Tem Sucesioes de úmeros reles. Itroducció: Cocepto de sucesió uméric U sucesió uméric es u fmili orded de úmeros reles. Los úmeros que l compoe se especific siguiedo el orde de los úmeros turles. Por tto, u sucesió es, e pricipio, u cojuto ifiito. He quí lguos ejemplos: { p, p, p 3,... } {,,3,5,7,,... } {,, 3,... } { 0,0,0,... } {,, 3,... } {,4,6,8,0,... } El primero es l sucesió de los úmeros primos: o se cooce igu regl que estblezc qué úmero primo p ocup el lugr. El segudo es u sucesió costte, cuy regl de formció es fácil: culquier que se, el es cero. El tercero es l sucesió de los úmeros pres, dode culquier que se, el térmio correspodiete es. E geerl, se represet u sucesió como { }, dode recibe el ombre de térmio geerl de l sucesió. Cudo existe u form explícit pr él, es posible escribir directmete culquier elemeto de l sucesió, pero y hemos visto que hy csos dode o. Hy todví otro modo de defiir los elemetos de u sucesió, medite lgu regl de recurreci que estblece cómo obteer u térmio prtir de uo o más teriores, p. ej. + 3. E est situció, l regl produce cd térmio prtir del terior por dició de u 3, y l sucesió quedrá determid sólo cudo se dé u vlor cocreto pr el primer elemeto. Si se tom, se obtiee l sucesió: {,, 3,... } {,4,7,0,... }. Aquí es secillo comprobr que el térmio geerl explícito es + 3( ), pero o siempre result t fácil. Por supuesto, l sucesió hlld será diferete si se utiliz otro vlor iicil. Otro ejemplo: Primer elemeto: 3 Regl de recurreci: ( ) + + 5 Alguos térmios de l sucesió: 9
3 3 5 ( ) + 5 + 5 5 3... + Y e geerl, { } { 3,,5,35,... }. Represetció e iterpretció geométric. Geométricmete, podemos represetr u sucesió como u cojuto de putos e el plo, co los úmeros turles e el eje de bsciss, y los vlores uméricos de los (, ) (, ),(, ),(3, ),... térmios e el de ordeds. El cojuto es: { } { } Ejemplos: 3 3 4 5 6 3 4 5 6 De lo terior se deduce que hy dos ides e el cocepto de sucesió: l primer, iterpretrl como l socició de cd úmero turl co lgú úmero rel, que hemos represetdo geométricmete e l figur terior; l segud, cosiderr sólo el cojuto de úmeros reles empledos. Al eteder por sucesió el cojuto de putos del plo, qued bie justificdo decir que u sucesió es u cojuto ifiito. Por el cotrrio, el cojuto de úmeros reles que coform l sucesió puede ser fiito. He quí dos ejemplos y sus represetcioes geométrics: { } {, 0,, 0,,... } { b } { 0,,,,,... } 3 4 5 6 3 4 5 6 Ambs tiee propieddes diferetes. Por ejemplo, l segud tiee límite, pero l primer, o. 3. Sucesioes moótos 3.. Sucesioes crecietes: U sucesió es estrictmete (o moótomete) creciete, si: < < < < < 3 0
o, más e geerl, cudo se cumple pr todo que <. Cudo lguos de los símbolos < se, se dirá creciete, si más. Sucesio creciete 3 4 3.. Sucesioes decrecietes: U sucesió es estrictmete (o moótomete) decreciete, si: > > > > > 3 o, más e geerl, cudo se cumple pr todo que >. Cudo lguos de los símbolos > se, se dirá decreciete, si más. Sucesio decreciete 3 4 5 Como ejemplo, demostrremos que l sucesió de térmio geerl decreciete: + es 4 6 E efecto, los primeros térmios so: 3> > >. Pr probr que e geerl se 3 7 cumple que > +, comprremos dos térmios cosecutivos clculdo su difereci:
( ) ( ) + + + + + 3 5 + > 0. + + 4 Result ser positiv, luego se cumple que > +. 4. Sucesioes cotds Se llm sí ls sucesioes tles que el vlor bsoluto de todos y cd uo de sus elemetos se mtiee iferior lgu ctidd costte, llmd cot. Mtemáticmete, se expres de l siguiete mer: < K ó lo que es equivlete K < < K L iterpretció geométric de est codició es que tod l sucesió (cosiderd como u cojuto de putos del plo) está coteid etre dos rects horizotles, represettivs de l cot K, y K e y K. Sucesió cotd 3 4 5 6 7 8 9 0 4. Sucesioes cotds superiormete U sucesió está cotd superiormete si existe u úmero K tl que < K pr todo ; esto es, si l sucesió está tod por debjo de l rect y K. 3 4 5 6 7 8 9 0
4. Sucesioes cotds iferiormete. U sucesió está cotd iferiormete si existe u úmero K tl que todo ; esto es, l sucesió se ecuetr tod por ecim de l rect y K. > Kpr 3 4 5 6 7 8 9 0 Ejemplos está cotd iferiormete, pero o superiormete. So L sucesió { } {,,3, } cots iferiores de { } el y todos los úmeros meores que. L sucesió co térmio geerl sí es cotd. U cot superior es el y + u cot iferior es, y que todos los térmios de l sucesió se ecuetr e el itervlo,, es decir, <. 5. Sucesioes covergetes. U sucesió es covergete cudo l difereci etre el térmio geerl de dich sucesió y u ctidd determid l es u sucesió cuyos térmios, e vlor bsoluto, cb siedo meores que culquier úmero positivo que se elij, por pequeño que éste se. L ctidd l recibe el ombre de límite de l sucesió. Más formlmete, el úmero l es el límite de l sucesió ifiit,, 3,,, si pr culquier úmero positivo ε, por pequeño que lo elijmos, existe u úmero k tl que cudo > k, se verific l siguiete desiguldd, que presetmos de diverss forms: l < ε ε < l < ε l ε < < l+ ε 3
L form hbitul de represetr lo terior es escribir: lim l. Geométricmete, l oció de límite puede iterpretrse como sigue: Dd u sucesió {,, 3,,, }, trzremos e el plo u rect prlel l eje X que pse por el puto (0, l ) del eje Y. Además, dibujemos dos rects prlels l terior, cd u u ldo de ell, y mbs l mism distci ε. L codició pr que l desiguldd l ε < < l+ ε se válid prtir de u suficietemete grde es que todos los térmios de l sucesió se hlle e l frj determid por ls dos rects que cbmos de defiir. Sucesioes covergetes 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 67 8 9 0 Ejercicios:.- Estudi l mootoí, l covergeci o divergeci y ls cots de ls sucesioes:,,3,4,5, { } { } { } { },, 3, 4, 5,,3/,4/3,5/ 4,, 4,8, 6, + Pr operr co sucesioes, supoiedo que {,,,,, } y{,,,,, } 3 se covergetes, se cumple ls regls lgebrics siguietes: b b b3 b 4
6. U teorem ( ) lim + b lim + lim b lim b lim limb lim b lim limb lim lim ; si limb 0 b lim b b lim b lim lim Tod sucesió covergete está cotd. Demostrció: Supogmos que l sucesió { } tiee límite l, esto quiere decir que: l < ε prtir de u cierto k ε < k l < ε l ε < k < l+ ε los térmios { k+, k+, k+ 3, } está compredidos etre ls rects l ε y l + ε. Si tommos los úmeros,, 3,, k, l+ ε lguo de ellos será el myor de todos. Llmemos este úmero M. Etoces, M es u cot superior de l sucesió. Si cosidermos los úmeros {,, 3,, k, l ε} lguo de ellos será el meor de todos. Llmemos este úmero m. Etoces, m es u cot iferior de l sucesió. Por tto, l sucesió está cotd iferiormete. U rzomieto álogo prueb que tmbié lo está superiormete. 7. Sucesioes divergetes Si { } es u sucesió moóto creciete, pero o cotd, tomdo suficiete úmero de térmios podemos obteer uo t grde e vlor bsoluto como se desee, es decir, myor que culquier costte K por muy grde que se ést. Etoces se dice que l sucesió es divergete y que su límite es ifiito. Como ejemplo, se l sucesió Su límite es: ( ) { 3,8,3,,5, }. lim 5 lim 5 lim lim 5. 5
Sucesioes divergetes 4 6 8 0 8. Algus sucesioes de iterés 8. Sucesió ifiitésim: U sucesió se llm ifiitésim cudo sus térmios, e vlor bsoluto, so decrecietes, y demás lim 0. Vemos u ejemplo: { },,,,..., 0 33 0 0 037 0 03, 3 4 3 3 3 3 3,.......,...,.,...,.... { } Pr culquier úmeroε, por pequeño que lo elijmos, se puede verificr que, prtir de u térmio, dode depede de ε, los térmios siguietes él so meores que ε. Como ejercicio, hcer l prueb co ε 0.00. 8.. El úmero e. L sucesió cuyo térmio geerl es + tiee u importci fudmetl e Mtemátics, dode prece e los más vridos cmpos: desde los cálculos del iterés de ls cuets bcris, hst el crecimieto de poblcioes bcteris y l desitegrció de úcleos tómicos. Los primeros térmios de l sucesió so: {,,,,...,,...} { ;.5;.370;.4440;...;.7048;... } 3 4 00 Cudo e Mtemátics se quiere idicr que u sucesió tom vlores pequeñísimos, que tiede cero, se dice que dich sucesió es u ifiitésimo. 6
L sucesió de térmio geerl ( ) + es moóto creciete. Tmbié se puede demostrr que está cotd y que tiee límite, que es u úmero irrciol (deciml o periódico), l que se deomi el úmero e : e lim +, 78888459 Tmbié se cumple que si lim Alguos ejemplos:, etoces e lim +. lim ( + ) ( ) + + e + + 5 3 5 5 3 3 e lim + e ( ) ( ) lim + lim + 8.3 Sucesioes especiles: Progresioes ritmétics y geométrics L myor prte de ls sucesioes que se ecuetr e ls pliccioes perteece ls que se defie de modo recurrete, y que y se defiiero e l itroducció. Hy diferetes clses, uque e este curso os restrigiremos dos d más: Ls progresioes ritmétics y ls geométrics. Progresioes ritmétics. U progresió ritmétic es u sucesió dd por l regl recurrete + + d, dode d es u costte, deomid difereci de l progresió. Como existe ifiits sucesioes que stisfce es regl, pr seleccior u progresió e prticulr es ecesrio dr el vlor de uo culquier de sus térmios, por lo geerl el primero,. Por tto, ddos el primer térmio y l difereci, es fácil hllr l expresió del térmio geerl. E efecto: + d + d + ( ) d 3 + d + d + d + d + (3 ) d 4 3+ d + (4 ) d... + ( ) d Así pues, e geerl se tiee: + ( ) d. El úmero e debe su ombre Leohrd Euler (707-783). Se suele creer que correspode l iicil de Euler, pero lo más probble es que o se cierto. 7
De est deducció se sigue tmbié que ddos dos térmios culesquier de u progresió ritmétic, ést qued totlmete determid. E efecto: Se + ( ) d y m + ( m ) d dos térmios distitos. Restdo mbs expresioes tedremos: ( md ), de dode l difereci será m d m m. Ahor se clcul el primer térmio si problems: ( ) d. Cosiderds como sucesioes, ests progresioes so siempre divergetes, excepto si d 0, e cuyo cso se reduce sucesioes costtes. U problem clásico es obteer u fórmul secill pr expresr l sum de los primeros térmios de u progresió. Usdo l defiició del térmio geerl, podemos escribir: S + + 3+ 4 +... + ( + 0 d) + ( + d) + ( + d) +... + ( + ( ) d) + (0 + + +... + ( )) d E est expresió el úico problem es ecotrr l sum etre prétesis, o se 0 + + +... + ( ) + +... + ( ) Fijádoos sólo e el segudo miembro, se observ que el primer úmero y el último sum, y lo mismo se puede decir del segudo y el peúltimo, del tercero y el teúltimo, etc. E totl hbrá de tles prejs, luego tedremos:... ( ) + + +. Así pues, l sum de los primeros térmios de l progresió será: S + + 3+ 4 +.. + + d. Progresioes geométrics. U progresió geométric es u sucesió dd por l regl recurrete + r, dode r es u costte, llmd rzó de l progresió. Como hy ifiits sucesioes que stisfce es regl, pr seleccior u progresió geométric de rzó r es ecesrio dr el vlor de uo culquier de sus térmios, geerlmete el primero,. Por tto, ddos el primer térmio y l rzó, es fácil hllr l expresió 8
del térmio geerl. E efecto: r ( r) r r r r r r 4 r r 3 3 4 3 r Así pues, e geerl se tiee: r. De est deducció se sigue tmbié que ddos dos térmios culesquier de u progresió geométric, ést qued totlmete m determid. E efecto, se r y m r dos térmios distitos. Dividiedo mbs expresioes tedremos: r m r, de dode l rzó es: r m. m m r m Ahor se hll el primer térmio si problems:. Cosiderds como sucesioes, ests progresioes puede ser divergetes, covergetes, u osciltes. Efectivmete, si r >, es r. Cudo r < r. Cudo l rzó tom los vlores + y, ocurre que l, es 0 progresió es costtemete igul á e el primer cso, y e el segudo, oscil etre los vlores y. U problem clásico, uque meos itereste que su álogo e ls progresioes ritmétics, es obteer u fórmul secill pr expresr el producto de los primeros térmios de u progresió de est clse. Usdo l defiició del térmio geerl, podemos escribir: r P... r ++ + + 3 0... ( ) Como y sbemos el vlor de l sum que prece e el expoete, el producto de los primeros térmios de l progresió será: 3 P... r. El problem de obteer u fórmul secill pr l sum de los primeros térmios de u progresió geométric, mucho más útil que l del producto, se resuelve como sigue. Usdo l defiició del térmio geerl, podemos escribir: S + r+ r +... + r + r Multipliquemos est expresió por l rzó y clculemos l difereci etre mbs: 9
( ) (...... ) S rs + r+ r + + r + r r + r+ r + + r + r, de dode podemos despejr el vlor de l sum: r r S r r. Notmos tmbié que l rzó tiee que ser diferete de, pr evitr u divisió por 0, y que pr r <, se obtiee u sucesió covergete puesto que lim r 0 : r S r. lim lim r 8.4. Not sobre el uso de ls progresioes e los estudios sociles. A lo lrgo de l histori de ls Mtemátics, ls progresioes h sido herrmiets muy utilizds, tto e cuestioes muy práctics como purmete especultivs. Vmos cometr lguos csos. L fórmul del iterés compuesto. Supogmos u cpitl suficietemete grde C colocdo e u bco 3 que pgue por él u iterés ul i. El iterés es el precio del diero, que el titulr de l cuet cobr l bco por dejárselo utilizr, y se represet por u úmero etre 0 y. Decir, p.ej., que el iterés es del 3% quiere decir que l cbo de u ño el bco pgrá l titulr u ctidd igul á 0,03 C, y e geerl, ic. E ese mometo el dueño del cpitl puede optr por llevrse los itereses y empezr de uevo co el mismo cpitl, o por ñdirlos y prtir de u cpitl icremetdo C+ ic C( + i). Al cbo de u ño, este uevo cpitl hbrá geerdo uos itereses ic( + i), y si se vuelve cumulr, se tedrá u cpitl de C( + i) + ic( + i) C( + i) C. Cso de o ecesitr dispoer del diero, l cbo de ños, l ctidd iicil C C0 se hbrá trsformdo e C C ( ) 0 + i, coocid como fórmul del iterés compuesto, e l que se recooce u progresió geométric cuyo primer térmio es C 0 y l rzó, r + i. Ddo que ést es myor que l uidd, l sucesió C es divergete. Por desgrci, rrs veces es posible disfrutr de es propiedd. El reveredo Mlthus y sus prediccioes. 3 L situció que se preset es muy idelizd, como es fácil compreder. E l práctic los bcos o ctú sí, uque ls Mtemátics se ls misms. 30
Hci el ño 800, el clérigo iglés Robert Mlthus (766-834), preocupdo por los problems de l creciete poblció mudil, que etoces er de poco más de mil milloes, publicó su Esyo sobre los pricipios geerles de l poblció, dode predecí u oscuro futuro pr l humidd co el siguiete rgumeto: L poblció crecerí e progresió geométric, co rzó ligermete myor que l uidd, mietrs que l producció de limetos, segú él, sólo podrí crecer siguiedo u progresió ritmétic. E fórmuls, si P represet l poblció cbo de ños desde 800, e que er de P 0, l fórmul del iterés compuesto os drí P ( ) P0 + c, dode l rzó viee defiid por l ts de crecimieto c, más o meos 0.0, esto es, u %. Por otro ldo, los limetos dispoibles vedrí ddos por A A0 + d, siedo fij l difereci. Podemos hor clculr el siguiete límite, que expres el gotmieto de los recursos por prte de l poblció: A A + d 0 lim lim 0 P P0 ( + c). No está muy clro si el reveredo Mlthus teí rzó o o. Al precer, sus prediccioes o se h cumplido e los últimos doscietos ños, sobre todo debido los vces tecológicos e Agricultur, Químic, Obrs Públics, Nvegció, etc, etc, pero su mez sigue hí. 3
Complemetos l Tem II. Algus propieddes de ls sucesioes. I.- Hy sucesioes cotds que o so covergetes. Por ejemplo, l sucesió (ver l figur): si es impr + si es pr { } 3 5,,,,,, está icluid e el itervlo, y o es covergete. 4 6 3 5 7 9 3 5 7 9 II.- (Teorem fudmetl) Tods ls sucesioes cotds superiormete y crecietes, o decrecietes y cotds iferiormete, so covergetes. es u sucesió moóto creciete y cotd, o Supogmos, pr fijr ides, que { } se, existe u úmero K tl que sucesió está por debjo de l rect y < K pr tod ; esto es, los térmios de l K. Etre tods ls cots superiores hy u que es l meor de tods y llmemos est cot l. Como l sucesió es creciete, hbrá ifiitos térmios de l sucesió que se ecuetre etre ls rects l ε y l + ε, prtir de u cierto. Etoces: l ε < < l+ ε ε < l < ε y por tto l < ε 3
III.- Hy sucesioes covergetes que o so moótos, i crecietes i decrecietes. L sucesió (ver l figur) si es impr 0 si es pr tiee límite 0 y o es i creciete i decreciete. 3 5 7 9 3 5 7 9. Idetermicioes. Se ls sucesioes { } y { b }, e los cálculos dode prece límites se d co frecueci situcioes de idetermició, cudo l simple sustitució de l vrible por ifiito d lugr situcioes como ls siguietes: I.- lim( b ), cudo lim y lim b II.- lim( b ), pr lim y lim b 0 III.- lim( ), e cso de que b lim 0 y lim b 0 lim y lim b 33
IV.- lim ( ) b, cudo lim 0 y lim b 0 lim y lim b 0 lim y lim b Trs lgus opercioes de ls que se ofrece ejemplos cotiució, se puede comprobr que uque hy idetermició, puede decidirse si u expresió dd es covergete o o. 3. Ejercicios resueltos sobre límites de sucesioes. +.- Demostrr que l sucesió está cotd. Solució: os bsremos e el teorem: Tod sucesió covergete está cotd. + + + 0 lim lim lim lim + + 0 L sucesió es decreciete: + ( + ) + + + 3 + ( + ) + ( )( ) ( )( ) ( )( ) + 3 + + 5 < 0 + 4 Y como es decreciete cumple que: > > 3 >, luego 3 es u cot superior. L sucesió está cotd superiormete por 3 e iferiormete por..- Clculr:. + 4 lim Solució: b. Solució: + + 4 4 lim lim lim lim 3 lim + ( 3) 3 3 3 + lim lim lim lim + + + + 34
3.- Clculr los siguiete límites idetermidos: 3. lim Solució: 3 lim lim ( ) b.- lim + + Solució: Fctorizmos l expresió + + : ( ) ( ) ( ) + + + Aplicdo hor ls defiicioes y opercioes lgebrics co límites y sucesioes: ( ) ( ) ( ) lim + + lim lim + 4.- Clculr los límites idetermidos: 3 3 + + + 3 3 3 3. lim lim lim 3 3 + + + + + + 3 3 3 3 3 3 + + 4 4 4 b. lim lim 0 4 4. + 4 4 5.- Clculr el límite idetermido; + + + + lim lim lim + + + + + + + + + + + + lim lim lim 0 + + 35
6.- He quí otro límite idetermido: lim + + + + + lim + + + + + lim + + + ( ) + + lim lim + + + + + + + + lim ( + ) + + + 7.- Clculr. lim + Es u idetermició del tipo +. Solució: Hgmos el cmbio de vrible z +, ó z. Etoces z z 3 z 3 lim + lim+ lim+ lim+ + z z z z z + z z z 3 lim+ lim+ e z z z z b. lim Es otr idetermició del tipo. 3 3 Solució: Hcemos el siguiete cmbio de vrible z, y obteemos de imedito z 3 3 3 z lim lim+ lim + e 3 z z z z 36
c.- 3 + lim, otr idetermició del tipo. 3 Solució: 3 + 3 + 3 3 4 lim lim lim e 3 3 + 3 7.- Ahor uo fácil: 5 7 6 7 5 + 6 + + 6 7 5 5 5 3 5 lim lim lim 0 4 0 4 9 + 8 6 6 6 9 9 + 8 9+ 8 0 0 0 6 0 3 4. Ejemplos co progresioes. Ejemplo.- Ecotrr l sum de todos los eteros pres de 000, mbos iclusive. Solució: Los úmeros pres, { } {, 4,...,000} form u progresió ritmétic dode, d, 500. Aplicdo directmete l fórmul de l sum se obtiee: S 500 ( + ) 500( + 000) ( ) 50 + 000 50500 Ejemplo.- De u progresió ritmétic se sbe que 4, 0 49, y se pide hllr l difereci y l sum de los diez primeros térmios. L solució es imedit: 4 0 4 + ( 0 ) d 4 + 9d 49 4 + 9 d; 45 9 d; d 5 ( + ) 0( 4 + 49) S ; S0 65 Ejemplo 3.- Si k 3; d 3 y S 98 ecotrr y k. k Solució: Sustituyedo los vlores ddos e ls fórmuls de y S obteemos: 37
( ) ( + ) ( + 3) + ( k ) d 3 + k 3 + 3k 3 k k k k Sk 98 Despejmos de l primer ecució y l sustituimos e l segud: 3 3k+ 3; 6 3 k; k ( 6 3k) + 3 98 ; 96 k 49 3 k, o bie 3k 49k+ 96 0 ( ) Se trt de u ecució de segudo grdo, del tipo geerl: x bx c + + 0 Recordemos que ls solucioes de l ecució so: E uestro cso 4 x b + b c b b 4c x ± b b x 4 c 49 7 56 8 49 49 4 3 96 49 40 35 49 49 k + 6 6 3 k ± ± ± 3 6 6 k 49 7 4 7 6 6 Puesto que tiee que ser u úmero etero se descrt l solució k, y se tiee que k 7 y por tto, que 6 3k 6 3 7 5. Los siete primeros térmios de l progresió so: 5,8,,4,7,0,3 Ejemplo 4.- Ecotrr el séptimo térmio de l progresió geométric: 36,, 4, Solució: cd térmio se obtiee multiplicdo l que le precede por. 3 Evidetemete el primer térmio es 36, y el séptimo térmio es 7 : 6 36 4 3 4 4 36 3 3 3 3 8 7 6 6 4 Ejemplo 5.- Ecotrr l sum de los seis primeros térmio de l progresió geométric:, 6, 8,... E est progresió, ; r ; 6, luego ( ) 5 r ; 3 486. Además: 6 38
S ( ) ( ) r 486 3 456 ; S 364 r 3 4 6 5. Problems sobre progresioes, resueltos. 4.- Ecuétrese l sum de todos los eteros impres hst el 79 iclusive. Estos úmeros form u progresió ritmétic e l que ; d Co lo cul 40 + (40 ) d + (40 ) 79 Lo que os pide el problem es S40 +... + 40 ( + ) 40( + 40 ) 40( + 79) Sbemos que S e este cso S40 600.- U operrio trbjó durte ños recibiedo u umeto (ul) de slrio de 600 euros cd ño, después del primer ño. Si su slrio (ul) e el primer ño fue de 5700 euros, ecuétrese el slrio que recibió e el último ño y el igreso totl que percibió durte los ños. Los slrios que h recibido so: 5700, 6300,6900,...que form u progresió ritmétic e l que 5700; d 600. Co lo cul + ( ) d 5700 + 0 600 7700 Lo que igresó e totl e los ños es S +... + ( + ) Sbemos que S, luego e e este cso S ( + ) ( + ) 5700 7700 45700 3.- U coche se depreci u 0% de su vlor cd ño. Ecuétrese l fil del oveo ño el vlor de u coche costó 30000 euros. Que u ctidd X se deprecie (o lo que es lo mismo, se rebje) u 0%, idic que el uevo vlor será: 0 X X X 0. X 0.8X, 00 4 L difereci etre ejercicio y problem es que los primeros suele ser pliccioes imedits de lgu técic predid e l teorí, mietrs que e los segudos hy que extrer l iformció del eucido tes de operr mtemáticmete. 39
y si se repite sucesivmete, cd ño hy que multiplicr el último vlor por 0.8: Vése l tbl: X 30000 Precio de compr 0.8 X 0.8 30000 4000 ño después X X X X 0.8(0.8 ) 0.8 0.8 4000 0.8 30000 900 ños después 3 3 0.8(0.8 ) 0.8 0.8 900 0.8 30000 5360 3 ños después 3 4 4 0.8(0.8 X) 0.8 X 0.8 5360 0.8 30000 88 4 ños después... Teemos, pues, u progresió geométric e l que 30000; r 0. 3 4 5 Nos pide el vlor que tedrí 9 ños después de comprdo, es decir, 0 0 0.8 30000 406.53 4.- U perso fud u club (ª sem), l sem siguiete iscribe tres migos e el club y pidiédoles cd uo que l sem siguiete iscrib tres uevos migos, su vez los uevos socios l sem siguiete iscribirá tres uevos migos y sí sucesivmete. ) Cuátos socios uevos se iscribe l séptim sem? ; 3; 3 9; 4 7... Se trt de u progresió geométric e l que ; r 3 7 6 7 r 3 79 b) Cuátos socios tedrá el club l cbo de sems? r 3 S 6570 r 3 5.- El lquiler mesul de us istlcioes es de 500 euros el primer mes y e los meses sucesivos se v icremetdo e 50 euros. Cuáto cuest lquilr por u periodo de ños? Es u progresió ritmétic e l que 500; d 50 ( + ) Sbemos que S, luego el lquiler de dos ños supoe: 4( + 4 ) 4( 500 + 500 + (4 ) 50) S4 5800 40
6.- E l isl de los supervivietes, el primer dí ecuetr leñ 3 kilómetros de l ply e l que vive, cd dí l leñ está 00 metros más lejos que el dí terior, si siempre v l mism perso cuáto hbrá cmido, e totl (ids y vuelts), después de 30 dís? De uevo u progresió ritmétic, dode 6000; d 400 30( + 30 ) 30( 6000 + 6000 + (30 ) 400) S30 354000 metros 354 km 7.- Elis compró u lvdor plzos. El primer mes pgó 5 euros; el segudo mes 7,50 euros, el tercer mes 0 y sí sucesivmete. El último mes pgó 37,50 euros. ) Cuátos meses h teido que pgr? Estmos te otr progresió ritmétic e l que 5; d,5 + ( ) d 37,5 5 + ( ),5 37,5 5,5 0 b) Cuáto h pgdo por l lvdor? S ( + ) ( + ) 0 0 5 37,5 0 0 6,5 8.- Se quiere costruir u tejdo de 50 tejs e l primer fil, 54 e l segud, 58 e l tercer y sí sucesivmete Cuáts tejs se ecesitrá e l fil 4? Otr progresió ritmétic, co 50; d 4 4 + (4 ) d 50 + 3 4 4 Cuáts tejs ecesitrí el tejdo completo, si tuvier 3 fils? S ( + ) ( + + ) 3 3 50 50 3 4 3 3 3584 9.- U cultivo se rieg semlmete. L primer sem ecesit 3 litros de gu. Cd sem ecesit el doble de gu que l sem terior. (Resolver el problem como u progresió geométric) ) Cutos litros ecesitrá l sem º 8? 4
3, 6,, 4,... es u progresió geométric, e l que 3; r 8 7 8 r 3 3936 b) Cutos litros ecesitrá el cultivo si éste dur 5 sems? S 5 5 5 r 3 3 00 66393 r litros 0.- U perso se v iscribir e u curso de 4 meses. L cuot el primer mes es de 300 euros. Cd mes l cuot será el 90% de l cuot del mes terior. Not: 90% de 300 es 0.9 300 70 y 90% de X es 0.9 X. ) Cuáto pgrá el quito mes? 300, 70, 43, 8.7, 96.83,...: Teemos otr progresió geométric co 300; r 0.9 5 4 5 r 300 0.9 96.83 b) Cuáto pgrá por el curso completo? S 4 4 4 r 300 0.9 300 76.07 760.7 r 0,9 0..- U prcmieto tiee 00 plzs, bre sus puerts estdo vcío, el primer miuto etr 3 coches y luego cd miuto etr coches más que el miuto terior. Si o h slido die, estrá lleo el prcmieto después de 40 miutos? Aquí se trt de u progresió ritmétic e l que 3; d. El úmero de coches que etr cd miuto sigue l sucesió: 3, 5, 7, 9,... Siguiedo este ritmo, e 40 miutos etrrí S ( + ) ( + + ) 40 40 3 3 39 40 40 680 coches, lo cul quiere decir que como el prcmieto tiee 00 plzs se hbrí lledo tes de 40 miutos. 4