El cojuto de los Números Reles Al cojuto de los úmeros reles se lleg por sucesivs mplicioes del cmpo umérico prtir de los úmeros turles. E cd u de ls mplicioes se vz y se logr mejorr respecto de l terior. Co los úmeros turles ( ) se puede sumr y multiplicr pero o se puede restr ( - b) si < b. Se defie sí los úmeros egtivos o eteros egtivos que l uirse co el cero y los turles costituye el cojuto de los úmeros eteros ( ). Co los úmeros eteros ( ) se puede sumr, restr, multiplicr pero o dividir b si o es múltiplo de b. Se defie sí los úmeros frcciorios que uidos los eteros costituye el cojuto de los úmeros rcioles ( ). Todo úmero rciol se puede expresr como u úmero deciml excto 7 Ejemplos : = 3,5 ; = 0, 5 o como u úmero deciml periódico, es decir co ifiits cifrs 8 7 ) 9 ) decimles que se repite Ejemplos: = 0,7777... = 0,7 ; = 3,666... = 3,6 9 6 Co los úmeros rcioles se puede sumr, restr, multiplicr y dividir ( b si b 0). Si bie el cojuto de los úmeros rcioles tiee u muy bue estructur pr relizr ls diferetes opercioes qued lgus situcioes que o se puede cosiderr detro de él (, 5, p, etre otros). Surge los úmeros irrcioles ( ) pr dr respuest ests istcis. Los úmeros irrcioles se puede expresr como úmeros decimles de ifiits cifrs decimles o periódics. Los úmeros irrcioles ( ) uidos los rcioles ( ) defie el cojuto de los úmeros reles ( ). Resumiedo:,, deot el cojuto de los úmeros NATURALES. Surge como elemetos pr cotr y order. Ej:,,3,, deot el cojuto de los úmeros ENTEROS. Es el cojuto formdo por los úmeros turles y sus correspodietes opuestos. Ej:..., -, -, 0,,,, deot el cojuto de los úmeros RACIONALES. Es el cojuto formdo por los úmeros eteros y los frcciorios. Estos úmeros so los que puede expresrse como cociete de dos úmeros eteros, siedo el divisor o ulo. E símbolos: x œ ñ x=/b, siedo b 0,b œ. Ej: ½ ; 0,333 ; - ; -5/7 ; 0,0; 8, 3 ) ; etc., deot el cojuto de los úmeros IRRACIONALES. Es el cojuto formdo por quellos úmeros que o se puede expresr como cociete o rzó etre dos úmeros eteros, siedo el divisor o ulo. Ej: 3, π, 3, 7, etc., deot el cojuto de los úmeros REALES. Es el cojuto formdo por los úmeros rcioles y los irrcioles. Ej: π ; -/3 ; 7 ;,5, etc. Los úmeros reles cumple propieddes compredids e tres ctegorís: propieddes de completitud, de orde y propieddes lgebrics.
E l geometrí lític el pso importte fue estblecer u correspodeci etre los úmeros reles y los putos de l rect. Existe u codició que cumple los úmeros reles llmd xiom de completitud que grtiz u correspodeci biuívoc (uo uo) etre el cojuto de los úmeros reles y el cojuto de putos e l rect o eje. A cd úmero rel le correspode u úico puto sobre l rect y cd puto e l rect o eje se le soci u úico úmero rel. Como se observ e el gráfico, se elige u puto de refereci rbitrrio sobre l rect l que se deomi orige. Se seleccio demás u uidd de logitud pr medir distcis. Se elige tmbié u setido lo lrgo de l rect l que se llm positivo y se cosider como egtivo l setido opuesto. A cd úmero rel etoces se le soci u puto de l rect teiedo e cuet lo siguiete: se soci l orige el úmero 0, se soci cd úmero positivo p u puto que está u distci de p uiddes del orige e l direcció positiv, se soci cd úmero egtivo - p el puto que está p uiddes de distci del orige e l direcció egtiv. Los putos e l rect se idetific co los úmeros que represet. El úmero rel que le correspode u puto de l rect se deomi coorded o bscis del puto y l rect recibe el ombre de rect rel, rect coorded, rect uméric o rect de los úmeros reles. Tmbié se l cooce como eje coordedo o eje rel. El cojuto de los úmeros Reles cubre o COMPLETA l rect si dejr "huecos". Ejemplo. El cojuto de los úmeros Reles es DENSO, y que etre dos úmeros reles culesquier siempre es posible ecotrr otro úmero rel. Los úmeros Reles está ORDENADOS cumpliedo sólo u de ls firmcioes siguietes: ddos dos úmeros reles y b puede ser que se meor que b, se myor que b o se igul b. Puede observrse e l rect que < b si y sólo si el puto que represet l úmero está l izquierd del puto que represet l úmero b. Aálogmete, > b sí y sólo sí el puto que represet l úmero se hll l derech del que represet b. Si = b, los putos se superpoe. L relció de orde qued estblecid teiedo e cuet que el puto precede l puto b si el úmero rel es meor que el úmero rel b ( < b). Ls propieddes lgebrics estblece que los úmeros reles puede ser sumdos, restdos, multiplicdos y divididos (excepto por cero) obteiédose otro úmero rel. Propieddes de l sum y el producto etre úmeros reles Siedo,b,c tres úmeros reles rbitrrios, (+b)+c = +(b+c) socitividd de l sum +0 = 0+ = 0 es el elemeto eutro de l sum (-)+ = +(-) = 0 existeci del elemeto opuesto o iverso ditivo +b = b+ comuttividd de l sum (.b).c =.(b.c) socitividd del producto. =. = es el elemeto eutro del producto
.0 = 0. = 0 0 es el elemeto bsorbete del producto -. =. - =, ( 0) existeci del elemeto recíproco o iverso multiplictivo.b = b. comuttividd del producto (+b).c =.c+b.c distributividd del producto co respecto l sum Si =b, etoces +c = b+c mootoí de l sum Si <b, etoces +c < b+c mootoí de l sum Si >b, etoces +c > b+c mootoí de l sum Si = b, etoces.c = b.c mootoí del producto Si <b y c>0, etoces.c < b.c mootoí del producto Si <b y c<0, etoces.c > b.c mootoí del producto Si.b =0, etoces = 0 ó b = 0 ( ± b) = ±..b + b cudrdo de l sum/difereci de u biomio b = (+b).(-b) difereci de cudrdos Pr reflexior: Si.c = b.c, etoces =b? Por ejemplo: 3.0 = 0 y 5.0 = 0, por lo tto 3.0 = 5.0, etoces 3 = 5? Qué coclusió se puede scr? Propieddes de l potecició de úmeros reles Siedo,b dos úmeros reles rbitrrios, distitos de cero y m, dos úmeros eteros rbitrrios y distitos de cero, 0 = = m. = m+ producto de potecis de igul bse m : = m- cociete de potecis de igul bse ( m ) = m. poteci de poteci (.b) =.b distributividd de l poteci co respecto l producto de ls bses (:b) = :b distributividd de l poteci co respecto l cociete de ls bses b = b recíproco de u frcció ( ± b) π ± b NO distributividd de l poteci co respecto l sum o difereci de ls bses Propieddes de l rdicció de úmeros reles Siedo,b dos úmeros reles rbitrrios, myores que cero y m, dos úmeros turles rbitrrios y distitos de cero,.b =. b distributividd de l rdicció co respecto l producto e el rdicdo : b = : b distributividd de l rdicció co respecto l cociete e el rdicdo ± b ± b NO distributividd de l rdicció co respecto l sum/difereci m.m = ríz de ríz m = m ( ) Si existe, etoces ( ) Si es u úmero impr, etoces ( ) = ccelció etre rdicció y potecició = ccelció etre rdicció y potecició
Si es u úmero pr, etoces ( ) = ccelció etre rdicció y potecició Si r Œ y r 0 ï c.r = Si r Œ, r 0, r es divisor de ï m.r c = : r m : r Poteci de expoete rciol L defiició, propieddes y opercioes de l poteci se estbleciero, e pricipio, solo pr expoete turl. Luego, co l prició de l poteci egtiv, se extedió todos los úmeros eteros. Ahor se extederá ú más el cocepto, defiiedo l poteci de expoete frcciorio. Qué sigificdo tiee? Coviee doptr u defiició que coserve tods ls propieddes de l potecició. E prticulr: m m. ( ) =. Si m=/ y = ï. = = =. Lo cul requiere que se iterprete como u de ls ríces cudrds de (supoiedo que >0): Aálogmete: = Defiició: Si es u úmero frcciorio, myor que cero y m, so dos úmeros eteros myores que m m m cero, se defie: = y = m Si es u úmero frcciorio egtivo, est defiició tiee setido sólo si m es impr. Por qué? E resume: Tod poteci de expoete frcciorio positivo es igul l rdicl cuyo ídice es el deomidor del expoete y cuyo rdicdo es l bse de l poteci elevd u expoete igul l umerdor del expoete ddo. Tod poteci de expoete frcciorio egtivo es igul l recíproc del rdicl cuyo ídice es el deomidor del expoete rciol y cuyo rdicdo es l bse de l poteci elevd u expoete igul l umerdor del expoete ddo. = 3 3 3 3 Ejemplos: = 7 = 3 4 = 4 = ( ) 3 7 = = 8 6 3 - = 6 = 4 De est mer, l defiició, propieddes y opercioes de l poteci de expoete rciol coicide co ls vists pr l poteci de expoete turl. Cbe clrr que, uque escp este curso, ls propieddes y opercioes de l poteci vists sigue siedo válids si el expoete es u úmero rel. Vlor Absoluto de u úmero Si es u úmero rel etoces es l coorded o bscis del puto A sobre l rect rel o uméric. El símbolo I I idic el úmero de uiddes etre el puto A y el orige. El úmero I I, o egtivo, se llm vlor bsoluto de. E l siguiete gráfic, los úmeros -3 y 3 represet ls coordeds de dos putos distitos e l rect uméric. Si embrgo, mbos está situdos l mism distci del 0.
El puto correspodiete - 3 está situdo l izquierd del 0 l mism distci que el puto correspodiete 3 que se ecuetr situdo l derech. Esto se idic co l otció vlor bsoluto: I 3I = 3: vlor bsoluto de -3 es 3. I 3 I = 3: vlor bsoluto de 3 es 3. Pr u úmero positivo result que su vlor bsoluto coicide co él, mietrs que si el úmero es egtivo su vlor bsoluto es el opuesto de. Además como 0 es el orige, es evidete que 0 = 0. Desde el puto de vist geométrico el vlor bsoluto de u úmero es l distci etre el puto y el orige. Desde el puto de vist lgebrico, se defie el vlor bsoluto de u úmero de l siguiete mer: = El vlor bsoluto de todo úmero rel es u úmero o egtivo. E símbolos: Distci etre dos putos El cocepto de vlor bsoluto permite defiir l distci etre dos putos culesquier de l rect rel. Por ejemplo, l distci etre los putos de bsciss 3 y 8, es 5. Est distci se obtiee l restr ls coordeds de los putos: 8 3 = 5. Utilizdo vlor bsoluto 8 3 = 5. Como 3 8 tmbié es 5, se cocluye que o import el orde e el que se relice l rest. De l mism mer si se dese determir l distci etre los putos de bsciss y 5: 5 ( ) = 5 + = 7 = 7 5 = 7 = 7 Pr clculr l distci etre dos putos ubicdos l izquierd del orige, se obtiee: 3 ( ) = 3 + = = ( 3) = + 3 = = Defiició. Se y b ls coordeds o bsciss de los putos A y B sobre l rect rel. L distci etre ellos está dd por:
d(a, B) = b = b Se puede observr que l distci etre el orige O y el puto A está dd por: d(a, 0) = 0 = 0 = Ejemplo: Qué vlores está tres uiddes de cero e l rect uméric? d(a,0)=3 = I-0I = I0-I ï =-3 ó =3 Ejemplo: Qué vlores está ocho uiddes de dos e l rect uméric? d(a,)= I-I=I-I=8 ï =-6 ó =0 Propieddes del vlor bsoluto.b =. b,, b, b 0 + b + b, dode, b R (desiguldd trigulr) : = Se k œ R, tl que k>0, I I=k ñ =k ó =-k Se k œ R, tl que k>0, I I< k ñ -k < < k Est propiedd tmbié es válid pr Se k œ R, tl que k>0, I I>k ñ <-k ó >k Est propiedd tmbié es válid pr Ecucioes Defiició: U ecució es u relció de iguldd etre ctiddes, lgus de ells descoocids llmds icógits. Ls ecucioes recibe distito ombre, segú ls opercioes que fect ls icógits. Además de ls ecucioes lgebrics, existe otrs llmds trscedetes e ls que l icógit está fectd por relcioes trigoométrics, logritmció, etc. L plbr ecució proviee de l plbr equre que e ltí sigific igulr. Si l ecució lgebric tiee u sol ctidd descoocid diremos que es u ecució co u icógit.
Si l icógit figur e el rdicdo, es u ecució lgebric irrciol. Si l icógit está fectd por ls opercioes de sum, difereci, producto, poteci o cociete se llm ecució lgebric rciol. EJEMPLO: x + = 5 U ecució lgebric rciol es frcciori si l icógit está e lgú deomidor. 3x + EJEMPLO: = 3 x + U ecució lgebric rciol es eter si l icógit o está e igú deomidor. EJEMPLO: ( 5 x + )(. x + ) = 0 U solució de u ecució lgebric co u icógit x es u úmero x 0 tl que, l reemplzr x por x 0 e l ecució, ést se trsform e u idetidd uméric. Resolver u ecució sigific determir si tiee solució y e tl cso hllr tods ls solucioes. Ejemplos: ) 3x 9 = 0 tiee solució x 0 = 3. b) x + = x o tiee solució. c) ( x ).( x + ) = 0 tiee solució, so x = y x = -. Defiició: Dos o más ECUACIONES so EQUIVALENTES si y sólo si dmite ls misms solucioes. Cómo puede obteerse u ecució equivlete u dd? Por medio de opercioes elemetles : Sumdo mbos miembros de u ecució u expresió rciol eter. Multiplicdo mbos miembros de u ecució por u úmero distito de cero. Ejemplo: Se l ecució x + 4 = Restdo mbos miembros 4 x + 4 4 = 4 ( ) Multiplicdo mbos miembros por ½ /.(x) = 8./ x = 8 ( ) x = 4 ( 3 ) Si se observ co cuiddo ls opercioes (), () y (3), puede verse que l plicció de opercioes elemetles equivle l psje de térmios, de fctores y de deomidores comues de u miembro otro de l iguldd. Ecucioes lieles co u icógit Ls ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA so ecucioes de l form:
x = b ó culquier otr equivlete ell. Pr resolverls se debe usr exclusivmete ls dos opercioes elemetles teriores pr ecucioes equivletes y ls propieddes de ls opercioes co úmeros reles. Cuáts solucioes tiee u ecució liel? Ls ecucioes lieles se crcteriz por ser ls úics que, cudo tiee solució, l solució es úic o tiee ifiits solucioes. Ejemplos: x-5= úic solució 5.(x+)-x=4x+5 o tiee solució x=.(x+) - tiee ifiits solucioes Ecucioes cudrátics co u icógit Ls ECUACIONES CUADRÁTICAS co u icógit so ecucioes de l form : x + bx + c = 0 co 0 ó culquier otr equivlete ell. Ejemplos: 3 x + x + = 0, x + 3 = 0 Qué crcterístics tiee ls solucioes de l ecució cudrátic? Si: b - 4c > 0 l ecució tiee dos solucioes reles y distits. b - 4c = 0 b - 4c < 0 l ecució tiee dos solucioes reles coicidetes l ecució o tiee solució rel Al úmero b 4c se lo llm discrimite justmete por el rol que jueg. Ecucioes co Vlor bsoluto Ls ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO so ecucioes de l form: I x - I= b ó culquier otr equivlete ell. Ejemplo: x = 3 Desde el puto de vist geométrico x = 3 sigific que l distci del o los vlores de x l cero debe ser tres. De quí result que ls solucioes de est ecució so x = 3 y x = 3. S = { 3 ; 3} Ejemplo: x = 8 Por propiedd puede ocurrir que x = 8 ó x = 8. Result que x = 0 ó x = 6 cumple lo pedido y so solucioes de l ecució. S= { -6, 0 } Desde el puto de vist geométrico los putos de bsciss 0 y 6 está ubicdos 8 uiddes de.
Ecucioes Frccioris Ls ECUACIONES FRACCIONARIAS so ecucioes de l form Q( x )/P ( x )=0 Dode P ( x ) y Q ( x ) so poliomios tles que Q ( x ) O P ( x ). Resolver u ecució frcciori es ecotrr ls ríces del umerdor P(x) que o ule l deomidor Q(x). Si lgu de ls ríces del umerdor es igul lgu de ls ríces del deomidor, ést debe ser descrtd, y que o es solució de l ecució plted (l divisió por cero o es posible). Ejemplo: + = 0 x 4 x + x x L solució de l ecució es x=- puesto que se debe descrtr x=0, x=- y x= Iecucioes U iecució es u desiguldd e l que prece uo o más vlores descoocidos. Resolverl es ecotrr el cojuto de todos los úmeros reles pr los cules es verdder. Pr resolver u iecució se utiliz ls propieddes de ls desigulddes y de los úmeros reles que coduce u desiguldd equivlete. Esto sigific que l uev desiguldd tiee el mismo cojuto de solucioes que l dd. Todos los úmeros que stisfce l desiguldd costituye el cojuto solució. Ejemplo: Ecotrr los vlores de x que verific l desiguldd x + 4 < 5. Pr resolver l iecució se debe trsformrl pso pso, plicdo propieddes hst obteer el cojuto solució. Se sum 4 mbos miembros: x + 4 + ( 4) < 5 + ( 4) x < Se multiplic mbos miembros por : x < L solució es el cojuto de todos los vlores reles de x meores que. Por lo tto, el cojuto solució es S = x / x <. Gráficmete: Ejemplo: Ecotrr los vlores de x que verific l desiguldd 5x + 8 3. L solució se obtiee de l siguiete mer: Se sum 8 mbos miembros: 5x + 8 + ( 8) 3 + ( 8) 5x 5
Se multiplic mbos miembros por desiguldd: Gráficmete:.( 5x) 5. Como el úmero es egtivo se ivierte el setido de l 5.( 5) x 5 El cojuto solució es S = {x / x }= (-,] Ejemplo: x 3 7 Teiedo e cuet propieddes del vlor bsoluto: 7 x 3 7 7 + 3 x 7+3 4 x 0 L solució es el itervlo cerrdo [ 4, 0]. Geométricmete represet el cojuto de putos de l rect cuy distci 3 es meor o igul que 7. Ejemplo: x 3 L solució es el cojuto de úmeros reles myores o igules que 3 o meores o igules que 3. Por lo tto, x 3 x 3 ó x 3. Utilizdo l otció de itervlos podemos escribir (, 3] [3, + ). S = { x / x 3 ó x 3} = (, 3] [3, + ) Fuetes: Uidd didáctic diseñd por Docetes de l Cátedr Mtemátic, Fcultd de Ciecis Agrris, Uiversidd Nciol del Litorl, Argeti Uiddes temátics del Curso de Igreso, Fcultd de Igeierí, Uiversidd Nciol de L Plt, Argeti Guí de Igreso, Uiversidd de S Adrés, Argeti Mtemátic, Números y Sucesioes - Silvi Altm, Cludi Comprtore, Lili Kurzrok - Editoril Logseller Algebr y Geometrí I Repetto, Liskes, Fesquet Editoril Kpelusz Mtemátic 4 ES Chory, Csres, Slpeter Editoril Estrd