Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión de ls áres de figurs semejntes Tem elordo por José L. Lorente (lorentejl@gmil.om)
1. Definiión de Semejnz. Esls Definiión: dos figurs se dien que son semejntes si tienen mism form de tl mner que se umple: 1. Los ángulos orrespondientes son todos igules. Los ldos son todos proporionles entre si. L rzón de proporionlidd (oiente entre ldos orrespondientes) se llm rzón de semejnz Ejemplo: 1) todos los udrdos son semejntes (ángulos igules y ldos proporionles) m 4m F 1 D F D Luego l figur F 1 es semejnte F (F 1 F ) on rzón de semejnz de 4m k m ) Todos los irunferenis son semejntes 3m F 1m F 1 Luego l figur F 1 es semejnte F (F 1 F ) on rzón de semejnz de 1m 1 k 3m 3 3) Vemos un ejemplo de dos figurs ritrris semejntes: 3m m F 1 F m L figur F 1 es semejnte F (F 1 F ) on rzón de semejnz k 3m 3 En l vid orriente ls figurs semejntes que se utilizn son por ejemplo los plnos (en dimensiones) o ls mquets (en 3 dimensiones). Definiión de esl: el onepto de esl es equivlente l de rzón de semejnz, es l rzón métri entre un plno o mquet y quello lo que represent. Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om)
L notión usul en los mps es l siguiente 1:1000 que signifi que 1m en el mp es en relidd 1000m10m. Es equivlente un rzón de semejnz k1000. Forms de onstruir figurs semejntes: hy vris forms vemos prtir de un punto fijo (foo): E D D E. Teorem de Tles. En el prtdo nterior hemos definido undo dos figurs son semejntes, undo los ángulos son igules dos dos y ldos proporionles, pero en l práti es difíil ver undo dos figurs son semejntes. Pr esto se utilizrá el teorem de Tles. Teorem de Tles: sen dos semirrets (r y s) on origen omún (punto O), tods ls rets prlels entre si sentes r y s formndo segmentos proporionles. O O O O O' O' O' ' ' pliión: dividir un segmento en prtes igules (utilizdo pr representr friones): O Por onstruión 3O O y O O. plindo Tles: O O O O' 3 O' O' O O' O O O O' O' O' O O' 3 Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 3
Ejeriio 1. lul el vlor de : 5m 6m 7m 6m 7m 35/6 5,8m 5m Ejeriio. lulr NP y OP en l siguiente figur: M N P MNm; N P 3m; M N 3m; OP5m O M N P NP MN NP m NP m N' P' M ' N' 3 m 3 m OP MN 5 m OP' M ' N' OP' 3 OP' 7,5m Ejeriio 3.Deir si son prlels r 1 y r r 1 8m r Si son prlels se umplirá Tles y por tnto O 3m m 6m 3 8 que no es ierto y 6 que 18 16. Luego no son prlels Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 4
3. Semejnz de triángulos. riterios de semejnz El estudio de l semejnz de triángulos es muy importnte, y que todo polígono se puede desomponer en triángulos. De est form dos polígonos son semejntes l desomponer los dos en triángulo los triángulos son semejntes dos dos on mism rzón de semejnz. D F 1 E D F E Si se umple que, DE D E y E E on mism rzón de semejnz k, entones F 1 F on rzón K Notión triángulos: los vérties letrs myúsuls y ldos letrs minúsuls, l mism que el vértie opuesto. El ángulo del vértie se esrie omo ˆ. Vemos el diujo ˆ  ˆ 3.1 Triángulos en posiión de Tles Se die que dos triángulos y en posiión de Tles si el vértie y el ángulo  son los mismos y los ldos y son prlelos. Ejemplo: Teorem: los triángulos en posiión de Tles son semejntes. Demostrión: pr que se semejnte h de umplirse: ) los tres ángulos igules: que se umple l ser uno de ellos omún y los otros dos ángulos son igules l ser prlelos sus ldos ) ldos proporionles: l umplirse el teorem de Tles ' ' ' ' ' ' Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 5
3. riterios generles de triángulos Gris l teorem de Tles pr ompror si dos triángulos son semejntes no es neesrio ver si todos los ángulos son igules y todos los ldos proporionles. En l práti tenemos 3 riterios: Primer riterio: dos triángulos y son semejntes si dos ángulos igules (por ejemplo ˆ ˆ ' y ˆ ˆ ') Segundo riterio: dos triángulos y son semejntes si sus tres ldos son proporionles ( k ). ' ' ' Terer riterio: dos triángulos y son semejntes si un ángulo igul y los dos ldos que lo formn son proporionles (por ejemplo ˆ ˆ ' k ) ' ' Tods ls demostriones se hen prtir del teorem de Tles Ejeriio4: deir si son semejntes los siguientes triángulos. ) 7m, 6m;,5m, m ˆ ˆ ' 30º 7 6 Vemos si se umple el riterio 3: 14 15 no semejntes ' ',5 ) ˆ 30º, ˆ 70º, ˆ ' 80º, ˆ' 70º simple vist pree que no son semejntes, pero engñ. Lo que ourre es que los triángulos son semejntes pero están girdos. Tl que el vértie equivlente de es, el de es. Vemos omo son igules los tres ángulos: ˆ 30º, ˆ 70º, ˆ 180 (70 + 30) 80º 30º, 70º, 80º ˆ ' 80º, ˆ' 70º, ˆ' 180 (70 + 80) 30º 30º, 70º, 80º Luego son semejntes. Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 6
4. riterios de semejnz en triángulo retángulos En los triángulos retángulos podemos simplifir los tres riterios nteriores, y que si dos triángulos son retángulos y podemos segurr que tienen un ángulo igul (el ángulo reto). ntes vemos l notión utilizd en triángulos retángulos: hipotenus,tetos ˆ 90º Primer riterio: dos triángulos retángulo y son semejntes si uno de sus ángulos no retos son igules (por ejemplo ˆ ˆ ') Dem: se umple que dos ángulos igules en reto ˆ ˆ ' 90º y el que nos dien en el riterio ˆ ˆ ' luego por el primer riterio de los triángulos y son semejntes. Segundo riterio: dos triángulos retángulo y son semejntes si uno de los tetos y l hipotenus son proporionles k ' ' k' Dem: k. Vemos omo el otro teto es tmién proporionl ' ' k' plindo el teorem de Pitágors y por tnto por el riterio de triángulos será semejnte: k ' ( k' ) ( k' ) k ( ' k' k ' ' ' 5. Teorems en triángulos retángulos ' ) k ' Teorem de los ángulos: l sum de los ángulos de todo triángulo es igul un ángulo llno, es deir 180º Dem: diujmos un ret prlel un ldo por el vértie opuesto α Ĉ β Se umple que  α y ˆ β y que formdos por rets prlels. De est form omo α+β+ĉ 180º ˆ + ˆ + Ĉ 180º Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 7
Teorem : en todo triángulo retángulo l ltur trzd sore l hipotenus determin dos triángulos retángulos semejntes l originl Dem: Diujemos el triángulo retángulo y los dos que se formn l trzr l ltur: h M M M Tenemos que en el triángulo M el ángulo del vértie es el mismo que en el originl (); lo mismo ourre on el triángulo M donde el ángulo del vértie es el mismo que en el originl. Por el riterio1 de triángulos retángulos tenemos que los tres triángulos son semejntes. Teorem de Pitágors: en todo triángulo retángulo l sum de los udrdos de los tetos es igul l udrdo de l hipotenus. on l notión fijd l prinipio del prtdo + Dem: eiste más de 100 demostriones diferentes, vemos un de ells. Pr eso onstruimos un udrdo repitiendo 4 vees el triángulo retángulo: Vemos que se genern dos udrdos, el grnde de ldo + y el pequeño de ldo. El áre del udrdo grnde será igul l sum del áre del pequeño más l de los 4 triángulos (igules): áre udrdo grnde (+) áre udrdo pequeño áre triángulo 1 Igulndo ls áres: áre udrdo grnde áre udrdo pequeño+4 áre triángulo (+) 1 +4 + + +, simplifindo otenemos el teorem de Pitágors: + Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 8
Teorem del teto: el udrdo de un teto es igul l produto de l hipotenus por l proyeión del teto sore l hipotenus: h n m m M n Demostrión: 1) l ser los triángulos y M semejntes (teorem ) tenemos que sus ldos son proporionles. Los ldos proporionles de los dos triángulos son l hipotenus de () y l hipotenus de M (); por otro ldo el teto grnde de () será proporionl l teto grnde de M (m). De est form l ser semejntes los triángulos los ldos son proporionles: m m ) l ser los triángulos y M semejntes tenemos que sus ldos son proporionles. Los ldos proporionles de los dos triángulos son l hipotenus de () y l hipotenus de M (); por otro ldo el teto pequeño de () será proporionl l teto pequeño de M (n). De est form l ser semejntes los triángulos los ldos son proporionles: n n Teorem de l ltur: el udrdo de l ltur de l hipotenus de un triángulo retángulo es igul l produto de ls dos prtes en que dih ltur divide l hipotenus: h h m n m M n Demostrión: omo es semejnte M y M por tnto los triángulos M y M son semejntes y por tnto sus ldos proporionles: teto grnde de M (m) es el equivlente l grnde de M (h) y el pequeño de M (h) l h m pequeño de M(n) h m n n h Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 9
Ejeriio 5. lulr h, m y n en el triángulo retángulo: 7 h 10 m n plindo el teorem de teto y l ltur y de Pitágors: Teorem de Pitágors: + 149 Teorem teto: m m 49 49 149, n n 149 149 100 149 100 149 149 Teorem ltur: h m n h 49 149100 149 4900 h 149 149 149 4900 149 70 149 70 149 149 Ejeriio 6. En un triángulo retángulo ls proyeiones de los tetos miden 8m y 4,5m. lulr ls medids de los tetos y de l hipotenus y l ltur: h m4,5 n8 El vlor de m+n1,5m Teorem del teto: m n Teorem de Pitágors m +h h 1,5 4,5 7,5m 1,5 8 10m 7,5 4,5 6m 6. Relión entre áres de figurs semejntes Teorem: Si dos triángulos T 1 y T son semejntes on rzón de semejnz k, el áre de T y T 1 se relionn de l siguiente mner: re(t )k re(t 1 ). Dem: omo son semejntes de rzón k l relión entre los ldos y los elementos de los dos triángulos es que los elementos de T son k vees los de T 1 Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 10
h T 1 k h kh k T k ' h' k kh h áre(t ) k k re( T1 ) orolrio: sen F 1 y F dos polígonos semejntes on rzón de semejnz k, el áre de F y F 1 se relionn de l siguiente mner: re(f )k re(f 1 ). Demostrión: desomponemos F 1 y F en triángulos que serán semejntes de rzón k. Ls áres de los triángulos de F serán k vees los de F 1. Si summos tods ls áres otendremos el áre de F que tmién será k vees l de F 1 D F 1 E D F E (F 1 )()+(E)+(DE) (F )( )+( E )+( D E )k ( )+k ( E )+k ( D E ) k ( ( )+( E )+( D E ))k (F 1 ) Ejemplo: lulr el áre de dos udrdos, uno de ldo m y otro de ldo 6m: Son figurs semejntes on k3: re 1 (m) 4m re (6m) 36m 3 (4m ) Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 11
Ejeriios Finles Ejeriio 7. Dos triángulos y son semejntes on rzón de semejnz k/3, lulr los ldos del triángulo si semos que 1m, 9m, 7,5m. Es senillo si son semejntes los ldos son proporionles y si /3 es l onste de proporionlidd entones: 1m (/3)8m; 7,5m (/3)5m; 9m (/3)6m Ejeriio 8. En l figur djunt lulr M y MN siendo que MN prlelo. 1m N 6m 8,4m M 4,8m Si son prlelos los ldos entones umple Tles: N M N M 6 4,8 1 M 9,6m M Pr lulr el ldo MN no podemos plir Tles, sino ls propieddes de triángulos semejntes (MN y ): N NM 1 18 MN 8,4 MN 5,6m Ejeriio 9. En l siguiente figur prlelo D. Deir: ) Por que son semejntes los triángulos O y OD ) lulr e y. 7,m 10,6m 8,5m O 6m y D ) Son semejntes porque tienen los trs ángulo igules: el ángulo del vértie O por ser ángulos opuestos de rets sentes y los otros dos por estr formdos por rets prlels. 6 y ) 5,08m, y 7,48m 8,5 7, 10,6 Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 1
Ejeriio 10.. En un triángulo, mide 5,7m y l ltur reltiv diho ldo es 9,5 m. uánto mide el áre de otro triángulo semejnte en donde 4,14m? () 1 5,7 9,5 7,075 m ( )k () 14,3 m k 4,14 0,73 5,7 Ejeriio 11. Hllr e y en los siguientes triángulos retángulos: Teorem del teto y,1 (,1+7,8) 4,56 y 7,8 (,1+7,8) y 8,79,1 7,8 3, Teorem de l teto: 3, 4,8,13 y Teorem de l ltur: 4,8 y,13 (4,8-,13) y,4 Ejeriio 1. lulr l ltur del árol siendo que Edurdo ve l op reflejd en un hro y tom ls siguientes medids: 1,6m 1,m 4m Son triángulos retángulo semejntes pues en l refleión de l luz los ángulos inidente y reflejdo son igules. Luego los ldos semejntes 5,4m. 1,6 1, 4 Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 13
Ejeriio 13. Pr medir l ltur de un s Álvro uy ltur hst los ojos es de 165m, se situó 1,5m de un verj y tomó ls medids del diujo. uánto mide l s? 3,5m 5,5m 1,5m Podemos otener del diujo los siguientes triángulos en posiión de Tles (semejntes): 1,85m 5,5m 1,5m omo son semejntes los ldos proporionles: 1,85 7 1,5 33,3 m Luego h33,3+1,6534,95 m Ejeriio 14. uál es l profundidd del pozo si su nhur es 1,5m y lejándote 0,5 m del orde desde un ltur de 1,7 m ves en l mism visul el orde del pozo y l esquin del fondo? Tenemos que se formn dos triángulos retángulos semejntes y que tienen un ángulo igul. Por est rzón los ldos son proporionles: Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 14
1,7m 1,5 0,5 5,1 m 1,7 0,5m 1,5m Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 15