos(, b ) b cos(, b ) ( b ) En función de ls componentes tendremos: Observción ( ) b (, ) ( b, b ) b b ( b b ) ( b ) ( b) ( ) b Vectores perpendiculres. Relción entre sus componentes Si prtimos de un vector (, ) y queremos buscr otro perpendiculr él, existen dos posibiliddes: un es girr el vector 90º en sentido positivo (contrrio ls gujs del reloj) y l otr girr el vector 90º en sentido negtivo ( fvor de ls gujs del reloj). Si observmos l figur de l izquierd, deducimos que ls componentes de b son: b(, ) I.E.S. Historidor Chbás -8- Jun Brgdo Rodríguez
Si observmos l figur de l izquierd, deducimos que ls componentes de b son: b(, ) b y b no son los únicos vectores perpendiculres. Hy muchos, pero todos ellos se pueden expresr de l form k b ( k, k ) con k 0, hecho que confirm el producto esclr. ( kb) ( k, k ) (, ) k k 0 En prticulr, si k se obtiene b opuesto de b. Módulo de un vector Sbemos que: cos 0º Módulo de un vector es l ríz cudrd positiv del producto esclr del vector por sí mismo. Expresión nlític Si ls componentes del vector en un bse ortonorml son (, ), entonces: El módulo de un vector, respecto de un bse ortonorml, es igul l ríz cudrd positiv de l sum de los cudrdos de sus componentes. I.E.S. Historidor Chbás -9- Jun Brgdo Rodríguez
Ejemplo: Dos vectores y b son tles que 0, b 0 3 y b 0. Hll el ángulo que formn los vectores y b. b b b b b b cos 0º b cos(, b ) b b cos 0 º 0 0 0 0 3 0 3 cos(, 400 00 3 b) cos(, b ) 0 400 00 3 cos(, b) 0 00 3 cos(, b) 0 (, b ) 90º Vector unitrio. Normlizción de un vector Un vector es unitrio si su módulo es l unidd. Si u es el vector unitrio en l mism dirección y sentido de otro, verificrá: veces u es igul, es decir: u u Expresión nlític u (, ), Este vector es unitrio, y tiene l dirección y sentido de u. Vmos comprobr que el módulo de este vector es : I.E.S. Historidor Chbás -30- Jun Brgdo Rodríguez
u Normlizr un vector 0 es encontrr prtir de él un vector unitrio de su mism dirección. Quedrá normlizdo dividiendo el vector por su módulo. Ejemplo: Consider el vector u (4, 7) referido l bse cnónic. Encuentr dos vectores que tengn l mism dirección que u y sen unitrios. Pr obtener dos vectores que tengn l mism dirección que u y que sen unitrios, bst con dividir ls coordends del vector u por el módulo del vector u. Se v un vector unitrio. Se cumple que: u u v u 4 ( 7) 65 v u u ( 4, 7) 65 4, 65 7 65 Otro vector que teng l mism dirección que u es por ejemplo el opuesto de v, cuys componentes son: v 4, 65 7 65 Ejemplo: Clcul el vlor de m y n pr que los vectores u i mj y v i nj sen unitrios. Serán unitrios si el módulo es l unidd. u m m m 3 4 v n n n I.E.S. Historidor Chbás -3- Jun Brgdo Rodríguez
Ángulo de dos vectores De l definición de producto esclr: b b cos(, b) cos (,b ) b b L expresión nlític del coseno del ángulo que formn los vectores y b que tienen de coordends (, ) y ( b, b ) respecto de un bse ortonorml es: cos(,b ) b b b b Ejemplo: Hll el ángulo formdo por los vectores u5i j y v8i 6j cos( u, v) ( 5, ) ( 8, 6) ( 5) 8 ( 6) 40 7 69 00 0' 865 30 ( u, v) rccos( 0' 865) 49º 9 8 Ejemplo: Hllr el vlor de k pr que los vectores u i j y v k i 3 j formen un ángulo de 30º. cos 30º (, ) k, 3 k 3 k 446 ' 5 k 498 ' 3 k 8' 9 5 k 4' 98 k 8' 9 5k 74' 73 Elevndo l cudrdo los dos miembros y operndo result: k 03 ' k 35' 68k 4' 83 0 k 337 ' I.E.S. Historidor Chbás -3- Jun Brgdo Rodríguez
Cosenos directores de un vector Se i, j un bse ortonorml y un vector culquier. Se llmn cosenos directores del vector, los cosenos de los ángulos que form los vectores de l bse con el vector. cos( i, ) i i i cos( j, ) j j j Si i ( 0, ), j ( 0, ) y (, ) tenemos: cos(i, ) ( 0, ) (, ) cos(j, ) ( 0, ) (, ) Ejemplo: Hllr los cosenos directores del vector u sbiendo que sus coordends respecto de l bse cnónic son ( 5, ). coscos( i, u) i u i u ( 0, ) ( 5, ) 0 ( 5) 5 3 coscos( j, u) j u j u ( 0, ) ( 5, ) 0 ( 5) 3 I.E.S. Historidor Chbás -33- Jun Brgdo Rodríguez
Aplicciones del producto esclr Distnci entre dos puntos Ddos dos puntos A y B del plno, se llm distnci de A B l módulo del vector AB. L distnci de A B l expresremos de l siguiente mner: da (, B) AB L distnci entre dos puntos es siempre un número positivo o nulo, por serlo el módulo de un vector. Expresión nlític Si A (, ) y Bb (, b ) son ls coordends de los puntos A y B, entonces ls coordends del vector AB son: da (, B) AB OB OA ( b, b ) (, ) ( b, b ) d(a,b) AB b b Propieddes de l distnci. d(a, B) AB 0 Evidentemente, y que AB ABAB 0. d(a, B) AB 0 A B Como AB 0 AB 0 A B 3. Propiedd simétric d(a, B) d(b, A) I.E.S. Historidor Chbás -34- Jun Brgdo Rodríguez
da (, B) b b b b dba (, ) 4. Propiedd tringulr o desiguldd de Cuchy-Schwrz: En todo triángulo se verific que un ldo es menor que l sum de los otros dos. d(a, B) d(a, C) d(c, B) O lo que es lo mismo: AB AC CB L iguldd de est expresión se verific únicmente si A, B y C están linedos. Demostrción En generl, ddos dos vectores en función de sus componentes (, ) y b ( b, b ) puede escribir: se b b b bb ( b b ) ( ) ( b b ) ( b b bb) b b Como el segundo miembro es siempre negtivo, result que: b b 0 b b relción conocid con el nombre de desiguldd de Schwrz que nos dice que el vlor bsoluto del producto esclr de dos vectores libres culesquier es siempre igul o menor que el producto de sus módulos. Por otr prte, sbemos que: b b b Teniendo en cuent l desiguldd de Schwrz: I.E.S. Historidor Chbás -35- Jun Brgdo Rodríguez
b b b b b b b b b es decir b b relción conocid con el nombre de propiedd tringulr, que nos dice que el módulo del vector sum de dos vectores libres culesquier es siempre igul o menor que l sum de sus módulos. Ejemplo: Clcul l distnci entre los puntos A(5, 4) y B(, 8). da (, B) AB ( 5) ( 84) 96 5 Ejemplo: L distnci del punto A(0, 6) otro B del eje de bsciss es 0. Hll ls coordends del punto B. El punto B, por pertenecer l eje de bsciss tiene por coordends B( x, 0 ), luego: da (, B) ( x0) ( 0 6) 0 x 0x36 0 A( 0, 6) x x 0x 36 0 x 8 Soluciones B( 8, 0) y B (, 0) B(, 0) B( 8, 0) Coordends del punto medio de un segmento Consideremos el segmento de extremos A y B y se M( x, y) su punto medio. Se verific que: MA BA I.E.S. Historidor Chbás -36- Jun Brgdo Rodríguez
(, ) ( x, y) (, ) ( b, b) b b ( x, y) ( b, b), x b b x y b b y Ls coordends del punto medio de un segmento se obtienen como semisum de ls coordends de los extremos. (x, y) b, b Ejemplo: Si A(4, 5) y B(6, ) en qué punto cortrá l meditriz del segmento AB dicho segmento? Como l meditriz de un segmento ps por su punto medio, M, tendremos: M 4 6 5, ( 535, ' ) Ejemplo: Si B es el punto de coordends (3, ) cuáles tienen que ser ls coordends del extremo A pr que el punto medio M del segmento AB se M(,)? Aplicndo ls coordends del punto medio se tiene: Ls coordends son A( 3, ) x 3 y x y 3 Ejemplo: Hállense ls coordends del punto simétrico de P(, 7) respecto del punto C(, 3). El simétrico de P será un punto P' que se hll situdo de tl modo que C se el punto medio del segmento PP'. x 7 x 6 3 y y Ls coordends de P' son P' ( 6, ) I.E.S. Historidor Chbás -37- Jun Brgdo Rodríguez
División de un segmento en prtes culesquier Ejemplo: Hállese el punto M, situdo sobre el segmento AB, de modo que l distnci de M A se /5 de l distnci de A B. Consideremos el segmento de extremos A y B y se M( x, y). Se verific que: MA BA 5 (, ) ( x, y) (, ) ( b, b) 5 b b ( x, y) ( b, b), 5 5 5 x b 4 x b 5 5 y b 4 y b 5 5 (x, y) 4 b 5, 4 b 5 Ejemplo: Hállese un punto M, situdo sobre el segmento AB, de modo que l distnci de M A se los 3/5 de l distnci de M B, siendo A( 5, 6) y B(7, ). Se M( x, y). Se verific que: MA 3 BM 5 3 3 3 MA BM ( 56, ) ( xy, ) ( xy, ) ( 7, ) ( x7, y) 5 5 5 3x 3y66 ( 5x, 6y), 5 5 5 x 3x 5 x 05 ' 6 y 3y 66 5 y Ls coordends del punto M son M ( 05 ', ) I.E.S. Historidor Chbás -38- Jun Brgdo Rodríguez
Coordends del Bricentro de un triángulo Se llm bricentro de un triángulo l punto de intersección de sus tres medins. El bricentro tiene l propiedd de que dentro de cd medin está 3 del vértice y 3 del ldo opuesto, es decir, divide l medin en dos prtes, un de ls cules tiene longitud doble que l otr. Si en un cierto sistem de referenci, de origen O, los vértices son A, B y C y sus vectores de posición, b y c respectivmente, el vector de posición del bricentro G, se hllrá teniendo en cuent l relción: g m MG m MA 3 b g m c g m m m m m c CM c CB ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 c b c c b c b c b c 3 ( ) 3 3 3 3 ( ) 3 3 ( ) Al sustituir los vectores de l ecución vectoril por sus componentes nos qued: b c (x, y), b c 3 3 Ejemplo: Si los vértices de un triángulo son A(, ), B( 3, 4) y C(, 3), clculr ls coordends del bricentro. 3 4 3 ( x, y), 3, 3 3 I.E.S. Historidor Chbás -39- Jun Brgdo Rodríguez
Ejemplo: Si dos de los vértices de un triángulo son A(,) y B(, 0), y el bricentro es G 3,0, clculr el tercer vértice. 3 x 3 0 x 0 y y 3 Puntos linedos Decir que tres puntos están linedos es lo mismo que decir que pertenecen un mism rect, o que hy un rect que ps por los tres puntos. AB no AB AC AC Pr que tres puntos A, B y C estén linedos, es necesrio y suficiente que el vector AC múltiplo del vector AB, es decir AC k AB se Ejemplo: Está el punto C(8, 5) linedo con A(, ) y B(, 3)? Y el punto D(9, 6)? AB (, 3) (, ) ( ), 3 ( 3, ) AC ( 85, ) (, ) 8( ), 5 ( 93, ) Como ( 9, 3) 3( 3, ) A, B y C están linedos AD ( 9, 6) (, ) 9 ( ), 6 ( 0, 4 ) deberí existir un número k tl que AD k AB ( 0, 4) k ( 3, ) pero ( 0, 4) ( 3k, k ) exige que 0 3k y 4 k, lo cul es imposible. I.E.S. Historidor Chbás -40- Jun Brgdo Rodríguez
Teorem de Pitágors Prtimos del triángulo rectángulo de l figur, en l que se verific: h b. Multiplicndo esclrmente cd miembro por sí mismo se tiene: hh( b)( b) h b bb Como b b b b 0 pues b h b Todo triángulo inscrito en un circunferenci con un ldo igul l diámetro es rectángulo. Vemos que BA BC, es decir BA BC 0 BA BC BO OA BO OC BOBO BO OC OABOOAOC 0 BO BO OCOA OA r BO0 r 0 Ls lturs de un triángulo se cortn en un punto L ide es l siguiente: Consideremos dos de ls tres lturs, por ejemplo, ls correspondientes los vértices A y B. El punto de intersección H junto con el vértice restnte define un rect. Vemos que en est rect está contenid l tercer ltur. I.E.S. Historidor Chbás -4- Jun Brgdo Rodríguez
Pr ello demostrremos que CH AB 0 CHAB CAAHAC CB CAACCACBAHACAHCB CA AC CBAH y que AH CB 0 por ser AH CB CHAB CAABAH CA AB HA CA HA AB CA HB 0 y que CA HB por construcción. I.E.S. Historidor Chbás -4- Jun Brgdo Rodríguez